线性规划案例
线性规划应用案例分析
线性规划应用案例分析线性规划是一种在数学和运营管理中常见的优化技术。
它涉及到在一组线性不等式约束下，最大化或最小化一个线性目标函数。
这种技术可以应用于许多不同的领域，包括供应链管理、资源分配、投资组合优化等。
本文将探讨几个线性规划应用案例，以展示其在实际问题中的应用和价值。
某制造公司需要计划生产三种产品，每种产品都需要不同的原材料和生产时间。
公司的目标是最大化利润，但同时也受到原材料限制、生产能力限制以及每种产品市场需求限制的约束。
通过使用线性规划，该公司能够找到最优的生产计划，即在满足所有约束条件下，最大化利润。
某物流公司需要计划将货物从多个产地运输到多个目的地。
公司的目标是最小化运输成本，但同时也受到运输能力、货物量和目的地需求的约束。
通过使用线性规划，该公司能够找到最优的运输方案，即在满足所有约束条件下，最小化运输成本。
某投资公司需要将其资金分配给多个不同的投资项目。
每个项目都有不同的预期回报率和风险水平。
公司的目标是最大化回报率，同时也要保证投资风险在可接受的范围内。
通过使用线性规划，该公司能够找到最优的投资组合，即在满足所有约束条件下，最大化回报率。
这些案例展示了线性规划在实践中的应用。
然而，线性规划的应用远不止这些，它还可以用于诸如资源分配、时间表制定、路线规划等问题。
线性规划是一种强大的工具，可以帮助决策者解决复杂的问题并找到最优解决方案。
线性规划是一种广泛应用的数学优化技术，适用于在多种资源限制下寻求最优解。
这种技术涉及到各种领域，包括工业、商业、运输、农业、金融等，目的是在给定条件下最大化或最小化线性目标函数。
下面我们将详细讨论线性规划的应用。
线性规划是一种求解最优化问题的数学方法。
它的基本思想是在一定的约束条件下，通过线性方程组的求解，求得目标函数的最优解。
这里的约束条件通常表现为一组线性不等式或等式，而目标函数则通常表示为变量的线性函数。
工业生产：在工业生产中，线性规划可以用于生产计划、物料调配、人力资源分配等方面。
线性规划应用案例
线性规划应用案例线性规划是一种在约束条件下寻找最优解的数学优化方法。
它在实际应用中广泛使用，涉及许多领域和行业。
本文将介绍两个典型的线性规划应用案例：运输问题和产能规划问题。
一、运输问题运输问题是线性规划最早发展起来的一个领域，它是指如何在各个供应地和需求地之间运输商品，以使得总运输成本最小。
一个典型的运输问题可以描述为：有m个供应地和n个需求地，每个供应地和需求地之间有一个固定的运输成本和一个固定的供应和需求量。
问题是如何确定每对供需地之间的运输量，以使得总运输成本最小。
举例来说，假设有三个供应地A、B、C，三个需求地X、Y、Z。
运输成本如下表所示：\begin{array}{ c c c c c c }&X&Y&Z&供应量\\A&10&12&8&100\\B&6&8&7&200\\C&9&10&11&300\\需求量&150&175&125&\\\end{array}求解此问题的线性规划模型如下：目标函数：minimize \quad Z = 10x_{11} + 12x_{12} + 8x_{13} + 6x_{21} + 8x_{22} + 7x_{23} + 9x_{31} + 10x_{32} + 11x_{33}约束条件：x_{11} + x_{12} + x_{13} \leq 100x_{21} + x_{22} + x_{23} \leq 200x_{31} + x_{32} + x_{33} \leq 300x_{11} + x_{21} + x_{31} \geq 150x_{12} + x_{22} + x_{32} \geq 175x_{13} + x_{23} + x_{33} \geq 125x_{ij} \geq 0, i = 1,2,3 \quad j = 1,2,3其中x_{ij}表示从供应地i到需求地j的运输量。
线性规划案例5
问题描述：
靠近某河流有两个化工厂(见图1-1)，流经第一化工厂的河流流量为每天500万立方米，在两个工厂之间有一条流量为每天200万立方米的支流。
化工厂1每天排放含有某种有害物质的工业污水2万立方米，化工厂2每天排放的工业污水为1.4万立方米。
从化工厂1排出的污水流到化工厂2前，有20%可自然净化。
根据环保要求，河流中工业污水的含量应不大于0.2%。
因此两个工厂都需处理一部分工业污水。
化工厂1处理污水的成本是1000元/万立方米,化工厂2处理污水的成本是800元/万立方米。
问:
在满足环保要求的条件下，每厂各应处理多少工业污水，使两个工厂处理工业污水的总费用最小。
(一)线性规划
（一）线性规划
案例分析1
例1.10飞乐公司经营一个回收中心，专门混合三种废弃原材料C、P和h，以生产三
种不同规格的产品abd。
