数理方程：第10讲格林函数法
数学物理方法第十章 格林函数法
上式给出了泊松方程解的积分表达(biǎodá)，但由于G(M,M0)未知 且不同边值条件也需做进一步的分析。
共二十六页
§10 格林函数(háns
2、泊松方程(fāngchéng)边值问题的积分公式
(A)第一类边界条件 0
由
边界条件变为 u 1 g(M ) f (M )
基本(jīběn)公式变为
这里(zhèlǐ)G就相当于 格林第二公式中的v
(G u u G )d (Gu uG)d
n
n
[u(M ) (M M0 ) G(M , M 0 )h(M )]d
若能由此式化简整理得到u(M),则一定(yīdìng)是方程（1）的解
共二十六页
§10 格林函数(hán
共二十六页
§10 格林函数(hánsh
显然，为了解决这一矛盾，或者修改格林函数所满足的方程
G(M , M0 ) (M M0 )
使之与边界条件
G 相0 容，
n
这就要引入所谓的广义格林函数方程；或者修改边界条件使之
与格林函数所满足的方程相容，这里不再详细讨论。
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§10 格林函数(hánsh
(C)第三类边界条件 0, 0
积分变换法：无界区域(qūyù)的定解问题， 解一般为无穷积分
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§ 10.1
函数(hánshù)
§10 格林函数(háns
共二十六页
2、定义(dìngyì)
(x)
0
x0 x0
(x)dx 1
更普遍的定义为
§10 格林函数(hánsh
—— 函数
(hánshù)
共二十六页
§10 格林函数(háns
u(M )
数学物理方程——10 格林函数法续
3/ 2
sin θdθdϕ .
12
上午6时53分
数学物理方法
第六章
格林函数法
R u (r0 , θ 0 , ϕ 0 ) = 4π
∫ ∫ (R
0 2
2π
π π
R 2 − r02
2
+ r − 2 Rr0 cos γ
2 0
)
3/ 2
sin θdθdϕ .
其中 cos γ = cos θ cos θ 0 + sin θ sin θ 0 cos(ϕ − ϕ 0 ). θ 特别的，求温度在球的铅垂直径：0 = 0(直径的 上半部分)和θ 0 = π (下半部分)上的分布。 当θ 0 = 0 时，cos γ = cos θ , 故
在球面 Γ上，
∂G ∂G r − r0 cos γ 1 ⎡ |Γ = |r =R = − ⎢ ∂n ∂r 4π ⎢ r02 + r 2 − 2r0 r cos γ ⎣
(
)
3/ 2
⎤ − ⎥ 2 2 2 4 3/ 2 ⎥ r =R r r0 − 2 R r0 r cos γ + R ⎦
(
(rr
2 0
− R 2 r0 cos γ R
∫ ∫
0
2π
π
0
f ( R, θ , ϕ ) ×
R −r
2 2 0 2 0
(4)
其中 cos γ = cos θ cos θ 0 + sin θ sin θ 0 cos(ϕ − ϕ 0 ). 解 这个问题归结为如下定解问题
Δu (r , θ , ϕ ) = 0 (0 < r < R ),
u |r =R =
Γ
(1) (2)
格林函数方法
格林函数方法
1、格林函数
格林函数（Green's function）是指由著名数学家.格林（Green）提出的数学方法，它是一种可以求解各种微分方程的技术。
格林函数的定义是对于任意给定的初值问题，在区间上的解的和等于给定的数值13。
其用法主要有两种：一种是用于求解某些有定型的初值问题；另一种是求解某些微分方程的积分解。
格林函数的结果可以用来解决复杂的初值问题和理解复杂的微分方程以及系统的时间变化。
2、格林函数的原理
格林函数可以用来解决一类有特定初值条件的常微分方程组。
它的原理是基于一种叫做拉普拉斯变换（Laplacetransform）的数学变换理论，它是一种将微分方程组变换成求积分方程组的方法，从而可以使原本困难的初值问题变得容易解决，其在解决物理学中不变解中特别有用。
3、格林函数的计算
对于特定的初值条件，可以使用格林函数计算出拉普拉斯变换得到的积分方程的结果，从而计算得到解析解。
计算过程比较复杂，需要用到积分变换和methods。
总之，格林函数是一种可以求解复杂常微分方程的有效数学方法，它基于拉普拉斯变换的原理，对于特定的初值问题，运用格林函数，可以计算出相应的解析解。
数学物理方程第10讲 格林函数法 叶葱
M(x,y,z)
v u (u v u)dV (u n v n )ds
现在的问题是， V(x,y,z)不包含M0这一点！！！！ 所以运用公式时我们要挖去M0点（奇异点）
如何去除M0点？？
