南昌工程学院概率论与数理统计试题库部分题目

一．随机事件与概率

１．五卷文集按任意次序排列到书架上，则第一卷及第五卷分别在两端的概率为 （

10

1） 2. 若B A ⊂，则B A 是 （B ）

3. 事件Ａ、Ｂ、Ｃ至少有一个不发生可表示为 （C B A ）

4. 设B A ,为两个独立事件，7.0)(=A P ，1)(0<

5． 某射手射击时，中靶的概率为4

3

，若射击直到中靶为止，求射击次

数为３的概率？（ 4

3

)41(2⨯ ）

5．设B A ⊂，2.0)(=A P ，3.0)(=B P ，求)(B A P . 解：1.0)()()()(=-=-=A P B P A B P B A P

6．某射手每次射击击中目标的概率为p ，连续向同一目标射击，直到某一次击中目标为止，求射击次数X 的分布律

解 在进行射击之前，无法知道射手在第几次射击时击中目标，因此射击次数X 是离散型随机变量，显然，X 的可能取值为 ,2,1，即一切正整数，而：

p p k X P k 1)1(}{--== ,2,1=k 上式即为X 的分布律。

7. 某工厂生产的100个产品中有5件次品, 检查产品质量时, 在产品中取一半来检查, 如果发现次品不多于一个, 则这批产品可以认为是合格

的。求这批产品被认为是合格的概率。

解：按题意，每批100个产品中应有5个次品，95个合格品．设事件A 表示检查的50个产品中次品不多于1个，它可以看作两个互不相容事件之和：

10A A A +=

其中0A 表示检查的50个产品中没有次品， 而1A 表示有1个次品．因为 ：

028.0)(50100

5095

0==C C A P

153.0)(50

100

4995

151==C C C A P 所以181.0)()()(10=+=A P A P A P

8．设每100个男人中有5个色盲者，而每10000个女人中有25个色盲者，今在3000个男人和2000个女人中任意抽查一人，求这个人是色盲者的概率。

解 =A {抽到的一人为男人}，=B {抽到的一人为色盲者}，则

()53=

A P ，()2011005==A

B P ，()

52

=A P ，()

4001

1000025==A B P

于是，由全概率公式，有

()()()()()

A B P A P A B P A P B P +=1000

31

40015220153=⨯+⨯=。

9.（1）已知5.0)(=A P ，6.0)(=B P ，8.0)|(=A B P ，求)(B A P ⋃。（2）4.0)(=A P ，5.0)(=B P ，8.0)|(=B A P ，求)|(B A P 。 解 （1）利用加法公式、乘法公式计算事件概率

4.0)()|()(=⋅=A P A B P AB P ，7.04.06.0

5.0)(=-+=⋃B A P 。

（

2

）

易

知

6

.0)(=A P ，

5

.0)(=B P ，由

)()(4.0)()()(AB P A P B A P B P B A P -===，可得2.0)(=AB P ，

从而

4.05

.02

.0)()()|(===B P AB P B A P 。

10. 某地有甲乙丙三种报纸，25%读甲报，20%读乙报，16%读丙报，10%兼读甲乙两报，5%读甲丙两报，4%读乙丙两报，2%读甲乙丙三报，求： （1）只读甲报所占比例；

（2）至少读一种报纸所占比例。

解 设读甲、乙、丙三种报纸的事件分别为：C B A ,,，由已知条件，有

25.0)(=A P ，20.0)(=B P ，16.0)(=C P ，10.0)(=AB P ，

05.0)(=AC P ，04.0)(=BC P ，02.0)(=ABC P ，从而有

（1）))(()())(()(C B A P A P C B A P C B A P -==

[][]

)()()()()()(ABC P AC P AB P A P AC AB P A P -+-=-=

()12.002.005.010.025.0=-+-=

（2）

)

(C B A P )()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P +---++= ()44.002.004.005.01.016.020.025.0=+++-++=.

二．一维随机变量

1. 设随机变量X 的分布函数为⎩

⎨

⎧<≥+-=-0

00

)1(1)(x x e x x F x

，求}1{≤X P 。 （121--e ）

2．已知随机变量X 的密度为⎩⎨

⎧<<=其它

,01

0,)(x Ax x f ，求A 。

解 由

1

()d d 12

A

f x x Ax x +∞-∞

==

=⎰

⎰； 可得2A =。

３．随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪

⎨⎧<-=其它

２

11)(x x C x f 求C 。 （

π

1

）

4．若),2(~2

σN X ，且{}3.042=<

解 0.3={}5.02222442-⎪⎭

⎫ ⎝⎛Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=<<σσσX P

故 8.02=⎪⎭⎫ ⎝⎛Φσ，{}2.02120=⎪⎭

⎫ ⎝⎛Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=<σσX P 。

5．随机变量X 的概率密度为：⎩⎨

⎧<≥=-0

0)(x x e x f x ，求随机变量

12+=X Y 的概率密度。

解 设12+=x y ，则02>='y ，反函数2

1

-=y x ，于是12+=X Y 概率密度为：

⎪⎩⎪⎨⎧<≥=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--1

01212121)(21

y y e y f y f y Y ，故

⎪⎩⎪

⎨⎧<≥=--1

121)(21y y e

y f y Y 。