九年级数学图形的位似
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初中数学 什么是位似
初中数学什么是位似位似是初中数学中的一个重要概念，它是指由两个图形通过平移、旋转、翻转或者这些变换的组合而得到的相似图形。
在本文中，我们将详细介绍位似的定义、性质以及一些例子来帮助理解这个概念。
首先，让我们来定义位似。
如果有两个图形，它们的形状和大小是相似的，但位置可能不同，那么我们可以说这两个图形是位似的。
换句话说，位似是指通过平移、旋转、翻转或者这些变换的组合，将一个图形变换为另一个图形。
接下来，我们来讨论位似的性质。
位似具有以下性质：1. 形状相似：位似图形的形状是相似的，即它们的对应角相等，对应边的比例相等。
2. 大小相似：位似图形的大小是相似的，即它们的对应边的比例是相等的。
3. 位置可能不同：位似图形的位置可能不同，它们可以通过平移、旋转、翻转或者这些变换的组合来得到。
4. 变换保持相似性：位似图形之间的变换（如平移、旋转、翻转）保持它们的相似性，即变换前后仍然是位似图形。
让我们来看一些例子来帮助理解位似。
例子1：考虑两个三角形ABC和DEF，其中∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
如果我们通过将三角形ABC沿顺时针方向旋转90度，并将它平移到DEF的位置，那么我们可以说三角形ABC和DEF是位似的。
它们具有相似的形状和大小，但位置可能不同。
例子2：考虑一个正方形和一个矩形，它们的边长比例是相等的，但是它们的形状和位置不同。
通过将正方形进行翻转或者旋转，我们可以得到一个与原正方形位似但位置不同的矩形。
例子3：考虑一个正三角形和一个等腰梯形，它们的形状和位置都不同，但是它们的对应边的比例相等。
通过将正三角形进行翻转或者旋转，我们可以得到一个与原正三角形位似但位置不同的等腰梯形。
通过这些例子，我们可以看到位似的性质和应用。
位似可以帮助我们在研究图形的形状和大小时，通过变换来得到相似的图形，从而简化问题的求解。
此外，位似也可以帮助我们理解和应用其他几何概念，如相似三角形、比例关系等。
九年级数学《图形的位似1》课件
思考：是否相似图形都是位似图形？
2 判断下面的正方形是不是位似图形？
A
D
E
F
（1）
B
C
G
显然，位似图形是相似图形的特殊情
形位.似相图似形图与形相不似一图定形有是什位么似关图系形？，可位 似图形一定是相似图形
思考：位似图形有何性质？
不是位似图形
3 如果∆OAB和 ∆OCD是位似图形，那么
AB∥CD吗？为什么？
A
O.
C
B
C’
B’
思考：还有没其他作法？
C’
B’
A
. O
B
C
A'
如果位似中心位于△ABC内部呢？ （课后我们还可以试一试。尽量取不 不同的位似中心。）在三角形一边的 一点上或在三角形一个顶点上呢。
位似图形的画法 A
以0为位似中心把△ABC
在同侧缩小为原来的一半。
B
步骤：
A’
1、画出的位置关系去探究。
对应边平行
概念与性质
1．位似图形的概念
如果两个图形不仅相似，而且每组对应点 所在的直线都经过同一点，对应边互相平 行，那么这样的两个图形叫做位似图形,这 个点叫做位似中心。
概念与性质
2. 位似图形的性质
OA 从第 (1)，(2)图中，我们可以看到，△OAB∽△O A′B′,则OA′ ＝
• 若△ABC与△A’B’C’的相似比为：1:2， 则OA：OA’=（ 1:2 ） OA:OA’ =OB:OB’ =OC:OC’（=1:2）
A’
AB
B’
O C C’
例1．如图，已知△ABC和点O.以O为位似中心，求作 △ABC的位似图形，并把△ABC的边长扩大到原来的两倍.
2 判断下面的正方形是不是位似图形？
A
D
E
F
（1）
B
C
G
显然，位似图形是相似图形的特殊情
形位.似相图似形图与形相不似一图定形有是什位么似关图系形？，可位 似图形一定是相似图形
思考：位似图形有何性质？
不是位似图形
3 如果∆OAB和 ∆OCD是位似图形，那么
AB∥CD吗？为什么？
A
O.
C
B
C’
B’
思考：还有没其他作法？
C’
B’
A
. O
B
C
A'
如果位似中心位于△ABC内部呢？ （课后我们还可以试一试。尽量取不 不同的位似中心。）在三角形一边的 一点上或在三角形一个顶点上呢。
位似图形的画法 A
以0为位似中心把△ABC
在同侧缩小为原来的一半。
B
步骤：
A’
1、画出的位置关系去探究。
对应边平行
概念与性质
1．位似图形的概念
如果两个图形不仅相似，而且每组对应点 所在的直线都经过同一点，对应边互相平 行，那么这样的两个图形叫做位似图形,这 个点叫做位似中心。
概念与性质
2. 位似图形的性质
OA 从第 (1)，(2)图中，我们可以看到，△OAB∽△O A′B′,则OA′ ＝
• 若△ABC与△A’B’C’的相似比为：1:2， 则OA：OA’=（ 1:2 ） OA:OA’ =OB:OB’ =OC:OC’（=1:2）
A’
AB
B’
O C C’
例1．如图，已知△ABC和点O.以O为位似中心，求作 △ABC的位似图形，并把△ABC的边长扩大到原来的两倍.
