极坐标高考考点解析

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极坐标

1.极坐标系的概念：在平面上取一个定点O叫做极点；自点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．
设M是平面上的任一点，极点O与点M 的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的∠xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．
(2)M 点的直角坐标为(2,0)． N 点的直角坐标为0，233. 所以 P 点的直角坐标为1， 33，则 P 点的极坐标为233，π6，所以直线 OP 的极坐标方程为 θ＝π6(ρ∈R)．
(1)极坐标系与直角坐标系在满足极点、极轴分别与原点、x 轴正半轴重合时，可用 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ 将极坐标方程化为直角坐标方程；反之，利用 ρ2＝x2＋y2，tanθ＝xy(x≠0) 可以将直角坐标方程化为极坐标方程．
考点串串讲
1．极坐标系 (1)一般地，在平面上取一个定点 O，自点 O 引一条射线 OX，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，其中，点 O 称为极点，射线 OX 称为极轴．设 M 是平面上任一点，ρ 表示 OM 的长度，θ 表示以射线 OX 为始边，射线 OM 为终边所成的角，那么，有序数对(ρ，θ)称为点 M 的极坐标．显然，每一个有序实数对(ρ，θ)决定一个点的位置．其中，ρ 称为点 M 的极径，θ 称为点 M 的极角．由极径的意义可知 ρ≥0.当极角 θ 的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系．我们规定，极点的极坐标是极径 ρ＝0，极角 θ 可以取任意角．

极坐标(高考考点解析)

极坐标与参数方程目录题型1：求圆或直线的极坐标方程 .......................................................................................................................... 1 题型2：极坐标方程化参数方程 .............................................................................................................................. 1 题型3：参数方程化极坐标方程 .............................................................................................................................. 2 题型4：求圆与直线的交点 ...................................................................................................................................... 4 题型5：求两点间距离 .............................................................................................................................................. 4 题型6：求点到直线的距离 ...................................................................................................................................... 5 题型7：极坐标的综合性问题 . (6)题型1：求圆或直线的极坐标方程【例1】【2013年高考安徽卷（理）】在极坐标系中，圆2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A ．0()cos 2R θρρ=∈=和B ．()cos 22R πθρρ=∈=和C ．()cos 12R πθρρ=∈=和 D ．0()cos 1R θρρ=∈=和【答案】B【解析1】由2cos ρθ=知，圆心坐标为(1,0)，半径为1，所以圆与极轴的两个交点坐标为(0,0)，(2,0)。

高二数学极坐标试题答案及解析

高二数学极坐标试题答案及解析1.已知直线：（为参数）；椭圆：（为参数）（Ⅰ）求直线倾斜角的余弦值；（Ⅱ）试判断直线与椭圆的交点个数.【答案】（1）；（2）没有交点.【解析】（1）将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程；（2）掌握常见的将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程;（3）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式．试题解析：（1）将直线参数方程化为普通方程得：，得斜率为，则倾斜角的余弦值为椭圆的普通方程为：,得：所以没有交点.【考点】（1）参数方程的应用；（2）直线与椭圆相交的综合问题.2.在直角坐标系中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的直角坐标方程为．（1）求曲线C1的直角坐标方程；（2）已知为曲线C2上一点，Q为曲线C1上一点，求P、Q两点间距离的最小值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取恰当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法；（2）将参数方程转化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若有范围限制，要标出的取值范围；（3）先转化为普通方程和直角坐标方程后根据题意设点根据点到直线的距离公式.试题解析：解：（1）由得， 3分即,所以直线l的直角坐标方程为； 6分（2）P为上一点，设，其中, 8分则P到直线l的距离,其中所以当时,的最大值为．【考点】（1）参数方程与普通方程的互化；（2）参数方程的应用.3.在平面直角坐标系中，以为极点，轴非负半轴为极轴建立坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为: （为参数），两曲线相交于两点. 求：（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若求的值.【答案】(1),x-y-2="0;" (2)【解析】(1) 由得,曲线C的直角坐标方程为,由中两式相减的x-y=2,直线l的普通方程为x-y-2="0;(2)" 将代入得,设M,N对应的参数分别为,则所以试题解析：(1)由得,曲线C的直角坐标方程为,由中两式相减的x-y=2,直线l的普通方程为x-y-2=0(2)将代入得,设M,N对应的参数分别为,则所以.【考点】1.极坐标与直角坐标的互化;2.参数方程与普通方程的互化;3.参数的几何意义4.已知直线的极坐标方程为，圆M的参数方程为。

