含参数的函数的单调性ppt课件
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1 第1课时 函数的单调性(共44张PPT)
提示：不一定，可能是定义域的一个子区间，单调性是局部概念，不是整体 概念.
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性.
(×)
(2)若函数 y＝f(x)在区间[1，3]上是减函数，则函数 y＝f(x)的单调递减区间是
[1，3].
(×)
(3)若函数 f(x)为 R 上的减函数，则 f(－3)>f(3).
解：由题意，确定函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的单调递增区间，即寻找图象呈上 升趋势的一段图象. 由题图(1)可知，在[1，4)和[4，6)内，y＝f(x)是单调递增的. 由题图(2)可知，在(－4.5，0)和(4.5，7.5)内，y＝g(x)是单调递增的.
()
3.设(a，b)，(c，d)都是 f(x)的单调递增区间，且 x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1<x2，
则 f(x1)与 f(x2)的大小关系为
()
A.f(x1)<f(x2)
B.f(x1)>f(x2) C.f(x1)＝f(x2)
D.不能确定
解析：选 D.根据函数单调性的定义知，所取两个自变量必须是同一单调区 间内的值时，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中 的 x1，x2 不在同一单调区间内，故 f(x1)与 f(x2)的大小不能确定.
4.若函数 f(x)在 R 上是单调递减的，且 f(x－2)<f(3)，则 x 的取值范围是 ______________. 解析：函数的定义域为 R.由条件可知，x－2>3，解得 x>5. 答案：(5，＋∞)
5.如图分别为函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的图象，试写出函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的 单调递增区间.
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性.
(×)
(2)若函数 y＝f(x)在区间[1，3]上是减函数，则函数 y＝f(x)的单调递减区间是
[1，3].
(×)
(3)若函数 f(x)为 R 上的减函数，则 f(－3)>f(3).
解：由题意，确定函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的单调递增区间，即寻找图象呈上 升趋势的一段图象. 由题图(1)可知，在[1，4)和[4，6)内，y＝f(x)是单调递增的. 由题图(2)可知，在(－4.5，0)和(4.5，7.5)内，y＝g(x)是单调递增的.
()
3.设(a，b)，(c，d)都是 f(x)的单调递增区间，且 x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1<x2，
则 f(x1)与 f(x2)的大小关系为
()
A.f(x1)<f(x2)
B.f(x1)>f(x2) C.f(x1)＝f(x2)
D.不能确定
解析：选 D.根据函数单调性的定义知，所取两个自变量必须是同一单调区 间内的值时，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中 的 x1，x2 不在同一单调区间内，故 f(x1)与 f(x2)的大小不能确定.
4.若函数 f(x)在 R 上是单调递减的，且 f(x－2)<f(3)，则 x 的取值范围是 ______________. 解析：函数的定义域为 R.由条件可知，x－2>3，解得 x>5. 答案：(5，＋∞)
5.如图分别为函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的图象，试写出函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的 单调递增区间.
函数的单调性课件(共17张PPT)
如果我们以x表示时间间隔（单位：h),y表示记忆保持量，则 不难看出，图3-7中，y是的函数，记这个函数为y =f(x).
这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
问题情境：我们知道，“记忆”在我们的学习过程中 扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都 是人们研究的课題。德国心理学家艾宾浩斯曾经对记 忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似图37所示的记忆规律．
创设情境，生成问题 在在活初初动中中1，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
△x表示自变量x的增量，△y表示因变量y的增量． 这时，对于属于这个区间上的任意两个不相等的值x1,x2: 这个数是增函数的充要条件是yx ＞0； 这个数是增函数的充要条件是y ＜0.
x
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
因此，函数f(x)=3x+2在（- ,+ ）上是增函数.
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
数学Biblioteka 基础模块（上册）第三章 函数
3.1.3 函数的单调性
这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
问题情境：我们知道，“记忆”在我们的学习过程中 扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都 是人们研究的课題。德国心理学家艾宾浩斯曾经对记 忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似图37所示的记忆规律．
创设情境，生成问题 在在活初初动中中1，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
△x表示自变量x的增量，△y表示因变量y的增量． 这时，对于属于这个区间上的任意两个不相等的值x1,x2: 这个数是增函数的充要条件是yx ＞0； 这个数是增函数的充要条件是y ＜0.
x
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
因此，函数f(x)=3x+2在（- ,+ ）上是增函数.
