缺项幂级数收敛域的求法
求幂级数∑nx^n的收敛域及和函数
求幂级数∑nx^n的收敛域及和函数
求幂级数∑nx^n的收敛域及和函数是一个比较常见的数学分析问题。
首先，我们来看一下这个幂级数的收敛域。
因为这个幂级数是由幂数
x^n组成的，只有当其幂指数n可以作为一个正整数时，它才能收敛，
所以它的收敛范围就是x的不等于为0的任何实数构成的域D＝(-∞，
+∞). 接着，要求出这个幂级数的和函数，首先，我们要知道他的基本
元素x^n的和函数，易知，它的和函数为：f（x）= 1+x+x^2+...+x^n.
因此，对于幂级数∑nx^n，其和函数便是基本元素x^n的和函数的一般
形式：f（x）= 1+x+x^2+...+x^n = (1-x^(n+1))/(1-x)。
其中，当x≠0时，这个函数f（x）仍有意义。
综上所述，求幂级数∑nx^n的收敛域及和函数是由x的不等于为0的任何实数构成的域D＝(-∞，+∞)，其和函数为f（x）= (1-x^(n+1))/(1-x)。
幂级数与幂函数的收敛半径
幂级数与幂函数的收敛半径幂级数与幂函数是数学中重要的概念，它们在实际问题的建模和分析中具有广泛的应用。
本文将探讨幂级数以及幂函数的收敛半径的概念和计算方法。
一、幂级数的收敛半径幂级数是形如∑(n=0)~∞(a_n(x-a)^n)的无穷级数，其中a_n为系数，a为常数。
幂级数在特定的收敛半径内可以收敛到某个特定的函数。
而收敛半径R则决定了幂级数的收敛性以及收敛的范围。
1. 收敛半径的定义设幂级数为∑(n=0)~∞(a_n(x-a)^n)，如果存在一个正数R，使得当|x-a|<R时，级数绝对收敛；而当|x-a|>R时，级数发散。
则称R为幂级数的收敛半径，并称幂级数在以a为中心、R为半径的区间上绝对收敛。
2. 收敛半径的计算幂级数的收敛半径可以通过求和式的柯西-阿达玛公式来求得。
柯西-阿达玛公式表示为：1/R = lim sup√(|a_n|)其中lim sup表示上极限。
根据该公式，我们可以通过计算幂级数系数的绝对值的上极限来求得收敛半径。
二、幂函数的收敛半径幂函数是形如f(x) = a(x-c)^r的函数，其中a、c、r为常数。
幂函数的收敛半径与幂级数的收敛半径存在一定的联系。
1. 幂函数的收敛性对于幂函数来说，当r为正整数时，在定义域内收敛；当r为负整数时，在除去c的邻域外收敛；当r为0时，只在x=c处收敛。
2. 幂函数的收敛半径与级数的关系对于形如∑(n=0)~∞(a_n(x-a)^n)的幂级数，可以将其视为一个幂函数的泰勒展开形式。
幂级数的收敛半径R与幂函数的收敛半径之间存在以下关系：收敛半径R ≥ 收敛域半径r其中，收敛域半径r是幂函数在定义域内收敛的区间的半径。
三、幂级数与幂函数的应用幂级数与幂函数在实际问题的建模和分析中有广泛的应用。
例如，在物理学中，幂级数可以用于描述电磁场的分布和电路的性质；在工程学中，幂函数可以用于建模复杂的机械运动和能量传输等问题。
总结起来，幂级数与幂函数的收敛半径是决定它们收敛性和收敛范围的重要指标。
幂级数的收敛半径的求法
幂级数的收敛半径的求法
根据达朗贝尔审敛法，收敛半径R满足：如果幂级数满足，则：p是正实数时，R=1/p；p=0时，R=+oo；p=+o时，R=0。
根据根值审敛法，则有柯西阿达马公式。
或者，复分析中的收敛半径将一个收敛半径是正数的幂级数的变量取为复数，就可以定义一个全纯函数。
如果幂级数在a附近可展，并且收敛半径为r，那么所有满足za=r 的点的集合（收敛圆盘的边界）是一个圆，称为收敛圆。
幂级数在收敛圆上可能收敛也可能发散。
即使幂级数在收敛圆上收敛，也不一定绝对收敛。
用第n+1项除以第n项，整个的绝对值，小于1，解出x（或x-a 这决定于你级数的展开）的绝对值小于的值就是收敛半径收敛域就是求使其收敛的所有的点构成的区域。
幂级数收敛半径的三种求法
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
泥鳅养殖技术教程90413共42页 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
幂级数及其收敛性(精)
DEPARTMENT OF APPLIED MATHEMATICS
求下列幂级数的收敛区间: n x ( 2) ( nx )n ; (1) ( 1)n ; n n 1 n 1
xn ( 3) ; n 1 n!
n 2 1 n n (4) ( 1) (x ) . n 2 n1
应用达朗贝尔判别法
n 1 un1 ( x ) 1 2 2 lim lim x , 2 n 1 n u ( x ) n x 2 n n 2 1 2 即 x 2时, 级数收敛, 当 x 1, 2
x
2 n 1
© Copyright NJAUMATH 2009
DEPARTMENT OF APPLIED MATHEMATICS
证明 对级数 an x n 应用达朗贝尔判别法
n 0
a n1 设 lim n a n
(或 lim n an )
n
lim
n
a n 1 x n 1 an x n
a n 1 lim x x, n a n
© Copyright NJAUMATH 2009
R , 收敛区间( , ) .
问题 如何求幂级数的收敛半径?
© Copyright NJAUMATH 2009
DEPARTMENT OF APPLIED MATHEMATICS
定理 2 如果幂级数
n a x n 的所有系数an 0 , n 0
1 (1) 则当 0 时, R ; (2) 当 0 时,R ; (3) 当 时,R 0 .
从而级数 an x 绝对收敛. 收敛半径 R ;
n n 0
( 3) 如果 ,
一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算
2012/6/4
24
x 1 x2 (1)n1 1 xn x (1, 1]
2
n
x 1 x2 1 xn x [1, 1)
2
n
例6、将 arctanx 展开为x 的幂级数。
25
例7、求
的和函数。
例8、证明对一切 x (1, 1) 成立，
并求
注意: 求幂级数的和函数或求函数的幂级数展开等 一定要考虑其收敛域。
0
0 1t
x (1, 1]
23
说明
1) 逐项求导或逐项积分后，收敛半径不变，
但收敛域可能扩大或缩小。
2) 此题还得到以下结论:
(1)
1
(1)n xn
1 x n0
1 x x2
(2)
1
xn
1 x n0
1 x x2
(1)n xn x (1, 1) xn x (1, 1)
幂级数具有良好的性质。 如果函数能表示幂级数的形式, 对研究函数
的性质是很有效的。
解决两类问题:
在收敛域内， 幂级数
求和 展开
和函数
2012/6/4
32
（一）Taylor 级数与余项公式
Taylor公式
函数 f (x) 在 x0 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在该邻域内有:
f (x)
f ( x0 )
n0
an ( R)n
.
