同步发电机和负荷数学模型

α =ω L1C1 =
ω
v
=
2π
λ
,
v=
1 L1C1
空气中接 近光速
波长
v 3 × 108 λ= = = 6000( km ) f 50
α = 6 / 100km ≈ 10 −3 ( 1 km )
典 单架空导线 385～415Ω，两分裂285～305Ω Z c 型 三分裂 275～285Ω，四分裂255～265Ω 值 电缆线路 C1较大，L1较小，仅为30～50 Ω
¾若无损耗线路两端有电压源保持电压不变，则 当 P > Pe 时，线路中间电压降低，从两端吸收无功。 当 P < Pe 时，线路中间电压升高，向两端传输无功。
U
P < Pe P = Pe
U1
U
αl α x
U2
0
P > Pe
U1
U2
l
x
L1 中的感性无功与电流（传输功率）有关。 C1 中的容性无功仅与电压有关，与传输功率无关。
电缆线路 l < 100km
kg = 0 kb = 1
kx = 1
kx = 1
④架空线路 l < 100km，短电缆线路，35kV及以下线路
kg = 0 kb = 0
12 不计导纳的作用，仅用一个串联阻抗表示
第二章 电力系统元件数学模型
§2-3 同步发电机
三相对称稳态运行数学模型
¾正常运行时，定子绕组空载 电势，端电压、输出电流之 间的关系
⎧U x = U 2 cosh γ x + I 2 Z c sinh γ x ⎪ ⎨ U2 ⎪ I x = Z sinh γ x + I 2 cosh γ x ⎩ c
式中 Z c = Z1 Y1 为线路特征阻抗或波阻抗；
γ = Z1Y1 = β + jα 为线路传播系数。
2009-3-12
衰减系数
电力系统元件数学模型--线路 （续）、发电机和负荷
¾令 Z = K z ( r1l + jx1l ) = kr r1l + jkx x1l
Y bl⎞ g l bl ⎛g l = K Y ⎜ 1 + j 1 ⎟ = k g 1 + jkb 1 2 2 ⎠ 2 2 ⎝ 2
求出
2 ⎞ l2 ⎛ r12 ⎞ l2 l2 l 2 ⎛ x1 kr = 1 − x1b1 − g1 ⎜ − r1 ⎟， kx = 1 − b1 ⎜ x1 − ⎟ + r1g1 6 ⎝ x1 ⎠ 3 3 6 ⎝ r1 ⎠
2009-3-12 电力系统元件数学模型--线路 （续）、发电机和负荷 2
略去二Fra Baidu bibliotek无限小量
dU = IZ1 dx
dI = UY1 dx
⎧ d 2U dI = Z1 = Z1Y1U ⎪ 2 ⎪ dx dx ⎨ 2 ⎪ d I = Y dU = Z Y I 1 1 1 ⎪ dx ⎩ dx 2
分布参数电路方程在已知末端电压U 2 和电流 I 2 时的解
于是
U = U d + jU q
E q = jE q
= ( x q I q − rI d ) + j ( E q − x d I d − rI q ) = jE q − r ( I d + jI q ) + x q I q − jx d I d + jx q I d − jx q I d
2009-3-12 q
2009-3-12 电力系统元件数学模型--线路 （续）、发电机和负荷 5
2 ¾ 无损耗线路末端接波阻抗，其功率 P = Pe = U2 Zc ， 称为自然功率。
220kV单导线波阻抗为400Ω，自然功率Pe=127MW。 500kV四分裂波阻抗为260Ω，自然功率Pe=962MW。 ¾无损耗线路末端接波阻抗，U2 = I2Zc ，则有
¾高压架空输电线 r1 << x1 = ω L1 ,
Zc =
g1 ≈ 0
r1 + jω L1 L1 r1 ≈ −j g1 + jωC1 C1 2ω L1C1
Z c 接近于纯电阻，略呈电容性。
¾对于无损耗线路 ( g1 = 0, r1 = 0) ，则
Z c = L1 C1 ,
2009-3-12
γ =jα =jω L1C1
相位系数
3
⎧ 1⎡ r1 g1 − x1b1 ) + ( ⎪β = ⎢ 2⎣ ⎪ ⎨ ⎪α = 1 ⎡ x b − r g + ( 1 1 1 1) ⎪ ⎢ ⎣ 2 ⎩
2 2 2 2 ⎤ + + r x g b ( 1 1 )( 1 1 ) ⎥ ⎦
(r
2 1