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
数学Biblioteka 基础模块（上册）第三章 函数
3.1.3 函数的单调性
函数的单调性ppt
步骤
观察图像走势、确定增减区间
求导法
基本思想
利用导数来判断函数在其定义域内的单调性
步骤
求导、计算导数、判断符号、下结论
04
函数单调性的应用
最大值和最小值的求解
求函数最大值
通过观察函数单调性，可以找出函数在某一 区间内的最大值，如二次函数在特定区间内 的最大值。
求函数最小值
同样地，通过观察函数的单调性，可以找出 函数在某一区间内的最小值，如三角函数的
单调性的实际应用举例
单调性在实际应用中有着广泛的应用，例如利用单调性 来优化问题、利用单调性进行数据分析和可视化等。
THANKS
例1
f(x) = x^2在区间(-∞,0)上为减函数，但不是全局减函数。
例2
f(x) = 2x在区间(0,+∞)上为增函数，但不是全局增函数。
单调性的反例
要点一
三角函数
例如，`f(x) = sin x` 在区间(0,π/2)上为增函数，但在 整个定义域上不是增函数。
要点二
常数函数
例如，`f(x) = 1` 在整个定义域上为常数函数，但不是 单调函数。
06
单调性与不等式
单调性与不等式解集
单调性对不等式解集的影响
单调性可以影响不等式解集的长度和位置，例如单调递增函数的不等式解集随着 自变量增大而增大，反之亦然。
解集的变化趋势分析
通过分析函数单调性和不等式解集的变化趋势，可以帮助我们更好地了解不等式 的性质和特点。
单调性与不等式证明
利用单调性证明不等式
VS
减函数
对于函数f(x)，如果在定义域内的任意 x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，则称f(x)为减 函数。
观察图像走势、确定增减区间
求导法
基本思想
利用导数来判断函数在其定义域内的单调性
步骤
求导、计算导数、判断符号、下结论
04
函数单调性的应用
最大值和最小值的求解
求函数最大值
通过观察函数单调性，可以找出函数在某一 区间内的最大值，如二次函数在特定区间内 的最大值。
求函数最小值
同样地，通过观察函数的单调性，可以找出 函数在某一区间内的最小值，如三角函数的
单调性的实际应用举例
单调性在实际应用中有着广泛的应用，例如利用单调性 来优化问题、利用单调性进行数据分析和可视化等。
THANKS
例1
f(x) = x^2在区间(-∞,0)上为减函数，但不是全局减函数。
例2
f(x) = 2x在区间(0,+∞)上为增函数，但不是全局增函数。
单调性的反例
要点一
三角函数
例如，`f(x) = sin x` 在区间(0,π/2)上为增函数，但在 整个定义域上不是增函数。
要点二
常数函数
例如，`f(x) = 1` 在整个定义域上为常数函数，但不是 单调函数。
06
单调性与不等式
单调性与不等式解集
单调性对不等式解集的影响
单调性可以影响不等式解集的长度和位置，例如单调递增函数的不等式解集随着 自变量增大而增大，反之亦然。
解集的变化趋势分析
通过分析函数单调性和不等式解集的变化趋势，可以帮助我们更好地了解不等式 的性质和特点。
单调性与不等式证明
利用单调性证明不等式
VS
减函数
对于函数f(x)，如果在定义域内的任意 x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，则称f(x)为减 函数。
利用导数研究含参函数的单调性【公开课教学PPT课件】
3
2
y
y
y
-1 0 x
-1 a 0 x a -1 0 x
①当a=-1时
②当a>-1时
③当a<-1时
小结：当两根的大小不确定时，应进行分类讨论.
探究二
变式二：讨论函数f ( x) 1 x2 +(1 a)x a ln x的单调性. 2
y
y
0a
x a0 x
①当a>0时
②当a≤0时
小结：当根大小不确定时，应讨论根的大小及根是否在定义域内.
