二次函数综合——线段最大值
中考数学：二次函数——线段最大值问题
中考数学：二次函数——线段最大值问题一前提知识:二典型例题：1.如图，已知二次函数y=-x2-2x+3的图象交x轴于A、B两点（A在B左边），交y轴于C点。
（1）求A、B、C三点的坐标和直线AC的解析式；（2）点P是直线AC y=x+3 上方抛物线y=-x2-2x+3上一动点（不与A,C重合）过点P作y轴平行线交直线AC于Q点，求线段PQ的最大值；三变式练习:2.变式1：点P是直线AC y=x+3 上方抛物线y=-x2-2x+3上一动点（不与A,C重合），过点P作x轴平行线交直线AC于M点，求线段PM的最大值；大值：问题2：你能求出△PQH周长的最大值吗？的最大值；积的最大值；积的最大值；四直通中考：1.（2014 ·重庆中考A卷25题）如图，抛物线y= -x2 -2x+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点。
（1）求点A、B、C的坐标；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN ⊥X轴于点N，若点P在点Q 左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；26．（8分）如图1，抛物线y＝﹣x2+x+与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．将直线AC以点A为旋转中心，顺时针旋转90°，交y轴于点D，交拋物线于另一点E．直线AE的解析式为：y＝﹣x﹣（1）点F是第一象限内抛物线上一点，当△F AD的面积最大时，在线段AE上找一点G（不与点A、E 重合），使FG+GE的值最小，求出点G的坐标，并直接写出FG+GE的最小值；（2）如图2，将△ACD沿射线AE方向以每秒个单位的速度平移，记平移后的△ACD为△A′C′D′，平移时间为t秒，当△AC′E为等腰三角形时，求t的值．26．（8分）如图1，抛物线y＝﹣x2+x+与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．将直线AC以点A为旋转中心，顺时针旋转90°，交y轴于点D，交拋物线于另一点E．直线AE 的解析式为：y＝﹣x﹣（1）点F是第一象限内抛物线上一点，当△F AD的面积最大时，在线段AE上找一点G（不与点A、E 重合），使FG+GE的值最小，求出点G的坐标，并直接写出FG+GE的最小值；（2）如图2，将△ACD沿射线AE方向以每秒个单位的速度平移，记平移后的△ACD为△A′C′D′，平移时间为t秒，当△AC′E为等腰三角形时，求t的值．【分析】（1）由S△F AD＝S△F AK﹣S△FDK＝求而出点F（，），而FG+GE＝FG+GP，过点F作EQ的垂线交AE于点G，此时FG+GE最小，即可求解；（2）分AC′＝EC′、AE＝EC′、AC′＝AE三种情况，求解即可．【解答】解：（1）过点F作FK⊥x轴于点H，交直线AE于点K（如下图），过点D作DM⊥FK于点M，令y＝﹣x﹣＝0，则点A（﹣1，0），设点F坐标为（x，﹣x2+x+），则点K（x，﹣x﹣），S△F AD＝S△F AK﹣S△FDK＝FK•AH﹣FK•DM＝FK（AH﹣DM）＝FK•AO＝（﹣x2+x++x+）×1＝﹣x2+x+，当x＝﹣＝时，S△F AD有最大值，此时点F（，），点G是线段AE上一点，作EQ⊥y轴于点Q，作GP⊥EQ于点P，则∠PEG＝30°，∴GP＝GE，∴FG+GE＝FG+GP，过点F作EQ的垂线交AE于点G，此时FG+GE最小，当x＝时，y＝﹣x﹣＝﹣，此时点G（，﹣），FG+GE最小值为：；（2）连接CC′，过点C′作C′F⊥y轴于点F，则C′C＝，CF＝CC′＝t，FC′＝CC′＝t，∴点C′（t，﹣t），由（1）知点E（4，﹣），∴AE2＝，AC′2＝t2+4，EC′2＝t2﹣t+，①当AC′＝EC′时，t2+4＝t2﹣t+，解得：t＝；②当AC′＝AE时，同理可得：t＝（舍去负值）；③当AE＝EC′时，同理可得：t＝5；故：t的值为或或5或5．。
专题1.5 二次函数与线段最值面积最值综合应用(四大题型)(原卷版)
专题1.5 二次函数与线段最值/面积最值综合应用（四大题型）【题型1 线段差最大问题】【题型2 线段和最小】【题型3 周长最值问题】【题型4 求面积最值】【典例1】（2023•汝南县一模）如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），其对称轴为x＝2．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限．①当△OAB的面积为15时，求点B的坐标；②在①的条件下，P是抛物线上的动点，当P A﹣PB取得最大值时，求点P的坐标．【变式1-1】（秋•椒江区校级月考）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点T为对称轴直线x＝2上一点，则TC﹣TB的最大值为多少？【变式1-2】（连云港）在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y＝x2﹣x﹣2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．（1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式；（2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；【典例2】（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；【变式2-1】（2023•新疆三模）如图，抛物线C1：y＝x2﹣2x与抛物线C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，它们相交于O，C两点，且分别与x轴的正半轴交于点B，点A，OA＝2OB．（1）求抛物线C2的解析式；（2）在抛物线C2的对称轴上是否存在点P，使P A+PC的值最小？若存在，求出P A+PC的最小值及点P的坐标，若不存在，说明理由；【变式2-2】（2023•红花岗区校级模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣2，0），B（1，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）M是抛物线对称轴上的一个动点，求MB+MC的最小值；【变式2-3】（2023•琼山区校级三模）如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x 轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），顶点为D，连接AC，CD，DB，P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，设点P的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式；（2）当t为何值时，△PBC的面积最大？并求出最大面积；（3）M为直线BC上一点，求MO+MA的最小值；【变式2-4】（2023•宁夏）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标是（﹣1，0），抛物线的对称轴是直线x＝1．（1）直接写出点B的坐标；（2）在对称轴上找一点P，使P A+PC的值最小．求点P的坐标和P A+PC的最小值；【典例3】（2023•张家界）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c 的图象与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，6）．点D为线段BC上的一动点．（1）求二次函数的表达式；（2）如图1，求△AOD周长的最小值；【变式3-1】（2023•盘锦三模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B，AB＝2，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设P为对称轴上一动点，求△APC周长的最小值；【变式3-2】（富拉尔基区模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x 轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线解析式；（2）若M是抛物线对称轴上的一点，则△ACM周长的最小值为多少？【变式3-3】（2022•齐河县模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3过A（1，0）、B （3，0）两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的函数解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ACM的周长最小？若存在，求出△ACM周长的最小值；若不存在，请说明理由．【典例4】（2023•阜新）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx﹣c 的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的表达式．（2）如图1，二次函数图象的对称轴与直线AC：y＝x+3交于点D，若点M 是直线AC上方抛物线上的一个动点，求△MCD面积的最大值．【变式4-1】（2022秋•曲周县期末）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A （2，0），B（﹣4，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由．【变式4-2】（2023•乐东县二模）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A （﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，对称轴直线x＝m交抛物线于点D，交x轴于点E，连接AD，CD．（1）求该抛物线的表达式以及m的值；（2）求四边形OADC的面积；【变式4-3】（2023•东坡区模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过A（﹣1，0），B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C，OC＝3．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；【变式4-4】（2023•肇东市三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B点，与y轴交于点C（0，3），点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上一个动点，且在直线BC 的上方．（1）求这个二次函数的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△BPC的面积最大？请求出点P的坐标和△BPC面积的最大值．【变式4-5】（2022秋•朝阳期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P是位于直线BC上方抛物线上的一个动点，求△BPC面积的最大值；【变式4-6】（2023•四平模拟）如图，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，3）．点P和点Q都在抛物线上，其横坐标分别为m，m+1，过点P作PM∥y轴交直线AB于点M，过点Q作QN∥y轴交直线AB于点N，连接PQ．（1）求抛物线的解析式；（2）当P，Q两点都在第一象限时，求四边形PQNM的面积的最大值；。
第03讲-二次函数解析式与线段最值(教案)
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）二次函数解析式的理解和应用：重点在于让学生掌握二次函数一般形式及其图像性质，能够根据已知条件求解二次函数的系数a、b、c。
举例：讲解如何根据抛物线的顶点坐标、对称轴和开口方向来确定二次函数解析式。
（2）线段最值问题的求解：重点在于培养学生利用二次函数求解线段最值问题的能力，掌握解题步骤。
-通过具体例子，让学生掌握如何根据已知条件求解二次函数的系数a、b、c
2.线段最值问题的探讨：
-利用二次函数求解线段的最值问题，如最大值、最小值
-线段最值在实际问题中的应用，例如求解平面几何中的最大或最小面积问题
-结合实际例题，让学生掌握如何建立二次函数模型解决线段最值问题，并掌握解题技巧。
二、核心素养目标
五、教学反思
在本次教学过程中，我发现学生在学习二次函数解析式与线段最值这一章节时，存在一些问题和亮点。在这里，我想结合教学实际，对这次教学进行一些反思。
首先，我发现大部分学生在理解二次函数解析式的过程中，对系数a、b、c的含义和求解方法掌握得不够扎实。在以后的教学中，我需要更加注重基础知识的教学，通过丰富的实例和详细的讲解，帮助学生深入理解二次函数解析式的内涵。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次函数解析式的基本概念。二次函数解析式是描述抛物线运动规律的一种数学表达形式。它是解决线段最值问题的关键工具，广泛应用于物理、工程等领域。
二次函数4-平行于y轴动线段的最大值--第四讲
1.“平行于 y 轴的动线段长度的最大值”的问题： 例 1：如图，已知二次函数 y ax2 4x c 的图像与坐标轴交于点 A(1,0) 和点 C(0,5) 。 （1）求该二次函数的解析式； （2）连接 BC ，一条平行于 y 轴的直线 l 在 B、C 两点间运动，直 线l 交抛物线于点 M ，交线段 BC 于点 N ，求线段 MN 的最大值？
2
1
学习就是不断的记住、忘记和再记住的过程，唯有每天坚持学习，方能进步！——周云华
如图，直线 y x 2 与抛物线 y ax2 bx 6 (a 0) 相交于 A ( 1 , 5 ) ，
22
B ( 4 , c ) 两点，点 P 是线段 AB 上异于 A、B 的动点，过点 P 作 PC x 轴于点 D ，交抛物线于点 C 。 （1）求该抛物线的解析式； （2）是否存在这样的点 P ，使线段 PC 的长有最大值？若存在， 求出这个最大值，若不存在，请说明理由；
中考数学 精讲篇 专题突破十三 二次函数的综合应用 类型一：二次函数与线段问题
当 x＝4 时，n＝ 33×42－233×4－ 3＝533，
5 3
∴点 E4，
3
.