最简单的，以M0为中心， ɛ 为半径作一个球面， 球面为Ƭɛ,球体积为Kɛ,挖去这样一个球。
1 u(M 0 ) 4 1 rMM 0 n 1 u ( M ) )ds rMM 0 n
(u(M )
我们要求区域内一点M0处的u， 要知道这个函数在区域边界Ƭ上的值 以及在Ƭ上的法向导数的值
1 r 1 u )ds 4u 4 ( u ) 0 根据 (u n r n n
0, lim u u(M 0 )
1 u(M 0 ) 4 1 rMM 0 n 1 u ( M ) )ds rMM 0 n
(u(M )
调和函数的积分表达式
M0(x0,y0,z0)
M(x,y,z)
考虑球面Ƭɛ上，即M点在球面，此时r=ɛ
1 1 r r 1 1 n r r2 2
1 r ds 1 u n 2
uds r 1 u )ds ? (u n r n
2 2
第二格林公式
现在我们求解u（x，y，z）
u0
2
Dirichlet 问题
u
f ( x, y , z )
求出调和函数 的积分表达式
首先构造一个辅助函数
M0(x0,y0,z0) r
M(X,Y,Z)
1 1 v( x, y, z) 2 2 2 r ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 )
格林函数法解非齐次方程
格林函数法解非齐次方程格林函数法是一种常用的解非齐次方程的数学方法。
它基于格林函数的概念，通过求解格林函数来得到非齐次方程的解。
在本文中，我们将介绍格林函数法的基本原理和应用，并通过一个具体的例子来说明如何使用格林函数法解非齐次方程。
让我们来了解一下什么是格林函数。
在偏微分方程中，格林函数是一种特殊的函数，它可以用来表示在某个点上施加单位源时在整个空间内引起的响应。
格林函数可以看作是一个狄拉克函数的解，它满足齐次方程和边界条件，并且在单位源点上的值为1。
通过求解格林函数，我们可以得到非齐次方程的解。
接下来，我们来看一个具体的例子。
假设我们要解一个一维非齐次波动方程：∂^2u/∂t^2 - c^2 ∂^2u/∂x^2 = f(x,t)其中，u是待求解的函数，c是波速，f(x,t)是给定的源函数。
为了使用格林函数法，我们首先需要求解齐次方程的格林函数G(x,t;x',t')，即满足以下方程的函数：∂^2G/∂t^2 - c^2 ∂^2G/∂x^2 = 0边界条件为：G(x,0;x',t') = 0∂G/∂t(x,0;x',t') = 0G(0,t;x',t') = 0G(L,t;x',t') = 0其中，L是空间的长度。
通过求解该齐次方程，我们可以得到格林函数G(x,t;x',t')的表达式。
接下来，我们可以使用格林函数来求解非齐次方程。
假设非齐次方程的源函数为f(x,t)，我们可以将其表示为格林函数G(x,t;x',t')的积分形式：u(x,t) = ∫G(x,t;x',t')f(x',t')dx'dt'通过这个积分形式，我们可以将非齐次方程的解表示为格林函数和源函数的积分。
这样，我们就可以通过求解格林函数来得到非齐次方程的解。
让我们通过一个具体的例子来说明如何使用格林函数法解非齐次方程。
格林函数法 数学物理方程
格林函数法
若L 一个带平滑系数的线性微分算子，当求解形如()L u f =的微分方程时，若对于任意的向量y 都存在广义函数()G x,y ，使得
[]()()L G δ=x x,y x-y
（此处下标x 表示L 作用于()G x,y 时将其当做以x 为自变量的广义函数，而y 为参数） 若再令
()()()d u G f =⎰x x,y y y
将上式代入()L u f =则有
[]()()d ()()d ()()d ()L G f L G f f f δ⎡⎤===⎣⎦
⎰⎰⎰x x,y y y x,y y y x -y y y x 故此时()u x 是微分方程()L u f =的解。
采用上述方法求解微分方程的方法称为格林函数法，广义函数()G x,y 也称为格林函数。
数学物理方法知识体系
数学物理方法所要解决的问题：求解（偏）微分方程
本学期学过的求解方法：变量分离法、积分变换法、格林函数法
变量分离法涉及知识点：傅里叶级数、函数的正交系、贝塞尔函数（Chap.2~Chap.5） 积分变换法涉及知识点：傅里叶变换、拉普拉斯变换、广义函数（Chap.7~Chap.9） 格林函数法涉及知识点：格林函数（Chap.10）
例题数量统计。
《格林函数方法》课件
04
格林函数在工程问题中的应用
流体动力学问题
流体力学中的波动和散射问题
格林函数方法可以用于求解流体力学中的波动和散射问题， 例如声波在流体中的传播、波动在管道中的传播等。
流体动力学中的边界层问题
格林函数方法可以用于求解流体力学中的边界层问题，例如 流体在固体表面流动时的速度分布、温度分布等问题。
格林函数方法的优点
精确度高
格林函数方法基于严格的数学推导，能够精 确地描述物理系统的响应。