根据混合过程中各种材料的比例，产品可分为不同等级（见表
1.12）。
尽管混合不同等级的产品时允许一定的流动性，各等级产品中各种材料的最大值
和最小值必须符合下列质量标准的规定（最大值和最小值根据材料重量占该等级产品总重
量的比例确定）。
在两种更高级的产品中，一种特定材料的比例是固定的。
规格要求、单价、原材料数量、每天可供原材料单价见表1.12、表1.13。
工厂应该如何安排生产以实
现利润最大化？表1.12
产品名称ａbd
本规范要求原料C不小于50%，原料P不大于25%，原料C不小于25%，原料P不大于50%
不限
单价（元/公斤）
503525
回收中心可以定期从某些渠道收集所需的固体废物，从而获得处理能力，保持稳定运行。
表1.13显示了中心每天可以收集的每种材料的数量和单价。
表1.13
原料名称
cph
最大日供应量（千克）
10010060
单价（元/公斤）
652535
飞乐公司是格陵兰组织的全资子公司，格陵兰组织是一家专门从事环境相关业务的组织。
管理层决定在表1.12和表1.13所列的限制范围内，有效地向各级产品分配各种材料，以使每周的总利润最大化。
线性规划应用案例
市场营销应用案例一：媒体选择在媒体选择中应用线性规划的目的在于帮助市场营销经理将固定的广告预算分配到各种广告媒体上，可能的媒体包括报纸、杂志、电台、电视和直接邮件。
在这些媒体中应用线性规划，目的是要使宣传范围、频率和质量最大化。
对于应用中的约束条件通常源于对公司政策、合同要求及媒体的可用性。
在下面的应用中，我们将介绍如何应用线性规划这一工具来建立模型进而解决媒体选择问题。
REL发展公司正在私人湖边开发一个环湖社区。
湖边地带和住宅的主要市场是距离开发区100英里以内的所有中上收入的家庭。
REL公司已经聘请BP&J 来设计宣传活动。
考虑到可能的广告媒体和要覆盖的市场，BP&J建议将第一个月的广告局限于5种媒体。
在第一个月末，BP&J将依据本月的结果再次评估它的广告策略。
BP&J已经收集到了关于受众数量、广告单价、各种媒体一定周期内可用的最大次数以及评定5种媒体各自宣传质量的数据。
质量评定是通过宣传质量单位来衡量的。
宣传质量单位是一种用于衡量在各个媒体中一次广告的相对价值的标准，它建立于BP&J在广告业中的经验，将众多因素考虑在内，如受众层次（年龄、收入和受众受教育的程度）、呈现的形象和广告的质量。
表4-1列出了收集到的这些信息。
表4-1 REL发展公司可选的广告媒体REL发展公司提供给BP&J第一个月广告活动的预算是30000美元。
而且，REL公司对BP&J如何分配这些资金设置了如下限制：至少要使用10次电视广告，达到的受众至少要有50000人，并且电视广告的费用不得超过18000美元。
应当推荐何种广告媒体选择计划呢？案例二：市场调查公司开展市场营销调查以了解消费者个性特点、态度以及偏好。
专门提供此种信息的市场营销调查公司，经常为客户机构开展实际调查。
市场营销调查公司提供的典型服务包括涉及计划、开展市场调查、分析收集数据、提供总结报告和对客户提出意见。
线性规划 实际案例
线性规划是一种数学优化模型，用于解决在有一些约束条件下，如何使一个目标函数达到最优解的问题。
线性规划广泛应用于许多实际案例中，其中一些常见的案例如下：
1.生产规划：在生产过程中，企业可能需要在有限的生产资源和需求的限制下，决策
生产的数量、成本、产品组合等，以使生产效益最大化。
这就需要用到线性规划模
型来解决。
2.交通规划：在城市规划过程中，市政部门可能需要决策道路的建设、扩建、维护等，
以满足城市交通需求，并考虑到道路建设的成本和环境影响等因素。
这时候可以使
用线性规划模型来解决。
3.财务规划：在进行财务管理时，企业或个人可能需要在有限的资金和资产的限制下，
决策投资、储蓄、借贷等，以使财务效益最大化。
这时候可以使用线性规划模型来
解决。
4.供应链管理：在供应链管理过程中，企业可能需要决策采购、生产、运输、库存等
各个环节，以保证供应链的流畅运行并达到最优的效益。
这时候可以使用线性规划
模型来解决。
这些都是线性规划在实际案例中的应用，线性规划能够帮助企业和组织在有限的条件下，有效地规划和决策，并取得较好的效益。
线性规划案例(2)
饮食规划问题分析摘要本案例旨在解决一个与饮食规划相关的管理问题。
通过应用线性规划方法，我们将建立一个模型来帮助一个人根据营养需求和食材成本，制定最佳的饮食计划。
问题描述希望根据自己的营养需求，在预算限制下制定每日的饮食计划。
1确保摄入足够的蛋白质、碳水化合物、脂肪和维生素，并且希望最小化食材的总成本。
2已知不同食材的营养含量和价格，确定每种食材的最佳购买量，以满足所需的营养需求并节约成本。