33 ∴直线 AE 的解析式为 y＝ 3 x＋ 3 .
(2)令 x＝0，得 y＝－ 3，∴点 C(0，－ 3).
∵点
E4，5
3
3，∴直线
CE
的解析式为
2 y＝
3
3 x－
3.
过点 P 作 PH∥y 轴，交 CE 于点 H，如解图①.
(3)设点
Px，2
3
3x2－2
3
3x，则点
Q(x，－
3x＋
3)，
易得
2 PQ＝－ 3
3x2－
3 3 x＋
3，
23 ∵－ 3 ＜0，故 PQ 有最大值，
1 5 3
此时点
P
的坐标为－4，
24
.
1.(2021·安徽一模)如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝12x－2 与 x 轴 交于点 B，与 y 轴交于点 C，二次函数 y＝12x2＋bx＋c 的 图象经过 B，C 两点，且与 x 轴的负半轴交于点 A. (1)求二次函数的解析式及点 A 的坐标；
解：(1)抛物线的解析式为 y＝x2－4.
(2)将抛物线 y＝x2－4 向上平移 1 个单位得 y＝x2－3，
令 y＝0，则 x2－3＝0，得 x＝± 3，∴D(－ 3，0)，E( 3，0)，
∵OP＝1，∴P(0，1)，
∴直线 DF 的解析式为 y＝ 33x＋1，
联立yy＝＝x323－x＋3，1，解得yx11＝＝0－，
∴点 L 的坐标为－2，3153.
1 901 综上，线段 OL＋LK＋PK 的最小值为 4 ，
35 此时点 L 的坐标为－2，15.
二次函数中线段最值问题
二次函数中线段最值问题二次函数中的线段最值问题（一）例1：已知抛物线经过点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3），顶点为M。
求抛物线的解析式和对称轴上使得PA+PC最小的点P的坐标。
解：（1）由已知点可列出三个方程：y=a(-1)^2+b(-1)+cy=a(3)^2+b(3)+c3=a(0)^2+b(0)+c化简后可得：y=x^2-2x-32）对称轴为x=1，因此P的横坐标为1.设P的纵坐标为y，则根据距离公式可得：PA+PC=sqrt[(1+1)^2+y^2]+sqrt[(1-0)^2+(y+3)^2]对其求导并令其为0，可得y=-1/2.因此P的坐标为（1，-1/2），PA+PC的最小值为3.练1：如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=-x^2+2x+3经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D。
在x轴上找一点E，使得EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值。
解：（1）由已知点可列出四个方程：y=a(-1)^2+b(-1)+cy=a(3)^2+b(3)+c0=a(1)^2+b(1)+cy=aD^2+bD+c化简后可得：y=-x^2+2x+32）对称轴为x=1，因此D的横坐标为1.设E的横坐标为x，则EC+ED=sqrt[x^2+(3-(-x+3))^2]+sqrt[(1-x)^2+D^2]。
对其求导并令其为0，可得x=1/2.因此E的坐标为（1/2，0），EC+ED的最小值为2sqrt(10)。
练2：如图，抛物线经过点A（-1，0）、B（1，0）、C （0，-3），顶点为D。
点M是对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标。
解：（1）由已知点可列出三个方程：y=a(-1)^2+b(-1)+cy=a(1)^2+b(1)+c3=aD^2+bD+c化简后可得：y=x^2-2x-32）设M的横坐标为x，则△ACM的周长为AC+CM+MA=sqrt[(x+1)^2+9]+2sqrt[(x-D)^2+1]。
专题二 二次函数的综合——2023届中考数学热点题型突破(含答案)
专题二二次函数的综合——2023届中考数学热点题型突破题型1 二次函数与线段最值问题1.在平面直角坐标系中, 点B 的坐标为, 将抛物线向左平移 2 个单位长度后的顶点记为A. 若点P是x 轴上一动点, 则的最小值是( )A. 8B.C. 9D.2.如图, 抛物线与x轴正半轴交于点A, 与y 轴交于点B.(1)求直线AB的解析式及抛物线顶点坐标;(2)点P为第四象限内且在对称轴右侧抛物线上一动点, 过点 P作轴, 垂足为C,PC交AB于点D, 求的最大值, 并求出此时点P的坐标;(3)将抛物线向左平移n个单位长度得到抛物线, 若抛物线与直线AB 只有一个交点, 求n的值.3.已知:如图,二次函数与x轴交于点A,B,点A在点B左侧,交y 轴于点C,.（1）求抛物线的解析式;（2）在第一象限的抛物线上有一点D,连接AD,若,求点D坐标;（3）点P在第一象限的抛物线上,于点Q,求PQ的最大值?题型2 二次函数与图形面积问题4.如图，抛物线与x轴的两个交点坐标为、.(1)求抛物线的函数表达式；(2)矩形的顶点P，Q在x轴上(P，Q不与A，B重合)，另两个顶点M，N在抛物线上(如图).①当点P在什么位置时，矩形周长最大？求这个最大值并写出点P的坐标；②判断命题“当矩形周长最大时，其面积最大”的真假，并说明理由.5.在平面直角坐标系xOy 中, 已知抛物线经过,两点. P是抛物线上一点, 且在直线AB的上方.(1)请直接写出抛物线的解析式.(2)若面积是面积的 2 倍, 求点P的坐标.(3)如图, OP交AB于点C,交AB于点D. 记,,的面积分别为,,. 判断是否存在最大值. 若存在, 求出最大值; 若不存在, 请说明理由.6.已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，且，.(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线上位于直线BC上方的一点，连结PB、PC.①如图1，过点P作轴交BC于点D，交x轴于点E，连结OD.设的面积为，的面积为，若，求S的最大值；②如图2，已知，Q为平面内一点，若以点A、C、P、Q为顶点的四边形是以CP为边的平行四边形，求点Q的坐标.题型3 二次函数与图形判定问题7.如图，已知二次函数(b，c为常数)的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接BC.(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标；(2)若将该二次函数图象向下平移m()个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部(不包括的边界)，求m的取值范围；(3)点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与相似，请直接写出所有点P的坐标(直接写出结果，不必写解答过程).8.如图, 已知点, 以点D为顶点的抛物线经过点A, 且与直线交于点B,.(1)求抛物线的表达式和点D的坐标.(2)在对称轴上存在一点M, 使得, 求出点M 的坐标.(3)已知点P 为抛物线对称轴上一点, 点Q 为平面内一点, 是否存在以P,B,C,Q为顶点的四边形是菱形的情形? 若存在, 直接写出点P 的坐标; 若不存在, 请说明理由.9.如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q.(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在线段OB上运动时，直线l交直线BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；(3)点P在线段AB上运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.答案以及解析1.答案：D解析：，平移后抛物线的解析式为,点A的坐标为.如图, 作点A关于 x轴对称的点连接交x轴于点P则此时有最小值，最小值为的长，易知，，的最小值是.2.答案： (1)(2)(3)解析： (1)对于,令, 则, 解得，,.令, 则,.设直线AB的解析式为,则解得直线AB的解析式为.抛物线顶点坐标为.(2)如图, 过点D作轴于点E, 则.，,.设点P的坐标为,则点D的坐标为，.，又，当时, 的值最大, 最大值为,此时,此时点P 的坐标为.(3)设抛物线的解析式为. 令,整理, 得,3.答案：（1）（2）（3）解析:（1）当时,,解得,,,.,,,抛物线的解析式为;（2）如图,作于E,,,设,则,,,解得,,,;（3）如图,作轴,交BC于F,则,,,,,由,可知,直线BC的解析式为,设,则,,,时,PF的最大值为,的最大值为.4.答案：(1)(2)①Р在时，矩形的周长最大，最大值为10；②命题是假命题解析：(1)解：将、代入中得，解得，抛物线的函数表达式为，(2)解：抛物线的对称轴为，设点，则，①P，Q关于对称，，则，矩形的周长为，当时，l的值最大，最大值为10，即Р在时，矩形的周长最大，最大值为10.