5.3异方差的检验56100
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首先采用OLS法估计模型，以求得随机误差 项的估计量--残差e（i 注意，该估计量是不严格 的），从残差ei出发来找随机误差项方差的代表， 于是有
Var(ui ) E(ui2 ) ei2
ei Yi (Yˆi )OLS
即用ei2来表示随机误差项的方差。
几种异方差的检验方法：
1、图示法
（1）用Y-X的散点图进行判断 看是否存在明显的散点扩大、缩小或复杂型
都进行检验。
3、White检验
基本思想： 先用OLS法估计模型，将估计后的残差平方对常 数项、解释变量、解释变量的平方及其交叉乘积等 构成一个辅助回归，利用辅助回归建立相应的检验 统计量来判断异方差性。
检验特点： 不需要关于异方差的任何先验信息。
检验的基本步骤：
以二元线性回归模型为例，设模型为：
•
2、阅读一切好书如同和过去最杰出的 人谈话 。10:4 4:1210: 44:1210 :4412/ 12/2020 10:44:12 AM
•
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•
4、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的 错儿。 10:44:1 210:44: 1210:4 4Saturday, December 12, 2020
可以证明，在原假设成立的情况下，nR2 2 (5)，
其中自由度5表示辅助回归模型中解释变量的个数。
(4)给定显著性水平，查表得临界值2 (5)，如果
nR2
2
(5)，则拒绝原假设H
，表明随机误差项
0
存在异方差。
4、Glejser检验
检验的基本思想： 由OLS法得到残差，取得绝对值，然后对某个 （或多个）解释变量作回归，根据显著性检验来判断 模型是否存在异方差。 检验的特点： 不仅能对异方差的存在进行判断，而且还能对异 方差随某个解释变量变化的函数形式进行诊断。
~
F(nc 2
k
1, n c 2
k
1)
2
（5）给定显著性水平，确定临界值F(v1,v2)， 若F> F(v1,v2)， 则拒绝同方差性假设，表明存
在异方差，反之，不存在异方差。
G-Q检验的特点：
●要求大样本 ●异方差的表现既可为递增型，也可为递减型 ●检验结果取决于数据删除的个数c的大小，但
c的最优选择不明显。 ●在多个解释变量的情况下，需要对每一个变量
戈里瑟检验的优点是，不仅检验了异方差 性是否存在，同时还给出异方差存在时的具 体形式。但是，由于构造的回归式是探测性 的，如果实验模型选择不好，则可能检验不 出是否存在异方差。
5.斯皮尔曼（Spearman）等级相关系数检验
基本思路：通过检验|et|与|Xtj|之间的等级相关性， 判断|et|与|Xtj|的相关性。其步骤如下：
如果随机误差项是同方差的，则两个子样的 残差平方和应该大致相同；如果二者之间存在显 著差异，则表明是异方差。
G-Q检验的步骤：
（1）将n对样本观察值(Xi,Yi)按观察值Xi的大小 排队（按递增顺序）。
（2）将序列中间的c=n/4个观察值除去，并将剩 下的观察值平均分成两个子样本，每个子样样 本容量均为(n-c)/2。
1 用OLS法估计模型，计算ut估计值et Yt Yˆt
2
取et
绝对值，分别将认为对异方差有关的解释变量X
与
tj
et 按升序(或降序）划分等级，并用自然数表示其等级。
3 按Xtj的等级依次排列。排列时，et 的等级与Xtj等级按原
样本点的对应关系进行排列。
4
计算X
与
tj
et
的等级差dt
, 计算等级相关系数
趋势（即看是否在一个固定的带型域中），如 图5.1所示。
图5.1 异方差的类型
(2)ei2 X的散点图进行判断
看是否形成一斜率为零的直线。
2、戈德菲尔德-夸特(Goldfeld-Quandt)检验
G-Q检验以F检验为基础，适用于样本容量较 大、异方差递增或递减的情况。
G-Q检验的基本思想：
