选修2-3课件1.3.2二项式定理(3)
高中数学选修2-3优质课件：1.3.1 二项式定理
是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具
体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；
③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非
负整数，求解方式与求有理项一致.
跟踪训练 3 (1)若x－ax9 的展开式中 x3 的系数是－84，则 a＝__1____. 解析 展开式的通项为 Tk＋1＝Ck9x9－k(－a)k1xk＝Ck9·(－a)kx9－2k(0≤k≤9， k∈N). 当9－2k＝3时，解得k＝3，代入得x3的系数，根据题意得C39 (－a)3＝－84， 解得a＝1.
题型探究
类型一 二项式定理的正用、逆用 例 1 (1)求(3 x＋ 1x)4 的展开式.
解答
(2)化简：C0n(x＋1)n－C1n(x＋1)n－1＋C2n(x＋1)n－2－…＋(－1)kCkn(x＋1)n－k＋ …＋(－1)nCnn. 解 原式＝C0n(x＋1)n＋C1n(x＋1)n－1(－1)＋C2n(x＋1)n－2(－1)2＋…＋Ckn (x＋1)n－k(－1)k＋…＋Cnn(－1)n ＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
解答
类型二 二项展开式通项的应用
命题角度1 二项式系数与项的系数 例 2 已知二项式(3 x－32x)10. (1)求展开式第4项的二项式系数； 解 (3 x－32x)10 的展开式的通项是
Tk＋1＝Ck10(3 x)10－k(－32x)k＝Ck10310－k(－23)k·x10－23k (k＝0,1,2，…，10).
解答
引申探究
将例1(1)改为求(2x－
1 x2
)5的展开式.
解 方法一 (2x－x12)5＝C05(2x)5－C15(2x)4·x12＋C25(2x)3·(x12)2－C35(2x)2·(x12)3＋
人教B版数学选修2-3课件：1.3.1 二项式定理
【做一做1-1】 (a+b)2n的二项展开式的项数是( )
A.2n
B.n+1
C.2n+1 D.2n-1 解析:因为(a+b)2n中的指数为2n,
所以展开式有2n+1项.
答案:C
【做一做 1-2】 化简:C���0��� (x+1)n-C���1��� (x+1)n-1+…+(-1)rC������������ (x+1)n-
(2)展开式中所有含x的有理项;
(3)展开式中系数最大的项.
分析根据前3项系数成等差数列可求出n值,应用二项展开式的通
项求特定项.
题型一 题型二
解:(1)由题意可知,������n0 + ������n2 ·212=2������n1 ·12,得 n=8.
Tr+1=������8r (
x)8-r·
题型一 题型二
题型一 二项式定理的应用
【例 1】
用二项式定理展开
3
������ +
1 ������
4
.
分析本题可以直接利用二项式定理展开再化简,也可以先化简再 展开.
题型一 题型二
解法一
3
������ +
1 ������
4 = C40
3
������)4 + C41(3
������
3
1 ������
题型一 题型二
(3)设第 k 项的系数 tk 最大, 则有 tk≥tk+1,且 tk≥tk-1,于是
C8������-1·2-������+1 ≥ C8������ ·2-������ , 解得 3≤k≤4. C8������-1·2-������+1 ≥ C8������-2·2-������+2,
人教版高中数学选修2-3二项式定理 (共16张PPT)教育课件
人
的
一
生
说
白
了
，
也
就
是
三
万
余
天
，
贫
穷
与
富
贵
，
都
是
一
种
生
活
境
遇
。
懂
得
爱
自
己
的
人
，
对
生
活
从
来
就
没
有
过
高
的
奢
望
，
只
是
对
生
存
的
现
状
欣
然
接
受
。
漠
漠
红
尘
，
芸
芸
众
生
皆
是
客
，
时
光
深
处
，
流
年
似
水
，
转
瞬
间
，
光
阴
就
会
老
去
，
留
在
心
头
的
，
只
是
弥
留
在
时
光
深
处
的
无
边
落
寞
。
轻
拥
沧
桑
，
淡
看
流
年
，
掬
一
捧
岁
月
，
握
一
份
懂
得
，
红
尘
口
罗
不
–■
① 项： a 3
a 2b ab 2 b 3
a3kbk
高中数学选修2-3课件1.3.1《二项式定理》课件
(a b)n ?