②假命题.由①可知，当矩形周长最大时，长为3，宽为2，面积为6，当为正方形时，，解得，点Р的坐标为，点Q的坐标为，，正方形的面积；故命题是假命题.5.答案： (1)(2) 或(3) 存在，解析：(1)将，分别代入, 得解得所以抛物线的解析式为.(2)设直线AB的解析式为,将，分别代入, 得解得所以直线AB的解析式为.如图 (1), 过点P 作轴, 垂足为M,PM交AB于点N, 过点B 作, 垂足为E,所以因为，,所以.因为的面积是面积的 2 倍,所以, 所以.设,则,所以, 即,解得，,所以点P的坐标为或.(3) 存在.因为, 所以，, 所以,所以.因为，,所以.设直线AB交y轴于点F, 则.如图 (2), 过点P作轴, 垂足为H,PH交 AB于点G.因为, 所以.因为, 所以,所以,所以.设.由 (2) 可得,所以.又,所以当时, 的值最大, 最大值为.6.答案：(1)(2)见解析①6②或解析：(1)由题意，得，，此抛物线的解析式为：.(2)①由可得：设直线BC的解析式为：，则，，直线BC的解析式为：，设，则，，，当时，S的最大值为6.②在OB上截取，则，，又，，，，，运用待定系数法法可求：直线CF的解析式为：，直线BP的解析式为：，，解得或4，，，轴，ACPQ是以CP为边构成平行四边形，，点Q在x轴上，或.7.答案：(1)二次函数解析式为；点M的坐标为(2)(3)，，，解析：(1)把点，点代入二次函数得，，解得，二次函数解析式为，配方得，点M的坐标为；(2)设直线AC解析式为，把点，代入得，，解得，直线AC的解析式为，如图所示，对称轴直线与两边分别交于点E、点F.把代入直线AC解析式解得，则点E坐标为，点F坐标为，，解得；(3)连接MC，作轴并延长交AC于点N，则点G坐标为，，，，把代入解得，则点N坐标为，，，，，由此可知，若点P在AC上，则，则点D与点C必为相似三角形对应点①若有，则有，，，，，，若点P在y轴右侧，作轴，，，，把代入，解得，；同理可得，若点P在y轴左侧，则把代入，解得，；②若有，则有，，，若点P在y轴右侧，把代入，解得；若点P在y轴左侧，把代入，解得；；.所有符合题意得点P坐标有4个，分别为，，，.8.答案： (1)(2)(3)存在, 点P的坐标为，, ，或解析： (1) 将代入, 得,将，分别代入, 得解得故抛物线的表达式为.抛物线的顶点D的坐标为.(2)易知抛物线的对称轴为直线, 且点A,C 关于对称轴对称.作直线AB, 交直线于点M, 则点M即为所求.令,解得,,故.设直线AB 的表达式为,将，分别代入, 得解得故直线AB 的表达式为,当时, , 故.(3)设,易得，①当时,该四边形是以BC为对角线的菱形, 则, 即, 解得,点P 的坐标为.②当时,该四边形是以PC 为对角线的菱形, 则, 即,解得, 故点P的坐标为或.③当时,该四边形是以PB为对角线的菱形, 则, 即, 解得,故点P 的坐标为或.综上可知, 点P的坐标为，,，或9.答案：(1)(2)当时，四边形CQMD是平行四边形(3)点Q的坐标为或解析：(1)设抛物线的解析式为，把点的坐标代入，得，解得抛物线的解析式为，即.(2)点D与点C关于x轴对称，点，，设直线BD的表达式为，把，代入得，，解得，直线BD的关系表达式为，设，，，，当时，四边形CQMD为平行四边形，，解得，(不合舍去)，故当时，四边形CQMD是平行四边形；(3)在中，，，，当以点B、M为顶点的三角形与相似时，分三种情况：①若时，，如图1所示，当时，，即，，，，，，解得，，(不合舍去)，，，，，点Q的坐标为；②若时，如图2所示，此时点P、Q与点A重合，，③由于点M在直线BD上，因此，这种情况不存在，综上所述，点Q的坐标为或.。
专题复习二次函数之线段问题
变式2：点P是抛物线对称轴 上的一个动点， 求PB-PC的最大值。
探究二：
设点Q是线段BC上方抛物线上的一动点， 作QD⊥x轴，交BC于点D，求线段DQ长度的最 大值．
变式：
接着上面问题，你能求出△BQC面积的最大 值吗 ？
小组合作
请再提出一个数学问题并能解答出来
跟踪练习
如图所示，已知点A（-1，0），B（3，0），C （0，t），且t＞0，tan∠BAC=3，抛物线经过A、 B、C三点，点P（2，m）是抛物线与直线l：
y=k（x+1）的一个交点． 必做（1）求抛物线和直线l的表达式;
（2）对于动点Q（1，n），求PQ+QB的最小 值和此时Q点的坐标； 选做
（3）若动点M在直线l上方的抛物线上运动， 求△AM课的收获！
学
不变应万变
研
数
学 ❖ 今天我们研究了什么?
知识点链接
一：线段长度的计算
1、分别求出数轴上两点间的距离： （1）表示数6的点与表示数2的点； （2）表示数2的点与表示数-5的点； （3）表示数-1的点与表示数-6的点． 请思考数轴上任意两点（A、B）间线段的长 度如何求？
2、推广到平面直角坐标系内，AB长度如何求？
二、常见线段最值问题 1、“将军饮马”模型PA+PB最小值问题
线 段
知
最
识
方 ❖ 我们得到了哪些成果?
值 问
法
题
， 取
❖ 在研究过程中有何体会?
， 展
其
其
精
学习梳理
本
髓
质
2、变式：当A、B位于直线l异侧时，求PA-PB 最大值问题
探究一（模型思想的应用）
如图，已知抛物线 与 轴交于点C，与 轴交于 A，B两点，点B的坐标为（3，0）。
二次函数中常见的几种综合题型
二次函数中常见的几种综合题型二次函数常见的几类综合题型一、求线段最大值及根据面积求点坐标问题1.已知抛物线 $y=x^2+bx+c$ 的图象与 $x$ 轴的一个交点为 $B(5,0)$，另一个交点为 $A$，且与 $y$ 轴交于点 $C(0,5)$。
1) 求直线 $BC$ 与抛物线的解析式；2) 若点 $M$ 是抛物线在 $x$ 轴下方图象上的一个动点，过点 $M$ 作 $MN\parallel y$ 轴交直线 $BC$ 于点 $N$，求$MN$ 的最大值；3) 在 (2) 的条件下，$MN$ 取得最大值时，若点 $P$ 是抛物线在 $x$ 轴下方图象上任意一点，以 $BC$ 为边作平行四边形 $CBPQ$，设平行四边形 $CBPQ$ 的面积为 $S_1$，$\triangle ABN$ 的面积为 $S_2$，且 $S_1=6S_2$，求点$P$ 的坐标。
2.对称轴为直线 $x=-1$ 的抛物线$y=ax^2+bx+c(a\neq0)$ 与 $x$ 轴相交于 $A$、$B$ 两点，其中点 $A$ 的坐标为 $(-3,0)$。
1) 求点 $B$ 的坐标；2) 已知 $a=1$，$C$ 为抛物线与 $y$ 轴的交点。
①若点 $P$ 在抛物线上，且 $S_{\trianglePOC}=4S_{\triangle BOC}$，求点 $P$ 的坐标；②设点 $Q$ 是线段 $AC$ 上的动点，作 $QD\perp x$ 轴交抛物线于点 $D$，求线段 $QD$ 长度的最大值。
二、求三角形周长及面积的最值问题3.已知抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 经过 $A(-3,a-b+c)$，$B(1,a+b+c)$，$C(c,a+3c-b)$ 三点，其顶点为 $D$，对称轴是直线 $l$，$l$ 与 $x$ 轴交于点 $H$。
1) 求该抛物线的解析式；2) 若点 $P$ 是该抛物线对称轴 $l$ 上的一个动点，求$\triangle PBC$ 周长的最小值；3) 如图 (2)，若 $E$ 是线段 $AD$ 上的一个动点（$E$ 与$A$、$D$ 不重合），过点 $E$ 作平行于 $y$ 轴的直线交抛物线于点 $F$，交 $x$ 轴于点 $G$，设点 $E$ 的横坐标为 $m$，$\triangle ADF$ 的面积为 $S$。
二次函数综合问题专题复习之线段问题课件
2
2
当x=0时，y=-2
l
y
(2)设点E为x轴上一点,且AE=CE ,求点E的坐标;
2
2
x=
3
2
3
∴点E的坐标为（ ,0）
2
1
5
∴ 函数解析式为y = - x + x - 2.
2
2
2
二次函数综合题•类型一 线段问题
02
两点在坐标轴上或平
行于坐标轴的直线上
两点不在坐标轴上
y
y
M
y1-y2
N
若不存在，请说明理由；
②当△PDC与△COA相似时，求点P的坐标．
01
年份
2018
2017
2015
历年考点再现
乌鲁木齐卷
乌鲁木齐卷
自治区卷
题号
24
24
23
分值
12-4
12-4
13 -4
考点
二次函数综合题之线段问题
1.一条线段的最值问题.
2.两条线段之和的最值问题.
3.三条线段之和（三角形周长）的最值问题.
B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点B重合）
过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E．
①当PE=2ED时，求P点坐标；
②是否存在点P使△BEC为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；
若不存在，请说明理由．
01
1
2
D,对称轴为直线l.