新九年级数学上册第四章第八节图形的位似
C′(-4.5,4.5)
随堂练习
如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点坐标分别 是 O（0，0），A（3，0），B（4，4），C（-2，3），画出 四边形 OABC 以点 O 为位似中心的位似图形，使它与四边形 OABC 的相似比是 2∶1.
y
8 6
4
C
2
-8 -6 -4 -2 O
-2
似比．
在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶 点的横、纵坐标都乘同一个数 k（k≠0），所 对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标 原点，它们的相似比为 | k |．
6
5
4
验
3 2
证
1
O1234567
结论
在直角坐标系中，将一个多边形每 个顶点的横、纵坐标都乘以同一个数k （k≠0），所对应的图形与原图形位似， 位似中心是坐标原点，他们的相似比为 ∣k∣.
B
A
2
4
–4
B′
–6
OO′′((00,,00)) AA′′((6-6,0,0))
将△OAB的
横如、果纵将坐点标 分O别，乘A2，和B-2， 得的到横的、两纵个 不坐同标的都三乘角 形以都-2是呢？ △OAB的位
6
A′x
似图形，位 似中心都是
原点O，相
似比都是2，
它们关于原
点成中心对
称。
BB′′((4-4,6,-)6)
九年级数学(上) 第四章 图形的相似
第八节 图形的位似（二）
主讲：梁宏宝
知识回顾 1. 位似图形
如果两个相似多边形每组对应点所在的直线都经过同 一 个点O，且每 组对应点与O 点的距离之比都等于一
个定值k，例如OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多
数学九年级上图形位似
点坐标分别为A（2，3
），B（2，1），C（ 6，2），以点O为位 似中心，相似比为2， 将△ABC放大，观察 对应顶点坐标的变化 ，你有什么发现？
位似变换后A，B，C的对应点为 C" A" B"
A' A B B'
2 4
C' C
6 8 9 101112
-2 O -2 -4 -6 -8
A '（ 4 ，6 ），B ' （ 4 ， 2 ），C ' （ 12 ，4 ）；
A
B
C O
C’
B’
A’
复习回顾
（概念性,而且对应顶点的连线相交于一点, 像这样的两个图形叫做位似图形, 这个点叫做位似中心, 这时 的相似比又称为位似比.
2.位似图形的性质
位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比 等于位似比
3.利用位似可以把一个图形放大或缩小
A′（4，8），
O（0，0），
B′（12，0）.
·
B'
A'
·
A'
· ·
B'
一个三角形 的顶点坐标分别扩大2倍后的三角形与原三角形是以 原点为位似中心的位似图形.
把一个三角形 扩大成原三角形的2倍实际上是把原三角形的顶点 坐标分别分别乘以相似比2.
初试牛刀
如图，△ABC三个顶
8 6 4 2 -12 -10-9 -8 -6 -4
位似变换后A，B的对应点为A ' （ 2 ， 1 ），B'（ 2 ， 0 ）；A" （－ 2 ，－ 1 ），B" （ － 2 ， 0 ）．
-8 -6 -4 8 6 4
A A'
图形的位似课件北师大版数学九年级上册
E
内
E' O C'
部
A' B'
A
B
知识精讲
2. 位似图形的性质
（1）对应点所在的直线经过位似中心；
（2）任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（3）对应边平行或在同一条直线上.
D
′ ′′
=
.
D'
O
C'
E'
A'
D
C
E
B'
B
①
A
′ ′′
=
.
C
E
D'C'
E'
A A'OB' B
②
知识精讲
3. 位似图形的画法（将一个图形放大或缩小）
（1）确定位似中心和图形上的关键点；
（2）连接位似中心与关键点并延长所得线段；
（3）根据相似比确定位似图形上的关键点；
A'
（4）顺次连接位似图形上的关键点，得到位似图形.
A
画一个△A′B ′C ′，使它与∆位似，且相似比为2.
C'
C
O
B
′
分析： 设 = .
由矩形的周长
矩形与矩形′ ′ ′是位似图形
=
′ ′
D'
D
A
C'
C
B
用表示的长
用表示AB ′ , ′的长
B'
典例精讲
【例题3】如图，矩形与矩形′ ′ ′是
位似图形，为位似中心.已知矩形的周长为
24，′ = 4，′ = 2，求, 的长.
内
E' O C'
部
A' B'
A
B
知识精讲
2. 位似图形的性质
（1）对应点所在的直线经过位似中心；
（2）任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（3）对应边平行或在同一条直线上.
D
′ ′′
=
.
D'
O
C'
E'
A'
D
C
E
B'
B
①
A
′ ′′
=
.
C
E
D'C'
E'
A A'OB' B
②
知识精讲
3. 位似图形的画法（将一个图形放大或缩小）
（1）确定位似中心和图形上的关键点；
（2）连接位似中心与关键点并延长所得线段；
（3）根据相似比确定位似图形上的关键点；
A'
（4）顺次连接位似图形上的关键点，得到位似图形.
A
画一个△A′B ′C ′，使它与∆位似，且相似比为2.
C'
C
O
B
′
分析： 设 = .
由矩形的周长
矩形与矩形′ ′ ′是位似图形
=
′ ′
D'
D
A
C'
C
B
用表示的长
用表示AB ′ , ′的长
B'
典例精讲
【例题3】如图，矩形与矩形′ ′ ′是
位似图形，为位似中心.已知矩形的周长为
24，′ = 4，′ = 2，求, 的长.
