统计学三大分布-经典案例全集ppt课件
合集下载
三大抽样分布课件
在方差分析中，t分布用于检验 各个组之间的均值是否存在显著
差异。
04
CATALOGUE
卡方分布
卡方分布的定义
定义
卡方分布是一种连续概率分布，描述 了随机变量的取值与自由度的平方之 间的比例关系。
公式
若随机变量X符合卡方分布，则X的概 率密度函数为f(x)=x^(n/2-1)e^(x/2)/2^(n/2)Γ(n/2)，其中n为自由度 ，Γ为伽玛函数。
正态分布
正态分布的定义
01
正态分布是一种连续概率分布， 其概率密度函数呈钟形，对称轴 为均值所在直线，形状由标准差 决定。
02
正态分布是自然界中最常见的分 布形态，许多随机变量都服从或 近似服从正态分布。
正态分布的性质
01
02
03
集中性
正态分布曲线以均值为中 心，两侧分布对称。
均匀性
正态分布曲线是关于标准 差对称的，形状由标准差 决定。
t分布
t分布的定义
定义
t分布（也称为学生t分布）是一种 连续概率分布，其形状由自由度 参数决定。
描述
当数据来自正态分布的总体，且样 本量较小（通常n<30）时，t分布 近似于正态分布。
公式
t分布的密度函数和分布函数可以用 一系列复杂的数学公式来描述。
t分布的性质
形状
峰度
随着自由度的增加，t分布的形状逐渐 接近正态分布。
t分布的峰度大于正态分布的峰度，且 随着自由度的增加而减小。
偏度
t分布通常是偏态的，其偏度随着自由 度的增加而减小。
t分布在统计学中的应用
假设检验
在样本量较小时，t分布在假设 检验中常用作正态分布的替代，
用于检验统计假设。
差异。
04
CATALOGUE
卡方分布
卡方分布的定义
定义
卡方分布是一种连续概率分布，描述 了随机变量的取值与自由度的平方之 间的比例关系。
公式
若随机变量X符合卡方分布，则X的概 率密度函数为f(x)=x^(n/2-1)e^(x/2)/2^(n/2)Γ(n/2)，其中n为自由度 ，Γ为伽玛函数。
正态分布
正态分布的定义
01
正态分布是一种连续概率分布， 其概率密度函数呈钟形，对称轴 为均值所在直线，形状由标准差 决定。
02
正态分布是自然界中最常见的分 布形态，许多随机变量都服从或 近似服从正态分布。
正态分布的性质
01
02
03
集中性
正态分布曲线以均值为中 心，两侧分布对称。
均匀性
正态分布曲线是关于标准 差对称的，形状由标准差 决定。
t分布
t分布的定义
定义
t分布（也称为学生t分布）是一种 连续概率分布，其形状由自由度 参数决定。
描述
当数据来自正态分布的总体，且样 本量较小（通常n<30）时，t分布 近似于正态分布。
公式
t分布的密度函数和分布函数可以用 一系列复杂的数学公式来描述。
t分布的性质
形状
峰度
随着自由度的增加，t分布的形状逐渐 接近正态分布。
t分布的峰度大于正态分布的峰度，且 随着自由度的增加而减小。
偏度
t分布通常是偏态的，其偏度随着自由 度的增加而减小。
t分布在统计学中的应用
假设检验
在样本量较小时，t分布在假设 检验中常用作正态分布的替代，
用于检验统计假设。
统计学 第3章 数据分布特征描述PPT参考幻灯片
#
关于加权问题 权数确定方式：
➢客观权数： 权数由实际统计资料获得或推算。
➢主观权数： 根据研究问题，由研究者主观赋值。
权数作用： ➢权衡变量的各种取值在计算平均数时的重 要性。 ➢权数作用，根本上是通过权数结构实现。
#
权数作用：
➢即使不改变被平均的数值，仅改变权数结构，即 可改变平均数水平。 例如，改变教师职称结构，而不改变各种职 称教师课时费标准，会改变平均课时费水平。
平均年龄为（单位：周岁）
22 22 25 25 25 25 25 30 30 50 22 ... 30
20
538 26.9 20
表 3-2
年龄 人数（人）
x
f
22
4
25
10
30
5
分组数据不能简单平 均 ！因为各组变量值 的次数（权数）不等！ 若采用简单平均：
xi fi
i 1 n
fi
xf f
i 1
例3-1单项式分组资料（表3-2）计算方法为：
x 22 4 2510 305 501 4 10 5 1
