分式的乘除法及乘方分享资料
分式的乘法与除法
分式的乘法与除法分式是数学中的重要概念之一，它在实际问题中具有广泛的应用。
分式的乘法与除法是分式运算中的两个基本操作，掌握了它们的规则与方法，对于解决实际问题以及进行进一步的数学推导都具有重要的意义。
本文将对分式的乘法与除法进行详细的介绍与讨论。
一、分式的乘法分式的乘法是指两个分式相乘的运算。
当我们需要计算两个分式的乘积时，可以按照以下的规则进行计算：规则一：将两个分式的分子相乘，即将第一个分式的分子乘以第二个分式的分子。
规则二：将两个分式的分母相乘，即将第一个分式的分母乘以第二个分式的分母。
例子一：计算分式 1/2 与 3/4 的乘积。
解：按照规则一，分子相乘得到 1 × 3 = 3；按照规则二，分母相乘得到 2 × 4 = 8。
因此，分式 1/2 与 3/4 的乘积为 3/8。
例子二：计算分式 a/b 与 c/d 的乘积。
解：按照规则一，分子相乘得到 ac；按照规则二，分母相乘得到bd。
因此，分式 a/b 与 c/d 的乘积为 ac/bd。
二、分式的除法分式的除法是指两个分式相除的运算。
当我们需要计算两个分式的除法时，可以按照以下的规则进行计算：规则一：将除号变为乘号，即将第一个分式的除号改为乘号。
规则二：将第二个分式的分子和分母对调，即分子变为分母，分母变为分子。
例子三：计算分式 1/2 除以 3/4。
解：按照规则一，将除号变为乘号，得到 1/2 × 4/3。
按照规则二，将第二个分式的分子和分母对调，得到 1/2 × 4/3 = 1/2 × 4/3。
此时，问题转化为分式的乘法，按照乘法的规则进行计算，得到 4/6。
但是在进行分式的运算时，我们一般会将结果化简为最简分式。
在这个例子中，我们可以将 4/6 化简为 2/3。
因此，分式 1/2 除以 3/4 的结果为 2/3。
总结：分式的乘法与除法是分式运算中的重要部分，掌握了它们的规则与方法，我们就能够灵活运用分式进行数学推导与解决实际问题。
(完整版)分式加减乘除运算
（三）分式 的运算知识点一：分式 的乘法 ---分式乘分式，用分子 的积作为积 的分子，分母 的积作为积 的分母23bc 2a b 4、 ；3a 16b4b 9a 24x y2b 2a 1、； 2、； 3、； 3y 2x 3 5a 2 2b5a 2 3c 22x 2 2x 2 4；x y x y ；x y x y3a 3b 25a b 396、； 7、5、a 2b 2x 2x x 3x210ab知识点二：分式 的乘方 ---要把分式 的分子、分母分别乘方 23222222 y 2x y 24a b a1 b 2a 2； 2、； 3、； 4、； 5、； 6、1、3y3x3zx y知识点四：分式 的除法 --分式除以分式，把除式 的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘2y 2 3x ab 22c 23a b 223x5y 220a y 4；3x512xy 5a28x y ；2、 3xy6xy16a y 321、；3、 ；4、 ；5、 4cd2x 2 y 2xyx 1 1 x x 2 4x 4 x 2；9、 x 4y 22x 2y2y x ；7、；8、6、x 2x xx 2xy y 2 2x 2xy2 2 x 1x 1知识点五：分式 的乘除混合运算322x 222322x 2 x x 2x x 21aab 2x y y 1、； 4、； 5、；2 x2b b4x2axay23232ab 3 6a 4 b 33c a b aba a ab 2；7、6、2b 22c db a1．下列各式计算结果是分式 的是( )． x 37x 2 n a m bn 3m m 2n(C) 3 5x x(A)(B)(D) 3y 24y32．下列计算中正确 的是()．－ 1(A)(－1)＝－ 1 (B)(－ 1)＝11 1 (C) 2a 33(D) ( a) ( a)72a 3a 43．下列各式计算正确 的是()．1 (A) m ÷n · m ＝m (B) m nmn(C) 1 m m 1m (D) n ÷m · m ＝n)．4．计算 ( a b )4 (a ) 5 的结果是 (ab a 1 a (A)－1(B)1(C) (D)aa b5．下列分式中，最简分式是( )．x 2xy y 2 2x y 2 2x 2y 221xy (A)(B)(C) (D) x yx y15 y 2x y2y 2 x x 9． ( ) ( )2 __________．3 10． [(x ) ]3 2__________．y 2 y知识点六：分式 的加减运算法则：①同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减②异分母分式相加减，先通分，变为同分母 的分式，再加减x 1 1； 2、a 2a 3c117102；1、； 3、； 4、22c d 3cd 222xxabc abc abcx yz x y xyza 2a 3a3 8 11 x y y2x y ；y x； 6、 ； 7、 y x x y 5、 x 1 x 1 x 2 2 21b 1 b 1 b 1 1 y 1 2xy 3 2m n 8、； 9、； 10、；2x y x 2 y 222x y2m ny 2x2m n4 x 2 y 2 x 2 y 211、 a 2；12、 xy2 axy知识点 7：分式 的混合运算 2x y x 2y 2 x 11x a 1 2 a ； ；2、x1 ；3、 1、2x y 2 x a 2a 3 a 9 a2 2y1 1x y 1 x 2 y 21 3 x 5 4、5、x 22x 4x 2知识点 8：化简求值 ---化简求值问题 的解题步骤一般都是先对式子进行化简，再将已知值代入求值 2x 2 x 2 2x 11x 2x 2 2x 2 1、先化简，再求值： (2x 3xx 9，其中 x 2．2、先化简，再求值： 1)÷x ，其中 x=．x321 x 1 x 3 5 )，其中 x ＝－ 4x 2x 3．4、先化简，再求值：2、先化简，再求值： 1，其中(x 2x 22x 4x 2a 1a 1a 1，其中aa 1 25、先化简，再求值：a 2 2a 1分式阶段水平测评（二）1．下列分式中是最简分式 的是（ ）.2x 4 x 1 1 x （D ）x 1（A ）（B ）（C ）22x 12xx 12．用科学记数法表示 0.000078，正确 的是（）.（A ）7.8×10-5 （B ）7.8×10-4 （C ）0.78×10-3（D ）0.78×10-41 3．下列计算：① ( 1)01；② ( 1) 1 1；③ 3a 35( x) ( x) 3 x 2．其；④3a 3中正确 的个数是（）．（A ）4 （B ）3（C ）1（ D ）0 1 1 1(R 1 R )，则表示 R 的公式是（ 4．已知公式1）．2R R 1 R 2R 2 RRR 2RR 2 R( R R )2（A ） R 1（C ） R 1） .（D ） R 1（） R 1B RR 2RR 2R 2RR 25．下列分式 的运算中，其中结果正确 的是（( a ) 231a 1 b2 a 3（A ）（ B ）abaa 2b 2a 3a 2 6a 91 （C ）a b（ D ）a b a 3a a ).a 24 a 2a6．化简 ( （A ）-4的结果是（）.a 2（B ） 4 （C ）2a(D)2a+4二、填空题（每小题 4分，计 16分）27．若 (a 1)0有意义，则 a ≠． 8．纳米是非常小 的长度单位， 1纳米 =0.00000000１米，那么用科学记数法表示 1纳米 =米．x y y 1 2 x y9．如果= ．，则 a b 2m dc10．若 a 、b 互为相反数， c 、d 互为倒数， m 的绝对值为 2，则 ．a b c三、解答题11．计算化简（每小题 5分，计 20分）x 2 4x 2(x 9)；（ 1） 2 x x 2；（2）2x 3x2 3a 4 1 a 1；（ 4） a（3） a 2 a 1.2a 4a 4 a 1 a 2 a 112．请将下面 的代数式尽可能化简，再选择一个你喜欢 的数（要合适哦！ ）代入求值：a 2 a 1 1.2a (a 1)2x 111 213.（10分）先化简，再求值,其中 x. 2x 2x 1 2x 2a x2bx 3 3 aba14．（10分）若关于 x 的方程的解是 x=2，其中 a b ≠ 0，求 的值． b快速练习21.①若 9x kxy 16y 2k =是一个完全平方式，则；2②若三项式 x 8xy m 是一个完全平方式，则 m = . 2.已知 a 2 ab 5,ab b 222,那么 a b 2．2x(x y 2 xy) y(x 2 x y) 2 34、 (3x 2y) (3x y)(3x y)5、211 2 23b c 27、 2m 26、 2a b 2ab c；2mnmn4 2228.已知 x y 3， xy 2，求 x 2 y ，x y的值。
人教版八年级上册分式的乘除
人教版八年级上册分式的乘除知识点包括：
1. 分式的乘法法则：分式相乘，分子乘分子作为新的分子，分母乘分母作为新的分母，能
约分先约分。
2. 分式的除法法则：分式相除，把除式分子分母颠倒，并与被除式相乘。
3. 分式的乘方法则：分式乘方，把分子、分母分别乘方。
4. 分式的混合运算：按运算顺序（先乘除后加减，有括号先算括号内），从左至右依次进