初中数学知识点精讲精析 位似图形
第五节 位似图形要点精讲（1）位似图形的定义：如果两个多边形相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这两个多边形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。
（2）位似图形的性质：如果两图形F 与是位似图形，它们的位似中心是点O ，相似比为k ，那么：①设A 与是一双对应点，则直线过位似中心O 点，并且．②设A 与，B 与是任意两双对应点，则；若直线AB 、不通过位似中心O ，则．（3）位似图形是相似图形的一种特殊情况，利用位似，可以将一个图形放大或缩小。
（4）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或。
典型例题【例1】如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心．【答案】解：图（1）、（2）和（4）三个图形中的两个图形都是位似图形，位似中心分别是图（1）中的点A ，图（2）中的点P 和图（4）中的点O ．（图（3）中的点O 不是对应点连线的交点，故图（3）不是位似图形，图（5）也不是位似图形）【解析】未似图形是特殊位置上的相似图形，因此判断两个图形是否为位似图形，首先要看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否都经过同一点，这两个方面缺一不可．【例1】 把下图中的四边形ABCD 缩小到原来的21．【答案】（1）在四边形ABCD 外任取一点O ；（2）过点O 分别作射线OA ，OB ，OC ，OD ；（3）分别在射线OA ，OB ，OC ，OD 上取点A ′、B ′、C ′、D ′， 使得21OD D O OC C O OB B O OA A O ='='='='； （4）顺次连接A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′A ′，得到所要画的四边形A ′B ′C ′D ′，如下图。
【解析】：把原图形缩小到原来的21，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为1∶2 ．。
初三数学位似知识点
初三数学位似知识点
1、位似图形：
如果两个图形不仅是相似的图形，而且每组对应点的连接线在一个点相交，则这两个图形称为位置图形。
连接类位置图中相应点的直线的交点就是类位置中心。
此时，相似性比率也称为类位置比率。
2、位似图形的性质：
段落的任何一对对应点与段落中心在同一条线上，它们与段落中心的距离之比等于相似比。
1.位似图形对应线段的比等于相似比。
2.位置图形的相应角度相等。
3.位似图形对应点连线的交点是位似中心。
4.拟图形的面积比等于相似比的平方。
5.位似图形高、周长的比都等于相似比。
6.位置图形的相应边相互平行或在同一条直线上。
3、利用位似，可以将一个图形放大或缩小，作图时要注意:①首先确定位似中心，位似中心的位置可随意选择；②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；③确定位似比，根据位
似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；④符合要求的图形不惟一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形．
4、位似变换：
把一个几何图形转换变成与之位似的图形,叫作位似变换。
物理中的透镜成像就是一种位似变换,位似中心为光心。
位似变换应用领域极为广为，特别就是可以证明三点共线等问题。
4.7 图形的位似(课件)-九年级数学上册(浙教版)
一个点，那么这两个图形是位似图形．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
当堂检测
3. 如图，以 O 为位似中心，将 △ABC 放大为原来的2 倍。
解：①作射线OA 、OB 、 OC；
B'
②分别在OA、OB 、OC 上取
点A' 、B' 、C' 使得
OA' OB' OC' 1
；
OA OB OC 2
③顺次连接 A’ 、B’ 、C’ 就是所要求图形。
（2）如图，位似中心可能在两个多边形的之间或同侧，也可能位于两个
多边形的边上（含顶点）或内部
讲授新课
1. 画出下列图形的位似中心：
O
O
讲授新课
2. 如图，BC∥ED，下列说法不正确的是
(D )
A. 两个三角形是位似图形
E
B. 点 A 是两个三角形的位似中心
D
A
C. B 与 D、C 与 E是对应位似点
A ' ' (－4 ，－6 )，B ' ' (－4，－2 )，C ' ' (－10 ，－4 )。
讲授新课
问题1 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以
作几个？
问题2 所作位似图形与原图形在原点的同侧，那么对应顶点的坐标的比与其
相似比是何关系？如果所作位似图形与原图形在原点的异侧呢？
点A的坐标为（0，2），则点E的坐标是 ____.
【详解】解：∵正方形OABC 与正方形ODEF是位似图，位似比
为 2：3 ，
∴OA:OD=2:3,
∵点A 的坐标为（0，2），即OA=2,
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
当堂检测
3. 如图，以 O 为位似中心，将 △ABC 放大为原来的2 倍。
解：①作射线OA 、OB 、 OC；
B'
②分别在OA、OB 、OC 上取
点A' 、B' 、C' 使得
OA' OB' OC' 1
；
OA OB OC 2
③顺次连接 A’ 、B’ 、C’ 就是所要求图形。
（2）如图，位似中心可能在两个多边形的之间或同侧，也可能位于两个
多边形的边上（含顶点）或内部
讲授新课
1. 画出下列图形的位似中心：
O
O
讲授新课
2. 如图，BC∥ED，下列说法不正确的是
(D )
A. 两个三角形是位似图形
E
B. 点 A 是两个三角形的位似中心
D
A
C. B 与 D、C 与 E是对应位似点
A ' ' (－4 ，－6 )，B ' ' (－4，－2 )，C ' ' (－10 ，－4 )。
讲授新课
问题1 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以
作几个？
问题2 所作位似图形与原图形在原点的同侧，那么对应顶点的坐标的比与其
相似比是何关系？如果所作位似图形与原图形在原点的异侧呢？
点A的坐标为（0，2），则点E的坐标是 ____.