先按某一解释变量对样本排序，再将排序后 的样本一分为二，对两个子样分别作OLS回归， 然后利用两个子样的残差平方和之比构造F统计 量进行异方差检验。
（3）对每个子样分别进行OLS回归，并计算各 自的残差平方和。
分别用ESS1与ESS2表示较小与较大的残差平方和， 这两个残差平方和的自由度均为 n c k 1，
2 其中k为解释变量个数。
（4）构造如下满足F分布的统计量
ESS2 F
ESS1
( n c k 1) 2
( n c k 1)
ESS2 ESS1
Yi = β0 + β1 X1i + β2 X 2i + ui
(1)估计二元线性回归模型，并计算残差ei； (2)做如下辅助回归：
ei2
0
1 X1i
2 X 2i
3
X
2 1i
4
X
2 2i
5 X1i X 2i
i
其中
为随机误差项；
i
(3)计算统计量nR2的值，n为样本容量，R2为辅助 回归模型的可决系数。
检验的步骤
以一元线性回归模型为例。
(1)用OLS法估计模型，求出ei
(2)用
ei
与解释变量X
的不同幂次进行回归模拟
i
ei 0 1X i vi
ei
0
1
X
1 i
2
vi
ei
0
1
X
p i
vi
其中vi是随机误差项，p是确定的常数。
用OLS法估计各回归模型，利用样本可决系数R2、 t统计量对模型进行显著性检验。若存在某一种 函数形式，使得模型通过了检验，则说明原模型 存在异方差。
T
6 dt2
r 1 1 , T3 T
r -1,1
5判断，即对r进行显著性检验。提出原假设H0 : 0,这时，
r
N
0,
T
1 1
,
Z
1
r T 1
N 0,1
给定显著性水平，查正态分布表得临界值Z 2,当Z
Z
2，
源自文库
否定H0，说明r显著不为0，即模型存在异方差；否则，接
受H
，无异方差。
0
•
1、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。20.1 2.1220. 12.12Sa turday, December 12, 2020
第三节 异方差的检验
检验思路：
由于异方差性就是相对于不同的样本点， 也就是相对于不同的解释变量观测值，随机 误差项具有不同的方差。那么：
检验异方差性，也就是检验随机误差项的 方差与解释变量观测值之间的相关性。
各种检验方法都是在这个思路下发展起来的。
问题在于用什么来表示随机误差项的方差
一般的处理方法：
Var(ui ) E(ui2 ) ei2
ei Yi (Yˆi )OLS
即用ei2来表示随机误差项的方差。
几种异方差的检验方法：
1、图示法
（1）用Y-X的散点图进行判断 看是否存在明显的散点扩大、缩小或复杂型
都进行检验。
3、White检验
基本思想： 先用OLS法估计模型，将估计后的残差平方对常 数项、解释变量、解释变量的平方及其交叉乘积等 构成一个辅助回归，利用辅助回归建立相应的检验 统计量来判断异方差性。
检验特点： 不需要关于异方差的任何先验信息。
检验的基本步骤：
以二元线性回归模型为例，设模型为：
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可以证明，在原假设成立的情况下，nR2 2 (5)，
其中自由度5表示辅助回归模型中解释变量的个数。
(4)给定显著性水平，查表得临界值2 (5)，如果
nR2
2
(5)，则拒绝原假设H
，表明随机误差项
0
存在异方差。
4、Glejser检验
检验的基本思想： 由OLS法得到残差，取得绝对值，然后对某个 （或多个）解释变量作回归，根据显著性检验来判断 模型是否存在异方差。 检验的特点： 不仅能对异方差的存在进行判断，而且还能对异 方差随某个解释变量变化的函数形式进行诊断。
~
F(nc 2
k
1, n c 2
k
1)
2
（5）给定显著性水平，确定临界值F(v1,v2)， 若F> F(v1,v2)， 则拒绝同方差性假设，表明存
在异方差，反之，不存在异方差。
G-Q检验的特点：
●要求大样本 ●异方差的表现既可为递增型，也可为递减型 ●检验结果取决于数据删除的个数c的大小，但