行。
5. 分式约分的意义：把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。
6. 分式约分的方法：先确定公因式，再约去公因式。
通常选择分子和分母中的最高次项的
公因式约分。
7. 最简分式的概念：分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式。
8. 分式通分的意义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式转化为同分母的分式，叫
做分式的通分。
9. 最小公倍数：两个或几个数公有的倍数叫做这几个数的最小公倍数。
10. 约分的依据：分式的基本性质。
11. 约分的方法：用分子和分母的公因式去除分子和分母，得到最简分式或一般分式的过程
叫做约分。
12. 通分的依据：分式的基本性质。
13. 通分的方法：根据两个分式的最小公倍数，将一个分式的分子与另一个分式的分母都乘
以适当的同一个非零整式，使两个分式的分母相同，这样的过程叫做通分。
分式运算分式的乘除运算
分式运算分式的乘除运算在数学中，分式是由两个整数表示的比值，写成a/b的形式，其中a称为分子，b称为分母。
在分式中，我们可以进行乘法和除法的运算，下面将介绍分式运算中的乘法和除法。
一、分式的乘法运算当我们计算两个分式的乘法时，需要将它们的分子和分母进行相乘。
例如，计算3/5乘以2/3：(3/5) × (2/3) = (3×2)/(5×3) = 6/15因此，3/5乘以2/3等于6/15。
我们可以使用这种方法计算任意两个分式的乘法。
例如，计算1/2乘以4/7：(1/2) × (4/7) = (1×4)/(2×7) = 4/14化简得到2/7。
二、分式的除法运算当我们计算两个分式的除法时，需要将第一个分式的分子和第二个分式的分母相乘，然后将第一个分式的分母和第二个分式的分子相乘。
例如，计算2/3除以3/4：(2/3) ÷ (3/4) = (2/3) × (4/3) = (2×4)/(3×3) = 8/9因此，2/3除以3/4等于8/9。
我们可以使用这种方法计算任意两个分式的除法。
例如，计算3/5除以1/4：(3/5) ÷ (1/4) = (3/5) × (4/1) = (3×4)/(5×1) = 12/5化简得到2 2/5。
总结：分式的乘法运算需要将两个分式的分子和分母相乘，得到的结果是新的分式。
分式的除法运算需要将第一个分式的分子和第二个分式的分母相乘，以及第一个分式的分母和第二个分式的分子相乘，得到的结果是新的分式。
通过以上的介绍，我们了解了分式运算中的乘法和除法。
在进行分式运算时，我们需要注意对分子和分母的运算，以及化简分式的方法，以得到最简形式的结果。
希望本文能对你有所帮助。
分式的乘法和除法知识点总结
分式的乘法和除法知识点总结分式是数学中常见的一种运算形式，分式的乘法和除法是我们在解决实际问题或进行数学运算时经常用到的操作。
本文将对分式的乘法和除法的知识点进行总结和讲解。
一、分式的乘法分式的乘法可以简单地理解为分数的乘法。
当两个分数相乘时，我们将分子乘以分子，分母乘以分母，得到的新的分式即为它们的乘积。
示例1：计算分式的乘法1/3 * 2/5 = (1 * 2) / (3 * 5) = 2/15在进行分式的乘法时，我们可以通过化简分数的方法，将结果以最简形式表示出来。
化简分数的关键在于找到分子和分母的最大公约数，并将其约去。
示例2：化简分数4/8 = (4/2) / (8/2) = 2/4 = 1/2二、分式的除法分式的除法可以类比为分数的除法。
当我们需要计算两个分数相除时，我们将除数取倒数（分子和分母调换位置），然后再和被除数相乘，得到的结果即为它们的商。
示例3：计算分式的除法2/3 ÷ 4/5 = (2/3) * (5/4) = (2 * 5) / (3 * 4) = 10/12和分式的乘法一样，我们也可以通过化简分数的方法，将结果以最简形式表示出来。
示例4：化简分数20/24 = (20/4) / (24/4) = 5/6三、混合运算的应用分式的乘法和除法经常在实际问题中应用，特别是在比例和单位换算中。
示例5：应用于比例小明把一件商品以原价的三分之一出售，假设商品原价为120元，他卖出的价格是多少？解答：原价的三分之一相当于1/3，所以小明卖出的价格为120 * 1/3 = 40元。
示例6：应用于单位换算假设一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，问它行驶100公里需要多长时间？解答：速度是每小时60公里，所以它行驶100公里需要的时间为100 / 60 = 5/3小时，即1小时40分钟。
四、小结分式的乘法和除法是数学中重要的基本运算，可以帮助我们解决实际问题和进行数学计算。
在进行分式的乘法和除法时，需要注意化简分数的方法，将结果以最简形式表示出来。
分式的乘除法掌握分式的乘除运算法则
分式的乘除法掌握分式的乘除运算法则分式是数学中的一种表示形式，它由分子和分母两部分组成。
分式的乘除法是对分式进行乘法和除法运算的方法。
正确掌握分式的乘除运算法则对于解决复杂的数学问题至关重要。
本文将介绍分式的乘除法，详细讲解分式的乘除运算法则。
一、分式乘法分式乘法是指两个分式相乘的运算。
当两个分式相乘时，我们将它们的分子相乘，分母相乘，然后将结果化简为最简分式。
具体操作步骤如下：1. 将两个分式相乘，将分子相乘得到新分子，将分母相乘得到新分母；2. 化简新分子和新分母，使其互质，得到最简分式。
例如，计算分式1/2和3/4的乘积。
解：1/2 * 3/4 = 1 * 3 / 2 * 4 = 3/8所以，1/2 * 3/4 = 3/8。
二、分式除法分式除法是指将一个分式除以另一个分式的运算。
当两个分式相除时，我们将被除数的分子乘以除数的分母，被除数的分母乘以除数的分子，然后将结果化简为最简分式。
具体操作步骤如下：1. 将被除数的分子乘以除数的分母，得到新分子；2. 将被除数的分母乘以除数的分子，得到新分母；3. 化简新分子和新分母，使其互质，得到最简分式。
例如，计算分式2/3除以4/5的结果。
解：2/3 ÷ 4/5 = 2/3 * 5/4 = 2 * 5 / 3 * 4 = 10/12化简得到最简分式：10/12 = 5/6所以，2/3 ÷ 4/5 = 5/6。
三、分式的乘除混合运算在实际应用中，我们经常会遇到分式的乘除混合运算。
在进行分式的乘除混合运算时，我们需要先进行分式的乘法，再进行分式的除法。
具体操作步骤如下：1. 先按照乘法法则计算所有的乘法运算；2. 再按照除法法则计算所有的除法运算；3. 若有多个乘法或除法运算，则按照从左到右的顺序进行计算。
例如，计算分式2/3 * 4/5 ÷ 1/2的结果。
解：2/3 * 4/5 ÷ 1/2 = (2/3 * 4/5) ÷ 1/2 = (2 * 4 / 3 * 5) ÷ 1/2 = 8/15 * 2/1 = 8/15 * 2 = 16/15所以，2/3 * 4/5 ÷ 1/2 = 16/15。
分式的乘除法
分式的乘除法在数学中，分式是一种数学表达式，由一个或多个数的比值构成。
分式的乘除法是指对于两个或多个分式进行相乘或相除的运算。
本文将详细介绍分式的乘法和除法运算规则，并提供相关示例。
一、分式的乘法运算规则分式的乘法运算规则如下：1. 分子与分子相乘，分母与分母相乘。
例如，对于分式 a/b 和 c/d 的乘法运算，结果为(a*c)/(b*d)。
示例1: 计算 (2/3) * (4/5) = (2*4)/(3*5) = 8/15。
示例2: 计算 (1/2) * (3/4) = (1*3)/(2*4) = 3/8。
2. 分式可以和整数进行相乘。
例如，对于分式 a/b 和整数 c 的乘法运算，结果为(a*c)/b。
示例3: 计算 (2/3) * 4 = (2*4)/3 = 8/3。
示例4: 计算 (3/4) * 2 = (3*2)/4 = 6/4 = 3/2。
二、分式的除法运算规则分式的除法运算规则如下：1. 分式的除法可以转化为分子乘以倒数的形式。
例如，对于分式 a/b 除以 c/d 的运算，结果为(a/b)*(d/c)。
示例5: 计算 (2/3) ÷ (4/5) = (2/3)*(5/4) = (2*5)/(3*4) = 10/12 = 5/6。
示例6: 计算 (1/2) ÷ (3/4) = (1/2)*(4/3) = (1*4)/(2*3) = 4/6 = 2/3。
2. 分式可以和整数进行相除。
例如，对于分式 a/b 除以整数 c 的运算，结果为(a/b)*(1/c)。
示例7: 计算 (2/3) ÷ 4 = (2/3)*(1/4) = (2*1)/(3*4) = 2/12 = 1/6。
示例8: 计算 (3/4) ÷ 2 = (3/4)*(1/2) = (3*1)/(4*2) = 3/8。
三、综合运算示例接下来，我们将综合运用分式的乘法和除法规则进行计算。
示例9: 计算 [(1/2) * (4/5)] ÷ [(3/4) * (1/3)]。
分式的乘除与乘方
分式的乘除与乘方分式是数学中的一个重要概念，它在乘除与乘方运算中有着特殊的应用。