适用范围广
该方法不仅适用于线性系统，也适用于非线 性系统，具有较强的通用性。
易于实现
格林函数具有明确的物理意义，计算过程相 对简单，易于编程实现。
可扩展性强
通过引入更多的格林函数，可以处理更复杂 的物理问题。
弹性力学问题
总结词
格林函数在弹性力学问题中也有着重要的应用，它可以帮助我们求解弹性波的传播和散射问题。
详细描述
在弹性力学问题中，格林函数可以用于描述弹性波的传播和散射过程。通过求解格林函数，我们可以得到弹性波 在各种不同介质中的传播规律和散射特性，这对于地震探测、声波传播、振动控制等领域有着重要的应用价值。
格林函数方法的缺点
计算量大
对于大规模系统，需要计算的格林函数数量较多，计算量较大。
对初值敏感
某些情况下，初值的选择对计算结果影响较大，需要仔细选择。
对噪声敏感
在数据中存在噪声时，格林函数方法可能会受到影响，导致结果失真。
对边界条件敏感
边界条件的设定对格林函数的计算结果有较大影响，需要谨慎处理。
格林函数方法的未来发展前景
03
格林函数在物理问题中的应用
电磁场问题
总结词
格林函数在电磁场问题中有着广泛的应用，它可以帮助我们求解电磁场中的散射 和辐射问题。
格林函数
格林函数法求解稳定场问题1 格林函数法求解稳定场问题(Green ’s Function) Green ’s Function, 又名源函数，或影响函数，是数学物理中的一个重要概念。
从物理上看，一个数学物理方程表示一种特定的场和产生这种场的源之间关系：Heat Eq.：()2222 ,u a u f r t t∂-∇=∂v 表示温度场u 与热源(),f r t v之间关系 Poission ’s Eq.：()20u f r ρε∇=-=-v表示静电场u 与电荷分布()f r v之间的关系场可以由一个连续的体分布源、面分布源或线分布源产生，也可以由一个点源产生。
但是，最重要的是连续分布源所产生的场，可以由无限多个电源在同样空间所产生的场线性叠加得到。
例如，在有限体内连续分布电荷在无界区域中产生的电势：()''04r dV r r ρφπεΩ=-⎰r r r这就是把连续分布电荷体产生的电势用点电荷产生的电势叠加表示。
或者说，知道了一个点源的场，就可以通过叠加的方法算出任意源的场。
所以，研究点源及其所产生场之间的关系十分重要。
这里就引入Green ’s Functions 的概念。
Green ’s Functions ：代表一个点源所产生的场。
普遍而准确地说，格林函数是一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的场。
所以，我们需要在特定的边值问题中来讨论 Green ’s Functions.下面，我们先给出Green ’s Functions 的意义，再介绍如何在几个典型区域求出格林函数，并证明格林函数的对称性，最后用格林函数法求解泊松方程的边值问题。
实际上，只限于讨论泊松方程的第一类边值问题所对应的 Green ’s Functions 。
2 泊松方程的格林函数静电场中常遇到的泊松方程的边值问题：()()()()()201 f s u r r u r u r r n ρεαβϕ⎧∇=-⎪⎪⎨∂⎡⎤⎪+=⎢⎥⎪∂⎣⎦⎩vv v v v 这里讨论的是静电场()u r v， ()f r ρv 代表自由电荷密度。
格林函数法求解微分方程
格林函数法求解微分方程
格林函数法是一种求解微分方程的方法，它是根据古典力学而发明的概念，用估计和拟合许多非定常系统的性质。
格林函数法是一种分析非线性普朗克方程组的一种数值解法。
它的核心思想是将微分方程变为一个带有参数的集合。
这些参数由拟合一个已知的，特殊的曲线来决定，该曲线由格林函数提供。
格林函数法用于求解微分方程的程序是以下：首先确定能够描述所需问题的格林函数表达式；其次，确定格林函数的变量；然后，将格林函数代入微分方程，解出相关的变量；最后，将解得的变量带入格林函数，得到解得的微分方程。
格林函数法有很多优点：第一，格林函数法可以用来求解复杂的非线性微分方程；第二，格林函数法只需要一定的数学知识；第三，格林函数法可以显著缩短求解时间；第四，它允许有效地比较结果。
格林函数法是一种非常有用的微分方程求解方法，它可以很快地对任何较为复杂的微分方程，只要有正确的算法，就能快速地得出精确的解。
它也比较灵活且简洁，可以用于求解许多复杂的问题，比如物理运动方面的微分方程。
常微分方程格林函数
常微分方程格林函数格林函数（Green's function）是常微分方程理论中的一个重要概念。
格林函数是指线性常微分方程解的特定形式，用于将非齐次方程的解表示为齐次方程的解与一个特定的函数的线性组合。
格林函数的理论有广泛的应用，包括电磁学、量子力学、流体力学等领域。