20
3、逐项可导性 (求导) 定理
设 S( x) anxn 的收敛半径为 R ,
n0
则和函数 S (x) 在 (-R , R) 可以逐项求导，即
S( x) ( anxn ) (anxn ) nanxn1
微积分之幂级数
注意：对于级数1nn u∞=∑，当1nn u∞=∑收敛时，1nn u∞=∑绝对收敛.例 证121(1)(21)n n n -∞=--∑绝对收敛：令12(1)(21)n n u n --=-，则 222211111,(21)[(1)]n n u n n n n n ∞===≤-+-∑收敛⇒1n n u ∞=∑收敛故 原级数绝对收敛.§ 幂级数教学目的：弄清幂级数的相关概念；掌握幂级数收敛半径、收敛区间、 收敛域定义与求法；掌握幂级数的性质，能灵活正确运用性质 求幂级数的和函数.重难点：掌握幂级数收敛半径、收敛区间、收敛域概念与求法；掌握幂 级数的性质，能灵活正确运用性质求幂级数的和函数，以及常 数项级数的和. 教学方法：启发式讲授 教学过程：一、函数项级数的概念1．【定义】设 ),(,),(),(21x u x u x u n 是定义在区间I 上的函数,则++++=∑∞=)()()()(211x u x u x u x u nn n称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数. 2．收敛域(1) 收敛点I x ∈0—— 常数项级数∑∞=10)(n nx u 收敛；(2) 发散点I x ∈0——常数项级数∑∞=10)(n nx u 发散；(3) 收敛域D —— 函数项级数∑∞=1)(n nx u的所有收敛点形成的集合D ；(4) 发散域G ——∑∞=1)(n nx u的发散点的全体构成的集合G .3．和函数)(x S —— ∑∞==1)()(n n x u x S , D x ∈.若函数项级数∑∞=1)(n nx u在收敛域内每一点都对应于)(x S 的一个函数值，则称)(x S 为函数项级数∑∞=1)(n nx u的和函数.4．余项)(x r n —— )()()(x S x S x r n n -=, ∑==nk kn x ux S 1)()(, D x ∈.注: ①只有在收敛域D 上, )(x r n 才有意义； ② 0)(lim =∞→x r n n , D x ∈.二、幂级数及其收敛半径和收敛域 1．【定义】形如nn nx x a )(0∑∞=-的函数项级数称为0()x x -的幂级数.（也称为一般幂级数），其中 012,,,.,n a a a a 为常数，称为幂级数的系数.当00=x 时,∑∞=0n nn xa 称为x 的幂级数（也称为标准幂级数）, 其中常数n a （0,1,2,n =）称为幂级数的系数.结论：对于级数nn nx x a )(0∑∞=-，作代换0t x x =-可以将一般幂级数化为标准幂级数n nn a t∞=∑，所以我们只研究标准幂级数敛散性的判别方法.∑∞=0n nn xa 的收敛域：此级数的全体收敛点的集合.显然: D x ∈0(收敛域)，即幂级数总在0x x =点处收敛.例如: ∑∞=0n nx , ∑∞=-0!)1(n nn x 均为幂级数.显然:∑∞=0n nx的收敛域)1,1(-=D ,其发散域),1[]1,(+∞--∞= G .且和函数,11)(0xx x S n n -==∑∞= 1||<x .此结论可当公式使用. 2.级数的收敛域 把级数∑∞=0n nn xa 的各项取绝对值得正项级数nnn a x∞=∑，记 1lim n n na l a +→∞=，则 11lim n n n n n a x l x a x ++→∞=；于是由比值判别法知 （1）若1,(0)l x l <≠，即1x R l <=，∑∞=0n nn x a 绝对收敛.(2) 若1l x >，即1x R l >=，∑∞=0n n n x a 发散.(3) 若1l x =，即1x R l ==，比值法失效，∑∞=0n n n x a 敛散另行判定.（4）若0l =，即01l x =<，此时对任意x ，∑∞=0n nn xa 收敛.上述分析显示级数∑∞=0n nn xa 在一个以原点为中心，从R -到R 的区间内绝对收敛，区间(,)R R -称为幂级数的收敛区间，1R l=为收敛半径.若级数∑∞=0n nn xa 仅在点0x =收敛，则规定0R =，级数的收敛域为0x =例如 级数20!12!!nn n n xx x n x ∞==+++++∑由于 11lim lim lim 1(0)(1)!nn n n n n nx un x x u n x +-→∞→∞→∞==>≠-n ！， ∴ 级数收敛域为 0x =或 {0}；独点集. 若∑∞=0n nn xa 对任意x 都收敛，则R =+∞，级数的收敛域为(,)-∞+∞.当0R <<+∞时，要讨论级数在x R =±处的敛散性才能确定收敛域.此时收敛域可能是下列区间之一：),,(R R -),,[R R -],,(R R -].,[R R - 3.【阿贝尔定理】（补充）设∑∞=0n nn xa 的收敛域为D ，则（1）若D x ∈0且00x ≠, 则对||||0x x <∀,∑∞=0n nn xa 收敛且绝对收敛.(2) 若D x ∉0, 则 对||||0x x >∀,有D x ∉即级数∑∞=0n nn xa 发散.证明: (1) D x ∈0⇒∑∞=0n n n xa 收敛，由∑∞=00n n n xa 收⇒00()nn a x n →→∞0>∃===>M 0||(0nn a x M M ≤>的常数） ||||0x x <===>0000||||n nn nn n x x a x a x M x x ≤=⋅≤,因10<x x , 从而 00nn x M x ∞=∑收敛,⇒正项级数∑∞=0||n nn x a 收敛⇒∑∞=0n nn x a 收敛⇒D x ∈即对||||0x x <∀,∑∞=0n n n x a 收敛且绝对收敛.(2) D x ∉0,假若有D x ∈1满足||||01x x >)1(由==>∑∞=0n nn xa 收敛⇒D x ∈0矛盾. 所以||||0x x >∀,有∑∞=0n n n x a 发散，即D x ∉.注意:(1) 若D x ∈0, 则 00(||,||)x x D -⊂(收敛域), )0(0≠x ； (2) 若D x ∉0, 则 00(,||)(||,)x x G -∞-+∞⊂(发散域).4.【定理】若幂级数∑∞=0n n n x a 系数满足条件 1limn n na l a +→∞=或lim ||n n n a l →∞=（l 为常数或∞），则(1) 当0l <<+∞时, 则1R l=； (2) 当0l =时, 则R =+∞. （3）当l =+∞时, 则0R =. 常用公式: 1lim+∞→=n n n a a R ，1lim n n n R a →∞=.例如: 幂级数∑∞=0n nx的收敛半径1=R ,1x =±时，级数发散，故其敛区与敛域均为(1,1)-. 例1 求幂级数11(1)nn n x n∞-=-∑的收敛半径与收敛域. 解 (1) 级数的通项为 11(1)n n a n-=- 1lim+∞→=n n n a a R 11lim =+=∞→n n n .(2) 当1=x 时, 级数为∑∞=-1)1(n nn 收敛；当1-=x 时, 级数为∑∞=11n n 发散.故收敛区间（敛区）是()1,1-，收敛域为]1,1(-（敛域）.例2（1） 求幂级数∑∞=0!n nn x 的收敛半径与收敛域.解: 1!n a n =⇒1lim +∞→=n n n a a R +∞=+=+=∞→∞→)1(lim !)