538 26.9 20
#
3．由组距分组资料计算
➢ 组距分组资料中，各组变量值不唯一，是一个区间；
#
➢位置平均数 根据对总体中处于特定位置的单个或部
分单位标志值直接观察或推算确定的代表值。 优点：不易受极端值影响，具有较好稳健性。 缺点：不宜用作统计推断。 主要包括众数和中位数。
#
一、集中趋势指标及作用 集中趋势指标作用 1．反映变量分布的集中趋势和一般水平。
➢如用平均工资了解职工工资分布的中心， 反映职工工资的一般水平。
关于加权问题 权数确定方式：
➢客观权数： 权数由实际统计资料获得或推算。
➢主观权数： 根据研究问题，由研究者主观赋值。
权数作用： ➢权衡变量的各种取值在计算平均数时的重 要性。 ➢权数作用，根本上是通过权数结构实现。
#
权数作用：
➢即使不改变被平均的数值，仅改变权数结构，即 可改变平均数水平。 例如，改变教师职称结构，而不改变各种职 称教师课时费标准，会改变平均课时费水平。
平均年龄为（单位：周岁）
22 22 25 25 25 25 25 30 30 50 22 ... 30
20
538 26.9 20
表 3-2
年龄 人数（人）
x
f
22
4
25
10
30
5
分组数据不能简单平 均 ！因为各组变量值 的次数（权数）不等！ 若采用简单平均：
xi fi
i 1 n
fi
xf f
i 1
例3-1单项式分组资料（表3-2）计算方法为：
x 22 4 2510 305 501 4 10 5 1
538 26.9 20
#
3．由组距分组资料计算
➢ 组距分组资料中，各组变量值不唯一，是一个区间；
#
➢位置平均数 根据对总体中处于特定位置的单个或部
分单位标志值直接观察或推算确定的代表值。 优点：不易受极端值影响，具有较好稳健性。 缺点：不宜用作统计推断。 主要包括众数和中位数。
#
一、集中趋势指标及作用 集中趋势指标作用 1．反映变量分布的集中趋势和一般水平。
➢如用平均工资了解职工工资分布的中心， 反映职工工资的一般水平。
概率论与数理统计 7.2 数理统计中的三大分布
数理统计
7.2 数理统计中的三大抽样分布
在数理统计中，以标准正态变量为基石而构 造的三个著名统计量有着广泛的应用，这是因为 这三个统计量不仅有明确背景，而且其抽样分布 的密度函数有明显的数学表达式，它们被称为统 计中的“ 三大抽样分布 ” 。
1. 2 分布
数理统计
2分布是由正态分布派生出来的一种分布.
t1 (n) t (n)
o t (n)
x
t分布的上分位点t (n)可查表
求得，例t0.025(15) 2.1315.
当n 45时，对于常用的的值，可用正态近似 t (n) z
例3：X ~ t(15)
（1）求 0.01的上侧分位数； （2） P( X ) 0.05，求 ； （3）P( X ) 0.95 ，求 .
记为 t ~ t(n). t分布概率密度函数为：
f (t)
[(n 1)
2]
(1
t
2
)
n1 2
,
t
(n 2) n n
t 分布的图像
y N (0,1) 数理统计
t(n)
t分布的性质： 1. 设t ~ t(n),则E(t) 0, D(t) n (n 2) (n 2)
2. t分布的密度函数关于t 0对称.当n充分大时, 其图形近似于标准正态分布概率密度的图形，
F分布的上分位点的性质：
F1 (n1, n2 )
1 F (n2 , n1 )
F分布的上分位点可查表求得.例,
F0.95 (12,9)
1 F0.05 (9,12)
1 2.80
0.357
例4. F ~ F (24,15)，求 1,2 使 P(F 2 ) 0.025 P(F 1) 0.025
7.2 数理统计中的三大抽样分布
在数理统计中，以标准正态变量为基石而构 造的三个著名统计量有着广泛的应用，这是因为 这三个统计量不仅有明确背景，而且其抽样分布 的密度函数有明显的数学表达式，它们被称为统 计中的“ 三大抽样分布 ” 。
1. 2 分布
数理统计
2分布是由正态分布派生出来的一种分布.
t1 (n) t (n)
o t (n)
x
t分布的上分位点t (n)可查表
求得，例t0.025(15) 2.1315.