我们考虑一个形如L[u]=f(某)的一维线性常微分方程，其中L是一个线性微分算子，u是未知函数，f(某)是已知函数。
我们想要找到方程的解u(某)。
为此，我们引入格林函数G(某,t)，满足以下两个条件：1. 对于每个固定的t，在某>t的区域内，格林函数满足L[G(某,t)]=δ(某-t)，其中δ(某-t)是Diracδ函数。
2.对于边界条件G(a,t)=G(b,t)=0，其中a和b是方程所涉及的区域的边界。
为了求解方程L[u]=f(某)，将解表示为u(某)=∫G(某,t)f(t)dt，其中积分是对整个区间进行的。
然后，我们可以利用格林函数的性质来计算系数函数G(某,t)与未知函数u(某)之间的关系，从而得到方程L[u]=f(某)的解u(某)。
对于常微分方程来说，我们可以通过求解格林函数来求解对应的非齐次方程。
具体的求解步骤如下：1.首先，求解齐次方程L[u]=0，并找到其解u_h(某)。
2.接下来，我们需要求解L[G(某,t)]=δ(某-t)的齐次方程，即L[G(某,t)]=0。
3.根据格林函数的边界条件，我们可以得到G(a,t)和G(b,t)的表达式，并利用这些条件分析求解。
4.最后，将方程的非齐次项f(某)代入到格林函数的表达式中，得到方程的解u(某)。
格林函数的概念和求解方法在物理和工程领域中广泛应用。
例如，在电磁学中，可以利用格林函数求解电荷分布所引起的电势分布；在量子力学中，格林函数用于描述定态和非定态系统中的粒子传播；在流体力学中，格林函数被用于描述流体的流动行为。
总之，格林函数是常微分方程理论中的重要工具，它可以将非齐次方程的解表示为齐次方程的解与一个特定的函数的线性组合。
格林函数法
第五章 格林函数法一 拉普拉斯方程的对称解与格林公式 1 拉普拉斯方程的对称解定义：如果在n 维空间的一个区域内，函数),...,,(21n x x x u 具有二阶连续偏导数，且满足n 维拉普拉斯方程:+∂∂=∆212x u u (2)2nxu∂∂+=0则称),...,,(21n x x x u 是n 维调和函数。
常见的是二维02222=∂∂+∂∂=∆yux u u 和三维的调和函数0222222=∂∂+∂∂+∂∂=∆zuy u x u u 。
二维拉普拉斯方程：02222=∂∂+∂∂=∆yux u u 的通解为： 211ln C rC u +=如果取π211=C ，02=C 就得到一个重要的特解ru 1ln 21π=，由于该解与点0M 的选择有关，所以常记作：MM rM M u u 01ln 21),(0π==三维拉普拉斯方程：0222222=∂∂+∂∂+∂∂=∆zu y u x u u 的通解为：211C rC u +=如果取π411=C ，02=C 就得到一个重要的特解ru π41=，由于该解与0M 点的选择有关，所以常记作：MM rM M u u 041),(0π==2格林公式及其应用(1)高斯公式设Ω是以分片光滑闭曲面Γ为边界的有界区域，函数),,(z y x P ，),,(z y x Q ，),,(z y x R 在闭区域上Γ+Ω=Ω_连续，其一阶偏导数在Ω内连续，则：⎰⎰⎰∂∂+∂∂+∂∂ΩdV zR y Q x P )(= dS z n R y n Q x n P ⎰⎰++Γ)],cos(),cos(),cos([。
其中dV 是体积元素，dS 是Γ上面积元素，n 是Γ上外法向量。
(2)第一格林公式设),,(z y x u ，),,(z y x v 的一阶偏导数在_Ω上连续，二阶偏导在Ω内连续，令x v u P ∂∂=，y v u Q ∂∂=，zvu R ∂∂=代入高斯公式可得：⎰⎰⎰⋅+⎰⎰⎰⎰⎰∂∂=∆ΩΩΓgradudV gradv dS vuu udV v 。
格林函数法
因此，无界空间的格林函数为
G (x ,x )
1
40( x x ') 2 (y y ') 2 ( z z ') 2
10.07.2020
21
计算电磁学基础
（2）上半空间的格林函数。 当Q＝1时，可得上半空间第一类边值问题的格林
函数。
以导体平面上任一点为坐标原点，设点电荷所在
点的坐标为(x’,y’,z’) ，场点坐标为(x,y,z)，上半空间格
• 这种方法称为电像法
10.07.2020
16
计算电磁学基础
• 例题
在半空间内求解稳定问题的格林函数
解：根据题目，定解问题为
G (x x ')(y y ')(z z')z , 0
G |z 0 0
这相当于在接地导体平面上方点 M(x’,y’,z’) 处放 置一个电量为 - 0 的点电荷，求电势。
2(x)10(x)
已知
S
(xx)
2G (x,x)1 0(xx)
令 G 0 S
已知
n S
令 G 1 ，
n S 0S
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20
计算电磁学基础
常见的几个格林函数：
（1）无界空间的格林函数。
