利用错位相减法解决数列求和的答题模板

利用错位相减法解决数列求和的答题模板

数列求和是高考的重点，题型以解答题为主，主要考查等差、等比数列的求和公式，错位相减法及裂项相消求和；数列求和常与函数、方程、不等式联系在一起，考查内容较为全面，在考查基本运算、基本能力的基础上又注重考查学生分析问题、解决问题的能力．

[典例] ( 满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn ，k ∈N *

，且S n 的最大值

为8.

(1)确定常数k ，求a n ；

(2)求数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

9－2a n 2n 的前n 项和T n .

规范审题模板

1．审条件，挖解题信息

观察条件―→S n ＝－12n 2＋kn 及S n 的最大值为8 n S n −−−−−−−

→是于的二次函关数

当n ＝k 时，S n 取得最大值 2．审结论，明解题方向

观察所求结论

―→求k 的值及a n ――――→应建立关于k 的方程S n 的最大值为8，即S k ＝8，k ＝4n S −−−−−→可求的表式

达 S n ＝－1

2

n 2＋4n

3．建联系，找解题突破口 根据已知条件，可利用a n

与S n 的关系求通项公式―――――→注意公式的

使用条件

a n ＝S n －S n －1＝9

2－n n ≥2，a 1＝S 1＝

72

―――――→验证n ＝1时，

a n

是否成立a n ＝92

－n

教你快速规范审题

1．审条件，挖解题信息

观察条件―→a n ＝9

2－n 及数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫9－2a n 2n 922n n a ⎧⎫⎨⎬

⎩⎭

−−−−−−−→－可化列简数

9－2a n 2n

＝n

2

n －1 2．审结论，明解题方向

观察所求结论―→求数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫9－2a n 2n 的前n 项和T n 12

n n

−−−−−−−

→－分析通的特项点 可利用错位相减法求和 3．建联系，找解题突破口 条件具备，代入求和：

T n ＝1＋

22＋232＋…＋21

2

n n －－＋1

2

n n －①

――――→等式两边

同乘以2 2T n ＝2＋2＋

3

2

＋… ＋

312n n －－＋2

2

n n

－②

――――→错位相减

②－①：2T n －T n ＝2＋1＋

1

2

＋…＋ 2

12n －－

2

2n n －＝4－

2

12n －－

2

2n n －＝4－

2

2

2

n n －＋

教你准确规范解题

(1)当n ＝k ∈N *时，S n ＝－12n 2＋kn 取得最大值，即8＝S k ＝－12k 2＋k 2＝12

k 2，故k 2

＝16，

k ＝4.

当n ＝1时，a 1＝S 1＝－12＋4＝7

2，(3分)

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝9

2－n .(6分)

当n ＝1时，上式也成立，综上，a n ＝9

2－n .

(2)因为9－2a n 2n ＝n

2

n －1，

所以T n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n

2n －1， ①(7分)

所以2T n ＝2＋2＋32＋…＋n －12n －3＋n

2

n －2， ②

②－①：2T n －T n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2－n 2n －1＝4－12n －2－n 2n －1＝4－n ＋2

2n －1.(11分)

故T n ＝4－

n ＋2

2

n －1

.(12分)

常见失分探因

利用a n ＝S n －S n －1时，易忽视条件n ≥2，即不验证a 1＝72，是否适合a n ＝9

2－n .

错位相减时，易漏项或求错项数.

教你一个万能模板

第一步

将数列{c n }写成两个数列的积的形式c n ＝a n b n ，其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列 第二步

―→

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