极坐标参数方程题型归纳7种

极坐标参数方程题型归纳7种标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-极坐标与参数方程(高考真题)题型归纳一、极坐标方程与直角坐标方程的互化1.(2015·广东理，14)已知直线l的极坐标方程为2ρsin⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，点A的极坐标为A⎝⎛⎭⎫22，7π4，则点A到直线l的距离为________．[立意与点拨]本题考查极坐标与平面直角坐标的互化、点到直线的距离，属于容易题．解答本题先进行极直互化，再求距离．二、参数方程与直角坐标方程的互化【解析】椭圆方程为：14622=+yx，因为1cossin22=+xx，令⎩⎨⎧==ααcos2sin6yx，则有X+2y=αsin6+αcos4=()ϕα++sin166,最大值22，最小值22-三、根据条件求直线和圆的极坐标方程四、求曲线的交点及交点距离4．(2015·湖北高考)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C的参数方程为⎩⎨⎧x＝t－1t，y＝t＋1t(t为参数)，l与C相交于A，B 两点，则|AB|＝________．【解析】直线l的极坐标方程ρ(sin θ－3cos θ)＝0化为直角坐标方程为3x－y＝0，曲线C的参数方程⎩⎨⎧x＝t－1t，y＝t＋1t两式经过平方相减，化为普通方程为y2－x2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧3x－y＝0，y2－x2＝4解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝－22，y＝－322或⎩⎪⎨⎪⎧x＝22，y＝322.所以点A⎝⎛⎭⎪⎫－22，－322，B⎝⎛⎭⎪⎫22，322.所以|AB|＝⎝⎛⎭⎪⎫－22－222＋⎝⎛⎭⎪⎫－322－3222＝2 5.5.在平面直角坐标xOy 中，已知直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t ，(t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．[解析] 解法1：将l 的方程化为普通方程得l ：x ＋y ＝3，∴y ＝－x ＋3，代入抛物线方程y 2＝4x 并整理得x 2－10x ＋9＝0，∴x 1＝1，x 2＝9. ∴交点A (1,2)，B (9，－6)，故|AB |＝82＋82＝8 2.解法2：将l 的参数方程代入y 2＝4x 中得，(2＋22t )2＝4(1－22t )，解之得t 1＝0，t 2＝－82，∴|AB |＝|t 1－t 2|＝8 2.6.(2015·陕西理，23)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．[立意与点拨] 考查极坐标与参数方程、转化与化归思想和函数思想；解答本题(1)需熟记极直互化公式；(2)用参数坐标将距离表达为t 的函数，转化为函数最值求解．[解析](1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ，从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3. (2)设P (3＋12t ，32t )，又C (0，3)，则|PC |＝3＋12t 2＋32t －32＝t 2＋12，故当t ＝0时，|PC |取得最小值，此时，P 点的直角坐标为(3,0)．五、利用参数方程求最值( 转化与化归思想和函数思想 )[立意与点拨](用三角函数作为参数，转化成求三角函数最值问题,着重理解转化思维，用参数法实现转化的技巧)8．(2015·新课标Ⅱ高考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．【解】(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π.(此题C 1代表的是一条过原点的直线) 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3.当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.9．(2015·商丘市二模)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的极坐标方程为：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝12，曲线C 的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α.(1)写出直线l 的直角坐标方程； (2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．[解析] (1)∵ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝12，∴ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ＝12，∴32y －12x ＝12，即l ：x －3y ＋1＝0.(2)解法一：由已知可得，曲线上的点的坐标为(2＋2cos α，2sin α)，所以，曲线C 上的点到直线l 的距离d ＝|2＋2cos α－23sin α＋1|2＝⎪⎪⎪⎪4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋32≤72. 所以最大距离为72.解法二：曲线C 为以(2,0)为圆心，2为半径的圆．圆心到直线的距离为32，所以，最大距离为32＋2＝72.10．(文)(2014·新课标Ⅰ理，23)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．