…
探究1、 (a+b)4展开后有哪些项？ 各项的系数分别是什么？
(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)
展开后的每一项形式有何提点？
（1）形如： a xb y
次数:各项的次数等于二项式的次数 项数:次数+1
对(a+b)2展开式的分析
(a+b)2＝ (a+b) (a+b) 展开后其项的形式为：a2 ， ab ， b2
这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑b
每个都不取b的情况有1种，即C20 ,则a2前的系 数为C20 恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22
(a b)2
C 20a 2
C
1 2
ab
C
2 2
b2
(a b)3
C
0a
3
3
C
1 3
a
2b
C
2 3
ab2
C33 b3
(a
b)4
C 40a 4
C
1 4
a
3b
C 42a 2b2
C43ab3
C44b4
(a b)n ?
探究2：请分析(a b)n的展开过程
(a b)n (a b)( ab )(ab)
求a1+a3+a5+a7+…+a199 的值。
例7、若 ( x+ 1 )n 展开式中前三项系数成等差 24 x
人教B版高中数学(选修2-3)1-3《二项式定理》ppt课件
代入， 令m (12 – r )+ nr = 0，将 n =﹣2m 代入，解得 r = 4 ， ﹣
故T5 为常数项，且系数最大。 为常数项，且系数最大。
T5的系数 ≥ T4的系数 ∴ T5的系数 ≥ T6的系数 4 3 C12 a 8 b 4 ≥ C12 a 9 b 3 即 4 8 4 5 C12 a b ≥ C12 a 7 b 5 8 a 9 解得 ≤ ≤ 5 b 4
相等且同时取得最大值
2 n r n n n n
(3)各二项式系数的和 各二项式系数的和
C + C + C +L + C +L + C = 2
0 n
例1.
在 (2x − 3y )
10
展开式中
1024 1
(1)求二项式系数的和 求二项式系数的和; 求二项式系数的和 (2)各项系数的和 各项系数的和; 各项系数的和
T4 = − C a b
3 4 7
3
系数最小
T =Cab
4 7 3 5
4
系数最大
三、例题讲解： 例题讲解：
3
(1 − x )(1 + x) 的展开式中， x 5 的系数 的展开式中， 例 1 ⑴在
10
是多少？ 是多少？
解：⑴原式= 原式
(1 + x) − x (1 + x) 3 10 5 10 可知 x 的系数是 (1 + x) 的第六项系数与 − x (1 + x)
3、特例： 特例： n 1 2 2 r r n n （1 + x） = 1 + Cn x + Cn x + L + Cn x + L + Cn x
高中数学人教A版选修2-3课件1.3.1 二项式定理ppt版本
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
反思1.形式简单的二项式展开时可直接利用二项式定理展开,对于 形式较复杂的二项式,在展开之前可以根据二项式的结构特点进行 必要的变形,然后再展开,以使运算得到简化.记准、记熟二项式 (a+b)n的展开式是正确解答与二项式定理有关的问题的前提.
2.逆用二项式定理要注意二项展开式的结构特点,a的指数是从 高到低,b的指数是从低到高,a,b的指数和都相等,如果项的系数是 正负相间,那么是(a-b)n的形式.
⋯+(-1)������C������������ ·(x+1)n-r+…+(-1)������C������������ = [(������ + 1) − 1]������ = ������������.
(3)可设 Sn= C���1��� + 3C���2��� + 9C���3��� + ⋯+3n-1C������������ ,
1 2
8-������ C8������ ������8-43������ (0 ≤k≤8,k∈N).