【详解】解：∵正方形OABC 与正方形ODEF是位似图，位似比
为 2：3 ，
∴OA:OD=2:3,
∵点A 的坐标为（0，2），即OA=2,
九年级数学下册《位似图形》
同时满足下面三个条件的两个 图形才叫做位似图形．三条件缺一不可．
1．两图形相似． 2．每组对应点所在直线都
经过同一点． 3. 对应边互相平行，
显然，位似图形是相似图形的特殊情形，
其相似比又叫做它们的位似比.
1.判断下列各图形哪些是位似图形：
（1）五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′；
（１）－１
２７．４ 位似图形
这两个图放形幻有灯哪些片特征呢？
在片12幻 的．．灯 过两每机程图组放中形对映，相应图这似点．所在直幻线灯都机在 些图片经有过什同么一关点． 哪儿呢？ 系3呢. ？对应边互相平行，
D
C D/ C/ O
A
A/
B/
B
如果两个相似图形的每组对应点所在的 直线都交于一点,对应边互相平行，那 么这样的两个图形叫做位似图形, 这个 交点叫做位似中心, 这时两个相似图形 的相似比又叫做它们的位似比.
（１）－２
（2）等边三角形ABC与等边三角形A′B′C′
（2）
（4）反比例函数 y＝6x （x>0）的图像与 y＝6x （x<0）的图像
（５）△ABC与△A′B′C′
（４）
（５）
（6）在平行四边形ABCD中， △ABO与△CDO
2．如图P，E，F分别是AC，AB，AD 的中点，四边形AEPF与四边形ABCD是 位似图形吗？如果是位似图形，说出位 似中心和位似比.
F
C
●
D
A
做一做：
任意画一个三角形,用上面的方法 亲自试一试.
课堂小结
1. 位似图形的概念
如果两个相似图形的每组对应点所在的直 线都交于一点,对应边互相平行，那么这样 的两个图形叫做位似图形, 这个交点叫做位 似中心, 这时两个相似图形的相似比又叫做 它们的位似比.
北师大版九年级上册数学 4.8.1图形的位似 (共18张PPT)
1. 位似图形的性质是什么？ 位似图形上对应点到位似中心的距离之比等于相似比 2. 说说画位似图形的步骤。 ➢ 确定位似中心 ➢ 画出两位似图形对应点到位似中心的相似比的线段。 ➢ 顺次连接位似图形的各点。
Page 16
八、布置作业 课本第115页 习题4.13 知识技能 1、2
Page 17
4. 拉动铅笔，使结点沿所选图形的边缘运动， 当结点在已知图形上运动一圈时，铅笔就画 出一个新的图形。 试试看，它们相似吗？
提问：这样所得图形与原图形的相似比是多少？要放 大其他的倍数应该怎么做？如果要把图形缩小呢？
Page 15
七、课堂小结
通过本节课学习你学到了什么？你有哪些收获与 困惑？请你与同学们交流一下。
, , , OA ' OB ' OC ' OD ' 有什么关系?
OA OB OC OD
量一量课本P113图4-36中 OA= OC= ,OC’= ;OD= ,OD’=
OA’= OB= ,OB’=
由此你得到什么结论?
结论：位似多边形上任意一组对应点到位似中心的距离之比都等
于一个定值k，k就是这两个相似多边形的相似比。
Page 2
二、知识呈现——观察与感受
Page 3
观察与思考
通过对这几幅 图案的观察你 发现了什么？ 有什么特点？
Page 4
这些图案虽大 小不同，但形 状相同且有特 殊的位置关系。
自主探究一
以上五幅图片是由一组形状相同的图片组成，在图片① 和图片②上任取一组对应点A，B，直线AB经过镜头中心点 P吗？换其他的对应点试一试，还有类似规律吗？
Page 10
三、动手实践
已知△ABC，求作△DEF，使它与△ABC 位似，并且相似比为2。
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八、布置作业 课本第115页 习题4.13 知识技能 1、2
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4. 拉动铅笔，使结点沿所选图形的边缘运动， 当结点在已知图形上运动一圈时，铅笔就画 出一个新的图形。 试试看，它们相似吗？
提问：这样所得图形与原图形的相似比是多少？要放 大其他的倍数应该怎么做？如果要把图形缩小呢？
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七、课堂小结
通过本节课学习你学到了什么？你有哪些收获与 困惑？请你与同学们交流一下。
, , , OA ' OB ' OC ' OD ' 有什么关系?
OA OB OC OD
量一量课本P113图4-36中 OA= OC= ,OC’= ;OD= ,OD’=
OA’= OB= ,OB’=
由此你得到什么结论?
结论：位似多边形上任意一组对应点到位似中心的距离之比都等
于一个定值k，k就是这两个相似多边形的相似比。
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二、知识呈现——观察与感受
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观察与思考
通过对这几幅 图案的观察你 发现了什么？ 有什么特点？
Page 4
这些图案虽大 小不同，但形 状相同且有特 殊的位置关系。
自主探究一
以上五幅图片是由一组形状相同的图片组成，在图片① 和图片②上任取一组对应点A，B，直线AB经过镜头中心点 P吗？换其他的对应点试一试，还有类似规律吗？
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三、动手实践
已知△ABC，求作△DEF，使它与△ABC 位似，并且相似比为2。
九年级数学上册第四章图形的相似-图形的位似课件
第四章 图形的相似
考场对接
题型五 以原点为位似中心的位似变换
例题5 如图4-8-14 , 在Rt△ OAB 中 ,
∠OAB=90°, 且点B的坐标为(4, 2)．
(1) 画出△OAB 绕点 O 逆时针旋转 90 °
后的
；
(2)以坐标原点O为位似中心, 按1∶2的位似
比 在y轴的右侧画出
缩小后的 ．
课后作业 1.完成导学案剩余练习 2.完成数学作业本相应练习。
第四章 图形的相似
8 图形的位似
第四章 图形的相似
考场对接
题型一 确定位似中心
例题1 如图4-8-9所示 , 将 △ ABC 的三 边分别扩大为原来的 2 倍得到 ( 顶点均在格点上 ) , 它们是以点P为位 似 中心的位似图形, 则点P的坐标是( A
考场对接
题型二 应用位似图形的性质进行计算
例题2 如图4-8-10, 已知△ADE与△ABC是 位似 图形, 且DE垂直平分AC. (1)求∠C的度数； (2)求△ A DE 与 梯 形 DECB的面积比.