[解析](1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ，(θ为参数)直线l 的普通方程为：2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|.则|PA |＝d sin30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.(将d=|AB|sin30利用三角关系进行转化，转化化归思想，高考考点考察学生思维能力)当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.六、直线参数方程中的参数的几何意义方法一：方法二：根据直线参数方程中t 的几何意义，可知，弦长=|t 1-t 2|.得：053154153154122=⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛+t t t t ，方程化简，然后用韦达定理求弦长=|t 1-t 2|=()212214t t t t -+=.....13.(理)在直角坐标系xOy 中，过点P (32，32)作倾斜角为α的直线l 与曲线C ：x 2＋y 2＝1相交于不同的两点M 、N .(1)写出直线l 的参数方程；(2)求1|PM |＋1|PN |的取值范围．(根据直线参数方程中t 的几何意义,用参数t 表示所求量1|PM |＋1|PN |，然后用t 的二次方程的韦达定理，转化成三角函数进而求范围，此题较难)[解析] (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32＋t cos α，y ＝32＋t sin α，(t 为参数)．(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32＋t cos α，y ＝32＋t sin α.(t 为参数)代入x 2＋y 2＝1中，消去x ，y 得，t 2＋(3cos α＋3sin α)t ＋2＝0，由Δ＝(3cos α＋3sin α)2－8＝12sin 2(α＋π6)－8>0⇒sin(α＋π6)>63， 1|PM |＋1|PN |＝1－t 1＋1－t 2＝－t 1＋t 2t 1t 2＝3cos α＋3sin α2＝3sin(α＋π6)∈(2，3]．七、求动点坐标、求变量的值14.(2015·陕西理，23)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．[立意与点拨] 考查极坐标与参数方程、转化与化归思想和函数思想；解答本题(1)需熟记极直互化公式；(2)用参数坐标将距离表达为t 的函数，转化为函数最值求解．[解析] (1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ，从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3. (2)设P (3＋12t ，32t )，又C (0，3)，则|PC |＝3＋12t 2＋32t －32＝t 2＋12，故当t ＝0时，|PC |取得最小值，此时，P 点的直角坐标为(3,0)．(此处用参数t 来表示所求距离，然后当作变量为t 的二次函数，求最值)15.(2016全国卷I)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==,sin 1,cos t a y t a x t (为参数，)0>a ．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线θρcos 4:2=C ．（Ⅰ）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0αθ=，其中0α满足2tan 0=α，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．【解析】：⑴ cos 1sin x a t y a t =⎧⎨=+⎩（t 均为参数）,∴()2221x y a +-= ①∴1C 为以()01，为圆心，a 为半径的圆．方程为222210x y y a +-+-= ∵222sin x y y ρρθ+==，,∴222sin 10a ρρθ-+-= 即为1C 的极坐标方程⑵ 24cos C ρθ=：,两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=， 224x y x ∴+=,即()2224x y -+= ②,3C ：化为普通方程为2y x =由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C ,①—②得：24210x y a -+-=，即为3C∴210a -=,∴1a =（圆与圆交点所在直线的求法，联立圆方程，两方程相减,可得变量的方程）16．(文)(2015·唐山市二模)在极坐标系中，曲线C ：ρ＝2a cos θ(a >0)，l ：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝32，C 与l 有且仅有一个公共点．(1)求a ； (2)O 为极点，A ，B 为C 上的两点，且∠AOB ＝π3，求|OA |＋|OB |的最大值．[解析] (1)曲线C 是以(a,0)为圆心，以a 为半径的圆； l 的直角坐标方程为x ＋3y －3＝0.由直线l 与圆C 相切可得|a －3|2＝a ，解得a ＝1. (求符合条件的变量值，建立等量关系，解方程)(2)不妨设A 的极角为θ，B 的极角为θ＋π3，则|OA |＋|OB |＝2cos θ＋2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝3cos θ－3sin θ＝23cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6，当θ＝－π6时，|OA |＋|OB |取得最大值2 3.(用三角函数作为参数，转化成求三角函数最值问题,着重理解转化思维，用参数法实现转化的技巧)。

