弹性力学简明教程(第四版)_第八章_课后作业题答案

第八章空间问题的解答【8-1】设有任意形状的等截面杆，密度为ρ，上端悬挂，下端自由，如题8-1图所示。

试考察应力分量0,0,,0,0,0x y z yz zx xy gz σσσρτττ======是否能满足所有一切条件。

【解答】按应力求解空间问题时，须要使得六个应力分量在弹性体区域内满足平衡微分方程，教材中式（7-1）；满足相容方程，教材中式（8-13）；并在边界上满足应力边界条件，教材中式（7-5）。

（1）0,x y z f f f g ρ===-，很显然，应力分量满足如下的平衡微分方程⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+∂∂+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂。

，，000z z yz xz y zy y xyx zxyx x f z y x f z y x f z y xστττστττσ （2）x y z gz σσσρΘ=++=，应力分量也满足贝尔特拉米相容方程()()()()()()22222222222222210,10,10,10,10,10x xy y yz z zx x x yy y zz z xμσμτμσμτμσμτ⎧∂Θ∂Θ+∇+=+∇+=⎪∂∂∂⎪⎪∂Θ∂Θ⎪+∇+=+∇+=⎨∂∂∂⎪⎪∂Θ∂Θ+∇+=+∇+=⎪∂∂∂⎪⎩。

（3）考察应力边界条件：柱体的侧面和下端面，0x y z f f f ===。

在（x ,y ）平面上应考虑为任意形状的边界（侧面方向余弦分别为n =0, l ,m 为任意的；在下端面方向余弦分别为n =-1, l =m =0），应用一般的应力边界条件，将应力和面力分量、方向余弦分别代入下式()()(),,x yx zx x s xy y zy y s xzyz z z s l m n f l m n f l m n f στττστττσ⎧++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎩。

直杆的侧面和下端的应力边界条件都能满足。

因此，所给应力分量是本问题的解。

2020年弹性力学简明教程(第四版)_课后习题解答

作者：非成败作品编号：92032155GZ5702241547853215475102时间：2020.12.13弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。

【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。

非均匀的各向同性体如：混凝土。

【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。

【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。

【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。

引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。

因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。

完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。

这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。

均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。

各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。

弹性力学简明教程课后习题解答(精校版)

弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。

【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。

非均匀的各向同性体如：混凝土。

【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。

【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。

【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。

引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。

因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。

完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。

这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。

均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。

各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。

小变形假定：假定位移和变形是微小的。

亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。

徐芝纶编《弹性力学简明教程》第四版__全部章节课后答案详解

弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。

【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。

非均匀的各向同性体如：混凝土。

【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。

【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。

【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。

引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。

因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。

完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。

这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。

均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。

各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。

小变形假定：假定位移和变形是微小的。

亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。

弹性力学简明教程_第四版_徐芝纶_第八章

第八章
空间问题的解答
按应力求解
§8－4 按应力求解空间问题
按应力求解空间问题的方法：
1. 取σx … τyz…为基本未知函数。
2. 其他未知函数用应力表示: 形变可以通过物理方程用应力表示。位移要通过对几何方程的积分，才能用形变或应力表示，其中会出现待定的积分函数。
第八章
空间问题的解答
因此,位移边界条件等用应力表示时，既复杂又难以求解。所以按应力求解通常只解全部为应力边界条件的问题。
( S S )
第八章
空间问题的解答
V内方程
3. 在V内导出求应力的方程 :
（1）平衡微分方程（三个）。
（2）相容方程（六个）: 从几何方程消去位移，导出六个相容方程：
y
2
2 z 2 2 z y
2 z 2 x 2 2 x z 2 2 y x 2 y x 2
其中拉普拉斯算子
(b)
2 2 2。 x y z
2 2 2 2
第八章
空间问题的解答
边界条件
4. 将式 (a) 代入应力边界条件，得用位移表示的应力边界条件：
E μ u m v u n w u f x。 l 1 μ 1 2 μ x 2 x y 2 x z s
2 y z yz zx xy 2 x , , x x y z yz yz 2 2 xy yz y zx zx , y y z x 2 zx , zx 2 z 2 xy xy yz zx 2 . ; z z x y xy xy

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弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。

【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。

非均匀的各向同性体如：混凝土。

【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。

【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。

【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。

引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。

因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。

完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。

这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。

均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。

各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。

小变形假定：假定位移和变形是微小的。

亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。

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弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。

【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。

非均匀的各向同性体如：混凝土。

【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。

【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。

【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。

引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。

因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。

完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。

这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。

均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。

各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。

小变形假定：假定位移和变形是微小的。

亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。

弹性力学简明教程课后习题答案

《弹性力学简明教程》习题提示和参考答案第二章习题的提示与答案2－1 是2－2 是2－3 按习题2－1分析。

2－4 按习题2－2分析。

2－5 在的条件中,将出现2、3阶微量。

当略去3阶微量后,得出的切应力互等定理完全相同。

2－6 同上题。

在平面问题中,考虑到3阶微量的精度时,所得出的平衡微分方程都相同。

其区别只是在3阶微量〔即更高阶微量〕上,可以略去不计。

2－7 应用的基本假定是：平衡微分方程和几何方程─连续性和小变形,物理方程─理想弹性体。

2－8 在大边界上,应分别列出两个精确的边界条件；在小边界〔即次要边界〕上,按照圣维南原理可列出3个积分的近似边界条件来代替。

2－9 在小边界OA边上,对于图2－15〔a〕、〔b〕问题的三个积分边界条件相同,因此,这两个问题为静力等效。

2－10 参见本章小结。

2－11 参见本章小结。

2－12 参见本章小结。

2－13 注意按应力求解时,在单连体中应力分量必须满足〔1〕平衡微分方程,〔2〕相容方程,〔3〕应力边界条件〔假设>。

2－14 见教科书。

2－15 见教科书。

2－16 见教科书。

2－17 取它们均满足平衡微分方程,相容方程与x=0和的应力边界条件,因此,它们是该问题的正确解答。

2－18 见教科书。

2－19 提示：求出任一点的位移分量和,与转动量,再令,便可得出。

第三章习题的提示与答案3－1 本题属于逆解法,已经给出了应力函数,可按逆解法步骤求解：〔1〕校核相容条件是否满足,〔2〕求应力,〔3〕推求出每一边上的面力从而得出这个应力函数所能解决的问题。