c的最优选择不明显。 ●在多个解释变量的情况下，需要对每一个变量
戈里瑟检验的优点是，不仅检验了异方差 性是否存在，同时还给出异方差存在时的具 体形式。但是，由于构造的回归式是探测性 的，如果实验模型选择不好，则可能检验不 出是否存在异方差。
5.斯皮尔曼（Spearman）等级相关系数检验
基本思路：通过检验|et|与|Xtj|之间的等级相关性， 判断|et|与|Xtj|的相关性。其步骤如下：
如果随机误差项是同方差的，则两个子样的 残差平方和应该大致相同；如果二者之间存在显 著差异，则表明是异方差。
G-Q检验的步骤：
（1）将n对样本观察值(Xi,Yi)按观察值Xi的大小 排队（按递增顺序）。
（2）将序列中间的c=n/4个观察值除去，并将剩 下的观察值平均分成两个子样本，每个子样样 本容量均为(n-c)/2。
1 用OLS法估计模型，计算ut估计值et Yt Yˆt
2
取et
绝对值，分别将认为对异方差有关的解释变量X
与
tj
et 按升序(或降序）划分等级，并用自然数表示其等级。
3 按Xtj的等级依次排列。排列时，et 的等级与Xtj等级按原
样本点的对应关系进行排列。
4
计算X
与
tj
et
的等级差dt
, 计算等级相关系数
趋势（即看是否在一个固定的带型域中），如 图5.1所示。
图5.1 异方差的类型
(2)ei2 X的散点图进行判断
看是否形成一斜率为零的直线。
2、戈德菲尔德-夸特(Goldfeld-Quandt)检验
G-Q检验以F检验为基础，适用于样本容量较 大、异方差递增或递减的情况。
G-Q检验的基本思想：
先按某一解释变量对样本排序，再将排序后 的样本一分为二，对两个子样分别作OLS回归， 然后利用两个子样的残差平方和之比构造F统计 量进行异方差检验。
（3）对每个子样分别进行OLS回归，并计算各 自的残差平方和。
分别用ESS1与ESS2表示较小与较大的残差平方和， 这两个残差平方和的自由度均为 n c k 1，
2 其中k为解释变量个数。
（4）构造如下满足F分布的统计量
ESS2 F
ESS1
( n c k 1) 2
( n c k 1)
ESS2 ESS1
Yi = β0 + β1 X1i + β2 X 2i + ui
(1)估计二元线性回归模型，并计算残差ei； (2)做如下辅助回归：
ei2
0
1 X1i
2 X 2i
3
X
2 1i
4
X
2 2i
5 X1i X 2i
i
其中
为随机误差项；
i
(3)计算统计量nR2的值，n为样本容量，R2为辅助 回归模型的可决系数。
检验的步骤
以一元线性回归模型为例。
(1)用OLS法估计模型，求出ei
(2)用
ei
与解释变量X
的不同幂次进行回归模拟
i
ei 0 1X i vi
ei
0
1
X
1 i
2
vi
ei
0
1
X
p i
vi
其中vi是随机误差项，p是确定的常数。
用OLS法估计各回归模型，利用样本可决系数R2、 t统计量对模型进行显著性检验。若存在某一种 函数形式，使得模型通过了检验，则说明原模型 存在异方差。
T
6 dt2
r 1 1 , T3 T
r -1,1
5判断，即对r进行显著性检验。提出原假设H0 : 0,这时，
r
N
0,
T
1 1
,
Z
1
r T 1
N 0,1
给定显著性水平，查正态分布表得临界值Z 2,当Z
Z
2，
源自文库
否定H0，说明r显著不为0，即模型存在异方差；否则，接
受H
，无异方差。
0
•
1、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。20.1 2.1220. 12.12Sa turday, December 12, 2020
第三节 异方差的检验
检验思路：
由于异方差性就是相对于不同的样本点， 也就是相对于不同的解释变量观测值，随机 误差项具有不同的方差。那么：
检验异方差性，也就是检验随机误差项的 方差与解释变量观测值之间的相关性。
各种检验方法都是在这个思路下发展起来的。
问题在于用什么来表示随机误差项的方差
一般的处理方法：