全国高中数学联合竞赛试题(校模拟)附答案
第一届西西群联赛模拟参考答案和评分标准
全国高中数学联合竞赛一试模拟试题一、填空题（共8题,满分64分）1.已知集合A ,B 是{1,2,···,20}的两个不交子集,且若a ∈A ,则2a +2∈B .则A 的元素之和的最大值为.答案:39.解析:由2n +2⩽20,得n ⩽9.若2n +2⩽9,则n ⩽72,从而A 中至多有9−õ72û=6个元素.注意A ={4,5,6,7,8,9}符合条件,故最大值为39.2.函数f (x )=t −√x +2的定义域和值域均为[a,b ],则实数t 的取值范围是.答案:(−54,−1].解析:显然f (x )在定义域上单调递减,故f (a )=b ,f (b )=a .从而f (a )−f (b )=√b +2−√a +2=b −a =(b +2)−(a +2),故√a +2+√b +2=1,由于a <b ,故0⩽√a +2<12.而t =a +√b +2=a −√a +2+1=(√a +2−12)2−54,故t ∈(−54,−1].3.已知−→a 1,−→a 2,···,−−→a 2023是平面上的单位向量,且对1⩽n ⩽2023,−→a n ·−−→a n +1=12,这里下标按模2023理解.则对正整数i ,j ,−→a i 与−→a j 夹角的所有可能的取值组成的集合为.答案:∅.解析:注意单位向量的数量积为12等价于两向量夹角为60◦,所以能取到的夹角都是60◦的整数倍.又由向量夹角在0◦到180◦之间,故可能取值有0,60◦,120◦,180◦.但容易注意−−−→a 2k +1只可能出现在与−→a 1夹角0◦或120◦的位置,这导致−−→a 2023·−→a 1=12不可能,从而不存在这样的向量−→a 1,−→a 2,···,−−→a 2023,故答案为∅.4.已知半径为2的球O 与平面α相切于点A ,直线l 与平面α相交,交点为C .l 与球O 相切,切点为B ,AC =7,且l 与平面α所成角的大小为30◦,则AB =.答案:√14.解析:设B 在平面α的投影为D ,则OABD 四点共面,又CA =CB =7,sin ∠BCD =30◦,故BD =72.过O 作BD 的垂线,垂足为点E ,则DE =OA =2,OE =AD ,故BE =32.从而AD =OE =√OB 2−BE 2=√72.故AB =√AD 2+BD 2=√14.5.定义函数f :C →C 满足f (a +b i )=b +a i.已知复数z 满足|z |=√3,则|(z +f (z ))(¯z +f (z ))|的最大值为.答案:6√2.解析:设z =a +b i,则a 2+b 2=3.故|(z +f (z ))(¯z +f (z ))|=|(z +f (z ))||(¯z +f (z ))|=|(a +b )+(a +b )i ||(a +b )+(a −b )i |=»2(a +b )2·»(a +b )2+(a −b )2=»2(a 2+b 2+2ab )·»2(a 2+b 2)⩽»4(a 2+b 2)·»2(a 2+b 2)=6√2.6.已知实数a 满足0⩽a ⩽π.随机且独立地从[0,a ]和[0,π]中选取实数x 和y ,则cos 2x +cos 2y >1的最小可能概率为.答案:√2−1.解析:容易看出cos 2x +cos 2y >1等价于sin 2x <cos 2y .考虑边界情况,即sin x =±cos y =sin (π2±y ).这对应四条直线y =π2−x ,y =x −π2,y =x +π2,y =3π2−x .将这四条直线绘制在[0,π]×[0,π]中,容易看出,这四条线包绕出的小正方形外侧表示所求区域,因此我们只需选取恰当的a ⩾π2,让x =a 左侧的矩形中,小正方形外侧的面积占矩形之比最小,设k =a π∈[0,1],则此概率P =(π2)2+(a −π2)2aπ=1k (14+(k −12)2)=1k (12+k 2−k )=k +12k−1⩾√2−1.7.已知单调递增的正整数数列{a n }共有m 项,且a 1=1,a m =100.对于任意的1⩽i ⩽m −1,|a i −a i +1|⩽1.若对于任意1⩽p <q ⩽m ,总存在异于p ,q 的1⩽s <t ⩽m ,使得a s +a t =a p +a q ,则对所有可能的m ,a 1+a 2+···+a m 的最小值为.答案:5454.解析:因为数列{a n }任意相邻两项的差的绝对值不超过1,a 1=1,所以a 2=1或a 2=2.当a 2=2时,a 4≥a 3≥2,此时a 1+a 2=3<a 3+a 4,矛盾,所以a 2=1.类似地,必有a 3=1,a 4=1,a 5=2,a 6=2,由a s +a t =a p +a q 得前6项任意两项之和小于等于3时,均符合,a 1+a 2+···+a m 要最小,则每项尽可能小,且m 值要尽量小,则a 5+a 6=4=a 1+a 7,a 7=3,同理,a 8=4,a 9=5,···,a m −6=98,当{a n }中间各项为公差为1的等差数列时,可使得m 值最小,且满足题设.由对称性得最后6项为a m =a m −1=a m −2=a m −3=100,a m −4=a m −5=99,则a 1+a 2+···+a m 的最小值S =(1+99)·992+4×100+3×1+2+99=5454.8.在一条单行道上有6个停车位,编号1,2,3,4,5,6.有6辆车，他们各自有一个(可以相同的)心仪的停车位p i ∈{1,2,···,6},1⩽i ⩽6.现在6辆车依次驶入这个单行道,径直驶向自己心仪的停车位.如果心仪的停车位为空,该车就在此泊车;否则该车就停在此后的第一个空停车位;如果后面的停车位都已满,该车就驶离单行道.已知最后恰有5辆车停在了自己心仪的停车位上，则有种可能的(p 1,p 2,···,p 6).答案:7416.解析:考虑一般情况,记恰有n −1辆车停在心仪的位置上的方法数为A n .容易看出(p 1,p 2,···,p n )中恰好有一对心仪同一个位置,称这对车为好车,而且恰有一个位置没有车心仪,称这个位置为坏位置.记第一辆是好车的方法数为a n ,第一辆车不是好车的方法数为b n ,容易看出若第一辆车不是好车,则可以把这辆车和它心仪的停车位同时删去,故b n =nA n −1.若第一辆车是好车,则存在2⩽i ⩽n ,使得p 1=p i .若i =2,p 1=p 2=n ,则3,4,···,n 这些车在前n −1个停车位各选一个心仪的(不重复),有(n −1)!种,若p 1=p 2=k <n ,则坏位置必须是k +1,从而也是(n −1)!种,共计2(n −1)!种.若i >2,则第二辆车不是好车,它的心仪位置有n 种选法,然后可以删去第二辆车和它心仪的停车位,故这种情况共有na n −1种.故a n =na n −1+2(n −1)!.从而A n =nA n −1+na n −1+2(n −1)!,化简可得A n =2nA n −1−n (n −1)A n −2+2(n −1)!.由A 0=A 1=0,容易递推算出A 6=7416.二、解答题（共3题,第9题满分16分,第10,11题满分20分,满分56分）9.已知在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且满足a cos C +√5a sin C −b −c =0.求bc a 2的取值范围.答案:(0,32].解析:因为a cos C +√5a sin C −b −c =0,所以由正弦定理知sin A cos C +√5sin A sin C =sin B +sin C ,而sin B =sin (A +C )=sin A cos C +sin C cos A ,故sin A cos C +√5sin A sin C =sin A cos C +sin C cos A +sin C ,从而√5sin A cos C =cos A sin C +sin C .由于C 是三角形内角,故sin C =0,从而√5sin A =cos A +1,故(√5sin A −cos A )2=sin 2A +cos 2A ,亦即5sin 2A =2√5sin A cos A ,显然sin A =0,故tan A =√52,cos A =23,sin A =√53.·········(8分)从而bc a 2=sin B sin C sin A =910(cos (B −C )−cos (B +C ))=910(cos (B −C )+cos A )=35+910cos (B −C )·········(12分)不妨设B ⩾C ,则0⩽B −C <π−A ,故cos (B −C )∈(cos (π−A ),1],而cos (π−A )=−cos A =−23,代入上式得bc a 2∈(0,32].·········(16分)10.已知正实数列{a n }(n ⩾1)的前n 项和为S n ,a 2=2,且S n =n (1+a n )2,n ⩾1.记b n =a 1a n +1n ,n ⩾1.(1)数列{b n }的最大项是第几项?(2)数列{b n }中是否存在相等的两项?若存在,求出所有正实数x ,使得数列{b n }中有至少两项等于x ;若不存在,请给出证明.答案:(1)第4项;(2)x =3√2.解析:(1)S 1=1+a 12=a 1,即a 1=1.当n ⩾2时,a n =S n −S n −1=n (1+a n )2−(n −1)(1+a n −1)2,即(n −2)a n −(n −1)a n −1+1=0.将n 换成n +1,有(n −1)a n +1−na n +1=0.上述两式相减得(n −1)a n +1−2(n −1)a n +(n −1)a n −1=0,即a n +1=2a n −a n −1,n ⩾2,故{a n }为等差数列.由a 1=1,a 2=2,知a n =n .由b n =n 1n +1,易得b 1<b 2<b 3<b 4.当n ⩾4时,由(1+1n )n =1+n ∑k =1C k n ·1n k =1+n ∑k =11k !n (n −1)···(n −k +1)n k⩽1+n ∑k =11k !<1+n ∑k =112k −1<3,可得(n +1n )n +1=(1+1n )n (1+1n )<3(1+1n )=3+3n<n ,即(n +1)n +1<n n +2,亦即n 1n +1<(n +1)1n +2.从而可得b n <b n +1(n ⩾4),故{b n }的最大项是第4项b 4.·········(10分)(2)由(1)知,1=b 1<b 2<b 3<b 4,b 4>b 5>b 6>···.又对n ⩾2,b n =n 3n +1>b 1,故若{b n }中有两项相等,只可能是b 2=b k 或b 3=b m ,(k,m ⩾5),且这样的k,m 若存在,则必唯一.易得b 2=213=815=b 8,b 3=314>b 5=516,又b 3<b 4,则仅有b 2=b 8=3√2两项相等.故x =3√2.·········(20分)11.已知椭圆C 的方程为x 220+y 216=1,点P 的坐标为(1,1).平面上是否存在一点Q ,使得任意作一条过点P 的直线交椭圆于A ,B 两点,总有∠AQP =∠BQP .若存在,请求出点Q 的所有可能坐标;若不存在,请说明理由.答案:(32541,39641).解析:先考虑题设中过点P 的直线与坐标轴垂直的情况.设l :x 20+y 16=1,记y =1与椭圆交于A ,B ,与l 交于T ,x =1与椭圆交于C ,D ,与l 交于点S .则以P T 和P S 为直径的圆分别为AB 和CD 的阿波罗尼斯圆.记两圆的第二个交点为Q ,则P Q ⊥ST 且Q 在ST 上.计算可得Q (32541,39641).·········(5分)下证点Q (32541,39641)满足条件.设过点P 的直线方程为y =k (x −1)+1,与椭圆方程联立得(5k 2+4)x 2+10k (1−k )x +5(1−k )2−80=0.设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由韦达定理知x 1+x 2=−10k (1−k )5k 2+4,x 1x 2=5(1−k )2−805k 2+4.注意∠AQP =∠BQP 等价于k AQ −k P Q 1+k AQ k P Q =k P Q −k BQ 1+k BQ k P Q ,代入k P Q =54得5k AQ k BQ =5+98(k AQ +k BQ ).将斜率展开得⇔5·39641−k (x 1−1)+132541−x 1·39641−k (x 2−1)+132541−x 2=5+98(39641−k (x 1−1)+132541−x 1+39641−k (x 2−1)+132541−x 2)⇔(−40k 2+18k +40)x 1x 2+(40k 2+266k −395)(x 1+x 2)=40k 2+550k −750·········(15分)⇔200k 4+2750k 3−3590k 2+2200k −30005k 2+4=40k 2+550k −750.最后一个式子显然成立.故点Q (32541,39641)即为所求.