奥数 四边形中的基本图形
小学奥数几何六大模型及例题
例题7 如图1，△ABC中，BD=2DA，CE=2EB，AF=2FC，那么 △ABC的面积是阴影三角形面积的 倍。
例题8 正六边形 分别是正六边形各边的中点，那么图中阴影六边 形的面积是 平方厘米。
一半模型 阴影图形占整个图形面积的一半。 一般在平行四边形中常见一半模型，任取一点与其四个 顶点连线，所构成的三角形占平行四边形面积的一半。当 然在梯形中也常见一半模型。
最下面三个图，边上的点都为中点。
鸟头模型（共角模型） 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做 共角三角形。 共角三角形常见图形，如下图
如上图中有 共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两 夹边的乘积之比。
SADE AD AE SABC AB AC
蝴蝶模型
蝴蝶模型为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径， 通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积与四边形内的三 角形面积之间建立了相关的联系，得到与面积对应的对角线的比例 关系。 任意四边形中的蝴蝶模型： S1 : S2 S4 : S3或者S1 S3 S2 S4
金字塔、沙漏模型 所谓的金字塔、沙漏模型，就是指形状相同，大小不同 的两个三角形，一切对应线段的长度成比例的模型，如图 所示：
勾股定理 我国最早发现在直角三角形中两条直角边的平方和等于 斜边的平方，把这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，外 国称为毕达哥拉斯定理。如右图 在直角三角形 ABC中有c2 a2 b2
Байду номын сангаас
例题1 （2008年第一届“陈省身杯”六年级2试） 如图，BC=45，AC=21，△ABC被分成9个面积相等的小三 角形，那么DI+FK为多少？
例题2 如图1，并排放有三个正方形，其中正方形GBEF的边长为 10厘米，连接GK，交EF于O，连接DE，交BG于Q，连接 DG，求阴影部分的面积。
四年级数学奥数培优练习第11讲：四边形中的基本图形(一)通用版(含答案)
四年级数学奥数培优练习第11讲：四边形中的基本图形〈一〉通用版〈含答案〉x一．夯实基础：1.在平行四边形ABCD 中, E 为BC 上的任意点,且S AED 〈10 ,求平行四边形的面积是多少？2.在平行四边形ABCD 中, E 为BC 上的任意点,且S AEB 〈S CED 〈15 ,求平行四边形的面积是多少？BD C3.在平行四边形中,阴影部分的面积和是12,求平行四边形的面积是多少？1 / 10平方厘米,小正方形的面积为9 平方厘米,求图中一个长方形的面积是多少？4.如图,ABFE 和CDEF 都是长方形,AB 的长是4 厘米,BC 的长是3 厘米．那么图中阴影部分的面积是多少？5.如图,小、中、大三个正方形从左到右依次紧挨着摆放,边长分别是3、7、9。
图中两个阴影平行四边形的面积分别是多少？2 / 106.如图是一块长方形草坪,中间有两条道路,路宽是2 米,求有草部分的面积．二．拓展提高：7.如图,矩形DEFG 的宽DE 〈 4 厘米,长DG 〈 4DE , 则正方形ABCD 的边长是多少厘米?3 / 108.如图是一块正方形草坪,中间有三条道路,路宽是2 米,求有草部分的面积．9.如图,在平行四边形ABCD 中,三角形BCE 的面积是42 平方厘米,BC 的长度为14 厘米,AE 的长度为9 厘米,那么平行四边形ABCD 的面积是多少平方厘米？三角形ECD 的面积又是多少平方厘米？4 / 1010.四年级数学奥数培优练习第11讲：四边形中的基本图形〈一〉通用版〈含答案〉xA BD E C11.如图,正方形被分成9个小长方形,其中5 个小长方形的面积如图所示,求其它4 个小长方形的面积.12.如图,校园中间有个正方形花坛,花坛的四周铺了1 米宽的水泥路。
如果水泥路的总面积是24 平方米,那么花坛的面积是多少平方米？5 / 1013.如图,正方形ABCD 的边长是4 厘米,矩形DEFG 的长DG 〈 5 厘米,求它的宽DE 〈 ?EA DFB G C14.如图, ABCD 是一个长方形, E 点在CD 延长线上．已知AB 〈 5 ,BC 〈12 ,且三角形AFE 的面积等于20,那么三角形CFE 的面积等于多少？EA DB C15.如图,边长为10 的正方形中有一等宽的十字,其面积〈阴影部分〉为36 ,则十字中央的小正方形面积为．6 / 1019.〈迎春杯〉右图中平行四边形的面积是1080m2,则平行四边形的周长为m。
小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理(附答案)
小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理(附答案)在小学奥数的几何部分，蝴蝶定理是一个非常有用的工具，它可以帮助我们解决一些复杂的几何问题。
蝴蝶定理主要描述了在四边形中，当两条对角线互相垂直时，四边形被分成四个小三角形，而这四个小三角形的面积之间存在一定的关系。
蝴蝶定理的内容如下：设四边形ABCD中，AC和BD是互相垂直的对角线，交于点O。
设四个小三角形的面积分别为S1、S2、S3、S4。
那么，蝴蝶定理可以表述为：S1 + S2 = S3 + S4。
这个定理听起来可能有些抽象，但实际上它的应用非常广泛。
我们可以通过蝴蝶定理来解决一些看似复杂的问题。