第四章 图形的相似
考场对接
分析 抓住位似图形与相似图形的关系, 再利用相似三角形的性质 计算.
2.位似的三要素即是判定位似 的依据，也是位似图形的性质.
目标检测
1.如图，△OAB和△OCD是位似图形， AB与CD平行吗？为什么？
答案：平行.位似图形的
目标检测
2.如图，△ABC与△A′B′C′是位似图 形，点O是位似中心，若OA=2AA′,S△AB C=8,则S△A′B′C′=?
独学：3分钟
对学：1分钟
新知探索
位似图形的性质：
如图所示，△ABC与△A′B′C′关于点O位似，BO＝ 3，B′O＝6. （1）若AC＝5，求A′C′的长； （2）若△ABC的面积为7，求△A′B′C′的面积.
九年级数学下册课件(人教版)位似
同时满足下面三个条件的两个图形才叫做位似图形．三条 件缺一不可．
1．两图形相似； 2．每组对应点所在直线都经过同一点； 3. 对应边互相平行.
显然，位似图形是相似图形的特殊情形，其相似比又叫做它 们的位似比.
例1 判断如图所示的各图中的两个图形是否是位似图形， 如果是，请指出其位似中心．
解：(1)是位似图形，位似中心为点A； (2)是位似图形，位似中心为点P；
∴
OC O'C '
AC A'C '
2. 1
∵OC ′＝5，∴OC＝10.
∴CC ′＝OC－OC ′＝10－5＝5.
6 如图，已知△DEO 与△ABO 是位似图形，△OEF 与△OBC
是位似图形．
求证：OD ·OC＝OF ·OA.
证明：∵△DEO 与△ABO 是位似图形，
∴ OD OE . OA OB
事实上，幻灯机工作的实质是将图片中的图形放大． 本节知识将对上述问题作系统的讲解．
知识点 1 位似图形的坐标变化规律
问题
如图(1)，在直角坐标系中，有两点A (6，3)，B (6， 0)．以原点O 为位似中心，相似 比为 1 ， 把线段AB 缩小．观察
解：(1)取矩形ABCD 的对角线的交点O 为位似中心， ①作射线OA，OB，OC，OD；
②分别在射线OA，OB，OC，OD上取点E，F，G，
H，使得
OE OA
OF OB
OG OC
OH OD
＝3；
③连接EF，FG，GH，HE，四边形EFGH 即为所求
作的图形，如图所示．
(2)能．在矩形ABCD 外取一点O 为位似中心， ①作射线OA，OB，OC，OD；
CF CE AF BC
九年级数学上册22.4.2平面直角坐标系中图形的位似变换
A．－
1 2
a
C．－ 1 (a－1)
2
B．－
1 2
(a＋1)
D．－
1 2
(a＋3)
（来自《典中点》）
知2－练
2 如图，在平面直角坐标系中，有一条“鱼”，它有六个顶点， 则( ) A．将各点横坐标乘以2，纵坐标不变，得到的“鱼”与原来的 “鱼”位似 B．将各点纵坐标乘以2，横坐标不变， 得到的“鱼”与原来的“鱼”位似 C．将各点横，纵坐标都乘以2，得到 的“鱼”与原来的“鱼” 位似 D．将各点横坐标乘以2，纵坐标乘以 1 ， 得到的“鱼”与原来的“鱼”位似 2
移得到的？ (4)设点P(x，y)为△ABC内一点，依次经过上 （来自《典中点》）
述三次变换后，点P的对应点的坐标为________．
图形变换的种类： (1)全等变换：全等变换不改变图形的大小与形状，全等
建立平面直角坐标系，△ABO与△A′B′O′是以点P为位似
中心的位似图形，它们的顶点均在格点(网格线的交点)上，
则点P的坐标为( )
A．(0，0)
B．(0，1)
C．(－3，2) D．(3，－2)
（来自《典中点》）
知1－练
2 (2015·宜宾)如图，△OAB与△OCD是以点O为位 似中心的位似图形，相似比为1∶2，∠OCD＝ 90°，CO＝CD.若B(1，0)，则点C的坐标为( ) A．(1，2) B．(1，1) C．( 2 ，2 ) D．(2，1)
注意：这里的相似比指的是新图形与原图形的对应边的比． 2．位似变换与平移、轴对称、旋转三种变换的联系和区别：位似、
平移、轴对称、旋转都是图形变换的基本形式，它们的本质区别在 于：平移、轴对称、旋转三种图形变换是全等变换，而位似变换是 图形进行平移、轴对称、旋转和位似 变换，其对应点的坐标都有各自的变化规律： (1)平移变换是横坐标或纵坐标加上(或减去)平移的单位； (2)轴对称变换，以x轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵
初三数学 相似图形----位似
步骤：
B’ C
O
C’
1、连结OA、OB、OC。 2、在OA、OB、OC上分别选取A’、B’、C’， 使OA’/OA=1/2、OB’/OB=1/2、OC’/OC=1/2。 3、连结A’B’C’，所连成的图形就是所求作图形。
A
3.以0为中缩小为原来的一半。
B
心把△ABC
C
O C’
B’
A’
注意
✓ 位似是一种具有位置关系的相似。 ✓ 位似图形是相似图形的特殊情形。 ✓ 位似图形必定是相似图形，而相似图形 不一定是位似图形。 ✓ 两个位似图形的位似中心只有一个。 ✓ 两个位似图形可能位于位似中心的两侧， 也可能位于位似中心的一侧。 位似的作用：位似可以将一个图形放大或缩小
依次连接点A'B'C'D'就是要求的四边形ABCD的位似图形． 试试看.