模型的构建1. 变量定义：- Xi：购买的食材i的数量（单位：克）2. 目标函数：Minimize: ∑(i) Pi * Xi其中，Pi表示食材i的价格（单位：货币单位/克）3. 约束条件：蛋白质约束：∑(i) Ni * Xi ≥P碳水化合物约束：∑(i) Ci * Xi ≥C脂肪约束：∑(i) Fi * Xi ≥ F维生素约束：∑(i) Vi * Xi ≥V预算约束：∑(i) Pi * Xi ≤ B非负约束：Xi ≥0为了模拟数据，我们将使用一个简化的饮食规划问题来说明。
假设我们有以下食材和相关参数：4 变量确定鸡胸肉：价格0.3 货币单位/克，蛋白质含量20g/100g，碳水化合物含量0g/100g，脂肪含量2g/100g，维生素含量0g/100g米饭：价格0.1 货币单位/克，蛋白质含量7g/100g，碳水化合物含量28g/100g，脂肪含量0.3g/100g，维生素含量0g/100g鸡蛋：价格0.2 货币单位/克，蛋白质含量13g/100g，碳水化合物含量1.1g/100g，脂肪含量10g/100g，维生素含量0.2g/100g个人营养需求：蛋白质需求：每日需要摄入至少50g碳水化合物需求：每日需要摄入至少150g脂肪需求：每日需要摄入至少30g维生素需求：每日需要摄入至少0.5g预算限制：每日食材购买总成本不超过10 货币单位5建立线性规划模型（1）变量定义：X1：购买的鸡胸肉数量（单位：克）X2：购买的米饭数量（单位：克）X3：购买的鸡蛋数量（单位：克）（2）目标函数：Minimize: 0.3 * X1 + 0.1 * X2 + 0.2 * X3（3）约束条件：蛋白质约束：20/100 * X1 + 7/100 * X2 + 13/100 * X3 ≥50碳水化合物约束：0/100 * X1 + 28/100 * X2 + 1.1/100 * X3 ≥150脂肪约束：2/100 * X1 + 0.3/100 * X2 + 10/100 * X3 ≥30维生素约束：0/100 * X1 + 0/100 * X2 + 0.2/100 * X3 ≥0.5预算约束：0.3 * X1 + 0.1 * X2 + 0.2 * X3 ≤10非负约束：X1 ≥0, X2 ≥0, X3 ≥06 模型的spss求解与分析我们将根据上述数据和模型构建的线性规划模型来进行分析。
线性规划应用案例分析
通过整理，得到以下模型：
15
例6．（续）
目标函数：Max z = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33 约束条件： s.t. 0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13 ≥ 0 （原材料1不少于50%） -0.25x11+0.75x12 -0.25x13 ≤ 0 （原材料2不超过25%）
标准汽油
表 4
辛烷数
蒸汽压力(g/cm2)
库存量(L)
1
2 3 4
107.5
93.0 87.0 108.0
7.11×10-2
11.38 ×10-2 5.69×10-2 28.45 ×10-2 蒸汽压力(g/cm2)
380000
265200 408100 130100 产量需求
表 4 7
---
6
飞机汽油 辛烷数 1 2 不小于91 不小于100
0.75x21-0.25x22 -0.25x23 ≥ 0 （原材料1不少于25%）
-0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23 ≤ 0 （原材料2不超过50%）
x11+
x21 +
x31 ≤ 100
(供应量限制）
x12+
x13+
x22 +
x23 +
x32 ≤ 100
x33 ≤ 60
(供应量限制）
约束条件： 从第1个表中有：
x11≥0.5(x11+x12+x13)
x12≤0.25(x11+x12+x13)
x21≥0.25(x21+x22+x23) x22≤0.5(x21+x22+x23)
线性规划案例分析(1)
1. 在一个金属板加工车间内，要从尺寸为48分米⨯96分米的大块矩形金属板上切割下小块的金属板。
此车间接到订单要求生产8块大小为36分米⨯50分米的矩形金属板，13块大小为24分米⨯36分米的矩形金属板，以及15块大小为18分米⨯30分米的矩形金属板。
这些金属板都需要从现有的大金属板上切割下来。
为了生产出满足订单要求的金属板，最少可以使用多少块大金属板？ 列出该问题的线性规划模型。
Zmin =2. 某县级市正在研究引进公交系统以减轻市内自驾车引起的烟尘污染。
这项研究的目标是寻求满足运输所需要的最少公交车数。
在收集了必要的信息之后，市政工程师注意到，每天所需的最少公交车数随一天中的时间不同而变化，而且所需的最少公交车数在若干连续的4小时间隔内可以近似看成一个常数。
图1描述了工程师的发现，为了完成公交车所需的日常维护，每辆公交车一天只能连续运行8小时，问该市至少需要多少量公交车？列出该问题的线性规划模型。