AE= 4-x
∵
解：设E（x,0）
∴ AE= 4-x = x +4
二次函数—动点产生的线段最值问题典型例题
二次函数——动点产生的线段最值问题【例1】如图，在直角坐标系中，点A,B,C 的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过A,B,C 三点的抛物线的对称轴为直线l ．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）点E 是抛物线的对称轴上的一个动点，求当AE+CE 最小时点E 的坐标；（3）点P 是x 轴上的一个动点，求当PD+PC 最小时点P 的坐标；（4）点Q 是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q 在什么位置时有QB QC-最大？并求出最大值．解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax 2+bx+c ，∵抛物线经过A 、B 、C 三点， ∴09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为：y=-x 2+2x+3．∵y=-x 2+2x+3= 2(1)4x --+， ∴该抛物线的对称轴为直线x=1，顶点D 的坐标为（1，4）．（2）∵点A 关于抛物线的对称轴的对称点为B ，则AE=BE ，要使AE+CE 最小，即BE+CE 最小,则B 、E 、C 三点共线如图，连接BC 交抛物线的对称轴于点E ，解法一：设直线BC 的解析式为y=kx+n ，则303k n n +=⎧⎨=⎩,解得13k n =-⎧⎨=⎩∴3y x =-+．当x=1时，3132x -+=-+=，∴点E 的坐标为（1，2）解法二：设抛物线的对称轴交x 轴于点F ．∵E F ∥y 轴，∴∠BEF =∠BCO ，∠BFE =∠BOC∴△BFE ∽△BOC ∴BF EF BO CO=， ∴3133EF -=, ∴2EF = ∴点E 的坐标为（1，2）（3）作出点C 关于x 轴的对称点为C′，则C′（0，-3），OC′=3，如图，连接C′D 交x 轴于点P ，∵点C 关于x 轴的对称点为C′，则PC=P C′，F E要使PD+PC 最小，即PD+P C′最小,则D 、P 、C′三点共线设直线C′D 的解析式为y=kx+n ，则43k n n +=⎧⎨=-⎩,解得73k n =⎧⎨=⎩∴73y x =-．当y=0时，073x =-，∴37x =∴点P 的坐标为（37，0） （4）∵点A 关于抛物线的对称轴的对称点为B ，则QB=QA ， 要使QB QC -最大，即QA QC -最大,则A 、C 、Q 三点共线如图，连接AC 交抛物线的对称轴于点Q ，解法一：设直线AC 的解析式为y=kx+n ，则03k n n -+=⎧⎨=⎩,解得33k n =⎧⎨=⎩∴33y x =+．当x=1时，333136x +=⨯+=，∴点Q 的坐标为（1，6）解法二：设抛物线的对称轴交x 轴于点F ．∵QF ∥y 轴，∴∠ACO =∠AQF ，∠AOC =∠AFQ∴△AOC ∽△AFQ ∴AO CO AF QF=， ∴1311QF=+, ∴6QF = ∴点Q 的坐标为（1，6）∴QB QC QA QC AC -=-===即当点Q 的坐标为（1，6）时，QB QC-【作业1】（2011菏泽）如图，抛物线y=21x 2+bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （-1，0）． （1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；（3）点M （m ，0）是x 轴上的一个动点，当MC+MD 的值最小时，求m 的值．解：（1）∵点A （﹣1，0）在抛物线y=21x 2+bx ﹣2上， ∴21×（﹣1 ）2+b×（﹣1）﹣2=0，解得b=-23 ∴抛物线的解析式为y=21x 2﹣23x ﹣2． QF -- C ′Py=21x 2﹣23x ﹣2=21（ x 2﹣3x ﹣4 ）=21（x ﹣23）2﹣825， ∴顶点D 的坐标为 （23，﹣825）． （2）当x=0时y=﹣2，∴C（0，﹣2），OC=2．当y=0时，21x 2﹣23x ﹣2=0，∴x 1=﹣1，x 2=4，∴B （4，0） ∴OA=1，OB=4，AB=5． ∵AB 2=25，AC 2=OA 2+OC 2=5，BC 2=OC 2+OB 2=20，∴AC 2+BC 2=AB 2．∴△ABC 是直角三角形．（3）作出点C 关于x 轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D 交x 轴于点M ，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD 的值最小．解法一：设抛物线的对称轴交x 轴于点E ．∵ED∥y 轴，∴∠OC′M=∠EDM，∠C′OM=∠DEM∴△C′OM∽△DEM． ∴ED C O EM OM '=，∴825223=-m m , ∴m=4124 解法二：设直线C′D 的解析式为y=kx+n ， 则⎪⎩⎪⎨⎧-=+=825232n k n ,解得n=2，1241-=k ∴21241+-=x y ． ∴当y=0时，-4124,4124,021241=∴==+m x x 【作业2】2011四川广安）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是直角梯形，BC ∥AD ，∠BAD ＝ 90°，BC 与y 轴相交于点M ，且M 是BC 的中点，A 、B 、D 三点的坐标分别是A （－1，0），B ( －1，2)，D ( 3，0)，连接DM ，并把线段DM 沿DA 方向平移到ON ，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点D 、M 、N ．（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线上是否存在点P ．使得PA ＝PC ．若存在，求出点P 的坐标；若不存在．请说明理由．（3）设抛物线与x 轴的另—个交点为E ．点Q 是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q 在什么位置时有QE QC -最大？并求出最大值．解：（1）由题意可得M （0，2），N （－3，2）， ∴ 2,293,093.c a b c a b c =⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩ 解得：1,91,32.a b c ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩E∴211293y x x =--+（2）∵PA ＝PC ， ∴P 为AC 的垂直平分线上，依题意，AC 的垂直平分线经过（－1，2）、（1，0），其所在的直线为y ＝－x ＋1． 根据题意可列方程组21,11 2.93y x y x x =-+⎧⎪⎨=--+⎪⎩解得：1132x y ⎧=+⎪⎨=--⎪⎩2232x y ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩∴P 1（32+--）、P 2（32--+）．（3）如图所示，延长DC 交抛物线的对称轴于点Q ，根据题意可知此时点Q 满足条件．由题意可知C （1，2），D （3，0），可求得CD 所在的直线的解析式为3y x =-+． 抛物线211293y x x =--+的对称轴为直线 1.5x =-． ∵点Q 在直线x ＝－1.5上，又在直线3y x =-+上． ∴Q （－1 .5，4.5），QE ＝QD ． ∴QE QC QD QC CD -=-===．即当点Q 的坐标为（－1.5，4.5）时，QE QC -有最大值，最大值为。
二次函数—动点产生的线段最值问题典型例题
二次函数——动点产生的线段最值问题【例1】如图，在直角坐标系中，点A,B,C 的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过A,B,C 三点的抛物线的对称轴为直线l ． （1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）点E 是抛物线的对称轴上的一个动点，求当AE+CE 最小时点E 的坐标； （3）点P 是x 轴上的一个动点，求当PD+PC 最小时点P 的坐标；（4）点Q 是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q 在什么位置时有QB QC -最大？并求出最大值．解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax 2+bx+c ， ∵抛物线经过A 、B 、C 三点，∴09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为：y=-x 2+2x+3． ∵y=-x 2+2x+3= 2(1)4x --+，∴该抛物线的对称轴为直线x=1，顶点D 的坐标为（1，4）． （2）∵点A 关于抛物线的对称轴的对称点为B ，则AE=BE ， 要使AE+CE 最小，即BE+CE 最小,则B 、E 、C 三点共线 如图，连接BC 交抛物线的对称轴于点E ， 解法一：设直线BC 的解析式为y=kx+n ，则303k n n +=⎧⎨=⎩,解得13k n =-⎧⎨=⎩∴3y x =-+．当x=1时，3132x -+=-+=，∴点E 的坐标为（1，2） 解法二：设抛物线的对称轴交x 轴于点F ． ∵E F ∥y 轴，∴∠BEF =∠BCO ，∠BFE =∠BOC ∴△BFE ∽△BOC∴BF EFBO CO =， ∴3133EF-=, ∴2EF =∴点E 的坐标为（1，2）（3）作出点C 关于x 轴的对称点为C′，则C′（0，-3），OC′=3，FE如图，连接C′D 交x 轴于点P ，∵点C 关于x 轴的对称点为C′，则PC=P C′，要使PD+PC 最小，即PD+P C′最小,则D 、P 、C′三点共线 设直线C′D 的解析式为y=kx+n ， 则43k n n +=⎧⎨=-⎩,解得73k n =⎧⎨=⎩∴73y x =-．