例题.在平面直角坐标系中, 四边形ABCD的四个顶点的坐
标分别为A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),画出它的一个以 原点O为位似中心,相似比为1/2的位似图形.
y
A
D
A′
B
D′
B′
x
C
C′
o
练习 1. 如图表示△AOB和把它缩小后得到的△COD，求它们的相似比．
探索2:
在平面直角坐标系中, △ABC三个顶点的坐标分别为 A(2,3),B(2,1),C(6,2),以原点O为位似中心,相似比 为2画它的位似图形.
放大后对应点的坐标分别是多少?
A′( 4 ,6 ), B′( 4 ,2 ), C′( 12 ,4 )
y
A'
6
4 A
3
2
B'
1.4图形的位似+课件+2024—2025学年青岛版数学九年级上册
三等分.
做法：取格点M，N，P，Q，连接
MP，NQ，分别交AB 于点G，H，
此时，
=
= ，
=
点G，H 将线段AB 三等分.
= ，即
知4－练
感悟新知
知4－练
5-1.[期中·济南槐荫区] 如图，已知点O 是坐标原点，A，B
两点的坐标分别为(3，－ 1)，(2，1). 以O 点为位似中
感悟新知
知3－练
(2)求出△ ABC 与△ A1B1C1 的位似比；
△ABC与△A1B1C1 的位似比为AO∶A1O＝6∶12＝
1∶2.
感悟新知
知3－练
(3)以点O 为位似中心， 在图中画一个△ A2B2C2， 使它与
△ ABC 的位似比等于3 ∶ 2.
解：如图所示．
感悟新知
知识点 4 平面直角坐标系中的位似
(1)位似、平移、轴对称、旋转都是图形变换的基本形式，
它们的本质区别在于：平移、轴对称、旋转三种图形变
换是全等变换，而位似变换是相似变换.
感悟新知
知4－讲
①平移变换是横坐标或纵坐标加上(或减去)平移的距离.
②在轴对称变换中，以x 轴为对称轴，则对应点的横坐标
相等，纵坐标互为相反数；以y 轴为对称轴，则纵坐标
清楚相似比，分清楚是放大还是缩小，若变换后的图形
与原图形的相似比大于1，则是将原图形放大了；若变换
后的图形与原图形的相似比小于1，则是将原图形缩小了.
感悟新知
知3－练
例 4 [新视角 开放题]如图1.4-7，已知四边形ABCD，将四
边形ABCD 放大，使放大后的图形与原图形是位似
做法：取格点M，N，P，Q，连接
MP，NQ，分别交AB 于点G，H，
此时，
=
= ，
=
点G，H 将线段AB 三等分.
= ，即
知4－练
感悟新知
知4－练
5-1.[期中·济南槐荫区] 如图，已知点O 是坐标原点，A，B
两点的坐标分别为(3，－ 1)，(2，1). 以O 点为位似中
感悟新知
知3－练
(2)求出△ ABC 与△ A1B1C1 的位似比；
△ABC与△A1B1C1 的位似比为AO∶A1O＝6∶12＝
1∶2.
感悟新知
知3－练
(3)以点O 为位似中心， 在图中画一个△ A2B2C2， 使它与
△ ABC 的位似比等于3 ∶ 2.
解：如图所示．
感悟新知
知识点 4 平面直角坐标系中的位似
(1)位似、平移、轴对称、旋转都是图形变换的基本形式，
它们的本质区别在于：平移、轴对称、旋转三种图形变
换是全等变换，而位似变换是相似变换.
感悟新知
知4－讲
①平移变换是横坐标或纵坐标加上(或减去)平移的距离.
②在轴对称变换中，以x 轴为对称轴，则对应点的横坐标
相等，纵坐标互为相反数；以y 轴为对称轴，则纵坐标
清楚相似比，分清楚是放大还是缩小，若变换后的图形
与原图形的相似比大于1，则是将原图形放大了；若变换
后的图形与原图形的相似比小于1，则是将原图形缩小了.
感悟新知
知3－练
例 4 [新视角 开放题]如图1.4-7，已知四边形ABCD，将四
边形ABCD 放大，使放大后的图形与原图形是位似
人教版数学九年级下册27.3《位似》课件
解：利用相似中对应点的坐
标的变化规律，分别取点A″ （3， - 6），B″（3，0）， O（0，0）.顺次连接点A ″， B ″，O，所得的△A ″B ″O
就是要画的一个图形.