0:004:008:0012:0016:0020:0024:00481248107124图13. 某银行正在制订一项总额可达6000万元的贷款策略，表1提供了各类贷款的相关数据。
表1贷款类型利率 坏账比率 个人 0.140 0.10 汽车0.130 0.07 住房0.120 0.03 农业0.125 0.05 商业 0.100 0.02其中，坏账不可收回且不产生利息收入。
为了与其它金融机构竞争，要求银行把至少40%的资金分配给农业和商业贷款。
为扶持当地的住房产业，住房贷款至少要等于个人、汽车和住房贷款总额的50%。
银行还有一项明确的政策，不允许坏账的总比例超过全部贷款的4%。
试寻求一种最佳贷款策略，使得银行的净收益达到最大。
建立此问题的线性规划模型。
4.某种产品在未来4个季度的需求量分别是300，400，450，250件，每件的价格在第1季度以20元开始，其随后的每个季度增加2元。
供应商在任一季度最多可以提供产品400件。
【精品】线性规划案例
1。
人力资源分配问题例1.某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员人数如表1所示。
设司机和乘务人员分别在各时间段开始时上班,并连续工作8小时，问该公交线路应怎样安排司机和乘务人员,既能满足工作需要,又使配备司机和乘务人员的人数最少？解：设x i表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员数，这样我们建立如下的数学模型。
目标函数：Min x1+x2+x3+x4+x5+x6约束条件:s.t.x1+x6≥60x1+x2≥70x2+x3≥60x3+x4≥50x4+x5≥20x5+x6≥30x1,x2,x3，x4，x5,x6≥0运用lingo求解：Objectivevalue:150。
0000ariableValueReducedCostX160。
000000。
000000X210.000000.000000X350。
000000。
000000X40.0000000.000000X530.000000.000000X60.0000000.000000例2．一家中型的百货商场，它对售货员的需求经过统计分析如下表所示。
为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作5天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。
问应该如何安排售货人员的作息,既满足工作需要，又使配备的售货人员的人数最少?解：设x i(i=1,2，…,7)表示星期一至日开始休息的人数，这样我们建立如下的数学模型。
目标函数：Min x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7约束条件：s.t.x1+x2+x3+x4+x5≥28x2+x3+x4+x5+x6≥15x3+x4+x5+x6+x7≥24x4+x5+x6+x7+x1≥25x5+x6+x7+x1+x2≥19x6+x7+x1+x2+x3≥31x7+x1+x2+x3+x4≥28x1,x2，x3，x4,x5,x6，x7≥0lingo求解Objectivevalue:36。
00000VariableValueReducedCostX112.000000。
线性规划应用案例
出售价格 （$/码）
可变成本 （$/码）
购买价格 （$/码）
1
16500
0.99
0.66
0.80
2
22000
0.86
0.55
0.70
3
62000
1.10
0.49
0.60
4
7500
1.24
0.51
0.70
5
62000
0.70
0.50
0.70
工厂有两种纺织机：帝备纺织机和常规纺织机。帝备纺织机更加多
样化，可以用于生产5种织物，常规纺织机只能生产3种织物。工厂共有 38台纺织机，包括8台帝备纺织机和30台常规纺织机。各种纺织机生产 各种织物的生产率如表2所示。从生产一种织物转换生产另一种织物的 时间可以忽略。
以及各自的广告成本。
广告媒体 电视 广播 报纸
每则广告的宣传 每则广告能达到
率
的新受众数
90
4000
25
2000
10
1000
成本（美元）
10000 3000 1000
宣传率被视作衡量广告对现有客户和潜在新客户的价值。它是图
像、消息反馈、可视程度、可闻形象等的函数。正如预料的那样，最贵
的电视广告有最大的宣传率，同时可达到最多的潜在新客户。 在这一点上，HJ顾问指出，关于每种媒体的宣传率和达到率的数据
的不同。（目标函数系数的取值范围在这两种模型中的含义 有什么不同）
案例3 Cinergy煤分配