·········(20分)另解:容易看出这样的点Q 至多有一个.将点P 平移到原点,则椭圆方程变为16(x +1)2+20(y +1)2=320,即16x 2+20y 2+32x +40y −284=0.然后以原点为反演中心,1为反演半径作反演变换,则点(x,y )变为点(x x 2+y 2,y x 2+y2).记点A ,B ,Q 在反演变换下的像分别为A ′,B ′,Q ′,则根据反演变换的性质有∠Q ′A ′P =∠AQP ,∠Q ′B ′P =∠BQP .因此∠AQP =∠BQP 等价于∠Q ′A ′P =∠Q ′B ′P .注意直线AB 在反演变换下保持不变,故上述条件等价于点Q ′在线段A ′B ′的中垂线上.·········(5分)由于反演变换的逆变换为自身,故C 在反演后对应的曲线C ′方程为16(x x 2+y 2)2+20(y x 2+y 2)2+32x x 2+y 2+40y x 2+y 2−284=0,亦即16x 2+20y 2+(32x +40y )(x 2+y 2)−284(x 2+y 2)2=0,(x,y )=(0,0).考虑一条曲线C ′′,其方程为(32x +40y )(x 2+y 2)−284(x 2+y 2)2=0.·········(10分)先考虑A ′B ′斜率存在的情况,设直线方程为y =kx .分别与C ′和C ′′方程联立可得−284(1+k 2)2x 2+(1+k 2)(32+40k )x +16+20k 2=0与−284(1+k2)2x2+(1+k2)(32+40k)x=0.注意由韦达定理,与C′和C′′方程联立得到的两根之和相同.从而与两曲线各自的两交点的中垂线是同一条.而方程C′′是圆284x2+284y2−32x−40y=0,它的任意一条弦的中垂线必过圆心(4 71,571).容易看出直线A′B′斜率不存在时,中垂线也过该点,故该圆心即点Q′.·········(15分)从而反演变换前点Q的坐标为(28441,35541).故在原坐标系下点Q的坐标为(32541,39641).·········(20分)全国高中数学联合竞赛加试模拟试题一、（本题满分40分）已知集合A ={a 1,a 2,···,a n },其中a 1<a 2<···<a n ,集合B ={b 1,b 2,···,b n },其中b 1<b 2<···<b n .证明:对任意双射f :A →B ,都有max 1⩽i ⩽n |f (a i )−a i |⩾max 1⩽i ⩽n|b i −a i |.解析:设max 1⩽i ⩽n|b i −a i |=|a k −b k |,(k =1,2,···,n ).因为f 为双射,不妨设a k ⩾b k .用反证法,假设max 1⩽i ⩽n|f (a i )−a i |<a k −b k ,注意对所有k +1⩽i ⩽n ,a i 在f 中的像b j 都应满足k +1⩽j ⩽n ,否则|a i −f (a i )|=a i −b j ⩾a k −b k ，与假设矛盾.故f 在{a k +1,···,a n }上的限制也是双射,与{b k +1,···,b n }一一对应.故所以f (a k )∈{b 1,b 2,···,b k }.又由{b n }为严格单调递增,故|a k −f (a k )|=a k −f (a k )⩾a k −b k ,与假设矛盾.证毕.·········(40分)二、（本题满分40分）如图,已知⊙O 的两条直径为AB ,CD ,点P 是圆外一定点.直线P A ,P B ,P C ,P D 分别与⊙O 交于不同于A ,B ,C ,D 的点U ,V ,W ,X .记UV 和XW 的交点为Q .点S 是弧ACB 上任意一点,直线SQ 与⊙O 再次交于点T ,连接P S ,P T ,P O .证明:∠SP T =∠OST .（解答时请将图画在答题纸上）解析:首先证明P,Q,O 三点共线.注意原题可以改写为:设P O 与UV 交于点Q .只需要证明Q 点是只关于⊙O 与点P 的一个定点.故只需要考虑解答图1并证明P Q P O 是定值.对四边形ABCD 使用四边形梅涅劳斯可得:DP P A ·AO OB ·BP P C ·CQ QD =1,即DQ QC =P B P A ·P D P C =P B 2P A 2.对四边形QCBO 使用四边形梅涅劳斯可得:QP P O ·OA AB ·BP P C ·CD DQ =1,可以得到P Q P O =2P C P B·DQ DQ +CQ =2P C P B ·P B 2P B 2+P A 2=2P C ·P B P B 2+P A 2.·········(10分)因为P C·P B=P O2−R2,P O2=2P A2+2P B2−(2R)24,故得P QP O=P O2−R2P O2+R2,表明Q是仅与P和⊙O有关的定点,故可知原题中P,Q,O三点共线.·········(20分)回到原题,题目转化为:P为以AB为直径的圆外一点,P A,P B与圆交于D,C,P O交CD与Q,其中S是弧CD上任意一点,SQ交⊙O于另外一点T,连接OS,只要证明:∠OST=∠SP T即可.延长P S交⊙O与K点,过S作P T的平行线交⊙O与L点,延长SO交⊙O于点M,设P T 交⊙O于另一点R,则∠KSL=∠SP T,故只要证明∠KSM=∠LST即可.而∠KT M=∠KSM,∠OT S=∠OST,故只需证明∠KT R=∠MT S=90◦即可.故只需证明KR为直径.设KO交圆于R′,P R′交圆于T′,由第一部分证明可知ST′过Q,而ST过Q,故T=T′,从而由R=R′.证毕.·········(40分)三、（本题满分50分）给定正整数n.已知A是由正整数构成的集合,且|A|=n.证明:A的各子集元素和构成模2n的完全剩余系当且仅当可以将A中的元素排列成a0,a1,···,a n−1,使得对0⩽i⩽n−1,都有2i∥a i.解析:先证明当A 中元素可以排列成a 0,a 1,···,a n −1,使得对0⩽i ⩽n −1,都有2i ∥a i 时,A 的各子集元素和构成模2n 的完全剩余系.事实上我们只需证明,对任意整数k ,不定方程ε0a 0+ε1a 1+···+εn −1a n −1≡k (mod 2n ),εi ∈{0,1},0⩽i ⩽n −1,都存在一组解.我们对n 归纳,奠基是平凡的.注意此时ε0与k 同奇偶.对n −1和a ′i =a i 2,1⩽i ⩽n −1用归纳假设,知ε1a ′1+ε2a ′2+···+εn −1a ′n −1≡12(k −ε0a 0)(mod 2n −1),εi ∈{0,1},1⩽i ⩽n −1都存在一组解,亦即ε1a 1+···+εn −1a n −1≡k −ε0a 0(mod 2n ),εi ∈{0,1},0⩽i ⩽n −1都存在一组解,由此完成归纳.·········(20分)现在来证明另一侧,用反证法.若存在集合,其子集元素和构成模2n 的完全剩余系但不具有题述形式,取其中一个使n 最小的集合A .显然A 中存在奇数,否则其子集元素和中不可能出现奇数,自然无法构成模2n 的完全剩余系.若A 中只有一个元素是奇数a 0,则12(A \{a 0})={a /2|a ∈A \{a 0}}也不符合题设条件,且构成2n −1的完全剩余系,与A 的极小性矛盾.因此,设A 中至少有t ⩾2个元素是奇数.·········(30分)鉴于A 构成模n 的完系,其子集元素和模2n 恰为0,1,···,2n −1的一个排列.故2n −1∑a ∈A a =∑B ⊆A ∑a ∈B a ≡2n −1∑i =1i =2n −1(2n −1)(mod 2n ),故∑a ∈A a 是奇数.记F 0是元素和为偶数的A 的子集构成的集合族.我们断言,∑B ∈F 0∑a ∈B a =2n −2∑a ∈A a .事实上,若固定A 中的一个奇元,则选取其它元素构成子集B ,使得B ∈F 0的方法数为2n −t ·∑0⩽j ⩽t −1j ≡1(mod 2)(t −1j )=2n −t +t −2=2n −2.类似地,若固定A 中的一个偶元,则选取其它元素构成子集B ,使得B ∈F 0的方法数为2n −t −1·∑0⩽j ⩽t −1j ≡0(mod 2)(t j )=2n −t −1+t −1=2n −2.这立刻证明了断言.由此2n −2∑a ∈A a =∑B ∈F 0∑a ∈B a ≡2n −1−1∑i =12i =2n −1·(2n −1−1)(mod 2n ),这表明∑a ∈A a 是偶数,矛盾.·········(50分)四、（本题满分50分）在某个赛季中,n 支队伍间进行了单循环比赛,每场比赛都有一方获胜而另一方落败.试求最大的正整数k =k (n ),使得总可以找到k 支队伍A 1,A 2,···,A k ,其中对1⩽i ⩽k −2,队伍A i 都赢下了与A i +1和A i +2的比赛,且A k −1赢下了与A k 的比赛.解析:答案是k =°2n 3§.·········(10分)转化成图论语言,即证明n 个顶点的竞赛图中存在一条长为k −1的有向路径,且路径中的每一个顶点都有一条指向自己的后继顶点的后继顶点(如果存在的话)的一条边,称这样的路径为好路径.定义ℓ(n )是满足存在一个n 个顶点的竞赛图没有长为ℓ(n )的好路径的最小的正整数,从而只需证明ℓ(n )=°2n 3§.记ℓ(n )对应的图为T (ℓ(n )),我们先证明一个引理.引理:对于任意的正整数m 和n ,都有ℓ(m +n )⩽ℓ(m )+ℓ(n ).引理的证明:我们从T (ℓ(m ))和T (ℓ(n ))生成一个m +n 个顶点上的竞赛图.考虑T (ℓ(m ))∪T (ℓ(n )),并把两个团的顶点间都连上从T (ℓ(m ))中顶点指向T (ℓ(n ))中顶点的边,得到一个m +n 个顶点上的竞赛图.这样新图中的好路径必然是由T (ℓ(m ))和T (ℓ(n ))拼接而成,因此长度至多是ℓ(m )−1+ℓ(n )−1+1<ℓ(m )+ℓ(n ).容易发现ℓ(1)=1,ℓ(2)=ℓ(3)=2,在引理中令m =n −3,n =3可知ℓ(n )⩽ℓ(n −3)+ℓ(3)=ℓ(n −3)+2.归纳即得ℓ(n )⩽°2n 3§.·········(20分)考虑竞赛图的顶点排列为v 1,v 2,···,v n ,如果这个排列方式使得图中满足i <j 的边v i →v j 数量最多,就称它是一种好排列.容易看出好排列要求v i →v i +1都在该图中,若由某条边是v i +1→v i ,则交换两者在排列中会使满足i <j 的边数变多,与极大性矛盾.此外,如果存在边v i →v i −2,则v 1,···,v i −3,v i −1,v i ,v i −2,v i +1,···,v n 和v 1,···,v i −3,v i ,v i −2,v i −1,v i +1,···,v n 也是两个好排列,因为显然这三个排列的i <j 的边数相同.由此可见,若v i →v i −2在图中,则v i −2,v i −1和v i 都有一条指向v i +1的边,且至多有一个存在一条由v i +2指向其的边.(性质⋆)否则不妨设存在边v i +2→v i −1和v i +2→v i ,则根据前述结论,可以交换v i ,v i +1,v i +2在排列中的顺序,得到一个排列使得v i +2在排列中紧邻着v i −1,矛盾.·········(30分)若好排列v 1,v 2,···,v n 中有指标i 使得v i →v i −2在竞赛图中,且v i +2→v i 和v i +2→v i −1中有一条边也在竞赛图中,就称i 是一个坏指标.我们断言,任意竞赛图都存在一个不含坏指标的好排列.用反证法,假设有某竞赛图不满足上述性质,我们取一个好排列v 1,v 2,···,v n 使得最大的坏指标i 最小.由前述讨论,我们可以交换v i −2,v i −1,v i 的位置,得到一个新的好排列v 1,···,v i −3,v i −2‘,v i −1’,v i ‘,v i +1,···,v n ,使得v i +2→v ′i −2是一条边,则此时竞赛图中必然有边v ′i −1→v i +2和v ′i →v i +2,且v ′i −1→v i +1和v ′i →v i +1也在图中,从而在交换后,i ,i +1,i +2不是坏指标,故最大的坏指标在新排列中小于i ,矛盾!·········(40分)现在我们证明ℓ(n )⩾°2n 3§.考虑一个n 顶点竞赛图和它的一个不含坏指标的好排列,记图中不存在边v i →v i −2的指标i 构成指标集I ={i 1<i 2<···<i m },显然i 1=1,i 2=2.我们证明v i 1···v i m 是一条好路径.首先注意,若v i +2→v i 在图中,则v i +1→v i −1(性质⋆)和v i →v i −2(没有坏指标)都不能在图中,即若i +2∈I ,则i,i +1∈I .从而这条路径至少包含°2n 3§个顶点.现在只需验证v i j −2→v i j −1和v i j −1→v i j 都在竞赛图中.显然i j −3⩽v i j −2<v i j −1<v i j ,若第一个不等号严格成立,则此时v i j −1和v i j 在好排列中相邻,是图中的边,据I 的定义,v i j −2→v i j 也在图中.现在考虑i j −2=i j −3的情况,此时存在一个指标i j −3<i <i j 不在I 中,若i =i j −1,则由性质⋆,x i j −2→x i j 是一条边,若i =i j −2,则由没有坏指标,x i j −2→x i j 是一条边.我们完成了证明.·········(50分)。
