奥数 四边形中的基本图形

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四边形中的基本图形
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形，多边形有几条边就叫几边形。

其中每条线段叫多边形的“边”，每两条线段的交点叫多边形的“顶点”，每两条线段相交的角叫多边形的“内角”；我们学的都是凸多边形。

由四条线段围成的平面图形叫四边形，其中每条线段叫四边形的“边”，每两条线段的交点叫四边形的“顶点”，每两条线段相交的角叫四边形的“内角”；四边形的角的一边与另一边的延长线所组成的角叫四边形的“外角”。

四边形的表示法:
四边形用表示它的各个顶点的字母表示，书写时应按顶点顺序书写。

如图所示，可以记作：四边形ABCD，或四边形BCDA等，习惯上按逆时针方向记作：四边形ABCD
四边形的对角线:是指连结不相邻两个顶
点的线段，从四边形的一个顶点出发可引1条
对角线，它共有两条对角线。

如图所示，线段
AC，BD即是四边形脚的两条对角线。

四边形的性质：
①具有不稳定性: 当一个四边形的四边长度一定时，这个四边形的形状可随意改变。

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②组成四边形四个内角的大小关系:四边形的四个内角和是
360o。

③多边形的外角与它有公共顶点的内角的和等于1800，多边形的外角和等于360o。

注: n边形的内角和的推导:
如图所示，在n边形内任取一点0，连结
0与各个顶点的线段，把n边形分成n个三角
形．因为这n个三角形的内角的和等于n·1800，以D为公共顶点的n个角的和是2×1800，所以n边形的内角和是（n－2）·1800。

几种常见的特殊的四边形
四边形与常见的特殊的四边形的关系:
1、平行四边形
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两组对边分别平行的四边形叫平行四边
形，平行四边形是一种特殊的四边形。

一个平行四边形从一条边上的点到对边
引垂线，这点到垂足之间的线段叫平行四边形的“高”，这条对边叫“底”；其中特殊的平行四边形是长方
形和菱形。

平行四边形用符号表示，平行四
边形ABCD记作ABCD，读作“平行四
边形ABCD，如图所示。

（1）平行四边形的性质: 它除具有四边形的性质外，还有一些特殊的性质。

①平行四边形的两组对边分别平行且相等。

②平行四边形的两个对角相等，相邻的两个内角和是180 o。

③“高”有两条，对应的底也有两条。

④一个平行四边形的两条对角线互相平分，每条对角线平分这个平行四边形。

（2）平行四边形的计算: 如图所示。

①平行四边形的周长：
平行四边形四边长度的和，即
C＝AB＋BC＋CD＋DA＝2（AB＋BC）。

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② 平行四边形的面积:
平行四边形的面积＝底×高，即 S ＝AB ×CF ＝BC ×AE 。

注: 平行四边形面积的几个重要性质：
a 、在同一个平行四边形中，底与对应高的积是一定的，都是这个平行四边形面积；
b 、等底等高的两个平行四边形的面积相等。

c 、两个底（或高）相等的平行四边形，它们的面积的倍数（或比）等于它们高（或底）的倍数（或比）；
d 、平行四边形(或长方
形、正方形)的对角线将其
图形分成两个等面积的三
角形或四个等面积的三角形，如右图所示；
e 、夹在两条平行直线间的两个平行四边
形的底边相等，则这两个平行四边形面积
相等。

如右图所示，若BC ＝B 1C l ，则
；
f 、祖暅（xu ǎn ）原理：两个等高的平面图形，如果等高处的水平截线处处相等，则它们的面积相等。

2、长方形、菱形和正方形
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四个角都是直角的平行四边形叫长方形（也叫“矩形”），其中不相等的两条边分别叫长方形的“长”、“宽”。

四条边长度相等的平行四边形叫菱形，各边的长叫菱形的“边长”。

长方形、菱形是特殊的平行四边形。

四条边长度相等，四个角都是直角的长方形叫正方形，它是特殊的长方形。

每条边叫正方形的“边长”，如图所示。

（1）长方形、菱形和正方形的性质:
它除具有平行四边形的性质外，还有一些特殊的性质。

①长方形、正方形的对角线平分且相等；
②菱形和正方形的对角线互相垂直。

（2）长方形、菱形和正方形的计算: 如图所
示。

①长方形、菱形和正方形的周长：是四边长
度的和，即
长方形的周长：
C＝AB＋BC＋CD＋DA＝2（AB＋BC）。

菱形和正方形的周长：
C＝AB＋BC＋CD＋DA＝4AB＝4BC＝4CD＝
4DA。

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②长方形、菱形和正方形的面积:
长方形的面积＝长×宽，即S＝AB×BC；
菱形和正方形的面积＝两条对角线乘积的
一半，即S＝AC×BD÷2；
正方形的面积＝边长×边长，即S＝AB2＝BC2＝CD2＝DA2。

【练一练】
一、将正确的答案填入括号内
(1)平行四边形的两组对边（），并且（）。

(2)两个完全一样的梯形可以拼成一个（）形，拼成的图形面积是梯形面积的（）倍。

(3)用边长4厘米的两个正方形拼成长方形，这个长方形的周长是（）厘米，面积是（）平方厘米。

(4)正方形的边长扩大3倍，周长扩大（）倍，面积扩大（）倍。

(5)一个三角形和一个平行四边形等底等高，如果三角形的面积是17平方厘米，平行四边形的面积是（）；如果平行四边形的面积是17平方厘米，三角形的面积是（）。

二、判断对错（正确的打√，错误的打×）
(1)四边形是由四条直线围成的图形。

…………………………………（）
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(2)四条边相等的四边形是正方形。

……………………………………（）
(3)平行四边形相邻的两个内角和是180O。

……………………………（）
(4)三角形的面积是平行四边形面积的的二分之一。

…………………（）
三、选择正确答案的序号填入括号内
(1)两个相同的三角形能拼成一个（），两个相同的直角三角形能拼成一个（），两个相同的等腰直角三角形能拼成一个（）。

A正方形 B长方形 C平行四边形 D梯形
(2)两个相同的三角形能拼成一个平行四边形，三角形的边分别是3厘米、6厘米、7厘米，拼成的平行四边形的周长最大是（）厘米。

A 18
B 20
C 26
D 36
(3)只有一组对边平行的四边形是（）。

A正方形 B长方形 C平行四边形 D梯形
(4)平行四边形、三角形、梯形的高都是一条（）。

A直线 B射线 C线段
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(5)一个四边形，它的一组对边平行，但不相等；另一组对边相等，但不平行；这个四边形是（ ）。

A 正方形
B 长方形
C 平行四边形
D 梯形
(6)如图所示，图中有（ ）个长方形。

A 18
B 14
C 10
(7)一个活动的长方形框架拉成一个平行四边形，这个平行四边形的周长（ ）原来长方形周长，这个平行四边形的面积（ ）原来长方形面积。

A 小于
B 等于
C 大于
D 无法确定
四、解答下面各题
(1)如图所示，长方形的长是8厘米，宽
是5厘米，则图中阴影部分的面积是多少
平方厘米?
(2)如图所示，正方形ABCD 中，比较阴影部分的面积之和与空白部分的面积之和的大小关系 (大于、小于或等
于)。