第二章 矩阵及其运算习题课

存在不全为零的 x1 , x2 ,, xm , 使得 x11 x2 2 xm m 0;
齐次线 性方程组 Ax 0有非零 解 , 其中A (1 , 2 ,, m ); R( A) m 向量组中向量个数
A : 1 , 2 ,, m线性无关 （2） 向量组 若x11 x2 2 xm m 0，
1 2 1 例6：求矩阵A= 3 4 5 的伴随矩阵A*和逆矩阵A1 . 2 0 1
2 1 例7：设A 0 0
例8：P73,14. 例9：P73,12.
0 1 0 0 , 求A1. 0 1 4 0 1 2 0 0
0 1 0 1 1 例10：已知A= 1 1 1 , B 2 0 , 且AX B X , 求矩阵X . 1 0 1 5 3

E
A1

初等列变换
E A 1
求矩阵的秩的基本方法
（１）计算矩阵的各阶子式，从阶数最高的子式 开始，找到不等于零的子式中阶数最大的一个子式， 则这个子式的阶数就是矩阵的秩． （２）用初等变换．
第一种方法当矩阵的行数与列数较高时，计算量 很大，第二种方法则较为简单实用．
三、关于秩的基本性质
定理3.1 线性方程组有解的充分必要条件是： r (A b) = r (A)，且当r (A b) = n时有唯一解； 当r (A b) < n时有无穷多解。 定理3.2 齐次线性方程组有非零解
r
(A) < n.
推论：当m < n时，齐次线性方程组有非零解。
定理
A : 1 , 2 ,, m线性相关 （1）向量组
其中k1,k2 ,,kt是任意常数 .
0 0 , . 1 x1 b11 xr 1 b1 ,n r xn 分别代入 x b x b r 1 r 1 r ,n r xn r
基础 解系 ,如果 (1)1 ,2 ,,t是Ax 0的一组线性无关 的解 ; (2) Ax 0的任一解都可由 1 ,2 ,,t线性表出 .
如果1 , 2 ,, t 为齐次线性方程组 Ax 0 的一组基础解系 , 那么, Ax 0 的通解可表示为 x k11 k22 ktt
10.若Ann Bnn O ,则R(A) R(B) n;
11.一个矩阵和满秩矩阵相乘，原来矩阵的秩 不改变。
第三章 线性方程组
解线性方程组的步骤是：
用初等行变换化方程组的增广矩阵为阶梯形矩阵， 根据dr+1不等于零或等于零判断原方程组是否有解， 如果dr+1≠0，则有 r (A) = r，而 r (A b) = r+1， 即 r (A) ≠r (A b)，此时(3.1)无解； 如果dr+1=0，则有r (A) = r (A b) = r，此时(3.1) 有解。 当r = n时，有唯一解；当r < n时，有无穷多个解。 然后，回代求出解。
4.R( AT ) R( A)
5.若 A ~ B, 则 R A R B .
6.若P、Q可逆，则R（PAQ） R（A）
7. max{R( A), R( B)} R( A, B) R( A) R( B);
8.R( A B) R( A) R( B);
9.R(AmnBnl ) min{R(A), R(B)};
A A A