本文将探讨分式在乘除与乘方中的运算规则，帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、分式的乘法分式的乘法可以用以下公式描述：若a/b和c/d是两个分式，其中a、b、c、d为实数，且b和d不为0，则它们的乘积为：(a/b) * (c/d) = (a * c) / (b * d)通过这个公式，我们可以看出分子相乘得到新分式的分子，分母相乘得到新分式的分母。
例如，我们计算1/2乘以3/4，可以按照上述公式进行计算：(1/2) * (3/4) = (1 * 3) / (2 * 4) = 3/8二、分式的除法分式的除法可以用以下公式描述：若a/b和c/d是两个分式，其中a、b、c、d为实数，且b和c不为0，则它们的除法为：(a/b) / (c/d) = (a * d) / (b * c)同样地，我们可以看出分式的分子乘以除数的倒数得到新分式的分子，分母乘以被除数的倒数得到新分式的分母。
举例来说，如果我们计算2/3除以4/5，可以按照上述公式进行计算：(2/3) / (4/5) = (2/3) * (5/4) = (2 * 5) / (3 * 4) = 10/12 = 5/6三、分式的乘方分式的乘方可以用以下公式描述：若a/b是一个分式，其中a和b为实数，且b不为0，则它的n次幂为：(a/b)^n = a^n / b^n通过这个公式，我们可以看出分式的分子和分母分别取n次幂得到新分式的分子和分母。
例如，我们计算(2/3)^2，可以按照上述公式进行计算：(2/3)^2 = (2^2) / (3^2) = 4/9总结：在分式的乘除与乘方运算中，我们可以运用特定的公式进行计算，以得到正确的结果。
分式乘法中，分子相乘得到新分式的分子，分母相乘得到新分式的分母；分式除法中，分子乘以除数的倒数得到新分式的分子，分母乘以被除数的倒数得到新分式的分母；分式乘方中，分子和分母分别取指数的幂得到新分式的分子和分母。
小学数学点知识归纳分式的乘除运算法则
小学数学点知识归纳分式的乘除运算法则小学数学点知识归纳：分式的乘除运算法则在数学中，分式的乘除运算是很常见的，它们常常出现在各种数学问题中。
理解分式的乘除运算法则对于小学生来说是非常重要的。
本文将介绍小学数学中分式的乘除运算法则，帮助学生更好地掌握这一知识点。
一、分式的乘法分式的乘法遵循以下法则：分子相乘得到新分子，分母相乘得到新分母。
即若有两个分式A和B，它们的乘积为：A ×B = （A的分子 × B的分子）/ （A的分母 × B的分母）示例1：计算分式 2/5 × 3/4 的结果。
根据分式乘法法则，我们可以进行如下计算：2/5 × 3/4 = （2 × 3）/（5 × 4）= 6/20所以，2/5 × 3/4 的结果是 6/20。
示例2：计算分式 1/3 × 4 的结果。
将整数转化成分式，分母为1即可。
计算如下：1/3 × 4 = （1 × 4）/（3 × 1）= 4/3所以，1/3 × 4 的结果是 4/3。
二、分式的除法分式的除法遵循以下法则：将除法转化为乘法，即将除号变为乘号，同时对于除数取其倒数。
即若有两个分式A和B，它们的除法可以表示为：A ÷B = A ×（1/B）示例3：计算分式 2/5 ÷ 3/4 的结果。
根据分式除法法则，我们可以进行如下计算：2/5 ÷ 3/4 = 2/5 ×（4/3）=（2 × 4）/（5 × 3）= 8/15所以，2/5 ÷ 3/4 的结果是 8/15。
示例4：计算分式 1/3 ÷ 4 的结果。
将整数转化成分式，分母为1即可。
计算如下：1/3 ÷ 4 = 1/3 ×（1/4）=（1 × 1）/（3 × 4）= 1/12所以，1/3 ÷ 4 的结果是 1/12。
分式的乘法和除法
分式的乘法和除法分式是数学中常见的一种表达形式，也是实际计算中经常会用到的一种运算方法。
分式的乘法和除法是分式运算中的两个基本操作，通过这两种操作，我们可以对分式进行乘以或除以其他数或分式，从而得到新的分式。
在本文中，我们将详细介绍分式的乘法和除法的定义、性质和计算规则。
一、分式的乘法分式的乘法是指将两个分式相乘，得到一个新的分式。
要进行分式的乘法，需要按照如下步骤进行：Step 1：将两个分式的分子相乘，得到新的分式的分子；Step 2：将两个分式的分母相乘，得到新的分式的分母；Step 3：将新的分式的分子和分母简化（约分），得到最简分式。
具体而言，假设有两个分式：a/b 和 c/d，它们的乘积可以表示为 (a * c) / (b * d)。
其中，a和c分别是第一个分式的分子和分母，b和d分别是第二个分式的分子和分母。
以下是一个具体的例子，用于帮助理解分式的乘法：例子：计算 (3/4) * (2/5)Step 1：计算分子：3 * 2 = 6Step 2：计算分母：4 * 5 = 20Step 3：将结果简化：6/20 = 3/10因此，(3/4) * (2/5) = 3/10。
二、分式的除法分式的除法是指将一个分式除以另一个分式，得到一个新的分式。
要进行分式的除法，需要按照如下步骤进行：Step 1：将被除数的分子与除数的分母相乘，得到新的分式的分子；Step 2：将被除数的分母与除数的分子相乘，得到新的分式的分母；Step 3：将新的分式的分子和分母简化（约分），得到最简分式。
具体而言，假设有两个分式：a/b 和 c/d，它们的除法可以表示为 (a * d) / (b * c)。
其中，a和c分别是被除数的分子和除数的分子，b和d分别是被除数的分母和除数的分母。
以下是一个具体的例子，用于帮助理解分式的除法：例子：计算 (3/4) / (2/5)Step 1：计算分子：3 * 5 = 15Step 2：计算分母：4 * 2 = 8Step 3：将结果简化：15/8因此，(3/4) / (2/5) = 15/8。
《分式的乘除法》知识点
《分式的乘除法》知识点《分式的乘除法》知识点在平平淡淡的学习中，很多人都经常追着老师们要知识点吧，知识点就是掌握某个问题/知识的学习要点。
哪些才是我们真正需要的知识点呢？下面是小编收集整理的《分式的乘除法》知识点，仅供参考，希望能够帮助到大家。
《分式的乘除法》知识点篇1一、分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子二、与分式有关的条件①分式有意义：分母不为0(B0)②分式无意义：分母为0(B0)③分式值为0：分子为0且分母不为0(A叫做分式，A为分子，B 为分母。
BA0)④分式值为正或大于0：分子分母同号⑤分式值为负或小于0：分子分母异号⑥分式值为1：分子分母值相等(A=B)⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数(A+B=0)三、分式的基本性质(1)分式的分子和分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：AACAAC，，其中A、B、C是整式，C0。
BBCBBC(2)分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即：AAAA BBBB注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。
四、分式的约分1.定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
2.步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。
3.两种情形：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。
4.最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
约分时。
分子分母公因式的确定方法：1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数.2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式.五、分式的通分1.定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
分式的乘法和除法