Cinergy公司为位于印第安纳、肯塔基及俄亥俄州的客户发电并配 送电力。该公司每年运作其燃煤及燃气发电厂所需的燃料花费为7.25亿 —7.5亿美元。发电厂所需的燃料中，92%—95%为煤炭。Cinergy公司 有10家燃煤发电厂，5家坐落在内陆，另外5家坐落在俄亥俄河上，有的 工厂不止一套发电设备。作为全美第7大燃煤单位，Cinergy公司每年使 用2800万—2900万吨煤，平均每天花费约200万元。
线性规划应用案例
市场营销应用案例一：媒体选择在媒体选择中应用线性规划的目的在于帮助市场营销经理将固定的广告预算分配到各种广告媒体上，可能的媒体包括报纸、杂志、电台、电视和直接邮件。
在这些媒体中应用线性规划，目的是要使宣传范围、频率和质量最大化。
对于应用中的约束条件通常源于对公司政策、合同要求及媒体的可用性。
在下面的应用中，我们将介绍如何应用线性规划这一工具来建立模型进而解决媒体选择问题。
REL发展公司正在私人湖边开发一个环湖社区。
湖边地带和住宅的主要市场是距离开发区100英里以内的所有中上收入的家庭。
REL公司已经聘请BP&J 来设计宣传活动。
考虑到可能的广告媒体和要覆盖的市场，BP&J建议将第一个月的广告局限于5种媒体。
在第一个月末，BP&J将依据本月的结果再次评估它的广告策略。
BP&J已经收集到了关于受众数量、广告单价、各种媒体一定周期内可用的最大次数以及评定5种媒体各自宣传质量的数据。
质量评定是通过宣传质量单位来衡量的。
宣传质量单位是一种用于衡量在各个媒体中一次广告的相对价值的标准，它建立于BP&J在广告业中的经验，将众多因素考虑在内，如受众层次（年龄、收入和受众受教育的程度）、呈现的形象和广告的质量。
表4-1列出了收集到的这些信息。
表4-1 REL发展公司可选的广告媒体5.电台早8:00或晚5:00新闻3001003020（30秒）KNOP台REL发展公司提供给BP&J第一个月广告活动的预算是30000美元。
而且，REL公司对BP&J如何分配这些资金设置了如下限制：至少要使用10次电视广告，达到的受众至少要有50000人，并且电视广告的费用不得超过18000美元。
应当推荐何种广告媒体选择计划呢案例二：市场调查公司开展市场营销调查以了解消费者个性特点、态度以及偏好。
专门提供此种信息的市场营销调查公司，经常为客户机构开展实际调查。
市场营销调查公司提供的典型服务包括涉及计划、开展市场调查、分析收集数据、提供总结报告和对客户提出意见。
四个运筹学案例
1、年度配矿计划优化——线性规划j（单位：万吨）2 约束条件：包括三部分1）供给（资源）约束：x1 ≤70 x2≤7 x3≤17 x4≤23 x5≤3 x6≤9.5 x7≤1 x8≤15.4 x9≤ 2.7 x10≤7.6 x11≤13.5 x12≤2.7 x13≤1.2 x14≤7.22）品位约束3）非负约束： x j ≥ 0 j = 1,2,3, … ,143 目标函数：此题目要求“效益最佳”有一定的模糊性，由于配矿后的混合矿石将作为后面 工序的原料而产生利润，故在初始阶段，可将目标函数选作配矿总量的极大化。
三、计算结果及分析1 计算结果利用单纯形法可得出该问题的最优解为：x1 = 31.121 x2 = 7 x3 = 17 x4 = 23 x5 = 3 x6 = 9.5 x7 = 1 x8 = 15.4 x9 = 2.7 x10 = 7.6 x11 = 13.5 x12 = 2.7 x13 = 1.2 x14 = 7.2 最优值：Z* = 141.921（万吨）2 分析与讨论1）计算结果是否可被该公司接受？——回答是否定因为：①在最优解中，除第1个采矿点有富裕外，其余13个采矿点的出矿量全部参与了配矿。
而矿点1在配矿以后尚有富余量 70 －31.12 ＝38.879 （万吨），但矿点1的矿石品位仅为37.16%，属贫矿。
②该公司花费了大量人力、物力、财力后，在矿点1生产的贫矿中却有近39万吨矿石被闲置，而且在大量积压的同时，还会对环境造成破坏，作为该公司的负责人或公司决策者是难以接受这样的生产方案的。
———原因何在？出路何在？2）解决问题的思路经过分析后可知：在矿石品位T Fe 及出矿量都不可变更的情况下，只能把注意力集中在 混合矿石的品位T Fe 要求上。
——不难看出，降低T Fe 的值，可以使更多的低品位矿石参与配矿。
问题：T Fe 的值有可能降低吗？在降低T Fe 的值，使更多的贫矿入选的同时，会产生什么影响？——以上问题就属于运筹学的灵敏度分析（优化后分析）3）经调查，以及与现场操作人员、工程技术人员、管理人员学习、咨询，拟定了三个T Fe 的新值：44％ 、43％ 、42％3 变动参数之后再计算，结果如下表所示：∑==+++++++++++++14114131211109875432145.0502.04073.05692.05271.04022.0408.04834.05141.064996.04200.04700.0400.05125.03716.0j jx x x x x x x x x x x x x x x ∑==141max j jx zFe境的破坏，故不予以考虑。