在无界空间中x’点上放一个单位点电荷，激发的电
势为:
( x ) 1
1
40 r40( x x ') 2 ( y y ') 2 ( z z ') 2
• 用Green函数求解电磁场是场论中的重要方法之一。
– 当给定边界条件的Green函数比较容易求得时，利用Green函数 计算分布场源的解答常常是方便的。
– 借助于有关点电荷的较简单的边值问题解决较复杂的边值问题。
如何求格林函数
如何求格林函数格林函数是一种用于解决偏微分方程的数学工具。
它在物理学、工程学等领域中被广泛应用，用于描述空间中点源或边界条件下的场或势函数分布。
本文将以人类的视角，以一个具体的例子来介绍如何求解格林函数。
假设我们考虑一个二维空间中的热传导问题，即热量在空间中的传播。
假设有一个热源在坐标原点处，我们想求解在空间中任意点处的温度分布。
我们需要建立起偏微分方程描述这个问题。
热传导问题可以由热传导方程来描述，其形式为：∂u/∂t = α(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²)其中，u是温度分布函数，t是时间，α是热扩散系数。
接下来，我们引入格林函数G(x, y, x', y')，它是满足以下方程的函数：α(∂²G/∂x² + ∂²G/∂y²) = δ(x - x')δ(y - y')其中，δ(x)是狄拉克函数，表示单位脉冲。
注意，这里的格林函数是关于空间坐标的函数，与时间无关。
有了格林函数之后，我们可以通过以下公式来求解温度分布函数u(x, y, t)：u(x, y, t) = ∫∫G(x, y, x', y')f(x', y', t)dxdy其中，f(x, y, t)是边界条件或初始条件。
在实际应用中，求解格林函数常常采用分离变量法、变换法等数学方法。
这些方法能够将偏微分方程转化为一系列普通微分方程或积分方程，从而求解出格林函数。
通过求解格林函数，我们可以得到任意时刻、任意位置的温度分布。
这对于热传导问题的研究和工程应用具有重要意义。
格林函数的求解方法可以推广到其他偏微分方程问题中，因此具有广泛的应用价值。
总结起来，格林函数是一种用于求解偏微分方程的数学工具。
它通过满足特定的方程条件，描述了空间中点源或边界条件下的场或势函数分布。
通过求解格林函数，我们可以得到解析解，从而获得任意时刻、任意位置的场或势函数分布。
数学物理方程 格林函数法优秀课件
由格林第三公式，得
u (,,) ( u n u n )d s u d V(7 )
由定解问题（5）（6）的自由项和边值条件，可得
而 在 u dV un d s 中 ，f( xun,y在,z边)d界V 和 上的 值u 未 n知ds，因 此(须x,进y,一z)步 n处d理s.。
( 1 1 )
将（10）和（11）带入到（9），
G u d V ( u n u n ) d s B ( u n u n ) d s ( 9 )
得到
G u d V ( u n u n )d s u (x ,y ,z ) u n (x ,y ,z )
5.3 半空间及圆域上的Dirichlet问题
由前面的分析，我们可以看出，只要求出了给定区域
上的格林函数，就可以得到该区域泊松方程狄利克雷问题的解。对 一般区域，求格林函数并非易事。但对于某些特殊区域，可有一些 方法。
5.3.1 半空间上的狄利克雷问题
设 { ( x ,y ,z ) |z 0 } , { ( x ,y ,z ) |z 0 } 考虑定解问题
基本解做研究偏微分方程时起着重要的作用。这里首先介绍 拉普拉斯方程的基本解，并做一些特殊区域上由基本解生产格林函 数，由此给出相应区域上的拉普拉斯方程或泊松方程边值问题的解 的表达式。
5.2.1 基本解
设 P0(,,)R3 ，若做点 P0(,, ) 放置一单位正电荷，
则该电荷在空间产生的点位分布为（舍去介电常数 0 ）
uf(x,y,z),(x,y,z) (1)
u(x,y,0)(x,y),(x,y) R2 (2)
设 P0(,,)，则 P1(,,) 为 P 0 关于 的对称点。
G (P G , P 0)( P 0 ,,P (0 x ),,(yx ,,zy ), z )
格林函数法
格林函数法
格林函数（Green's Function）是描述物理系统状态之间相互转换和
其它类型的转换的一种函数，用来解决系统的边界值问题。
它可以通过物
理系统的差分方程来解释，也可以用来表征物理系统的任意状态之间的相
互作用。
格林函数可以概括地表示为：当系统处于某一特定状态时，其他
状态的影响，及它们之间的相互作用，以及系统当前状态的演变。
格林函数法可以分为两种：一种是无限空间的，这种方法是通过求解
无限空间的格林函数的衍生值来处理边界值问题；另一种是有限空间的，
这种方法是通过求解有限空间的格林函数的衍生值来处理边界值问题。
格