全国高中数学联合竞赛试题及参考答案6
全国高中数学联合竞赛试题及参考答案一．选择题（满分36分，每小题6分）1．给定公比为q(q≠1)的等比数列{a n}，设b1＝a1＋a2＋a3，b2＝a4＋a5＋a6，…，b n＝a3n-2＋a3n-1＋a3n,…，则数列{b n}( )(A)是等差数列(B)是公比为q的等比数列(C)是公比为q3的等比数列(D)既非等差数列也非等比数列2．平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式(| x |－1)2＋(| y |-1)2＜2的整点(x，y)的个数是( )(A)16 (B)17 (C)18 (D)253．若(log23)x-(log53)x≥(log23)y--(log53)y-，则( )(A)x-y≥0 (B)x＋y≥0 (C)x-y≤0 (D)x＋y≤04．给定下列两个关于异面直线的命题：命题Ⅰ：若平面α上的直线a与平面β上的直线b为异面直线，直线c是α与β的交线，那么，c至多与a,b中的一条相交；命题Ⅱ：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。
那么，( )(A)命题Ⅰ正确，命题Ⅱ不正确(B)命题Ⅱ正确，命题Ⅰ不正确(C)两个命题都正确(D)两个命题都不正确5．在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。
那么，在上述3名选手之间比赛的场数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)36．已知点A(1,2)，过点(5,-2)的直线与抛物线y2＝4x交于另外两点B,C，那么，△ABC是( )(A)锐角三角形(B)钝角三角形(C)直角三角形(D)答案不确定二．填空题（满分54分，每小题9分）1．已知正整数n不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的n的个数是___________．2． 已知θ＝arctg 125，那么，复数ii z ++=2392sin 2cos θθ的辐角主值是______ ___． 3． 在△ABC 中，记BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，若9a 2＋9b 2-19c 2＝0，则B AC ctg ctg ctg +＝__________．4． 已知点P 在双曲线191622=-y x 上，并且P 到这条双曲线的右准线的距离恰是P 到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么，P 的横坐标是_____．5． 已知直线ax ＋by ＋c ＝0中的a ，b ，c 是取自集合{-3，-2，-1，0，1，2，,3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是__ ____．6． 已知三棱锥S -ABC 的底面是正三角形，A 点在侧面SBC 上的射影H 是△SBC 的垂心，二面角H -AB -C 的平面角等于30︒, SA ＝23。
全国高中数学联合竞赛附答案
全国高中数学联合竞赛（9月19日上午9：00～11：00）一、选择题（本题共6个小题，每小题5分满分30分）（1）若函数x x x f 2sin 2cos 811)(--=的最大值为a ，最小值为b ，则ba 1-等于（ ） （A ）18 （B ）6 （C ）5 （D ）0 （2）若b a <<0，且1=+b a ，则下列各式中最大的是（ ） （A ）1- （B ）1log log 22++b a（C ）b 2log（D ）)(log 32232b ab b a a +++（3）已知数列2004，2005，1，2004-，2005-，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2004项之和2004S 等于（ ） （A ）2005（B ）2004 （C ）1 （D ）0（4）已知函数xx xx ee e e xf --+-=)(的反函数是)(1x f -，且k f f =---|)6.0(||)8.0(|11，则（ ） （A ）)21,0(∈k （B ）)1,21(∈k（C ）)23,1(∈k（D ）)2,23(∈k（5）正四棱锥ABCD S -中，侧棱与底面所成的角为α，侧面与底面所成的角为β，侧面等腰三角形的底角为γ，相邻两侧面所成的二面角为θ，则α、β、γ、θ的大小关系是（ ） （A ）θγβα<<< （B ）γθβα<<< （C ）βγαθ<<<（D ）θβγα<<<（6）若对任意的长方体A ，都存在一个与A 等高的长方体B ，使得B 与A 的侧面积之比和体积之比都等于k ，则k 的取值范围是（ ） （A ）0>k （B ）10≤<k （C ）1>k（D ）1≥k二、填空题（本题共6个小题，每小题5分，满分30分）1P 2P 3P AO BC4P 5P 6P（7）若关于x 的方程x ax a x =+-lg 1lg 2只有一个实数解，则a 的值等于 ．（8）在ABC ∆中，若21tan =A ，31tan =B ，且最长的边的长为1，则最短的边的的长等于 ．（9）若正奇数n 不能表示为三个不相等的合数之和，则满足条件的n 的最大值为 ． （10）设a 、b 、c 是直角三角形的三条边长，且)(2)(2222n n n n n n c b a c b a ++=++，其中*N n ∈，2≥n ，则n 的值等于 ．（11）连接正文体各个顶点的所有直线中，异面直线共有 对．（12）如图，以)0,0(O 、)0,1(A 为顶点作正1OAP ∆，再以1P 和A P 1的中点B 为顶点作正21BP P ∆，再以2P 和B P2的中点C 为顶点作正32CP P ∆，…，如此继续下去．有如下结论：①所作的正三角形的边长构成公比为21的等比数列；②每一个正三角形都有一个顶点在直线2AP （1=x ）上；③第六个正三角形的不在第五个正三角形边上的顶点6P 的坐标是)36421,6463(； ④第2004个正三角形的不在第2003个正三角形边上的顶点2004P 的横坐标是20042004211-=x ．其中正确结论的序号是 （把你认为正确结论的序号都填上）．三、解答题（本题共3小题，每小题20分，满分60分）（13）已知函数a a x f x3)(+=（0>a ，1≠a ）的反函数是)(1x fy -=，而且函数)(x g y =的图象与函数)(1x f y -=的图象关于点)0,(a 对称．（Ⅰ）求函数)(x g y =的解析式； （Ⅱ）若函数)()()(1x g x f x F --=-在]3,2[++∈a a x 上有意义，求a 的取值范围．（14）设边长为1的正ABC ∆的边BC 上有n 等分点，沿点B 到点C 的方向，依次为1P ，2P ，…，1-n P ，若AC AP AP AP AP AB S n n ⋅++⋅+⋅=-1211 ，求证：nn S n 62112-=．（15）已知}{n a 是等差数列，d 为公差且不等于0，1a 和d 均为实数，它的前n 项和记作n S ，设集合}|),{(*N n nS a A n n ∈=，},,141|),{(22R y x y x y x B ∈=-=，试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明．（Ⅰ）若以集合A 中的元素作为点的坐标，则这些点都在一条直线上； （Ⅱ）B A 至多有一个元素；（Ⅲ）当01≠a 时，一定有∅≠B A ．全国高中数学联合竞赛 试题参考答案及评分标准一、选择题（本题共6个小题，每小题5分满分30分）（1）B （2）C （3）D （4）D （5）A （6）D 二、填空题（本题共6个小题，每小题5分，满分30分） （7）100 （8）55（9）17 （10）4 （11）174 （12）①②③④ 三、解答题（本题共3小题，每小题20分，满分60分）（13）【解】（Ⅰ）由a a x f x3)(+=（0>a ，1≠a ），得)3(log )(1a x x fa -=-…………5分又函数)(x g y =的图象与函数)(1x fy -=的图象关于点)0,(a 对称，则)()(1x a f x a g --=+-，于是，)(lo g)2()(1a x x a f x g a---=--=-．（a x -<）…………………………………10分 （Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，有)(log )3(log )()()(1a x a x x g x fx F a a -+-=--=-．要使)(x F 有意义，必须⎩⎨⎧>->-.0,03a x a x又0>a ，故a x 3>． (15)分由题设)(x F 在]3,2[++∈a a x 上有意义，所以a a 32>+，即1<a ．于是，10<<a ． ……………………………………………………………………… 20分14．【证明】如图，设c AB =，b AC =，a BC =， 令n=1，则p k c BP AB AP k k +=+=（0=k ，1，2，…，n ） 其中，AP =0，AP n =． ∴)(])1([1p k c p k c AP AP k k +⋅-+=⋅-22)1()12(k k k -+⋅-+=（0=k ，1，2，…，n ） ……………5分又∵AC AP AP AP AP AB S n n ⋅++⋅+⋅=-1211 ， ∴2112)]1([)]12([p k k p c k c n S nk n k n ∑∑==-+⋅-+=222)(3)1)(1(n n n n n n -++⋅+= ……………………………………………10分22222231)(31)(nn n n n n n n n n -+⋅+=-+⋅+=． ………………………15分又∵1||||||===，与的夹角为60，∴nn n n n n S n 6211312122-=-++=． ……………………………………………………20分15．【解】（Ⅰ）正确．因为，在等差数列}{n a 中，2)(1n n a a n S +=，所以，21nn a a n S +=． 这表明点),(nS a n n 的坐标适合方程)(211a x y +=．所以，点),(nS a n n 均在直线)(211a x y +=上． ……………………………………………5分 （Ⅱ）正确．设B A y x ∈),(，则),(y x 坐标中的x 、y 应是方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=14,2121221y x a x y 的解． 解这个方程组，消去y ，得42211-=+a x a ．（﹡）当01=a 时，方程（﹡）无解，此时，∅=B A ． …………………………………10分当01≠a 时，方程（﹡）只有一个解12124a a x --=，此时方程组也只有一个解，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=.44,24121121a a y a a x 故上述方程组至多有一解，所以B A 至多有一个元素． ………………………………15分（Ⅲ）不正确．取11=a ，1=d ，对一切*N n ∈，有0)1(1>=-+=n d n a a n ，0>nS n． 这时集合A 中的元素的点的横、纵坐标均为正．另外，由于011≠=a ，如果∅≠B A ，那么根据（Ⅱ）的结论，B A 至多有一个元素（00,y x ），而025241210<-=--=a a x ，043441210<-=-=a a y ．这样的A y x ∉),(00，产生矛盾．所以，11=a ，1=d 时，∅=B A ，故01≠a 时，一定有∅=B A 是不正确的． ……………………………………20分。
高中数学竞赛模拟试题(含详细答案)
高中数学竞赛模拟试题(含详细答案)高中数学竞赛试题（模拟）一、选择题：共10个小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知函数f(x)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，若f(x)-g(x)=x+9x+12，则f(x)+g(x)=（。
）。
A。
-x+9x-12B。
x+9x-12C。
-x-9x+12D。
x-9x+122.有四个函数：①y=sinx+cosx②y=sinx-cosx③y=sinxcosx④y=（空缺）其中在(x,y)上为单调增函数的是（。
）。
A。
①B。
②C。
①和③D。
②和④3.方程x+x-1=xπ2的解集为A（其中π为无理数，π=3.141…，x为实数），则A中所有元素的平方和等于（。
）。
A。