应用提高
例:如图，四边形 ABCD的坐标分别为 A(-6,6),B(-8,2), C(-4,0),D(-2,4),
画出它的一个以原点 O为位似中心，相似 比为 1 的位似图形．
坐标为（4，2），则这两个正方形位似
中心的坐标是（-2，0）．
y
3.已知,如右图, O（0，0），
A（-4，2），B（-2，-2） ,以点O
为位似中心,按比例尺1:2把△OAB
A
缩小,则点A的对应点A′的坐标为
(-2,1)或(2,-1),点B的对应点B ′的
O
x
坐标为(-1,-1)或(1,1).
B
D
EF B 不是 C G
是
显然，位似图 形是相似图形的特 殊情形.相似图形不 一定是位似图形， 可位似图形一定是 相似图形.
练习1 2. 如图，△OAB和△OCD是位似图形，
AB与CD平行吗？为什么？
解：AB∥CD．理由如下： ∵△OAB与△OCD是位似图形， ∴△OAB∽△OCD，
∴∠OAB＝∠C，
246 8
-4
-6
-8
练习2 2．如图，△ABO三个顶点 的坐标分别为A（4，-5）， B（6，0），O（0，0）.以 原点O为位似中心，把这个 三角形放大为原来的2倍，
得到△A′B′O′．写出△A′B′O′三个 顶点的坐标．
解：A′（8，-10）, B ′（12，0）, O ′（0，0） 或A′（-8，10）, B ′ （-12，0）, O ′ （0，0）
标的变化规律，分别取点A″ （3， - 6），B″（3，0）， O（0，0）.顺次连接点A ″， B ″，O，所得的△A ″B ″O
就是要画的一个图形.
应用提高
例:如图，四边形 ABCD的坐标分别为 A(-6,6),B(-8,2), C(-4,0),D(-2,4),
画出它的一个以原点 O为位似中心，相似 比为 1 的位似图形．
坐标为（4，2），则这两个正方形位似
中心的坐标是（-2，0）．
y
3.已知,如右图, O（0，0），
A（-4，2），B（-2，-2） ,以点O
为位似中心,按比例尺1:2把△OAB
A
缩小,则点A的对应点A′的坐标为
(-2,1)或(2,-1),点B的对应点B ′的
O
x
坐标为(-1,-1)或(1,1).
B
D
EF B 不是 C G
是
显然，位似图 形是相似图形的特 殊情形.相似图形不 一定是位似图形， 可位似图形一定是 相似图形.
练习1 2. 如图，△OAB和△OCD是位似图形，
AB与CD平行吗？为什么？
解：AB∥CD．理由如下： ∵△OAB与△OCD是位似图形， ∴△OAB∽△OCD，
∴∠OAB＝∠C，
246 8
-4
-6
-8
练习2 2．如图，△ABO三个顶点 的坐标分别为A（4，-5）， B（6，0），O（0，0）.以 原点O为位似中心，把这个 三角形放大为原来的2倍，
得到△A′B′O′．写出△A′B′O′三个 顶点的坐标．
解：A′（8，-10）, B ′（12，0）, O ′（0，0） 或A′（-8，10）, B ′ （-12，0）, O ′ （0，0）
北师版九年级数学上册《图形的位似》PPT课件
感悟新知
知3－导
第二步；画出图形各顶点与位似中心O的连线； 第三步：按相似比取点； 第四步：顺次连接各点，所得的图形就是所求的图形．
感悟新知
知3－导
2.要点精析： (1)位似中心的选取要使画图方便且符合要求，一般以多边形
的一个顶点为位似中心画图最简便． (2)画位似图形时，要弄清相似比，即分清是已知图形与新图
课堂小结
图形的位似
知识总结
知识方法要点
关键总结
注意事项
每组对应点所在直线交于一 画位似图形时要找准对应点，
位
点的相似多边形是位似多边 理解相似比.注意位似中心的位
似 多
形; 位似多边形的对应边平 置：①位似中心在多边形的一
边
行或在一条直线上,多边形 侧；②两个多边形分居在位似
形
上任意一组对应点到位似中 中心的两侧；③位似中心在两
感悟新知
知识点 3 位似图形的画法
知3－导
1.画位似图形的步骤：
第一步：确定位似中心O(位似中心可以在图形外部，也可以在
图形内部，还可以在图形的边上，还可以在某一个顶点上)；
特别提醒: ◆位似中心的选取一般考虑使画图方便且符合要求. ◆以一点为位似中心画位似图形时，符合要求的图形往往
不唯一，一般情况下，同一个位似中心的两侧各有一 个符合要求的图形.
求出AD的长，然后根据△OAD∽△OBG，求出
OB的长，即可确定C点的坐标．
∵正方形BEFG的边长是6，∴BE＝EF＝6，
∵两正方形的相似比为1∶3. ∴ CB CB 1 .
EF 6 3
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2.
根据位似图形的性质可知，OA＝1，即 OB 2 1 .
OB 3
相关主题
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教材分析
教学内容的确定
新课标的理念，数学教育要面向全体学生，人人都能获得必 需的数学。4.6图形的位似，作为新增的内容，以其丰富的社会 背景为素材展示给我们，使我们感受到数学创造的乐趣，但它对 后续学习的知识联系不是很大，所以我认为，本节课的教学内容 应以教材的编排为准，概念、性质、应用等让学生容易接受就好， 水到渠成，不必要拓展和深化，按教材编排，“4.6图形的位似” 为1课时完成。用“观察——验证——推理和交流”的方法,培养 学生主动探求知识的精神和思维的条理性。
教材分析
教学目标
1．理解图形的位似概念，掌握位似图形的性质。 2．会利用作位似图形的方法把一个图形进行放大或缩小。 3．掌握直角坐标系中图形的位似变化与对应点坐标变化的 规律。 4．经历位似图形性质的探索过程，进一步发展学生的探究、 交流能力、以及动手、动脑、手脑和谐一致的习惯。 5．利用图形的位似解决一些简单的实际问题，并在此过程 中培养学生的数学应用意识，进一步培养学生动手操作的良好习 惯。 6．发展学生的合情推理能力和初步的逻辑推理能力。
教学过程
创设情景，构建新知
2、引导学生观察位似图形 下列图形中，每个图中的四边形ABCD和四边形A′B′C′D′都是相似
图形.分别观察这五个图，你发现每个图中的两个四边形各对应点的连 线有什么特征？
显然，位似图形是相似图形的特殊情形，其相似比又叫做它们的位似比.