2、已知函数f ( x) ln x a ，求f ( x)的单调区间 x
3、已知函数f ( x) 1 ax2 x (a 1)ln x,讨论f ( x)的单调性 2
感谢您的指导
邱奉美
第三章 导数应用
利用导数研究含参函数的单调性
（第1课时）
探究一
变式一：讨论函数f ( x) 1 x3 1 a x2 ax 1的单调性.
3
2
探究一
变式一：讨论函数f ( x) 1 x3 1 a x2 ax 1的单调性.
0，x2
1
1)当 1 1即a 1时，f (x)在（0， ）上递增.
a
10 0a1 00
10
1 1
x 11
xx
1
xx
aa
2)当1 1即a 1时，f (x)在（0，1）和（1， )上递增; f (x)在（ 1 ，1）上递减.
a
a
a
3)当1 1即0 a 1时，f (x)在（0，1）和（1， )上递增; f (x)在（1，1 ）上递减.
探究二
变式三：讨论函数f ( x) 1 x2 (a 1)x a ln x的单调性. 2
函数单调性课件(公开课)ppt
函数单调性课件(公开课)
目录
• 函数单调性的定义与性质 • 判断函数单调性的方法 • 单调性在解决实际问题中的应用 • 函数单调性的深入理解 • 函数单调性的实际案例分析
01 函数单调性的定义与性质
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增， 则表示函数值随着自变量的增加而增加；如果函数在某个区间内单调递减，则表 示函数值随着自变量的增加而减小。
的计算过程。
单调性与微分方程的关系
要点一
单调性决定了微分方程解的稳定 性
对于一阶线性微分方程，如果其系数函数在某区间内单调 递增（或递减），则该微分方程的解在此区间内是稳定的 。
要点二
单调性是研究微分方程的重要工 具
通过单调性可以判断微分方程解的存在性和唯一性，以及 研究解的动态行为。
05 函数单调性的实际案例分 析
总结词
利用单调性证明或解决不等式问题
详细描述
单调性在解决不等式问题中起到关键作用。通过分析函数的单调性，我们可以证明不等式或解决与不等式相关的 问题。例如，利用单调性可以证明数学归纳法中的不等式，或者在比较大小的问题中利用单调性进行判断。
单调性在函数极值问题中的应用
总结词
利用单调性求解函数的极值
详细描述
函数单调性的定义可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
函数单调性的性质
函数单调性具有传递性，即如果函数在区间I上单调递增，且 在区间J上单调递增，则函数在区间I和J的交集上也是单调递 增的。
函数单调性具有相对性，即如果函数在区间I上单调递增，且 另一个函数在区间J上单调递增，则这两个函数在区间I和J的 交集上也是单调递增的。
目录
• 函数单调性的定义与性质 • 判断函数单调性的方法 • 单调性在解决实际问题中的应用 • 函数单调性的深入理解 • 函数单调性的实际案例分析
01 函数单调性的定义与性质
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增， 则表示函数值随着自变量的增加而增加；如果函数在某个区间内单调递减，则表 示函数值随着自变量的增加而减小。
的计算过程。
单调性与微分方程的关系
要点一
单调性决定了微分方程解的稳定 性
对于一阶线性微分方程，如果其系数函数在某区间内单调 递增（或递减），则该微分方程的解在此区间内是稳定的 。
要点二
单调性是研究微分方程的重要工 具
通过单调性可以判断微分方程解的存在性和唯一性，以及 研究解的动态行为。
05 函数单调性的实际案例分 析
总结词
利用单调性证明或解决不等式问题
详细描述
单调性在解决不等式问题中起到关键作用。通过分析函数的单调性，我们可以证明不等式或解决与不等式相关的 问题。例如，利用单调性可以证明数学归纳法中的不等式，或者在比较大小的问题中利用单调性进行判断。
单调性在函数极值问题中的应用
总结词
利用单调性求解函数的极值
详细描述
函数单调性的定义可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
函数单调性的性质
函数单调性具有传递性，即如果函数在区间I上单调递增，且 在区间J上单调递增，则函数在区间I和J的交集上也是单调递 增的。
函数单调性具有相对性，即如果函数在区间I上单调递增，且 另一个函数在区间J上单调递增，则这两个函数在区间I和J的 交集上也是单调递增的。
《函数的单调性》函数 PPT教学课件
的单调性时,由于x1,x2的取值具有任意性,它代表区间内的每一个数,
所以在证明时,不能用特殊值来代替它们);
2.作差变形:作差Δy=f(x2)-f(x1),并将差向有利于判断差值的符号
的方向变形(作差后,尽量把差化成几个简单因式的乘积或几个完
全平方式的和的形式,这是值得学习的解题技巧,在判断因式的正
则 f(x2)-f(x1)= 2+1 − 1+1 =
2
1
3(2 -1 )
.
