[耶鲁大学开放课程：博弈论].Problem.Set.2

耶鲁大学公开课：博弈论

习题集2（第4-5讲内容）

Ben Polak, Econ 159a/MGT522a.

由人人影视博弈论制作组Darrencui翻译

1.回顾罚球的案例：裁判判罚给参与人1一次点球的机会，参与人1即将执行判罚。她有三种射门路径：左路、中路、右路。参与人2是门将。他可以选择防守左路、中路或者右路。两名参与人的行为同时发出。收益（以达成目概率的十倍计算）如下：

2

(a). 对于每一个参与人来说，有哪个策略严格劣于另一个（纯）策略吗？

(b). 在对参与人1的策略存在何种信念下，参与人2会觉得策略m是最佳对策？在对参与人2的策略存在何种信念下，参与人1会觉得策略M是最佳对策？[提示：本题不需要绘制三维图像！]

(c). 假设参与人2站在参与人1的立场上思考后发现，无论参与人1存在何种信念，她都会选择改信念下的最佳对策。在这种情况下，参与人2是否应该选择策略m呢？

(d). 这个博弈是否存在（纯策略）纳什均衡？

2.回顾合伙人案例（Watson书中习题）：回顾一下我们在第四讲中提到的商业合伙人的案例。两名律师合伙开了一家律师事务所并且平分收益。每名律师都要各自打算一下自己要为事务所付出多少劳动。事务所的收入按照如下公式计算：，其中、分别表示律师1和律师2付出的劳动量。参数反映了两人的协同效果：一名律师付出越多的辛劳，合伙人就会获得越多的收益。假设并且。两名律师的收益分别是：

其中表示劳动的成本（注意：边际成本递增）。假设这家律师事务所没有其它的开销。在课堂上我们论证了，理性策略（即迭代剔除非最佳对策后剩余的策略）是

(a). 假设两名律师达成一致，决定两个人都付出一样多的劳动，并通过合同的形式规定了劳动量的指标。如果他们想要最大化净收益（即收益减去劳动成本），他们应该在合同中规定各自付出多大的劳动量呢？这与课堂上得出的理性策略的劳动量相比有什么不同？[提示：为了解题方便，可以暂时考虑b=0的特殊情况]

(b). 假设第(a)题中的合同只对合伙人2有约束力，即合伙人2需要按照要求中的付出等量的劳动，而合伙人1可以任意在[0,4]的劳动量中自由选择。合伙人1会选择付出多少劳动呢？这与

和有什么不同吗？请给出简明的解释。

(c). 回到最开始的博弈状态，假设现在，即合伙人的辛勤劳动起到了反协同效果。求出这种情况下的最佳对策函数，并绘制相应的函数图像，找出这种情况下对应的理性策略。把它与(a)中的指标作比较。[提示：并不需要重做(a)的全部过程]

3. 纳什均衡与迭代剔除（Gibbons教科书上的习题）：请看下面的这个博弈：

(a). 哪些策略不会被迭代剔除严格劣势策略的过程剔除？

(b). 找出此博弈的（纯策略）纳什均衡

(c). 请尽可能详尽地解释说明，通常情况下（并不要局限于此博弈），组成纳什均衡的策略是否无法被迭代剔除严格劣势策略的过程剔除？

4. 分钱计划（Gibbons教科书中习题）：参与人1和参与人2因为如何分配10美元的问题争执不休。每个参与人都说出了一个自己预期金额，该金额在0到10之间且允许出现小数。两人需要同时做出选择。参与人的收益就是她分得的钱款。这个博弈有两条规则。无论按哪条规则来分钱，如果出现的情况，每人获得自己的预期金额，剩余的钱款被销毁。

(a).第一条规则是，如果，那么每个参与人都一无所获并且钱会被销毁。这种情况下的（纯策略）纳什均衡是什么？

(b).第二条规则是，如果，并且每个人的预期金额是不同的，那么预期金额最小的参与人分得等值的钱款而剩余的钱款归另一个参与人。如果，并且，那么每个人都分得5美元。这种情况下的（纯策略）纳什均衡是什么？

(c).假如我们为前两条规则增加一个限制条件，即预期金额必须是整数。这是否会改变前两条规则下的（纯策略）纳什均衡？