2018共创考研数学二模拟1试卷与解答

{
}
cos( xy ) 在各个区域上取值均为正，因此有 I 2 < I1 < I 3 ．答案为Ｃ．
α2 (7) 【解】将 α1，，
α 3 作为 A 的列向量组。将其化为阶梯形即可确定 a 的取值．α1，， α 2 α 3 是三个
T T
不同特征值的特征向量，必线性无关． 由
1 a 4 −1 1 a 4 −1 −1 5 − 2a a − 8 −2 1 5 a → 0 a 2 10 1 0 a + 2 a 2 + 10 4a + 1
2018 年全国硕士研究生入学统一考试
数学二（模拟 1）
考生注意:本试卷共二十三题,满分 150 分,考试时间为 3 小时. 一、选择题： （1）～（8）小题,每小题 4 分,共 32 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合要求,将所选项前的字母填在题后的括号里. （1）设 lim f ( x) = A ，则下列结论正确的是（）.
a 4 −1 1 5 − 2a a −8 → 0 −1 0 0 ( a 4)(5 a ) ( a 3)( a 5) + − + −
可知 a ≠ 5 。仅(A)入选．答案为 D.
T
(8)【解】 因(A)中向量 α1 +α 3 是 A 的不同特征值的特征向量的线性组合，故不是 A 的特征向量。排除 (A)．(B)中 α 3 ， α1 的排列顺序与其对角阵中特征值的排列顺序不一致。排除(B)． (D)中 α 2 +α 3 不是 A 的特征向量。排除(D)。仅(C)入选．答案为 C. 二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分。请将答案写在答题纸指点位置上. (9)【解】因为
(9) (10)
ln 3 ln n n ln 2 lim 1 + e 2 + e 3 + + e n = _____ . n →∞
1
且 ϕ (0) = 1 ， 二元函数 设 ϕ (u ) 可导， = z
ϕ ( x + y ) e xy 满足
−1
∂z ∂z 则 ϕ (u ) = __________ . + = 0， ∂x ∂y
n n 1 (e x − 1) + nx n −1 ln(1 + x)e x ~ (n + 1) x n ， 1+ x f ( x) n(n + 1) x n −1 n(n + 1) x n −1 = a 40, = n 4 ，答案 B． lim lim = = lim = 1 ，故 x →0 g ( x ) x →0 a 3 a cos x( 1 + sin 3 x − 1) x →0 x 2 3 3 2 (3) 【解法一】 交点处 x 坐标满足方程 x − 3 x + k = 令 f ( x) = x − 3 x + k , f ′( x) = 3( x − 1), f ( x) 在 0， (−∞, −1] 与 [1, +∞) 上单增，在 [−1,1] 上单减，且 lim f ( x) = −∞ ，
1 n
ln k < 1, k = 2,3, , n ，所以有 k
∫
x
0
。 te − t f (t ) d t 在 (−∞, +∞) 内（ ）
2
（B）必为有界的偶函数 （D）为偶函数但未必有界
x →0 y →0
（5）已知函数 z = f ( x, y ) 在点 (0, 0) 某领域内有定义，且 f (0, 0) = 0 ， lim ） ． 点 (0, 0) 处（ （A）连续但偏导数不存在 （C）连续且偏导数存在但不可微 (6) 设 I1 =
xn
− 1) 是 f ( x) 的一个原函数，= g ( x) a ∫
sin x
0
( 1 + t 3 − 1) d t ，若 x → 0 时 f ( x) 与
． g ( x) 是等价无穷小，则（ ） (B) (A) = a 24, = n 3 = a 40, = n 4 = a 24, = n 4 = a 40, = n 3 (D) (C) 3 y x − x 与直线 = y 2 x − k 仅有一个交点，则 k 的取值范围是（ ） （3） 设曲线 = 。 （ B） k ≤ 2 （C） k ≥ 1 （D） k < 1 （A） k > 2 （4） 设 f ( x) 在 (−∞, +∞) 内是有界连续的奇函数,则 F ( x) = （A）必为有界的奇函数 （C）为奇函数但未必有界
∫
1
−1
dx ∫ e y dy =
x
1
(14) 已知三元二次型
x T Ax = x12 + ax2 2 + x32 + 2 x1 x2 + 2ax1 x3 + 2 x2 x3 的秩为 2，则其规范形为 _____ ．
三、解答题：15～23 小题，共 94 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (15) (本小题满分 10 分) 设函数 f ( x) 是周期为 4 的周期函数， f ( x) 在 x = 0 处可导 ，且
x
π
(18)
(本小题满分 10 分) 确定常数 A 的最小值及常数 B 的最大值,使得不等式
B = D {( x, y ) | x > 0, y > 0} 内成立. ≤ ln( x 2 + y 2 ) ≤ A( x 2 + y 2 ) 在区域 xy
(19) (本小题满分 10 分) 设 f ( x) 在 [0, a ] 上二阶可导， f (0) = 0 ，且 f ′( x) 在 (0, a ) 内单调减少，证明
D
1 4 程 y′′ = 6 y .求该曲线在相应于 x ∈ [−1,1] 上的点 （, x） y 处曲率.