令
8−
4 3
������
=
0,
得k=6,T7=(-1)6
1 2
8-6 C86
= 7.
(2)展开式的通项为 Tk+1= C9������ ������9 − ������(−������)������
(3)( x − 3 ������)9 展开式中含������的有理项共有_______项.
解析:(1)展开式的通项为 Tk+1= C8������
������ 2
8-������
高中数学选修2-3精品课件：1.3.1 二项式定理
2.二项式系数及通项 (1)(a＋b)n展开式共有 n＋1 项，其中 各项的系数Ckn (k∈{0, 1,2，…，n}) 叫做二项式系数 . (2)(a＋b)n展开式的第 k＋1 项叫做二项展开式的通项，记作 Tk＋1＝ Cknan－kbk .
要点一 二项式定理的正用、逆用 例 1 (1)求(3 x＋ 1x)4 的展开式； 解 方法一 (3 x＋ 1x)4 ＝C04(3 x)4＋C14(3 x)3·1x＋C24(3 x)2·( 1x)2＋C34(3 x)·( 1x)3＋
－1，n为奇数时.
要点二 二项展开式通项的应用 例 2 若( x＋ 1 )n 展开式中前三项系数成等差数列，求：
4 2x (1)展开式中含x的一次项； 解 由已知可得 C0n＋C2n·212＝2C1n·12，即 n2－9n＋8＝0， 解得n＝8，或n＝1(舍去).
Tk＋1＝Ck8(
x)8－k·(
x
(1)求含x2的项的系数；
(2)求展开式中所有的有理项.
解
3
x－ 3 3
n
展开式的通项为Tr1
Cnr
nr
x3
(3)r
r
x3
n2r
Crn (3)r x 3 .
x
第6项为常数项，即r＝5，
n－2r 且 3 ＝0，∴n＝10.
n－2r (1)令 3 ＝2，得
r＝21(n－6)＝2.
故 x2 项的系数为 C210(－3)2＝405.
第一章——
1.3 二项式定理
1.3.1 二项式定理
[学习目标] 1.能用计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
人教A版高中数学选修2-3课件：1.3.1《二项式定理》PPT(新-)
二项式定理(二)
复习引入
课前热身
赋值法再思考
项与系数 的思考
本课小结
思考三
二项式定理(二)
上节课，我们认识了二项式定理：
1.二项式定理：
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnranrbr Cnnbn
2.通项规律：Tr1 Cnranrbr , (r 0,1, 2, n)第(r+1)项
思考练习:
0 1. 1 3 32 32007 被 4 除所得余数是______.
2.求 (1.05)6 精确到 0.01的近似值. 1.34
3.将 ( x y z)10 展开后,则展开式 x5 y3z2 的项的
系数为(B )
(A) C150C130C120
(B)
C150C
53C
2 2
(C)
1 r
x
解：根据二项式定理，取a＝3x2，b＝－
1 x
∴ (3 x2 1 )10 的通项公式是
x
Tr1 C1r0
3x2
10 r
1 x
r
1
r
C1r0
310 r
20 5r
x2
由题意可知， 20 5r 0 r 8
2
常数项即 x0项.
故存在常数项且为第9项，
常数项T9 1 8 C180 3108 x0 405
81 330 3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数
4. 9192除以100的余数是＿＿＿＿.
5.若( x + 1 )n = xn +…+ ax3 + bx2 +…+1(n∈N*)，
2017-2018学年高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.2课件新人教A版选修2-3
＝ ( C 2 2 ＋ C 1 2 ＋ C 1 3 ＋ … ＋ C 1 9 － C 2 2 ) ＋ ( C 3 3 ＋ C 3 2 ＋ … ＋ C 9 2 ) ＝ C120＋ C130－ 1＝ 164.
(2)由题可设第n行的第14个与第15个数的比为2∶3,即
二项展开式的第14项和第15项的系数比为
C.0
D.2
(2)已知(1-2x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,(n∈N*),且a2=60. ①求n的值;
②求
的值.
a21a 22 2a 23 3 1na 2n n
【解题指南】(1)对x赋值1,即可求得.