下面，我将通过一些例子来展示蝴蝶定理的应用。
例1：在四边形ABCD中，AC和BD是互相垂直的对角线，且AC =8cm，BD = 6cm。
如果三角形ABC的面积是24cm²，那么三角形ADC的面积是多少？解答：根据蝴蝶定理，我们有S1 + S2 = S3 + S4。
由于三角形ABC的面积是24cm²，所以S1 = 24cm²。
又因为AC = 8cm，BD = 6cm，我们可以计算出三角形ADC的面积S3 = 1/2 AC BD = 1/2 8cm6cm = 24cm²。
因此，三角形ADC的面积也是24cm²。
例2：在四边形ABCD中，AC和BD是互相垂直的对角线，且AC = 10cm，BD = 5cm。
如果三角形ABC的面积是20cm²，那么三角形ADC的面积是多少？解答：同样地，根据蝴蝶定理，我们有S1 + S2 = S3 + S4。
由于三角形ABC的面积是20cm²，所以S1 = 20cm²。
又因为AC = 10cm，BD = 5cm，我们可以计算出三角形ADC的面积S3 = 1/2 AC BD = 1/2 10cm 5cm = 25cm²。
因此，三角形ADC的面积是25cm²。
小学奥数4-2-1 基本图形的面积计算.专项练习
小学数学平面图形计算公式：1 、正方形：周长＝边长×4；面积=边长×边长2 、正方体：表面积=棱长×棱长×6；体积=棱长×棱长×棱长3 、长方形：周长=(长+宽)×2；面积=长×宽4 、长方体：表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2；体积=长×宽×高 5、 三角形：面积=底×高÷2 6 平行四边形：面积=底×高7梯形：面积=(上底+下底)×高÷2模块一、基本公式的应用【例 1】 如图，两个正方形边长分别是5厘米和4厘米，图中阴影部分为重叠部分。
则两个正方形的空白部分的面积相差多少平方厘米？【巩固】 如图12，边长为4cm 的正方形将边长为3cm 的正方形遮住了一部分，则空白部分的面积的差等于2cm 。
【例 2】 在一个正方形水池的四周，环绕着一条宽2米的路(如图)，这条路的面积是120平方米，那么水池的面积是______ 平方米。
水池例题精讲知识点拨4-2-1.基本图形的面积计算【例 3】 每边长是10厘米的正方形纸片，正中间挖了一个正方形的洞，成为一个宽1厘米的方框。
把五个这样的方框放在桌面上，成为一个这样的图案(如图所示)。
问桌面上被这些方框盖住的部分面积是多少平方厘米?【例 4】 如图4所示，长方形ABCD 的长为25，宽为15。
四对平行线截长方形各边所得的线段的长已在图上标出，且横向的两组平行线都与BC 平行。
求阴影部分的面积。
D【例 5】 如图，长方形被分成面积相等的4部分。
X=（ ）厘米。
x cm2cm16cm【例 6】 如图，长 9厘米，宽8厘米的长方形的中间有一个由两个长方形构成的十字形的阴影．如果阴影部分的面积恰好等于空白部分的面积，那么x= 厘米．【例 7】 如图是一块黑白格子布．白色大正方形的边长是14厘米，白色小正方形的边长是6 厘米．问：这块布中白色的面积占总面积的百分之几？【例 8】 如图，周长为52厘米的“L”形纸片可沿虚线分成两个完全相同的长方形．如果最长的边是16厘米． 那么该“L”形纸片的面积是____平方厘米．1616【例 9】 如图，正方形ABCD 的边长是l2厘米，E 点在CD 上，BO AE 于O ,OB 长9厘米，则AE 长_________厘米。
小学奥数：任意四边形、梯形与相似模型(一).专项练习及答案解析
板块一 任意四边形模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：O DCBA s 4s 3s 2s 1①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．【例 1】 图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？76EDC BA76【考点】任意四边形模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 在ABE V ，CDE V 中有AEB CED ∠=∠，所以ABE V ，CDE V 的面积比为()AE EB ⨯:()CE DE ⨯．同理有ADE V ，BCE V 的面积比为():()AE DE BE EC ⨯⨯．所以有ABE S V ×CDE S V =ADE S V ×BCE S V ，也就是说在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积． 即6ABE S ⨯V =7ADE S ⨯V ，所以有ABE V与ADE V 的面积比为7:6，ABE S V =7392167⨯=+公顷，ADE S V =6391867⨯=+公顷． 显然，最大的三角形的面积为21公顷．【答案】21【例 2】 如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？例题精讲任意四边形、梯形与相似模型OCDBA【考点】任意四边形模型 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】小数报 【解析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米【答案】0.58【例 3】 一个矩形分成4个不同的三角形（如右图），绿色三角形面积占矩形面积的15％，黄色三角形的面积是21平方厘米．