(21) (本小题满分 11 分)
设曲线 y = （） y x 在 (1， ) 点与直线 4 x − 4 y − 3 = 0 相切，且 y = （） y x 满足方
(22)
(本小题满分 11 分)
(23)
1 2 1 (本小题满分 11 分 ) 已知矩阵 A = 0 2 1与 B = −1 a 3
（I）求常数 a 的值； （II）求可逆阵 P , Q 使 PAQ = B
数学二（模拟 1）参考答案
一、选择题： （1）～（8）小题,每小题 4 分,共 32 分. （1） 【解】由极限的保号性知答案应该为 B．
2
f ( x, y ) = 1 ，则 f ( x, y ) 在 x2 + y 2
（B）偏导数存在但不连续 （D）可微
x + y ≤1
= ∫∫ cos( xy)dσ , I 2
2
x + y ≤1
= ∫∫ cos( xy)dσ , I3
max{ x , y }≤1
∫∫
cos( xy ) dσ ，
（D） I 2 > I 3 > I1 ．
T
则有( ) （A） I1 > I 2 > I 3 ． (7) 已知 α1 = ( −1，， 1 a,
（B） I 2 > I1 > I 3 ．
T
பைடு நூலகம்
（C） I 3 > I1 > I 2 ．
T
4 ) , α 2 = ( −2，， 1 5, a ) ，α 3 = ( a，， 2 10, 1) 是四阶方阵 A 的三 个不同特征值的特征向量，则 a 的取值为（ ） ． (B) a ≠ −3 (C) a ≠ −3且a ≠ −4 (D) a ≠ 5 (A) a ≠ −4 P =( α , α ,α ) (8) A 是三阶矩阵， 1 2 3 是三阶可逆矩阵，且 Aα1 =α1 ， Aα 2 =α 2 ， Aα 3 =0 ，矩阵 Q 满足
(11) 设 f ( x) 在 [0, +∞) 上单调可导， f (0) = 0 ， f
为 f 的反函数，若
∫
e + f ( x)
x
ex
f −1 (t − e x ) d t = x 2 cos x ，则 f ( x)=________. 1 的通解为 x+ y
2
(12) 方程 y′ = (13)
． ．
f ( x) 是偶函数, F ( x) 必为奇函数, 又 f ( x) 有界,因而 ∃M > 0 ,使得对 ∀x ∈ (−∞, +∞) 均有 f ( x) ≤ M
相应的有 = F ( x)
− x2
∫
x
0
te − t f (t ) d t ≤
2
∫
x
0
te − t f (t ) d t ≤
2
2 M M , (1 − e − x ) ≤ 2 2
设 A 是三阶矩阵， = b
( 9,18, −18) ，方程组 Ax = b 有通解 T T T k1 ( −2,1, 0 ) + k2 ( 2, 0,1) + (1, 2, −2 ) ，
T
其中 k1 ， k2 为任意常数，求 A 及 A
100
． 1 0 0 0 1 0 等价， 0 0 0
(2) 【解】= f ( x)
x →−∞
x →+∞
lim f ( x) = +∞ ， f (−1) = 2 + k ， f (1) =−2 + k ，由题设
3
有 f (−1) < 0 或者 f (1) > 0 ，即 k > 2 。答案 A 【解法二】图形法 = y x − 3 x 的图形为如图所示， （ 4） 【解】有题设知 xe
Q −1 AQ = diag (1,1, 0) 是对角阵，则 Q 应是（
） ．
α2 (A) (α1，，
α1 +α 3 )
2α 3 )
α3 (B) (α 2，，
α1 )
−α 2 (C) (α1 +α 2，，
α 2 +α 3 (D) (α1 +α 2，，
α1 )
二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分。请将答案写在答题纸指点位置上.
lim(
x →0
ln(1 + x) f ( x) + )= 1 ，求曲线 y = f ( x) 在 x = 4 处的切线方程． x2 x
n →∞
（16） （本题满分 10 分）设 （Ⅰ）证明 lim xn 存在，并求它的值； = x0 25, = xn arctan x= 1, 2,) 。 n −1 ( n
lim
x →0 y →0
f ( x, y ) − f (0, 0) − f x′ (0, 0) x − f y′ (0, 0) y x2 + y 2
2 2
= 0 ,答案应该是 D.
(6) 【 解 】
记 D1 : x + y ≤ 1, D2 : x + y ≤ 1, D3 : max x , y ≤ 1 ， 则 有 D2 ⊂ D1 ⊂ D3 ， 且 函 数
x →+∞
(A) 若 A ≥ 0 ,则 ∃M ≥ 0 ,当 x > M 时有 f ( x) ≥ 0 (B) 若 A > 0 ,则 ∃M > 0 ,当 x > M 时有 f ( x) > 0 (C) 若 ∃M > 0 ,当 x > M 时有 f ( x) > 0 ,则 A > 0 (D) 若 ∃M > 0 ,当 x > M 时有 f ( x) < 0 ,则 A < 0 （2） 设 ln(1 + x)(e
x −x （Ⅱ）求 lim n 3 n −1 。 n →∞ xn
(17)
(本小题满分 10 分) 设 f ( x) 是单调可导函数， f ( − = ) 0, f (= ) 1 ， g ( x) 是 f ( x) 的反函数，
π
π
2
2
且 f ( x) 满足
∫
f ( x)
0
= g (t ) d t
∫
1 sin t ( ) sin t d t ，求积分 ∫ 2π f ( x) d x 的值． + π 0 1+ e − 1 + et 2
因此 F ( x) 是有界的奇函数答案为 A。 （ 5） 【解】 由 lim
x →0 y →0
f ( x, y ) = 1 可得 x2 + y 2
f ( x, 0) − f (0, 0) f (0, y ) − f (0, 0) f x′ (0, 0) lim f y′ (0, 0) lim = = 0, = = 0, x →0 x →0 x y
∫
(20)
a
0
x 4 f ( x) d x <
5a a 3 x f ( x) d x ． 6 ∫0
(本小题满分 11 分) 设平面区域为 D : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 ， f ( x, y ) 满足表达式
1 1 t 0
xy ( ∫∫ f ( x, y )dxdy = ) 2 f ( x, y ) − 1 ,令 I (t ) = ∫ f ( x, t )dx ,求 ∫ I (t )dt ．