林函数法可以用来研究物理系统中多种形式的边界值问题，包括边界条件、初始条件、响应函数、激励函数、反应函数等。
此外，它还可以用来估计
未知量、估计系统参数、构造信号处理过程和对边界条件进行约束等。
格林函数方法
格林函数方法格林函数方法是一种数值计算方法，它通过求解常微分方程来解决实际问题，并有助于研究工程中的某些物理特性。
格林函数方法以量子力学和热力学的成功应用为基础，现在被广泛用于量子电子学、光学、流体力学、结构力学、能源学等领域，其有效的处理数十亿个基础状态的能力为科学研究提供了无穷的可能性。
格林函数方法的基本思想是将给定的微分方程转换为它的格林函数表示，以便对常微分方程的解或其他数学特性进行分析。
主要特点是，格林函数方法可以用来求解复杂的线性和非线性微分方程组，其中格林函数可以看作是方程组中各元素的描述，而不需要显式地求出它们的解。
这使得格林函数方法得以应用于复杂系统中实际问题的求解，从而在工程实践中节省了大量的时间和精力。
具体来说，格林函数方法一般分为三个步骤：首先，将常微分方程转换为额外的辅助方程和格林函数；其次，解辅助方程，以求出格林函数，并使用它来解决源微分方程；最后，通过使用互补性和通用性特性，求出格林函数方程组的解，并进行可视化分析。
格林函数方法在研究各种量子物理学问题方面表现异常出色，在计算能量谱、场动力学以及其他类似的量子物理问题方面，它具有极大的优势。
如果将格林函数方法与数值模拟技术相结合，就可以更好地描述复杂的物理系统的特性和行为，从而对更复杂的问题有所贡献。
在过去几十年中，随着计算机技术的发展，格林函数方法也取得了巨大的进步。
最近，研究者们发展出了新型的格林函数方法，如蒙特卡洛格林函数方法和一维格林函数方法，它们可以用于更复杂的微分方程组，能够更快地收敛，对于大型系统也更加有效。
此外，现在有一系列的软件可用来帮助研究人员编写格林函数方程组的程序，大大简化了编程的过程，也方便了研究人员使用格林函数方法发掘物理系统的特性。
综上所述，格林函数方法为研究者提供了解决复杂系统的实际问题的独特工具，同时也大大提高了数值计算的效率。
该方法在研究物理学问题方面取得了显著的进展，已经被广泛应用于各个领域；随着科技的进步，格林函数方法也在不断演进，发展出新的计算技术，为科学研究提供无穷的可能性。
数学物理方法第10章格林函数法
2
格林函数，又称为点源影响函数，是数学物理方程中的
一个重要概念，也是求解各类定解问题的另一种常用方法。
若已知点电荷(点 源)产生的场(边 界无限远,无初始 条件） 积分得到
Uq
任意带电体(任意 源)产生的场(边 界无限远，无初 始条件） 任意源在相同初 始和边界条件下 产生的场
19
1 4 r r0
R 0 r0 R2 4 0 r 2 r0 r0
1 R 4 r r0 r0
1 R2 4 r 2 r0 r0
20
G r0 ; r u r r0 dS0 G r0 ; r f r0 dV0 n T
u r f r u u r n
为了求解上面定解问题，我们必须定义一个与此定解问题相应的 格林函数 G(r , r0 ) 它满足如下定解问题，边值条件可以是第一、二、三类条件：
6
G(r , r0 ) (r r0 ) G [ G ] 0 n
13
对狄利克雷问题的格林函数应满足：
G r ; r0 r r0 G r;r 0 0
令 G G0 G1代入上述定解问题有
G0 G1 r r0 G0 G1 0
显然没有考虑边界的影响 （或者说对应着无界空间）
G r;r0 u r r0 dl0 G r;r0 f r0 dS0 n0 l S
1 G0 4 r r0
1 1 G0 ln c0 2 r r0
G1 0 G1 G0
21
格林函数
稳定问题的格林函数也可以利用静电场类比法得到。 点源问题可以看成接地的导体边界内在 r’ 处有一个电量为 - ε 0 的点电荷。 边界内部的电场由点电荷与导体中的感应电荷共同产生。 在一些情况下，导体中所有感应电荷的作用可以用一个设想的等效电荷来代替，该等效电荷 称为点电荷的电像。 这种方法称为电像法 发展和应用分类 格林函数在地震工程学中的应用 格林函数在地震工程学中是计算震源机制的函数。根据其发展和应用可以分为以下几类。
经验格林函数法
经验格林函数法是运用包含断层上一个点源动力学破裂的复杂效应、震源主场地速度结构的 不均匀性影响的小震记录来叠加合成较大地震的地震动时程。其优点是信度较高、较为可靠；可 是其缺点同样突出，即对小震记录的要求相当苛刻，必须具有与大震相同的震源机制，小震记录 的信噪比要高等等。如果在震源区找不到良好的小震记录，就不能用经验格林函数法。
理论格林函数法
理论格林函数的计算是一个相当复杂的过程，目前只有对水平成层介质推导的解析公式。计 算要借助计算机实现，且介质层数受到很大的限制，很少有多于两覆盖层的结果发表。
数值格林函数法
