弹性力学简明教程(第四版)_第八章_课后作业题答案
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第八章 空间问题的解答
【8-1】 设有任意形状的等截面杆,密度为ρ,上端悬挂,下端自由,如题8-1图所示。试考察应力分量0,0,,0,0,0x y z yz zx xy gz σσσρτττ======是否能满足所有一切条件。
【解答】按应力求解空间问题时,须要使得六个应力分量在弹性体区域内满足平衡微分方程,教材中式(7-1);满足相容方程,教材中式(8-13);并在边界上满足应力边界条件,教材中式(7-5)。
(1)0,x y z f f f g ρ===-,很显然,应力分量满足如下的平衡微分方程
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪
⎨⎧=+∂∂+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂。
,,000z z yz xz y zy y xy
x zx
yx x f z y x
f z y x f z y x στττστττσ (2)x y z gz σσσρΘ=++=,应力分量也满足贝尔特拉米相容方程
()()()()()()222
2
2222
2
2222
2
210,10,10,
10,10,
10x xy y yz z zx x x y
y y z
z z x
μσμτμσμτμσμτ⎧∂Θ∂Θ
+∇+=+∇+
=⎪∂∂∂⎪⎪∂Θ∂Θ
⎪+∇+=+∇+
=⎨∂∂∂⎪
⎪∂Θ∂Θ
+∇+=+∇+
=⎪∂∂∂⎪⎩
。
(3)考察应力边界条件:柱体的侧面和下端面,0x y z f f f ===。在(x ,y )平面上应考虑为任意形状的边界(侧面方向余弦分别为n =0, l ,m 为任意的;在下端面方向余弦分别为n =-1, l =m =0),应用一般的应力边界条件,将应力和面力分量、方向余弦分别代入下式
()()(),
,x yx zx x s xy y zy y s xz
yz z z s l m n f l m n f l m n f στττστττσ⎧++=⎪
⎪
++=⎨⎪
++=⎪⎩。 直杆的侧面和下端的应力边界条件都能满足。因此,所给应力分量是本问题的解。
【8-8】扭杆的横截面为等边三角形OAB ,其高度为a(题8-8图),取坐标轴如图所示,则AB ,OA ,OB
三边的方程分别为0,0,0x a x x -=-==。试证应力函数
(
)(
)()
Φm x a x x =--+
能满足一切条件,并求出最大切应力及扭角。
【解答】(1)扭杆无孔洞,应力函数Φ显然满足侧面边界条件()Φ0s =。由杆满足端部的边界条件,教材中式(8-18
)得
(
)(
)()
))3
2220
4
30
2,
233,2,
A a
a a a m x a x x dxdy M m x
xy ax ay dxdy M m x ax dx M --+
=--+=-=⎰⎰⎰
⎰
⎰
积分求解得5
2m M a
=-
。 (2)将Φ代入相容方程,教材中式(8-21)
(
)2222
3222222,
334GK x xy ax ay am M x
y ∇Φ=-⎛⎫∂∂∇Φ=+--+== ⎪∂∂⎝⎭。
再将m 代入上式结果,得
2,M GK =
- 得4
K Ga
=
。 (3)由教材中式(8-15)求切应力分量得
(
)()22
5,3232xz yz x a y y M x ax y x a
ττ∂Φ=
=-∂∂Φ=-
=--∂。
(4)由薄膜比拟法知,在扭杆的边界上,三个边的中点将发生最大剪应力,为方便计
算,考虑C 点:
()()max 3
,0,0,02zy zx x a y x a y M a τττ======
=。
(5)单位长度上扭角为
2C K G =-
= 【8-10】设有一边长为a 的正方形截面杆,与一面积相同的圆截面杆,受有相同的扭矩
M ,试比较两者的最大切应力和单位长度的扭角。
【解答】(1)根据教材中式(8-34)和式(8-35)可知任意矩形杆的最大切应力和扭转角的表达式,
max 231
,,M
M
K ab ab G τβ
β=
=
对于边长为a 的正方形截面杆,1,0.208,0.141a b ββ===。 将这些数值代入上式,得
max 23
34
1=4.808,7.092。M M
M M
K ab a
ab G a G
τββ=
=
= (2)根据教材中式(8-27)和式(8-28)可知椭圆截面杆的最大切应力和扭转角的表达式
()2
2max
23
3
2,。
a b M
M
K a b a b G
τππ''+''==
''
'' 对于面积为2
a π的圆截面杆,上式中=a b
''=。
将这些数值代入上式,得
()2
2
max
233422=
。a b M
M M
K a b a b G
a G
πτππ''+''==
'''' (3)比较两杆的最大切应力和单位长度的扭转角。
max
max
1.3562, 1.1288K
K ττ==''
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