第4节 平面向量的综合应用

第4节 平面向量的综合应用

课标要求 1.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．

【知识衍化体验】

知识梳理

1．向量与平面图形

（1）用向量解决的常见平面图形问题：

、 、 、 、 等问题

（2）用向量解决常见平面图形问题的步骤：

问题→ 问题→ →解决 问题→解决 问题

2．向量与解析几何

向量在解析几何中的应用是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述，主要强调向量的坐标问题，用 来处理解析几何中的 ，结合直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答．

3．向量与物理学科

物理学中的 、 、 等可以抽象成数学中的向量，借助向量的运算可以解决物理中力的平衡、功的问题．

【微点提醒】

1．平面上三点A B C ，，，有A ，B ，C 三点共线()AB AC λλ⇔=∈R ；

平面上不共线四点A B C D ，，，，有()AB CD AB CD λλ⇔=∈R .

2．平面上四点A B C D ，，，，0AB CD AB CD ⊥⇔⋅=；平面上三点O A B ，，

，向量OA ，OB 夹角的余弦值为||||

OA OB OA OB ⋅⋅. 3．两点A B ，的距离||AB AB =.

4．三个力1F ，2F ，3F ，同时作用于某物体上一点，物体保持平衡⇔1230F F F ++=；物体从点A 移动到点B 的位移s AB =；一个物体在力F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功为W F s =⋅．

基础自测

疑误辨析

1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．

（1）若AB BC λ=，则A ，B ，C 三点共线. （ ）

（2）若AB CD λ=，则AB CD . （ ） （3）在ABC ∆中，0AB BC ⋅>，则ABC ∆为锐角三角形. （ ） （4）在ABC ∆中，0AB BC ⋅>，则ABC ∆为钝角三角形. （ ）

（5）点O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足

,[0,)||sin ||sin AB AC OP OA AB B AC C λλ⎛⎫=++∈+∞ ⎪⎝⎭

，则动点P 的轨迹一定过△ABC

的重心. （ ） 教材衍化

2．已知O 是坐标原点，点C 满足OC OA OB αβ=+，其中R αβ∈，．若点C 在直线AB 上，则αβ+的值为______________.（必修4第77页第11题改编）

3．在ABC ∆中，设(2,3),(1,),AB BC k ==且ABC ∆是直角三角形，则k =______________. （必修4第81页第例4改编）

考题体验

4．（2015新课标）设D 为ABC ∆所在平面内一点，3BC CD =，则（ ）

A ．1433AD A

B A

C =-

+ B ．1433AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133

AD AB AC =- 5．（2017新课标Ⅱ）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（ ）

A ．2-

B ．32-

C ．43

- D ．1- 6．（2014天津）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC 、

DC 上，3BC BE =，DC DF λ=．若1AE AF ⋅=，则λ的值为______________．

7．（2019年全国卷Ⅱ理科19.2） 已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为

的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．若3AP PB =，则AB =______________．

【考点聚焦突破】

考点1 向量在平几情境中的应用

【例1】（1）已知O ，A ，B ，C 是平面上不共线的四点，

32

若320-+=OA OB OC ，则||||

=AB BC ______________． （2）如图，在圆O 的内接ABC ∆中，M 是BC 的中点，

3AC =，若4AO AM ⋅=，则AB =______________．

【训练1】（1）在△ABC 中，2=AB ，3=AC ，1=AB BC ，则BC =______________.

（2）已知O 是ABC ∆所在平面上一点，若222()()()OA OB OC ==，则O 是ABC ∆的（ ）

A ．重心

B ．内心

C ．外心

D ．垂心

考点2 向量在解几情境中的应用

【例2】（1）已知两点(1,0)M -，(1,0)N ，若直线340x y m -+=上存在点P 满足0PM PN ⋅=，则实数m 的取值范围是（ ）

A ．(]

[),55,-∞-+∞ B ．(][),2525,-∞-+∞ C ．[]5,5-

D ．[]25,25- （2）过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线与抛物线相交于、A B 两点，自、A B 向

准线作垂线，垂足分别为C 、D ，则CFD ∠=______________．

【训练2】在平面直角坐标系xOy 中，已知F 是抛物线2

4x y =的焦点，过点F 作两条相互垂直的直线12,l l ，12,l l 分别与抛物线交于点,A B 和,C D ，记AB 的中点为M ，CD 的中点为N ，则OM ON ⋅的最小值是（ ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

考点3 向量在物理情境中的应用