当y=0时，073x =-，∴37x = ∴点P 的坐标为（37，0） （4）∵点A 关于抛物线的对称轴的对称点为B ，则QB=QA ， 要使QB QC-最大，即QA QC-最大,则A 、C 、Q 三点共线如图，连接AC 交抛物线的对称轴于点Q ， 解法一：设直线AC 的解析式为y=kx+n ，则03k n n -+=⎧⎨=⎩,解得33k n =⎧⎨=⎩∴33y x =+．当x=1时，333136x +=⨯+=， ∴点Q 的坐标为（1，6）解法二：设抛物线的对称轴交x 轴于点F ． ∵QF ∥y 轴，∴∠ACO =∠AQF ，∠AOC =∠AFQ ∴△AOC ∽△AFQ∴AO CO AF QF =， ∴1311QF =+, ∴6QF =∴点Q 的坐标为（1，6）∴QB QCQA QCAC -=-===即当点Q 的坐标为（1，6）时，QB QC -QF- - C ′P【作业1】（2011）如图，抛物线y=21x 2+bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （-1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；（3）点M （m ，0）是x 轴上的一个动点，当MC+MD 的值最小时，求m 的值．解：（1）∵点A （﹣1，0）在抛物线y=21x 2+bx ﹣2上， ∴21×（﹣1 ）2+b×（﹣1）﹣2=0，解得b=-23 ∴抛物线的解析式为y=21x 2﹣23x ﹣2．y=21x 2﹣23x ﹣2=21（ x 2﹣3x ﹣4 ）=21（x ﹣23）2﹣825， ∴顶点D 的坐标为 （23，﹣825）．（2）当x=0时y=﹣2，∴C（0，﹣2），OC=2． 当y=0时，21x 2﹣23x ﹣2=0，∴x 1=﹣1，x 2=4，∴B （4，0） ∴OA=1，OB=4，AB=5．∵AB 2=25，AC 2=OA 2+OC 2=5，BC 2=OC 2+OB 2=20， ∴AC 2+BC 2=AB 2．∴△ABC 是直角三角形．（3）作出点C 关于x 轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D 交x 轴于点M ，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD 的值最小． 解法一：设抛物线的对称轴交x 轴于点E ． ∵ED∥y 轴，∴∠OC′M=∠EDM，∠C′OM=∠DEM ∴△C′OM∽△DEM． ∴EDC O EM OM '=，∴825223=-m m , ∴m=4124解法二：设直线C′D 的解析式为y=kx+n ，则⎪⎩⎪⎨⎧-=+=825232n k n ,解得n=2，1241-=k ∴21241+-=x y ． ∴当y=0时，-4124,4124,021241=∴==+m x x E【作业2】2011）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD ＝90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（－1，0），B( －1，2)，D( 3，0)，连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON，若抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点D 、M 、N ． （1）求抛物线的解析式．（2）抛物线上是否存在点P ．使得PA ＝PC ．若存在，求出点P 的坐标；若不存在．请说明理由． （3）设抛物线与x 轴的另—个交点为E ．点Q 是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q 在什么位置时有QE QC -最大？并求出最大值． 解：（1）由题意可得M （0，2），N （－3，2），∴ 2,293,093.c a b c a b c =⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩ 解得：1,91,32.a b c ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩∴211293y x x =--+（2）∵PA ＝PC ， ∴P 为AC 的垂直平分线上，依题意，AC 的垂直平分线经过（－1，2）、（1，0），其所在的直线为y ＝－x ＋1．根据题意可列方程组21,112.93y x y x x =-+⎧⎪⎨=--+⎪⎩解得：1132x y ⎧=+⎪⎨=--⎪⎩2232x y ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩∴P 1（32+--）、P 2（32--+）．（3）如图所示，延长DC 交抛物线的对称轴于点Q ，根据题意可知此时点Q 满足条件． 由题意可知C （1，2），D （3，0），可求得CD 所在的直线的解析式为3y x =-+．抛物线211293y x x =--+的对称轴为直线 1.5x =-． ∵点Q 在直线x ＝－1.5上，又在直线3y x =-+上．∴Q （－1 .5，4.5），QE ＝QD ． ∴QE QC QD QC CD -=-===．即当点Q 的坐标为（－1.5，4.5）时，QE QC -有最大值， 最大值为。
2021届中考数学专题复习训练——二次函数 专题4二次函数综合之线段最值,成比
类型一：线段最值问题【经典例题1改编】抛物线y=-x 2+bx +c 与直线y=-x +5一个交点A （2，m ），另一个交点B 在x 轴上，点P 是线段AB 上异于A 、B 的一个动点，过点P 做x 轴的垂线，交抛物线于点E ；（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的点P ，使线段PE 长度最大？若存在求出最大值及此时点P 的坐标，若不存在说明理由；（3）在y 轴右侧，当EP 平行于y 轴时，设点E 的横坐标为m ，当点E 到y 轴的距离等于线段EP 的长时，求m 的值；【解析】（1）A(2，-3)，抛物线解析式y=-x 2+6x -5（2）设点P 的横坐标为m ，E(m ，-m 2+6m -5)，P(m ，-m+5)∴EP=y E -y P=(-m 2+6m -5)-(-m +5)=-m 2+7m -10=-(m -27)2+49 当m=27时，EP 长度有最大值49，此时，P(27，23) （3）根据题意分两种情况∴当0<x <2或x >5时，EP=m 2-7m +10，所以m=m 2-7m +10，即m 2-8m +10=0，解得m1=4+6，m2=4-6；∴当2<x<5时，EP=-m2+7m-10，所以m=-m2+7m-10，即m2-6m+10=0，此方程无解。
综上，m1=4+6，m2=4-6【经典例题2】如图所示，抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)与x轴交于A(-3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，直线y= -x与抛物线交于E，F两点.(1)求抛物线的解析式；(2)P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH∴EF于点H，求PH的最大值；【解析】(1)抛物线的表达式为：y=a(x+3)(x−1)=a(x2+2x−3)，即−3a=−3，解得：a=1，故抛物线的表达式为：y=x2+2x−3；(2)过点P作PM∴y轴交直线EF于点M，设点P(x ，x 2+2x −3)、点M(x ，−x )，则PH=22PM=22(−x −x 2−2x +3)， 当x =−23时，PH 的最大值为：8221；【经典例题3】已知抛物线l 1:y 1=ax 2−2的顶点为P ，交x 轴于A. B 两点(A 点在B 点左侧)，且sin∴ABP=55. (1)求抛物线l 1的函数解析式；(2)过点A 的直线交抛物线于点C ，交y 轴于点D ，若∴ABC 的面积被y 轴分为1:4两个部分，求直线AC 的解析式；【解析】（1）当x =0时，y 1=ax 2-2=-2∴顶点P （0，-2），OP=2∴∴BOP=90° ∴sin∴ABP=BP OP =55 ∴BP=5OP=25 ∴OB=442022=-=-OP BP∴B （4，0），代入抛物线l 1得：16a -2=0，解得：a =81 ∴抛物线l 1的函数解析式为y 1=81x 2-2 （2）∴知抛物线l 1交x 轴于A 、B 两点∴A 、B 关于y 轴对称，即A （-4，0）∴AB=8设直线AC 解析式：y=kx +b点A 代入得：-4k +b =0∴b =4k∴直线AC ：y=kx +4k ，D （0，4k ）∴S ∴AOD =S ∴BOD =21×4×|4k |=8|k | ∴81x 2-2=kx +4k 整理得：x 2-8kx -32k -16=0∴x 1+x 2=8k∴x 1=-4∴x C =x 2=8k +4，y C =k （8k +4）+4k =8k 2+8k∴C （8k +4，8k 2+8k ）∴S ∴ABC =21AB•|y C |=32|k 2+k | ∴若k >0，则S ∴AOD ：S 四边形OBCD =1：4∴S ∴AOD =51S ∴ABC ∴8k =51×32（k 2+k ） 解得：k 1=0（舍去），k 2=41 ∴直线AC 解析式为y=41x +1 ∴若k <0，则S ∴AOD =S ∴BOD =-8k ，S ∴ABC =-32（k 2+k ）∴-8k =51×[-32（k 2+k ）] 解得：k 1=0（舍去），k 2=41（舍去） 综上所述，直线AC 的解析式为y=41x +1．【经典例题4】如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x +4与抛物线y=21-x 2+bx +c (b ，c 是常数)交于A. B 两点，点A 在x 轴上，点B 在y 轴上。
二次函数背景下的几何问题线段最值问题公开课优秀教案