3－2 用逆解法求解。

由于本题中l>>h,x=0,l属于次要边界〔小边界〕,可将小边界上的面力化为主矢量和主矩表示。

3－3 见3-1例题。

3－4 本题也属于逆解法的问题。

首先校核是否满足相容方程。

再由求出应力后,并求对应的面力。

本题的应力解答如习题3-10所示。

应力对应的面力是：主要边界：所以在边界上无剪切面力作用。

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弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。

【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。

非均匀的各向同性体如：混凝土。

【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。

【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。

【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。

引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。

因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。

完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。

这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。

均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。

各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。

小变形假定：假定位移和变形是微小的。

亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。

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弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答之杨若古兰创作徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定.【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材.非均匀的各向同性体如：混凝土.【1-2】普通的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？普通的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完整弹性，均匀性，各向同性假定.【解答】普通的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；普通的钢筋混凝土构件和岩质地基不成以作为理想弹性体.【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么感化？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定全部物体的体积都被构成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙.援用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的.是以，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来暗示他们的变更规律.完整弹性假定：假定物体是完整弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完整恢复原型而无任何形变.这一假定，还包含形变与惹起形变的应力成反比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即援用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变.均匀性假定：假定物体是均匀的，即全部物体是由同一材料构成的，援用这一假定后全部物体的所有各部分才具有不异的弹性，所研讨物体的内部各质点的物理性质都是不异的，因此物体的弹性常数不随地位坐标而变更.各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都不异，援用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变.小变形假定：假定位移和变形是巨大的.亦即，假定物体受力当前全部物体所有各点的位移都远远小于物体本来的尺寸，而且应变和转角都远小于1.如许在建立物体变形当前的平衡方程时，就可以方便的用变形之前的尺寸来代替变形当前的尺寸.在考察物体的位移与形变的关系时，它们的二次幂或乘积绝对于其本人都可以略去不计，使得弹性力学中的微分方程都简化为线性的微分方程.【1-4】应力和面力的符号规定有什么区别？试画出正坐标面和负坐标面上的正的应力和正的面力的方向.【解答】应力的符号规定是：当感化面的外法线方向指向坐标轴方向时（即正面时），这个面上的应力（不管是正应力还是切应力）以沿坐标轴的正方向为正，沿坐标轴的负方向为负.当感化面的外法线指向坐标轴的负方向时（即负面时），该面上的应力以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴的正方向为负.面力的符号规定是：当面力的指向沿坐标轴的正方向时为正，沿坐标轴的负方向为负.由下图可以看出，正面上应力分量与面力分量同号，负面上应力分量与面力分量符号相反.正的应力正的面力【1-5】试比较弹性力学和材料力学中关于切应力的符号规定.【解答】材料力学中规定切应力符号以使研讨对象顺时针动弹的切应力为正，反之为负.弹性力学中规定，感化于正坐标面上的切应力以沿坐标轴的正方向为正，感化于负坐标面上的切应力以沿坐标轴负方向为正，反之为负.【1-6】试举例说明正的应力对应于正的形变.【解答】正的应力包含正的正应力与正的切应力，正的形变包含正的正应变与正的切应变，本题应从两方面解答.正的正应力对应于正的正应变：轴向拉伸情况下，发生轴向拉应力为正的应力，惹起轴向伸长变形，为正的应变.正的切应力对应于正的切应变：在如图所示应力形态情况下，切应力均为正的切应力，惹起直角减小，故为正的切应变.【1-7】试画出图1-4中矩形薄板的正的体力、面力和应力的方向.【解答】正的体力、面力正的体力、应力【1-8】试画出图1-5中三角形薄板的正的面力和体力的方向.【解答】【1-9】在图1-3的六面体上，y面上切应力yzτ的合力与z面上切应力zyτ的合力是否相等？【解答】切应力为单位面上的力，量纲为12L MT--，单位为2/N m.