分式的乘除【要点梳理】要点一、分式的乘除法★分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表示为：，其中是整式，. ★分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：，其中是整式，. 要点诠释：（1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式.（2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘. （3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分. （4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式.【例1】计算：(1)；(2)【变式1.1】计算．（1）；（2）【例2】计算：(1)；(2)．【变式2.1】化简：．要点二、分式的乘方★分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：（为正整数，b ≠0）. a c ac b d bd⋅=a b c d 、、、0bd ≠a c a d ad b d b c bc÷=⋅=a b c d 、、、0bcd ≠422449158a b xx a b222441214a a a a a a -+--+-26283m x xm 22122x x x x+-+222324a b a bc cd-÷2222242222x y x y x xy y x xy -+÷+++nn n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭n要点诠释：（1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把写成（2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负.（3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分.（4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体.如. 【例3】计算（−2a b）3的结果是（ ） A ．−2a 3b3B ．−6a 3b3C ．−8a 3b3D ．8a 3b 3【变式3.1】下列计算正确的是（ ） A.B.C.D.【变式3.2】分式（2b3a 3）2的计算结果是（ ） A ．4b9a 3B ．4b 26a 6C ．4b 29a 5D ．4b 29a 6要点三：分式的乘、除、乘方的混合运算 ★分式的乘、除混合运算分式的乘、除混合运算可以先根据分式的除法法则将分式的除法运算化为分式的乘法运算，在进行约分，把运算结果化为最简分式或整式. ★分式的乘、除、乘方混合运算 分式的乘、除、乘方的混合运算的运算顺序与分数乘、除、乘方的混合运算的运算顺序相同，即先算乘方，再算乘除，同级运算按从左到右的顺序依次计算，有括号的先算括号里面的. 【例4】计算： （﹣2ab ﹣2c ﹣1）2÷×（）3；【变式4.1】计算：n n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭nn a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭()222222a b a b a b b b b ---⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭．【变式4.2】计算：(1)；(2)．典型例题题型一：分式的乘除法 【练习1.1】化简2x 2−1÷1x−1的结果是（ ）A ．2x+1B ．2xC ．2x−1D ．2（x +1）【练习1.2】老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ） A ．只有乙 B ．甲和丁 C ．乙和丙 D ．乙和丁【练习1.3】化简a+1a 2−a÷a+1a 2−2a+1的结果是（ ）A ．a+1aB ．a a−1C ．1a−1D ．a−1a【练习1.4】下列运算正确的是（ ） A ．（﹣a 3）2＝﹣a 6 B ．2a 2+3a 2＝6a 2C ．2a 2•a 3＝2a 6D ．(−b 22a )3=−b68a3【练习1.5】若△÷a 2−1a =1a−1，则“△”可能是（ ）A ．a+1aB ．aa−1C ．aa+1D ．a−1a222223()a b ab a ab b b a ⎛⎫-⎛⎫÷+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭332212b b a a ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222()m n n m m nm n mn m --+⎛⎫÷ ⎪-⎝⎭【练习1.6】设轮船在静水中速度为v ，该船在流水（速度为u ＜v ）中从上游A 驶往下游B ，再返回A ，所用时间为T ，假设u ＝0，即河流改为静水，该船从A 至B 再返回A ，所用时间为t ，则（ ） A ．T ＝t B ．T ＜t C ．T ＞tD ．不能确定T 、t 的大小关系 【练习1.7】化简4x 2x 2−2x+1÷2x x+3−a的结果为2xx−1，则a ＝（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【练习1.8】代数式x+2x−1÷x x−1有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x ≠1B ．x ≠1且x ≠0C ．x ≠﹣2且x ≠1D ．x ≠﹣2且x ≠0【练习1.9】下列计算正确的是（ ） A ．m 6•m 2＝m 12 B ．m 6÷m 2＝m 3 C ．（mn）5=m 5nD ．（m 2）3＝m 6【练习1.10】化简3x 2−1÷1x−1的结果是（ ）A ．3x−1B ．3(x−1)2C ．3x+1D ．3（x +1）【练习1.11】下列计算正确的是（ ） A ．2a 2+3a 3＝5a 5B ．a 6÷a 2＝a 3C ．(x y 2)3=x 3y6D ．（a ﹣3）﹣2＝a ﹣5【练习1.12】下列计算中正确的是（ ） A ．2a 2﹣3a 2＝a 2B ．（﹣a 2）3＝a 6C ．（2x +1）（2x ﹣1）＝2x 2﹣1D ．x 2y ÷1y =x 2y 2【练习1.13】如果代数式m 2+2m ＝1，那么m 2+4m+4m÷m+2m 2的值为 ．【练习1.14】如果m 3=n2≠0，那么代数式3m−n4m 2−n 2•（2m +n ）的值是 ． 【练习1.15】化简：a−b(a+b)2÷（a 2﹣b 2）＝ ．【练习1.16】化简2x+2y 5a 2b⋅10ab 2x 2−y 2的结果为 ．【练习1.17】a2=b3≠0，那么代数式5a−ba 2−4b 2•（a ﹣2b ）的值是 ．【练习1.18】化简：aa+2•a 2−4a 2= ．【练习1.19】老师设计了接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简过程如图所示接力中，自己负责的一步出现错误的同学是 ． 【练习1.20】计算：149−m 2÷1m 2−7m= ．【练习2.21】计算：x 2÷x ⋅1x． 【练习1.22】计算：（a 2b−cd 3）÷2a d3= ．【练习1.23】计算：6x 2y ⋅yx= ．【练习1.24】计算（−ab）2÷（﹣a 4b ）＝ ． 【练习1.25】若xx 2+2x÷M =1x 2−4，则M 应为 ． 【练习1.26】计算：m 2−6m+9m 2−4•m−23−m【练习1.27】（1）计算：（a ﹣b ）（a 2+ab +b 2）（2）利用所学知识以及（1）所得等式，化简代数式m 3−n 3m 2+mn+n 2÷m 2−n 2m 2+2mn+n 2．【练习1.28】计算：x 2+2x+1x 2−1÷x+1x 2−x【练习1.29】化简：xx 2−4x•（x 2﹣16） 【练习1.30】计算：a 2−9a 2+6a+9÷a−3a．【练习1.31】计算： （1）（−2ac ）3⋅c 46ab ．（2）2b−a a÷a 2−4b 25a 2．（3）x 2−9y 2x 2+2xy+y 2⋅x+y2x−6y．【练习1.32】计算：（1）(−ab )2⋅(−ab )3÷(−a 4b)； （2）2x−6x 2−4x+4÷3−xx 2+x−6⋅1x+3；。
分式的乘除运算讲解
分式的乘除运算讲解1.引言1.1 概述分式是数学中重要且常见的概念，在解决实际问题中具有广泛的应用。
分式的乘除运算是我们在求解分式相关问题时必须掌握和应用的基础运算。
分式的乘法运算是指将两个分式相乘，得到一个新的分式。
而分式的除法运算则是将一个分式除以另一个分式，同样得到一个新的分式。
在实际生活中，我们经常遇到需要对分式进行乘除运算的情况，比如在购物中打折优惠、计算比例和比率等等。
为了正确进行分式的乘除运算，我们需要先了解分式的定义与性质。
分式可以看作是分子和分母之间带有分数线的数学表达式。
在分式中，分子表示分数的分子部分，而分母表示分数的分母部分。
分式的分子和分母都可以是整数、变量、或两者的组合。
在乘法运算中，我们将两个分式相乘，只需将它们的分子相乘，分母相乘，得到的积即为乘法结果的分子与分母。
而在除法运算中，我们将一个分式除以另一个分式，需要将被除数的分子与除数的分母相乘，被除数的分母与除数的分子相乘，从而得到商的分子与分母。
通过了解分式乘除运算的步骤和性质，我们可以更加灵活地对分式进行运算，解决实际问题中的各种分式运算题目。
分式的乘除运算不仅是数学中重要的基础知识，也是我们日常生活中的实际运用。
掌握了分式的乘除运算，我们能够更好地理解和应用数学知识，提高数学解题的能力和运算的准确性。
综上所述，本文将详细介绍分式的乘除运算的定义、性质以及运算步骤，并总结其应用与拓展。
通过学习与掌握分式的乘除运算，我们可以在数学解题中更加得心应手，为日常生活中的计算和问题解决提供帮助。
1.2 文章结构本文将按照以下结构进行分析和讲解分式的乘除运算。
2. 正文2.1 分式的乘法运算2.1.1 定义与性质2.1.2 乘法运算的步骤2.2 分式的除法运算2.2.1 定义与性质2.2.2 除法运算的步骤3. 结论3.1 总结分式的乘除运算在本章节中，我们通过详细解释分式的乘法与除法运算，掌握了其定义、性质以及实际操作步骤。
