小学六年级奥数循环小数与分数
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第二章循环小数与分数
知识要点
任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。那么，什么样的分数能化成有限小数，什么样的分数能化成纯循环小数、混循环小数呢？我们先看下面的分数。
(1)1
2
＝0.5，
3
25
(＝
2
3
5
)＝0.12，
17
40
(＝
3
17
25
⨯
)＝0.425；
(2)1
3
＝0.3，
5
7
＝0.714285，
13
33
＝0.39；
(3)5
6
(＝
5
23
⨯
)＝0.83，
67
175
(＝
2
67
57
⨯
)＝0.38285714，101
360
(＝
3
101
259
⨯⨯
)＝0.2805。
结论：(1)中的分数都化成了有限小数，其分数的分母只含有质因数2和5，化成的有
限小数的位数与分母中含有的2与5中个数较多的个数相同。如17
40
，因为40＝23×5，含
有3个2，1个5，所以化成的有限小数有三位。
(2)中的分数都化成了纯循环小数，其分数的分母没有质因数2和5。
(3)中的分数都化成了混循环小数，其分数的分母中既含有质因数2或5，又含有2和5以外的质因数，化成的混循环小数中的不循环部分的位数与分母中含有2与5中个数较多的
个数相同。如
67
175
，因为175＝52×7，含有2个5，所以化成混循环小数中的不循环部分有
两位。
于是我们得到一个最简分数化为小数的三个结论：
1.如果分母只含有质因数2和5，那么这个分数一定能化成有限小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数；
2.如果分母中只含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数；
3.如果分母中既含有质因数2或5，又含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数，并且不循环部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数。
典例巧解
例1 判断下列分数中，哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数？能化成有限小数的，小数部分有几位？能化成混循环小数的，不循环部分有几位？
5 324
21
31
250
23
78
100
117
3
850
点拨上述分数都是最简分数，并且32＝25，21＝3×7，250＝2×53，78＝2×3×13，117＝32×13，850＝2×52×17，根据知识要点的结论可求解。
解
5
32
能化成五位有限小数；
31
250
能化成三位有限小数；
4
21
，
100
117
能化成纯循环小数；
23 78能化成混循环小数，且不循环部分有一位；
3
850
能化成混循环小数，且不循环部分有两
位。
例2 将下列纯循环小数化成最简分数。
(1)0.8 (2)0.415
点拨 (1)纯循环小数循环节是1位，可将循环小数乘以10，再减去此循环小数，可化为分数。
(2)纯循环小数的循环节是3位的，可将循环小数乘以1000倍，再减去此循环小数，可化为分数。
解 (1) 0.8×10＝8.8①
0.8＝0.8②
①－②得0.8×(10－1)＝8
0.8×9＝8
0.8＝8 9
(2) 0.415×1000＝415.415①
0.415＝0.415②
①－②得0.415×(1000－1)＝415
0.415＝415 999
说明从以上两个例子可以总结出将纯循环小数化成分数的方法：分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各位数都是9，9的个数与循环节的位数相同。
例如：0.5＝5
9
；0.79＝
79
99
；0.144＝
144
999
＝
16
111
…
例3 将下列混循环小数化成最简分数。
(1)0.38(2)0.457
点拨 (1)此题为混循环小数，循环节有1位，小数点后有两位。将此循环小数乘以100，减去此循环小数乘以10，问题可解。
(2)此题为混循环小数，循环节有2位，小数点后有3位。将此循环小数乘以1000，减去此循环小数乘以10，问题可解。
解 (1) 0.38×100＝38.8①
0.38×10＝3.8②
①－②得
0.38×(100－10)＝35
0.38＝35
90
＝
7
18
(2) 0.457×1000＝457.57①
0.457×10＝4.57②
①－②得
0.457×(1000－10)＝453
0.457×990＝453
0.457＝453
990
＝
151
330
说明此题可以总结出将混循环小数化成分数的方法：分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数所组成的数减去不循环数字所组成的数所得的差；分母头几位数字是9，末几个数字都是0，其中9的个数与循环节的位数相同，0的个数与不循环的部分的位数相同。
例如：0.29＝292
90
-
＝
27
90
＝
3
10
；
0.137＝1371
990
-
＝
136
990
＝
68
495
；
0.1745＝174517
9900
-
＝
1728
9900
＝
48
275
···
例4 将算式0.3＋0.6＋0.3×0.6＋0.3÷0.6的计算结果，用循环小数表示出来。点拨直接用循环小数作四则运算不方便，可将其先转化为分数，然后再化为小数。解0.3＋0.6＋0.3×0.6＋0.3÷0.6
＝1
3
＋
2
3
＋
1
3
×
2
3
＋
1
3
÷
2
3
＝1＋2
9
＋
1
2
＝1.5＋0.2＝1.72