与实际地震动观测记录的比较表明，这种在时域合成的地震动模拟，对持时、峰值加速度、 短周期 （ 1 秒以下） 反应谱幅值的预测精度都可以在大约 -50% 范围内， 与经验模型的精度大体相当； 对峰值速度和周期大于 1 秒的反应谱幅值，预测的误差要比经验模型的小。
格林函数
姓名：折再兴
学号：201241802027
专业：物理学
电话：15764212022
格林函数
摘 要 ：从物理上看,一个数学物理方程是表示一种特定的"场"和产生这种场的"源"之间的关系.例如,热传 导方程表示温度场和热源之间的关系,泊松方程表示静电场和电荷分布的关系,等等.这样,当源被分解成很 多点源的叠加时,如果能设法知道点源产生的场,利用叠加原理,我们可以求出同样边界条件下任意源的场, 这种求解数学物理方程的方法就叫格林函数法.而点源产生的场就叫做格林函数。 关键字：点电荷，函数表示，微分算符。 正文： 格林函数法是数学物理方程中一种常用的方法。 格林函数是又称为源函数或影响函数，是英国人 G. 格林于 1828 年引入的。 一个处于 X ’点上的单位点电荷所激发的电势 Ψ （ x ）满足泊松方程：
格林函数法解非齐次方程
格林函数法解非齐次方程在数学和物理学领域，非齐次方程是相当常见的一种问题。
想要解决非齐次方程，我们可以使用一个非常有用的工具：格林函数。
本文将逐步介绍如何使用格林函数法来解非齐次方程。
一、什么是格林函数？格林函数是一种关于一个微分方程系统的解析函数。
它通常与线性微分方程系统有关。
对于线性微分方程，在某些情况下，可以通过使用格林函数来生成系统的一个特殊解。
格林函数对于我们解决非齐次方程非常有用，因为它们可以将非齐次方程转化为齐次方程，使得方程更容易求解。
二、如何使用格林函数法解非齐次方程？1. 根据问题所给出的微分方程列出其格林函数方程。
考虑一般的线性微分方程 L[u]=f(x)，其中 L 是微分算子，u 是未知函数，f 是已知函数。
我们可以写出其格林函数方程：L[G(x,y)]=δ(x-y)其中δ(x-y) 是 Dirac delta 函数，G(x,y) 是一个含有两个变量的函数，它是 L 的格林函数。
通常，我们可以将 L 描述成一个偏微分方程。
2. 求解格林函数方程。
对于某些简单的 L 和特殊的 f，格林函数可以很容易地求解。
对于更复杂的 L 和 f，我们可以使用变换技巧、逐项积分以及其他方法来求解格林函数方程。
我们通常会使用特定的边界条件来限制格林函数的值。
3. 使用格林函数解决非齐次方程。
假设我们要解决线性微分方程 L[u]=f(x)，其中 f(x) 是已知函数，我们可以先求解格林函数 G(x,y)，然后使用它来构建非齐次方程的特殊解：u(x)=∫G(x,y)f(y)dy这里的积分是针对 y 的。
注意，这个特殊解只能解决非齐次方程。
为了解决完整的问题，通常需要加上对应的齐次解。
三、结论格林函数法是解决非齐次方程的一种非常有用的工具。
它利用格林函数，将非齐次方程转化为齐次方程，使得问题更容易求解。
我们可以采用上述步骤进行求解。
虽然这个方法需要一些数学功底，但对于某些问题来说，它是解决方案的唯一方法。
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的解如果存在, 必可以表示为
uM0
f
u
v
1
n 4
1 n rM0M
dS
u
n
4
1 rM 0M
v dS
令 GM , M0 4
1 v, 则
rM0M
uM 0
u
GdS n
GM , M 0 称为拉普拉斯方程的格林函数.
如果能找到格林函数中的 v , 并且它在
上有一阶连续偏导数，
则狄利克雷问题 2u 0, u
u | f
格林公式中取 u 为上述调和函数, v 1 , 则
有解的必un要dS条件0.为所函以数紐曼满f内足问题(
u n
|)有f
fdS 0
事实上, 这也是紐曼内问题有解的充分条件.
2) 拉普拉斯方程解的唯一性问题
设 u1 , u2 是定解问题的两个解，则它们的
差 v u1 u2 必是原问题满足零边界条件的
(u2v v2u)dV
(u
v n
v
u n
)dS
可得
v u
(u
n
v
n
)dS
0
与
u
M
0
1
4
u
M
n
1 rM0M
1 rM0M
u M
n
dS
相加得
u M0
u
v
n
1
4
1 n rM0M
1
4
rM
0M
v
u n
dS
如果能找到调和函数 那么上式意味着
v
,
使得
v
|
4
1
rM0M
,
uM0
第四章 拉普拉斯方程的格林函数法
4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法
设 u ux, y, z 满足拉普拉斯方程
2u 2u 2u 0,
x2 y 2 z 2 描述稳恒状态下的物理过程。 通常表示成
2u 0
不存在初始条件.