专题5.2 分式的乘除法(学生版)
专题5.2 分式的乘除法1.掌握分式的乘除运算法则；2.能够进行分子、分母为多项式的分式乘除法运算。
知识点01 分式的乘法与除法【知识点】 1.分式的乘法乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：a c a cb d b d⋅⋅=⋅． 2.分式的除法除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘． 用式子表示为：a c a d a d b d b c b c⋅÷=⋅=⋅． 3.分式的乘方乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为：()(nn n a a n b b=为正整数，0)b ≠．【知识拓展1】分式乘法例1．（2024秋·贵州铜仁·八年级校考期中）计算88x x yx y y-⋅-的结果是（ ） A ．yxB ．x y -C ．x yD ．y x-【即学即练】1．（2022·江苏九年级专题练习）计算：2223849bc a a b c⋅=__．【知识拓展2】分式除法例2．（2022·西安益新中学八年级月考）2241a a a÷++的计算结果为（ ）A ．2aB ．2aC ．21a + D ．12a + 【即学即练】2．（2022·山东张店·九年级）化简22244242x x x xx x +++÷--的结果是（ ） A ．2x x + B ．1x C ．12x + D ．12x -【知识拓展3】分式乘除混合运算例3．（2022·成都市八年级月考）下列各分式运算结果正确的是（ ）①3254342510252a b c c c a b b ⋅=；②23233b c a bc a b a⋅=；③22111(3)131x x x x ÷-⋅=+-+；④21111x x xy x xy -+⋅÷=- A ．①③ B ．②④ C ．①② D ．③④【即学即练】3．（2022·山东八年级课时练习）（1）()362243105206230c c ab c a b a b÷-÷ （2）()22222x xy y x y xy x xy x -+--÷⋅（3）422222222a a b a ab b a ab b b a-+÷⋅-+ （4）22262(3)443x x x x x x --÷+⋅-+-【知识拓展4】分式的乘方例4．（2023春·江苏·八年级专题练习）下列计算正确的是（ ）A ．236222b b a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．2223924b b a a --⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ．33328327y y x x ⎛⎫= ⎪--⎝⎭ D ．222239x x x a x a ⎛⎫= ⎪--⎝⎭ 【即学即练】4．（2023春·江苏·八年级专题练习）计算3233b a --⎛⎫- ⎪⎝⎭的结果是（ ）A ．699b aB ．6927b a- C ．9627a b - D ．9627a b【知识拓展5】分式乘除的实际应用例5．（2022·浙江杭州·校考二模）你听说过著名的牛顿万有力定律吗？任何两个物体之间都有吸引力，如果设两个物体的质量分别为m 1，m 2，它们之间的距离是d ，那么它们之间的引力就是f ＝122gm m d （g 为常数），人在地面上所受的重力近似地等于地球对人的引力，此时d 就是地球的半径R ．天文学家测得地球的半径约占木星半径的445，地球的质量约占木星质量的1318，则站在地球上的人所受的地球重力约是他在木星表面上所受木星重力的（ ） A ．52倍B ．25倍C ．25倍D ．4倍【即学即练】例5．（2024秋·山东泰安·八年级统考期末）公园普通景观灯a 天耗电m 千瓦．改用LED 节能景观灯后，同样m 千瓦的电量可多用5天．普通景观灯每天的耗电量是LED 节能景观灯每天耗电量的（ ）倍． A ．maB ．5ma + C ．5a a + D ．5a a+【知识拓展7】科学计数法例7．（2024·广东清远·统考一模）新型冠状病毒呈球形或椭圆形，有包膜，直径大约是100nm ，属于第七种冠状病毒，将100nm -9(1nm=10m)用科学记数法表示为（ ） A ．9110m -⨯ B ．8110m -⨯C ．7110m -⨯D ．6110m -⨯【即学即练】7．（2024·河南洛阳·统考一模）用肥皂水吹泡泡，泡沫的厚度约为0.000326毫米，0.000326用科学记数法表示为（ ） A ．3.26×10﹣4 B ．326×10﹣3C ．0.326×10﹣3D ．3.26×10﹣3【知识拓展8】遮挡问题与错题分析例8．（2022·河北初三其他）已知22439x x x -÷--，这是一道分式化简题，因为一不小心一部分被墨水污染了，若只知道该题化简的结果为整式，则被墨水覆盖的部分不可能是（ ） A ．3x - B ．2x -C ．3x +D ．2x +【即学即练】8．（2022·成都市八年级期中）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简过程如图所示： 老师22211x x x x x-÷--→甲22211x x x x x --⋅-→乙22211x x x x x --⋅-→丙2(2)11x x x x x --⋅-→丁22x - 接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ） A ．只有乙 B ．甲和丁C ．乙和丙D ．乙和丁题组A 基础过关练1．（2023春·江苏·八年级专题练习）分式2249(3)2a a -⋅-的化简结果为（ ）A ．4(3)26a a +-B ．()22492(3)a a -- C ．263a a +- D ．22．（2022·山西太原·八年级校考期末）计算2125a -÷15a -的结果为（ ）A ．15a- B ．5﹣a C ．15a+ D ．5+a3．（2024·河南洛阳·统考一模）用肥皂水吹泡泡，泡沫的厚度约为0.000326毫米，0.000326用科学记数法表示为（ ） A ．3.26×10﹣4B ．326×10﹣3C ．0.326×10﹣3D ．3.26×10﹣34．（2022·河北保定·统考三模）下列式子运算结果为1x +的是（ ） A ．211x x x x -⋅+ B ．11x-C ．2211x x x +++D ．11x xx x +÷- 5．（2023秋·湖南岳阳·八年级校联考期末）计算21b a a a ⎛⎫÷⋅ ⎪⎝⎭的结果为（ ）A ．21bB ．24b aC ．2aD ．2b6．（2023春·江苏·八年级专题练习）化简211m m m m--÷的结果是( ) A ．mB ．1mC ．1m -D ．11m - 7．（2023秋·北京东城·八年级北京市第五中学分校校考期中）计算：32b a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭________．8．（2023·全国·九年级专题练习）计算322334x y y x ⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭______． 9．（2024春·辽宁锦州·八年级统考期中）计算：21211x x x +÷--＝________． 10．（2022·山东东营·八年级校考阶段练习）计算：22361025a a a -++÷6210a a -+·256a a a++=_______. 11．（2022·江苏九年级专题练习）计算：2223849bc a a b c⋅=__．12．（2023·全国·九年级专题练习）计算：2231x y y x xy ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅-÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭13．（2023·全国·九年级专题练习）计算：23423b a a a b b ⎛⎫⎛⎫-⋅÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．14．（2024秋·云南昆明·八年级校考阶段练习）计算：(1)1201(3)(3.14)2π-⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭(2)()323222a b a b ---÷(3)2333224263ab b b c d a c ⎛⎫⎛⎫-⋅÷ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭(4)22819369269a a a a a a a --+÷⋅++++题组B 能力提升练1．（2023春·八年级课时练习）22a b a b a ba b a b a b +++⎛⎫⎛⎫÷⨯⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭的结果是（ ） A ．