B。
C。
1D。
44.已知点P(x,y)满足(x-4cosθ)+(y-4sinθ)=4（θ∈R），则点P(x,y)所在区域的面积为（。
）。
A。
36πB。
32πC。
20πD。
16π5.将10个相同的小球装入3个编号为1、2、3的盒子（每次要把10个球装完），要求每个盒子里球的个数不少于盒子的编号数，这样的装法种数为（。
）。
A。
9B。
12C。
15D。
186.已知数列{an}为等差数列，且S5=28，S10=36，则S15等于（。
）。
A。
807.已知曲线C：y=-x2-2x与直线l:x+y-m=0有两个交点，则m的取值范围是（。
）。
A。
(-2-1,2)B。
(-2,2-1)C。
[,2-1)D。
(,2-1)8.过正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1的截面面积为S，Smax和Smin分别为S的最大值和最小值，则Smax/Smin的值为（。
）。
A。
B。
C。
D。
9.设x=.82,y=sin1,z=log2237，则x、y、z的大小关系为（。
）。
A。
x<y<zB。
y<z<xC。
z<x<yD。
z<y<x10.如果一元二次方程x-2(a-3)x-b+9=0中，a、b分别是投掷骰子所得的数字，则该二次方程有两个正根的概率P=（。
全国高中数学联赛模拟卷（1）（一试+二试_附详细解答）
全国⾼中数学联赛模拟卷（1）（⼀试+⼆试_附详细解答）全国⾼中数学联赛模拟卷(1)⼀试⼀、填空题（本⼤题共8⼩题，每⼩题8分，共64分）1229x <+的解集为． 2．过正⽅体外接球球⼼的截⾯截正⽅体所得图形可能为______________. ①三⾓形②正⽅形③梯形④五边形⑤六边形3．直线2kx y -=||1x =-有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是__ _______.4．复数z ，使322z z z+=，则z 的所有可能值为 _____ ____．5．所有的满⾜条件11aba b a b ab a b ---=?++的正整数对(,)a b 的个数为．6．设,,a b c 为⽅程3120x k x k --=的根（121k k +≠），则111111a b ca b c+++++=--- __. 7．将号码分别为1、2、…、9的九个⼩球放⼊⼀个袋中，这些⼩球仅号码不同，其余完全相同. 甲从袋中摸出⼀个球，其号码为a ，放回后，⼄从此袋中再摸出⼀个球，其号码为b . 则使不等式 0102>+-b a 成⽴的事件发⽣的概率等于．8．已知A , B , C 为△ABC 三内⾓, 向量)2sin 3,2(cosBA B A +-=α,2||=α.如果当C 最⼤时,存在动点M , 使得|||,||,|成等差数列, 最⼤值是__ ___.⼆、解答题（本⼤题共3⼩题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）9．对正整数2n ≥，记11112n n k k n a n k --==-∑，求数列{a n }中的最⼤值．10．给定正实数k ，圆⼼为(b a ，)的圆⾄少与抛物线2kx y =有三个公共点，⼀个是原点(0, 0)，另两个点在直线b kx y +=上，求b a ，的值（⽤k 表⽰）． 11．已知函数,72sin 3|)cos ||sin (|)(--+=x x x a x f 其中a 为实数，求所有的数对(a , n )(n ∈N *),使得函数)(x f y =在区间),0(πn 内恰好有2011个零点．ABCPQ ID O 1 I 1I 2⼆试⼀、（本题满分40分）在Rt ABC ?中，CD 是斜边AB 上的⾼，记12,,I I I 分别是△ADC , △BCD ,△ABC 的内⼼，I 在AB 边上的射影为1O ，,CAB ABC ∠∠的⾓平分线分别交,BC AC 于,P Q ，且PQ 的连线与CD 相交于2O ，求证：四边形1122I O I O 为正⽅形．⼆、（本题满分40分）给定正数a , b , c , d, 证明：ba db a d a dc ad c d c b d c b c b a c b a +++++++++++++++++++333333333333.2222d c b a +++≥三、（本题满分50分）设+∈N k ，定义11=A ，2)1(221+++=+n n nA A kn n ， ,2,1=n 证明：当1≥n 时，n A 为整数，且n A 为奇数的充要条件是)4(mod 21或≡n四、（本题满分50分）试求最⼩的正整数,n 使得对于任何n 个连续正整数中，必有⼀数，其各位数字之和是7的倍数.全国⾼中数学联赛模拟卷(1)答案⼀试1．由0211≠+-x 得0,21≠-≥x x ，原不等式可变为()922112+<++x x解得845x 故原不等式的解集为145,00,28-? ?U2．答案：②⑤，解：由对称性可知，所得图形应为中⼼对称图形，且②⑤可以截得3．提⽰：44[2,)(,2]33--?, 曲线为两个半圆，直线过定点（0，?2），数形结合可得.4．答案：0，1，12,12i i -+-- 解：322z z z +==2z z ?，∴2(12)0z z z +-=当 0z =时，满⾜条件，当 0z ≠时，2120z z +-= 设 22(,),212()z a bi a b R a b abi a bi =+∈-++--则∴ 22120(1)220(2)a b a ab b ?-+-=?+=? ，由(2) 2(1)0b a +=1）0b = 代⼊(1) 整理得：2(1)01a a -=?=2）0b ≠，则 1a =- 代⼊(1) 得：242b b =?=±，经检验复数1,12z i =-±均满⾜条件. ∴ z 的所有可能值为0，1，12,12i i -+--. 5．解：显然1a b >≥．由条件得11a a b a a b -->?1b a b -?>11b a b -?≥+，从⽽有bab b b ≥+即b b ab b ≤-，再结合条件及以上结果，可得11a b a b a b a b a b --?++=-aa ab b ≥-+，整理得 11a a b a ab a a b --+≥-?()11a b a a b --=?-1a a -≥，从⽽()211a a a a a a ab a -=+-≥+≥即31a a-≤，所以23a ≤≤．当2a =时，1b =，不符合；当3a =时，2b =（1b =不符合）．综上，满⾜本题的正整数对(),a b 只有()32，，故只有1解．6．答案：1212331k k k k ++--，由题意，312()()()x k x k x a x b x c --=--- 由此可得0a b c ++=，1ab bc ca k ++=-，2abc k =以及121(1)(1)(1)k k a b c --=---1113()()3111(1)(1)(1)a b c a b c ab bc ca abc a b c a b c +++-++-+++++=------1212331k k k k ++=-- 7．提⽰：甲、⼄⼆⼈每⼈摸出⼀个⼩球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个，由不等式a ?2b +10>0得2b6181135745=++++8．解: 2)cos(2)cos(2122sin 32cos 2||22=+--+=++-?=B A B A B A B A α ,21tan tan cos cos sin sin 2)cos(3)cos(=?=?+=-?B A B A B A B A B A22tan tan 4)tan (tan 2tan tan )tan(tan -=-≤+-=+=+-=B A B A BA B A C ,等号成⽴仅当22tan tan ==B A .令|AB |=2c ,因c 4||||=+, 所以 M 是椭圆1342222=+cy c x 上的动点.故点C (0,c 22), 设M (x ,y ), 则|MC |2＝x 2+(c y 22-)2＝c y c cy y c cy y y c 3||,2923122344222222≤+--=+-+-. 当y ＝c 3-时, |MC |2max =22627c +, |MC |max ＝c 216+. ||AB＝4. 9．解：经计算知22a =，33a =，45103a a ==，下⾯⽤数学归纳法证明：当5n ≥时，有103n a ≤ 假设()1053n a n ≤≥，则1211111111122122n n n n n n a n n n +-++++=+?+?++?-- 21111212212n n n n n n n n n n -++??=++?++? ?--?? 112n n n a n n ++=+ 1110186810233533n n n n n n +++≤+?=?≤?<所以数列{a n }中的最⼤值是45103a a ==10．解：设⊙O :,)()(2222b a b y a x +=-+- 即02222=-+-by y ax x抛物线与直线b kx y +=的两个交点坐标为),(),,,(2211y x y x ，则211222kx kx b kx kx b =+??=+?，即12121x x b x x k +==-??①, 这两点亦在圆上，即),(2)(222111*********b kx b b kx ax x by y ax x o +-++-=-+-=?02)1(21212=--+b ax x k同理 02)1(22222=--+b ax x k , 即 12221222,1.1a x x k b x x k ?+=??+?-?=?+?②⽐较①，②知：kk k k b k a 11),1(2122+=+=+= 11．解：⾸先，函数)(x f 以为π周期，且以)(42Z k k x ∈+=ππ为对称轴，即 ))(()2(),()(Z k x f x k f x f x f ∈=-+=+πππ，其次，42)43(,102)4(,7)2(-=+-=+-=a k f a k f a k f πππππ，∵)(x f 关于)(42Z k k x ∈+=ππ对称，∴)(x f 在)42,2(πππ+k k 及)22,42(ππππ++k k 上的零点个数为偶数，要使)(x f 在区间)0πn ，（恰有2011个零点，则上述区间端点必有零点（1）若7=a ，则0)42(,0)2(≠+=πππk f k f ，考虑区间)2,0(π及),2(ππ上的零点个数．ABCP Q ID O 1I 1 I 2令].2,1((cos sin ∈+=t x x t 则0473)(2=-+-==t t t g y ，解得11=t （舍），)4sin(2342π+==x t ，故在2 ,0(π内有两解．当),2(ππ∈x 时，72sin 3)cos (sin 7)(---=x x x x f ，令]2,1((cos sin ∈-=t x x t ，则01073)(2=-+==t t t g y ，解得11=t （舍），3102-=t （舍），故在),2(ππ内⽆解．因此，)(x f 在区间),0(π内有三个零点．.503201114)1(3),0(==-=-+n n n n n 个零点。
全国高中数学联合竞赛试题及参考答案8
