02 利用待定系数法因式分解和分式的拆分等

第2讲利用待定系数法因式分解、分式的拆分等

一、 方法技巧

1. 待定系数法运用于因式分解、分式的拆分等问题中，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了 多项式()()f x g x =的充要条件是：对于一个任意的x=a 值，都有()()f x g x =；或者两个多项 式各关于x 的同类项的系数对应相等．

2. 使用待定系数法解题的一般步骤是：

（1）确定所求问题含待定系数的一般解析式；

（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程（组）；

（3）解方程（组），从而使问题得到解决.

例如：“已知()2252x a x bx c -=-⋅++，求a ，b ，c 的值．”

解答此题，并不困难．只需将右式与左式的多项式中的对应项的系数加以比较后，就可得到a ，b ，c 的值．这里的a ，b ，c 是有待于确定的系数，这种解决问题的方法就是待定系数法．

3. 格式与步骤:

(1)确定所求问题含待定系数的解析式.

上面例题中，解析式就是：()22a x bx c -⋅++

(2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程.

在这一题中，恒等条件是：

210

5a b c -=⎧⎪=⎨⎪=-⎩

(3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决.

∴10

5a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩

二、应用举例

类型一 利用待定系数法解决因式分解问题

【例题1】已知多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除.

（1）求a ，b

（2）分解因式：432237x x ax x b -+++

【答案】（1） 12 6a b =-=和 （2）()()

4322223127 6 2253x x x x x x x x --++=+---

【解析】

试题分析：

（1）由条件可知2

2x x +-是该多项式的一个二次因式，而该多项式次数为4，故可设()()4322223722x x ax x b x x x mx n -+++=+-++，可解出m 、n ，最后代入即可求出a 、b 的值.

（2）由（1）可得结果

试题解析：

解：（1）∵多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除

∴设()()

4322223722x x ax x b x x x mx n -+++=+-++，

整理，得()()()43243223724222m x x ax x b x x m n x n m x n -+++=+++-+--+ ∴234272m m n a n m b n

+=-⎧⎪+-=⎪⎨-=⎪⎪=-⎩ 解得53126

m n a b =-⎧⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=⎩ ∴a 、b 的值分别为126-和.

（2）()()

4322223127 6 2253x x x x x x x x --++=+---

考点：1.待定系数法因式分解 2.整式乘法 3.解方程组.

点评：用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值.

【难度】一般

【例题2】分解因式：22253352x xy y x y +--+- 【答案】22

2533522132x xy y x y x y x y +--+-=-++-（）（）

【解析】

试题分析： 方法一 因为22

25323x xy y x y x y +-=-+（）（），因此,如果多项式能分解成两个关于x 、y 的一次因式的乘积,那么设原式的分解式是23x y m x y n +（-+）（+）,其中m 、n 为待定系数. 然后展

开，利用多项式的恒等，求出m 、n 的值.

试题解析：

解：∵22

25323x xy y x y x y +-=-+（）（），

∴设22

25335223x xy y x y x y m x y n +--+-=-+++（）（）

即 ()()222533522323?x xy y x y x y x y m n x m n y mn +--+-=-++++-+（）（） 对比系数，得：23352m n m n mn +=- -= =- ⎧⎪⎨⎪⎩

①②③

由①、②解得：12

m n =⎧⎨

=-⎩ 代入③式也成立. ∴2

22533522132x xy y x y x y x y +--+-=-++-（）（）

试题分析：

方法二 前面同思路1，因为

()()()()222533522323x xy y x y x y x y m n x m n y mn +--+-=-++++-+是恒等式，

所以对任意,x y 的值，等式都成立，所以给,x y 取特殊值，即可求出,m n 的值.

试题解析： 解：∵22

25323x xy y x y x y +-=-+（）（），

∴设2225335223x xy y x y x y m x y n +--+-=+（－＋）（＋）

即 ()()222533522323?x xy y x y x y x y m n x m n y mn +--+-=-++++-+（）（） ∵该式是恒等式，

∴它对所有使式子有意义的x ，y 都成立，

那么令002x y mn ===-，得： ①

令01330x y m n mn ==-+-=，得：

② 解①、②组成的方程组，得12m n ==-⎧⎨⎩或-3

23m n ==⎧⎪⎨⎪⎩ 把它们分别代入恒等式检验，得12m n ==-⎧⎨

⎩ ∴222533522132x xy y x y x y x y +--+-=-++-（）（）

考点：1.待定系数法分解因式 2.解方程组.

点评：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验.若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式.

【难度】较难