a b a b-+B ．a b a b+-C ．2a b a b +⎛⎫ ⎪-⎝⎭D ．12．（2022·河北路南·）若x 为正整数，则计算211x xx x -⋅+的结果是（ ）A ．正整数B ．负整数C ．非负整数D ．非正整数3．（2024秋·湖南郴州·八年级校考阶段练习）计算222255a a ab b b⎛⎫-⎛⎫÷⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的结果为（ ）A ．31254ba B ．54abC ．31254ba D ．54ab-4．（2023春·江苏·八年级专题练习）计算22819369269a a a a a a a --+÷⋅++++的结果为（ ）A ．12B ．1C ．1-D ．2-5．（2023春·江苏·八年级专题练习）计算323a b a b b a⎛⎫÷-⋅ ⎪⎝⎭的结果是（ ）A ．3a -B ．323a bC ．323a b -D ．43ab -6．（2024春·四川内江·八年级校考阶段练习）计算：()()2322221a b a b --÷--=___________．（结果中只含有正整数指数幂）7．（2024·江苏苏州·校考二模）“沉睡数千年，一醒惊天下”．三星堆遗址在5号坑提取出仅1.4 cm 的牙雕制品，最细微处间隔不足50 μm （1μm ＝10－6 m ），用科学记数法表示50 μm 是_____m ． 8．（2022·全国八年级课时练习）计算：（1）222331015a b ab ab a b -⋅-；（2）()224242444416m m m m m m +-⋅-⋅-+-；（3）()23422312a b a b a ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅-⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．9．（2024秋·全国·八年级期末）化简并求值：322221111x x x x x x x -++⎛⎫⋅÷ ⎪--⎝⎭，其中3x =．10．（2024秋·全国·八年级期末）计算：2222222223256x xy y x y x yx xy y x xy y x y -+-+÷⋅++---11．（2024秋·重庆涪陵·八年级统考阶段练习）涪陵是举世闻名的“榨菜之乡”，今年榨菜更是喜获丰收．为了选育更好的榨菜品种，农民伯伯们开始自己建试验田，王大伯家试验田是边长为a 米()1a >的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，李大爷家试验田是边长为()1a -米的正方形，两块试验田的榨菜最后都分别收获了1000kg ．(1)哪家的榨菜品种单位面积产量高？(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？12．（2024秋·山东泰安·八年级校联考期中）“果园飘香”水果超市运来凤梨和西瓜这两种水果，已知凤梨重2(2)m kg -，西瓜重()24m kg -，其中m>2，售完后，两种水果都卖了540元．(1)请用含m 的代数式分别表示这两种水果的单价． (2)凤梨的单价是西瓜单价的多少倍？题组C 培优拔尖练1．（2022·河南南阳·八年级统考期末）已知23ab a b =+，65bc b c =+，34ac a c =+，则111a b c ++的值等于（ ） A ．116B ．113C ．115D ．6112．（2022·河南新野·八年级期中）若△÷2111a a a -=-，则“△”可能是（ ） A ．1a a - B ．11a - C ．1a a + D ．1a a+3．（2024年广东八年级数学应用知识展示试题）今年以来，猪肉价格波动较大，王阿姨和李阿姨在生活上精打细算，为了减少开支，王阿姨和李阿姨制定了不同的购肉策略，王阿姨每次买一样重量的肉，李阿姨每次买一样钱数的肉，某个周六、周日两位阿姨同时在同一个摊位上买肉，但这两天这个摊位的肉价不一样，则从这两次买肉的均价来看（ ）． A ．王阿姨更合适B ．李阿姨更合适C ．谁更合适与猪肉的变动价格有关D ．谁更合适与买猪肉的量有关4．（2024秋·湖南长沙·八年级统考期末）计算21224x x y y y x -⎛⎫⎛⎫-÷⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_______ ．5．（2024秋·八年级课时练习）小明同学不小心弄污了练习本的一道题，这道题是：“化简211m m ÷-⊗”，其中“⊗”处被弄污了，但他知道这道题的化简结果是1mm -，则“⊗”处的式子为____________． 6．（2024春·四川内江·八年级校考阶段练习）已知三个数x ，y ，z 满足13xy x y =+，14yz y z =+，15zx z x =+，则xyzxy yz zx++的值为_____．7．（2023春·八年级课时练习）（1）根据图形（1）的面积写出一个公式：___________图二是两块试验田，“丰收1号”小麦的试验田是边长a 米、b 米两个正方形，“丰收2号”小麦的试验田是边长为a 米、2b 米的长方形，（ab ）两块试验田的小麦都收获了500kg ．（2）哪种小麦的单位面积产量高？（请说明理由） （3）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？8．（2024春·江苏徐州·八年级统考阶段练习）在解决数学问题时，我们常常借助“转化”的思想化繁为简，化难为易．如在某些分式问题中，根据分式的结构特征，通过取倒数的方法可将复杂问题转化为简单问题，使问题迎刃而解． 例：已知2113a a =+，求221a a +的值．解：∵2113a a =+，∵213a a +=．∵213a a a+=，∵13a a +=，……(1)请继续完成上面的问题；(2)请仿照上述思想方法解决问题：已知2421x x x =-+，求2421x x x -+的值．9．（2024秋·八年级课时练习）【探究思考】 （1）探究一：观察分式1x x-的变形过程和结果，1111x x x x x x --=+=-． 填空：若x 为小于10的正整数，则当x =_______时，分式1x x-的值最大． （2）探究二：观察分式2221a a a +--的变形过程和结果，()()()2221431411221114311111a a a a a a a a a a a a a -+--+-++-===-++=++-----．模仿以上分式的变形过程和结果求出分式2211x x x +--的变形结果．【问题解决】（3）当21x -<≤时，求分式2212x x x ---的最小值．10．（2024秋·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）我们定义：如果一个代数式有最大值，就称之为“青一式”，对应的最大值称之为“青一值”．如：()222314x x x -++=--+是“青一式”，它的“青一值”为4．(1)以下代数式是“青一式”的有___________（请填序号）①25x + ②245x x -+- ③21x x +- ④()2122x -+ (2)如果实数21m n -=请判断代数式22241m n m -++-是否为“青一式”？如果是，请求出它的“青一值”，如果不是，请说明理由．(3)①已知225x y +=，求“青一式”xy 的“青一值”，并求出此时x 和y 满足何种条件？ ②求代数式2632x x x -+-在36x ≤≤范围内的“青一值”．11/ 11。
《分式的乘除》 讲义
《分式的乘除》讲义一、分式的基本概念在学习分式的乘除运算之前，我们先来回顾一下分式的基本概念。
形如\（＼frac{A}｛B}＼）（其中\（A\）、＼（B\）是整式，且\（B\）中含有字母）的式子叫做分式。
例如：＼（＼frac{x}｛y}＼），＼（＼frac{m^2 1}｛m ＋ 1}＼）都是分式。
需要注意的是，分式的分母\（B\）不能为\（0\），因为除数不能为\（0\）。
二、分式的乘法分式的乘法法则为：分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
用式子表示为：＼（＼frac{A}｛B} ＼times ＼frac{C}｛D} ＝＼frac{A ＼times C}｛B ＼times D}＼）例如：计算\（＼frac{2x}｛3y} ＼times ＼frac{5y}｛7x}＼）＼＼begin{align}＆＼frac{2x}｛3y} ＼times ＼frac{5y}｛7x}＼＼＝＆＼frac{2x ＼times 5y}｛3y ＼times 7x}＼＼＝＆＼frac{10xy}｛21xy}＼＼＝＆＼frac{10}｛21}＼end{align}＼在进行分式乘法运算时，我们通常需要先约分，再相乘。
约分可以简化计算过程，提高计算效率。
例如：计算\（＼frac{x^2 4}｛x ＋ 2} ＼times ＼frac{x}｛x 2}＼）＼＼begin{align}＆＼frac{x^2 4}｛x ＋ 2} ＼times ＼frac{x}｛x 2}＼＼＝＆＼frac{（x ＋ 2)（x 2)｝｛x ＋ 2} ＼times ＼frac{x}｛x 2}＼＼＝＆（x 2) ＼times ＼frac{x}｛x 2}＼＼＝＆x＼end{align}＼三、分式的除法分式的除法法则为：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
