3.2矢量坐标变换原理和变换矩阵

3.2矢量坐标变换原理和变换矩阵

矢量控制系统的坐标变换包括精致坐标系间的变换、旋转与静止坐标系间的变换以及指直角坐标系与极坐标系间的变换。其中三相静止坐标系和两相静止坐标系间的变换，简称3s/2s 变换（也称Clarke 变换）、两相静止坐标系和两相旋转坐标系间的变换，简称2s/2r 变换（也称Park 变换）。

坐标变换和矩阵变换的原理放在交流电机里头介绍比较容易理解，所以下面介绍的坐标变换和变换矩阵都以交流电机模型来说明。

3.2.1坐标变换的基本思路

不同电动机模型彼此等效的原则是：在不同坐标下所产生的磁动势完全一致。 众所周知，在交流电动机三相对称的静止绕组A 、B 、C 中，通以三相平衡的正

弦电流a i ，b i ，c i 时，所产生的合成磁动势F ，它在空间呈正弦分布，以同步转速1ω（即

电流角频率）顺着A-B-C 的相序旋转。这样的物理模型绘于图3.3中的定子部分。

图3.3 二极直流电动机的物理模型

F-励磁绕组 A-电枢绕组 C-补偿绕组

图3.4 等效的交流电动机绕组和直流电动机绕组物理模型

（a ）三相交流绕组 （b ）两相交流绕组 （c ）旋转的直流绕组

然而，旋转磁动势并不一定非要三相不可，除单相以外，二相、三相、四相……等任意对称的多相绕组，通入平衡的多相电流，都能产生旋转磁动势，当然以两相最为简单。图3.4中绘出了两相静止绕组α和β，它们在空间互差900，通入时间上互差900的两相平衡交流电流，也能产生旋转磁动势F 。当图3.4a 和b 的两个旋转磁动势大小和转速都相等时，即认为图3.4b 的两相绕组与图3.4a 的三相绕组等效。

再看图3.4c 中的两个匝数相等且互相垂直的绕组d 和q ，其中分别通过以直流电流d i 和q i ，产生合成磁动势F ，其位置相对于绕组来说是固定的。如果认为地让包含两个绕组在内的整个铁芯以同步转速旋转，则磁动势F 自然也随之旋转起来，成为旋转磁动势。把这个旋转磁动势的大小和转速也控制呈与图3.4a 和图3.4b 中的旋转磁动势一样，那么这套旋转的直流绕组也就和前面两套固定的交流绕组都等效了。当观察着也站到铁芯上和绕组一起旋转时，在他看来，d 和q 是两个通入直流而相互垂直的静止绕组。如果控制磁通Φ的位置在d 轴上，就和图3.3的直流电机物理模型没有本质上区别了。这时，绕组d 相当于励磁绕组，q 相当于伪静止的电枢绕组。

由此可见，以产生同样的旋转磁动势为准则，图3.4a 的三相交流绕组、图3.4b 的两相交流绕组和图3.4c 中整体旋转彼此等效。或者说，在三相坐标系下的a i ，b i ，

c i 和在两相坐标系下的i α、i β以及在旋转两相坐标系下的直流

d i 、q i 都是等效的，它

们能产生相同的旋转磁动势。有意思的是，就图3.4c 中的d 、q 两个绕组而言，当

观察着站在地面上去看，它们是与三相交流绕组等效的旋转直流绕组；如果跳到旋转着的铁心上看，它们就的的确确是一个直流电动机的物理模型了。这样，通过坐标系的变换，可以找到d i 、q i 之间准确的等效关系，这就是坐标变换的任务。

3.2.2三相-两相变换（3s/2s 变换）

现在先考虑上述的第一种坐标变换——在三相静止绕组A 、B 、C 和两相静止绕组α、β之间的变换，或称三相静止坐标系和两相静止坐标系间的变换，简称3s/2s 变换。

图3.5中绘出了A 、B 、C 和α、β两个坐标系，为方便起见，取A 轴和α轴重合。设三相绕组每项有效匝数为N 3，两相绕组每相有效匝数位N 2，各相磁动势为有效匝数与电流的乘积，其空间矢量均位于有关相的坐标轴上。由于交流磁动势的大小随时间在变化着，图中磁动势矢量的长度是随意的。

设磁动势波形是正弦分布的，当三相总磁动势与二相总磁动势相等时，两套绕组瞬时磁动势在α、β轴上的投影都应相等，因此

C

图3.5 三相和两相坐标系与绕组磁动势的空间矢量

002333cos60cos60A B C N i N i N i N i α=--

31122A B C N i i i ⎛

⎫=-- ⎪⎝

⎭ （3.6）

00233sin60cos60B C N i N i N i β=-

()32

B C N i i =

- （3.7） 写成矩阵形式，得

321112

20A B C i i N i i N i αβ⎡⎤

⎡⎤-

-

⎢⎥⎡⎤⎢⎥

⎢=⎢⎥

⎢⎥⎢⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎣ （3.8） 功率不变时坐标变换阵的性质：设在某坐标系下各绕组的电压和电流向量分别为

u 和i ，在行新的坐标系下，电压和电流向量变成u '和i '，其中

[][]

[][]1

2121

21

2

T

n T

n T

n T

n u u u u i i i i u u u u i i i i ⎧=⎪⎪=⎪⎨

''''=⎪⎪

''''=⎪⎩………… （3.9）

定义新向量与原向量的坐标变换关系为

u u C u '= （3.10） i i C i '= （3.11）

其中u C 和i C 分别为电压和电流变换阵。 当变换前后功率不变时，应有

11221122T n n T

n n p u i u i i i u u i u i u i i u

=+++=''''''''=+++=…u … （3.12）

将式（3.10）、式（3.11）带入（3.12），则

()T

T T T T i u i u i u C i C u i C C u i u ''''''=== （3.13）

T i u C C E = （3.14）

其中E 为单位矩阵。式（3.14）就是在功率不变条件下坐标变换阵的关系。 在一般情况下，为了使变换阵简单好记，电压和电流变换阵都取为同一矩阵，即令

u i C C C == （3.15）

则式（3.14）变成

T C C E = （3.16）