(2)①由a2=60,求出n的值.
②令x=0,求出a0,再令x=-1 即可求得. 2
这C 正0 n 1 好C 是1 n第C nn 2 +1 2C 条3 n 细2 斜C 4 n 线 3 上… 各数之和.
类型二 求展开式中的系数和
【典例2】(1)(2017·济宁高二检测)如果(1-2x)7=a0+
a1x+a2x2+…+a7x7,那么a0+a1+…+a7的值等于 ( )
A.-1
B.-2
【解题指南】(1)该数列从第3项开始每隔一项等于前 两项的和,解答本题可观察数列的各项在杨辉三角中的 位置,把各项还原为各二项展开式的二项式系数,然后利 用组合数的性质求和. (2)可联系对应二项式系数的位置求解.
【解析】(1)选C.由图知,数列中的首项是
C
,第2 2项
2
是 ,第3项是
项是C 12 ,
答案:7
C
6 13
6.已知(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5. (1)求a0+a1+a2+…+a5. (2)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|. (3)求a1+a3+a5.
人教B数学选修2-3课件：第1章1.31.3.1二项式定理
第—章1.31・3・1计数原理二项式定理二项式定理学习目标：1.会证明二项式定理. 的通项公式.（重点）教材整理二项式定理阅读教材P26〜P27例1以上部分，完成下列问题. 二项式定理及相关的概念0微体验0判断(正确的打“J”，错误的打“x”)(1)@+份"展开式中共有〃项.()(2)在公式中，交换°, b的顺序对各项没有影响.()(3)C严是(M 展开式中的第呗.()(4)(o—b)"与(。
+矿的二项式展开式的二项式系数相同.(【解析】(l)x因为(a+b)n展开式中共有〃+1项.(2)X因为二项式的第r+1项C旷H和e+川的展开式的第r+1 项cyv是不同的，其中的°, b是不能随便交换的.(3)X因为C r n a n-r b r是@+份"展开式中的第卄1项.(4)7因为(a-b)n与(a+b)n的二项式展开式的二项式系数都是C；【答案】(1)X (2)X (3)X (4)7啖型ly 二项式定理的正用、逆用(3〕5【例1】⑴用二项式定理展开杯一疋I;(2)化简:C…(x+1 )n—CJ(x+1 )n~1+C…(x+1 )w-2 --------- (—l)'C；Xr+l)n_r + ・・・+(T)"C；；.【精彩点拨】⑴二项式的指数为5,且为两项的和，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x+1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解.=32八曲+讐字+器—話(2)原式=C*x+1)"+C掀+1)" 丫―1)+C偸+1)" ®(—1尸+…+ 0+1 厂(T)「+・・・+C；；(T)〃=心+/丿+(—M=f・规律方进1.展开二项式可以按照二项式定理进行.展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件.2.对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便.3.对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用.对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点，项数，各项黑指数的规律以及各项的系数.…+a+;说+【：期他) 乍牡習胡伴+輿*(1) •【片I 丿3 s I: 3 务+窘H 8h 2+108x +54+l^+4・n r =4+ 10W +54T +12X+1)121岂2+10b +5444(2)JMH1+2C +22C +.:+2n ll (l +2)f 3=.逆??zL—式系数与项的系数问题_____________/ 讥【例2】⑴求二项式6的展开式中第6项的二项式系数和第< 儿丿6项的系数；(2)求”一/的展开式中『的系数.【精彩点拨】利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解.【解】⑴由己知得二项展开式的通项为人+1Z 3=(-l)G2f3®AT6=-12-X"\:•第6项的二项式系数为C6=6, 第6项的系数为C%(-1)・2=-12.⑵ 7V+LC旷• V =(-1)圈严「，\儿丿・・・9一2尸3,・••尸3,即展开式中第四项含「，其系-84.