极坐标与参数方程和不等式选讲压轴题(解析版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用)

压轴题12极坐标与参数方程和不等式选讲压轴题题型/考向一：极坐标与参数方程题型/考向二：不等式选讲○热○点○题○型一极坐标与参数方程1.极坐标系：极径OM =ρ,即M 点与极点O 间的距离极角=θ∠XOM ，即以极轴OX 为始边，OM 为终边的角2．极坐标与直角坐标的互化例如()1-3-,，则()()33=3-1-=2=1-+3-=22θρtan ,又()1-3-, 在第三象限，所以πθ34=，⎪⎭⎫⎝⎛342∴π,3．常见曲线的极坐标方程4．常见曲线的参数方程①圆222()()x a y b r -+-=的参数方程是：cos sin ()x a r y b r θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数②椭圆22221(0,0,)x y a b a b a b +=>>≠的参数方程是：cos ,()sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数③过定点00(,)P x y 倾斜角为α的直线l 的标准参数方程为：00cos ,()sin x x t t y y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数5：直线的标准参数方程中t的几何意义过定点00(,)P x y 倾斜角为α的直线l 的标准参数方程为：00cos ,()sin x x t t y y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数00(,)P x y 点所对应的参数为0t =0，记直线l 与任意曲线相交于,A B 两点所对应的参数分别为12,t t ，则①线段AB 的中点O 所对应的参数为t =2+21t t ，如果线段AB 的中点恰好是P ,则有0=+21t t ②12AB t t =-=，③1212121212,0t t t t PA PB t t t t t t ⎧+⋅>⎪+=+=⎨-=⋅<⎪⎩，④1212121212,00t t t t PA PB t t t t t t ⎧+⋅<⎪-=-=⎨-=⋅>⎪⎩⑤1212PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅注：①将直线的参数方程代入曲线的方程得到关于t 的二次方程，则由韦达定理得出：abt t -=+21、ac t t =216、直线一般式：过定点00(,)P x y 斜率αtan =k =ab的直线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00(t 为参数)①若1=+22b a ,即为标准式，此时参数t 具备几何意义②若1≠+22b a ，参数t 不具备标准式中t 的几何意义.标准式与一般式的联系与互化：直线的普通参数方程⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00(t 为参数)化为直线的标准参数方程的方法是将直线的方向向量化为直线的单位向量，即是化为参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=220220t b a b y y t b a a x x (t 为参数)7、经过极点或原点的三种直线方程：①普通方程：②极坐标方程：③参数方程：1．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为41,535x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），抛物线C的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=．(1)求直线l 和抛物线C 的直角坐标方程；(2)求直线l 被抛物线C 截得的弦长.2．在平面直角标系xOy 中，曲M 的参数方程为2sin y α⎧⎨=⎩（α为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(1)求曲线M 的普通方程；(2)若D 为曲线M 上一动点，求D 到l 距离的取值范围．3．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为y α=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πcos 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(1)求直线l 的一般方程和曲线C 的标准方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，直线l 与x 轴相交于点P ，求PA PB ⋅的值.4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22sin y ϕ⎨=+⎩（其中ϕ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l πcos 44θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．(1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；(2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点P 是曲线C 上的一动点，求PAB 面积的最大值．5．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点()1,0M ，且倾斜角为π4，以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的参数方程是为2cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ参数）．(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；(2)已知曲线C 与直线l 相交于A ，B 两点，则AB 的值．6．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos sin cos sin x y αααα=-⎧⎨=+⎩（α为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πcos 6ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)P 为l 上一点，过P 作曲线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，若3APB π∠≥，求点P 横坐标的取值范围．1sin ,2APO ∴∠≥∴在Rt OAP △中，||2||22OP OA ∴≤=,22(323)22x x ∴+-≤,两边平方得解得353522x -+≤≤,3⎡-2240x y x +-=，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线l 和曲线C 的极坐标方程；(2)设直线l 交曲线C 于两点A ，B ，求AOB ∠的大小.直线l 的参数方程为1cos ,1sin .x t y t ϕϕ=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.(1)若π4ϕ=，求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)过点()0,3P -向直线l 作垂线，垂足为Q ，说明点Q 的轨迹为何种曲线.9．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1sin y ϕ⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为ρθ=．(1)求曲线1C 的极坐标方程与曲线2C 的直角坐标方程；(2)直线l ：()6πθρ=∈R 与曲线1C ，2C 分别交于M 、N 两点（异于极点O ），P 为2C 上的动点，求△PMN 面积的最大值．y =⎪⎩极点，x 轴为正半轴建立极坐标，椭圆C 的极坐标方程为2222cos 2sin 4ρθρθ+=，其右焦点为F ，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点.(1)求||||FA FB +的值；(2)若点P 是椭圆上任意一点，求PAB 的面积最大值.83○热○点○题○型二不等式选讲【考点1】基本不等式基本不等式的常见结论：（1）222a b ab +≥（,a b R ∈），当且仅当a b =时，等号成立；（2）2a b ab +≥（,0a b >），当且仅当a b =时，等号成立；（3）33a b c abc ++≥a b c ==时，等号成立（4）2b a a b+≥（,a b 同号，a b =时取等号。