, A



A .
可逆阵、转置矩阵、伴随矩阵：
1.A
1
1 * A A
AA* A E A* A
( A B ) 1 A1 B 1 ( A) 1
1
2.( A B)T AT BT ( A)T AT ( AB) B A
T T A11 A11 A1r As 1 T 4 设 A , 则 A . As1 A AT AT sr sr 1r
分块对角矩阵
A1 A A2 , As
从而求得原方程组的 n r 个解：
b12 b r2 2 0 , 1 0 b1 ,n r b r ,n r 0 . 0 1
1.由于 A 中非零子式的阶数不会 超过R( A) ，因此， 若矩阵A中有某个s阶子式不为零，则 s R（A）；
若A中所有t阶子式全为 0，则R（A） t
2.若A为m n矩阵，则 0 R（A） min{ m，n};
3.若A为n n矩阵，则 R(A) n A 0 A可逆 A满秩 A非奇异
x1 b11 , 依次得 x b r r1
b11 b r1 1 1 , 0 0
b1 ,n r b12 , , . b b r ,n r r2
x1 b11 , x r br 1
b12 b1 ,n r , . , b b r2 r ,n r
从而求得原方程组的 n r 个解：
a 21 线性相关的充分必要条件是： a n1 a 22 a 2n 0. a n 2 a nn
齐次线性方程组解的结构
Ax 0 A (aij ) m n
x1 x2 x x n
1．如果v1, v2是Ax = 0的两个解，则v1 + v2也是它的解。 2．如果v是Ax = 0的解，则cv也是它的解(c为常数) 3．如果v1, v2, …, vs都是Ax = 0的解，则其线性组合 c1v1 + c2v2 + … + csvs 也是它的解，其中c1, c2, …, cs都是任意常数。
xr 1 1 xr 2 0 , x 0 n
现对 xr 1 , , xn 取下列 n r 组数：
0 1 , 0
依次得
（2） m 个 n 维向量组成的向量组， 当维数 n 小 于向量个数m时一定线性相关. (3) 设向量组A : 1 , 2 , , m线性无关,而 向量组B : 1 , , m , b 线性相关, 则向量 b 必能 由向量组A线性表示, 且表示式是唯一的 .
(4)设n 个n 维 j (a1 j , a2 j ,, anj )( j 1,2,, n) 则向量组 1 , 2 , , n a11 a12 a1n
T T T
1

A1
( AB) B 1 A1 ( A1 ) 1 A
( AT )T A
3.( AT )1 ( A1 )T
分块矩阵之间的运算 (1) 加法 同型矩阵, 采用相同的分块法 (2) 数乘 数k乘矩阵A, 需k乘A的每个子块 (3) 乘法 A的列的划分与B的行的划分相一致
矩阵是线性代数中非常重要的理论之一， 它贯穿了线性代数内容的始终。其主要内 容包括：
概念：矩阵,转置矩阵,零矩阵,同型矩阵等 运算 线性运算：矩阵的加法,数与矩阵的乘法 矩阵相乘,方阵的k次幂 对角矩阵,数量矩阵,单位矩阵 特殊方阵 三角矩阵,上三角矩阵,下三角矩阵 方阵 对称矩阵,反对称矩阵 矩阵 矩阵的行列式,方阵乘积的行列式,(非)奇异矩阵,逆矩阵,伴随矩阵 分块矩阵：分块对角矩阵,简单分块矩阵的求逆 矩阵的秩：矩阵的k阶子式,满秩矩阵 初等矩阵：E (i, j ), E (i(k )), E (ij (k )) 矩阵的初等变换： 矩阵的标准形 利用初等变换求取逆矩阵,矩阵的秩
习题
例1：若n阶矩阵A的行列式为 A 2, 求 3 A , A , A1 ， 4 A 3 A* .
1
例2：设A为n阶可逆矩阵，求 A

*
1
.
1 0 0 例 3： .设A 0 1 0 , 求A4 , Ak , A1. 0 0 2
例4：P73,8(3). 例5：P73,13(3).
1
2
3
4
5
矩阵的乘法：
1.当前面的矩阵的列数与后面矩阵的行数相同时才可以相乘；
2.矩阵的乘法不满足交换律，即AB BA;
3.矩阵的乘法不满足消去律,即当AB=AC时,不一定有B=C 当AB=0时,不一定有A=0或B=0
注：当A为方阵且可逆时,若AB=AC,AB=0,则有B=C,B=0
4.设A为n阶方阵,当 A 0时, , 为整数时，有
如果A 为n阶可逆矩阵，则 F I n
定理 方阵A可逆的充分必要条件是存在有限 个 P1 , P2 ,, Pl , 使A P1 P2 Pl . 初等方阵
求方阵A 的逆矩阵的方法
1. 2. 构造B, 使 AB=E
1 A A, A
1
3.
A
A E
E
初等行变换
必有x1 x2 xm 0; 齐次线性方程组 Ax 0只 有 零 解 , 其 中A (1 , 2 ,, m );
R() 若 向量组 A： 1 , 2 ,, m 线性相关, 则
向量组 B : 1 ,, m , m 1 也线性相关.
如果 v1, v2, …, vs 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解向量组的一个极大无关组，则称 v1, v2, …, vs是方程组的一个基础解系。
如果齐次线性方程组Ax = 0的系数矩阵A的秩数 r(A) = r < n，则方程组的基础解系存在，且每 个基础解系中，恰含有n – r 个解。