!1(limn n n n n , 故 收敛区间和收敛域均是 ),(+∞-∞. （2） 求幂级数∑∞=0!n nxn 的收敛半径.解: !na n =⇒1lim +∞→=n n n a a R 011lim )!1(!lim =+=+=∞→∞→n n n n n . 练习：求幂级数110(1)n n n x ∞--=-∑的收敛半径与收敛域.提示：1lim11nn n a R R a →∞+==⇒=，又1x =时级数发散.收敛域()1,1-.例3 （1）求幂级数213(1)n nn n x n∞-=⋅-∑的收敛半径与收敛域.（缺项级数） 提示：12(1)112(1)3lim lim 1(1)3n n n n n n n n n nu x nu n x +++-→∞→∞-=⋅+- 223lim31n n x x n →∞==+当21313x x <⇒<时级数收敛；当21313x x >⇒>时级数发散.当 13x =±时，原级数是111(1)n n n ∞-=-∑，收敛的交错级数.所以 收敛半径13R =，收敛区间11(,)33-，收敛域11[,]33-. 注意：缺项级数可以直接用比值法求收敛半径.（2）求幂级数1211(1)21n n n x n --∞=--∑的收敛域.解：21221212121lim lim lim 2121n n n n n n nu x n n x x u n x n ++-→∞→∞→∞--=⋅=⋅=++由211x x <<即时级数收敛，由由211x x >>即时级数发散. 得 1R =当1x =时，1121n ∞∑n －n=1（－）－收敛，当1x =-时，121n ∞∑n n=1（－）－收敛，所以 收敛域为 [1,1]-.例4求幂级数1(21)nn x n ∞=+∑的收敛半径与收敛域.（中心不在原点的级数）解 令21t x =+,幂级数变形为1nn t n∞=∑,1111lim lim lim 11112n t t x n n n n a n n R R R a n n→∞→∞→∞++====⇒=⇒=+11122t x <⇒+<时级数绝对收敛，11122t x >⇒+>时级数发散，11,0t x x =⇒=-=，当1x =-时原级数为11(1)nn n∞=-∑收敛， 当0x =时，11n n ∞=∑发散，故 原级数收敛半径12R =，收敛域为[1,0]-. 注意：一般幂级数求收敛半径时作变量代换.提问：（1） 设幂级数∑∞=1n nn xa 与∑∞=1n nn xb 的收敛半径分别为35与31,则幂级数∑∞=122n n nnx b a 的收敛半径为（A ）(A) 5 (B)35 (C) 31 (D) 51答案 53lim1=+→∞nn n a a ,3lim1=+→∞nn n b b 1R ⇒=519159lim 222121=⋅=⋅++→∞n nn n n a b b a （2） 求级数∑∞=-12)3(n nn x 的收敛域. 解 令3t x =-，级数21n n t n ∞=∑,由1)1(lim lim221=+=→∞+→∞n n a a n nn n 知1t R =, 因此当131<-<-x 即42<<x 时级数收敛.当2=x 时,原级数为∑∞=-12)1(n nn 收敛,当4=x 时,原级数为∑∞=121n n收敛. 所以收敛域为]4,2[.（3） 级数21(2)4nnn x n ∞=-⋅∑的收敛域为)4,0(. 答 令(2)nt x =- 对于14n n n t n ∞=⋅∑,由1141lim lim (1)44n n n n n na n a n ++→∞→∞⋅==+⋅, 于是收敛半径4t R =,则4)2(42<-<-x ,即40<<x 内收敛.当0=x 和4=x 时,原级数都为∑∞=11n n发散,所以收敛域为)4,0(. 三、幂级数以及和函数的运算性质 1.设nn n n n n a xb x ∞∞==∑∑和的收敛半径分别为a b R R 和1）加减法:∑∑∑∞=∞=∞=±=±0)(n n n nn nnn nnx b ax b x a ,()c c R R x ,-∈.其中: },min{b a c R R R =. 2）乘法:0()nnnnnnni jn n n n i j na xb xc x a b x∞∞∞∞====+=⋅==∑∑∑∑∑,()c c R R x ,-∈.其中: },min{b a c R R R =, ∑=-=nk kn k n ba c 0, ,2,1=n .3）除法:∑∑∑∞=∞=∞==0n n n n nn n nnx c xb xa ,()c c R R x ,-∈.其中: c R 待定, 而n c 由系列表达式∑=-=nk kn k n cb a 0, ,2,1=n 确定.此处, +∞==b a R R , 但1=c R . 2.幂级数∑∞=0n nn xa 的和函数()S x 在其收敛区间(,)R R -内是连续.3.幂级数∑∞=0n nn xa 的和函数()S x 在其收敛区间(,)R R -内可积，且有逐项积分公式1()1xx n n nn n n a S x dx a t dt xn ∞∞+====+∑∑⎰⎰,R R x ='<||.(积分前后的收敛半径不变). 例:+++++=-n x x x x2111, 1||<x .逐项积分时在1x =处无 意义. 4.幂级数∑∞=0n nn xa 的和函数()S x 在其收敛区间上可微，且在收敛区间上101()n n n n n n S x a x na x ∞∞-=='⎛⎫'== ⎪⎝⎭∑∑, R R x ='<||.说明：求导与积分前后两级数的收敛半径不变，但收敛域有可能改变. 公式11n n x x∞==-∑收敛域为1x < 例5 求幂级数∑∞=+01n n n x 的和函数)(x S ,并求0(1)1nn n ∞=-+∑.解：(1) 1lim +∞→=n n n a a R 112lim =++=∞→n n n .当1-=x 时,级数为∑∞=+-11)1(n n n 收 敛；当1=x 时, 级数为∑∞=+111n n 发散. 故原级数收敛域是)1,1[-. (2) 当1||0<<x 时, 有∑∑∞=∞=+-=='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+='001111])([n nn n x x n x x xS .于是 )1ln(11])([)(00x dt tdt t tS x xS xx--=-='=⎰⎰, 由于(0)1S =且幂级数在其收敛域上连续,1ln(1), 10,01;()1, 0.x x x S x xx ⎧---≤<<<⎪=⎨⎪=⎩或 取 1x =-代入和函数可得 2ln )1(1)1(0=-=+-∑∞=S n n n. （2）求幂级数1211123n n n nxx x nx ∞--==+++++∑的和函数)(x S ，并求级数12n n n ∞=∑及级数123n n n∞=∑的和.解 1）11limlim 1n n n n a n a nρ+→∞→∞+===，所以1R =. 当1x =时，1n n ∞=∑发散，当1x =-时，1(1)nn n ∞=-⋅∑发散.所以 级数敛域为(1,1)-. 2）设11(),(1,1)n n S x nxx ∞-==∈-∑，则 100111()1,(1,1)11xx n n n n xS t dt ntdt x x x x ∞∞-=====-=∈---∑∑⎰⎰201()()(),(1,1)1(1)x d x S x S t dt x dx x x '===∈---⎰为所求和函数.3）令12x =，则有 12111()12(1)2n n n ∞-==-∑，所以122n n n∞==∑.4）令13x =，则有 12111()13(1)3n n n ∞-==-∑，所以12332n n n ∞==∑.