+ x12 )( g12 + b12 ) ⎤ ⎥ ⎦
¾架空线路 l < 1000km 电缆线路 l < 300km， γ l < 1 。
上面的级数收敛很快，取级数的前两项，则修正系 数近似为
Kz
2009-3-12
γ l) ( ≈ 1+
6
2
γ l) ( Z1Y1 2 Z1Y1 2 l ，KY ≈ 1 − l = 1+ = 1− 6 12 12
2
电力系统元件数学模型--线路 （续）、发电机和负荷 10
②架空线路 l < 1000km 电缆线路 l < 300km
l2 ⎛ r12 ⎞ l2 l2 kx = 1 − b1 ⎜ x1 − ⎟ ，kg = 0，kb = 1 + x1b1 kr = 1 − x1b1 ， x1 ⎠ 6 ⎝ 3 12
③架空线路 l < 300km
kr = 1
kr = 1
2009-3-12
令 EQ = jEq − j ( xd − xq ) I d
⎤ E x x I = j⎡ − − ( ) q d q d ⎣ ⎦
EQ
r + jxq
I
U
E Q = j E Q 为隐极化电势
U = EQ − ( r + jxq ) I
2009-3-12 电力系统元件数学模型--线路 （续）、发电机和负荷
= jE − j ( x d − x q电力系统元件数学模型 ) I d − ( r + jx--q线路 )I
（续）、发电机和负荷
15
¾隐极同步发电机（汽轮发电机）
∵ xd = xq ∴ U = jE q − ( r + j x d ) I
Eq
r + jxd
I
U
¾凸极同步发电机（水轮发电机）
xd ≠ xq
纯虚数
4
实数，阻性
电力系统元件数学模型--线路 （续）、发电机和负荷
¾忽略线路内部磁场，则
µ0 Dm 10 −9 L1 = ln F m) ( ( H m )， C 1 = D r 2π 18 ln m
r
可得
Zc =
D D L1 = 60 ln m = 138.2 lg m ( Ω ) r r C1
1
Y 2
Z
Y 2
2
其中
1′
2′
K z , K Y 为修正系数
sinh γ l Kz = γl
2009-3-12
2 ( cosh γ l − 1) tanh ( γ l 2 ) KY = = γ l sinh γ l γl 2
电力系统元件数学模型--线路 （续）、发电机和负荷 9
Taylor级数 3 5 7 ⎧ γ l ) (γ l ) (γ l ) ( + + + ⎪ sinh γ l = γ l + ⎪ 3! 5! 7! ⎨ 3 5 7 l l l l l 1 2 17 γ γ γ γ γ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪ tanh = − + − + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ 2 2 3 ⎝ 2 ⎠ 15 ⎝ 2 ⎠ 315 ⎝ 2 ⎠ ⎩ 架空线路 γ ≈ j10−3 ( 1 km )
额定线电压 三相额定容量
额定功率因数 r %, xd %, xq % 定子电阻和同步电抗标幺值或百分比
定子每相绕组的电阻 r 定子纵轴同步电抗 定子横轴同步电抗
2009-3-12
2 r% U N r= 100 S N 2 xd % U N xd = 100 S N 2 xq % U N xq = 100 S N
EQ = E q − ( x d − x q ) I d
16
¾同步发电机每一相的输出功率
S = P + jQ = UI = ( U d + jUq )( I d - jI q )
*
于是
⎧ ⎪ P = Ud Id + Uq I q ⎨ ⎪ ⎩Q = U q I d − U d I q
⎧ EqU U2 ⎛ 1 1 ⎞ sinδ + ⎜ − ⎟ sin2δ ⎪P = ⎟ 2 ⎜ xd x x q d ⎪ ⎝ ⎠ ⎨ EqU U2 ⎛ 1 1 ⎞ U2 ⎛ 1 1 ⎞ ⎪ cos2δ + + − ⎪Q = x cosδ − 2 ⎜ ⎜x x ⎟ ⎟ 2 ⎜ ⎜x x ⎟ ⎟ d d ⎠ d ⎠ ⎝ q ⎝ q ⎩
¾凸极同步电机的功率方程为
¾隐极同步电机的功率方程为
P=
2009-3-12
EqU xd