全国高中数学联合竞赛试题及参考答案【说明】解答本试卷不得使用计算器一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1．设x ，y ，z 是正实数，满足()()xy z x z y z +=++，则xyz 的最大值是 ．2．设从正整数k 开始的201个连续正整数中，前101个正整数的平方和等 于后100个正整数的平方和，则k 的值为 ．3．设(2)n n ≥是给定的整数，12,,,n x x x 是实数，则1223sin cos sin cos x x x x ++ 1sin cos n x x + 的最大值是 ．4．在△ABC 中，已知30,105A B ∠=︒∠=︒，过边AC 上一点D 作直线DE ， 与边AB 或者BC 相交于点E ，使得60CDE ∠=︒，且DE 将△ABC 的面积两等分，则2CD AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 5．对于任意实数a ，b ，不等式{}max ,,2006a b a b b C +--≥恒成立，则 常数C 的最大值是 ．（注：{}max ,,x y z 表示x ，y ，z 中的最大者．）6．设2()c o sf x x a x b x =++，{}{}()0,R (())0,R x f x x x f f x x =∈==∈≠∅，则满足条件的所有实数a ，b 的值分别为 ．7．在直三棱柱中，已知底面积为s 平方米，三个侧面面积分别为m 平方米， n 平方米，p 平方米，则它的体积为 立方米．8．已知函数:f R +→R 满足：对任意,x y ∈R +，都有()(f x f 则所有满足条件的函数f 二、解答题9．（本题满分1422(0)y px p =>点F ，倾斜角为θ(0θ<<物线于A ，B 两点，连接点），交准线于点B '于点A '，求四边形ABB A ''10．（本题满分14分） 数列{}n a 定义如下：11a =，且当2n ≥时，211,1,n n n a n a n a -+⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩当为偶数时，当为奇数时．已知3019n a =，求正整数n ．n n 边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色．问：共有多少种不同的染色方法？12．（本题满分16分） 设]1,0[,∈b a ，求)1)(1(11b a ab b a S --++++= 的最大值和最小值．2006年上海市高中数学竞赛答案一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1、1272、201003、2n 45、10036、04a ≤<，b ＝0 7、28、1()2006f x x=+二、解答题9．（本题满分14分） 已知抛物线22(0)y px p =>，其焦点为F ，一条过焦点F ，倾斜角为θ(0)θπ<<的直线交抛物线于A ，B 两点，连接AO （O 为坐标原点），交准线于点B '，连接BO ，交准线于点A '，求四边形ABB A ''的面积．解 当2πθ=时，22ABB A S p ''=．当2πθ≠时，令t a n k θ=．设1122(,),(,)A x y B x y ，则由()2py k x =-， ①22y px =， ②消去x 得，2220py y p k--=，所以 122py y k+=， 212y y p =-． ③ 又直线AO 的方程为：11y y x x =1坐标为21(,)2p p B y '--，而由③知，221p y y =-，所以B 和B '的纵坐标相等，从而BB x ' 轴．同理AA x ' 轴，故四边形ABB A ''是直角梯形．………………（9分）所以，它的面积为11()22ABB A S AA BB A B AB A B ''''''''=+⋅=⋅21y y =-211()2y y =-21212()4y y y y ⎡⎤=+-⎣⎦ 332222221212(1cot )p p k θ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．………………（14分）10．（本题满分14分） 数列{}n a 定义如下：11a =，且当2n ≥时，211,1,n n n a n a n a -+⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩当为偶数时，当为奇数时．已知3019n a =，求正整数n ． 解 由题设易知，0,1,2,n a n >= ．又由11a =，可得，当n 为偶数时，1n a >；当(1)n >是奇数时，111n n a a -=<． ………………（4分） 由3019n a =1>，所以n 为偶数，于是23011111919n a =-=<，所以，2n 是奇数． 于是依次可得：1219111n a -=>， 12n -是偶数，24198111111n a -=-=<，24n -是奇数，2141118n a --=>，64n -是偶数，681131188n a -=-=<，68n -是奇数，618813n a --=>，148n -是偶数， 1416851133n a -=-=>，1416n -是偶数， 1432521133n a -=-=<，1432n -是奇数， ……………（9分）14132312n a --=>，4632n -是偶数， 4664311122n a -=-=<，4664n -是奇数， 4616421n a --=>，11064n -是偶数， 110128211n a -=-=，所以，1101128n -=，解得，n ＝238． ……………… （14分） 11．（本题满分16分） 对一个边长互不相等的凸(3)n n ≥边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色．问：共有多少种不同的染色方法？解 设不同的染色法有n p 种．易知36p =． ………………（4分） 当4n ≥时，首先，对于边1a ，有3种不同的染法，由于边2a 的颜色与边1a 的颜色不同，所以，对边2a 有2种不同的染法，类似地，对边3a ，…，边1n a -均有2种染法．对于边n a ，用与边1n a -不同的2种颜色染色，但是，这样也包括了它与边1a 颜色相同的情况，而边1a 与边n a 颜色相同的不同染色方法数就是凸n －1边形的不同染色方法数的种数1n p -，于是可得1132n n n p p --=⨯-， ………………（10分） ()1122n n n n p p ---=--．3于是 ()33232(1)2(1)2n n n n p p ---=--=-⋅， 2(1)2n nn p =+-⋅，3n ≥．综上所述，不同的染色方法数为2(1)2n n n p =+-⋅． ………………（16分）12．（本题满分16分） 设]1,0[,∈b a ，求)1)(1(11b a abb a S --++++=的最大值和最小值．解 因为)1)(1(11b a ab b a S --++++=)1)(1()1(1)1)(1(122b a ab ab b a b a b a ++--=+++++= 1≤，当0=ab 或1=ab 时等号成立，所以S 的最大值为1． ………………（6分）令)1)(1()1(b a ab ab T ++-=，ab x =，则abab ab ab ab b a ab ab T ++-≤+++-=21)1(1)1(x x x x x x +-=+-=1)1()1()1(2222． ………………（10分） 下证 211551)1(2-≤+-x x x ． ①① 0)25()215(2≥-+--⇔x x ， 所以 21155-≤T ， 从而 25513-≥S ， 当215-==b a 时等号成立，所以S 的最小值为25513-．……………（16分）。
2023年全国高中数学联合竞赛模拟题
2023年全国高中数学联合竞赛模拟题一、概述在当今社会，数学作为一门重要的学科，对于培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力起着至关重要的作用。
为了提高学生的数学素养，促进学生对数学知识的掌握和运用，全国高中数学联合竞赛应运而生。
作为高中生的数学盛会，全国高中数学联合竞赛一直备受关注，并在各个学校开展。
今天，我们将一起来看看2023年全国高中数学联合竞赛的模拟题目，让我们共同来加深对于数学的理解和探索。
二、单选题1. 若函数$f(x)=\frac{2x}{x-1}$，则$f(f(x))$的定义域是？A. (-∞, -1)∪(1,+∞)B. (-∞, -1)∪(1,+∞)C. (-1, 0)∪(1,+∞)D. (-1, 1)∪(1,+∞)2. 已知集合A={1,2,3,4,5}，集合B={3,4,5,6,7}，则集合A∪B的基数为？A. 5B. 6C. 7D. 83. 若一个球从100米高的地方自由下落，每次弹跳后弹起的高度是下落前的0.8倍，则它第6次落地时共经过的距离是多少米？A. 460B. 500C. 548D. 6004. 已知等差数列$\{a_n\}$满足$a_1=3$，$a_6=18$，则$a_{15}$的值为多少？A. 48B. 51C. 54D. 575. 若$\sin{2x}=\frac{1}{2}$，则$\cos{2x}$的值等于？A. -$\frac{1}{2}$B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$C. -$\frac{\sqrt{3}}{2}$D. $\frac{1}{2}$三、填空题1. 若$a+b=5$，$ab=6$，则$a^2+b^2$的值为______。
2. 若$|x-1|<3$且$|x+2|<4$，则$x$的取值范围为______。
3. 若函数$f(x)=x^2+3x-4$，则$f(-2)$的值为______。
4. 若$\log_{10}a-2\log_{10}b=3$，$a-2b=80$，则$a$和$b$的值分别为______。
全国高中数学联合竞赛(含答案)
全国高中数学联合竞赛一、选择题（本题满分30分，每小题5分）本题共有6小题，每题均给出（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个结论，其中有且只有一个是正确的。
请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。
每小题选对得5分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1.函数()142-+=x x x x f 是（ ） （A ）是偶函数但不是奇函数 （B ）是奇函数但不是偶函数（C ）既是奇函数又是偶函数 （D ）既不是奇函数也不是偶函数2. 已知()x f 对任意整数x 都有()()22-=+x f x f ，若()20030=f ，则()2004f =（ ）（A ）2002 （B ）2003 （C ）2004 （D ）20053. 已知不等式()θθ222sin 45cos +-+m m ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）（A ）0≤m ≤4 （B ）1≤m ≤4 （C ）m ≥4或m ≤0 （D ）m ≥1或m ≤0 4. 母线长为6的圆锥中，体积最大的那一个的底面圆的半径为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）45. 正三棱锥相邻侧面所成二面角，等于侧面与底面所成二面角的两倍，则侧棱与底面边长之比为（ ）（A ）23 （B ）34 （C ）43 （D ）32 6. 函数x x x y cos sin cos 23-+=的最大值等于（ ）（A ）2732 （B ）2716 （C ）278 （D ）274 二、填空题（本题满分30分，每小题5分）本题共6小题，要求直接将答案写在横线上。
7. 已知函数()x xx f 22333+=，则⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛1011010121011f f f = . 8. 不等式22-x ≤12+x 的解集为 .9. 某城市的机动车牌照是从“10000”到“99999”连续编号，则在这90000个牌照中数字9至少出现一个，并且各数字之和是9的倍数的车牌照共有 个.10. 若0<a ，b ，c <1满足1=++ca bc ab ，则cb a -+-+-111111的最小值是 . 11. 已知正四棱锥V －ABCD 的棱长都等于a ，侧棱VB ，VD 的中点分别为H 和K ，若过A 、H 、K 三点的平面交侧棱VC 于L ，则四边形AHLK 的面积为 .12. 已知a 、b 、x 是实数，函数()122+-=ax x x f 与函数()()x a b x g -=2的图象不相交。
全国高中数学联合竞赛试题及参考答案7
全国高中数学联合竞赛试题及参考答案（10月15日上午8:00-9:40）一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．设全集是实数，若A ={x |2-x ≤0}，B ={x |2210-x =x 10},则B A 是( )(A){2} (B){-1} (C){x |x ≤2} (D)∅2．设sin α＞0,cos α＜0,且sin3α＞cos 3α,则3α的取值范围是( ) (A)(2k π+6π,2k π+3π), k ∈Z (B)(32πk +6π,32πk +3π),k ∈Z (C)(2k π+65π,2k π+π),k ∈Z (D)(2k π+4π,2k π+3π) (2k π+65π,2k π+π),k ∈Z 3．已知点A 为双曲线x 2-y 2=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是( ) (A)33 (B)233 (C)33 (D)634．给定正数p ,q ,a ,b ,c ，其中p ≠q ，若p ,a ,q 是等比数列，p ,b ,c ,q 是等差数列，则一元二次方程bx 2-2ax +c =0( )(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线5435+=x y 的距离中的最小值是( ) (A)17034 (B)8534 (C)201 (D)301 6．设5sin 5cos ππωi +=，则以ω,ω3,ω7,ω9为根的方程是( ) (A)x 4+x 3+x 2+x +1=0 (B) x 4-x 3+x 2-x +1=0 (C) x 4-x 3-x 2+x +1=0 (D) x 4+x 3+x 2-x -1=0二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．arcsin(sin2000︒)=__________.8．设a n 是(3-n x )的展开式中x 项的系数(n =2,3,4,…)，则n n n a a a 333(lim 3322+++∞→ )=________.9．等比数列a +log 23,a +log 43,a +log 83的公比是____________.10．在椭圆12222=+b y a x(a ＞b ＞0)中，记左焦点为F ，右顶点为A ，短轴上方的端点为B .若该椭圆的离心率是215-，则∠ABF =_________.11．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积是________.12．如果：(1)a ,b ,c ,d 都属于{1,2,3,4};(2)a ≠b ,b ≠c ,c ≠d ,d ≠a ;(3)a 是a ,b ,c ,d 中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数abcd 的个数是_________.三、解答题(本题满分60分，每小题20分)13．设S n =1+2+3+…+n ,n ∈N ，求f (n )=1)32(++n n S n S 的最大值.14．若函数21321)(2+-=x x f 在区间[a ,b ]上的最小值为2a ，最大值为2b ，求[a ,b ].15．已知C 0:x 2+y 2=1和C 1:12222=+b y a x(a ＞b ＞0)。