练习：（1）求幂级数1nn x n∞=∑的和函数)(x S ：[)敛域－1，1()S x ＝－ln(1-x)(2)∑∞=-=11_______)21(n n n . 因为121111()()()(1)11(1)n n n n x S x nxx x x x ∞∞-=='''====-=---∑∑, 令12x =，则有∑∞=-==114)21()21(n n S n ,所以答案为4.例6 设,,2,1,0,d cos sin 40==⎰n x x x I nn π求∑∞=0n n I 的和.解 由4014)(sin 11dsin sin ππ++==⎰n n n x n x x I 1)22(11++=n n ,得∑∑∞=+∞=+=010)22(11n n n n n I ,令∑∞=++=0111)(n n x n x S , 则其收敛半径1=R ,在)1,1(-内x x x S n n-=='∑∞=11)(0,于是 x t tx S x --=-=⎰1ln d 11)(0,令22=x ,则221ln )22(11)22(01--=+=∑∞=+n n n S ,从而∑⎰∑∞=∞=+=-==040)22ln(2211lnd cos sin n n n n x x x I π.例7 求幂级数∑∞=<-+12)1(2)1(1n nnx n x 的和函数)(x f 及其极值. 解 依题意)(x f 211(1)(1)2nnn x x n ∞==+-<∑ ,1)(1)1()(212112x x x x x x f n n n n n +-=-=-='∑∑∞=∞=- 上式两边从0到x 积分,得)1ln(21)d(11121d 1)0()(202202x t t t t t f x f x x+-=++-=+-=-⎰⎰, 由1)0(=f 得)1(),1ln(211)(2<+-=x x x f .令0)(='x f ,求得唯一驻点0=x ,由于,01)0(,)1(1)(222<-=''+--=''f x x x f 可见)(x f 在0=x 处取得极大值,且极大值为1)0(=f . 例8 求幂级数n n x n 21)1121(-+∑∞=在区间)1,1(-内的和函数)(x S . 解 设∑∑∞=∞==+=122121)(,12)(n n n nx x S n x x S , 则 )1,1(),()()(21-∈-=x x S x S x S , 由于∑∞=--=12222,1)(n nx x x x S ),1,1(,1))((12221-∈-=='∑∞=x x x xx xS n n因此 ,11ln 21d 1)(0221xx x t t t x xS x-++-=-=⎰ 又由于,0)0(1=S所以 ⎪⎩⎪⎨⎧=<<-++-=.00,,10 ,11ln 211)(1x x xx x x S 故 ⎪⎩⎪⎨⎧=<<---+=-=.00, ,10 ,1111ln21)()()(221x x x x x x x S x S x S练习:求下列级数的收敛区间,并求和函数:(1) +-+-753753x x x x 解 该级数为∑∞=----112112)1(n n n x n ,由 22121211212lim 1212lim limx n n x n x n x u u n n n n nn n =+-=-+=→∞-+→∞+→∞,知当12<x 时幂级数绝对收敛. 当1-=x 时,幂级数∑∞=--112)1(n n n 收敛;当1=x 时,幂级数∑∞=---1112)1(n n n 收敛,所以原幂级数的收敛域为]1,1[-.设=)(x S ∑∞=----112112)1(n n n x n ,则当)1,1(-∈x 时有 =')(x S 21121221112111)()1()12)1((x x x x n n n n n n n n n +=-=-='--∑∑∑∞=-∞=--∞=--, 所以 =)(x S ⎰=+x x t t 02arctan d 11.(2) ++++7538642x x x x解 该幂级数为∑∞=-1122n n nx,由22121211lim 2)22(lim lim x n n x nx x n u u n n n n nn n =+=+=→∞-+→∞+→∞, 知当12<x 时幂级数绝对收敛. 当1-=x 时,幂级数∑∞=-1)2(n n 发散;当1=x 时,幂级数∑∞=12n n 发散,所以原幂级数的收敛区间为)1,1(-. 设=)(x S ∑∞=-1122n n nx,则当)1,1(-∈x 时,有22221212)1(2)1()()()(x xx x x x x S n nn n-='-='='=∑∑∞=∞=. 小结：1.注意收敛区间与收敛域的联系与区别.2.利用幂级数的性质求幂级数的和函数时，求导或求积分时前后的收敛区间不变.3.利用幂级数的和函数可以求常数项级数的和；求出和函数后， 取x 的特值代入和函数即得所求.4．对缺项幂级数在求收敛半径时应设辅助变量转化为常规形幂级数或直接用正项级数的比值判别法求收敛区间.课后记：存在问题：1.对缺项幂级数以及通项为0()nn a x x -的幂级数求收敛半径以及收敛域 问题多.2.求幂级数的和函数，不知从何下手.不能灵活运用幂级数的性质以及四S x的表达式.个常用公式灵活变形找()3.不能灵活运用和函数求常数项级数的和.。
06-幂级数收敛域的求法PPT
8
Z (2) ( - nx ) n ；
n=1
an
解：由于p = lim
n—8
则 R = 0. 故收敛域为{0}.
=lim n = +8,
ns
8n
(3)R n!；
---->>w^
• n=1 n
板书)
解：由于p
=
lim
n—8
“n+l
an
=lim 1 is n +1
0,
则R = +8.
故收敛域为(-8,+8)・
故收敛域为（0,1].
板书
8 2 n-1
例2、求幂级数£ r的收敛域. n=1 2
解：级数缺少偶次幂的项，由达朗贝尔判别
法,
lim 〃n+1（
ns X ）
x2n+1 /
/2 n+1
X, 1
=lim
_
1
当1
uXn（2 <X）1
,即n|一x8|<x421n时-/12/,级n 数收2敛.
当1 / > 1 ,即|x| >41时，级数发散.
n—8
n—8 an
1 ⑴若0 V p V +8 ,则当日I x |< 1,即I x Iv 一时, p
8
级数£ anxn绝对收敛.
n=0
当p\x |> 1,即| x |>一时，级数£8 anxn发散
P
n=0
板书
1
从而收敛半径R =丄. P
---8
板书
(2)若 p = 0,贝lj Vx 了 0, p x = 0 v 1,
一、幂级数收敛半径的确定
高等数学：第六讲 幂级数的收敛域
目录
01 幂级数的收敛域的概念 02 幂级数收敛域的求法
幂级数的收敛域的概念
定义1 函数项级数:
函数
un (x) u1(x) u2 (x) un (x) x I
n1
例
幂函数
xn1 1 x x2 xn1 x R
n1
定义2 幂级数 系数 an xn a0 a1x a2x2 n0
x
3
时，
xn
n0 n 3n
(3)n n0 n 3n
(1) n n0 n
收敛域 [3,3)
收敛
谢谢
对于幂级数 anxn,
n0
如果
lim
n
an1 an
(1)
当0
时，R
1
；
，则
(2) 当 0 时，R ；
(3) 当 时，R 0 .