是以，应力的合力应乘以呼应的面积，设六面体微元尺寸如dx×dy×dz，则y面上切应力yzτ的合力为：yz dx dzτ⋅⋅(a) z面上切应力zyτ的合力为：zy dx dyτ⋅⋅(b)由式（a）(b)可见，两个切应力的合力其实不相等.【分析】感化在两个彼此垂直面上并垂直于该两面交线的切应力的合力不相等，但对某点的合力矩相等，才导出切应力互等性.第二章平面成绩的基本理论【2-1】试分析说明，在不受任何面力感化的空间体概况附近的薄层中(图2-14)其应力形态接近于平面应力的情况.【解答】在不受任何面力感化的空间概况附近的薄层中，可以认为在该薄层的上下概况都无面力，且在薄层内所有各点都有0===z xz yz σττ，只存在平面应力分量,,x y xy σστ，且它们不沿z 方向变更，仅为x ，y 的函数.可以认为此成绩是平面应力成绩.【2-2】试分析说明，在板面上处处受法向束缚且不受切向面力感化的等厚度薄片中（2-15），当板边上只受x ，y 向的面力或束缚，且不沿厚度变更时，其应变形态接近于平面应变的情况.【解答】板上处处受法向束缚时0z ε=，且不受切向面力感化，则0xz yz γγ==(呼应0zx zy ττ==)板边上只受x ，y 向的面力或束缚，所以仅存在,,x y xy εεγ，且不沿厚度变更，仅为x ，y 的函数，故其应变形态接近于平面应变的情况.【2-3】在图2-3的微分体中，若将对形心的力矩平很条件C M 0=∑改为对角点的力矩平衡条件，试问将导出什么方式的方程？【解答】将对形心的力矩平衡条件C M 0=∑，改为分别对四个角点A 、B 、D 、E 的平衡条件，为计算方便，在z 方向的尺寸取为单位1.0AM=∑1()1()11222()1()1110222xy x y x xy y y yxy yx x x dx dy dydx dx dy dx dy dx dy x x dx dy dx dy dx dy dx dy f dxdy f dxdy y y τσσστσστστ∂∂⋅⋅++⋅⋅-+⋅⋅-⋅⋅∂∂∂∂-+⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅-⋅⋅=∂∂(a)0BM=∑ ()1()1()1221111102222yx y x x yx y xy x y x y dy dxdx dy dy dx dy dy dx x y y dy dx dy dxdy dx dy dx f dxdy f dxdy τσσστστσσ∂∂∂+⋅⋅++⋅⋅++⋅⋅∂∂∂-⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= (b)Ozy0DM=∑()1111221()11102222yy xy x yx x x x x y dx dydy dx dy dx dy dx dyy dx dy dy dxdx dx dy f dxdy f dxdy x σστστσσσ∂+⋅⋅-⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅∂∂-⋅⋅-+⋅⋅-⋅⋅+⋅⋅=∂(c)0EM=∑()1111222()1()1110222yy x yx y xy x x xy x y dx dy dxdy dx dy dx dy dx y dy dy dxdx dy dx dy dx f dxdy f dxdy x x σσστστσστ∂-+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅-∂∂∂+⋅⋅-+⋅⋅-⋅⋅+⋅⋅=∂∂ (d)略去(a)、(b)、(c)、(d)中的三阶小量（亦即令22,d xdy dxd y 都趋于0），并将各式都除当前dxdy 合并同类项，分别得到xy yx ττ=.【分析】由本题可得出结论：微分体对任一点取力矩平衡得到的结果都是验证了切应力互等定理.【2-4】在图2-3和微分体中，若考虑每一面上的应力分量不是均匀分布的，验证将导出什么方式的平衡微分方程？【解答】微分单元体ABCD 的边长,dx dy 都是微量，是以可以假设在各面上所受的应力如图a 所示，忽略了二阶以上的高阶微量，而看作是线性分布的，如图（b ）所示.为计算方便，单元体在z 方向的尺寸取为一个单位.y)Cy)C(a) (b)各点正应力：()=x A x σσ；()=y A y σσ ()xx B x dy yσσσ∂=+∂；()y y B y dy y σσσ∂=+∂()∂=+∂x x D x dx x σσσ；()∂=+∂xy D y dx xσσσ ()∂∂=++∂∂∂x x x C x dx y x yσσσσ； ()∂∂=++∂∂∂y y y C y dx y xyσσσσ各点切应力：()xy A xy ττ=； ()yx A yx ττ= ()∂=+∂xy xy B xy dy yτττ；()∂=+∂yx yx A yx dy y τττ()xy xy D xy dx xτττ∂=+∂；()∂=+∂yx yx D yx dx xτττ()xy xy xy C xy dx dy xyττττ∂∂=++∂∂；()∂∂=++∂∂yx yx yx C yx dx dy xyττττ由微分单元体的平衡条件 0,∑=x F 0,∑=y F 得112211+22x x x x x x x x yx yx yx yx yx yx yx yx dy dy dx dx dy dy y x x y y dx dx dy dx dy x y x y σσσσσσσστττττττ⎧⎧⎫⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂⎪⎪⎪⎪⎛⎫-+++++++-⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎭⎭⎩⎩⎧⎫⎡∂⎤⎡∂∂∂⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪++++++⎨⎬⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎣⎦⎣⎦⎪⎭⎩0x dx f dxdy ⎧⎫⎪⎪+=⎨⎬⎪⎪⎭⎩112211+++22y y y y y y y y xy xy xy xy xy xy xy xy dx dx dy dx dy dx x y x y dy dy dx dy dx y x y x σσσσσσσσττττττττ⎧⎧⎫⎫⎡∂⎤⎡∂∂∂⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪-+++++++-⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎭⎭⎩⎩⎧⎫⎡∂⎤⎡∂∂∂⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪++++⎨⎬⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎣⎦⎣⎦⎪⎭⎩0y dy f dxdy ⎧⎫⎪⎪+=⎨⎬⎪⎪⎭⎩以上二式分别睁开并约简，再分别除以dxdy ，就得到平面成绩中的平衡微分方程：0;0yxy xy x x y f f x y y xτστσ∂∂∂∂++=++=∂∂∂∂ 【分析】由本题可以得出结论：弹性力学中的平衡微分方程适用于任意的应力分布方式.