运筹学线性规划案例
运筹学线性规划案例线性规划是运筹学中的一个重要分支，它主要研究如何利用数学模型来解决最优化问题。
在实际应用中，线性规划可以帮助企业做出最佳的决策，使资源得到最大化利用。
本文将通过一个实际案例来介绍线性规划的应用，以便读者更好地理解和掌握这一方法。
假设某公司生产两种产品A和B，它们分别需要机器加工和人工装配。
公司拥有的机器和人工资源分别为每周80小时和60人天。
产品A每单位需要机器加工2小时，人工装配3人天；产品B每单位需要机器加工3小时，人工装配2人天。
每单位产品A的利润为2000元，产品B的利润为3000元。
现在的问题是，如何安排生产计划，才能使得利润最大化呢？首先，我们可以将该问题建立成数学模型。
假设x1和x2分别表示生产产品A 和B的单位数，则该问题可以表示为：Max Z=2000x1+3000x2。
约束条件为：2x1+3x2≤80。
3x1+2x2≤60。
x1≥0，x2≥0。
接下来，我们可以通过线性规划的方法来求解最优解。
在这里，我们不妨使用单纯形法来进行求解。
首先，我们将约束条件转化成标准形式，得到：2x1+3x2+s1=80。
3x1+2x2+s2=60。
x1≥0，x2≥0。
然后，我们构造初始单纯形表，并进行单纯形法的迭代计算。
最终得到最优解为x1=20，x2=10，此时利润最大为80000元。
通过这个简单的案例，我们可以看到线性规划在实际中的应用。
通过建立数学模型和运用线性规划方法，我们可以很好地解决类似的最优化问题，使得资源得到最大化利用，从而帮助企业做出更加科学合理的决策。
总之，线性规划作为运筹学中的重要方法，具有广泛的应用前景。
通过不断地学习和实践，我们可以更好地掌握线性规划的原理和方法，为实际问题的解决提供更加科学的支持。
希望本文的案例能够帮助读者更好地理解线性规划的应用，从而在实际工作中能够更好地运用这一方法，取得更好的效果。
线性规划案例及应用
案例及应用：麦基油漆公司麦基油漆公司在新英格兰、太平洋西岸中部和中西部地区诸州经营4个工厂和5个仓库。
该公司生产的油漆，85%供国内外用户消费，其余的供应公司在纽约地区开设的15家商店，再由它们零售分配给600个独立的特许专营商。
最近几年，麦基公司的油漆占市场销售量的比例下降了6个百分点。
15家最好的零售商已转向经营其他公司的油漆。
店主们说售货盈利太少。
销售经理维恩在了解和认真研究了这种情况后，在一份报告中写道：“在产品质量和交货期方面，我们和多数竞争对手一样一直做得不错，或者说比他们还要好一些，但是在价格方面我们未能占上风。
在4种销售量最大的油漆中，我们有3种定价最高。
为了提高我们的市场占有率，我认为我们至少必须把各种油漆的定价削减5% ，能削减7% 则更好。
我还建议在各地多开设一些自己的零售商店，这将有助于补偿因削价造成的损失，同时能促使整个销售量达到应有的水平。
”T.A麦基是公司的常务付总经理，他的哥哥H.B麦基任总经理兼司库。
在研究维恩的报告时，T.A麦基说：“汉克，你关于推进降低成本的想法或许是对的。
我们的毛利已很微薄，而金融市场的行情你比我更清楚。
如果你认为我们无法以合适的条件获得资金在纽约市外增设联营零售店的话，我们就只能通过降低成本来弥补削价所造成的损失。
”麦基公司的4个工厂的设备都能生产公司销售的各种油漆。
因种种原因，各厂的平均直接单位成本并不一致。
有一个工厂的颜料粉碎机和调和装置已使用了20年之久，而其余3个厂的才分别使用了3年、5年和6年，因此，老厂的每工时劳动生产率和设备的运行与维修的劳动成本较高。
由于运输距离和费用的不同，各厂按离岸价格计算的原料（如颜料、化工产品和调和机械器具等，成本也不相同。
另外，各厂在工资方面也略有差异）。
麦基公司生产油漆的工艺简单地说包含三个过程。
首先，在两个旋转的大钢罐内把颜料彻底粉碎成糊状，使它们达到规定的颜色、浓度和均匀度。
其次，把粉碎后的颜料同选好的载色剂（通常用油或清漆）投入巨大的容器中，通过机械搅拌器进行调和。
lesson线性规划问题案例建模及讨论
进一步讨论： 5 1.将目标函数变为所用原材料“根数最少”，即minz x j 约束条件不变，利用LINGO软件计算， 用Lingo求解 最优解为：方案Ⅱ下40根，方案Ⅲ下30根，方案Ⅳ下20根。 2.约束条件的改进及完善 m i nz 0.1 x 2 0.2 x 3 0.3 x4 0.8 x5 x1 2 x 2 x4 100 在求解线性规划问题时，若约束条件为等式约束， 则容易产生无可行解。 2 x 3 2 x4 x5 100 因此在建模的时候，尽量避免使用等式约束。 3 x1 x 2 2 x 3 3 x5 100 对于此例，如果条件改为“要求制作 x j 0( j 1, ,5) 29套”钢筋架子， 目标函数仍然用“余料最少”，则相应的模型为：
