第五章连续系统的离散化仿真2015讲解

1)
2T
（6）
令采样周期T=1s，将ejwT用coswT+jsinwT代替，分别求出式 (5)、(6)的幅频特性和相频特性，列于表1。
表1 仿真模型与实际连续系统的频率特性比较
/ rad s 1
|G( j)|
幅频
特性 | G(e j T ) |
G( j)
相频
特性 G( je j T )
设
s j
根据式（1）可得： z=Ts+1， 则有下面的关系成立：
z 2 1 T 2 2T 2
对于Z平面上的单位圆，有 z 2 1
故上式变为： 1 T 2 2T 2 1
即：
( 1 )2 2 ( 1 )2
T
T
（2）
表明：Z平面上的单位圆按该替换式映射到S平面上，将是一 个以（－1/T，0）为圆心，以1/T为半径的圆。
2、G（z）的分子分母阶次相同，其稳态增益与G（s）相同
设
G
s
a0 b0
m
(ssi )
i 1
n
(s pi )
i 1
a0sm a1sm1 b0sn b1sn1
am1s am bn1s bn
将双线性变换公式带入：
Gz
a0
b0
2 T
m
z z
1 1
m
a1
2 T
2 T
n
z z
1.5 0.461 5 0.417 -22.62 -33.56
比较表中的数据可知，在T=1s的条件下，G（s）和G（z）的 频率特性在低于转折频率的频段内（1rad/s）是十分接近的， 这说明，用双线性变换所得的仿真模型既简单，又能满足一 定的精度要求。
1 2 n 1
(z (z
1)2n1 1)2n1
...]
取第一项，即： s 2 z 1
T z 1
（3）
式（3）即为双线性变换法的公式。
或通过梯形积分公式：
xk 1
xk
T 2
xk
xk 1
经Z变换可得：
z 1x T z 1x
2
也可得到双线性变换公式。
• 三、双线性变换的特点
1、不改变模型的稳定性 即：将稳定的G（s）变换为稳定的G（z）。
例 已知连续系统的传递函数为
G(s)
s2
s 2s
1
用双线性变换求其差分方程。
将变换公式代入传递函数，可得脉冲传递函数：
2 z 1
G(z)
T z 1
2 T
z z
1 1
2 2 2 T
z z
1 1
1
整理得
G(z)
2T (z 1)(z [(T 2)z (T
1) 2)]
2
2T (2 T )2
0.1 0.099 01 0.099 1 78.58 78.57
0.3 0.275 2 0.277 56.60 56.36
0.6 0.441 2 0.447 28.07 26.51
0.8 0.487 8 0.493 12.68 9.57
1.0 0.5 0.498 0 -5.06
1.2 0.491 8 0.476 -10.39 -17.67
1n
1
b1
2 T
m1 n1
z z z z
1 1 1 1
m1
am1
2 T
z z
1 1
am
n1
bn1
2 T
z z
1 1
bn
将其分子、分母同乘以 z 1n 并整理可得：
G s
a0 b0
(z
1)nm
m
i 1
[
2 T
(
z
1)
zi
]
n
i 1
[
2 T
(
z
1)
qi
]
可见，G（z）的分子分母阶次相同，且稳态增益均为am/bn。
z
(z 1) (z
2 2
T T
Leabharlann Baidu
2
1)
可写出差分方程：
（4）
yk
2
2 2
T T
yk 1
2T 2T
2 yk2
2T (2 T )2
(uk
uk2 )
式中的uk、uk-2分别为k时刻和k-2时刻的输入值。
• 由式(4)可知，因为
2T 1 2T
，所以G（z）是稳定的。
• G（s）的分子为1阶，分母为2阶；而G（z）的分子分母 阶次相同，均为2阶，有一个z=-1处的零点。G（s）的稳 态增益为0，G（z）的稳态增益也为0。
对微分方程
dx / dt f (t)
应用Euler法，有： xk1 xk Tf k xk Txk
整理可得： z 1x Tx
又因为： 故有：
x x
1 s
s z 1 T
即：
x x
T z 1
（1）
关系式（1）即为简单替换法的变换公式。
简单替换法公式简单，但是稳定性差，并不实用。下面 分析其稳定性。
• 为了进一步考查仿真模型的精度，下面来比较一下G（s） 和G（z）的频率特性。
将 s j 和 z e jT 分别代入G（s）和式(4)，可得
G(
j
)
(
j
)2
j 2(
j
)
1
2
2 j ( (1 2 )2
3
)
（5）
G(e jT )
2T (2 T )2
(e jT
1)(e jT
e jT
2T
2
• 离散化仿真的基本思想：
用比较简单的方法直接从G（s）求出 G（z），从而得到用于仿真的差分方程。
离散化仿真方法要求有较好的稳定性， 允许采用较大的计算步距，满足实时仿真 的需要。
5.1替换法
一、简单替换法
已知s域和z域间存在变换关系：
z esT
—— 超越函数。
为简化计算，试图将指数函数形式转化为更简单的形式。
证明：仍设 s j
由 s 2 z 1
T z 1
即： z
2
1 1
T 2 T 2
2
2
2
2
T T
2
2
可得
1 Ts
z
1
2 Ts
2
可见：
若 <0， 则 z <1； 若 ＝0，则 z ＝1，
若 >0， 则 z >1。
双线性变换的映射关系
计算的稳定性与T无关，允许采用较大的步距。
第五章 连续系统的离散化仿真
• 引言 • 5.1替换法 • 5.2根匹配法 • 5.3离散相似法 • 5.4状态方程的离散化 • 5.5增广矩阵法 • 5.6面向结构图的数字仿真
引言
在第2章里介绍了连续系统数值积分法仿真的原理和方 法，而本章将要从连续系统离散化的角度来探讨控制系统数 字仿真方法。
简单替换法S域到Z域的映射关系
一个原来稳定的系统G(s)，通过简单替换得到的仿真模型 G(z)却可能是不稳定的。
所以，简单替换法很少采用，较常用的是双线性变换法。
• 二、双线性变换法
由
z e sT
展成级数可得：
可得
s
1 T
ln
z
s
1 T
2[ z z
1 1
1 3
(z (z
1)3 1)3
...
3、具有串联性
若G（s）=G1（s）G2（S）， 且G1（s）-->G1（z）， G1（s）-->G1（z），
G（s）-->G（z），
则G（z）=G1（z）G2（z）
4、频率特性接近 G（s）与G（z）的频率特性接近，
特别是在低频段。
所以双线性变换能够满足一定的精度 要求，并常用于有限带宽的系统。