数为(-1)£=规律方进1.二项式系数都是组合数C,；(r=0,l,2, n),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念.2.第厂+1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C；；.例如，在(l+2x)7的展开式中，第四项是T4=C^-3(2X)3,其二项式系数是C=35,而第四项的系数是C护=280.2. (l+2r)"的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项 式系数最大的项和系数最大的项.【解】r 6=CW ，T 7=d(2x)6,依题意有C 沖二C 防，・d=8. ・：(1+2浮的展开式中，二项式系数最大的项为T 5=Ci(2x)4=l 120x 4.设第卄i项系数最尢则有・：5水6.,・r=5 或r=6(Vr=0,1,2, •••：•:系数最大的项为丁6=1792x‘，T7=1792X6.寒型3/ 求展开式中的特定项—匚—一^上 ------- ——----------------（探究问题丿（1〕41.如何求x+f展开式中的常数项？< X）【提示】利用二项展开式的通项卅巾求解，令4—2厂A（山.4X3=0,贝lj r=2,所以*展开式中的常数项为C：=〒=6.2. (a+b)(c+d)展开式中的每一项是如何得到的？【提示】S+b)(c+d展开式中的各项都是由°+0中的每-项分别乘以c+d中的每一项而得到.3.如何求x+;(2x+l)3展开式中含x的项？V兀丿/ \【提示】x+; (2x+1)3展开式中含x的项是由中的x与£分别A) A A与(2x+l)3展开式中常数项C；=l及＜项C S22?=12?分别相乘再把积相加得x・C汁!C(2X)2=X+12X=13X.即|X+』2X+1)3展开式中含x的项为A A J 13x.3r 3 H【例3】已知在二的展开式中，第6项为常数项.⑴求M；(2)求含*项的系数；(3)求展开式中所有的有理项.【精彩点拨】|写出通项小卜隔匚5, x的指数为零T⑴求出〃值IT修正通项公式IT⑵求“项的系教 f考查X 指数为整数f分析求岀k值T(3)写岀有理项【解】通项公式为:T「+1=C；尸(―3 疗』c；；(—3)1 丁.(1)：•第6项为常数项,/I—2rAr=5 时，有=0,即〃=10・10—2丫 1(2)令一=2,得尸尹0—6)=2,・：所求的系数为C W(-3)2=405.•Ed7里SWGO^・霜黑规律方进1.求二项展开式的特定项的常见题型(1)求第P 项,7；=C：T厂+0T；(2)求含/•的项(或#护的项)；(3)求常数项;(4)求有理项.2.求二项展开式的特定项的常用方法⑴对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；(2)对于有理项，一般是先写岀通项公式,其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致.3. (1)在(l-?)(l+x)10的展开式中，f 的系数是 _______(2)若L —专f 展开式的常数项为60,则常数a 的值为— k 兀丿【解析】⑴『应是(1+x)10中含f项、含『项分别与1, -X3相乘的结果，・••其系数为do+C?o(-l)=2O7.(2)|x-却的展开式的通项是7>1=G?Y(—胪9(—令6-3r=0,得尸2,即当尸2时，乃+1为常数项，即常数项是C紅根据已知得C]a=60,解得o=4.【答案】(1)207 (2)41.在(X-A/3)10的展开式中，含『的项的系数是(A. —27蘇B. 27CjoD. 9Cjo【解析】含【答案】DA. —28的展开式中常数项是(B. -7C. 7【解析】D. 288-rTr+1=G•另•------r 1 4 4材=(-l)g•护存,当8_严,即尸6时，丁7=(—1)6・C讣2=7.【答案】C3. (2019-全国卷皿)(1+2?)(l+x)4的展开式中x3的系数为()A. 12B. 16C. 20D. 24【解析】展开式中含F的项可以由“1与和“2*与*的乘积组成，则『的系数为C；+2C；=4+8=12.【答案】A4.在2f—$的展开式中，中间项是 _____ .k 兀丿【解析】由〃=6知中间一项是第4项，因2=C%2?)3. |一$=Q•(— 1)3-23.%3,所以T4=-160X3.【答案】-160f。
选修2-31.3.2二项式定理(3)ppt课件
(3)各二项式系数的和
C n 0 C n 1 C n 2 L C n r L C n n 2 n
.