幂级数收敛域的求法
幂级数 anxn 收敛域的求法： n0
(1) 求收敛半径R ；
(2) 写出收敛区间(R, R) ；
(3) 讨论幂级数在x R 处的敛散性， 并写出收敛域.
n0
对任何点 x : x x0 anxn 发散
n0
x0 0
x0 发散点
阿贝尔定理的解释
以幂级数 xn1 为例，解释阿贝尔定理 n 1
3 2
2 3
2
3
3
2
2
5
1 4 5
1 2
4
0
1 41 5 254
2
收敛半径 R
问题：对于一般的幂级数 anxn，怎样求收敛半径？ n0
收敛半径R的求法
定理2
例题1：
xn
求幂级数 n0 n 3n
幂级数收敛半径和收敛域的求解探讨
③若ａ１ʂａ２(ｋ１<ｋ２)时ꎬ则条件组[ａ１ꎬｋ１][ａ２ꎬｋ２]]⇒[ａ１ꎬｋ１－ｋ１][ａ２ꎬｋ２－ｋ１]]＋ｋ１⇒[ａ１ꎬ０][ａ２ꎬｋ２－ｋ１]]＋ｋ１⇒ａ１Ｎ１ａ２Ｎ２＋Ｋ２－Ｋ１＋ｋ１.由于ａ１Ｎ１ａ２Ｎ２＋Ｋ２－Ｋ１ꎬ所以推出(ＴＮ＋Ｋ１)＋ｍ(ａ１ꎬａ２)∗Ｎ⇒[ｍ(ａ１ꎬａ２)∗ＮꎬＴＮ＋Ｋ１]⇒[ｍ(ａ１ꎬａ２)ꎬＴＮ＋Ｋ１](简洁式).所以:Ｇ＝(ＴＮ＋Ｋ１)＋ｍ(ａ１ꎬａ２)∗Ｎ(跳跃数).则Ｇ＝ＴＮ＋Ｋ１ꎬＧ＝[ｍ(ａ１ꎬａ２)ꎬＴＮ＋Ｋ１](循环是生机).故而ꎬ当平余式(条件式)运算规则确立后ꎬ素数的递推式也就由此呈现ꎬ但里面并不是单一和纯粹的.平余式运算法则:[ａꎬｂ]相与ｙ＝ａｘ＋ｂ的整数值[ａꎬｂ]＝[ａꎬｂʃａ]ꎻ[ａꎬｂ]ʃｍ＝[ａꎬｂʃａ]ʃｍ＝[ａꎬｂʃａʃｍ]＝[ａꎬｂʃｍ][ａꎬｂ]∗ｍ＝[ａꎬｂ∗ｍ]ꎻ[ａꎬｂ]ｎ＝[ａꎬｂｎ]ꎻ[ａꎬｂ]ʃ[ａꎬｃ]＝[ａꎬｂ]ʃｃ＝[ａꎬｂʃｃ]ꎻ[ＮꎬＮ－Ｍ][ＫꎬＫ－Ｍ]]⇒[Ｎ∗ＫꎬＮ∗Ｋ－Ｍ](ＮꎬＫ互质).为了减少书写的难度ꎬ以后将形如[ａꎬｂ][ｃꎬｄ]]⇒[ｅꎬｆ]改写成[ａꎬｂ][ｃꎬｄ]＝[ｅꎬｆ].平余式运算的逆运算 共数的逆向求解设平余式[ａꎬｂ]ꎬ[ｃꎬｄ]ꎬ[ｅꎬｆ].假若[ａꎬｂ][ｃꎬｄ]＝[ｅꎬｆ](ａ与ｃ互质).现已知:[ｃꎬｄ]ꎬ[ｅꎬｆ](ａꎬｃ互质)ꎬ求[ａꎬｂ].解㊀由平余式公式知ｅ＝ａ∗ｃ⇒ａ＝ｅːｃꎬａ∗Ｎ＝ｆ－ｂ(０ɤｂ<ａ)⇒ｂ＝ｆ－ａ∗Ｎ.由于ｆ是实数ꎬ且０ɤｂ<ａꎬ即ｆ与ａ的余数是唯一且稳定的ꎬ故ｂ值也是唯一的ꎬ所以ꎬ在ａ∗Ｎ＝ｆ－ｂ中ꎬ定可确定ｂ的值.其中ａ∗Ｎ<ｆ<ａ(Ｎ＋１)ꎬ则ｂ＝ｆ－ａ∗Ｎ.即可求出[ａꎬｂ].㊀㊀参考文献:[１]郜洪三.运算能力及其培养[Ｊ].数学学习与研究ꎬ２０１３(２１):８３－８４.[２]彭月英ꎬ李世才ꎬ苗丽.求解 余数问题 的算法研究[Ｊ].数学的实践与认识ꎬ２００８(１０):２０９－２１５.[责任编辑:杨惠民]幂级数收敛半径和收敛域的求解探讨如何培养学生的创新思维刘㊀洋(广东省佛山市广州工商学院三水校区㊀５１０８５０)摘㊀要:幂级数收敛半径和收敛域的探讨课堂ꎬ不仅可以培养学生的逻辑思维能力ꎬ而且还能培养学生的创新思维.高等数学是一门抽象的㊁理论性和逻辑性很强的一门课ꎬ学起来比较枯燥无味ꎬ本文以幂级数收敛半径和收敛域的求解的探讨ꎬ引导学生学会创新思维ꎬ不断激发学生学习数学的兴趣.关键词:幂级数ꎻ收敛半径ꎻ收敛域ꎻ对分课堂中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)０６－００１２－０２收稿日期:２０１９－１１－２５作者简介:刘洋(１９８９－)ꎬ女ꎬ讲师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀一㊁幂级数的收敛半径关于此幂级数的收敛半径的求法可直接利用下面的定理.定理１㊀如果ｌｉｍｎң¥ａｎ＋１ａｎ＝ρꎬ其中ａｎꎬａｎ＋１是幂级数ð¥ｎ＝０ａｎｘｎ的相邻两项的系数ꎬ那么此幂级数的收敛半径Ｒ＝１/ρꎬρʂ０ꎬ＋¥ꎬρ＝０ꎬ０ꎬρ＝＋¥.{形如幂级数ð¥ｎ＝０ａｎｘｎ将其记为 标准型 幂级数ꎬ可直接利用公式ｌｉｍｎң¥ａｎ＋１ａｎ＝ρꎬ求其收敛半径Ｒ＝１ρꎬ收敛区间为(－ＲꎬＲ).对于 一般型 幂级数在求收敛半径时可通过换元转换为标准型求解ꎬ对于规则缺项幂级数和一类缺项幂级数求收敛半径和收敛区间ꎬ可通过逐项求导(或逐项求积分)和换元转换为标准型求解.本文先引用定理引出结论ꎬ然后讨论不同类型幂级数都可以通过换元化为标准型幂级数进行求解ꎬ最后将其结论进行推广应用.２１Copyright©博看网 . All Rights Reserved.㊀㊀二㊁不同类型的幂级数收敛半径和收敛域的求法㊀㊀本文对标准型幂级数求它们的收敛半径和收敛域的求解进行研究.幂级数的形式多样ꎬ不同类型幂级数的求解方法各异ꎬ但本文主要把不同类型幂级数通过换元的方法化为标准型幂级数后ꎬ再进行求解.１. 标准型 ð¥ｎ＝０ａｎｘｎ的求法步骤㊀(１)求ｌｉｍｎң¥ａｎ＋１ａｎ＝ρꎬ则Ｒ＝１ρꎬ收敛区间(－ＲꎬＲ)ꎻ(２)求收敛域(即考察端点ｘ＝ʃＲ的敛散性).例１㊀求幂级数ｘ－ｘ２２＋ｘ３３－ ＋(－１)ｎ－１ｘｎｎ＋ 的收敛半径与收敛域.解㊀此级数可记为ð¥ｎ＝１(－１)ｎ－１ｘｎｎ.因为ρ＝ｌｉｍｎң¥ａｎ＋１ａｎ＝ｌｉｍｎң¥１ｎ＋１１ｎ＝１ꎬ所以收敛半径Ｒ＝１ρ＝１ꎬ收敛区间为(－１ꎬ１).对于端点ｘ＝－１ꎬ级数成为－１－１２＋１３－ －１ｎ－ ꎬ此级数发散ꎻ对于端点ｘ＝１ꎬ级数成为交错级数１－１２＋１３－ ＋(－１)ｎ－１１ｎ＋ ꎬ此级数收敛.因此ꎬ此级数收敛域是(－１ꎬ１].