全国高中数学联合竞赛预赛模拟试卷附答案
全国高中数学联合竞赛预赛模拟试卷一． 选择题（共6小题，每题6分）1．设()n n nx a x a a xx 221021+++=++ ，求n a a a 242+++ 的值为（A ）n3 （B ）23-n（C ）213-n （D ）213+n 答： 【 】2．若1sin sin =+y x ，则y x cos cos +的取值范围是(A) ]2 ,2[- (B) ]1 ,1[- (C) ]3,0[ (D) ]3,3[- 答： 【 】 3．设2)(1=x f ，x x x f 2cos sin )(2+=，x xx f 2cos 2sin)(3+=，24sin )(x x f =，上述函数中，周期函数的个数是(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 答： 【 】 4．正方体的截平面不可能是(1) 钝角三角形 (2) 直角三角形 (3) 菱 形 (4) 正五边形 (5) 正六边形 下述选项正确的是：(A) (1)(2)(5) (B) (1)(2)(4) (C) (2)(3)(4) (D) (3)(4)(5) 答：【 】 5．已知a ，b 是两个相互垂直的单位向量，而13||=c ，3=⋅a c ，4=⋅b c 。
则对于任意实数21,t t ，||21b t a t c --的最小值是(A) 5 (B) 7 (C) 12 (D) 13 答： 【 】 6．设函数)(x f y =满足1)()1(+=+x f x f ，则方程x x f =)(根的个数可能是 (A) 无穷多 (B) 没有或者有限个(C) 有限个 (D) 没有或者无穷多 答： 【 】 二．填空题（共6小题，每题9分） 7. 设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-=-+-=32232332x x x x xM ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-=-+-=56656556x x x x x N ，求 N M = 。
8. 已知数列n x ，满足n x x n n n +=++1)1(, 且21=x ， 则2005x = 。
全国高中数学竞赛试题及答案
全国高中数学竞赛试题及答案试题一：函数与方程1. 已知函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \)，求\( f(x) \)的极值点。
2. 求解方程\( x^2 - 4x + 3 = 0 \)的所有实根。
3. 判断函数\( g(x) = \frac{1}{x} \)在区间\( (0, +\infty) \)上的单调性。
试题二：解析几何1. 已知椭圆\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中\( a > b > 0 \)，求椭圆的焦点坐标。
2. 求圆\( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)的切线方程，已知切点坐标为\( (m, n) \)。
3. 证明点\( P(x_1, y_1) \)和点\( Q(x_2, y_2) \)的连线\( PQ \)的中点坐标为\( \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 +y_2}{2}\right) \)。
试题三：数列与级数1. 已知等差数列的首项\( a_1 = 3 \)，公差\( d = 2 \)，求第10项\( a_{10} \)。
2. 求等比数列\( b_1, b_2, b_3, \ldots \)的前\( n \)项和，其中\( b_1 = 1 \)，公比\( r = 3 \)。
3. 判断数列\( c_n = \frac{1}{n(n + 1)} \)的收敛性。
试题四：概率与统计1. 从5个红球和3个蓝球中随机抽取3个球，求至少有2个红球的概率。
2. 抛掷一枚均匀硬币4次，求正面朝上的次数为2的概率。
3. 某工厂生产的产品中有2%是次品，求从一批产品中随机抽取10个产品，至少有1个是次品的概率。
试题五：组合与逻辑1. 有5个不同的球和3个不同的盒子，将球分配到盒子中，每个盒子至少有一个球，求不同的分配方法总数。
2. 证明：对于任意的正整数\( n \)，\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)。
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联赛加试(A卷)试题(含答案)
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．一．（本题满分40分）给定正整数r ．求最大的实数C ，使得存在一个公比为r 的实数等比数列1{}n n a ，满足n a C 对所有正整数n 成立．（x 表示实数x 到与它最近整数的距离．）解：情形1：r 为奇数．对任意实数x ，显然有12x ，故满足要求的C 不超过12． 又取{}n a 的首项112a ，注意到对任意正整数n ，均有1n r 为奇数，因此1122n n r a ．这意味着12C 满足要求．从而满足要求的C 的最大值为12． …………10分 情形2：r 为偶数．设*2()r m m N ．对任意实数 ，我们证明1a 与2a 中必有一数不超过21m m ，从而21m C m ． 事实上，设1a k ，其中k 是与1a 最近的整数（之一），且102． 注意到，对任意实数x 及任意整数k ，均有x k x ，以及x x ．若021m m ，则121m a k m ． 若1212m m ，则22221m m m m ，即21m m r m m ，此时 2121m a a r kr r r m ． …………30分 另一方面，取121m a m ，则对任意正整数n ，有1(2)21n n m a m m ，由二项式展开可知11(211)(1)2121n n n m m a m K m m ，其中K 为整数，故21n m a m ．这意味着21m C m 满足要求． 从而满足要求的C 的最大值为212(1)m r m r ．综上，当r 为奇数时，所求C 的最大值为12；当r 为偶数时，所求C 的最大值为2(1)r r ． …………40分二．（本题满分40分）如图，在凸四边形ABCD 中，AC 平分BAD ，点,E F 分别在边,BC CD 上，满足||EF BD ．分别延长,FA EA 至点,P Q ，使得过点,,A B P 的圆1 及过点,,A D Q 的圆2 均与直线AC 相切．证明：,,,B P Q D 四点共圆．（答题时请将图画在答卷纸上）证明：由圆1 与AC 相切知180BPA BAC CAD CAF PAC ，故,BP CA 的延长线相交，记交点为L ．由||EF BD 知CE CF CB CD．在线段AC 上取点K ，使得CK CE CF CA CB CD ，则||,||KE AB KF AD ． …………10分由ABL PAL KAF ，180180BAL BAC CAD AKF ，可知ABL KAF ∽，所以KF AB AL KA． …………20分 同理，记,DQ CA 的延长线交于点L ，则KE AD AL KA． 又由||,||KE AB KF AD 知KE CK KF AB CA AD，即KE AD KF AB ． 所以AL AL ，即L 与L 重合．由切割线定理知2LP LB LA LQ LD ，所以,,,B P Q D 四点共圆．…………40分三．（本题满分50分）给定正整数n .在一个3n ×的方格表上，由一些方格构成的集合S 称为“连通的”，如果对S 中任意两个不同的小方格,A B ，存在整数2l ≥及S 中l 个方格12,,,lA C C CB ==，满足iC 与1i C +有公共边(1,2,,1i l −).求具有下述性质的最大整数K ：若将该方格表的每个小方格任意染为黑色或白色，总存在一个连通的集合S ，使得S 中的黑格个数与白格个数之差的绝对值不小于K .解：所求最大的K n =.对一个由小方格构成的集合S ，记b S 是S 中的黑格个数，w S 是S 中的白格个数. 用[,]i j 表示第i 行第j 列处的方格，这里13i ≤≤,1j n ≤≤.对于两个方格[,]A i j =，[,]B i j ′′=, 定义它们之间的距离为(,)||||d A B i i j j ′′=−+−.首先，如果将方格表按国际象棋棋盘一样黑白间隔染色，我们证明对任意连通的集合S ，均有||b w S S n −≤，这表明K n ≤.设[1,1]是黑格，并记{0,1}ε∈，满足(mod 2)n ε≡.先证b w S S n −≤.可不妨设S 包含所有黑格，这是因为若S 不包含所有黑格， 取不属于S 的黑格A 满足(,)d A S 最小，这里(,)min (,)B Sd A S d A B ∈=.易知(,)1d A S =或2.若(,)1d A S =，取{}S S A ′=，则S 仍是连通的，且b w S S ′′−更大. 若(,)2d A S =，则存在与A 相邻的白格C ，而C 与S 中某个方格B 相邻，取{,}S S A B ′= ，则S 仍是连通的，且bw S S ′′−不变. 因而可逐步扩充S ，使得S 包含所有黑格，保持S 的连通性，且b w S S −不减.考虑白格集合{[,]|}k W i j i j k =+=，3,5,,1k n ε++，每个k W 中至少有一个方格属于S ，否则不存在从黑格[1,1]A S =∈到黑格[3,1]B n ε=−+的S 中路径.故1()2w S n ε≥+，而1(3)2b S n ε=+，故b w S S n −≤. …………10分 类似可证w b S S n −≤.同上，可不妨设S 包含所有白格, 从而1(3)2w S n ε=−. 再考虑黑格集合{[,]|}k B i j i j k =+=, 4,6,,2k n ε+−，每个k B 中至少有一个黑格属于S ，否则不存在从白格[1,2]A =到白格[3,]B n ε=−的S 中路径. 从而1()2b S n ε≥−，故w b S S n −≤. …………20分 下面证明K n =具有题述性质，即对任意的染色方案，总存在连通的集合S ， 使得b w S S n −≥.设表格中共有X 个黑格和Y 个白格，在第二行中有x 个黑格和y 个白格. 于是3X Y n +=, x y n +=.故()()()()2X y Y x X Y x y n −+−=+−+=.由平均值原理可知max{,}X y Y x n −−≥.不妨设X y n −≥.取S 为第二行中的y 个白格以及所有X 个黑格.由于S 包含第二行中所有方格，因而S 是连通的. 而b S X =，w S y =，b w S S X y n −=−≥.综上所述，max K n =. …………50分四．（本题满分50分）设,A B 为正整数，S 是一些正整数构成的一个集合，具有下述性质：(1) 对任意非负整数k ，有k A S ；(2) 若正整数n S ，则n 的每个正约数均属于S ；(3) 若,m n S ，且,m n 互素，则mn S ；(4) 若n S ，则An B S ．证明：与B 互素的所有正整数均属于S ．证明：先证明下述引理．引理：若n S ，则n B S ．引理的证明：对n S ，设1n 是n 的与A 互素的最大约数，并设12n n n ，则2n 的素因子均整除A ，从而12(,)1n n ．由条件(1)及(2)知，对任意素数|p A 及任意正整数k ，有k p S ．因此，将11k A n 作标准分解，并利用(3)知11k A n S ．又2|n n ，而n S ，故由(2)知2n S ．因112(,)1k A n n ，故由(3)知112k A n n S ，即1k A n S ．再由(4)知k A n B S （对任意正整数k ）． ① …………10分 设n B C D ，这里正整数C 的所有素因子均整除A ，正整数D 与A 互素，从而(,)1C D ．由(1)及(2)知C S （见上面1k A n S 的证明）． 另一方面，因(,)1D A ，故由欧拉定理知()1D D A ．因此()()(1)()0(mod )D D A n B A n n B D ，但由①知()D A n B S ，故由(2)知D S ．结合C S 及(,)1C D 知CD S ，即n B S ．引理证毕． …………40分回到原问题．由(1)，取0k 知1S ，故反复用引理知对任意正整数y ，有1By S ．对任意*,(,)1n n B N ，存在正整数,x y 使得1nx By ，因此nx S ，因|n nx ，故n S ．证毕． …………50分。