问：矩形的面积是多少平方厘米？【考点】任意四边形模型 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】华杯赛，初赛，第7题 【解析】 黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的50％，而绿色三角形面积占矩形面积的15％，所以黄色三角形面积占矩形面积的50％－15％＝35％已知黄色三角形面积是21平方厘米，所以矩形面积等于21÷35％＝60(平方厘米)【答案】60【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？B【考点】任意四边形模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ⨯=⨯V ，那么6BGC S =V ； ⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=．【答案】1:3【例 4】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)．如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．OADC BGH BCDA O【考点】任意四边形模型 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =V V ，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题． 解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ∆∆==，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==． 解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ．∵13ABD BCD S S ∆∆=，∴13AH CG =，∴13AOD DOC S S ∆∆=，∴13AO CO =，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==．【答案】2倍【例 5】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE△的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积．OGF EDC BA【考点】任意四边形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 ⑴根据题意可知，BCD △的面积为244616+++=，那么BCO △和CDO ∆的面积都是1628÷=，所以OCF △的面积为844-=；⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为862-=， 根据蝴蝶定理，::2:41:2COE COF EG FG S S ∆∆===，所以::1:2GCE GCF S S EG FG ∆∆==，那么11221233GCE CEF S S ∆∆==⨯=+． 【答案】23【例 6】 如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积为 ．【考点】任意四边形模型 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】清华附中，入学测试题 【解析】 连接AD 、CD 、BC ．则可根据格点面积公式，可以得到ABC ∆的面积为：41122+-=，ACD ∆的面积为：331 3.52+-=，ABD ∆的面积为：42132+-=．所以::2:3.54:7ABC ACD BO OD S S ∆∆===，所以44123471111ABO ABD S S ∆∆=⨯=⨯=+．【答案】1211【巩固】如图，每个小方格的边长都是1，求三角形ABC 的面积．【考点】任意四边形模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 因为:2:5BD CE =，且BD ∥CE ，所以:2:5DA AC =，525ABC S ∆=+510277DBC S ∆=⨯=．【答案】107【例 7】 如图，边长为1的正方形ABCD 中，2BE EC =，CF FD =，求三角形AEG 的面积．ABC DEF GABCDEF G【考点】任意四边形模型 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】人大附中考题 【解析】 连接EF ．因为2BE EC =，CF FD =，所以1111()23212DEF ABCD ABCD S S S ∆=⨯⨯=W W ．因为12AED ABCD S S ∆=W ，根据蝴蝶定理，11::6:1212AG GF ==，所以6613677414AGD GDF ADF ABCD ABCD S S S S S ∆∆∆===⨯=W W ．所以132221477AGE AED AGD ABCD ABCD ABCD S S S S S S ∆∆∆=-=-==W W W ，即三角形AEG 的面积是27．【答案】27【例 8】 如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．ABCD EF GABCD EF G【考点】任意四边形模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接AE ，FE ．