方案Ⅳ用 x4 根，方案Ⅴ用 x5 根。
则线性规划模型为：
m i nz 0.1 x 2 0.2 x 3 0.3 x4 0.8 x5 x4 100 x1 2 x 2 2 x 3 2 x4 x5 100 3 x5 100 3 x1 x 2 2 x 3 x j 0( j 1, ,5)
min z x2 x3 x4 x5 x1 2 x2 x4 111 2 x 2 x x 111 4 5 3 3 x1 x2 2 x3 3 x5 111 x j 0且为整数( j 1, ,5)
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结果为： 方案Ⅰ下32根， 方案Ⅱ下12根，
用Lingo求解
无可行解
线性规划算法的应用案例
线性规划算法的应用案例线性规划是应用最广泛的数学优化方法之一，也是一种非常有效的运筹学技术。
它的基本思想是将问题建模成一组线性方程和线性不等式的组合，通过寻找最优解来实现目标最大化或最小化。
线性规划算法广泛应用于制造业、金融、物流和交通等领域，以下将介绍几个重要的应用案例。
1. 生产计划和调度线性规划算法可以用于制造业的生产计划和调度。
例如，在一家造纸厂中，有若干个可用的生产线、仓库和运输车辆，需要考虑原材料的成本、工人的人工费用、工厂的能耗费用以及运输的成本等因素，制定出最佳的生产计划和调度方案。
对于这类问题，可以将目标函数设置为生产成本最小化或产出效率最大化，约束条件包括原材料的库存量、生产线的容量和物流的时间窗口等。
通过使用线性规划算法，可以得到最佳的生产计划和调度方案，使得企业的生产效率和盈利能力得到提升。
2. 市场营销和广告投放线性规划算法可以帮助企业制定最佳的市场营销和广告投放方案。
例如，在一家快递公司中，需要制定如何调整价格策略、开拓市场份额、投放广告等方案，以达到最大化利润或最小化成本的目标。
对于这类问题，可以将目标函数设置为销售额最大化或成本最小化，约束条件包括市场份额的限制、广告投放预算的限制等。
通过使用线性规划算法，可以得到最佳的市场营销和广告投放方案，提高企业的营销效率和市场竞争力。
3. 交通运输和物流配送线性规划算法可以用于交通运输和物流配送领域。
例如，在一个物流中心中，需要规划配送路线和运输车辆的分配，以最小化交通堵塞和物流成本的影响。
对于这类问题，可以将目标函数设置为运输成本最小化或配送效率最大化，约束条件包括车辆数量的限制、货物配送时间的限制等。
通过使用线性规划算法，可以得到最佳的路线规划和车辆分配方案，提高企业的配送效率和物流运转效率。
4. 金融投资和风险管理线性规划算法可以用于金融投资和风险管理领域。
例如，在一个投资银行中，需要制定最佳的投资组合和股票交易策略，以最大化收益和降低风险。
线性规划应用案例
每家发电单位必须生产的电量总数及生产的发热率如下：
发电单位
生产电量（百万瓦 发热率（BTU/千瓦
时）
时）
迈阿密福特5号
550000
10500
迈阿密福特7号
500000
10200
别克杰德1号
650000
10100
东班德2号
750000
10000
兹蒙1号
1100000
10000
例如迈阿密福特5号单位必须生产550000千瓦时的电量，生产每千瓦 时电力需要10500BTU。
火烈鸟公司管理层接受了最大化各种媒体总宣传率作为这次广告运
动的目标。由于管理层很在意吸引新的客户，因此希望这次广告活动至 少能达到100000个新客户。为了平衡广告宣传活动以及充分利用广告媒 体，火烈鸟公司管理团队还采纳了以下方针：
1） 广播广告运用的次数至少是电视广告的2倍； 2） 电视广告不能运用超过20次；
2）计算每个发电单位生产每百万BTU（发电单位耗煤的衡量标准） 的平均花费。
3）计算每个发电单位使用每百万BTU（各单位使用煤炭中的能量效 率的衡量标准）的平均花费。
4）假设Cinergy公司以一个全买或全不买的买卖方式想美国煤炭销 售公司额外的80000吨煤炭，每吨30美元。Cinergy公司应该购买吗？
10.00 10.00 13.00 10.00
10.00
5.00 11.00
运输费用（美元/吨）
迈阿密福特7 号
10.00
别克杰德1 号
10.00
东班德2号 5.00
10.00
11.00
6.00
13.00
15.00
9.00
10.00
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a 11 a 12
A
a 21
am
1
a 22 am2
为系数矩阵。
a 1 n
a 2n
a mn
第12页
规范形式
min c x
Ax b
s .t .
x
0
第13页
标准形 式
min c x
Ax b
s
.t
.