用式子表示为：＼（＼frac{A}｛B} ＼div ＼frac{C}｛D} ＝＼frac{A}｛B} ＼times ＼frac{D}｛C} ＝＼frac{A ＼times D}｛B ＼times C}＼）例如：计算\（＼frac{6x}｛7y} ＼div ＼frac{9x^2}｛14y^2}＼）＼＼begin{align}＆＼frac{6x}｛7y} ＼div ＼frac{9x^2}｛14y^2}＼＼＝＆＼frac{6x}｛7y} ＼times ＼frac{14y^2}｛9x^2}＼＼＝＆＼frac{6x ＼times 14y^2}｛7y ＼times 9x^2}＼＼＝＆＼frac{84xy^2}｛63x^2y}＼＼＝＆＼frac{4y}｛3x}＼end{align}＼四、分式乘除的混合运算在进行分式乘除的混合运算时，按照从左到右的顺序依次计算，有括号的先算括号里面的。
《分式的乘除法》资料：分式的乘除法则与解题步骤
分式的乘除法则分式乘除的解题步骤
分式乘除法则：
1、分式的乘法法则：
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
2、分式的除法法则：
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘;除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数。
3、分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。
分式乘除的解题步骤：
分式乘法：
(1)先确定积的符号：数出整个参与运算的式子中负号的个数，如果有偶数个负号，积为正;
如果有奇数个负号，积为负;
(2)计算分子与分子的积;
(3)计算分母与分母的积;
(4)把积中的分子，分母进行约分，化成最简分式或整式。
在解题时，这些步骤是连贯的。
分式除法：
要注意两个变化：
一是运算符号的变化，由原来的除法运算变成乘法运算;
二是除式的分子、分母位置的变化，由原来的分子变成乘法中的分母，原来的分母变成乘法中的分子。
同学们也可以这样来理解这条法则：
两个分式相除，用被除式的分子乘以除式的分母，作为商的分子，用被除式的分母乘以除式的分子，作为商的分母。
这样，就和分式的乘法法则在表述形式上相近了，就好记忆些。
基本步骤：
(1)先确定积的符号：数出整个参与运算的式子中负号的个数，如果有偶数个负号，积为正;
如果有奇数个负号，积为负;
(2)计算被除式的分子与除式的分母的积，作为商的分子;
(3)计算被除式的分母与除式的分子的积，，作为商的分母;
(4)把商中的分子，分母进行约分，化成最简分式或整式。
此法，有点十字相乘的思想。
就像比例的计算，内项之积为分子，外项之积为分母。
分式的乘除乘方运算
分式的乘除乘方运算一、基础知识点：1、约分把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做约分.约分的依据是分式的基本性质.假设分式的分子、分母是多项式，必须先把分子、分母分解因式，然后才能约去公因式. 分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式，又叫做既约分式.分式的运算结果一定要化为最简分式.2、分式的乘法 乘法法测：b a ·d c =bdac .3、分式的除法 除法法则：b a ÷d c =b a ·c d =bc ad4、分式的乘方求n 个相同分式的积的运算就是分式的乘方，用式子表示就是(ba )n. 分式的乘方，是把分子、分母各自乘方.用式子表示为：(b a )n =n nba (n 为正整数) 二、典型例题例1、以下分式a bc1215，a b b a --2)(3，)(222b a b a ++，b a b a +-22中最简分式的个数是( ).例2、计算：3234)1(xyy x • a a a a 2122)2(2+⋅-+x y xy 2263)3(÷ 41441)4(222--÷+--a a a a a例3、 假设432z y x ==,求222zy x zx yz xy ++++的值.例4、计算〔1〕3322）（c b a - 〔2〕43222)()()(xy x y y x -÷-⋅-〔3〕2332)3()2(c b a bc a -÷- 〔4〕232222)()()(xy xy xy x y y x -⋅+÷-)56(3)1(122ab cd c b a -÷-、计算： 〔2〕432643xy yx ÷-（3）〔xy －x 2〕÷x y xy - 〔4〕2223ba a ab -+÷b a ba -+3〔5〕3224)3()12(yx y x -÷- 〔6〕322223322322)2()2()34(c b ab a c b a b a ab c +-÷-⋅2、 如果32=b a ，且a ≠2，那么51-++-b a b a = .3、已知x 2+4y 2-4x+4y+5=0，求22442y xy x y x -+-·22y xy yx --÷(y y x 22+)2的值.1、 计算〔1〕)22(2222a b ab b a a b ab ab a -÷-÷+-- 〔2〕(2334b a )2·(223a b -)3·(a b 3-)2〔3〕(22932x x x --+)3·〔-x x --13〕22、先化简，再求值：(b a ab 22+)3÷2223)b a ab (-·[)(21b a -]2，其中a=-21,b=323、〔1〕先化简后求值：2(5)(1)5a a a a-+-÷〔a 2+a 〕，其中a=－13．〔2〕先化简，再求值：21x xx -+÷1x x +，其中4．已知m+1m =2，计算4221m m m++的值．5． 已知x －3y=0，求2222x yx x y+-+·〔x －y 〕的值．6． 给定下面一列分式：3x y ，－52x y ，73x y ，－94x y ，…〔其中x ≠0〕．〔1〕把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？ 〔2〕根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第7个分式．7．〔规律探究题〕计算：222200420032004200220042004+．8．〔结论开放题〕请你先化简，再选取一个使原式有意义而你又喜爱的数代入求值：322m m m m--÷211m m -+．9．〔阅读理解题〕请阅读以下解题过程并答复以下问题：计算：22644x x x --+÷〔x+3〕·263x x x +-+．解：22644x x x --+÷〔x+3〕·263x x x +-+=22644x x x--+·〔x 2+x －6〕① =22(3)(2)x x --·〔x+3〕〔x －2〕② =22182x x -- ③ 上述解题过程是否正确？如果解题过程有误，请给出正确解答．10.已知a 2+10a+25=－│b －3│，求代数式42()b a b -·32232a ab a b b +-÷222b a ab b -+的值．〔一〕、填空题1.把一个分式的分子与分母的 约去，叫做分式的约分.2.在分式xy xy y x 222+中，分子与分母的公因式是 .3.将以下分式约分：(1)258x x = (2)22357mn n m -= (3)22)()(a b b a --= 4.计算2223362c ab b c b a ÷= .5.计算42222a b a a ab ab a b a --÷+-= . 6.计算(-y x )2·(-32yx )3÷(-y x )4= .〔二〕、解答题7.计算以下各题(1)316412446222+⋅-+-÷+--x x x x x x x (2)y x y xy x -+-24422÷(4x 2-y 2)(3)4344516652222+-÷-++⋅-+-a a a a a a a a (4)22222x a bxx ax a ax -÷+-8.当x=-3时，求xx x xx x 43342323-++-的值9.已知x+y1=1,y+z 1=1,求证z+x 1=1.10、某厂每天能生产甲种零件a 个或乙种零件b 个，且a ∶b=2∶3.甲、乙两种零件各一个配成一套产品，30天内能生产的产品的最多套数为多少？1、已知abc =1，求a ab a b bc b cac c ++++++++111的值。
分式的乘除法及乘方
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a2 3a
a2
a 1 4a
4
a2 a2
1 4
;
２计算：
（1）
27a3b2
ab 6a2b3
；（2） 18a2b2
5xy
6b2a 5x2 y2
；
（3）
2a 3 c2
；（4）
3b 2a
2
；
（5）
2a2b
3
c
；
(６)
3y2
2
5x
两个分式相乘：
把分子相乘的积作为积的分子, 把分母相乘的积作为积的分母;
包权
人书友圈7.三端同步
2、分式运算的结果通常要化成最简分式或 整式.