【2-5】在导出平面成绩的三套基本方程时，分别利用了哪些基本假定？这些方程的适用条件是什么？【解答】(1)在导出平面成绩的平衡微分方程和几何方程时利用的基本假设是：物体的连续性和小变形假定，这两个条件同时也是这两套方程的适用条件.(2)在导出平面成绩的物理方程时利用的基本假定是：连续性，完整弹性，均匀性和各向同性假定，即理想弹性体假定.同样，理想弹性体的四个假定也是物理方程的使用条件.【思考题】平面成绩的三套基本方程推导过程中都用到了哪个假定？【2-6】在工地上技术人员发现，当直径和厚度不异的情况下，在自重感化下的钢圆环（接近平面应力成绩）总比钢圆筒（接近平面应变成绩）的变形大.试根据呼应的物理方程来解释这类景象.【解答】体力不异情况下，两类平面成绩的平衡微分方程完整不异，故所求的应力分量不异.由物理方程可以看出，两类平面成绩的物理方程次要的区别在于方程中含弹性常数的系数.因为E 为GPa 级此外量，而泊松比μ取值普通在（0，0.5），故次要控制参数为含有弹性模量的系数项，比较两类平面成绩的系数项，不难看出平面应力成绩的系数1/E 要大于平面应变成绩的系数()21/-E μ.是以，平面应力成绩情况下应变要大，故钢圆环变形大.【2-7】在常体力，全部为应力鸿沟条件和单连体的条件下，对于分歧材料的成绩和两类平面成绩的应力分量x σ，y σ和xy τ均不异.试问其余的应力，应变和位移是否不异？【解答】(1)应力分量：两类平面成绩的应力分量x σ，y σ和xy τ均不异，但平面应力成绩0z yz xz σττ===，而平面应变成绩的()0,xz yz z x y ττσμσσ===+.（2）应变分量：已知应力分量求应变分量须要利用物理方程，而两类平面成绩的物理方程不不异，故应变分量0,xz yz xy γγγ==不异，而,,x y z εεε不不异.（3）位移分量：因为位移分量要靠应变分量积分来求解，故位移分量对于两类平面成绩也分歧.【2-8】在图2-16中，试导出无面力感化时AB 鸿沟上的xy ,,x y σστ之间的关系式【解答】由题可得：()()()cos ,cos 90sin 0,0x y l m f AB f AB ααα==-===将以上条件代入公式（2-15），得：()()()()()2cos sin 0, sin ()cos 0()tan tan x yx y xy AB AB AB AB x AB yx y ABABσατασαταστασα+=+=⇒=-=【2-9】试列出图2-17，图2-18所示成绩的全部鸿沟条件.在其端部小鸿沟上，利用圣维南道理列出三个积分的应力鸿沟条件.x图2-16xM图2-17图2-18【分析】有束缚的鸿沟上可考虑采取位移鸿沟条件，若为小鸿沟也可写成圣维南道理的三个积分方式，大鸿沟上应精确满足公式（2-15）.【解答】图2-17：上（y=0）左(x=0) 右（x=b ）l0 -1 1 m-1()x f s()1g y h ρ+()1g y h ρ-+() y f s1gh ρ代入公式（2-15）得①在次要鸿沟上x=0，x=b 上精确满足应力鸿沟条件：()()100(),0;===-+=x xy x x g y h σρτ ()()1b b (),0;===-+=x xy x x g y h σρτ②在小鸿沟0y =上，能精确满足以下应力鸿沟条件：()(),0yxy y y gh σρτ===-=③在小鸿沟2y h =上，能精确满足以下位移鸿沟条件：()()220,0====y hy h u v这两个位移鸿沟条件可以利用圣维南道理，改用三个积分的应力鸿沟条件来代替，当板厚=1δ时，可求得固定端束缚反力分别为：10,,0s N F F ghb M ρ==-=因为2y h =为正面，故应力分量与面力分量同号，则有：()()()222100000b y y h by y h bxy y h dx gh b xdx dx σρστ===⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩⎰⎰⎰ ⑵图2-18①上下次要鸿沟y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式（2-15）lmx f (s)y f (s)2h y =-0 -1 0 q2h y =1-1q-/2()y y h q σ==-，-/2()0yx y h τ==，/2()0y y h σ==，/21()yx y h q τ==-②在x =0的小鸿沟上，利用圣维南道理，列出三个积分的应力鸿沟条件：负面上应力与面力符号相反，有/20/2/20/2/20/2()()()h xy x Sh h x x N h h x x h dx Fdx F ydx M τσσ=-=-=-⎧=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎩⎰⎰⎰ ③在x=l 的小鸿沟上，可利用位移鸿沟条件0,0====l x l x v u 这两个位移鸿沟条件也可改用三个积分的应力鸿沟条件来代替.首先，求固定端束缚反力，按面力正方向假设画反力，如图所示，列平衡方程求反力：110,xN NN N F F F q l F q l F ''=+=⇒=-∑ 0,0yS S S S FF F ql F ql F ''=++=⇒=--∑2211110,'02222A S S q lh ql M M M F l ql q lh M M F l =+++-=⇒=---∑因为x=l 为正面，应力分量与面力分量同号，故/21/22/21/2/2/2()()22()h x x l N Nh h x x l S h h xy x l S Sh dy F q l Fq lh ql ydy M M F l dy F ql Fσστ=-=-=-⎧'==-⎪⎪⎪'==---⎨⎪⎪'==--⎪⎩⎰⎰⎰ M'【2-10】试利用圣维南道理，列出图2-19所示的两个成绩中OA 边上的三个积分的应力鸿沟条件，并比较两者的面力是否是是静力等效？【解答】因为hl ，OA 为小鸿沟，故其上可用圣维南道理，写出三个积分的应力鸿沟条件：(a)上端面OA 面上面力q bxf f y x ==,0因为OA 面为负面，故应力主矢、主矩与面力主矢、主矩符号相反，有()()()0000200000022120bb b y y y b b b y y y byx y x qb dx f dx qdx b x b qb xdx f xdx q x dx b dx σστ===⎧=-=-=-⎪⎪⎪⎛⎫=-=-=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪=⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(对OA 中点取矩) (ｂ)利用圣维南道理，负面上的应力主矢和主矩与面力主矢和主矩符号相反，面力主矢y 向为正，主矩为负，则()()()00200002120by N y by y b xy y qb dx F qb xdx M dx σστ===⎧=-=-⎪⎪⎪=-=⎨⎪⎪=⎪⎩⎰⎰⎰ 综上所述，在小鸿沟OA 上，两个成绩的三个积分的应力鸿沟条件不异，故这两个成绩是静力等效的.