电场强度与电势的关系
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dWMN E dl Edl cos 0 / 2
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•电场线的方向指向电势降落的方向。
3、典型的电场线与等势面
q
q
匀强电 正点电荷的电场 负点电荷的电场 场 规定：两个相邻等势面的电势差相等，所以等势面较密 集的地方，场强较大；等势面较稀疏的地方，场强较小。
dV E en V gradV dn
3、应用
例题1，求均匀带电细圆环轴线上一点的场强。 解：细圆环轴线上一点的电势为
x
P
V
40 x R
2
q
2 1/ 2
r
R
式中R为圆环的半径。因而轴线上一 点的场强为
dq
2 3/ 2
V q E x＝－ － x x 40 x 2 R2
V p y2 2x2 Ex x 40 x 2 y 2 5 / 2
V p 3 xy Ey y 40 x 2 y 2 5 / 2
-q
+q
电偶极子的延长线上
y0
2p 1 Ex 40 x 3
Ey 0
电偶极子的中垂线上
x0
1/ 2
40 x R
2
qx
Ey 0
Ez 0
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例题2，求电偶极子电场中任一点的电势和电场强度。
Байду номын сангаас
解：设A与+q和-q均在xoy平面内，A到+q和-q 的距离分别为r+和r-，+q和-q单独存在时，A 点的电势为 q
y
A
V＋＝
4 0 r
2、切向和法向分量
•法向分量
V V+dV
•等势面上任一点场强的切向分量为零
en
dV En dl n
dV E dl n
电场中任一点的场强， 等于该点电势沿等势 面法线方向单位长度 的变化率的负值。
E
低电势 高电势
电势是标量，容易计算。 可以先计算电势，然后利 V V V 直角坐标系 E x i y j z k 用场强与电势的微分关系 计算电场强度，这样做的 V V 好处是可以避免直接用场 V Ex Ez Ey 强叠加原理计算电场强度 x z y www.niuwk.com 牛牛文库文档分享 的矢量运算的麻烦。
4、应用
测量电势分布，得到等势面，在根据等势面与电场 强度的关系，定性画出电场线。
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二、电场强度与电势的关系
1、沿任一方向的分量
静电场中两个靠得很近的等势面，电势分 别为V和V+ΔV，在等势面上取两点A和B， 间距为Δl，设与E之间的夹角为θ。
V V+△V △l B E II I A
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二、电偶极子在电场中的电势能和平衡位置
E p E p ＋E p－ qV qV V V －q r cos r0 cos 0 E p＝－p E －qr0 E cos
F+
r0
F-
-q
θ
在匀强电场中，电偶极子不受电场力的作用；电偶极子 没有平动。
2、在匀强电场中所受的力矩
M q r0 E sin pE sin
M p E
在力矩的作用下，电偶极子将在平面内转动。 www.niuwk.com 牛牛文库文档分享
3、在匀强电场中电偶极子的取向
V－＝
q
4 0 r－
由电势的叠加原理，A点的电势为 q 1 1 q r r V V＋ V＝ 40 r r 40 r r 对于电偶极子，l <<r，所以
2
q
r r
r0
r
q
VA VB E l E l cos
V E l＝ － l
－V＝El l
负号表明：沿着场强的方向，电势 由高到低；逆着场强的方向，电势 由低到高
V dV El＝ －lim dl l 0 l
电场中某一点的场强沿任一方向的分量，等于这一点的电 势沿该方向单位长度的电势变化率的负值，这就是电场强 www.niuwk.com 牛牛文库文档分享 度和电势之间的关系。
1 Ex 40 y 3 -q www.niuwk.com 牛牛文库文档分享 Ey 0
p
+q
8－9 静电场中的电偶极子
一、在外电场中电偶极子的力矩和取向
1、在匀强电场中的受力情况
F＝qE F＝ qE F＝F＋＋F－＝qE qE 0
+q
当θ=0时，电偶极子所受的力矩为 零，——稳定的平衡位置；
+q
F+
r0
F-
-q
θ
当θ=π时，电偶极子所受的力矩为零，——非稳定平衡位置。
只要电偶极子稍微偏离这个位置，它将在力矩的作用下，使 电偶极子电矩的方向与电场强度的方向一致。
4、在不均匀电场中的行为
这时作用在在+q和-q上的电场力F+和F-大小不相等，这 时电偶极子不仅要转动，而且还将要在空间平动。
8－8 电场场强与电势梯度
一、等势面
1、定义
电场中电势相等的点所构成的面，叫做等势 面。即V(x,y,z)=C，的空间曲面称为等势面。 等势面上的任一曲线叫做等势线。
1
2
3
n
dl
M
N
2、等势面的性质
•在等势面上移动电荷时，电场力不作功；
•除电场强度为零处外，电场线与等势面正交。
E
证明：因为将单位正电荷从等势面上M点移到N点， 电场力做功为零，而路径不为零，dl≠0
x
l cos r r l cos r r r V 电场强度为 2 40 r 引入电偶极子的偶极矩p=ql V p y2 2x2 Ex 2 2 5/ 2 x 4 p x p x 0 x y V 2 V p 3 xy 40 r r 40 x 2 y 2 3 / 2 Ey www.niuwk.com 牛牛文库文档分享 y 40 x 2 y 2 5 / 2 q
