高一数学集合知识点归纳及典型例题

高一数学集合知识点归纳及典型例题

一、、知识点：

本周主要学习集合的初步知识，包括集合的有关概念、集合的表示、集合之间的关系及集合的运算等。在进行集合间的运算时要注意使用Venn图。

本章知识结构

1、集合的概念

集合是集合论中的不定义的原始概念，教材中对集合的概念进行了描述性说明：“一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）”。理解这句话，应该把握4个关键词：对象、确定的、不同的、整体。

对象――即集合中的元素。集合是由它的元素唯一确定的。

整体――集合不是研究某一单一对象的，它关注的是这些对象的全体。确定的――集合元素的确定性――元素与集合的“从属”关系。不同的――集合元素的互异性。 2、有限集、无限集、空集的意义有限集和无限集是针对非空集合来说的。我们理解起来并不困难。

我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记做Φ。理解它时不妨思考一下“0与Φ”及“Φ与{Φ}”的关系。

几个常用数集N、N*、N＋、Z、Q、R要记牢。 3、集合的表示方法（1）列举法的表示形式比较容易掌握，并不是所有的集合都能用列举法表示，同学们需要知道能用列举法表示的三种集合：

①元素不太多的有限集，如{0，1，8}

②元素较多但呈现一定的规律的有限集，如{1，2，3，?，100} ③呈现一定规律的无限集，如 {1，2，3，?，n，?} ●注意a与{a}的区别

●注意用列举法表示集合时，集合元素的“无序性”。

（2）特征性质描述法的关键是把所研究的集合的“特征性质”找准，然后适当地表示出来就行了。但关键点也是难点。学习时多加练习就可以了。另外，弄清“代表元素”也是非常重要的。如{x|y＝x2}， {y|y ＝x2}， {（x，y）|y＝x2}是三个不同的集合。 4、集合之间的关系

●注意区分“从属”关系与“包含”关系

“从属”关系是元素与集合之间的关系。

“包含”关系是集合与集合之间的关系。掌握子集、真子集的概念，掌握集合相等的概念，学会正确使用“”等符号，会用Venn图描述集合之间的关系是基本要求。

●注意辨清Φ与{Φ}两种关系。 5、集合的运算

集合运算的过程，是一个创造新的集合的过程。在这里，我们学习了三种创造新集合的方式：交集、并集和补集。

一方面，我们应该严格把握它们的运算规则。同时，我们还要掌握它们的运算性质：

A?CUA?U

A?B?B?AA?A?A

A?????A??

A?B?A?B?A

还要尝试利用Venn图解决相关问题。

A?B?B?ACU(CUA)?AA?A?A

A?B?A?CUB??

A?????A?A

?B?CUA?U

A?B?A?B?B

A?CUA??

二、典型例题

例1. 已知集合A?{a?2,(a?1),a?3a?3}，若1?A，求a。

2

2

a?2?1,或（a?1）?1,或a?3a?3?1 ?1?A?根据集合元素的确定性，解：得：

2

若a＋2＝1，得:a??1，但此时a?3a?3?1?a?2，不符合集合元素的互异性。

22

若(a?1)?1，得：a?0,或-2。但a??2时，a?3a?3?1?(a?1)，不符合集合元素的互异性。

若a?3a?3?1,

2

222

2。得：a??1,或－

但a?-1时,a?2?1;a?-2时，(a?1)2?1，都不符合集合元素的互异性。

综上可得，a ＝ 0。

【小结】集合元素的确定性和互异性是解决问题的理论依据。确定性是入手点，互异性是检验结论的工具。

例2. 已知集合M＝x?R|ax?2x?1?0中只含有一个元素，求a的值。

2

解：集合M中只含有一个元素，也就意味着方程ax?2x?1?0只有一个解。

?

2

?

2x?1?0，只有一个解（1）a?0时,方程化为

2

x??

1

2

（2） a?0时,若方程ax?2x?1?0只有一个解

需要??4?4a?0,即a?1.

综上所述，可知a的值为a＝0或a＝1

【小结】熟悉集合语言，会把集合语言翻译成恰当的数学语言是重要的学习要求，另外多体会知识转化的方法。

例3. 已知集合A?{x|x?x?6?0},B?{x|ax?1?0},且BA，求a的值。解：由已知，得：A＝{－3，2}，若BA，则B＝Φ，或{－3}，或{2}。若B＝Φ，即方程ax＋1＝0无解，得a＝0。

2

1

若B＝{－3}，即方程ax＋1＝0的解是x ＝－3，得a ＝ 3。

1?

若 B＝{2}，即方程ax＋1＝0的解是x ＝ 2，得a ＝ 2。

11

?

综上所述，可知a的值为a＝0或a＝3，或a ＝ 2。

【小结】本题多体会这种题型的处理思路和步骤。

2

例4. 已知方程x?bx?c?0有两个不相等的实根x1， x2. 设C＝{x1，x2}， A＝{1，3，

5，7，9}， B＝{1，4，7，10}，若A?C??,C?B?C，试求b， c的值。

解：由C?B?C?C?B，那么集合C中必定含有1，4，7，10中的2个。又因为A?C??，则A中的1，3，5，7，9都不在C中，从而只能是C＝{4，10} 因此，b＝－（x1＋x2 ）＝－14，c＝x1 x2 ＝40 【小结】对A?C??,C?B?C的含义的理解是本题的关键。

例5. 设集合A?{x|?2?x?5},B?{x|m?1?x?2m?1}，（1）若A?B??，求m的范围；（2）若A?B?A，求m的范围。