全国高中数学联合竞赛试题及参考答案5
全国高中数学联合竞赛试题及参考答案一、选择题(每小题6分，共36分)1.给定公比为q(q≠1)的等比数列{a n}，设b1=a1+a2+a3，b2=a4+a5+a6，...，b n=a3n-2+a3n-1+a3n，...，则数列{b n}( )(A)是等差数列(B)是公比为q的等比数列(C)是公比为q3的等比数列(D)既不是等差数列也不是等比数列2.平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式(|x|-1)2+(|y|-1)2<2的整点(x,y)的个数是( )(A)16 (B)17 (C)18 (D)253.若(log23)x-(log53)x≥(log23)-y-(log53)-y,则（）(A)x-y≥0 (B)x+y≥0 (C)x-y≤0 (D)x+y≤04.给定下列两个关于异面直线的命题：命题I：若平面α上的直线a与平面β上的直线b为异面直线，直线c是α与β的交线，那么，c至多与a,b中的一条相交；命题II：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。
那么，（）(A)命题I正确，命题II不正确(B)命题II正确，命题I不正确(C)两个命题都正确(D)两个命题都不正确5.在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。
那么，在上述3名选手之间比赛的场数是（）(A)0 (B)1 (C)2 (D)36.已知点A(1,2)，过点(5,-2)的直线与抛物线y2=4x交于另外两点B,C，那么，△ABC是( )(A)锐角三角形 (B)钝角三角形(C)直角三角形 (D)答案不确定二、填空题(每小题9分，共54分)已知正整数n不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的n的个数是____。
1.已知θ=arctg(5/12)，那么，复数 z＝(cos2θ +i sin2θ )/(239+i)的辐角主值是____。
全国高中数学联合竞赛试题及参考答案9
全国高中数学联合竞赛试题及参考答案注:本试卷可使用计算器.一、 选择题：本大题共有10小题，每小题6分，满分60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的。
1、 ,a b 为实数，集合{},1,,0,:b M P a f x x a ⎧⎫==→⎨⎬⎩⎭表示把集合M 的元素x 映射到集合P 中仍为x ，则a b +=（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）1± 2、21sin 40cos 201cos 160-︒︒--︒化简的结果为（A ）1sin 40-︒ （B ）1cos 20sin 20︒-︒（C ）1 （D ）1-3、 已知(0,1),(2,2),(4,6)A B C --，则AB 在AC方向上的投影为（A ）741 （B ）741- （C ）713（D ）713-4、 在数列{}n a 中，1111,,4n n n a a a a +==++则99a = （A ）125504 （B ）2500 （C ）124504（D ）24015、 已知函数()sin()(0,)f x x x R ωϕω=+>∈满足(1)()(1)f x f x f x +=--对任意的x R ∈都成立。
若sin(9),sin(9)A x B x ωϕωωϕω=++=+-，则A 与B 的大小关系是（A ）A B > （B ）A B = （C ）A B < （D ）不确定6、 设,,a b c 为实数，440,20a b c a b c -+>++<。
则下列四个结论中正确的是 （A ）2b ac ≤ （B ）2b ac > （C ）20b ac a >>且 （D ）20b ac a <<且 7、 设()sin f x x x =，若12,,22x x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦且12()()f x f x >，下列结论中必定成立的是 （A ）12x x > （B ）120x x +> （C ）12x x < （D ）2212x x > 8、 曲线5sin(2)6y x π=+与直线y x =的交点个数是（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）89、 函数f 定义在正整数有序对的集合上，并满足(,),(,)(,),f x x x f x y f y x ==()(,)(,)x y f x y yf x x y +=+，则(14,52)f 的值为（A ）364 （B ）182 （C ）91 （D ）无法计算 10、O 是平面上一定点，,,A B C 平面上不共线的三个点，动点P 满足(),c o s c o s A B A C O P O A R A B A B C A C B C Aλλ=++∈，则P 的轨迹一定通过ABC 的 （A ）外心 （B ）内心 （C ）重心 （D ）垂心二、 填空题目：本大题共10小题，每小题6分，满分60分。
全国高中数学联合竞赛试题及参考答案8
全国高中数学联合竞赛试题及参考答案题 号一 二总分1～89 10 11 12 得 分 评 卷 复 核【说明】解答本试卷不得使用计算器一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1．设x ，y ，z 是正实数，满足()()xy z x z y z +=++，则xyz 的最大值是 ． 2．设从正整数k 开始的201个连续正整数中，前101个正整数的平方和等 于后100个正整数的平方和，则k 的值为 ．3．设(2)n n ≥是给定的整数，12,,,n x x x 是实数，则1223sin cos sin cos x x x x ++1sin cos n x x + 的最大值是 ．4．在△ABC 中，已知30,105A B ∠=︒∠=︒，过边AC 上一点D 作直线DE ，与边AB 或者BC 相交于点E ，使得60CDE ∠=︒，且DE 将△ABC 的面积两等分，则2CD AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 5．对于任意实数a ，b ，不等式{}max ,,2006a b a b b C +--≥恒成立，则 常数C 的最大值是 ．（注：{}max ,,x y z 表示x ，y ，z 中的最大者．）6．设2()cos f x x ax b x =++，{}{}()0,R (())0,R x f x x x f f x x =∈==∈≠∅， 则满足条件的所有实数a ，b 的值分别为 ．7．在直三棱柱中，已知底面积为s 平方米，三个侧面面积分别为m 平方米， n 平方米，p 平方米，则它的体积为 立方米．8．已知函数:f R +→R 满足：对任意,x y ∈R +，都有11()()()20062005f x f y f xy x y ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，则所有满足条件的函数f 为 ．二、解答题9．（本题满分14分） 已知抛物线22(0)y px p =>，其焦点为F ，一条过焦点F ，倾斜角为θ(0)θπ<<的直线交抛物线于A ，B 两点，连接AO （O 为坐标原点），交准线于点B '，连接BO ，交准线于点A '，求四边形ABB A ''的面积．10．（本题满分14分） 数列{}n a 定义如下：11a =，且当2n ≥时，211,1,n n n a n a n a -+⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩当为偶数时，当为奇数时．已知3019n a =，求正整数n ．yxOF11．（本题满分16分） 对一个边长互不相等的凸(3)n n ≥边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色．问：共有多少种不同的染色方法？12．（本题满分16分） 设]1,0[,∈b a ，求)1)(1(11b a abb a S --++++=的最大值和最小值．2006年上海市高中数学竞赛答案一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1、1272、201003、2n4、365、10036、04a ≤<，b ＝07、4()()()()2sm n p m n p p m n n p m +++-+-+- 8、1()2006f x x=+二、解答题9．（本题满分14分） 已知抛物线22(0)y px p =>，其焦点为F ，一条过焦点F ，倾斜角为θ(0)θπ<<的直线交抛物线于A ，B 两点，连接AO （O 为坐标原点），交准线于点B '，连接BO ，交准线于点A '，求四边形ABB A ''的面积．解 当2πθ=时，22ABB A S p ''=． …………………（4分）当2πθ≠时，令t a n k θ=．设1122(,),(,)A x y B x y ，则由()2py k x =-， ①22y px =， ②消去x 得，2220py y p k--=，所以 122py y k+=， 212y y p =-． ③ 又直线AO 的方程为：11y y x x =，即为12p y x y =，所以，AO 与准线的交点的坐标为21(,)2p p B y '--，而由③知，221p y y =-，所以B 和B '的纵坐标相等，从而BB x ' 轴．同理AA x' 轴，故四边形ABB A ''是直角梯形．………………（9分） 所以，它的面积为11()22ABB A S AA BB A B AB A B ''''''''=+⋅=⋅222121211()()2x x y y y y =-+-⋅- B /A /F BAO xy221211()12y y k =-+212122111()42y y y y k⎡⎤=++-⎣⎦ 332222221212(1cot )p p k θ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．………………（14分）10．（本题满分14分） 数列{}n a 定义如下：11a =，且当2n ≥时，211,1,n n n a n a n a -+⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩当为偶数时，当为奇数时．已知3019n a =，求正整数n ． 解 由题设易知，0,1,2,n a n >= ．又由11a =，可得，当n 为偶数时，1n a >；当(1)n >是奇数时，111n n a a -=<． ………………（4分） 由3019n a =1>，所以n 为偶数，于是23011111919n a =-=<，所以，2n是奇数．于是依次可得：1219111n a -=>， 12n-是偶数， 24198111111n a -=-=<，24n -是奇数， 2141118n a --=>，64n -是偶数， 681131188n a -=-=<，68n -是奇数， 618813n a --=>，148n -是偶数， 1416851133n a -=-=>，1416n -是偶数，1432521133n a -=-=<，1432n -是奇数， ……………（9分）14132312n a --=>，4632n -是偶数， 4664311122n a -=-=<，4664n -是奇数， 4616421n a --=>，11064n -是偶数， 110128211n a -=-=，所以，1101128n -=，解得，n ＝238． ……………… （14分） 11．（本题满分16分） 对一个边长互不相等的凸(3)n n ≥边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色．