练一练：判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是.
在分析理解位似图形性质时，加强师生的双边活动，提高 学生分析问题、解决问题的能力。通过例题、练习，让学生总 结解决问题的方法，以培养学生良好的学习习惯。
教学过程
创设情景，构建新知
1．位似图形的概念 下列两幅图有什么共同特点？
如果两个图形不仅形状相同，而且每组对应点所在的直线 都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形, 这个点叫做位 似中心.
适当提高，应用新知
位似图形的性质
（1）从上面练习第 1(1)(4)题图中，我们可以看到，△OAB∽△O A′B′,
OA OB
AB
AF AP AE
则OA′ ＝OB′ ＝A′B′ .从第 2 题的图中同样可以看到AD ＝AC ＝AB
＝EBPC ＝DFCP
一般地，位似图形有以下性质： 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似
考虑到如何更直观、形象地突破教学重、难点，增大课 堂容量，提高课堂效率，采用了多媒体辅助教学。
学法
叶圣陶说“教是为了不教”，也就是我们传授给学生的不 只是知识内容，更重要的是指导学生一些数学的学习方法。在 学习图形的位似概念过程中，让学生用类比的方法认识事物总 是互相联系的，温故而知新。而通过“位似图形的性质”的探 索，让学生认识事物的结论必须通过大胆猜测、判断和归纳。
比.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
作位似图形
例： 如图，请以坐标原点O为位似中心，作的位似图 形，并把的边长放大3倍.
分析：根据位似图形上任意 一对对应点到位似中心的距 离之比等于位似比，我们只 要连结位似中心O和的各顶 点，并把线段延长（或反向 延长）到原来的3倍，就得到 所求作图形的各个顶点
直角坐标系中图形的位似变化与对应点坐标变化的规律 想一想：
（6）曲边三角形ABC与曲边三角形A′B′C′
练一练：判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是.
（7）扇形ABC与扇形A′B′C′， （B、A 、B′在一条直线上，C、A 、C′在一条直线上）
（8）△ABC与△ADE（①DE∥BC； ②∠AED＝∠B）
2．如图P，E，F分别是AC，AB，AD的中点，四边 形AEPF与四边形ABCD是位似图形吗？如果是位似 图形，说出位似中心和位似比.
教材分析
教学重点和难点
本节教学的重点是图形的位似概念、位似图形的性质及利 用位似把一个图形放大或缩小。
直角坐标系中图形的位似变化与对应点坐标的关系,因为它 涉及到数形结合、分类讨论的数学思想等一些学生的数学薄弱 环节，所以是本节教学的难点。
教法
力求呈现“问题情境――建立数学概念――解释、应用 与拓 展”的模式。结合本节课内容和学生的实际水平，可采用 “观察——验证——推理和交流”的教学方法。
1．四边形GCEF与四边形G′C′E′F′具有怎样的对称性？ 2．怎样运用像与原像对应点的坐标关系，画出以原点为位 似中心的位似图形？
以坐标原点为位似中心的位似变换有一下性质： 若原图形上点的坐标为（x，y），像与原图形的位似比为
k，则像上的对应点的坐标为（kx，ky）或（―kx，―ky）.
练一练
浙教版初中数学九年级(上)
“4.6图形的位似” 教学设计
教材分析
教材的地位和作用
“4.6图形的位似”是浙教版九年级（上）第四章的内容， 是相似形的延伸和深化。位似图形在实际生产和生活中有着广 泛的应用，如利用位似把图形放大或缩小；放电影时，胶片与 屏幕的画面也是位似图形。从教材编排的一些素材看，不仅丰 富了教材的内容，加强了数学与自然、社会及其他学科的联系， 同时体现了学生的数学学习内容是现实的、有意义的、富有挑 战性的，更突出地反映了数学的价值。因此，本节教材对形成 良好的数学思维习惯和应用意识，提高解决问题的能力，感受 数学创造的乐趣，增进学好数学的信心，具有积极促进的作用。
（1）五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′；
（2）在平行四边形ABCD中，△ABO与△CDO
练一练：判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是.
（3）正方形ABCD与正方形A′B′C′D′.
（4）等边三角形ABC与等边三角形A′B′C′
练一练：判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是.
（5）反比例函数 y＝6x （x>0）的图像与 y＝6x （x<0）的图像
1．如图，已知△ABC和点O.以O为位似中心，求作 △ABC的位似图形，并把△ABC的边长缩小到原来的一半.
练一练
2．如图，在直角坐标系中，△ABC 的各个顶点的坐标为 A（－1，1）， B（2，3），C（0，3）.现要以坐标原点 O 为位似中心，位似比为23 ，作△ ABC 的位似图形△A′B′C′，则它的顶点 A′、B′、C′的坐标各是多少？