２. 一般型 化为 标准型 的求法通过换元将 一般型 化为 标准型 ꎬ利用标准型求解.例２㊀求幂级数ð¥ｎ＝０(ｘ－５)ｎｎ的收敛半径和收敛域.解㊀令ｔ＝ｘ－５ꎬ得新级数为ð¥ｎ＝０ｔｎｎ.因为ρ＝ｌｉｍｎң¥ａｎ＋１ａｎ＝ｌｉｍｎң¥１ｎ＋１１ｎ＝ｌｉｍｎң¥ｎｎ＋１＝１ꎬ所以收敛半径Ｒ＝１ρ＝１ꎬ新级数的收敛区间为(－１ꎬ１).对于端点ｔ＝－１ꎬ新级数成为ð¥ｎ＝０(－１)ｎｎꎬ满足莱布尼茨定理的交错级数ꎬ故此时新级数收敛ꎻ对于端点ｔ＝１ꎬ新级数成为ð¥ｎ＝０１ｎꎬ即ρ＝１２<１是Ｐ－级数ꎬ故此时新级数发散.因此ꎬ新级数收敛域是[－１ꎬ１)即－１ɤｔ<１ꎬ则－１ɤｘ－５<１ꎬ解得４ɤｘ<６.综上ꎬ原级数的收敛域为[４ꎬ６)ꎬ收敛半径Ｒ＝１.３. 有缺型 化为 标准型 的求法通过逐项积分或逐项求导或换元将 有缺型 化为标准型 ꎬ利用标准型求解.例３㊀求幂级数ð¥ｎ＝１(－１)ｎ－１３ｎｘ２ｎ的收敛半径和收敛域.解㊀令ｔ＝ｘ２ꎬ得新级数为ð¥ｎ＝１(－１)ｎ－１３ｎｔｎꎬ因为ρ＝ｌｉｍｎң¥ａｎ＋１ａｎ＝ｌｉｍｎң¥３ｎ＋１３ｎ＝３ꎬ所以收敛半径Ｒ＝１ρ＝１３ꎬ新级数的收敛区间为(－１３ꎬ１３).对于端点ｔ＝－１３ꎬ新级数成为ð¥ｎ＝１(－１)＝－１－１－１－ ꎬ故此时新级数发散ꎻ对于端点ｔ＝１３ꎬ新级数成为ð¥ｎ＝１(－１)ｎ－１＝１－１＋１－１＋ ꎬ故此时新级数发散.因此ꎬ新级数收敛域是(－１３ꎬ１３)即－１３<ｔ<１３ꎬ则－１３<ｘ２<１３ꎬ解得－１３<ｘ<１３.综上ꎬ原级数的收敛域为－１３ꎬ１３æèçöø÷ꎬ收敛半径Ｒ＝１３.㊀㊀三㊁归纳总结一般规律定理２㊀形如ð¥ｎ＝０ａｎｆｎ(ｘ)的幂级数ꎬ称为广义幂级数.(其中ｆ(ｘ)为ｘ函数)其收敛半径和收敛域的求法如下:步骤㊀(１)令ｔ＝ｆ(ｘ)ꎬ则得新级数为ð¥ｎ＝０ａｎｔｎꎻ(２)求收敛半径Ｒ＝１ρ＝１ｌｉｍｎң¥ａｎ＋１ａｎ＝ｌｉｍｎң¥ａｎａｎ＋１ꎬ收敛区间(－ＲꎬＲ)ꎻ(３)求收敛域(即考察端点ｘ＝ʃＲ的敛散性).由于求收敛域和收敛半径题目类型多样ꎬ为更好更快地解决问题ꎬ需要按 标准型 ㊁ 一般型 和 有缺项 三种类型求解.在上述过程中我们以 标准型 ㊁ 一般型 和 有缺项 三种类型的三个例题通过换元化为 标准型 来具体说明求收敛域和收敛半径的求解方法ꎬ最后总结出一般的规律.本文利用现有的有用信息定理１ꎬ举例讲解例１ꎬ让学生自己去理解体会标准型幂级数求解收敛半径和收敛域的步骤ꎬ进一步探索和想出可供选择的信息进行考虑不同类型的幂级数的求解方法.本文中幂级数收敛半径和收敛域的求解方法按不同的类型化归同一种类型求解的对分课堂ꎬ不仅激发了学生学习数学的兴趣ꎬ而且还培养了学生的创新思维.㊀㊀参考文献:[１]吕端良ꎬ王云丽.广义幂级数收敛域的求法[Ｊ].科技信息ꎬ２０１３(１７):１５２.[２]蒋国强ꎬ一类幂级数收敛半径的统一求法[Ｊ].高等函授学报(自然科学版)ꎬ２００３(０３):２０－２１.[责任编辑:杨惠民]３１ Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
幂级数次数不为n,怎么求收敛域
幂级数次数不为n,怎么求收敛域幂级数是指形如∑(n=0)∞(a_n)(x – c)^n 的级数，其中 a_n 是常数，c 是实数或者复数。
幂级数收敛的条件是当 n 趋向无穷大时，级数无穷大。
那么当幂级数次数不为 n 时，我们应该如何求其收敛域呢？1. 确定收敛半径我们需要求出幂级数的收敛半径。
根据 Cauchy-Hadamard 定理，收敛半径 R 可以通过极限求解来得到：R = lim(n→∞)|a_n|^(1/n)2. 讨论特殊情况在求出收敛半径后，我们需要进一步讨论幂级数次数不为 n 的情况。
如果次数大于 n，我们可以通过幂级数展开式来求解收敛域；如果次数小于 n，我们则需要进行幂级数求导后重新计算收敛半径。
3. 应用辅助方法除了以上方法外，我们还可以通过比较法、比值法等辅助方法来判断幂级数的收敛域。
这些方法都可以帮助我们更准确地求解幂级数次数不为 n 的收敛域。
总结回顾：通过以上的讨论，我们对于幂级数次数不为 n 的收敛域求解有了一定的了解。
在实际应用中，我们可以根据具体问题灵活运用不同的方法来求解收敛域，以确保结果的准确性和可靠性。
个人观点和理解：在数学领域中，求解幂级数次数不为 n 的收敛域是一个复杂而又具有挑战性的问题。
我们需要不断学习和探索，才能更加深入地理解并灵活运用幂级数的求解方法。
只有通过不断的实践和思考，我们才能够提高自己的数学水平，为未来的学习和应用奠定坚实的基础。
以此为基础，我们可以更深入地挖掘数学的奥秘，为科学研究和工程技术的发展贡献自己的力量。
让我们共同努力，探索数学的无限魅力，为人类的未来作出更大的贡献。
PS：文字内容为以上主题内容的一种展示，并非实际的数学解答。
在数学领域中，幂级数是一种非常重要的级数形式，它在分析、微积分、物理学等领域中都有着广泛的应用。
对于幂级数的收敛域求解是一个复杂而又具有挑战性的问题，但是通过适当的方法和技巧，我们可以准确地求解幂级数次数不为 n 的收敛域。
求幂级数的和函数步骤