【2-11】检验平面成绩中的位移分量是否为准确解答的条件是什么？【解答】（1）在区域内用位移暗示的平衡微分方程式（2-18）；（2）在s σ上用位移暗示的应力鸿沟条件式（2-19）；（3）在u s 上的位移鸿沟条件式（2-14）；对于平面应变成绩，需将E 、μ作呼应的变换.【分析】此成绩同时也是按位移求解平面应力成绩时，位移分量必须满足的条件. 【2-12】检验平面成绩中的应力分量是否为准确解答的条件是什么？【解答】（1）在区域A 内的平衡微分方程式（2-2）；（2）在区域A 内用应力暗示的相容方程式（2-21）或（2-22）；2qb212qb 图2-19（3）在鸿沟上的应力鸿沟条件式（2-15），其中假设只求解全部为应力鸿沟条件的成绩；（4）对于多连体，还需满足位移单值条件.【分析】此成绩同时也是按应力求解平面成绩时，应力分量必须满足的条件.【补题】检验平面成绩中的应变分量是否为准确解答的条件是什么？【解答】用应变暗示的相容方程式（2-20）【2-13】检验平面成绩中的应力函数是否为准确解答的条件是什么？【解答】（1）在区域A内用应力函数暗示的相容方程式（2-25）；（2）在鸿沟S上的应力鸿沟条件式（2-15），假设全部为应力鸿沟条件；（3）若为多连体，还需满足位移单值条件.【分析】此成绩同时也是求解应力函数的条件.【2-14】检验以下应力分量是否是图示成绩的解答：y图2-20 图2-21（a）图2-20，22xyqb，0==y xyστ.【解答】在单连体中检验应力分量是否是图示成绩的解答，必须满足：（1）平衡微分方程（2-2）；（2）用应力暗示的相容方程（2-21）；（3）应力鸿沟条件（2-15）.（1）将应力分量代入平衡微分方程式，且0==x yf f∂∂+=∂∂yxxx yτσ∂∂+=∂∂y xyy xστ明显满足（2）将应力分量代入用应力暗示的相容方程式（2-21），有等式左=()2222x yx yσσ⎛⎫∂∂++⎪∂∂⎝⎭=22≠qb=右应力分量不满足相容方程.是以，该组应力分量不是图示成绩的解答.（b）图2-21，由材料力学公式，=xMyIσ，*=sxyF SbIτ(取梁的厚度b=1)，得出所示成绩的解答:332=-x x y q lh σ，22233-(4)4=-xy q x h y lh τ.又根据平衡微分方程和鸿沟条件得出：333222=--y q xy xy q xq lh lh lσ.试导出上述公式，并检验解答的准确性. 【解答】（1）推导公式在分布荷载感化下，梁发生曲折形变，梁横截面是宽度为1，高为h 的矩形，其对中性轴（Z 轴）的惯性矩312=h I ，利用截面法可求出任意截面的弯矩方程和剪力方程()23(),62=-=-q qx M x x F x l l.所以截面内任意点的正应力和切应力分别为：()332==-x M x x yy q I lhσ()()2222233431.424⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭s xy F x y q x h y bh h lh τ. 根据平衡微分方程第二式（体力不计）.0∂∂+=∂∂y xy yxστ得：333.22=-+y q xy xy q A lh lhσ 根据鸿沟条件()/20==yy h σ得 q .2=-xA l故 333.2.22=--y q xy xy q xq lh lh lσ将应力分量代入平衡微分方程（2-2）第一式：22336.60x y x yq q lh lh=-+==左右满足第二式天然满足将应力分量代入相容方程（2-23）()22223312.12.0⎛⎫∂∂=++=--≠= ⎪∂∂⎝⎭左右x y xy xyq q x y lh lh σσ应力分量不满足相容方程.故，该分量组分量不是图示成绩的解答.【2-15】试证实：在发生最大与最小切应力的面上，正应力的数值都等于两个主应力的平均值.【解答】（1）确定最大最小切应力发生地位任意斜面上的切应力为()21n lm τσσ=-，用关系式221l m +=消去m ，得)))212121n τσσσσσσ=±-=-=-由上式可见当2102l -=时，即l =时，n τ为最大或最小，为 ()12max min 2n σστ-=±.是以，切应力的最大，最小值发生在与x 轴及y 轴（即应力主向）成45°的斜面上.（2）求最大，最小切应力感化面上，正应力n σ的值任一斜面上的正应力为()2122n l σσσσ=-+最大、最小切应力感化面上2/1±=l ，带入上式，得()()122121122n σσσσσσ=-+=+ 证毕.【2-16】设已求得一点处的应力分量，试求112,,σσα()100,50,)2000,400;x y xy x y xy a b σστσστ======-,()20001000400; ()1000,1500,500.x y xy x y xy c d σστσστ=-==-=-=-=,,【解答】由公式（2-6）122x y σσσσ+⎫=±⎬⎭11tan x xy σσατ-=，得11arctan x xy σσατ-=(a)121501005002σσ⎫⎧+==⎬⎨⎩⎭13516'α==︒(b)1251220003122σσ⎫⎧+=±=⎬⎨-⎩⎭()1512200arctanarctan 0.783757'400α-==-=-︒-(c)1210522000100020522σσ⎫⎧-+=⎬⎨-⎩⎭()110522000arctanarctan 7.388232'400α+==-=-︒-(d)126911000150018092σσ-⎫⎧--==⎬⎨-⎩⎭16911000arctanarctan 0.6183143'500α-+===︒【2-17】设有任意外形的等候厚度薄板，体力可以不计，在全部鸿沟上（包含孔口鸿沟上）受有均匀压力q.试证-xyq 及0xy τ=能满足平衡微分方程、相容方程和应力鸿沟条件，也能满足位移单值条件，因此就是准确的解答.【解答】（1）将应力分量,0x y xy q σστ==-=，和体力分量0x y f f ==分别带入平衡微分方程、相容方程00xyx x y xy yf xy f y x τσστ∂⎧∂++=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩（a ） ()20x y σσ∇+= （b ）明显满足（a ）（b ）（2）对于巨大的三角板A ，dx ，dy 都为正值，斜边上的方向余弦()()cos ,,cos ,l n x m n y ==，将-,0x y xy q σστ===，代入平面成绩的应力鸿沟条件的表达式（2-15），且()()-cos ,,cos ,x y f q n x f q n y ==，则有()()()()cos ,cos ,,cos ,cos ,x y n x q n x n y q n y σσ=-=-所以,x y q q σσ=-=-.