课题：二次函数背景下的几何问题------线段最值问题公开课教学设计1．教材分析二次函数是一次函数和反比例函数的继续和发展，它位居初中阶段三大函数中的首位，是初中数学学习的重点与难点，也为以后更高层次函数的学习奠定了基础.以二次函数为背景的试题常受中考命题者的青睐，能够全面考查用数析形的技能与计算能力，这也是学生将来学习高中数学知识所必备的.命题一般不会用以纯函数的形式出现，而是结合几何图形或点的运动使几何图形发生变化，从而让代数与几何有机结合起来.随着对《课程标准》基本理念被更为广泛和更为深入地认识，对“合情推理”与“数学活动过程”的考查也呈增强之势．而二次函数背景下的线段最值问题近年来屡屡出现在各地的中考试卷中，这类问题往往是利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）及二次函数的性质求最值.这类问题大多是“将军饮马”模型的变式应用，试题通过考查点在直线上运动时与它相关线段的最值情况，不但能了解学生综合运用数学知识解题能力，而且还能通过让学生对“动”与“定”之间的关系的思考，深入了解学生在图形的运动变化中探究几何元素之间位置关系和数量关系的能力与识别能力，体现新课程对学生几何探究活动过程、合情推理能力的要求.2.学情分析本节课是基于学生完成第一轮知识板块复习所进行的提高数学解题技能的专项复习，虽然学生在七年级时已经学习过最短路径问题，但很多学生对于从复杂图形中分离出基本图形仍有困难，通过本节课的学习，目的不仅是培养学生能正确、快速地分离基本图形，找到解决问题的突破口，而且通过几何模型、函数模型的逐渐深入地学习，学生能进一步体会到解决线段最值问题的实质.学生观察，操作，猜想能力较强，但演绎推理，归纳，运用数学意识的思想比较薄弱，自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步引导.学生具有一定的探究精神和合作意识，能在一定的亲身经历和体验中获取一定的数学新知识，但在数学的说理上还不规范，集合演绎推理能力有待加强.3．教学目标分析1.知识与技能目标：（1）通过复习进一步落实用待定系数法求二次函数的解析式，掌握二次函数的图像和性质，会确定抛物线的顶点坐标、对称轴及最值等.（2）熟练掌握基本事实——两点之间线段最短、垂线段最短及三角形的三边关系，根据问题建构几何模型，解决因动点产生的二次函数背景下的线段最值问题.（3）能利用二次函数的图像和性质，根据问题建构函数模型，解决因动点产生的二次函数背景下的线段最值问题.2.过程与方法目标：（1）在探索用几何模型求线段最值问题中挖掘图形本质，最基本的原理、法则，实现多题归一.（2）经历探究用函数模型求线段最值问题，体会二次函数的应用价值和二次函数模型对解决最值问题的优越性.（3）让学生经历数学活动过程，并从中体会及感悟化归与转化、数形结合、函数与方程、数学建模等数学思想方法的具体体现和运用.3.情感、态度与价值观目标：（1）通过观察、分析、对比等方法，培养并提高学生的合情推理能力、分析问题、解决问题的能力.（2）由简单题入手逐渐提升，从而消除学生的畏难情绪，让学生有兴趣和积极性参与数学活动，从中体会及感悟科学的思想方法所蕴涵的意义和作用，并加强学生之间的合作交流，培养学生的问题意识，提高应用数学的能力.4.教学重难点重点：能运用几何模型和函数模型解决因动点产生的二次函数背景下的线段最值问题.难点：提高运用函数知识与几何知识解决数学综合题的能力，掌握模式识别的解题策略.5.教学策略（1）探究引导策略：探讨式学习；教师启发引导.（2）自主合作探究式学习策略：互相讨论、交流、合作的课堂氛围，使学生真正成为教学的主体.（3）问题串设计策略：运用有序的问题串有层次地灵活呈现问题，组织教学内容，提出有启发性的引申问题，激发学生的学习兴趣，积极地参与到探究规律的学习当中.（4）鼓励、激励策略：积极肯定学生的学习成果，及时评价学生的课堂表现，让学生体会成功的喜悦.6.设计理念：从近年的中考数学题型来看，经常考查二次函数背景下的线段最值问题，而这部分题目在中考分析中，失分率很高，应该引起我们的重视，线段最值问题在教课书虽然没有专题讲解，但却给出了它的模型.学生对线段最值模型的陌生由于当时的学生理解水平有限等条件下，教师在当时的教学中对教材例习题的拓展延伸程度相对低，因此在初三的综合复习中对此进行专题复习是很有必要的.所以我设计本节课的思路是想通过对此类题进行深层次的挖掘、拓展、再创造，利用例题、习题的潜在的价值，改变学生的学习方式由“重结论轻过程”向“过程与结果”并重的方向发展，使学生挖掘隐含问题的本质属性，从而达到“做一题，会一类，通一片”的解题境界.希望能通过此复习达到预想的目标.7.教学准备:（1）教学课件,导学练，教案（2）课前让学生分组合作交流,提前完成导学练,并让学生在小组内探讨如何充当小老师讲解导学练上的练习题.8.教学过程:一、导入课题：二次函数背景下的线段最值问题是历年中考压轴题的一个典型的考点，这类问题在近年中考试题中频繁现身，如2015年漳州第25题、2016年漳州第24题，在中考中，一些考生由于没有掌握此类试题的解题方法，在解题时往往不知所措，导致失分率很高.因此，今天我们将一起来学习如何解答此类问题.二、自主探究：探究一：1.活动：播放视频短片，让学生回顾下数学史上著名的“将军饮马”问题.设计意图：通过回顾“将军饮马“问题，烘托问题情境，利用视频短片吸引学生的注意力，在历史经典中唤起学生的兴趣，激发学生探究的欲望，定位了问题的取向，把学生引领到研究的航道上.2.教师活动：板书几何模型——线段和最小值（“将军饮马“问题）模型一：如图1，点P在直线l上运动，找出一点P使PA+PB取最小值.思路分析：特征：定点A、B（同侧）动点P（定直线）基本解法：轴对称法目标：和最小基本原理：两点之间线段最短操作：对称到异侧基本思想：转化（化同侧为异侧，化折为直）设计意图:为了落实好下面的模型应用，把知识背景归纳成一般化的数学模型.将归纳总结基本模型作为先行组织者，在温故中实现引新，为展开模型应用提供知识、方法及经验的支持.以此作为模型我们可以解决下列求线段和最小值的问题.3.学生活动：模型应用已知：如图，A （-1,0），B （3,0），C （0,3），抛物线经过点A 、B 、C ，抛物线的顶点为D ．⑴求解析式和抛物线的顶点D ；(2)点P 在对称轴上，PA+PC 取最小值时，求点P 的坐标；教学活动:请一位学生上台讲题,将他的解答过程通过投影仪展示出来.教师给予点评,并板演解答过程,规范书写格式.分析：（1）可设交点式或一般式，将点代入求解，求顶点坐标可用公式法或配方法；(2) 利用模型找出点P ，再求直线BC 的解析式，最后将P 点横坐标代入直线BC 的解析 式求它的纵坐标.板书规范写出解题过程：解：如图，连接BC A 、B 两点关于对称轴对称∴线段BC 与对称轴1=x 的交点即为使PA+PC 最小的点PPA=PB ∴PA+PC=PB+PC=BC设直线BC 的解析式为)0(≠+=k b kx y ，将B （3，0），C （0，3）代入，得：⎩⎨⎧==+303b b k 解得：⎩⎨⎧=-=31b k ∴直线BC 的解析式为3+-=x y 当1=x 时，231=+-=y此时，点P （1，2）能够使得PA+PC 的值最小.变式：点P 在对称轴上，△PAC 周长最小，求点P 的坐标.分析:要使△PAC 的周长最小，已知AC 为定值，只需求一点P 使得PA ＋PC 最小即可． 解题步骤归纳：1）找对称点 2）连线并求直线解析式 3）求点坐标设计意图：（1）二次函数类的压轴题第一问通常为求点坐标、解析式，本小问要求学生能够熟练地掌握待定系数法求函数解析式或利用函数解析式求点坐标，属于送分题.通过第一小问的解答增进学生解压轴题的信心.这个问题也是为下面的问题作铺垫的，这节课所要研究的一系列问题都是在这个二次函数背景下的展开的.（2）在具体的实例中学习把知识迁移应用并体会“将军饮马”问题中蕴含的数学本质：利用对称思想把复杂的问题简单化，它与抛物线（轴对称图形）相结合，在几何求最值问题中展现了特殊的魅力.变式与（2）属于等价问题，变式的设置对提高学生利用数形结合思想以及转化策略进行解题的能力起到了很好的作用.刚才我们研究了线段和的最值问题可以用几何模型解决，那么线段差的最值问题是否也有对应的几何模型呢？活动内容：1.问题:在一条直线l上，找一点P，使|P A－PB|的值最大师生合作交流:这时还需要作对称点吗？（不需要）那应该怎么解决这个问题？（先在直线l上任意取一点P’，连接AP’,BP’,AB,得到一个三角形，AP’,BP’是这个三角形的两条边，就要满足P’A-P’B＜AB，那么现在我们只要看P’A-P’B有没有可能等于AB，若能等于AB，AB就是这两条线段之差的最大值了？（有可能，当P、B、A三点共线时）若A、B两点异侧，你还能在一条直线l上，找一点P，使|P A－PB|的差最大吗？(能,利用轴对称化异侧为同侧)2.教师活动：板书几何模型——线段差最大值模型二：思路分析：特征：定点A、B（同侧）动点P（定直线）目标：差最大操作：连接AB并延长交l于P基本解法：使A、B、P三点共线基本原理：三角形两边之差小于第三边基本思想：转化（化折为直）设计意图：经历画图-观察-说理等活动，得出作图原理，将该问题归类建模，熟悉并理解该几何模型,培养学生的逻辑思维能力,为下面该模型的应用打下坚实基础..3.学生活动:模型应用最大，求点P的坐标；(3)点P在对称轴上，PA PC最小，求点P的坐标；变式： (4)点P在对称轴上，PA PC(5)点P在线段BC上，P A取最小值时，求点P的坐标；分析:（3）第一步，应用模型找到点P的位置；第二步，因为P点在直线AC上，所以求出直线AC的解析式；第三步，P点又在对称轴上，其横坐标已知，代入直线AC的解析式求其纵坐标.（4）第一步，找点P.要使|PA－PC|最小，只要PA=PC即可，由线段垂直平分线的逆定理可知：点P在线段AC的垂直平分线上，因此线段AC垂直平分线与对称轴的交点即为所求的点P.第二步，解析法或几何法求点P的坐标.（5）第一步，找点P，利用直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.第二步，解析法或几何法求点P的坐标.教师活动：板书几何模型——垂线段最短模型三：思路分析：特征：定点A 动点P（定直线）目标：线段AP值最小操作：过A作A P⊥l于P基本原理：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短设计意图：通过交流讨论、思维碰撞，得出作图原理，将该问题归类建模，熟悉并理解数学模型.强化模型的应用，通过变式训练来提高学生举一反三、触类旁通的能力.【链接中考】1．（2015•漳州）如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，请解决下列问题．（1）填空：点C的坐标为（，），点D的坐标为（，）；（2）设点P的坐标为（a，0），当|PD﹣PC|最大时，求α的值并在图中标出点P的位置；设计意图：中考真题体验，使学生从解题过程中获取成功的喜悦，提升学习数学的信心.