当n 45时，对于常用的的值，可用正态近似 t (n) z
例3：X ~ t(15)
（1）求 0.01的上侧分位数； （2） P( X ) 0.05，求 ； （3）P( X ) 0.95 ，求 .
记为 t ~ t(n). t分布概率密度函数为：
f (t)
[(n 1)
2]
(1
t
2
)
n1 2
,
t
(n 2) n n
t 分布的图像
y N (0,1) 数理统计
t(n)
t分布的性质： 1. 设t ~ t(n),则E(t) 0, D(t) n (n 2) (n 2)
2. t分布的密度函数关于t 0对称.当n充分大时, 其图形近似于标准正态分布概率密度的图形，
F分布的上分位点的性质：
F1 (n1, n2 )
1 F (n2 , n1 )
F分布的上分位点可查表求得.例,
F0.95 (12,9)
1 F0.05 (9,12)
1 2.80
0.357
例4. F ~ F (24,15)，求 1,2 使 P(F 2 ) 0.025 P(F 1) 0.025
(完整版)三大分布及其分位数
研究生概率统计讲义
§1.5 常用的分布及其分位数
卡平方分布、t分布及F分布都是由正态分布所 导出的分布，它们与正态分布一起，是试验统计 中常用的分布。
1. 卡方分布
当X1、X2、…、Xn相互独立且都服从N(0,1)时，Z XFra bibliotek2 i
的分布称为自由度等于n的x2(n)分布， 记作 Z～ x2(n)(n).它的分布密度
3. F分布
若X与Y相互独立，且X～x2 (n)，Y～x2 (m)，则
ZX Y nm
的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于m的 F分布，记作Z～F (n, m)，它的分布密度
2020/8/9
4
研究生概率统计讲义
p(
z
)
n
n
2m
m 2
n 2
nm 2
m 2
•
n 1
z2
nm
(mnz) 2
10
研究生概率统计讲义 5）F分布的α分位数记作Fα(n , m) Fα(n , m)>0，当X～F (n , m)时，P{X<Fα(n , m)}=α
2020/8/9
11
2020/8/9
7
研究生概率统计讲义
2020/8/9
8
研究生概率统计讲义 3）卡平方分布的α分位数记作x2α(n)。
P{X< x2α(n)}=α
2020/8/9
9
研究生概率统计讲义 4）t 分布的α分位数记作tα(n)
当X～t (n)时，P{X<t α(n)}=α，且与标准正态分布 相类似。
2020/8/9
2020/8/9
6
研究生概率统计讲义
因为1-F(λ)=α，F(λ)=1-α，所以上侧α分位数λ就 是1-α分位数 x 1-α；
§1.5 常用的分布及其分位数
卡平方分布、t分布及F分布都是由正态分布所 导出的分布，它们与正态分布一起，是试验统计 中常用的分布。
1. 卡方分布
当X1、X2、…、Xn相互独立且都服从N(0,1)时，Z XFra bibliotek2 i
的分布称为自由度等于n的x2(n)分布， 记作 Z～ x2(n)(n).它的分布密度
3. F分布
若X与Y相互独立，且X～x2 (n)，Y～x2 (m)，则
ZX Y nm
的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于m的 F分布，记作Z～F (n, m)，它的分布密度
2020/8/9
4
研究生概率统计讲义
p(
z
)
n
n
2m
m 2
n 2
nm 2
m 2
•
n 1
z2
nm
(mnz) 2
10
研究生概率统计讲义 5）F分布的α分位数记作Fα(n , m) Fα(n , m)>0，当X～F (n , m)时，P{X<Fα(n , m)}=α
2020/8/9
11
2020/8/9
7
研究生概率统计讲义
2020/8/9
8
研究生概率统计讲义 3）卡平方分布的α分位数记作x2α(n)。
P{X< x2α(n)}=α
2020/8/9
9
研究生概率统计讲义 4）t 分布的α分位数记作tα(n)
当X～t (n)时，P{X<t α(n)}=α，且与标准正态分布 相类似。
2020/8/9
2020/8/9
6
研究生概率统计讲义
因为1-F(λ)=α，F(λ)=1-α，所以上侧α分位数λ就 是1-α分位数 x 1-α；
三大抽样分布课件(课件类别)
y 2
2 2
这就是自由度为m与n的F分布的密度函数。
课件精选
15
课件精选
16
n 40 n 10
n4 n 1
课件精选
17
若F ~ F(m, n),对给定的 (0 1),称满足
PF F1 m, n 1
的F1 (m, n)是自由度为m与n的F分布的1 分位数.