C 0,C 1,C 2,,C n
n nn
n
f(r) 20
定 令 : 义 fr ({ r0 )， 域 1 ， C ， n rn}
14
当n= 6时, f (r) C6r
其图象是7个孤立点
6
O 36
函数思想
代数意义：Cnm Cnnm
几何意义：
r直线 r n 作为对称轴 2
将图象分成对称的两部分.
.
四、例题选讲：
例1 证明：在(a＋b)n展开式中,奇数项的二项
式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
C n 0 C n 1 C n 2 L C n r L C n n 2 n
C n 0 C n 2 C n 1 C n 3 2 n 1 证明：在展开式 C n 0a n C n 1 a n 1 b L C n n b n中
斯卡（Blaise Pascal, 1623-1662）首先发现的，
他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨
辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可
见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自
豪的.
.
数学结论
(1)对称性： 二项式系数的性质
与首末两端“等距离”的 两个二项式系数相
等.
Cnm
Cnm n
(2)增减性与最大值：
证明：∵ 2 C n 0 2 C n 1 3 C n 2 L n 1 C n n Cn02Cn 13Cn2Ln1Cnn
n1Cn0nCn 1L2Cnn1Cnn
n 2 ( C n 0 C n 1 C n 2 L C n n ) n22n
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∴k能被2整除，且20－k能被3整除．
故k为偶数，20－k是3的倍数，0≤k≤20，
∴k＝2,8,14,20.
(2)Tk＋1＝Ck5(
x
)5－k－
1 3 x
k＝Ck5(－1)kx52－56k，令
52－
5k 6
＝0，
得k＝3，所以A＝－C35＝－10.
[答案] (1)A (2)－10
[类题通法]
1．在通项公式Tk＋1＝C
8－43k＝0，即k＝6时，T7＝(－1)6·C68·122＝7.
答案：C
3．在2x2－1x6的展开式中，中间项是________．
解析：由n＝6知中间一项是第4项，因T4＝C
3 6
(2x2)3·－1x
3
＝C36·(－1)3·23·x3，所以T4＝－160x3.
答案：－160x3
4.x2－21x9的展开式中，第4项的二项式系数是______，第4项
[对点训练](1)求ຫໍສະໝຸດ x－214
x
的展开式．
(2)化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．
解：(1)法一：
x－2
1
x
4＝C
0 4
(
x
)4－C
1 4
(
x
)3·2
1
x
＋C
2 4
( x)2·2 1 x2－C34 x·2 1 x3＋C442 1 x4＝x2－2x＋32－21x＋161x2.
解：T3＝C
2 5
(x3)3
2 3x2
2＝C
2 5
4 ·9
x5，所以第三项的系数为
C52·49＝490.
选修2-3.1.3.2杨辉三角与二次项系数的性质
2019/4/10
v:pzyandong
19
知识点
二项式系数的性质
[问题] (a＋b)n的展开式的二次项系数，当n取正整数时可以表示成
如下形式：
2019/4/10
v:pzyandong
20
问题1：从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？
提示：在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系
数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”
①每行两端都是1 Cn0= Cnn=1 ②从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于它肩 上的两个数的和 Cn+1m= Cnm + Cnm-1
2019/4/10 v:pzyandong 5
类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九 章算法》一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还 说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉 指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11
13
知识对接测查2 1.在(1+x)4的展开式中，二项式系数最大的项是 二项式系数最大的项是第 3 项. 在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为 ， ；
C
6 11
.
