中级微观经济学第三讲复习课程

max
x1 ,x2
u(x1, x2 )
s.t. p1x1 p2x2 m
max
x1 ,x2
u(x1, x2 )
s.t. p1x1 p2x2 m
(x1*, x2* )
在严格凸性偏好条件下，该模型有唯一最优解；
三种解法：
▪ MRS 等于价格比，将其与约束条件联立； ▪ 利用拉格朗日乘数法；
▪ 变换约束条件代入目标函数，转化为无约束优化问题。
对柯布—道格拉斯需求函数的进一步讨论
max
x1 ,x2
u(x1, x2 ) x1c x2d
s.t. p1x1 p2 x2 m
柯布—道格拉斯需求函数
x1
c
c
d
m p1
x2
c
d
d
m p2
p1x1
c
c
d
m
m
p2 x2
c
d
d
m
(1 )m
▪ 具有柯布—道格拉斯偏好的消费者在每种商品上的花 费比例是固定的；
c m 1 200
x1 c d
p1
4
2
25
x2
d cd
m p2
3 200 50 43
13
13
u(x1, x2 ) x14 x24 254 50 4 42
四、边际替代率条件的含义
MRS 公式的推导
方法Ⅰ：利用全微分公式，保持效用不变
将约束条件代入目标函数，得一无约束优化问题
max x1
c ln x1 d ln(m /
p2 x1 p1 /
p2 )
问题的一阶条件 c d p2 ( p1 ) 0
x1
m p1x1 p2
x1
c
c
d
m p1
x2
c
d
d
m p2
柯布—道格拉斯需求函数推导（3）
max
x1 ,x2
v(x1, x2 ) c ln x1 d ln x2
2 200 48 76 0.24 0.76 28.4
1 200 25 150 0.25 0.75 45.1
4 400 100 75 0.25 0.75 28.6
13
u ( x1 ,
x2 )
x14
x
4 2
实际应用
某税收政策使消费者面对价格（2，3），收入为200， 则其面对的消费束（25，50），估计效用是42。
第三讲 消费者的选择与需求
主要内容 第五章：选择
最优选择 消费者需求 若干例子：完全替代商品，完全互补商品，
中性物品和劣等品，离散商品，凹形偏好， 柯布道格拉斯偏好， 估计效用函数
边际替代率条件的含义 税收类型的选择
第六章：需求
正常商品与低档商品 收入提供曲线与恩格尔曲线 几个实例：完全替代，完全互补，柯布道格拉斯偏好，
我们要解决的问题
max
x1 ,x2
v(x1, x2 ) c ln x1 d ln x2
该模型有多种 解法。
s.t. p1x1 p2x2 m
柯布—道格拉斯需求函数推导（1）
max
x1 ,x2
v(x1, x2 ) c ln x1 d ln x2
s.t. p1x1 p2x2 m
使用边际替代率条件
MRS
( x1 ,
x2
)
v v
/ x1 / x2
cx2 dx1
p1 p2
与约束条件联立，可得
cm x1 c d p1
dm x2 c d p2
柯布—道格拉斯需求函数推导（2）
max
x1 ,x2
v(x1, x2 ) c ln x1 d ln x2
s.t. p1x1 p2x2 m
1、完全替代品的消费者选择
x1 介m /于p1m / p1和0之间的任意数量 0
p1 p2 p1 p2 p1 p2
X2
u x1 x2
p1 p2
X1*
X1
2、完全互补品的消费者选择
x1
x2
m p1 p2
X2
X2*
u min( x1, x2 )
X1*
X1
3、中性物品和劣等品的消费者选择
x2
若X1是正常物品，X2是中性物品
x1 m / p1 x2 0
若X1是正常物品，X2是劣等品
x2
x1
x1 m / p1 x2 0
x1
4、凹形偏好的消费者选择
X2
最佳消费束永远
是边界选择
X1*
X1
5、离散商品的消费者选择
商品1是只能以整数单位获得的商品，商品2是支付一切的货币
X2
X2
X2
MRS p1 p2
最优选择
A X2*
B
X1*
X1
折拗的嗜好
X2 X2*
没有切点，最优 消费束对应折点
X1*
X1
边界最优
最优消费束
X2
是边界点
X2
X1*
X1
X1*
X1
非凸形偏好
切点对应最优消费束
X2
是必要条件
X1
消费者选择模型
消费者效用最大化问题是一有约束的优化问题； 偏好满足非饱和性，则起作用约束条件是等式。
s.t. p1x1 p2x2 m
利用拉格朗日乘数法，建立拉格朗日函数
L(x1, x2, ) c ln x1 d ln x2 (m p1x1 p2x2 )
一阶条件
L
x1
c x1
p1
0
L
x2
d x2
p2
0
L
m
p1x1
p2 x2
0
cd
m
x1
c
c
d
m p1
x2
c
d
d
m p2
X
* 1
0
X1
X1
X
* 1
1
X1
X
* 1
1或
0
6、柯布—道格拉斯偏好的消费者选择
柯布—道格拉斯函数形式的效用函数
u(x1, x2 ) x1c x2d
预算约束条件
p1x1 p2 x2 m
对效用函数进行正单调变换
v(x1, x2 ) ln u(x1, x2 ) c ln x1 d ln x2
▪ 份额的大小由函数中的指数来决定。
7、估计效用函数
年份 p1 11 21 32 41 52 61
描述消费者行为的若干数据
p2
m
x1 x2
s1
Leabharlann Baidu
s2 效用
1 100 25 75 0.25 0.75 27.7
2 100 24 38 0.24 0.76 17.5
1 100 13 74 0.26 0.74 27.1
二、消费者的需求束
定义：在一定价格和收入水平下消费者选择的最优 消费束称为消费者的需求束（Demanded Bundles）；
消费者的最优选择因价格或收入水平而变化；
消费者的需求函数：
X2
x1 x1( p1, p2 , m)
x2 x2 ( p1, p2 , m)
X2*
A
X1*
X1
三、消费者的需求的几个例子
相似偏好，拟线性偏好
普通商品与吉芬商品 价格提供曲线与需求曲线 几个例子：完全替代，完全互补 替代与互补
第五章、选择：预算约束下的效用最大化
一、最优选择
消费者从其预算集中选择最偏好的商品束；
对于性状良好的偏好，切点对应的商品束是最优选择；
最优选择得到最优消费束；
在凸形偏好情况下，相切是最优选择的充分条件。 X2