做一做
１计算：
(1)、
(xy
x2 )
x y xy
(2)、
x2
x2 1 4x 4
(x 1)
x2 2x 1 x
❖例4. 计算: 你悟到了除法怎么
1.3xy2 6 y2 ; 做了吗？
x
2. a 1 a2 1 .
a2 4a 4 a2 4
分式的除法的解题步骤是：
2
2a
ab3
例1计算： (1) ( 5 )2 (2) ( 2a2b)3 .
3y
- c3
分式的乘除、乘方运算PPT课件
（2）
ab 4c
2
.
解：（1）a6cb22
4c 3a2b2
=
a b2 4c 6c2 3a2b2
=
2 9ac
.
（2）
ab 4c
2
ab 4c
ab 4c
ab 4c
ab 4c
a2b2 16c2
.
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
分式的乘除法、乘方运算
例2 计算：
（1） y2 6x2
1 3x2
；
（2） a2 6a 9 1 4a 4a2
分式的乘除、乘方混合运算
例4 计算：
（2）
2
x x2
4
16
x
x2 4 3x
2
x2 2x 8
x 33x 4 .
【解析】先算乘方，再将除法转换为乘法，把分子、分母分解 因式，再进行约分化简.
解：原式
x 2x 4 x 4x 4
3x 42 x 22
x 2x 4 x 33x 4
长方体容器的高为 V ，水高为 V m .
ab
ab n
（2）大拖拉机m天耕地a m2，小拖拉机n天耕地b hm2，大拖拉机的工作
效率是小拖拉机的工作效率的多少倍?
大拖拉机的工作效率是 a m2/天，小拖拉机的工作效率是 b m2/天，
m
n
大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的 a b倍.
mn
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
12 4a 2a 1
.
解：（1）6yx22
1 3x2
= y2 6x2
3x2 = xy2 . 12
（2） a2 1
6a 9 4a 4a2
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2021/3/29
1
一、什么叫约分？它的步骤是什么？
答：把一个分式的分子与分母的公因式约去， 叫做约分。
它的步骤是：1、把分式的分子、分母分解因式。 2、约去分子与分母的公因式。
二、什么叫最简分式？
答：分子与分母没有公因式的式子，叫 最简分式。
2021/3/29
2
约分练习
1
4 6
a b
n
a n bn.
分式的乘方运算
分式的乘方,把分子分母各自乘方
2021/3/29
13
练习(1) ( a 2b )3 •（ c ）2 • ( bc )4
c
（2）(a
b)3
aab2 (
b
2
a
)2
2a
ab 3
2021/3/29
14
例 1计算 (1： )(5)2 (2()22b a)3.
a2 ab
b
2
23a2b(x y)
9ab3(y x)
3
a2
a3 6a9
4
a2 4 a2 4a
4
2021/3/29
3
• 1.观察下列运算,你想到了什么?说
出来与同学们分享.
1 . 2 4 2 4
35
3 5
2 . 5 2 5 2
7 9 79
3 . 2 4 25 25
3 5 3 4 34
10
练习、计算:
（1）a2a26a2a9aa2234a （2）m216(m24m)
123m
2021/3/29
11
动脑筋
填空
探索ba分2式的 ba乘方ba的法则ba
2
2
;
b a3ba
ba
a b
ba
3
3
;
b a4ba
ba
ba
ba
ba
4
4
;
猜想
2021/3/29
a b
n
an bn
.
12
分式的乘方的法则
4 . 5 2 59 59
7 9 7 2 72 思考2021/3/：29 你能用字母表示上述运算法则吗4 ？
你能用语言描述分式的乘、除法法则吗？
b d bd a c ac
b d b c bc a c a d ad
两个分式相乘, • 两个分式相除,
把分子相乘的 把除式的分子
积作为积的分 分母颠倒位置
2 3
x2 x2
9 4
解：原式 x 2 (x 3)(x 3)
x 3 (x 2)(x 2)
x3. x2
1、对于式子中的多项式能分解因式的，应 先进行分解因式.
2、分式运算的结果通常要化成最简分式或 整式.
2021/3/29
8
做一做
１计算：
(1)、
(xy x2) x y xy
②求积的简分,其式，结确果定通积的常符要号；化成最
③约分。 简分式或整式.
2021/3/29
6
例2.
计算:
（1）
7b 6a2
•
8a3 7b2
分子和分母都是单项式的分式乘除法的解题步骤是：
①把分式除法运算变成分式乘法运算； ②求积的3/29
7
例3、计算：
x x
a1 a21; 4a4 a24
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19
２计算：
（1）
27a3b2
ab 6a2b3
；（2） 18a2b2 6b2a
5xy 5x2 y2
；
（3）
2a c2
3
；（4）
3b
2
2 a
；
（5）
2 a 2b 3
c
； (６)
3 y 2 2
5x
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20
两个分式相乘：
子,把分母相乘 后,再与被除式
的积作为积的 相乘.
分母; 2021/3/29
分式的乘除法法则 5
例1、计算：
你是否悟到了怎
(1)
6a 8y
2y2 3a 2
;
么去做分式的乘 法运算?
分式a乘法2运算,就1是运用 (2分)式的运算 法则和分式. a2 a 2a 分①子把和分分式的母除都基法是本运单项算性式变质的成分分,进式2式乘行乘除法约法的运分解算题化；步骤是：
(2)、 x2 x24x14(x1)x12 x2x
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9
•例4. 计算: 你悟到了除法怎么
1.3xy2 6 y2 ; 做了吗？
x
2.
a2
a 1 4a
4
a2 a2
1 4
.
分式的除法的解题步骤是：
①除法转化为乘法；
②把各分式中分子或分母里的多项式分解因式；
③约分得到积的分式
2021/3/29
把分子相乘的积作为积的分子, 把分母相乘的积作为积的分母;
两个分式相除：
把除式的分子分母颠倒位置后, 再与被除式相乘.
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21
2021/3/29
22
2a a2
a2
1 2a
;
（3）x 3 x2 3x； x3 4
（4）
x2x1
x2 x2
x
;
（5）x2 4y2 3x y2
xy x2y
;
（6） x 2 x2 9 x 3 x2 4
；
（7）a2a2bab
ba ab
;
（8） x 2 1 x 1;
y
y2
（9）a2a26a2a9aa2234a；（10）a2
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课堂小结
1、怎样进行分式的乘除法？
2、怎样进行分式的乘方？
小结：
1、分式的乘、除法的法则； 2、运用法则时注意符号的变化； 3、注意因式分解在分式乘除法中的运用； 4、分式乘除的结果要化为最简分式或整式。
2021/3/29
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今日当堂作业：
a2 1
（1）
a2
a2
2a;
（2）
3y
-c3
解(： 1()35y)2(532y2 )92y25.
(2(2 -)c2 3 b a)3((2 -2 3b )c 3 a 3)8-c 6b a 93-8c6 9 b a3.
2021/3/29
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练习：(1)判断下列各式正确与否：
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三、例题讲解与练习
(2)计算下列各题：