一、函数项级数的基本概念与收敛域的求解方法1、函数项级数相关的基本概念设函数u n(x)在集合D⊂R上有定义，称为D上的函数序列(或函数列). 称为定义在集合D上的函数项级数.如果对于任意一点x∈I⊂D，均存在u(x)，使得则称函数序列{ u n(x)}在点x处收敛，u(x)称为函数序列{ u n(x)}的极限函数，I称为函数序列{ u n(x)}收敛域.如果对于任一点x∈I⊂D，均存在S(x)，使得则称x为函数项级数的收敛点，I称为该函数项级数的收敛域，并且称函数S(x)为I上的函数项级数的和函数.若用S n(x)表示函数项级数前n项的和，即则称S n(x)为函数项级数前n项部分和函数. 并称为收敛域上的余项函数，并且有如果对于任一点x∈I⊂D，级数发散，则为函数项级数的发散点，I称为该函数项级数的发散域.2、函数项级数收敛域求解思路与步骤因为函数项级数的收敛域其实就是由所有收敛点构成的，而对于每个收敛点对应的函数项级数的收敛性的判定，其实对应的就发散区间+发散的端点=发散域 .二、幂级数的基本概念与收敛域的求解方法1、幂级数相关的基本概念幂级数是形式最简单，应用最广泛的一类函数项级数，是各项由幂函数组成的函数项级数. 幂级数的一般形式为特别令，则有其中a0,a1,…,a k,…都是实常数，称之为幂级数的系数．通过简单的变换x-x0=t，可以将幂级数的一般形式(1)转换为形式(2)．因此只需要讨论幂级数(2)的形式. 对于该级数也称为麦克劳林级数.2、求一般幂级数收敛域的基本步骤幂级数作为一类特殊的函数项级数，也适用于函数项级数收敛域的计算方法与步骤.一般的幂级数的收敛域的计算步骤为：第一步：借助于正项级数的比值审敛法或根值审敛法求收敛区间，即由令ρ(x)<1，解不等式求得幂级数的收敛区间。
第二步：借助于常值级数收敛性的判定方法判定幂级数在区间端点对应的常值级数的收敛性。
第三步：收敛区间加上收敛的端点构成幂级数的收敛域：收敛区间+收敛的端点=收敛域3、阿贝尔定理基于常值级数收敛性判定的比较审敛法，容易得到如下结论：定理1：(1) 若幂级数(1)在点x=a(a≠0)处收敛，则它对于满足不等式|x|<|a|的一切x都绝对收敛；(2) 若幂级数(1)在点x=a处发散，则它对于满足不等式|x|>|a|的一切x都发散．定理2：如果幂级数(1)既有不等于零的收敛点，又有发散点，则必存在唯一的正数R(0<R<+∞)，使得当x<|R|时，该幂级数绝对收敛；当x>|R|时，该幂级数发散．并称正数R称为幂级数(1)的收敛半径，而以原点为中心的对称区间(-R,R)称为幂级数(1)的收敛区间．通过判定收敛区间端点x=±R处的敛散性，容易计算得到幂级数(1)收敛域与发散域.规定：当幂级数(1)只在x=0处收敛时，规定其收敛半径R=0；当它在整个数轴上都收敛时，规定其收敛半径R=+∞．4、求标准幂级数收敛域的一般步骤标准幂级数是指幂级数项的指数是连续增长的正整数的级数，即展开后形式的级数，对于这样的级数由如下直接的收敛半径、收敛区间和收敛域计算方法与步骤：(1) 收敛半径：(2) 收敛区间即为(-R,R).(3) 判断端点x=±R的收敛性，收敛区间+收敛的端点=收敛域，发散区间+发散的端点=发散域 .【注】该步骤不适用于缺项的幂级数，如只有奇次幂或只有偶次幂的幂级数. 它们收敛域的计算适用于一般幂级数收敛域的计算方法与步骤，即函数项级数的判定方法.三、幂级数的运算性质1、幂级数的加减运算性质2、幂级数逐项可导，逐项可积性质（幂级数的和函数的连续性）幂级数的和函数S(x)在其收敛域上连续．反复应用上述结论可得：幂级数的和函数S(x)在其收敛区间(-R,R)内具有任意阶导数．3、三个最基本函数的麦克劳林级数及其收敛域四、求幂级数和函数的基本步骤第一步：求收敛域.【注1】这一步也可以放在第二步后.第二步：通过换元，将幂级数转换为具有麦克劳林级数结构的级数表达式，即第三步：借助收敛域内幂级数的加减运算、逐项求导、逐项积分的解析性质，通过设幂级数和函数，对其两端分别进行求导、或积分运算将其转换为已知和函数的幂级数表达式。
幂级数求收敛域缺项
幂级数求收敛域缺项
在幂级数求解收敛域时，有时候我们可能会遇到缺项的情况。
缺项指的是幂级数中有一些项缺失，即某些n 的指数项没有出现。
在这种情况下，我们需要采取一些方法来确定幂级数的收敛域。
下面介绍一种常用的方法：使用收敛半径公式来估计收敛域。
给定幂级数的通项表达式为：
∑(a_n*x^n)
其中 a_n 是系数，x 是自变量，n 是指数。
根据幂级数的收敛半径公式：
R = lim(│a_n│^(-1/n))
我们可以通过计算该极限的值来估计收敛域。
具体操作步骤如下：
1.计算 a_n 的绝对值：│a_n│。
2.计算 a_n 绝对值的倒数的 n 次方：(│a_n│)^(-1/n)。
3.计算极限：lim(│a_n│^(-1/n))。
如果该极限存在，即不是无穷大或零，则根据收敛半径公式，收敛半径 R 的值就是该极限的倒数。
注意，这种方法只是一种估计收敛域的方法，并不是一种确定性的判断。
收敛半径和收敛域的求法
收敛半径和收敛域的求法摘要：一、收敛半径与收敛域的定义1.收敛半径2.收敛域二、收敛半径的求法1.泰勒级数2.幂级数3.傅里叶级数三、收敛域的求法1.常见函数的收敛域2.复合函数的收敛域3.多元函数的收敛域四、收敛半径与收敛域的关系1.收敛半径与收敛域的关系2.收敛半径与函数性质的关系正文：收敛半径与收敛域是数学中关于级数收敛性的重要概念。
它们描述了级数在哪些区域内可以收敛，以及在哪些区域外不收敛。
本文将对这两个概念进行详细介绍，并给出求解收敛半径与收敛域的方法。
一、收敛半径与收敛域的定义1.收敛半径收敛半径是指在泰勒级数、幂级数和傅里叶级数中，函数在展开点附近可以收敛的区域的半径。