探究二：上面的第（5）个问题属单条线段最值问题，我们是从“形”的角度构造“垂线段最短”这种几何模型求解的，那么单条线段最值问题我们能不能从“数”的角度进行分析来解决问题呢？（建立函数模型）(6)点P 在第一象限的抛物线上，P Q ⊥x 轴交BC 于Q ，求PQ 的最大值；思路分析：第一步，设在抛物线中动点P 的横坐标为x,则该点纵坐标即可用含x 的式子表示；第二步，因为P Q ⊥x 轴交BC 于Q ，所以Q 点的横坐标也为x,又因为Q 在BC 上，因此求出直线BC 的解析式，即可用含x 的式子表示Q 点的纵坐标，接着就能确定PQ 的表达式；第三步，用配方法或公式法求最值，注意自变量的取值范围.活动：通过题目思路分析后，让学生自己纠正原来导学练上的问题，教师巡查，及时帮助学习困难的同学解决问题或者借助小组合作交流学习的方式让已经掌握的学生帮助他们.最后通过板书或多媒体展示的方式规范解题过程.解:设P ()()3032,2<<++-a a a a ,直线BC 的解析式为)0(≠+=k b kx y , 将B （3，0），C （0，3）代入，得：⎩⎨⎧==+303b b k 解得：⎩⎨⎧=-=31b k∴直线BC 的解析式为3+-=x y Q BC x PQ 于轴交⊥()3,+-∴a a Q ()()49)23(3332222+--=+-=+--++-=∴a a a a a a PQ ∴当23=a 时，()49max =PQ 变式：点P 在第一象限的抛物线上，求出△BCP 面积的这个最大值及此时P 点的坐标. 分析：如图，可将△BCP 分割为两个小三角形，两个小三角形的底都为PQ ，高分别为21,h h而21h h +始终等于OB 的长，那么△BCP 的面积就等于OB PQ •21，这实际上就是我们之前学习过的求三角形面积的的新方法水平宽铅垂高⨯21，此时PQ 为铅垂高，OB 为水平宽.而OB 长为定值，那么要求△BCP 的最大值实际上就是求线段PQ 的最大值.设计意图:问题（6）设置对培养学生会用不同角度分析问题解决问题的能力起到了很好的作用，求△BCP 面积的最大值是用函数模型求线段最值的变式应用，利用问题的潜在的价值，使学生挖掘隐含问题的本质属性，对学生的思维能力提出了较高的要求.【链接中考】(2016•漳州)如图，抛物线c bx x y ++=2与x 轴交于点A 和点B （3，0），与y 轴交于点C （0，3）.（1）求抛物线的解析式；（2）若点M 是抛物线在x 轴下方上的动点，过点M 作MN//y 轴交直线BC 于点N ，求线段MN 的最大值；设计意图：及时练习巩固，体现学以致用的理念，消除学生学无所用的思想顾虑，有效地促进学生对函数模型法的理解与掌握.三、归纳小结，整理反思问题：①本节课你学习了哪两种方法求线段最值问题？②对于线段最值问题，你认为还可以在哪些图形背景下研究呢？③本节课涉及到的数学思想方法有哪些？师生共议：①几何模型法：先确定几何模型，再利用模型找出点，最后求点坐标，函数模型法：把线段长用二次函数关系式表示出来再求最值（要注意自变量的取值范围）；②还可以在直线、角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆等轴对称图形背景下来研究；③化归与转化、数形结合、函数与方程、数学建模思想. 数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段.用模型分析实际事物，锻炼我们的创新能力，建立的模型是分析事物的很好的方法.设计意图:对整个课堂的学习过程进行反思，能够促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展．这是一次知识与情感的交流，浓缩知识要点，突出内容本质，渗透思想、方法．培养学生自我反馈、自主发展的意识．四、课后反馈作业：A组：《连接中考》P224第6题B组：《连接中考》P226第7题C组：《连接中考》P228第5题设计意图:作业分三类，让不同的学生在数学上得到不同的发展.五、板书设计1.“将军饮马”视频引入，学生很感兴趣。
二次函数综合性问题——线段的最值 教学设计
二次函数综合性问题——线段的最值教学设计重庆一中唐小力一、教材分析本节课是在学习了二次函数的概念、图像及性质和应用后，对二次函数综合性问题的中考专题复习课。
主要内容包括：利用二次函数的相关知识解决重庆中考压轴题26题的第二问双最值中的第一个最值——线段的最值，争取让学生逐个解决问题，从而得分。
本节课的设计是从求水平或者竖直的线段的最值入手，逐渐变化为求倾斜方向的线段最值，再转化为求三角形的最值，让学生体会在解决问题的过程中层层递进，获取知识的快乐，使学生成为课堂的主人。
按照新课程理念，结合本节课的具体内容，本节课的教学目标确定为相互关联的三个层次：1、知识与技能通过对二次函数综合性问题——线段的最值问题的探究，让学生掌握利用设点的坐标的方法解决线段的最值问题以及将倾斜线段转化的方法。
2、过程与方法通过层层递进，由浅入深的七个例子的学习，逐步提高分析问题、解决问题的能力，培养学生转化的思想。
3、情感态度价值观（1）使学生经历克服困难的活动，在数学学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的信心。
（2）通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验和获得新的思想知识的方法，从而体会熟悉活动中多动脑筋、独立思考、合作交流的重要性。
本节课的教学重点是 “探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决线段最值的方法”，教学难点是“如何将倾斜方向的线段转化为水平或竖直方向的线段，从而解决最值问题”。
四、教学过程（一）利用例题，复习引入例:如图，已知二次函数223y x x =--+的图象交x 轴于A 、B 两点（A 在B 左边）交y 轴 于点C .（1）求A 、B 、C 三点的坐标和直线AC 的解析式.设计意图：这是重庆中考26题的第一小问，利用二次函数解析式求解点的坐标， 主要是提醒学生注意书写格式，为中考得分打下坚实的基础.（2）P 是直线AC 上方抛物线上一动点(不与A,C 重合)过P 作PQ //y 轴交直线AC 于点Q ，求线段PQ 的最大值.分析：因为PQ //y 轴，所以点P 与点Q 的横坐标相同，从而设出点P ，点Q 的坐标，PQ 的长度即为P ，Q 两点的纵坐标之差的绝对值，从而转化为求二次函数的最值问题.（3）P 是直线AC 上方抛物线上一动点(不与A,C 重合)过P 作PM //x 轴交直线AC 于点M ，求线段PM 的最大值.分析：由（2）问的竖直方向的线段转化为水平方向的线段，线段PM 的长度就转化为横坐标之差的绝对值.总结：以上的线段是水平和竖直方向的线段，均可通过设点坐标的方法，找到两点间的联系，从而化为二次函数的最值问题.问：如果是倾斜方向的线段呢？请看以下几个例题.（4）P 是直线AC 上方抛物线上一动点(不与A,C 重合),求点P 到直线AC 距离PM 的最大值.分析：过点P 作PQ ⊥x 轴交AC 于点Q ，则△PQM 为等腰直角三角形，于是将求PM 最大值转化为求PQ 的最大值.（5）P 是直线AC 上方抛物线上一动点(不与A,C 重合), 过P 作PQ //y 轴交直线AC 于Q,PH AC ⊥于H,求PQH ∆周长的最大值.设计意图：第（5）问是第(4)问的延伸，主要是利用等腰直角三角形中 斜边与直角边的关系求解，通过讲解第（4）问，让学生独立完成第（5） 问，并邀请学生讲解.（6）P 是直线AC 上方抛物线上一动点(不与A,C 重合),连接BC ，过P 作PN //BC 交直线AC 于N ，求线段PN 长度的最大值.分析：将（4）问中垂直于AC 的一条直线改为平行于BC 的直线，线段不同， 方法类似，即：过点P 作PQ ⊥x 轴交AC 于点Q ，经探索发现：︒=∠45PQN ，OCB QPN ∠=∠，所以：△PQN 是一个形状不变的三角形，当PQ 最大时，PN 最大（7）P 是直线AC 上方抛物线上一动点(不与A,C 重合), 过P 作PQ//y 轴交直线AC 于Q , 作PN //BC 交直线AC 于N ，求PQN ∆周长的最大值.设计意图：第（7）问是第(6)问的延伸，主要是利用△PQN 中︒=∠45PQN ，x26题图131tan =∠PQN ，从而找到三边的关系，通过讲解第（6）问，让学生独立完成第（7）问，并邀请学生讲解.总结：通过这7个例子的学习，我们发现对于倾斜方向的线段解决起来比较困难，但是我们可以通过转化的方法，将倾斜方向的线段转化为水平或竖直方向的线段进行求解，也就是我们这节课最重要的解决线段最值的基本方法：化斜为直。
二次函数背景下的几何问题——线段最值问题
二次函数背景下的几何问题——线段最值问题一、【教学内容分析】二次函数是一次函数和反比例函数的继续和发展，是初中数学学习的重点和难点，也为以后更高层次函数的学习奠定了基础.以二次函数为背景的试题常受命题者的青睐，它能够全面考察学生的数形结合能力与计算能力，同时它也是学生学习高中数学知识所必备的.而此命题一般不会用以纯函数的形式出现，而是结合几何图形或点的运动使几何图形发生变化，从而让代数与几何有机结合起来. 二次函数背景下的线段最值问题是利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、垂线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边等）及二次函数的性质求最值.这类问题大多是“将军饮马”模型的变式应用，试题通过考查点在直线上运动时与它相关线段的最值情况，不但能了解学生综合运用数学知识的能力，而且还能通过学生对“动”与“定”之间的关系的思考，深入了解学生在图形的运动变化中探索几何元素之间位置关系和数量关系的能力和识别能力，体现新课程对学生几何探索活动过程、合情推理能力的要求.二【疑难点分析】培养学生能正确运用将军饮马等几何模型、函数模型，解决二次函数背景下的线段最值问题.三、【教学目标】（1）掌握利用基本事实——两点之间线段最短、三角形的三边关系构建几何模型，解决因动点产生的二次函数背景下的线段最值问题.（2）根据问题构建函数模型，解决因动点产生的二次函数背景下的线段最值问题.四、【教学重难点】重点：能运用几何模型和函数模型解决因动点产生的二次函数背景下的线段最值问题.难点：提高学生运用二次函数知识与几何知识解决数学综合题的能力.