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•电场线的方向指向电势降落的方向。
3、典型的电场线与等势面
q
q
匀强电 正点电荷的电场 负点电荷的电场 场 规定：两个相邻等势面的电势差相等，所以等势面较密 集的地方，场强较大；等势面较稀疏的地方，场强较小。
dV E en V gradV dn
3、应用
例题1，求均匀带电细圆环轴线上一点的场强。 解：细圆环轴线上一点的电势为
x
P
V
40 x R
2
q
2 1/ 2
r
R
式中R为圆环的半径。因而轴线上一 点的场强为
dq
2 3/ 2
V q E x＝－ － x x 40 x 2 R2
V p y2 2x2 Ex x 40 x 2 y 2 5 / 2
V p 3 xy Ey y 40 x 2 y 2 5 / 2
-q
+q
电偶极子的延长线上
y0
2p 1 Ex 40 x 3
Ey 0
电偶极子的中垂线上
x0
1/ 2
40 x R
2
qx
Ey 0
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例题2，求电偶极子电场中任一点的电势和电场强度。
Байду номын сангаас
解：设A与+q和-q均在xoy平面内，A到+q和-q 的距离分别为r+和r-，+q和-q单独存在时，A 点的电势为 q
y
A
V＋＝
4 0 r
2、切向和法向分量
•法向分量
V V+dV
•等势面上任一点场强的切向分量为零
en
dV En dl n
dV E dl n
电场中任一点的场强， 等于该点电势沿等势 面法线方向单位长度 的变化率的负值。
E
低电势 高电势
电势是标量，容易计算。 可以先计算电势，然后利 V V V 直角坐标系 E x i y j z k 用场强与电势的微分关系 计算电场强度，这样做的 V V 好处是可以避免直接用场 V Ex Ez Ey 强叠加原理计算电场强度 x z y www.niuwk.com 牛牛文库文档分享 的矢量运算的麻烦。
4、应用
测量电势分布，得到等势面，在根据等势面与电场 强度的关系，定性画出电场线。
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二、电场强度与电势的关系
1、沿任一方向的分量
静电场中两个靠得很近的等势面，电势分 别为V和V+ΔV，在等势面上取两点A和B， 间距为Δl，设与E之间的夹角为θ。
V V+△V △l B E II I A
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二、电偶极子在电场中的电势能和平衡位置
E p E p ＋E p－ qV qV V V －q r cos r0 cos 0 E p＝－p E －qr0 E cos
F+
r0
F-
-q
θ
在匀强电场中，电偶极子不受电场力的作用；电偶极子 没有平动。
2、在匀强电场中所受的力矩
M q r0 E sin pE sin
M p E
在力矩的作用下，电偶极子将在平面内转动。 www.niuwk.com 牛牛文库文档分享
3、在匀强电场中电偶极子的取向
V－＝
q
4 0 r－
由电势的叠加原理，A点的电势为 q 1 1 q r r V V＋ V＝ 40 r r 40 r r 对于电偶极子，l <<r，所以
2
q
r r
r0
r
q
VA VB E l E l cos
V E l＝ － l
－V＝El l
负号表明：沿着场强的方向，电势 由高到低；逆着场强的方向，电势 由低到高
V dV El＝ －lim dl l 0 l
电场中某一点的场强沿任一方向的分量，等于这一点的电 势沿该方向单位长度的电势变化率的负值，这就是电场强 www.niuwk.com 牛牛文库文档分享 度和电势之间的关系。
1 Ex 40 y 3 -q www.niuwk.com 牛牛文库文档分享 Ey 0
p
+q
8－9 静电场中的电偶极子
一、在外电场中电偶极子的力矩和取向
1、在匀强电场中的受力情况
F＝qE F＝ qE F＝F＋＋F－＝qE qE 0
+q
当θ=0时，电偶极子所受的力矩为 零，——稳定的平衡位置；
+q
F+
r0
F-
-q
θ
当θ=π时，电偶极子所受的力矩为零，——非稳定平衡位置。
只要电偶极子稍微偏离这个位置，它将在力矩的作用下，使 电偶极子电矩的方向与电场强度的方向一致。
4、在不均匀电场中的行为
这时作用在在+q和-q上的电场力F+和F-大小不相等，这 时电偶极子不仅要转动，而且还将要在空间平动。
8－8 电场场强与电势梯度
一、等势面
1、定义
电场中电势相等的点所构成的面，叫做等势 面。即V(x,y,z)=C，的空间曲面称为等势面。 等势面上的任一曲线叫做等势线。
1
2
3
n
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M
N
2、等势面的性质
•在等势面上移动电荷时，电场力不作功；
•除电场强度为零处外，电场线与等势面正交。
E
证明：因为将单位正电荷从等势面上M点移到N点， 电场力做功为零，而路径不为零，dl≠0
x
l cos r r l cos r r r V 电场强度为 2 40 r 引入电偶极子的偶极矩p=ql V p y2 2x2 Ex 2 2 5/ 2 x 4 p x p x 0 x y V 2 V p 3 xy 40 r r 40 x 2 y 2 3 / 2 Ey www.niuwk.com 牛牛文库文档分享 y 40 x 2 y 2 5 / 2 q