大学物理学上册习题解答

大学物理学习题答案

习题一答案 习题一

1.1 简要回答下列问题：

(1) 位移和路程有何区别？在什么情况下二者的量值相等？在什么情况下二者的量值不相等？ (2) 平均速度和平均速率有何区别？在什么情况下二者的量值相等？

(3) 瞬时速度和平均速度的关系和区别是什么？瞬时速率和平均速率的关系和区别又是什么？

(4) 质点的位矢方向不变，它是否一定做直线运动？质点做直线运动，其位矢的方向是否一定保持不变？

(5) r ∆v 和r ∆v 有区别吗？v ∆v 和v ∆v

有区别吗？0dv dt =v 和0d v dt

=v 各代表什么运动？ (6) 设质点的运动方程为：()x x t =

，()y y t =，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出

r =

dr

v dt

= 及 22d r a dt =

而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即

v = 及 a =

你认为两种方法哪一种正确？两者区别何在？

(7) 如果一质点的加速度与时间的关系是线性的，那么，该质点的速度和位矢与时间的关系是否也是线性

的？

(8) “物体做曲线运动时，速度方向一定在运动轨道的切线方向，法向分速度恒为零，因此其法向加速度

也一定为零.”这种说法正确吗？

(9) 任意平面曲线运动的加速度的方向总指向曲线凹进那一侧，为什么？

(10) 质点沿圆周运动，且速率随时间均匀增大，n a 、t a 、a 三者的大小是否随时间改变？

(11) 一个人在以恒定速度运动的火车上竖直向上抛出一石子，此石子能否落回他的手中？如果石子抛出后，火车以恒定加速度前进，结果又如何？

1.2 一质点沿x 轴运动，坐标与时间的变化关系为224t t x -=，式中t x ,分别以m 、s 为单位，试计算：(1)在最初s 2内的位移、平均速度和s 2末的瞬时速度；(2)s 1末到s 3末的平均加速度；(3)s 3末的瞬时加速度。 解：

(1) 最初s 2内的位移为为： (2)(0)000(/)x x x m s ∆=-=-=

最初s 2内的平均速度为：

0(/)2

ave x v m s t ∆=

==∆

t 时刻的瞬时速度为：()44dx

v t t dt

=

=- s 2末的瞬时速度为：(2)4424/v m s =-⨯=-

(2) s 1末到s 3末的平均加速度为：2(3)(1)804/22

ave

v v v a m s t ∆---=

===-∆ (3) s 3末的瞬时加速度为：2(44)

4(/)dv d t a m s dt dt

-===-。

1.3 质点作直线运动，初速度为零，初始加速度为0a ，质点出发后，每经过τ时间，加速度均匀增加b 。求经过t 时间后，质点的速度和位移。 解: 由题意知，加速度和时间的关系为 利用dv adt =，并取积分得

000v

t

b dv a t dv τ⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭⎰⎰，202b v a t t τ=+ 再利用dx vdt =，并取积分[设0t

=时00x =]得

x

t

x dx vdt =⎰⎰，23

0126b x a t t τ∆=

+ 1.4 一质点从位矢为(0)4r j =r

r

的位置以初速度(0)4v i =r

r

开始运动，其加速度与时间的关系为

(3)2a t i j =-r r r

.所有的长度以米计，时间以秒计.求：

（1）经过多长时间质点到达x 轴； （2）到达x 轴时的位置。

解： 203()(0)()4(2)2t v t v a t dt t i t j ⎛

⎫=+=+- ⎪⎝

⎭⎰r r r r r

（1） 当2

40t -=，即2t s =时，到达x 轴。

（2）

2t s =时到达x 轴的位矢为 ：(2)12r i =r

r

即质点到达x 轴时的位置为12,0x m y ==。

1.5 一质点沿x 轴运动，其加速度与坐标的关系为2

a x ω=-，式中ω为常数，设0=t

时刻的质点坐标为

0x 、速度为0v ，求质点的速度与坐标的关系。

解：按题意 22

2d x x dt

ω=-

由此有 dx dv

v dt dx dx dv dt dv dt

x d x ====-2

22

ω， 即 xdx vdv 2

ω-=， 两边取积分 ⎰⎰

-=x

x v

v xdx vdv 0

2ω，

得

20221

2221202122

1

x x v v ωω+-=-

由此给出

v =±，202

02x v A +⎪⎭

⎫ ⎝⎛=ω

1.6 一质点的运动方程为

k t j t i t r ϖϖϖϖ++=2

4)(，式中r ，t 分别以m 、s 为单位。试求： (1) 质点的速度与加速度；(2) 质点的轨迹方程。

解：(1) 速度和加速度分别为： (8)dr

v t j k dt ==+v v v v ， j dt

v d a ϖϖ8==

(2) 令k z j y i x t r ϖϖϖϖ++=)(，与所给条件比较可知 1=x ，2

4t y =，t z =

所以轨迹方程为：21,4x y z ==。

1.7 已知质点作直线运动，其速度为2

1

3()v t t ms -=-，求质点在0~4s 时间内的路程。

解: 在求解本题中要注意：在0~4s 时间内，速度有时大于零，有时小于零，因而运动出现往返。如果计

算积分

4

0vdt ⎰，则求出的是位移而不是路程。求路程应当计算积分4

v dt ⎰

。令2

30v t t =-=，解得3t s =。由此可知：3t ，v v =； 3t =s 时，0v =；而3t >s 时，0v <，v v =-。因而质点

在0~4s 时间内的路程为

34

2323033

13116()2

3233t t t t m ⎡⎤⎡⎤=---=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。

1.8 在离船的高度为h 的岸边，一人以恒定的速率0v 收绳，求当船头与岸的水平距离为x 时，船的速度和加速度。

解: 建立坐标系如题1.8图所示，船沿X 轴方向作直线运动，欲求速度，应先建立运动方程，由图题1.8，可得出

习题1.8图

两边求微分，则有 船速为

按题意0dr

v dt

=-(负号表示绳随时间t 缩短)，所以船速为 负号表明船速与x 轴正向反向，船速与x 有关，说明船作变速运动。将上式对时间求导，可得船的加速度

为

负号表明船的加速度与x 轴正方向相反，与船速方向相同，加速度与x 有关，说明船作变加速运动。