问：共有多少种不同的染色方法？解 设不同的染色法有n p 种．易知36p =． ………………（4分）当4n ≥时，首先，对于边1a ，有3种不同的染法，由于边2a 的颜色与边1a 的颜色不同，所以，对边2a 有2种不同的染法，类似地，对边3a ，…，边1n a -均有2种染法．对于边n a ，用与边1n a -不同的2种颜色染色，但是，这样也包括了它与边1a 颜色相同的情况，而边1a 与边n a 颜色相同的不同染色方法数就是凸n －1边形的不同染色方法数的种数1n p -，于是可得1132n n n p p --=⨯-， ………………（10分） ()1122n n n n p p ---=--．于是 ()33232(1)2(1)2n n n n p p ---=--=-⋅， 2(1)2n nn p =+-⋅，3n ≥． 综上所述，不同的染色方法数为2(1)2n n n p =+-⋅． ………………（16分）12．（本题满分16分） 设]1,0[,∈b a ，求a 3a n-1a na 2a 1)1)(1(11b a abb a S --++++=的最大值和最小值．解 因为)1)(1(11b a ab b a S --++++=)1)(1()1(1)1)(1(122b a ab ab b a b a b a ++--=+++++=1≤ ，当0=ab 或1=ab 时等号成立，所以S 的最大值为1． ………………（6分）令)1)(1()1(b a ab ab T ++-=，ab x =，则abab ab ab ab b a ab ab T ++-≤+++-=21)1(1)1( x x x x x x +-=+-=1)1()1()1(2222． ………………（10分） 下证 211551)1(2-≤+-x x x ． ①① 0)25()215(2≥-+--⇔x x ， 所以 21155-≤T ， 从而 25513-≥S ， 当215-==b a 时等号成立，所以S 的最小值为25513-．……………（16分）。
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全国高中数学联合竞赛试题（校模拟）第 一 试 时间：10月16日一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1、设锐角θ使关于x 的方程24cos cot 0x x θθ++=有重根，则θ的弧度数为（ ） A.6π B.51212orππ C.5612orππ D.12π 2、已知22{(,)|23},{(,)|}M x y x y N x y y mx b =+===+。
若对所有,m R M N ∈≠∅ 均有，则b 的取值范围是（ ）A. ⎡⎢⎣⎦B. ⎛ ⎝⎭C. (,33-D. ⎡⎢⎣⎦ 3、3121log 202x +>的解集为（ ） A. [2,3)B. (2,3]C. [2,4)D. (2,4]4、设O 点在ABC ∆内部，且有230OA OB OC ++=，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积的比为（ ） A. 2B.32C. 3D.535、设三位数n abc =，若以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n 有（ ） A. 45个 B. 81个 C. 165个 D. 216个6、顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆的圆心，AB OB ⊥，垂足为B ，OH PB ⊥，垂足为H ，且PA=4，C 为PA 的中点，则当三棱锥O －HPC 的体积最大时，OB 的长是（ ）A.3B.3C.3D.3二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7、在平面直角坐标系xoy 中，函数()sin cos (0)f x a ax ax a =+>在一个最小正周期长的区间上的图像与函数()g x =________________。
8、设函数:,(0)1f R R f →=满足，且对任意,,x y R ∈都有(1)()()()2f xy f x f y f y x +=--+，则()f x =_____________________。
9、如图、正方体1111ABCD A B C D -中， 二面角11A BD A --的度数是____________。
10、设p 是给定的奇质数，正整数k也是一个正整数，则k=____________。
11、已知数列012,,,...,,...,n a a a a 满足关系式10(3)(6)18,3n n a a a +-+==且，则1ni o ia =∑的值是_________________________。
12、在平面直角坐标系XOY 中，给定两点M （－1，2）和N （1，4），点P 在X 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标为___________________。
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13、一项“过关游戏”规则规定：在第n 关要抛掷一颗骰子n 次，如果这n 次抛掷所出现的点数之和大于2n ，则算过关。
问：（Ⅰ）某人在这项游戏中最多能过几关？ （Ⅱ）他连过前三关的概率是多少？（注：骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6点数的均匀正方体。
抛掷骰子落地静止后，向上一面的点数为出现点数。
）14、在平面直角坐标系xoy 中，给定三点4(0,),(1,0),(1,0)3A B C -，点P 到直线BC 的距离是该点到直线AB ，AC 距离的等比中项。
（Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）若直线L 经过ABC ∆的内心（设为D ），且与P 点的轨迹恰好有3个公共点，求L 的斜率k 的取值范围。
15、已知,αβ是方程24410()x tx t R --=∈的两个不等实根，函数22()1x tf x x -=+的定义域为[],αβ。
（Ⅰ）求()max ()min ()g t f x f x =-； （Ⅱ）证明：对于(0,)(1,2,3)2i u i π∈=，若123sin sin sin 1,u u u ++=123111(tan )(tan )(tan )g u g u g u ++<则B参考答案及评分标准说明：1、评阅试卷时，请依据本评分标准。
选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次。
2、如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1、解：因方程24cos cot 0x x θθ++=有重根，故216cos 4cot 0θθ∆=-=0,4cot (2sin 21)02πθθθ<<∴-= 得1sin 22θ=52266ππθθ∴==或，于是51212ππθ=或。
故选B 。
2、解：M N ≠∅ 相当于点（0，b ）在椭圆2223x y +=上或它的内部221,3b b ∴≤≤≤。
故选A 。
3、解：原不等式等价于22331log 0222log 10x x ++>⎪-≥⎩2310,22t t t t ⎧-+>⎪=⎨⎪≥⎩则有 解得01t ≤<。
即20log 11,24x x ≤-<∴≤<。
故选C 。
4、解：如图，设D ，E 分别是AC ，BC 边的中点，则2(1)2()4(2)OA OC OD OB OC OE +=+=由（1）（2）得，232(2)0OA OB OC OD OE ++=+= ，即OD OE与共线，且332||2||,322AEC ABC AOC AOC S S OD OE S S ∆∆∆∆⨯=∴=∴== ， 故选C 。
5、解：a ，b ，c 要能构成三角形的边长，显然均不为0。
即,,{1,2,...,9}a b c ∈（1）若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为1n ，由于三位数中三个数码都相同，所以，1199n C ==。
（2）若构成等腰（非等边）三角形，设这样的三位数的个数为2n ，由于三位数中只有2个不同数码。
设为a 、b ，注意到三角形腰与底可以置换，所以可取的数码组（a ，b ）共有292C 。
共20种情况。
同时，每个数码组（a ，b ）中的二个数码填上三个数位，有23C 种情况。
故2222399(220)6(10)156n C C C =-=-=。
综上，12165n n n =+=。
6、解：,,,AB OB AB OP AB PB OH PB ⊥⊥∴⊥⊥ 又,,PAB POB OH HC OH PA ∴⊥∴⊥⊥面面。
C 是PA 中点，OC PA ∴⊥ HOC HO HC S ∆∴=当时最大，也即O HPC P HCO V V --=最大。
此时，0,30tan 30HO OP HPO OB OP =∴∠=∴=⋅=1故HO=2，故选D 。
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7、解：1()),arctanf x axaϕϕ=+=其中，它的最小正周期为2aπ，振幅为()f x的图像与()g x的图像围成的封闭图形的对称性，可将这图形割补成长为2aπ8、解：,,(1)()()()2,x y R f xy f x f y f y x∀∈+=--+对有(1)()()()2f xy f y f x f x y∴+=--+有∴()()()2f x f y f y x--+=()()()2f y f x f x y--+即()(),0,()1f x y f y x y f x x+=+==+令得。
9、解：连结1,D C⊥1作CE BD，垂足为E，延长CE交1A B于F，则1FE BD⊥，连结AE，由对称性知1,AE BD FEA⊥∴∠是二面角11A BD A--的平面角。
连结AC，设AB=1，则11AC AD BD===1Rt ABD∆在中，11AB ADAEBD⋅==，在2222222213cos42223AE CE AC AE ACAEC AECAE CE AE-+--∆∠====-⋅中,120,AEC FEA AEC∴∠=∠∠而是的补角，060FEA∴∠=。
10、解：*22,,0,n n N k pk n k=∈--==则，从而224p n+是平方数，设为2*2,,(2)(2)m m N m n m n p∈-+=则22212123,,214pmm np pm n p pn⎧+=⎪-=⎧⎪≥∴⎨⎨+=-⎩⎪=⎪⎩是质数，且解得B222(1)(1),244p m p p p k k ±±++∴===故。
（负值舍去）11、解：设1111,0,1,2,...,(3)(6)18,n n n nb n a b b +==-+=则即1111113610.2,2()333n n n n n n b b b b b b +++--=∴=++=+ 故数列1{}3n b +是公比为2的等比数列，11001111112()2()2(21)33333n n n n n n b b b a +++=+=+=⨯∴=-。
()112001112(21)1(21)(1)2333213n nn ni n i i o i i i b n n a +++===⎡⎤-==-=-+=--⎢⎥-⎣⎦∑∑∑。
12、解：经过M 、N 两点的圆的圆心在线段MN 的垂直平分线y=3－x 上，设圆心为 S （a ，3－a ），则圆S 的方程为：222()(3)2(1)x a y a a -+-+=+对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，所以，当MPN ∠取最大值时，经过M ，N ，P 三点的圆S 必与X 轴相切于点P ，即圆S 的方程中的a 值必须满足222(1)(3),a a +=-解得 a=1或a=－7。
即对应的切点分别为'(1,0)(7,0)P P -和，而过点M ，N ，'p 的圆的半径大于过点M ，N ，P 的圆的半径，所以'MPN MP N ∠>∠，故点P （1，0）为所求，所以点P 的横坐标为1。
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13、解：由于骰子是均匀的正方体，所以抛掷后各点数出现的可能性是相等的。
（Ⅰ）因骰子出现的点数最大为6，而45642,652⨯>⨯<，因此，当5n ≥时，n 次出现的点数之和大于2n已不可能。
即这是一个不可能事件，过关的概率为0。
所以最多只能连过4关。
.......5分（Ⅱ）设事件n A 为“第n 关过关失败”，则对立事件n A 为“第n 关过关成功”。
第n 关游戏中，基本事件总数为6n个。
第1关：事件1A 所含基本事件数为2（即出现点数为1和2这两种情况），∴过此关的概率为：1122()1()163P A P A =-=-=。