奥数 四边形中的基本图形

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四边形中的基本图形

在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形,多边形有几条边就叫几边形。其中每条线段叫多边形的“边”,每两条线段的交点叫多边形的“顶点”,每两条线段相交的角叫多边形的“内角”;我们学的都是凸多边形。

由四条线段围成的平面图形叫四边形,其中每条线段叫四边形的“边”,每两条线段的交点叫四边形的“顶点”,每两条线段相交的角叫四边形的“内角”;四边形的角的一边与另一边的延长线所组成的角叫四边形的“外角”。

四边形的表示法:

四边形用表示它的各个顶点的字母表示,书写时应按顶点顺序书写。如图所示,可以记作:四边形ABCD,或四边形BCDA等,习惯上按逆时针方向记作:四边形ABCD

四边形的对角线:是指连结不相邻两个顶

点的线段,从四边形的一个顶点出发可引1条

对角线,它共有两条对角线。如图所示,线段

AC,BD即是四边形脚的两条对角线。

四边形的性质:

①具有不稳定性: 当一个四边形的四边长度一定时,这个四边形的形状可随意改变。

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②组成四边形四个内角的大小关系:四边形的四个内角和是

360o。

③多边形的外角与它有公共顶点的内角的和等于1800,多边形的外角和等于360o。

注: n边形的内角和的推导:

如图所示,在n边形内任取一点0,连结

0与各个顶点的线段,把n边形分成n个三角

形.因为这n个三角形的内角的和等于n·1800,以D为公共顶点的n个角的和是2×1800,所以n边形的内角和是(n-2)·1800。

几种常见的特殊的四边形

四边形与常见的特殊的四边形的关系:

1、平行四边形

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两组对边分别平行的四边形叫平行四边

形,平行四边形是一种特殊的四边形。

一个平行四边形从一条边上的点到对边

引垂线,这点到垂足之间的线段叫平行四边形的“高”,这条对边叫“底”;其中特殊的平行四边形是长方

形和菱形。

平行四边形用符号表示,平行四

边形ABCD记作ABCD,读作“平行四

边形ABCD,如图所示。

(1)平行四边形的性质: 它除具有四边形的性质外,还有一些特殊的性质。

①平行四边形的两组对边分别平行且相等。

②平行四边形的两个对角相等,相邻的两个内角和是180 o。

③“高”有两条,对应的底也有两条。

④一个平行四边形的两条对角线互相平分,每条对角线平分这个平行四边形。

(2)平行四边形的计算: 如图所示。

①平行四边形的周长:

平行四边形四边长度的和,即

C=AB+BC+CD+DA=2(AB+BC)。

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② 平行四边形的面积:

平行四边形的面积=底×高,即 S =AB ×CF =BC ×AE 。

注: 平行四边形面积的几个重要性质:

a 、在同一个平行四边形中,底与对应高的积是一定的,都是这个平行四边形面积;

b 、等底等高的两个平行四边形的面积相等。

c 、两个底(或高)相等的平行四边形,它们的面积的倍数(或比)等于它们高(或底)的倍数(或比);

d 、平行四边形(或长方

形、正方形)的对角线将其

图形分成两个等面积的三

角形或四个等面积的三角形,如右图所示;

e 、夹在两条平行直线间的两个平行四边

形的底边相等,则这两个平行四边形面积

相等。如右图所示,若BC =B 1C l ,则

f 、祖暅(xu ǎn )原理:两个等高的平面图形,如果等高处的水平截线处处相等,则它们的面积相等。

2、长方形、菱形和正方形

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四个角都是直角的平行四边形叫长方形(也叫“矩形”),其中不相等的两条边分别叫长方形的“长”、“宽”。

四条边长度相等的平行四边形叫菱形,各边的长叫菱形的“边长”。

长方形、菱形是特殊的平行四边形。

四条边长度相等,四个角都是直角的长方形叫正方形,它是特殊的长方形。每条边叫正方形的“边长”,如图所示。

(1)长方形、菱形和正方形的性质:

它除具有平行四边形的性质外,还有一些特殊的性质。

①长方形、正方形的对角线平分且相等;

②菱形和正方形的对角线互相垂直。

(2)长方形、菱形和正方形的计算: 如图所

示。

①长方形、菱形和正方形的周长:是四边长

度的和,即

长方形的周长:

C=AB+BC+CD+DA=2(AB+BC)。

菱形和正方形的周长:

C=AB+BC+CD+DA=4AB=4BC=4CD=

4DA。

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②长方形、菱形和正方形的面积:

长方形的面积=长×宽,即S=AB×BC;

菱形和正方形的面积=两条对角线乘积的

一半,即S=AC×BD÷2;

正方形的面积=边长×边长,即S=AB2=BC2=CD2=DA2。

【练一练】

一、将正确的答案填入括号内

(1)平行四边形的两组对边(),并且()。

(2)两个完全一样的梯形可以拼成一个()形,拼成的图形面积是梯形面积的()倍。

(3)用边长4厘米的两个正方形拼成长方形,这个长方形的周长是()厘米,面积是()平方厘米。

(4)正方形的边长扩大3倍,周长扩大()倍,面积扩大()倍。

(5)一个三角形和一个平行四边形等底等高,如果三角形的面积是17平方厘米,平行四边形的面积是();如果平行四边形的面积是17平方厘米,三角形的面积是()。

二、判断对错(正确的打√,错误的打×)

(1)四边形是由四条直线围成的图形。…………………………………()

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