(2 +1)(1 +1)
(22 -1)(1 +1)-(21 -1)(2+1)
(2 +1)(1 +1)
因为 x1<x2,所以 x2-x1>0.
又因为 x1,x2∈[1,+∞),所以 x2+1>0,x1+1>0,
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
方法点睛1.讨论一个含参数的函数的单调性与证明一个函数的
单调性的方法类似,都是利用定义,通过运算,判断f(x1)-f(x2)的正负,
从而得出结论,若所含参数符号不确定,必须分类讨论.
2.本题的规范解答中每一个环节都不能省略,既有开头和结尾形
式上的要求,也有对f(x1)-f(x2)的正负判定进行实质性说明.
-Δ·(1 +2 )
=
=
,
21 ·22
21 ·22
∵12 ·22 >0,x1+x2<0,-Δx<0,∴Δy>0.
∴函数
1
f(x)=2 在(-∞,0)内是增函数.
课堂篇
探究学习
所以在证明时,不能用特殊值来代替它们);
2.作差变形:作差Δy=f(x2)-f(x1),并将差向有利于判断差值的符号
的方向变形(作差后,尽量把差化成几个简单因式的乘积或几个完
全平方式的和的形式,这是值得学习的解题技巧,在判断因式的正
则 f(x2)-f(x1)= 2+1 − 1+1 =
2
1
3(2 -1 )
.
(2 +1)(1 +1)
(22 -1)(1 +1)-(21 -1)(2+1)
(2 +1)(1 +1)
因为 x1<x2,所以 x2-x1>0.
又因为 x1,x2∈[1,+∞),所以 x2+1>0,x1+1>0,
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
方法点睛1.讨论一个含参数的函数的单调性与证明一个函数的
单调性的方法类似,都是利用定义,通过运算,判断f(x1)-f(x2)的正负,
从而得出结论,若所含参数符号不确定,必须分类讨论.
2.本题的规范解答中每一个环节都不能省略,既有开头和结尾形
式上的要求,也有对f(x1)-f(x2)的正负判定进行实质性说明.
-Δ·(1 +2 )
=
=
,
21 ·22
21 ·22
∵12 ·22 >0,x1+x2<0,-Δx<0,∴Δy>0.
∴函数
1
f(x)=2 在(-∞,0)内是增函数.