(完整版)极坐标与参数方程知识点总结大全

极坐标与参数方程一、参数方程1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ⎩⎨⎧==)()(t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上（即曲线上的点在方程上，方程的解都在曲线上），那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.练习1．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（）12()23x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数A ．B ．C ．D ．2323-3232-2．下列在曲线上的点是（）sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数A ．B ．C ．D ．1(,231(,)42-3．将参数方程化为普通方程为（）222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数A ．B ．C ．D ．2y x =-2y x =+2(23)y x x =-≤≤2(01)y x y =+≤≤注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一（由上面练习（1、3可知））。

应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。

3．圆的参数方程如图所示，设圆的半径为，点从初始位置出发，按逆时针方向在圆上作匀速圆周运动，设，则。

这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程，其中的几何意义是转过的角度（称为旋转角）。

圆心为，半径为的圆的普通方程是，它的参数方程为：。

4．椭圆的参数方程以坐标原点为中心，焦点在轴上的椭圆的标准方程为其参数方程为，其中参数称为离心角；焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为∈[0，2）。

极坐标与参数方程知识点总结

第一部分：坐标系与参数方程【考纲知识梳理】1.平而直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换©: ° “纟> 的作用卜-，点P(x, y)对应到点[y=“・％(“>0)p(p,y),称卩为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图⑴所示,在平而内取一个左点o.叫做极点,自极点o引一条射线&.叫做极轴;再选左一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及英正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平而图形为几何背景,而平而直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系则不可•但极坐标系和平而直角坐标系都是平而坐标系. (2)极坐标设M是平而内一点，极点。

与点M的距离IOMI叫做点M的极径，记为°;以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角厶OM叫做点M的极角，记为。