五、【教学媒体】PPT 课件、微课、导学练六、【教法】讲练结合法、问题教学法七、【学法】小组合作交流法、自主探究法、观察发现法八、【教学流程框图】教学过程设计：教学内容（一）微课助手，忆旧知播放微课视频短片，让学生回顾下数学史上著名的“将军饮马”问题（二）重点难点，细解读1、模型一：如图 1，点 P 在直线 l 上运动，找出一点 p 使得PA+PB 取最小值.观察模型并回答以下两个问题：教学策略让学生通过观察模型一，总结出模型一的特点和所运用的方法.设计意图通过回顾“将军饮马”问题，烘托问题情境，利用微课吸引学生的注意力，在历史经典中唤起学生的兴趣，激发学生探究问题的欲望，让学生回忆起旧知.为了落实好下面的模型应用，把知识背景归纳成一般化的数学模型. 在温故中实现引新，为展开模型应值时，求点 P 的坐标 (1)该模型有什么特征？(2)基本解法是什么？特征：定点 A 、B 同侧，P 为动点； 原理：两点之间，线段最短； 思想：转化（化同侧为异侧）；方法：轴对称法.模型运用：（2016•漳州）已知：如图，A （-1,0）,B （3,0）,C（0,3）,抛物线经过点 A 、B 、C ， 抛物线的顶点为 D ．（1） 求抛物线的解析式和抛物线的顶点 D ；（2） 点 P 在对称轴上，PA+PC取最小 .解题思路分析：（1）利用两点式或者一般式求抛物线的解析式；通过小组讨论，再请学生代表解析.教师给予点评，并板演解答过程.用提供知识、方法及经验的支持.二次函数类的压轴题第一问通常为求点坐标、解析式，本小问要求学生能够熟练地掌握待定系数法求函数解析式或利用函数解析式求点坐标，相对较简单，通过第一小问的解答增进学生解压轴题的信心. 同时在具体的实例中学习把知识迁移应用并体会“将军饮马”问题中蕴含的数学本 质.利用对称思想（2）步骤：板书解题过程：（2）解：连接 BC，与对称轴的点即为点 P，如图所示，点 P为所求，则可得 P 的横坐标为1.设直线BC 的解析式为y=kx+b(k≠0），将点 B（3,0）、C（0,3）代入y=kx+b(k≠0），可得：⎧3k +b = 0 ⎧k = -1⎨，解得：⎨⎩b = 3 ⎩b = 3则直线 BC 的表达式为：y = -x + 3 .当x =1时，y =-1+3 = 2 .∴当点 P 的坐标为（1,2）时，PA+PC 取最小值.让学生独立思考，通过类比上一把复杂的问题简单化.变式 1：已知：如图，A（-1,0）,B （3,0）,C（0,3）,抛物线经过点 A、B、C.点 P 在对称轴上.（1）求抛物线的解析式和抛物线的顶点 D；（2）△PAC周长最小时，求点P 的坐标.解题思路分析：由于AC 为定值，要使△PAC周长最小，则此问题转化成在对称轴上找一点 P，使得PA+PC 最小即可.2、模型二：在直线 l 上，找出一点P，使|PA－PB|的值最大.观察模型并回答以下两个问题：(1)该模型有什么特征？还能利用对称轴的知识去解决？（2）小组成员间每人找一点 P，进行比较，你有什么发现？（3）这个模型的基本解法是什么？题，规范书写解题过程.再与学生强调此类型题解题步骤：（1）找对称点；（2）连线并求直线解析式；（3）求点坐标.这一环节问题一个接着一个，形成了问题串，具有挑战性，能极大引起学生的思考，教师在这一环节中要善于运用语言不断鼓励学生.引导学生得出这一模型的基本解法：使A、B、P 三点共线，原理是:三角形两边之差小于第三边.经历画图-观察-说理等活动，得出作图原理，将该问题归类建模，熟悉并理解该几何模型，培养学生的逻辑思维能力.对于问题教师要给学生足够的时间进行讨论、交流，让学生对图象进行细致的观察、类比、分析、及时检测学生对所学知识的掌握情况，加深对这一模型的理解 .基本解法：使A、B、P 三点共线；基本原理：三角形两边之差小于第三边；基本思想：转化（化折为直）.变式 2：已知：如图，A（-1,0）,B （3,0）,C（0,3）,抛物线经过点 A、B、C.点 P 在对称轴上.（1）求抛物线的解析式和抛物线的顶点 D；（2）|PA－PC|最大，求点 P 的坐标.解题思路分析：交流，同时鼓励学生尽可能多的从图象中获取信息，以小组的形式对信息进行分析、综合、概括、归纳，形成知识系统.教师鼓励学生先独立完成，然后共同交流，总结知识，提炼方法.(2)解：连接直线 AC 交对称轴于点P，如图所示，点P 为所求，则可得P 的横坐标为1. 设直线AC 的解析式为y =kx +b(k ≠ 0），将点A （ -1,0 ）、 C （0,3 ）代入y=kx+b(k≠0），可得：⎧-k +b = 0 ⎧k = 3⎨，解得：⎨⎩b = 3 ⎩b = 3则直线 AC 的表达式为：y = 3x + 3.当x =1时，y = 3 +3 = 6 .∴当点 P 的坐标为（1,6）时，|PA－PC|最取大值.模型三：如图，在平面直角坐标系中如何表示线段 AB 的长度. 对于这个探究，教师利用微课进行讲解，组织学生先观看微课。
二次函数中线段长度的最值问题
1：如图1，抛物线2
23y x x =-++ 与X 轴交与点A 和点B ，与y 轴
交于点C ，在直线BC 上方的抛物线上有一点P ，过点P 作y 轴的 平行线交直线BC 于点Q ，求线段PQ 的最大值。
2：如图2，抛物线2
23y x x =-++ 与X 轴交与点A 和点B ，与y 轴
交于点C ，在直线BC 上方的抛物线上有一点P ，过点P 作X 轴的 平行线交直线BC 于点Q ，求线段PQ 的最大值。
3：如图3，抛物线2
23y x x =-++ 与X 轴交与点A 和点B ，与y 轴
交于点C ，在直线BC 上方的抛物线上有一点P ，过点P 作直线
的垂线于点E ，求线段PE 的最大值。
4：如图4，抛物线2
23y x x =-++ 与X 轴交与点A 和点B ，与y 轴
交于点C ，在直线BC 上方的抛物线上有一点P ，过点P 作x 轴的平行线交直线BC 于点D ，过点P 作y 轴的平行线交直线BC 点Q ，求三角形PDQ 周长的最大值；
5：如图5，抛物线2
23y x x =-++ 与X 轴交与点A 和点B ，与y 轴
交于点C ，在直线BC 上方的抛物线上有一点P ，作BC PQ ⊥点，过点P 作x 轴的平行线交直线BC 于点M ，求PMQ ∆最大值；
图4。
二次函数线段最大值(最新)
P
(3,0) A
45
Q
4545
D
M C(0,3)
PM=PQ
水平线段 转化 竖直线段B来自,0Ox变式2：
点P是直线AC上方抛物线上一动点（不与A,C重合），求P
点到直线AC距离的最大值：9 2
PQmax=
9 4
P
y 8 问题问2题：1你：能如求果出没△有P特Q殊H周角， 长的如最A（大-4值,0吗）？，你还能求
y
y=x+3
C (0,3)
(3, 0)A
O B 1,0 x
（2）点P是直线AC上方抛物线上一动点（不与A,C重合） 过点P作y轴平行线交直线AC于Q点，求线段PQ的 最大值；
y
y=x+3
P
C (0,3)
(3, 0)A Q
B1,0
O
x
变式1：
点P是直线AC上方抛物线上一动点（不与A,C重合），过点 P作x轴平行线交直线AC于M点，求线段PM的最大值；
中考专题复习之
二次函数综合
——线段的最大值问题
竖直线段
A x y y
， 1
B x y
, 2
O
x
AB= y1-y2 =y1-y2 (纵坐标相减）
上减下
水平线段
y
A x1, y B x2, y
O
x
AB= x1-x2 =x2-x1 (横坐标相减）
右减左
典型例题：
如图，已知二次函数y=-x2-2x+3的图象交x轴于A、B两点（A在 B左边），交y轴于C点。 （1）求A、B、C三点的坐标和直线AC的解析式； 解： A (-3,0) ,B (1,0) ,C (0,3) , 直线AC: y=x+3
二次函数线段差最大值问题
二次函数线段差最大值问题引言二次函数是高中数学中的一个重要概念，它在许多数学领域都有广泛的应用。
本文将探讨一个与二次函数相关的问题，即二次函数线段差最大值问题。
问题的提出假设有一个二次函数：f(x)=ax2+bx+c，其中a、b、c为任意实数。
现在我们要求在某个区间[a, b]上，找到一个点x，使得该点与函数f(x)图像上的任意点形成的线段的差值最大。
换言之，要求找到一个x值，使得线段差最大。
解答思路要求线段差最大，可以将函数分成两部分：向上凸的部分和向下凸的部分。
我们只需要找到二次函数极值点的x坐标，并将区间[a, b]分成两部分，分别求出两段函数图像的最大值，再计算两者之间的差值即可。
具体步骤一、找到极值点1.对二次函数f(x)求导，得到f′(x)=2ax+b。
2.将导函数f′(x)置零，解方程得到极值点的x坐标。
3.将极值点的x坐标带入原函数f(x)，得到极值点的y坐标。
二、将区间分为两部分1.根据极值点的x坐标，将区间[a, b]分为[a, x]和[x, b]两部分。
三、求两段函数图像的最大值1.对于区间[a, x]，可以将f(x)看成开口向上的抛物线。
通过求导，找到函数在该区间上的最大值。
2.对于区间[x, b]，可以将f(x)看成开口向下的抛物线。
通过求导，找到函数在该区间上的最大值。
四、计算线段差的最大值1.分别计算两段函数图像的最大值。
2.将两者之间的差值与已有的最大差值进行比较，更新最大差值。
3.最终得到线段差的最大值。
结论通过以上步骤，我们可以找到二次函数线段差的最大值。
需要注意的是，这个最大值可能因为函数本身的性质而不存在，即函数可能是单调递增或单调递减的，此时线段差的最大值为0。
因此，在实际问题中，我们需要对函数进行分析，确保线段差最大值存在。
参考资料1.高中数学教材2.“二次函数” - 维基百科3.“求二次函数在指定区间上的最大值和最小值” - CSDN博客致谢感谢您阅读本文，希望能对二次函数线段差最大值问题有一个更深入的理解。
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二次函数综合——线段最大值
一、如图，已知二次函数y=-x2-2x+3的图象交x轴于A、B两点（A在B左边），交y轴于C点。
（1）求A、B、C三点的坐标和直线AC的解析式；
（2）点P是直线AC上方抛物线上一动点（不与A,C重合），过点P作y轴平行线交直线AC于Q点，求线段PQ的最大值；
变式1：点P是直线AC上方抛物线上一动点（不与A,C重合），过点P作x轴平行线交直线AC于M点，求线段PM的最大值；
变式2：点P是直线AC上方抛物线上一动点（不与A,C重合），求P点到直线AC 距离的最大值
变式3：点P是直线AC上方抛物线上一动点（不与A,C重合），作PD⊥x轴于D 点，交AC于Q点，作PH⊥AC于H点，求△PQH周长的最大值。
变式4：点P是直线AC上方抛物线上一动点（不与A,C重合），连接PA,PC,求△PAC面积的最大值；。