课堂篇
探究学习
函数的单调性ppt
函数的单调性
xx年xx月xx日
目录
• 函数的单调性的定义 • 函数的单调性与连续性的关系 • 判定函数单调性的方法 • 函数单调性的应用 • 单调函数与反函数的单调性关系 • 高阶导数与函数单调性的关系
01
函数的单调性的定义
增函数和减函数
增函数
对于函数f(x)，如果在定义域内的任意 x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，则称f(x)为增 函数。
03
复合函数的单调性
利用复合函数的单调性来推断原函数 的单调性。
证明不等式
利用单调性证明不等式
根据单调性的定义，通过比较大小来证明不等式。
利用导数工具证明不等式
对于一些较为复杂的不等式，可能需要先利用导数工具求出函数的极值点，再根据极值的正负来判断不等式的真假。
利用构造函数的方法证明不等式
通过构造函数将不等式转化为函数值大小比较的问题，从而证明不等式。
VS
减函数
对于函数f(x)，如果在定义域内的任意 x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，则称f(x)为减 函数。
严格增函数和严格减函数
严格增函数
对于函数f(x)，如果在定义域内的任意x1<x2，且x1≠x2，都有f(x1)<f(x2)，则称f(x)为严格增函数。
严格减函数
对于函数f(x)，如果在定义域内的任意x1<x2，且x1≠x2，都有f(x1)>f(x2)，则称f(x)为严格减函数。
对于一些简单的函数，如一次函数和 二次函数，可以直接利用函数的单调 性来求最值。
要点三
极值法
对于一些较为复杂的函数，可能需要 先利用导数工具求出函数的极值点， 再根据极值的正负来判断函数的最值 。
xx年xx月xx日
目录
• 函数的单调性的定义 • 函数的单调性与连续性的关系 • 判定函数单调性的方法 • 函数单调性的应用 • 单调函数与反函数的单调性关系 • 高阶导数与函数单调性的关系
01
函数的单调性的定义
增函数和减函数
增函数
对于函数f(x)，如果在定义域内的任意 x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，则称f(x)为增 函数。
03
复合函数的单调性
利用复合函数的单调性来推断原函数 的单调性。
证明不等式
利用单调性证明不等式
根据单调性的定义，通过比较大小来证明不等式。
利用导数工具证明不等式
对于一些较为复杂的不等式，可能需要先利用导数工具求出函数的极值点，再根据极值的正负来判断不等式的真假。
利用构造函数的方法证明不等式
通过构造函数将不等式转化为函数值大小比较的问题，从而证明不等式。
VS
减函数
对于函数f(x)，如果在定义域内的任意 x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，则称f(x)为减 函数。
严格增函数和严格减函数
严格增函数
对于函数f(x)，如果在定义域内的任意x1<x2，且x1≠x2，都有f(x1)<f(x2)，则称f(x)为严格增函数。
严格减函数
对于函数f(x)，如果在定义域内的任意x1<x2，且x1≠x2，都有f(x1)>f(x2)，则称f(x)为严格减函数。
对于一些简单的函数，如一次函数和 二次函数，可以直接利用函数的单调 性来求最值。
要点三
极值法
对于一些较为复杂的函数，可能需要 先利用导数工具求出函数的极值点， 再根据极值的正负来判断函数的最值 。
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求函数 f ( x ) 的单调区间
.
.
3、解关于x的一元二次不等式x2-(3+a)x+3a>0
2008年高 考
.
4、解关于x的不等式
1 x2 a 0 a
2011高考
.
5、解关于x的不等式 x2+2x-a >0
09-10海淀 期末
.
6、解关于x的一元二次不等式12x2-8ax+a2>0
2012年高 考
.
解关于x不等式
1、 ax＋1>0 2、x2-(3+a)x+3a>0 3、12x2-8ax+a2>0 4、ax2-2(a+1)x+4<0 5、 1 x2 a 0
a
6、x2+2x-a >0
.
2010年 高考
.
小结：
用导数法确定含参函数的单调区间： 1.求出定义域； 2. 求出函数的导函数；
3. 求解不等式f´(x)＞0，求得其解集; 解含参 求解不等式f´(x)＜0，求得其解集； 不等式
4.再根据解集写出单调区间.（联立定义域）
.
例2
已知函数
f(x)(ax2x)lnx1ax2x (a R) 2
段性结果； 3.进行归纳总结，综合得出结论。
.
解关于x不等式
1、 ax＋1>0 2、ax2-2(a+1)x+4<0
.
例1
已知函数 f(x)a x(a1)ln x (1),其中a≥-1, 求函数 f ( x ) 的.单调区间
.
1、解关于x不等式 ax＋1>0 （a∈R）
2009年高 考
.
2、解关于x的不等式：ax2-2(a+1)x+4<0
含参数的函数的单调性是： 1.求出定义域； 2. 求出函数的导函数； 3. 求解不等式f´(x)＞0，求得其解集;
求解不等式f´(x)＜0，求得其解集； 4.再根据解集写出单调区间.（联立定义域）
.
解含参不等式的基本方法： 1.确定分类标准，正确进行合理分类； 2.对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