对于单连体，上述条件就是确定应力的全部条件. （3）对于多连体，应校核位移单值条件是否满足.该题为平面应力情况，首先，将应力分量代入物理方程（2-12），得形变分量，y(1)(1),,0x y xy q q E Eμμεεγ---=== （d ）将（d ）式中形变分量代入几何方程（2-8），得=,=,0u v v uq q x y x yμμ∂∂∂∂+=∂∂∂∂(-1)(-1)E E （e ）前两式积分得到12--=(),=()u qx f y v qy f x μμ++（1）（1）E E（f ）其平分()()12,f y f x 别任意的待定函数，可以通过几何方程的第三式求出，将式（f ）代入式（e ）的第三式，得12()()df y df x dy dx -=等式右边只是y 的函数，而等式右侧只是x 的函数.是以，只可能两边都等于同一个常数ω，因而有12()(),df y df x dy dxωω=-= 积分后得()()1020,f y y u f x x v ωω=-+=+ 代入式（f ）得位移分量00(1)(1)u qx y u Ev qy x v Eμωμω-⎧=-+⎪⎪⎨-⎪=++⎪⎩ （g ）其中00,,u v ω为暗示刚体位移量的常数，需由束缚条件求得从式（g ）可见，位移是坐标的单值连续函数，满足位移单值条件.因此，应力分量是准确的解答.【2-18】设有矩形截面的悬臂梁，在自在端受有集中荷载F （图2-22），体力可以不计.试根据材料力学公式，写出弯应力0y σ=，然后证实这些表达式满足平衡微分方程和相容方程，再说明这些表达式是否就暗示准确的解答.【解答】（1）矩形悬臂梁发生曲折变形，任意横截面上的弯矩方程()M x Fx =-，横截面对中性轴的惯性矩为3/12z I h =，根据材料力学公式y弯应力3()12x z M x Fy xy I hσ==-；该截面上的剪力为()s F x F =-，剪应力为()*2233()/262241/12s xy z F x S F h h y F h y b y y bI h h τ⎛⎫--⎛⎫⎡⎤==⋅-⋅⋅+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⨯⎝⎭⎣⎦⎝⎭取挤压应力0y σ=（2）将应力分量代入平衡微分方程检验第一式：2312120F Fy y h h=-+==左右第二式：左=0+0=0=右该应力分量满足平衡微分方程.（3）将应力分量代入应力暗示的相容方程2()0x y σσ=∇+==左右满足相容方程（4）考察鸿沟条件①在次要鸿沟/2y h =±上，应精确满足应力鸿沟条件(2-15)lmx fyf2h y =-上0 -1 0 0 2h y =上1代入公式（2-15），得()()()()-/2/2/2/20,0;0,0yxy y yx y h y h y h y h στστ==-======②在次要鸿沟x=0上，列出三个积分的应力鸿沟条件，代入应力分量主矢主矩/20/2/20/22/2/2203/2/2()0()06()()4h x x h h x x h h h xy x h h dy x ydy F h dy y dy F y h σστ=-=-=--⎧⎪==⎪⎪==⎨⎪⎡⎤⎪=--=-=⎢⎥⎪⎣⎦⎩⎰⎰⎰⎰向面力主矢面力主矩向面力主矢满足应力鸿沟条件③在次要鸿沟上，首先求出固定边面力束缚反力，按正方向假设，即面力的主矢、主矩，0,,N S F F F M Fl ==-=-其次，将应力分量代入应力主矢、主矩表达式，判断是否与面力主矢与主矩等效：M/2/23/2/212()0h h x x l Nh h Fdy lydy F h σ=--=-==⎰⎰/2/223/2/212()h h x x l h h F ydy ly dy Fl M h σ=--=-=-=⎰⎰2/2/223/2/26()4h h xy x l S h h F h dy y dy F F h τ=--⎛⎫=--=-= ⎪⎝⎭⎰⎰满足应力鸿沟条件，是以，它们是该成绩的准确解答.【2-19】试证实，如果体力虽然不是常量，但却是有势的力，即体力分量可以暗示为,x y V Vf f x y∂∂=-=-∂∂，其中V 是势函数，则应力分量亦可用应力函数暗示成为22222=,=,x y xy V V y x x yσστ∂Φ∂Φ∂Φ++=-∂∂∂∂，试导出呼应的相容方程. 【解答】（1）将,x y f f 带入平衡微分方程（2-2）00 00yx yx x x x y xy y xy yVf x y xy x V f y x yx y ττσσστστ∂∂⎧⎧∂∂∂++=+-=⎪⎪∂∂∂∂∂⎪⎪⇒⎨⎨∂∂∂∂∂⎪⎪++=+-=⎪⎪∂∂∂∂∂⎩⎩ （a ）将（a ）式变换为()0()0yx x xy yV x y V y y τστσ∂⎧∂-+=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪-+=⎪∂∂⎩（b ）为了满足式（b ），可以取22222,,x y xy V V y x x yσστ∂Φ∂Φ∂Φ-=-==-∂∂∂∂即22222,,x y xy V V y x x yσστ∂Φ∂Φ∂Φ=+=+=-∂∂∂∂（2）对体力、应力分量,,,x y x y f f σσ求偏导数，得222222424222222422242422422222, , , y x xx yy f f V Vx x y y V V xx y x y y y V V x x x y x y y σσσσ⎧∂∂∂∂=-=-⎪∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂Φ∂∂Φ∂⎪=+=+⎨∂∂∂∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂Φ∂∂Φ∂⎪=+=+∂∂∂∂∂∂∂⎪⎩（c ）将（c ）式代入公式（2-21）得平面应力情况下应力函数暗示的相容方程()2(1)y x x y f f x y σσμ∂⎛⎫∂∇+=-++ ⎪∂∂⎝⎭（2-21）4242424222222424222222(1)V V V VV V x y x y y x x x y y x y μ⎛⎫∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂∂∂+++++++=++ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ 清算得：444224224222(1)V V x x y y xy μ⎛⎫∂Φ∂Φ∂Φ∂∂++=--+ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭（d ）即平面应力成绩中的相容方程为42(1)V μ∇Φ=--∇将（c ）式代入公式（2-22）或将（d ）式中的替换为1μμ-，的平面应变情况下的相容方程：444224224221221V Vx x y y x y μμ⎛⎫∂Φ∂Φ∂Φ-∂∂++=-+ ⎪∂∂∂∂-∂∂⎝⎭（e ）即 42121V μμ-∇Φ=-∇-. 证毕.