拉普拉斯方程的解称为调和函数
边界条件:
1） 第一边值问题
u 0 ()
u | f .
故在 内必有 grad v 0 , 即
v v v 0 x y z
可得 v C ，其中C为常数.
对于狄利克雷问题, 由于 v | 0, 故 C 0
从而 v 0 .
结论 狄利克雷问题在 C1 C2
内的解是唯一确定的, 紐曼问题的解在相差一个常数下也 是唯一确定的.
3) 调和函数的积分表达式
dS
4u4来自u n0令 0 , 则 lim0 u uM0 ,
lim
0
4
u n
0
于是
uM0
1
4
u M
n
1 rM0M
1 rM0M
u M
n dS
4)平均值公式
设函数 uM 在某区域 内是调和函数,
M 0 是 内任一点, Ka 表示以 M 0 为中
心, a 为半径且完全落在 内的球面,
dV
u x
v x
u y
v y
u z
v z
dV
u
2v x 2
2v y 2
2v z 2
dV
gradu grad v dV u2vdV
所以
u2vdV
u
v n
dS
grad u grad v
dV
第一格林公式
u2vdV
u
v n
dS
grad u grad v
dV
第一格林公式
除点 M 0 外处处满足拉
普拉斯方程, 它称为三维拉普拉斯方程的
基本解.
为了利用格林公式，我们在 内挖去 M 0
的球形邻域 K， 是其球面。
1
在区域 K 内及其边界 是任意可导的。
上，
v
r
在第二格林公式中, 取 为u 调和函数, 并假
定它在 上有一阶连续偏导数, 而取 ,
在区v 域1
上应用公 式K 得
所谓调和函数的积分表达式, 是指用调和 函数及其在区域边界 上的法向导数沿 的积分来表达调和函数在 内任一点的值.
设 M 0 x0 , y0 , z0 是 内一固定点, 下面求调
和函数在这一点的值.
为此构造一个辅助函数
v1
1
r x x0 2 y y0 2 z z0 2
可以证明函数
1 r
交换 u, v 的位置, 有
v2udV
v
u n
dS
grad v grad u
dV
两式相减, 得
(u2v v2u)dV
(u v v u )dS n n
第二格林公式
1) 紐曼内问题有解的必要条件
设 u 是在以 为边界的区域 内的调和函
数, 在 上有一阶连续偏导数, 则在第二
则有
u M0
1
4 a2
Ka
udS
4.3 格林函数 调和函数的积分表达式
u
M
0
1
4
u M
n
1 rM0M
1 rM0M
u M
n dS
能不能直接提供狄利克雷问题和牛曼问
题的解 ？
为得到狄利克雷问题的解, 必须消去 这需要引入格林函数的概念.
un, |
设u, v为内的调和函数,并且在 上 有一阶连续偏导数, 利用第二格林公式
解。对于狄利克雷问题， v 满足
2v 0, v v | 0
对于紐曼问题, v 满足
2v 0,
v n
|
0
v
在第一格林公式中取 u v u1 u2 , 由 v 是
调和函数，可得
0
v
v n
dS
grad v grad v
dV
在两个边界条件下，都有
v
v
n
dS
0
所以
2
grad v dV 0.
P cos n,
x
Qcosn,
y
R cosn,
z dS
其中n 为 的外法向量。
高斯公式可简记为
adV
a
ndS
设 u ux, y, z,v vx, y, z 满足
u, v C1 C 2
令 Px, y, z u v Qx, y, z u v Rx, y, z u v
r
K
u2
1 r
1 r
2u
dV
u
1 r
n
1 r
u n
dS
在球面 上,
1/ r 1/ r 1 1
n r r2 2
因此
u
1/ r
r
dS
1
2
udS
1
2
u 4 2
4 u
同理可得
1 r
u n
dS
1
u n
dS
4
u n
我们可得
u
n
1 r
1 r
u n
x
y
z
则 P,Q, R C C1
将 P, Q, R 代入高斯公式，等式右端
u
v x
cosn,
x
v y
cosn,
y
v z
c
osn,
z
dS
u v dS n
等式左端
P x
Q y
R z
dV
u x
v x
u
2v x 2
dV
u v 2v
y y u y 2 dV
u z
v z
u
2v z 2
狄利克雷(Direchlet)问题
2)第二边值问题
u 0 ()
u f n
纽曼(Neumann)问题
4.2 格 林 公 式
高斯公式：设 是以光滑曲面 为边界的有界区
域，Px, y, z， Qx, y, z ,Rx, y, z 在闭域 上连
续,在 内有一阶连续偏导数，则
P x
Q y
R z
dV