m n
u
mn 2
1eu
du
0
2
2 2
m
2
n
m1
z2
1
z
mn 2
m
n
2 2
z0
课件精选
14
第二步，我们导出 F n Z 的密度函数 m
pF
y
pZ
m n
y
1
F1 m, n
课件精选
20
例5.4.1 若取m=10,n=5, =0.05,那么从附表5上查得
F10,05 10，5 F0.9510，5 4.74
由F n, m
1
F1 m, n
F0.0510,5
1
F0.95 5,10
1 3.33
1
从而t与-t有相同分布。
P(0 t y) P(0 t y) P( y t 0)
X1
~
2(m)
p1( x1)
2
m
m
x1 2
1e
x1 2
,
2
n
1 2
2 2
这就是自由度为m与n的F分布的密度函数。
课件精选
15
课件精选
16
n 40 n 10
n4 n 1
课件精选
17
若F ~ F(m, n),对给定的 (0 1),称满足
PF F1 m, n 1
的F1 (m, n)是自由度为m与n的F分布的1 分位数.
m n
u
mn 2
1eu
du
0
2
2 2
m
2
n
m1
z2
1
z
mn 2
m
n
2 2
z0
课件精选
14
第二步，我们导出 F n Z 的密度函数 m
pF
y
pZ
m n
y
1
F1 m, n
课件精选
20
例5.4.1 若取m=10,n=5, =0.05,那么从附表5上查得
F10,05 10，5 F0.9510，5 4.74
由F n, m
1
F1 m, n
F0.0510,5
1
F0.95 5,10
1 3.33
1
从而t与-t有相同分布。
P(0 t y) P(0 t y) P( y t 0)
X1
~
2(m)
p1( x1)
2
m
m
x1 2
1e
x1 2
,
2
n
1 2
三大分布
0.4
f n ( x)
N(0,1) n = 10 n=5 n=2 n=1
0.3
0.2
0.1
0 -3
-2
-1
0
1
2
x
3
t-分布的概率密度函数
t分布的性质
1．以0为中心，左右对称的单峰分布； 2．t分布是一簇曲线，其形态变化与n（确 切地说与自由度ν）大小有关。自由度ν越 小，t分布曲线越低平；自由度ν越大，t分 布曲线越接近标准正态分布（u分布）曲线
2 2
2
F
X / n1
n n Γ ( 1 2 2 ) n1 n1 n2 f n1 , n 2 ( x ) Γ ( 2 ) Γ ( 2 ) n 2
n1 n 2
x 0,
n1 2
1
n1 1 x n2
t
n (x ) s
~ t ( n 1)来自 结论二：F sx1 , x2 , , x m
sx / 1
2 2 y
2
/
2 2
~ F ( m 1, n 1)
设 的样本，且此两样本相互独立，记
sx
2
2 y N ( 1 , 1 ) 的样本，1 , y 2 , , y n 是来自
sx / 1
2
2
( n 1) s
2 2
s /
2 y
2 2
~ F ( m 1, n 1)
所以
结论三：
( x y ) ( 1 2 ) sw 1 m n 1
~ t ( m n 2)
sw
( m 1) s ( n 1) s
统计学 三大分布-经典案例全集
结论：当n<<N(n<=0.05N)超几何分布→二项分布
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
1
2
3
4
0.5
0.45
0.4
0.35
0.3
超几何分布 0.25 二项分布 0.2
0.15
0.1
0.05
0
1
2
3
4
超几何分布 二项分布
10=3次+7正，任取3件， 有放回 无放回
100=30次+70正，任取3件， 有放回 无放回
例220 某商店根据过去的销售记录知道某种商品每月的 销售量可以用参数为10的泊松分布来描述 为了以95%以 上的概率保证不脱销 问商店在月底应存多少件该种商品(设 只在月底进货)？大卖场的顾客数n很大,买商品概率P很少/多
解 设该商店每月销售该 商品的件数为X 月底存货为a 则当Xa时就不会脱销 据题 意 要求a使得