U2 sin δ , Q = cos δ − 电力系统元件数学模型 --d 线路 x xd
（续）、发电机和负荷
EqU
17
9制造厂商通常提供的同步发电机参数
U N ( kV )
SN ( MVA)
cos ϕ N ( 滞后)
2′
Π型等值电路
电力系统元件数学模型--线路 （续）、发电机和负荷
∵ Z c = Z1 Y1 = Z1 γ = γ Y1
sinh γ l ∴Z = Z1 l = K z ( Z1 l ) γl Y 2 ( cosh γ l − 1) Y1l ⎛ Y1l ⎞ = = KY ⎜ ⎟ 2 γ l sinh γ l 2 ⎝ 2 ⎠
式中 A = D = cosh γ l , B = Zc sinh γ l , C = Zc−1 sinh γ l
¾等值电路如下，其传输矩阵为
1
Y 2
Z
Y 2
2
Z = B = Z c sinh γ l
Y A − 1 cosh γ l − 1 = = 2 B Z c sinh γ l
8
1′
2009-3-12
jα x ⎧ ⎪U x = U 2 ( cos α x + j sin α x ) = U 2e ⎨ jα x ⎪ ⎩ I x = I 2 ( cos α x + j sin α x ) = I 2e
结论：全线电压有效值相等，电流有效值相等，同 一点电压和电流同相。
2009-3-12 电力系统元件数学模型--线路 （续）、发电机和负荷 6
xd
xq
为定子每相绕组的电阻； 为定子纵轴同步电抗； 为定子横轴同步电抗。
电力系统元件数学模型--线路 （续）、发电机和负荷 14
2009-3-12
¾根据凸极同步发电机的双反 应理论，画出相量图如右， 可得出下面的关系
⎧ ⎪U q = Eq − xd I d − rI q ⎨ ⎪ ⎩U d = xq I q − rI d
⎧U ⎪ ⎪ ⎨ ⎪I ⎪ ⎩ = = Ud Id +j Uq +j Iq = U sin δ + j U cos δ
q(+ j)
Eq Uq Iq
空载电势
功率角
U
端电压
I
输出电流 功率因数角
δ ϕ
Ud
= I sin ( δ + ϕ ) + j I cos ( δ + ϕ )
Id
d ( +1 )
式中
r
⎞ l2 l2 ⎛ b12 l2 l2 ⎛ x1 ⎞ kg = 1 + x1b1 + r1 ⎜ − g1 ⎟， kb = 1 + x1b1 + g1 ⎜ 2r1 + g1 ⎟ 6 12 ⎝ g1 12 12 ⎝ b1 ⎠ ⎠
一般情况下可认为g1= 0，故 kg 不必计算，其它系数 也可以简化为前两项。
2009-3-12 电力系统元件数学模型--线路 （续）、发电机和负荷 11
¾总结：四个模型 ①架空线路 l ≥ 1000km 电缆线路 l ≥ 300km
2 ( cosh γ l − 1) tanh ( γ l 2 ) sinh γ l Kz = = ， KY = γl γ l sinh γ l γl 2
2009-3-12 电力系统元件数学模型--线路 （续）、发电机和负荷 7
¾集中参数等值电路
⎡U1 ⎤ ⎡ cosh γ l Zc sinh γ l ⎤ ⎡U2 ⎤ ⎡ A B ⎤ ⎡U2 ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ −1 ⎢ ⎥=⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎣ I1 ⎥ ⎦ ⎣ Zc sinh γ l cosh γ l ⎦ ⎢ ⎣ I2 ⎥ ⎦ ⎣C D ⎦ ⎢ ⎣ I2 ⎥ ⎦
xd
xq
电力系统元件数学模型--线路 （续）、发电机和负荷
第二章 电力系统元件数学模型
2.1 三相电力线路(续)
电力线路的稳态方程和等值电路 ¾单相方程及其等值电路
I1
⎧ Z1 = r1 + jx1 单位长度的线路阻抗和对地导纳分别为 ⎨ ⎩Y1 = g1 + jb1
I + dI
1
Z1dx
I
I2
2
U1
1′
U + dU
Y1d x
U
U2
2′
dx
x
l
⎧ − I = dI = UY1dx （I + dI） ⎪ 列方程组 ⎨ − U = dU =（I + dI）Z1dx （U + dU） ⎪ ⎩