中考数学复习位似变换的应用

位似变换的应用

位似变换是一种特殊的相似变换，是相似变换的延伸和深化．位似变换具有很多重要性质，在求轨迹解作图、求函数解析式、几何证明中，位似变换是一个有力的工具．利用位似变换的性质能提高学生解决问题的能力，感受数学创造的乐趣，增进学好数学的信心；利用位似变换的定义和定理可以很快判断出两个图形是否是位似形．

一、位似变换在函数中的应用

利用位似比、位似中心及位似图形的性质求函数解析式，既简单又方便．

例1 已知反比例函数y＝1

x

，求以坐标原点为位似中心，位似比为2：1的反比例函

数解析式．

分析要求反比例函数解析式，只要知道一点的坐标．因此，在y＝1

x

上的图象上找

一点A，所求反比例函数图象上对应点为A’，由已知OA’：OA＝2：1，从而求出A’点坐标．

解如图1，在y＝1

x

图象上取一点A(1，1)，连结OA并延长OA至点A’，使OA’：

OA＝2：1，则得图象上的对应点A’(2，2)．

∴所求反比例函数关系式y＝4

x

．

例2 已知，如图2，抛物线y＝x2－2x－2，求以原点为位似中心，且位似比为2：1的抛物线的关系式．

分析要求抛物线的关系式，可以寻找特殊点的坐标，已知抛物线顶点A（1，－3），与y轴交点B(0，－2)，根据位似性质可以求出未知抛物线的顶点A’以及与y轴交点B’的

坐标．

解∵y＝x2－2x－2

＝（x－1)2－3，

∴顶点A（1，－3），与y轴交点B(0，－2).

所求抛物线与已知抛物线是位似图形，根据位似图形的性质，可得所求抛物线顶A’（2，－6），与y轴交点B’（0，－4）．

∴可设所求抛物线解析式为

y＝a(x－2)2－6．

将B’坐标值代入该式，可得

－4＝a(0－2)2－6，

解得a＝1

2

，

∴抛物线解析式为

y＝1

2

(x－2)2－6．

由例1、例2得出：求位似变换后函数图象关系式一般方法：先在原函数图象上取一些特殊点，然后根据位似中心、位似比以及位似图形的性质，求出所求图象上的一些特殊点的坐标，因此解题关键是如何选择特殊点，具体选法要根据函数图像性质来确定．

二、位似变换在作图中的应用

根据位似图形的性质，利用位似变换来完成某些作图，是一种常用的方法．位似变化的理论对某些几何作图的解法起着重要的作用，利用位似的性质解作图题的方法叫位似法．

例3 如图3，已知∠AOB，E为∠AOB内一定点，求作⊙C，使⊙C经过E点，且与∠AOB两边都相切．

分析要使⊙C经过E点，且与∠AOB两边相切，先暂时放弃过E点这个条件，保留与∠AOB两边相切，这时可作无数个圆，它们都与要作⊙C位似，以O为位似中心，这些圆的圆心都在∠AOB的平分线OD上，在OD上任意取一点C’，即可以C’为圆心，作⊙C’与∠AOB两边相切，则⊙C’与⊙C是以O为位似中心的位似图形，根据位似的性质，点E 的对应点E'是OE与⊙C’的交点，那么点E’可以作出．

作法1．作∠AOB的平分线OD；

2．在OD上任取一点C’，作⊙C’使之与两边OA、OB相切；

3．连结OE，交⊙C’于点E’；

4．连结E'C’；

5．过点E作EC∥E'C’交OD于点C；

6．作⊙C(以CE为半径)．则⊙C就是所求作的圆．

例4 已知△ABC，在△ABC内，求作一个正方形GDEF，使DE在BC上，G、F分别在AB、AC上．

分析假设所求作正方形GDEF，两顶点D、E在△ABC的边BC上，点G、F分别在AB、AC上．先放弃F在AC上的要求，而保留其他要求，则可得到以B为位似中心的正方形GDEF的位似图形G'D'E’F'，并且FF’过点B，由此可得作图方法．

作法

如图4．

1．作正方形G'D'E'F’，使G’在BA上，D'E’在BC上；

2．连结BF’并延长交AC于点F；

3．作EF⊥BC于点E，作FG∥CB交AB于点G；

4．作GD⊥BC于点D．

正方形GDEF 即为所求作正方形，

由例3、例4得出位似变换解作图题的一般方法：先作一个和求作图形的相似图形S ，然后选择适当的位似中心和位似比，作出图形S 的位似图形S ’，使S ’的位置或大小符合作图题的要求．因此，其关键是如何选择位似中心，具体选法要看图形的性质、题意和解题思想方法来决定．

三、位似变换在证明题中的应用

利用位似中心、位似比、位似变换的性质证明几何问题，可以使有难度的几何证明题迎刃而解．

例5 设四边形ABCD ，若O 为其对角线交点，AD 、BC 交于点E ，AB 、DC 交于点F ，过点O 作AB 的平行线OH 交对边DC 于点G ，交EF 于点H ，求证：OG ＝GH .

思考 本例题中设有平行条件，提供了多个位似中心，给应用位似变换打开了方便之门．

证明 如图5，假设OH 交于BE 于点J ，并延长HO 交AE 于点I ．

若选择点E 为位似中心，EJ EB

为位似比， 则有

IJ JH AB BF

=， 即IJ AB JH BF = 若选择点C 为位似中心，CJ CB

为位似比， 则有

OJ JG AB BF

=， 即OJ AB JG BF

=， 于是IJ OJ JH JG = 等比定理，得

IJ OF IO AB JH JG GH BF

-==- 再选择D 为位似中心，

DO DB 为位似比，