泊松分布
0.06
二项正态
0.04
二项泊松分离
0.02
二项正态重合
0
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31
二项分布→泊松分布/正态分布 n=100,p=0.2,np=20
0.12
0.1
N=2000产品
次品NA=400
0.08 二项分布
0.06
泊松分布
二项正态 0.04
二项泊松分离
理论基础
数据：N=总体个数，N1=总体中A的个数， n＝样本个数，k=样本中A的个数；
逼近关系：
N件产品，其中N1件次品 n<=0.05NN件产品，次品率N1/N
统计三大分布
根据独立随机变量商的密度公式(3-32)，
可以证明（过程从略）：(6-13)中的
Tn
概率密度函数为
根据独立随机变量商的密度公式(3-32)，可
以证明（过程从略）：(6-13)中 Tn 的概率
密度函数为
, x . fn(x)
Γ(
n1 2
)
n
Γ(
n 2
)
1
x2 n
n1 2
(6-14)
另外，t -分布具有以下性质：
变量不小于该数的概率为 . 比如，若记 2-
变量
2 n
的
-上侧分位数为，则满足（见图
6.2）.
fn (x)
2 (n)
x
图 6.2
对不太大的n，如
n
60，可用附表3查
2
(n)
的
值，而对较大的n，则可用（6-11）近似计
算
2 (n) n 2n U , (6-12)
其中U 是标准正态分布N(0,1)的 -上侧分位
数，可通过附表2查出.
二、t -分布
定则 自义称由6.2度T为设n nX的Y~XtN/ -n(0分,1)布，Y，(6~记-123作()n)所，Tn 服X~ t与从(n)Y的.独t分-立分布，布是
也称为学生分布，是英国统计学家戈塞特 （Goset，1876-1937）在1908年“Student”
的笔名首次发表的，这个分布在数理统计 中也占有重要的地位.
，则
顺便指出，自由度为1的t -分布也称为柯西
（Cauchy）分布，它以其数学期望和方差
均不存在而闻名（见例4.3）.
记t -分布t(n) 的 -上侧分位数为t (n)，附表4
给出了不同n和 所对应的t (n) 数值. 另外，
统计量及其分布ppt课件
图5.1.1 SONY彩电彩色浓度分布图q
表5.1.1 各等级彩电的比例(%)
等级
I
|X-m|<5/3
II
III
5/3<|X-m|<10/3 10/3 <|X-m|<5
IV
|X-m|>5
美产 33.3 33.3 33.3
0
日产 68.3 27.1 4.3
0.3
抽样 ：
5.1.2 样本
要了解总体的分布规律，在统计分析工作中，往往 是从总体中抽取一部分个体进行观测，这个过程称为抽 样。样本
x 344 344 x 347 347 x 351 351 x 355
x 355
由伯努里大数定律：
第25页
两点分布，只要 n 相当大，Fn(x)依概率收敛于F(x) 。
更深刻的结论：格里纹科定理
定理5.2.1 设 x1,x2,L,xn 是取自总体分布函数为F(x) 的样本F，n ( x ) 为其经验分布函数，当n 时，有
若以 p 表示这堆数中1的比例（不合格品率）， 则该总体可由一个二点分布表示：
X01 P 1p p
比如：两个生产同类产品的工厂的产品 的总体分布：
例5.1.2 在二十世纪七十年代后期，美国消费者购买
日产SONY彩电的热情高于购买美产 SONY彩电，原因何在？
原因在于总体的差异上！
➢ 1979年4月17日日本《朝日新闻》刊登调查报 告指出N(m, (5/3)2)，日产SONY彩电的彩色浓 度服从正态分布，而美产SONY彩电的彩色浓 度服从(m5 , m+5)上的均匀分布。
元件数 4 8 6 5 3 4 5 4
寿命范围 (192 216] (216 240] (240 264] (264 288] (288 312] (312 336] (336 360] (360 184]
概率统计6.3三大分布
X Y
，
n
服从自由度为 n 的 t分布，记为 t ~ t(n).