2. 在二项式(x-1)11的展开式中,求系数最小的项的系数。
C 462
5 11
6 最大的系数呢？ C11
462
2019/4/10
2019/4/10
n1
倒序相加法
v:pzyandong
18
0 1 n ( a b ) C , C , C 一般地， 展开式的二项式系数 n n n 有如下性质：
n
（ 1） C C
新课标高中数学人教版选修2-3精品课件-【数学】1.3.1《二项式定理习题课》课件(新人教A版选修2-3)
(3)Cn1 2Cn2 3Cn3 ... nCnn
(4)Cn0
1 2
Cn1
1 3
Cn2
...
1 n
1
Cnn
6、（1-2x）6 a0 a1x a2 x2 a3x3 ... a6x6, 则 a0 a1 a2 ... a6 的值为（ ） A.1 B.64 C.243 D.729
⑷“第一盒中恰有三球”的概率。
P A
24 34
16 81
PB
C41 23 34
32 81
PC
C42 22 34
24 81
P
D
C43 34
2
8 81
如何产生［a,b］区间上均匀随机数呢？
利用计算器或计算机产生[0，1]上的均匀随机数
x=RAND,然后利用伸缩和变换，x x1 *(b a) a
7、若(2x 3)4 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 , 则(a0 +a2 +a4 )2 (a1 a3 )2的值为（ ） A.1 B.-1 C.0 D.2
8、(2x3
+
1 x2
)n
(n
N
* )的展开式中，若存在
常数项，则n的最小值是（ ）
A.3 B.5 C.8 D.10
i=1
s=0
s=0
i<=100? 否 输出s
结束
i=i+1
是
s=s+i
WHILE i<=100 s=s+i i=i+1
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C C C C
0 n 2 n 1 n 3 n
2 n
3 n 1 n
0 1 2 n Cn 2Cn 3Cn n 1 Cn n 2 2n 1 例2 求证：
证明：∵ 2 C 2C 3C n 1 C
（2） a1+a3+ a5的值； （3） |a1|+|a2|+|a3|+ |a4| + |a5|的值.
解:(1)在(1-2x)5= a0＋ a1x + a2x2 + a3x3+ a4x4+ a5x5 中 令x=1，-1 分别得： 5
(2)a1 a3 a5 122
a0 1 a1 a2 a3 a4 a5 2
4 2
3
3
10
2、若(2 x 3) a0 a1 x a2 x a3 x a4 x , 则
4
1 10 ( 3 1) 2
1 ( a0 a2 a4 )2 (a1 a3 )2 ______ (99年全国) 结论:
f (1) f ( 1) 其奇次项系数的和是 2 f (1) f ( 1) 其偶次项系数的和是 2
(3)奇数项的二项式系数和 512 与偶数项的二项式系数和; (4)奇数项的系数和与偶数项的系数和;
1 5 2
10
1 5 2
10
学生活动
1、已知(2x+1)10=a0x10+ a1x9+ a2x8+……+a9x+ a10, (1)求a0+ a1+ a2+…… +a9+ a10的值 (2)求a0+ a2+ a4+…… + a10的值
(a+b)1 (a+b)2
(a+b)3
1 C10 C1 1 0 2 C2 C2 C2
1 C30 C3 3 C32 C3
(a+b)4
(a+b)5 (a+b)6
1 0 3 4 2 C4 C4 C4 C4 C4
3 5 1 C50 C5 C52 C5 C54 C5 0 1 3 5 6 C6 C 6 C62 C6 C64 C6 C6
0 n 2 n 1 n 3 n
n 1
n n n
证明：在展开式
n
C a C a b C b
0 n n 1 n
0 n 1 n
n 1
中
n n n
令a=1，b=－1得
(1 1) C C C C (1) C 0 2 3 即0 Cn Cn C Cn
(a+b)4
(a+b)5
1 0 3 4 2 C4 C4 C4 C4 C4
3 5 1 C50 C5 C52 C5 C54 C5 0 1 3 5 6 C6 C 6 C62 C6 C64 C6 C6
(a+b)6
1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
C 2C 3C n 1 C
0 n 1 n 2 n n n 0 n
0 n
1 n
2 n
n n
n 1 C
nC 2 C
1 n
C 2C 3C n 1 C n 1 2
0 n 1 n 2 n n n
1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉 1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经 出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还说 明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上 两个数的和，杨辉指出这个方法出于《释锁》 算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪） 已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11 世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕 斯卡（Blaise Pascal, 1623-1662）首先发现的， 他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨 辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可 见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自 豪的.