第三章平面成绩的直角坐标解答【3-1】为何在次要鸿沟（大鸿沟）上必须满足精确的应力鸿沟条件式（2-15），而在小鸿沟上可以利用圣维南道理，用三个积分的应力鸿沟条件（即主矢量、主矩的条件）来代替？如果在次要鸿沟上用三个积分的应力鸿沟条件代替式（2-15），将会发生什么成绩？【解答】弹性力学成绩属于数学物理方程中的边值成绩，而要使鸿沟条件完整得到满足，常常比较困难.这时候，圣维南道理可为简化局部鸿沟上的应力鸿沟条件提供很大的方便.将物体一小部分鸿沟上的面力换成分布分歧，但静力等效的面力（主矢、主矩均不异），只影响近处的应力分布，对远处的应力影响可以忽略不计.如果在占鸿沟绝大部分的次要鸿沟上用三个积分的应力鸿沟条件来代替精确的应力鸿沟条件（公式2-15），就会影响大部分区域的应力分布，会使成绩的解答精度缺乏.【3-2】如果在某一应力鸿沟成绩中，除了一个小鸿沟条件，平衡微分方程和其它的应力鸿沟条件都已满足，试证：在最初的这个小鸿沟上，三个积分的应力鸿沟条件必定是天然满足的，固而可以不必校核.【解答】区域内的每一巨大单元均满足平衡条件，应力鸿沟条件实质上是鸿沟上微分体的平衡条件，即外力（面力）与内力（应力）的平衡条件.研讨对象全体的外力是满足平衡条件的，其它应力鸿沟条件也都满足，那么在最初的这个次要鸿沟上，三个积分的应力鸿沟条件是天然满足的,因此可以不必校核.【3-3】如果某一应力鸿沟成绩中有m个次要鸿沟和n个小鸿沟，试问在次要鸿沟和小鸿沟上各应满足什么类型的应力鸿沟条件，各有几个条件？【解答】在m个次要鸿沟上，每个鸿沟应有2个精确的应力鸿沟条件，公式（2-15），共2m个；在n个次要鸿沟上，如果能满足精确应力鸿沟条件，则有2n个；如果不克不及满足公式（2-15）的精确应力鸿沟条件，则可以用三个静力等效的积分鸿沟条件来代替2个精确应力鸿沟条件，共3n个.【3-4】试考察应力函数3ayΦ=在图3-8所示的矩形板和坐标系中能解决什么成绩(体力不计)?【解答】⑴相容条件:不管系数a取何值，应力函数3ayΦ=总能满足应力函数暗示的相容方程，式(2-25).⑵求应力分量y当体力不计时，将应力函数Φ代入公式(2-24)，得6,0,0x y xy yx ay σσττ====⑶考察鸿沟条件上下鸿沟上应力分量均为零，故上下鸿沟上无面力. 摆布鸿沟上；当a>0时，考察x σ分布情况，留意到0xy τ=，故y 向无面力左端:0()6x x x f ay σ===()0y h ≤≤()00y xy x f τ=== 右端:()6x x x l f ay σ===(0)y h ≤≤()0y xy x l f τ=== 应力分布如图所示，当l h 时利用圣维南道理可以将分布的面力，等效为主矢，主矩xf xf主矢的中间在矩下鸿沟地位.即本题情况下，可解决各种偏心拉伸成绩.偏心距e ：因为在A 点的应力为零.设板宽为b ，集中荷载p 的偏心距e ：2()0/6/6x A p pee h bh bh σ=-=⇒=同理可知，当a <0时，可以解决偏心紧缩成绩.【3-5】取满足相容方程的应力函数为：⑴2,ax y Φ=⑵2,bxy Φ=⑶3,cxy Φ=试求出应力分量（不计体力），画出图3-9所示弹性体鸿沟上的面力分布，并在小鸿沟上暗示出面力的主矢量和主矩.【解答】（1）由应力函数2ax y Φ=，得应力分量表达式0,2,2x y xy yx ay ax σσττ====-考察鸿沟条件，由公式（2-15）()()()()x yx s x y xy s y l m f s m l f s στστ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩yO①次要鸿沟，上鸿沟2hy =-上，面力为()22=-=x hf y ax ()2y h f y ah =-=②次要鸿沟，下鸿沟2hy =，面力为()2,2x h f y ax ==-()2y hf y ah ==③次要鸿沟，左鸿沟x=0上，面力的主矢，主矩为x 向主矢：/20/2()0h x x x h F dy σ=-=-=⎰y 向主矢：/20/2()0h y xy x h F dy τ=-=-=⎰主矩：/20/2()0h x x h M ydy σ=-=-=⎰次要鸿沟，右鸿沟x=l 上，面力的主矢，主矩为 x 向主矢：/2/2()0h x x x l h F dy σ=-'==⎰y 向主矢：/2/2/2/2()(2)2h h y xy x l h h F dy al dy alh τ=--'==-=-⎰⎰主矩：/2/2()0h x x l h M ydy σ=-==⎰弹性体鸿沟上面力分布及次要鸿沟面上面力的主矢，主矩如图所示 ⑵2bxy Φ=将应力函数代入公式（2-24），得应力分量表达式2x bx σ=，0y σ=，2xy yx by ττ==-考察应力鸿沟条件，次要鸿沟,由公式（2-15）得在2h y =-次要鸿沟，上鸿沟上，面力为,022x y h h f y bh f y ⎛⎫⎛⎫=-==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在2h y =，下鸿沟上，面力为,022x y h h f y bh f y ⎛⎫⎛⎫==-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 在次要鸿沟上，分布面力可按(2-15)计算，面里的主矢、主矩可通过三个积分鸿沟条件求得：在左鸿沟x=0，面力分布为()()00,02x y f x f x by ==== 面力的主矢、主矩为 x 向主矢：()2020hh x x x F dy σ=-=-=⎰Oxyy 向主矢：()()22002220h h h h y xy x x F dy by dy τ==--=-=--=⎰⎰主矩；/20/2()0h x x h M ydy σ=-=-=⎰在右鸿沟x=l 上，面力分布为()()2,2x y f x l bl f x l by ====- 面力的主矢、主矩为 x 向主矢：()/2/2/2/222h h x x x lh h F dy bldy blh σ=--'===⎰⎰y 向主矢：()()/2/2/2/2'20h h y xy x lh h F dy by dy τ=--==-=⎰⎰主矩：()/2/2/2/2'20h h x x l h h M ydy blydy σ=--===⎰⎰弹性体鸿沟上的面力分布及在次要上面力的主矢和主矩如图所示ahxyah（3）3cxy Φ=将应力函数代入公式（2-24），得应力分量表达式26,0,3x y xy yx cxy cy σσττ====-考察应力鸿沟条件，在次要鸿沟上应精确满足式（2-15）①2hy =-上边界上，面力为23,0242x y h h f y ch f y ⎛⎫⎛⎫=-==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭②hy=2下边界上，面力为23,0242x y h h f y ch f y ⎛⎫⎛⎫==-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭次要鸿沟上，分布面力可按（2-15）计算，面力的主矢、主矩可通过三个积分鸿沟求得：③左鸿沟x=0上，面力分布为。