（2）t 分布性质：①ht 的图形关于 t 0对称；
②由 t分布的下分位点的定义及ht图形的对称性知t n t1 n
3、（1）F 分布定义
设U ~ （2 n1),V ~ （2 n2) ，且U,V
独立，则称随机变量 F U / n1 V / n2
何值时，2 a X1 X2 2 b X3 2 服从自由度为多少的 2 分布？
2、设随机变量t ~ t（n) ，其概率密度为 ft(n)(x)
，若 ,则 P t t0.9(n) 0.2
t0.1 (n)
ft(n) (x)dx
有为多少？
3、设总体X ~ N（0， 2), X1, X2,.
0,
其他.
(y)的图形如下图所示：
对于给定的
,0
1, 称满足条件 PF
F (n1, n2 )
F (n ,n ) 1 2 x dx
F n1,n2 为 F n1,n2 分布的下α 分位点.
F 分布性质：
①F
(n1, n2 )
②当 n 充分大时其图形类似于标准正态变量概率密度的图形.但对
于较小 n,t 的分布与N 0,1分布相差很大.
③由 t分布的上 分位点的定义及ht 图形的对称性知 t1 n t n.
例2 设总体 X和 Y 相互独立且都服从N 0,32 分布，而样本 X1,..., X9 和 Y1,..., Y9分别
t2 U2
U2 1
~ F (1, n)
Vn Vn
VV
nn
§5.4常用的三大统计量分布ppt
2
DX2 EX4 (EX2 )2 3 12 2
D
2
=D
n
X2
n
DX2 2n
2.
12 ,
2 2
独立，
i=1 i=1
且 12 : 2 (n),
2 2
:
2 (m)
则 12 22 : 2 (n m) 证明：12 的特征函数 1(t) (1
22 的特征函数 2 (t
it
)
n 2
7、独立的卡方随机变量具有可加性。
8、 Tn : t(n) L N(0,1)
9、
2 n
:
2(n)
2 n
n
2n
L N(0,1)
五、推出一些重要结果
设(X1
,
X2
,
.......Xm
)来自总体N(
1,
2 1
)，（Y1,
Y2
,
......Yn
)来自N(
2
,
2 2
)。
Xi 1 : N(0,1) 1
1
2 1
1 n
2 2 j1
(Yi Y)2 :
2 (n-1)
设
S12
1 m
m i1
(Xi
X)2
S22
1 n
n
(Yi
i1
Y)2
1 m
2 1 i1
(Xi X)2 : 2 (m-1)
mS12
12
:
2 (m-1)
作比值等于F
1 n
2 2 j1
(Yi Y)2 : 2 (n-1)
nS22
2 2
) (1
it
)m
2
12
数理统计的三大分布
(1,10) (,10)
(10,10) (5,10)
O
x
F分布概率密度函数
F 分布的性质：
性质1 若X ~ F(m, n)，则1 / X ~ F(n, m)； 性质2 若X ~ t(n)，则 X 2 ~ F(1,n)；
性质3 E(F) n (n 2), n 2
D(F) 2n2 (m n 2) , m(n 2)2 (n 4)
(2) 当n充分大（n 40即可），有
2 (n)
1 2
(u
2n 1)2 .
(3)
1 F (m,n) F1 (n, m) .
学习了三大分布后，我们就可以去研究常用统计 量的分布。下一讲，我们将学习在正态分布的条件下， 常用统计量的分布——抽样分布.