因为:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，所以3111()53210DEF ABCD ABCD S S S =⨯⨯=V 长方形长方形． 因为12AED ABCD S S =V 长方形，11::5:1210AG GF ==，所以510AGD GDF S S ==V V 平方厘米，所以12AFD S =V 平方厘米．因为16AFD ABCD S S =V 长方形，所以长方形ABCD 的面积是72平方厘米．【答案】72【例 9】 如图，已知正方形ABCD 的边长为10厘米，E 为AD 中点，F 为CE 中点，G 为BF 中点，求三角形BDG 的面积．【考点】任意四边形模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 设BD 与CE 的交点为O ，连接BE 、DF ．由蝴蝶定理可知::BED BCD EO OC S S =V V ，而14BED ABCD S S =V W ，12BCD ABCD S S =V W ，所以::1:2BED BCD EO OC S S ==V V ，故13EO EC =．由于F 为CE 中点，所以12EF EC =，故:2:3EO EF =，:1:2FO EO =．由蝴蝶定理可知::1:2BFD BED S S FO EO ==V V ，所以1128BFD BED ABCD S S S ==V V W ，那么1111010 6.2521616BGD BFD ABCD S S S ===⨯⨯=V V W （平方厘米）．【答案】6.25【例 10】 如图，在ABC ∆中，已知M 、N 分别在边AC 、BC 上，BM 与AN 相交于O ,若AOM ∆、ABO ∆和BON ∆的面积分别是3、2、1，则MNC ∆的面积是 ．OM NCBA【考点】任意四边形模型 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 这道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解．根据蝴蝶定理得 31322AOM BON MON AOB S S S S ∆∆∆∆⨯⨯===设MON S x ∆=，根据共边定理我们可以得ANM ABM MNC MBC S S S S ∆∆∆∆=，33322312x x ++=++，解得22.5x =． 【答案】22.5【例 11】 正六边形123456A A A A A A 的面积是2009平方厘米，123456B B B B B B 分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米．4B A 6543A A4B A 543A A【考点】任意四边形模型 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，6年级。
完整版)五年级奥数平面图形面积计算
完整版)五年级奥数平面图形面积计算五年级奥数第六讲——平面图形面积的计算一、知识要点1.基本平面图形特征及面积公式正方形：特征：四条边相等，四个角都是直角，有四条对称轴。
面积公式：S=边长的平方长方形：特征：对边相等，四个角都是直角，有二条对称轴。
面积公式：S=长×宽平行四边形：特征：两组对边平行且相等，对角相等，相邻的两个角之和为180°，容易变形。
面积公式：S=底边×高三角形：特征：两边之和大于第三条边，两边之差小于第三条边，三个角的内角和是180°，具有稳定性。
面积公式：S=底边×XXX÷2梯形：特征：只有一组对边平行，中位线等于上下底和的一半。
面积公式：S=(上底+下底)×高÷22.基本解题方法：由两个或多个简单的基本几何图形组合成的组合图形，要计算这样的组合图形面积，先根据图形的基本关系，再运用分解、组合、平移、割补、添辅助线等几种方法将图形变成基本图形分别计算。
典型例题】例1】已知平行四边形的面积是28平方厘米，求阴影部分的面积。
例2】求图中阴影部分的面积。
例3】如图所示，甲三角形的面积比乙三角形的面积大6平方厘米，求CE的长度。
例4】两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。
已知两个三角形的面积（如图所示），求另两个三角形的面积各是多少？练与拓展】1.计算下面图形的面积。
2.下面的梯形中，阴影部分面积是150平方厘米，求梯形的面积。
3.正方形ABCD的边长是12厘米，已知DE是EC长度的2倍，求三角形DEF的面积和CF的长。
4.平行四边形ABCD的边长BC=10厘米，直角三角形BCE的直角边EC长8厘米，已知阴影部分的面积比三角形EFG的面积大10平方厘米，求CF的长。
5.正方形ABCD的面积是100平方厘米，AE=8厘米，请计算以下图形的面积。
1.在一块长80米、宽30米的长方形地上，修了宽为2米和3米的两条小路，求草地的面积。
小学奥数之几何五大模型
一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等； 其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； 二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) ①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2a b +。