课后习题解答

弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答徐芝纶【2-8】在图2-16中，试导出无面力作用时AB 边界上的xy ,,x y σστ之间的关系式【解答】由题可得：()()()cos ,cos 90sin 0,0x y l m f AB f AB ααα==-===将以上条件代入公式（2-15），得：()()()()()2cos sin 0, sin ()cos 0()tan tan x yx y xy AB AB AB AB x AB yx y ABABσατασαταστασα+=+=⇒=-=【2-9】试列出图2-17，图2-18所示问题的全部边界条件。

在其端部小边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。

xM图2-17图2-18【分析】有约束的边界上可考虑采用位移边界条件，若为小边界也可写成圣维南原理的三个积分形式，大边界上应精确满足公式（2-15）。

【解答】图2-17：上（y =0）左(x =0)右（x =b ）l-11x图2-16m-10 0()x f s()1g y h ρ+()1g y h ρ-+() yfs1gh ρ代入公式（2-15）得①在主要边界上x=0，x=b 上精确满足应力边界条件：()()100(),0;===-+=x xy x x g y h σρτ ()()1b b (),0;===-+=x xy x x g y h σρτ②在小边界0y =上，能精确满足下列应力边界条件：()(),0yxy y y gh σρτ===-=③在小边界2y h =上，能精确满足下列位移边界条件：()()220,0====y hy h u v这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚=1δ时，可求得固定端约束反力分别为：10,,0s N F F gh b M ρ==-=由于2y h =为正面，故应力分量与面力分量同号，则有：()()()222100000b y y h by y h bxy y h dx gh b xdx dx σρστ===⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩⎰⎰⎰ ⑵图2-18①上下主要边界y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式（2-15）lmx f (s) y f (s)2h y =-0 -1 0 q2h y =1-1q-/2()y y h q σ==-，-/2()0yx y h τ==，/2()0y y h σ==，/21()yx y h q τ==-②在x =0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力与面力符号相反，有/20/2/20/2/20/2()()()h xy x Sh h x x N h h x x h dx Fdx F ydx M τσσ=-=-=-⎧=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎩⎰⎰⎰ ③在x=l 的小边界上，可应用位移边界条件0,0====l x l x v u 这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。

弹性力学简明教程_课后习题解答

弹性力学简明教程(第四版)课后习题解答徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么就是均匀的各向异性体,什么就是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就就是满足均匀性假定,但不满足各向同性假定;非均匀的各向异性体,就就是不满足均匀性假定,但满足各向同性假定。

【解答】均匀的各项异形体如:竹材,木材。

非均匀的各向同性体如:混凝土。

【1-2】一般的混凝土构件与钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基与土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体,要判定能否满足四个假定:连续性,完全弹性,均匀性,各向同性假定。

【解答】一般的混凝土构件与土质地基可以作为理想弹性体;一般的钢筋混凝土构件与岩质地基不可以作为理想弹性体。

【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】(1)连续性假定:假定物体就是连续的,也就就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满,不留下任何空隙。

引用这一假定后,物体的应力、形变与位移等物理量就可以瞧成就是连续的。

因此,建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示她们的变化规律。

完全弹性假定:假定物体就是完全弹性的,即物体在对应形变的外力被去除后,能够完全恢复原型而无任何形变。

这一假定,还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义,亦即两者之间就是成线性关系的,即引用这一假定后,应力与形变服从胡克定律,从而使物理方程成为线性的方程,其弹性常数不随应力或形变的大小而变。

均匀性假定:假定物体就是均匀的,即整个物体就是由同一材料组成的,引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性,所研究物体的内部各质点的物理性质都就是相同的,因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。

各向同性假定:假定物体就是各向同性的,即物体的弹性在所有各个方向都相同,引用此假定后,物体的弹性常数不随方向而变。

小变形假定:假定位移与变形就是微小的。

亦即,假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸,而且应变与转角都远小于1。

弹性力学简明教程(第四版)-课后习题解答

【3-1】为什么在主要边界（大边界）上必须满足精确的应力边界条件式（2-15），而在小边界上可以应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件（即主矢量、主矩的条件）来代替？如果在主要边界上用三个积分的应力边界条件代替式（2-15），将会发生什么问题？【解答】弹性力学问题属于数学物理方程中的边值问题，而要使边界条件完全得到满足，往往比较困难。

这时，圣维南原理可为简化局部边界上的应力边界条件提供很大的方便。

将物体一小部分边界上的面力换成分布不同，但静力等效的面力（主矢、主矩均相同），只影响近处的应力分布，对远处的应力影响可以忽略不计。

如果在占边界绝大部分的主要边界上用三个积分的应力边界条件来代替精确的应力边界条件（公式2-15），就会影响大部分区域的应力分布，会使问题的解答精度不足。

【3-2】如果在某一应力边界问题中，除了一个小边界条件，平衡微分方程和其它的应力边界条件都已满足，试证：在最后的这个小边界上，三个积分的应力边界条件必然是自然满足的，固而可以不必校核。

【解答】区域内的每一微小单元均满足平衡条件，应力边界条件实质上是边界上微分体的平衡条件，即外力（面力）与内力（应力）的平衡条件。

研究对象整体的外力是满足平衡条件的，其它应力边界条件也都满足，那么在最后的这个次要边界上，三个积分的应力边界条件是自然满足的,因而可以不必校核。

【3-3】如果某一应力边界问题中有m 个主要边界和n 个小边界，试问在主要边界和小边界上各应满足什么类型的应力边界条件，各有几个条件？【解答】在m 个主要边界上，每个边界应有2个精确的应力边界条件，公式（2-15），共2m 个；在n 个次要边界上，如果能满足精确应力边界条件，则有2n 个；如果不能满足公式（2-15）的精确应力边界条件，则可以用三个静力等效的积分边界条件来代替2个精确应力边界条件，共3n 个。

【3-4】试考察应力函数3ay Φ=在图3-8所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计)?【解答】⑴相容条件:不论系数a 取何值，应力函数3ay Φ=总能满足应力函数表示的相容方程，式(2-25).⑵求应力分量当体力不计时，将应力函数Φ代入公式(2-24)，得6,0,0x y xy yx ay σσττ====⑶考察边界条件上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力.xylOh图3-8左右边界上；当a>0时，考察x σ分布情况，注意到0xy τ=，故y 向无面力左端:0()6x x x f ay σ=== ()0y h ≤≤ ()0y x y x f τ===右端:()6x x x l f ay σ=== (0)y h ≤≤ ()0y x y x lf τ=== 应力分布如图所示，当l h ?时应用圣维南原理可以将分布的面力，等效为主矢，主矩xyOxf xf主矢的中心在矩下边界位置。

弹性力学简明教程(第四版)_第八章_课后作业题答案