则随机变量
t X Y /n
所服从的分布称为自由度为n的t分布，记为t(n).
其密度函数为
ft ( x;n)
[(n 1) 2] (1
(n 2) n
x2 n
n1
)2
,
x .
ft (x)
n , N(0,1) n 6
n 2
O
x
t分布的密度函数： 低峰、厚尾
t分布的性质：
性质1 密度函数f ( x, n)是偶函数，且
lim f ( x, n)
1
x2
e 2 (x).
n
2
即t分布的极限分布是标准正态分布.
性质2 设T t(n)，则
当n 1时, E(T )不存在,t(1)是标准柯西分布, 当n 2时， E(T ) 0， 当n 3时， D(T ) n .
n 2
三 F分布
设随机变量X ~ 2 (m),Y ~ 2 (n)，且X与Y独立，
三大分布及其分位数PPT教案
nm
的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于m 的F分布，记作Z～F (n, m)，它的分布密度
第3页/共11页
p(
z
)
n
n
2m
m 2
n 2
n
m 2
m 2
•
n 1
z2
nm
(mnz) 2
,
0,
z0 otherw ise
请注意：F分布也是非对称分布，它的分布密度与自 由度的次序有关，当Z～F (n, m)时，1/ Z ～F (m ,n)。
7
第7页/共11页
2021/4/24
8
3）卡平方分布的α分位数记作x2α(n)。 P{X< x2α(n)}=α
第8页/共11页
2021/4/24
9
4）t 分布的α分位数记作tα(n) 当X～t (n)时，P{X<t α(n)}=α，且与标准正态分布
相类似。
第9页/共11页
2021/4/24
10(Biblioteka n+1 2)
1+ n
(
n 2
)
n 第2页/共11页
- n+1 2
24021/4/24
请注意：t分布的分布密度也是偶函数， 且当n>30时，t分布与标准正态分布N(0,1)的密度 曲线几乎重叠为一。这时， t分布的分布函数值 查N(0,1)的分布函数值表便可以得到。
3. F分布 若X与Y相互独立，且X～x2 (n)，Y～x2 (m)， 则 ZX Y
5）F分布的α分位数记作Fα(n , m) Fα(n , m)>0，当X～F (n , m)时，P{X<Fα(n , m)}=α
第10页/共11页
的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于m 的F分布，记作Z～F (n, m)，它的分布密度
第3页/共11页
p(
z
)
n
n
2m
m 2
n 2
n
m 2
m 2
•
n 1
z2
nm
(mnz) 2
,
0,
z0 otherw ise
请注意：F分布也是非对称分布，它的分布密度与自 由度的次序有关，当Z～F (n, m)时，1/ Z ～F (m ,n)。
7
第7页/共11页
2021/4/24
8
3）卡平方分布的α分位数记作x2α(n)。 P{X< x2α(n)}=α
第8页/共11页
2021/4/24
9
4）t 分布的α分位数记作tα(n) 当X～t (n)时，P{X<t α(n)}=α，且与标准正态分布
相类似。
第9页/共11页
2021/4/24
10(Biblioteka n+1 2)
1+ n
(
n 2
)
n 第2页/共11页
- n+1 2
24021/4/24
请注意：t分布的分布密度也是偶函数， 且当n>30时，t分布与标准正态分布N(0,1)的密度 曲线几乎重叠为一。这时， t分布的分布函数值 查N(0,1)的分布函数值表便可以得到。
3. F分布 若X与Y相互独立，且X～x2 (n)，Y～x2 (m)， 则 ZX Y
5）F分布的α分位数记作Fα(n , m) Fα(n , m)>0，当X～F (n , m)时，P{X<Fα(n , m)}=α
第10页/共11页
三大分布-PPT精选文档
2 (n)
0.4 0.3 0.2 0.1
n = 15
20 25
( x ) t e dt 0 在x > 0时收敛，称为 函数，具有性质
5 10 15
x 1 t
( x 1 ) x ( x ), ( 1 ) 1 , ( 1 / 2 ) ( n 1 ) n !( n N )