四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型 沙漏模型①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
小学奥数几何六大模型及例题
可以简记为 左边：右边=左和：右和
梯形中蝴蝶模型 梯形 的对应份数为 可以简记为： 上下平方，左右相乘。
燕尾模型 从三角形一个顶点向对边上任意一点的画线段，在线段 上任取一点组成的图形面积也会有如下关系：
Hale Waihona Puke 例题1 （2008年第一届“陈省身杯”六年级2试） 如图，BC=45，AC=21，△ABC被分成9个面积相等的小三 角形，那么DI+FK为多少？
例题2 如图1，并排放有三个正方形，其中正方形GBEF的边长为 10厘米，连接GK，交EF于O，连接DE，交BG于Q，连接 DG，求阴影部分的面积。
例题3 如图1，梯形ABCD，下底BC上有一点E，梯形空白处的面 积比阴影△ADE得到面积多200平方厘米，又知梯形下底 BC比上底AD长20厘米。求这个梯形的高是多少？
等积变形
等积变形这里的积指的是面积，因为任何直线型图形都可分解成 若干个三角形，所以三角形是最基本图形，等积变形里主要研究的 是三角形面积变换。 三角形面积=底×高÷2 决定三角形面积的大小，取决于底和高这两个量。 等底等高：如果两个三角形等底等高，则这两个三角形面积相同 （如图1）；（典型的夹在一组平行线间的，两个三角形若同底，则 面积相同） 同底看高：如果两个三角形等底，但高不等，则面积比等于高的 比（如图2）； 同高看底：如果两个三角形等高，但底不等，则面积比等于底的 比（如图3）。
例题7 如图1，△ABC中，BD=2DA，CE=2EB，AF=2FC，那么 △ABC的面积是阴影三角形面积的 倍。
例题8 正六边形 分别是正六边形各边的中点，那么图中阴影六边 形的面积是 平方厘米。
数学竞赛：奥数知识点总结
数学竞赛：奥数知识点总结1. 引言在数学竞赛中，奥数（奥林匹克数学）是一项重要的领域。
奥数不仅要求解决复杂的问题，还要培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
本文将总结一些常见的奥数知识点。
2. 数论2.1 质数与素数•质数是指只有1和自身两个因数的整数，例如2、3、5等。
•素数是指大于1且只有1和自身两个因数的整数，例如2、3、5等。
2.2 最大公约数与最小公倍数•最大公约数（GCD）是指同时能够整除两个或多个整数的最大正整数。
•最小公倍数（LCM）是指能被两个或多个整数整除且能被它们共有的所有质因子整除的最小正整数。
3. 代数3.1 四则运算与算术级别•四则运算包括加法、减法、乘法和除法。
•算术级别是指计算过程中按照一定顺序进行运算，如先乘除后加减。
3.2 代数式与方程•代数式是由数或字母和运算符号组成的式子，可以包含变量。
•方程是等于号连接的两个代数式，求解方程即找到使等式成立的变量值。
4. 几何4.1 基本几何概念•点：空间中没有大小和形状的基本元素。
•直线：由无穷多个点组成且不弯曲或折线的路径。
•长度、面积和体积：用于测量物体的尺寸和容积。
4.2 图形的性质和关系•正方形：四边长度相等且四个角都为直角的四边形。
•相似图形：具有相同形状但大小不同的图形。
•平行线：在同一个平面上永远不会相交的直线。
5. 概率与统计5.1 概率概念•概率是指根据某种规律性，对随机事件发生可能性进行度量的一种方法。
5.2 统计学概念•统计学是一门研究数据收集、分析、解释和展示的学科。
它包括描述统计和推断统计两个方面。
6. 解决奥数问题的方法6.1 列方程法•列方程法是通过将问题用代数式或等式表达，然后解决方程来解决问题的方法。
6.2 反证法•反证法是假设所需证明的命题为假，然后推导出与已知矛盾的结论，从而推断所需证明的命题为真。
结论本文概述了数学竞赛中常见的奥数知识点，包括数论、代数、几何、概率统计以及解决奥数问题的方法。
奥数-平行四边形-lec7一
第七讲四边形（一）一、平行四边形。
1.平行四边形的定义有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形用“”表示，例如：平行四边形ABCD 记作“ABCD”。
2.平行四边形的性质①平行四边形对边相等②平行四边形对角相等③平行四边形对角线互相平分3.平行四边形的判定①两组对边分别相等的四边形是平行四边形②对角线互相平分的四边形是平行四边形③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形如何判定一个四边形，有3个判定定理和一个定义，共有四种基本方法。
4.三角形的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线平行于三角形的第三条边，且等于第三条边的一半。
【例1】ABCD的周长等于28cm，两邻边之比是3：4（AB＜BC），求它各边之长。
思路与技巧根据平行四边形的对边相等，可知平行四边形的邻边之和等于周长的一半，即14cm，根据两邻边之比是3：4，可以设两邻边的长度分别是3x,4x,因而有3x+4x=14，求出x的值，进而求出该平行四边形的四边长。
解答∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD，BC=AD又∵AB+BD+CD+AD=28cm2(AB+BC)=28cm∴AB+BC=14cm依题意设AB、BC的长度分别是3xcm和4xcm，则3x+4x=14，解得x=2，∴3x=6，4x=8得AB=6cm ,BC=8cm从而CD=6cm ,AD=8cm∴ABCD的边长为AD=BC=8cm,AB=CD=6cm【例2】如图19-3所示，在ABCD中，对角线AC、BD交于O，周长为80cm,△AOB的周长比△BOC 的周长大12cm，求这个平行四边形的各边周长。