设f ( x ) (a bx )
n
学生活动
3.( 1﹣x ) 13 的展开式中系数最小的项是 C ） （ (A)第六项 (D)第九项 (B)第七项 （C）第八项
小结：
对称性
（1）二项式系数的三个性质 增减性与最大值 各二项式系数和 （2） 数学思想：函数思想 a 图象； b 单调性； c 最值。 （3） 数学方法 ： 赋值法 、递推法
2 r n r n n n
3、特例：
n 1 n 2 n
（1 x） 1 C x C x C x C x
一、建构数学
试计算下列各展开式中的二项式系数：
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3
1 C10 C1 1 0 2 C2 C2 C2
1 C30 C3 3 C32 C3
a0 a1 a2 a3 a4 a5 ( 1) 1 5 a0 a1 a2 a3 a4 a5 3 243
(3) a1 a2 a3 a4 a5 242
例4. 在
2x 3y
10
展开式中
1024 1
(1)求二项式系数的和; (2)各项系数的和;
n 2 2
n 2 (C C C C )
0 n 1 n 2 n n n n
n 1
n 1 n
C
n n
倒序相加法
例3 设(1-2x)5= a0＋ a1x + a2x2 + a3x3+ a4x4+ a5x5. 求： （1） a1+a2+a3+ a4 + a5的值；
(2)增减性与最大值： 从第一项起至中间项，二项式系数逐渐增 大，随后又逐渐减小. n k 1 k 1 k Cn Cn k n k 1 k k 1 所以Cn 相对于Cn 的增减情况由 决定. k n k 1 n 1 由 ＞1 k ＜ k 2 n 1 可知，当 k ＜ 时二项式系数逐渐增大， 2 由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且 中间项的取值最大.
(2)增减性与最大值： 从第一项起至中间项，二项式系数逐渐增 大，随后又逐渐减小. 因此，当n为偶数时，中间一项的二项式系数
n 1 2 n
C
n 2 n
取得最大值；当n为奇数时，中间两项的二项式 系数 C 、C
1 n
n 1 2 n
相等且同时取得最大值
(3)各二项式系数的和
C C C C C 2
将图象分成对称的两部分.
代数意义：C 几何意义：
m n
C
nm n
四、例题选讲：
例1 证明：在(a＋b)n展开式中,奇数项的二项 式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
C C C C C 2
0 n 1 n 2 n r n n n
n
C C C C 2
0 n 2 n r n n n
n
C , C , C , , C
0 1 2 n n n
n n
f(r) 20 14
当n= 6时, f ( r ) C 其图象是7个孤立点
定义域 r {0， ，n } 1，
r 6
令 : f (r ) C
r n
6
O3Leabharlann 6函数思想n r直线 r 作为对称轴 2
数学结论
(1)对称性： 与首末两端“等距离”的 两个二项式系数相 m nm 等.
二项式系数的性质
Cn Cn
(2)增减性与最大值： 从第一项起至中间项，二项式系数逐渐增 大，随后又逐渐减小. n! n k 1 n! k Cn k ! (n k )! k (k 1)! ( n k 1)! n k 1 k 1 Cn k
1.3.2 二 项 式 定 理
温故知新
1、二项式定理： n 0 n 1 n 1 r n r r n n (a b) C n a C n a b C n a b C n b 2、通项公式： (展开式的第r +1项)
Tr 1 C a
r n
n r
b
r
( r 0,1, 2, n)