F(n,m)
例 证明 证
1 F ( n ,m ) 1 F ( m ,n )
1 P ( F F ( n , m )) 1
2 0 . 05
0)
~ N ( 0 , 1 ) ,Y ~ ( n ), 定义 设 X X ,Y相互独立,
2
t
X Y
则称 t 服从自由度为 n 的t 分布.记为 t ~ t(n) 其密度函数为
1 n n 1 Γ 2 2 t 2 f( t) 1 n n n Γ 2 t
t (n)
f (x)dx
的点 t (n)为 t(n)分布的上 分位点（数）
t(n ) 分布的上 分位数有表可查
t分布的分位点的性质
0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05
P T t ( n )
t ( n ) t ( n ) 1
2 2 2
(n)
f (x)dx
的点 (n)为 2 (n)分布的上 分位点（数）
( n) 分 布 的 上
2
0.1 0.08
分 位 数 有 表 可 查 0.06
0.04
n = 10
5 10 15 20(10) 20.05
0.4 0.3 0.2 0.1
n = 15
20 25
( x ) t e dt 0 在x > 0时收敛，称为 函数，具有性质
5 10 15
x 1 t
( x 1 ) x ( x ), ( 1 ) 1 , ( 1 / 2 ) ( n 1 ) n !( n N )
F(n,m)
例 证明 证
1 F ( n ,m ) 1 F ( m ,n )
1 P ( F F ( n , m )) 1
2 0 . 05
0)
~ N ( 0 , 1 ) ,Y ~ ( n ), 定义 设 X X ,Y相互独立,
2
t
X Y
则称 t 服从自由度为 n 的t 分布.记为 t ~ t(n) 其密度函数为
1 n n 1 Γ 2 2 t 2 f( t) 1 n n n Γ 2 t
t (n)
f (x)dx
的点 t (n)为 t(n)分布的上 分位点（数）
t(n ) 分布的上 分位数有表可查
t分布的分位点的性质
0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05
P T t ( n )
t ( n ) t ( n ) 1
2 2 2
(n)
f (x)dx
的点 (n)为 2 (n)分布的上 分位点（数）
( n) 分 布 的 上
2
0.1 0.08
分 位 数 有 表 可 查 0.06
0.04
n = 10
5 10 15 20(10) 20.05
4.三大统计分布
> X a2 （n） ）
的概率为α 的概率为
• 不同自由度的卡方分布 的概率密度曲线图形如 图所示． 图所示．
不同容量样本的抽样分布
n=1 n=4 n=10 n=20
χ2
• 查卡方表
•
设随机变量x， 相互独立 相互独立， 设随机变量 ，y相互独立， X~N(0，1)， ， ， 记 Y~
则随机变量T服从自由度为 的 分布 分布． 则随机变量 服从自由度为n的t分布． 服从自由度为
据此可以讨论有关两个样本方差、 据此可以讨论有关两个样本方差、总体方 两个样本方差 差关系的问题。 差关系的问题。
• 定理：
据此可以讨论有关两个样本方差、 据此可以讨论有关两个样本方差、总体方 两个样本方差 差关系的问题。 差关系的问题。
据此可以讨论有关两个样本均值、总体均 据此可以讨论有关两个样本均值、 两个样本均值 值关系的问题。 值关系的问题。
课堂练习： 课堂练习： • 设X~N(µ,4)问至少应抽取多大容量的样本， 问至少应抽取多大容量的样本， 问至少应抽取多大容量的样本 才能使样本均值与总体数学期望的误差小于 才能使样本均值与总体数学期望的误差小于 样本均值 0.4的概率为 ％? 的概率为95％ 的概率为
课堂练习： 课堂练习： • 设X~N(µ,4)问至少应抽取多大容量的样本， 问至少应抽取多大容量的样本， 问至少应抽取多大容量的样本 才能使样本均值与总体数学期望的误差小于 才能使样本均值与总体数学期望的误差小于 样本均值 0.4的概率为 ％? 的概率为95％ 的概率为
变换为： 变换为：
− 0 .4 X − µ 0 .4 P{ < < } = 95 %
σ
n
σ
n
σ