思路与技巧△AOB与△BOC有一个公共边BO，根据平行四边形对角线互相平分，可知AO=CO，因此这两个三角形的周长之差就是AB-BC=12cm，根据平行四边形的周长是80cm，则邻边之和AB+BC=40，进而求出AB和BC的长度之和。
解答∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD，AD=BC∵ABCD的周长等于80cm，即AB+BC+CD+DA=80cm2(AB+BC)=80cm,AB+BC=40cm○1∵AC，BC交于O∴AO=CO∵△AOB的周长比△BOC的周长大12cm∴（AB+AO+BO）-（BC+CO+BO）=12cm即AB-BC=12cm ○2○1○2联立解得AB=26cm,BC=14cm因此，ABCD的四条边的长度分别是AB=CD=26cm，BC=AD=14cm【例3】求证：两组对角相等的四边形是平行四边形。
奥数4、5、6年级学习计划
四年级奥数知识点暑、秋学习全规划一、四年级奥数知识点学习全规划： 1、更多难度挑战：四年级开始，对于奥数中的一些难度比较大的知识点：抽屉原理、排列组合等都会接触，而这些知识点是每年各类杯赛中的必考点。
所以在暑期和秋季打好基础，会取得事半功倍的效果。
2、更高强度挑战：众多小升初案例告诉我们：在五年级的时候需要将小学全部内容学习完，因此，从四年级开始，系统的进行知识点的学习和巩固是非常有必要的。
学习规划四年级暑期 （七级上）相遇与追及染色覆盖 四边形中的基本图形逻辑推理第一阶段●两个人的行程问题，是所有行程问题的必备的基础知识 ●小学竞赛数学中常见的结合奇偶分析和整体分析的构造方法第二阶段●平面几何初步。
涉及平行四边形、长方形、正方形、梯形以及一般四边形中图形面积的重要性质 四年级秋季 （七级下）环形跑道、流水行船 构造与论证之奇偶分析 图形剪拼与操作体育比赛中的数学问题第一阶段●相遇和追及的延续，属于行程板块的专题内容，掌握在近年杯赛中常与多人相遇追及相结合行程难度较高的问题●奇偶分析是构造与论证中最重要、最常用的分析方法。
暑期在染色覆盖中对奇偶分析有一个初步的了解之后，秋季对此进行全面的展开第二阶段●掌握近年常见的新型考题，利用四边形中的基本图形和基本性质，化静为动，并与动手操作结合起来二、四年级杯赛规划：三、2010-2011小学英语证书考取规划：四年级秋期（七级下）学习内容：五年级奥数知识点暑、秋学习全规划一、五年级奥数知识点学习全规划：1、杯赛挑战：五年级秋季学习的九级（下）和暑期学习的九级（上）相比，在秋季要学习的新知识会进一步增加。
而且五年级会有大量的杯赛等着我们的学员参加，例如：迎春杯，学而思杯，走美杯，希望杯，而备战杯赛的最佳时间是暑期和秋季！从杯赛考点来讲：五年级专题知识占据着重点中学小升初测试及各大杯赛考试50%以上的分值；2、五年级统测：小升初重要成绩考量每年小升初前，都回在五年级进行一次全市统测，考察数学、语文、英语三门成绩。
几何模型（小学奥数必会6大模型）
模型一：等高模型定义：三角形面积的大小，三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。
取决于三角形底和高的乘积。
取决于三角形底和高的乘积。
如果固定三角形的如果固定三角形的底（或高）不变，另一者变大（小）n 倍，三角形的面积也就变大（小）n 倍。
六种基本类型：两个三角形高相等，两个三角形高相等，面积比等于底之比；面积比等于底之比；面积比等于底之比；两个三角形底相等，两个三角形底相等，两个三角形底相等，面积比等于高之比面积比等于高之比公式：DC BD S S ADC ABD ；FCED S S ABC ABD 其中，BC=EF 且两三角形的高相等公式：1 DEFABC S S 夹在一组平行线之间的等积变形公式：1 ABD ABC BCD ACDS S S S等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可看作特殊的平行四边形）公式：1 CDEFABCD S S三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半公式：ABCDEDC S S 21两个平行四边形高相等，面积比等于他们底的比公式：EFAB S S DEFG ABCD 例题：长方形ABCD 的面积为36cm 2，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？5.135.41818543681211836212136212121 BEF BEF BEF DGH BFH BEH CDH BCH ABH DGH BFH BEH CDH BCH ABH ABCD CDH DGH BCH BFH ABH BEH CGHDGH CFH BFH BEHAEH S S BF BE S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S EBAE HCBH 阴影阴影，，，，同理，、如图，连接模型二：相似模型定义：形状相同，大小不相同的两个三角形，一切对应线段的长度成比例的模型。
六年级下册小学奥数几何模块一半模型全国通用
例题讲解
例3：如图，长方形被分割成若干小块，其中三小块的面积分别是10、20、30，求图中阴影部分的 面积.