x
0
第14页
概
念
可行解（或可行点）：满足所有约束条件的向量x (x1, x2, xn) 可行集（或可行域）：所有的可行解的全体
第17页
不等式变等 式
a i1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i
a i1 x 1 a i 2 x 2 a in x n s i b i , s i 0
或
a i1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i
松弛变量
a i1 x 1 a i 2 x 2 a in x n s i b i , s i 0
❖目标转换
求最大可以等价成求负的最小
maxcx mi ncx
❖ 约束转换 ❖ 实例
第16页
约束转换 ❖等式变不等式
ai1 x1 ai2 x2 ainxn bi
ai1 x1 ai2 x2 ainxn bi ai1 x1 ai2 x2 ainxn bi
❖ 不等式变等式
❖ 不等式变不等式
可控因素：每天生产三种产品的数量，分别设为 x1 , x2 , x3 目标：每天的生产利润最大
利润函数 3x1 5x2 4x3 受制条件：
每天原料的需求量不超过可用量： 原料P1 ： 2x1 3x2 1500 原料P2 ：2 x2 4x3 800 原料P3 ： 3 x1 2 x2 5 x3 2000
蕴含约束：数量非负xij 0;i 1,2, j 1,2,3,4
第9页
模 型
24
min
cij xij
i1 j1
xi1 xi2 xi3 xi4 ai ;i 1,2
s.t. x1j x2 j bj ; j 1,2,3,4
xij 0;i 1,2, j 1,2,3,4
第10页
一般形 式
注
释
x j ; j 1 , 2 ,..., n 为 待 定 的 决 策 变 量 ， c (c1 ,c 2 , ,c n ) 为 价 值 向 量 ， c j ; j 1 , 2 ,..., n 为 价 值 系 数 ， b ( b 1 , b 2 ,..., b m ) 为 右 端 向 量 ， 矩阵
蕴含约束：产量为非负数
x1 , x2 , x3 0
第5页
模 型
max 3 x1 5 x 2 4 x 3 2x1 3x2 1500
s.t. 2 x2 4 x3 800
3x1 2x2 5x3 2000 x1, x2 , x3 0
第6页
计算结 果
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
2675.000
VARIABLE VALUE
REDUCED COST
X1
375.000000
0.000000
X2
250.000000
0.000000
X3
75.000000
0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
1)
0.000000
1.050000
2)
0.000000
第3页
生产计划问题
某工厂用三种原料生产三种产品，已知的条件如表 2.1.1所示，试制订总利润最大的生产计划
单位产品所需原 产品Q1 产品
料数量（公斤）
Q2
原料P1
23
原料P2
02
原料P3
32
单位产品的利润 3
5
（千元）
产品 Q3
原料可用量 （公斤/日）
0 1500
4
800
5 2000
4
第4页
问题分 析
剩余变量
x 1 a i 2 x 2 a in x n b i
a i1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i
或
a i1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i
a i1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i
目标函数
minz c1 x1 c2 x2 cn xn
ai1 x1 ai2 x2 ainxn bi ;i 1,2,...,p
s.t.axij1
x1
0;
ai2 x2 ainxn j 1,2,...,q
bi ;i
p 1,...,m
xj无 限 制; j 1,2,...,q
约束条件
第11页
运筹学课 件
运
决
筹
胜
帷
线性规划
千
幄
里
之
之
中
Linear
外
Programming
第1页
线性规 划
线性规划问题 可行区域与基本可行解 单纯形算法 初始可行解 对偶理论 灵敏度分析 计算软件 案例分析
第2页
线性规划问 题
线性规划实例
生产计划问题 运输问题
线性规划模型
一般形式 规范形式 标准形式 形式转换 概念
第19页
例2.1.3 把问题转化为标准形
0.625000
3)
0.000000
0.300000
第7页
运 输问 题
一个制造厂要把若干单位的产品从两个仓库Ai;i 1,2 发送到零售点Bj;j 1,2,3,4，仓库 Ai 能供应的产品数量为 ai;i 1,2，零售点Bj 所需的产品的数量为bj;j 1,2,3,4。 假设供给总量和需求总量相等，且已知从仓库 Ai 运一个单 位产品往Bj 的运价为cij 。问应如何组织运输才能使总运费 最Ai 小？
D {x Ax b, x 0}
最优解：在可行域中目标函数值最大（或最小）的可行解，最优解的全体 称为最优解集合 O {x Dc x c y,y D }
最优值：最优解的目标函数值
v c x, x O
第15页
模型转换
❖变量转换
令 自 由 变 量 xjx j x j ， 其 中 x j,x j为 非 负 变 量
第8页
问题分析
可控因素：从仓库Ai 运往Bj 的产品数量 设为xij;i 1,2, j 1,2,3,4 目标：总运费最小
24
费用函数ci j xi j i1 j1
受控条件： 从仓库运出总量不超过可用总量，运入零售点的数量不低于需求量。 由于总供给量等于总需求量，所以都是等号。即
xi1 xi2 xi3 xi4 ai ;i 1,2 x1j x2j bj ; j 1,2,3,4