简单来说，收敛半径就是函数在某个点附近展开后，能够保证级数收敛的最远距离。
2.收敛域收敛域是指函数在哪些区域内可以收敛。
对于一个级数，如果它的收敛域为某个区域，那么在这个区域内，级数是收敛的；而在区域外，级数是不收敛的。
二、收敛半径的求法1.泰勒级数对于泰勒级数，收敛半径可以通过求解泰勒级数余项来得到。
泰勒级数余项是一个关于展开点附近的函数值和导数值的无穷级数，其绝对值小于等于1 时，级数在展开点附近是收敛的。
2.幂级数对于幂级数，收敛半径可以通过求解幂级数收敛域的边界点来得到。
幂级数的收敛域边界点是满足某个条件的点，在这些点附近，幂级数可能是发散的。
收敛半径就是收敛域的边界点到展开点的距离。
3.傅里叶级数对于傅里叶级数，收敛半径可以通过傅里叶系数的大小来估计。
当傅里叶系数绝对值小于等于1 时，级数在展开点附近是收敛的。
三、收敛域的求法1.常见函数的收敛域对于常见函数，如多项式函数、指数函数、对数函数等，它们的收敛域可以通过函数图像或者解析式来判断。
一般来说，单调递增或递减的函数具有无限大的收敛域，而其他函数的收敛域则可能是有限的或者无限的。
2.复合函数的收敛域对于复合函数，可以利用函数的性质来求解收敛域。
例如，如果函数f(x) 在某个区间内是单调递增的，那么函数g(f(x)) 在这个区间内也是单调递增的，从而可以求解g(f(x)) 的收敛域。
收敛半径和收敛域的求法
收敛半径和收敛域的求法摘要：一、收敛半径和收敛域的概念二、求解收敛半径和收敛域的方法1.泰勒级数2.留数计算3.洛朗兹展开三、收敛半径和收敛域在实际应用中的案例分析四、总结与展望正文：一、收敛半径和收敛域的概念在数学分析中，收敛半径和收敛域是两个重要概念。
收敛半径是指一个级数在某个区间内收敛的半径，通常用R表示。
收敛域是指使级数收敛的变量取值范围，用D表示。
求解收敛半径和收敛域是分析数学中的基本问题，对于理解函数的性质和应用具有重要意义。
二、求解收敛半径和收敛域的方法1.泰勒级数泰勒级数是求解收敛半径和收敛域的常用方法。
对于一个函数f(x)，在某个区间内展开泰勒级数，可以得到：f(x) = f(a) + f"(a)(x-a) + f""(a)(x-a)^2/2! + ...+ f^n(a)(x-a)^n/n! + ...当级数收敛时，有界性得到保证，从而可以求得收敛半径和收敛域。
2.留数计算留数计算是解析延拓的重要工具，也可以用于求解收敛半径和收敛域。
对于一个在复平面上的函数f(z)，在某个区域内部，通过计算留数，可以得到f(z)在该区域内的零点和极点，进而确定收敛半径和收敛域。
3.洛朗兹展开洛朗兹展开是另一种求解收敛半径和收敛域的方法。
对于一个在复平面上的函数f(z)，在某个区域内部，可以通过洛朗兹展开将f(z)表示为幂级数形式，然后根据级数的收敛性判断收敛半径和收敛域。
二、收敛半径和收敛域在实际应用中的案例分析在实际应用中，收敛半径和收敛域的求解具有重要意义。
例如，在电路分析中，求解电阻、电容和电感等元件的频率响应时，需要利用收敛半径和收敛域的概念来确定级数的收敛性，从而得到准确的响应特性。
四、总结与展望收敛半径和收敛域是数学分析中的基本概念，求解收敛半径和收敛域的方法在实际应用中具有重要意义。
通过对收敛半径和收敛域的研究，可以更好地理解函数的性质，为解决实际问题提供理论依据。
求幂级数∑(∞,n=1)nx^(n-1)的收敛域及和函数
要求幂级数的收敛域和和函数，首先，我们可以对该级数进行求和：
给定级数：
我们可以对其进行求和得到：
为了求出该幂级数的和函数，我们需要先找到该级数的收敛域。
对幂级数而言，收敛域是使级数收敛的x的取值范围。
使用比值判别法来找到收敛域：
首先，计算级数的通项：
然后，计算相邻项的比值：
该级数收敛当且仅当上述极限小于1，即：
解以上不等式，得到：
将不等式化简，得到：
即收敛域为
现在，我们找到了收敛域为。
接下来，我们可以求幂级数的和函数
：
对幂级数进行求和，得到：
使用幂级数的求和公式，并对其求导，得到：
因此，该幂级数的和函数为，并且其收敛域为。
1 / 1。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
缺项幂级数收敛域的求法
作者：杨继明， YANG Ji-ming
作者单位：湖南工程学院理学院,湘潭,411104
刊名：
湖南工程学院学报（自然科学版）
英文刊名：JOURNAL OF HUNAN INSTITUTE OF ENGINEERING(NATURAL SCIENCE EDITION)
年，卷(期)：2009，19(2)
被引用次数：0次
1.同济大学应用数学系高等数学 2007
2.华东师范大学数学系数学分析 2008
3.华中科技大学数学系复变函数与积分变换 2003
1.期刊论文刘毓琦关于解析函数在定点展开成幂级数的研究-牡丹江师范学院学报（自然科学版）2002,""(4)
讨论了解析函数在定点展开成幂级数的方法,与实分析的展式进行了类比并举出实例.
本文链接：/Periodical_hngcxyxb-zr200902016.aspx
授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：1554ef03-b52d-40a6-b69d-9dcf00a39588
下载时间：2010年8月11日。