变量之间的关系知识讲解

变量之间的关系
【学习目标】
1．知道现实生活中存在变量和常量，变量在变化的过程中有其固有的范围（即变量的取值范围）；
2．感受生活中存在的变量之间的依赖关系.
3．能读懂以不同方式呈现的变量之间的关系.
4. 能用适当的方式表示实际情境中变量之间的关系，并进行简单的预测.
【要点梳理】
要点一、变量、常量的概念
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值始终不变的量叫做常量. 要点诠释：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，60s t =，速度60千米/时是常量，时间t 和里程s 为变量. t 是自变量，s 是因变量.
要点二、用表格表示变量间关系
借助表格，我们可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况.
要点诠释：表格可以清楚地列出一些自变量和因变量的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等.
要点三、用关系式表示变量间关系
关系式是我们表示变量之间关系的另一种方法.利用关系式（如3y x =），我们可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值.
要点诠释：关系式能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的变量之间都能列出关系式.
要点四、用图象表示变量间关系
图象是我们表示变量之间关系的又一种方法，它的特点是非常直观.用图象表达两个变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示因变量.
要点诠释：图象法可以直观形象地反映变量的变化趋势，而且对于一些无法用关系式表达的变量，图象可以充当重要角色.
【典型例题】
类型一、常量、自变量与因变量
1、对于圆的周长公式C=2πR，下列说法正确的是（ ）
A ．π、R 是变量，2是常量
B ．R 是变量，π是常量
C ．C 是变量，π、R 是常量
D ．C 、R 是变量，2、π是常量
【思路点拨】常量就是在变化过程中不变的量，变量是指在变化过程中随时可以发生变化的量．
【答案】D ；
【解析】
解：C 、R 是变量，2、π是常量．
【总结升华】本题主要考查了常量，变量的定义，是需要识记的内容．
举一反三：
【变式】从空中落下一个物体，它降落的速度随时间的变化而变化，即落地前速度随时间的增大而逐渐增大，这个问题中自变量是（）
A．物体 B．速度 C．时间 D．空气
【答案】C.
类型二、用表格表示变量间关系
2、已知某易拉罐厂设计一种易拉罐，在设计过程中发现符合要求的易拉罐的底面半径与铝用量有如下关系：
底面半径x（cm） 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0
用铝量y（cm3） 6.9 6.0 5.6 5.5 5.7 6.0 6.5
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）当易拉罐底面半径为2.4cm时，易拉罐需要的用铝量是多少？
（3）根据表格中的数据，你认为易拉罐的底面半径为多少时比较适宜？说说你的理由．（4）粗略说一说易拉罐底面半径对所需铝质量的影响．
【思路点拨】
（1）用铝量是随底面半径的变化而变化的，因而底面半径为自变量，用铝量为因变量；（2）根据表格可以直接得到；
（3）选择用铝量最小的一个即可；
（4）根据表格，说明随底面半径的增大，用铝量的变化即可．
【答案与解析】
解：（1）易拉罐底面半径和用铝量的关系，易拉罐底面半径为自变量，用铝量为因变量.
（2）当底面半径为2.4cm时，易拉罐的用铝量为5.6cm3.
（3）易拉罐底面半径为2.8cm时比较合适，因为此时用铝较少，成本低.
（4）当易拉罐底面半径在1.6～2.8cm变化时，用铝量随半径的增大而减小，当易拉罐底面半径在2.8～4.0cm间变化时，用铝量随半径的增大而增大．
【总结升华】根据表格理解：随底面半径的增大，用铝量的变化情况是关键．
类型三、用关系式表示变量间关系
3、（2015春•淄博校级期中）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点P在BC上运动，点P不与点B，C重合，设PC=x，若用y表示△APB的面积，求y与x 的函数关系式，并求自变量x的取值范围．
【答案与解析】
解：解：∵BC=8，CP=x，
∴PB=8﹣x，
∴S△APB=PB•AC
=×（8﹣x ）×6
=24﹣3x
∵点P 不与点B ，C 重合，
∴自变量的取值范围是：0＜x ＜8．
【总结升华】利用三角形面积公式找到变量之间的关系式，要把握点P 是一动点这个规律，结合图形观察到点P 移动到特殊点，便可求出自变量的取值范围．
举一反三：
【变式】 小明在劳动技术课中要制作一个周长为80cm 的等腰三角形．请你写出底边长
y (cm )与腰长x (cm )的关系式，并求自变量x 的取值范围．
【答案】
解：由题意得，2x y +＝80,
所以802y x =-，
由于三角形两边之和大于第三边，且边长大于0，
所以080202802x y x x x >⎧⎪
=->⎨⎪>-⎩
，解得2040x << 所以802,2040y x x =-<<. 类型四、用图象表示变量间关系
4、星期日晚饭后，小红从家里出去散步，如图所示，描述了她散步过程中离家的距离s （m ）与散步所用的时间t （min ）之间的关系，该图象反映的过程是：小红从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会报后，继续向前走了一段，在邮亭买了一本杂志，然后回家了．依据图象回答下列问题
（1）公共阅报栏离小红家有______米，小红从家走到公共阅报栏用了______分钟；
（2）小红在公共阅报栏看新闻一共用了______分钟；
（3）邮亭离公共阅报栏有______米，小红从公共阅报栏到邮亭用了______分钟；
（4）小红从邮亭走回家用了______分钟，平均速度是______米／分钟．
【答案】（1）300，4；（2）6；（3）200，3；（4）5，100.
【解析】由图象可知，0到4分钟，小红从家走到离家300米的报栏，4到10分钟，在公共
报栏看新闻，10到13分钟从报栏走到200米外的邮亭，13到18分钟，从离家500米的邮亭返回家里.
【总结升华】这个图象是由几条线段组成的折线，其中每条线段代表一个阶段的活动.这条
线段左右端点的横坐标的差，对应相应活动所用的时间.
举一反三：
【变式】（2015秋•南京期末）小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家．如图描述了小明在散步过程中离家的距离s（米）与离家后所用时间t（分）之间的函数关系．则下列说法中错误的是（）
A．小明看报用时8分钟
B．小明离家最远的距离为400米
C．小明从家到公共阅报栏步行的速度为50米/分
D．小明从出发到回家共用时16分钟
【答案】A；
【解析】A、小明看报用时8﹣4=4分钟，错误；
B、小明离家最远的距离为400米，正确；
C、小明从家到公共阅报栏步行的速度为50米/分，正确；
D、小明从出发到回家共用时16分钟，正确；
故选A．。