例题讲解
练一练3：如图，长方形被分割成若干小块，其中三小块的面积分别是30、40、50，求图中阴影部 分的面积.
例题讲解
例4：如图，梯形ABCD中，E、F为AB、CD的中点，G为EF上一点，若三角形AEG的面积是12， 三角形CFG的面积是10，求图中阴影部分的面积.
基本形式
证 明 ： 连 接EI、BD、FG；
EI // BD // FG，EIJ 与GFJ相 似 ；
EI 1 BD，FG 2 BD，EI 1 FG；
3
3
2
则EJ 1 GJ，IJ 1 FJ， 则J是EG、FI的 三 等 分 点 ；
2
2
同 理 ， 可 证K、L、M为 各 边 的 三 等 分 点 ；
巩固提升
作业3：如图，E、F为长方形ABCD内两点，已知三角形AEH、三角形BEG、三角形CFG的面积分 别是2、5、3，求三角形DFH的面积.
巩固提升
作业4：如图，E、F为梯形ABCD腰上两点，且满足AE=BF，连接DECF，已知梯形面积是2020， 图中阴影部分的面积是455，求三角形CDG的面积.
例题讲解
例6：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H为各边三等分点，已知四边形ABCD的面积是30平方厘 米，求图中阴影部分的面积.
例题讲解
练一练6：如图，四边形ABCD中，边上各点为所在边的五等分点，已知其中两块的面积是1.8和2.6， 求四边形ABCD的面积.
例题讲解
例7：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H、I、J、K、L为各边三等分点，已知四边形ABCD的 面积是2025平方厘米，求图中阴影部分的面积.
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四边形中的基本图形
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形，多边形有几条边就叫几边形。
其中每条线段叫多边形的“边”，每两条线段的交点叫多边形的“顶点”，每两条线段相交的角叫多边形的“内角”；我们学的都是凸多边形。
由四条线段围成的平面图形叫四边形，其中每条线段叫四边形的“边”，每两条线段的交点叫四边形的“顶点”，每两条线段相交的角叫四边形的“内角”；四边形的角的一边与另一边的延长线所组成的角叫四边形的“外角”。
四边形的表示法:
四边形用表示它的各个顶点的字母表示，书写时应按顶点顺序书写。
如图所示，可以记作：四边形ABCD，或四边形BCDA等，习惯上按逆时针方向记作：四边形ABCD
四边形的对角线:是指连结不相邻两个顶
点的线段，从四边形的一个顶点出发可引1条
对角线，它共有两条对角线。
如图所示，线段
AC，BD即是四边形脚的两条对角线。
四边形的性质：
①具有不稳定性: 当一个四边形的四边长度一定时，这个四边形的形状可随意改变。
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②组成四边形四个内角的大小关系:四边形的四个内角和是
360o。
③多边形的外角与它有公共顶点的内角的和等于1800，多边形的外角和等于360o。
注: n边形的内角和的推导:
如图所示，在n边形内任取一点0，连结
0与各个顶点的线段，把n边形分成n个三角
形．因为这n个三角形的内角的和等于n·1800，以D为公共顶点的n个角的和是2×1800，所以n边形的内角和是（n－2）·1800。
几种常见的特殊的四边形
四边形与常见的特殊的四边形的关系:
1、平行四边形
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两组对边分别平行的四边形叫平行四边
形，平行四边形是一种特殊的四边形。
一个平行四边形从一条边上的点到对边
引垂线，这点到垂足之间的线段叫平行四边形的“高”，这条对边叫“底”；其中特殊的平行四边形是长方
形和菱形。
平行四边形用符号表示，平行四
边形ABCD记作ABCD，读作“平行四
边形ABCD，如图所示。
（1）平行四边形的性质: 它除具有四边形的性质外，还有一些特殊的性质。
①平行四边形的两组对边分别平行且相等。
②平行四边形的两个对角相等，相邻的两个内角和是180 o。
③“高”有两条，对应的底也有两条。
④一个平行四边形的两条对角线互相平分，每条对角线平分这个平行四边形。
（2）平行四边形的计算: 如图所示。
①平行四边形的周长：
平行四边形四边长度的和，即
C＝AB＋BC＋CD＋DA＝2（AB＋BC）。
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② 平行四边形的面积:
平行四边形的面积＝底×高，即 S ＝AB ×CF ＝BC ×AE 。
注: 平行四边形面积的几个重要性质：
a 、在同一个平行四边形中，底与对应高的积是一定的，都是这个平行四边形面积；
b 、等底等高的两个平行四边形的面积相等。
c 、两个底（或高）相等的平行四边形，它们的面积的倍数（或比）等于它们高（或底）的倍数（或比）；
d 、平行四边形(或长方
形、正方形)的对角线将其
图形分成两个等面积的三
角形或四个等面积的三角形，如右图所示；
e 、夹在两条平行直线间的两个平行四边
形的底边相等，则这两个平行四边形面积
相等。
如右图所示，若BC ＝B 1C l ，则
；
f 、祖暅（xu ǎn ）原理：两个等高的平面图形，如果等高处的水平截线处处相等，则它们的面积相等。
2、长方形、菱形和正方形
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四个角都是直角的平行四边形叫长方形（也叫“矩形”），其中不相等的两条边分别叫长方形的“长”、“宽”。
四条边长度相等的平行四边形叫菱形，各边的长叫菱形的“边长”。
长方形、菱形是特殊的平行四边形。
四条边长度相等，四个角都是直角的长方形叫正方形，它是特殊的长方形。
每条边叫正方形的“边长”，如图所示。
（1）长方形、菱形和正方形的性质:
它除具有平行四边形的性质外，还有一些特殊的性质。
①长方形、正方形的对角线平分且相等；
②菱形和正方形的对角线互相垂直。
（2）长方形、菱形和正方形的计算: 如图所
示。
①长方形、菱形和正方形的周长：是四边长
度的和，即
长方形的周长：
C＝AB＋BC＋CD＋DA＝2（AB＋BC）。
菱形和正方形的周长：
C＝AB＋BC＋CD＋DA＝4AB＝4BC＝4CD＝
4DA。
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②长方形、菱形和正方形的面积:
长方形的面积＝长×宽，即S＝AB×BC；
菱形和正方形的面积＝两条对角线乘积的
一半，即S＝AC×BD÷2；
正方形的面积＝边长×边长，即S＝AB2＝BC2＝CD2＝DA2。
【练一练】
一、将正确的答案填入括号内
(1)平行四边形的两组对边（），并且（）。
(2)两个完全一样的梯形可以拼成一个（）形，拼成的图形面积是梯形面积的（）倍。
(3)用边长4厘米的两个正方形拼成长方形，这个长方形的周长是（）厘米，面积是（）平方厘米。
(4)正方形的边长扩大3倍，周长扩大（）倍，面积扩大（）倍。
(5)一个三角形和一个平行四边形等底等高，如果三角形的面积是17平方厘米，平行四边形的面积是（）；如果平行四边形的面积是17平方厘米，三角形的面积是（）。
二、判断对错（正确的打√，错误的打×）
(1)四边形是由四条直线围成的图形。
…………………………………（）
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(2)四条边相等的四边形是正方形。
……………………………………（）
(3)平行四边形相邻的两个内角和是180O。
……………………………（）
(4)三角形的面积是平行四边形面积的的二分之一。
…………………（）
三、选择正确答案的序号填入括号内
(1)两个相同的三角形能拼成一个（），两个相同的直角三角形能拼成一个（），两个相同的等腰直角三角形能拼成一个（）。
A正方形 B长方形 C平行四边形 D梯形
(2)两个相同的三角形能拼成一个平行四边形，三角形的边分别是3厘米、6厘米、7厘米，拼成的平行四边形的周长最大是（）厘米。
A 18
B 20
C 26
D 36
(3)只有一组对边平行的四边形是（）。
A正方形 B长方形 C平行四边形 D梯形
(4)平行四边形、三角形、梯形的高都是一条（）。
A直线 B射线 C线段
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(5)一个四边形，它的一组对边平行，但不相等；另一组对边相等，但不平行；这个四边形是（ ）。
A 正方形
B 长方形
C 平行四边形
D 梯形
(6)如图所示，图中有（ ）个长方形。
A 18
B 14
C 10
(7)一个活动的长方形框架拉成一个平行四边形，这个平行四边形的周长（ ）原来长方形周长，这个平行四边形的面积（ ）原来长方形面积。
A 小于
B 等于
C 大于
D 无法确定
四、解答下面各题
(1)如图所示，长方形的长是8厘米，宽
是5厘米，则图中阴影部分的面积是多少
平方厘米?
(2)如图所示，正方形ABCD 中，比较阴影部分的面积之和与空白部分的面积之和的大小关系 (大于、小于或等
于)。