有序数对(卩。

)叫做点M的极坐标，记作M(p^) ~般地,不作特殊说明时，我们认为可取任意实数•特别地，当点M在极点时,它的极坐标为(OP X&W R)。

和直角坐标不同，平而内一个点的极坐标有无数种表示•如果规左°>0,05&<2兀,那么除极点外，平而内的点可用唯一的极坐标(0。

)表示;同时,极坐标(Q &)表示的点也是唯一确泄的.3•极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图(2)所示：(2)互化公式:设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(儿极坐标是(％X°no),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标(%,>') 极坐标(p,0)互化公式X = QCOS&<[y = psinO0 "+〉厂tan® = —(x0)X在一般情况卜:由tan&确左角时，可根据点M所在的象限最小正角.4 •常见曲线的极坐标方程y7y %X N曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为广的圆p = r (0 <0 < 2 兀)圆心为（几0）,半径为/•的圆p = 2r -—< 0\ 2 2 /圆心为（几彳j,半径为r 的圆AOip = 2rsin 0(0 <0<^)过极点，倾斜角为a 的直线(1) 0 = a(p e R )或& = rr + a(p e R ) (2) 0 = a(p > 0)或& =兀 + a(p > 0)过点（",0）,与极轴垂直的直线o~(a ・0) -VpCQS0 =彳-彳 <0 < yj过点与极轴平行的直线• ■ • • ■ • ■ ■ • • ■01•Xpsin 0 = «(0 <0 < 7r)注:由于平而上点的极坐标的表示形式不唯一，即（Q&）, （°,2兀+ &）, （-+ &）,（—°-龙+ &）都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的唯一性明显不同•所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可•例如对于极坐标方程P = O 点M可以表示为U 4；p = 0・二、参数方程1. 参数方程的概念一般地，在平而直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标（“）都是某个变数/的函数F 々①，并且对[y = sv ）于f 的每一个允许值，由方程组①所确左的点M （x,y ）都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数（x,y ）的变数f 叫做参变数，简称参数,相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫的极坐标满足方程等多种形式，其中，只有M14 4丿做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数(x,y)中的一个与参数f的关系，例如兀=/(/),把它代入普通方程，求出另一个变数与参数l\= f(t)的关系y = g(”，那么｛丿〈就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使(x,y)的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一立唯一。

高二数学简单曲线的极坐标方程试题答案及解析

高二数学简单曲线的极坐标方程试题答案及解析1.已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线的极坐标方程为：，曲线C：（为参数），其中．（Ⅰ）试写出直线的直角坐标方程及曲线C的普通方程；（Ⅱ）若点P为曲线C上的动点，求点P到直线距离的最大值．【解析】（Ⅰ）直接利用极坐标与直角坐标的互化，以及消去参数，即可取得直线的直角坐标方程及曲线C的普通方程；（Ⅱ）求出圆的圆心与半径，利用圆心到直线的距离加半径即可求出点P到直线距离的最大值．试题解析：（Ⅰ）因为，所以，则直线的直角坐标方程为.曲线C：，且参数，消去参数可知曲线C的普通方程为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线C是以（0,2）为圆心，半径为2的圆，则圆心到直线的距离，所以点P到直线的距离的最大值是.【考点】参数方程化成普通方程．2.已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，则曲线的直角坐标方程为 .【答案】【解析】已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，因此方程【考点】参数方程的应用.3.已知圆的极坐标方程为ρ2－4ρ·cos＋6＝0.(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；(2)若点P(x，y)在该圆上，求x＋y的最大值和最小值．【答案】（1）普通方程：，圆的参数方程为：，为参数；（2）.【解析】（1）圆的普通方程与圆的极坐标方程之间的转换关系在于圆上一点与极径，极角间的关系：,圆的普通方程与圆的参数方程的关系也在于此，即圆上一点与圆半径,圆上点与圆心连线与轴正向夹角的关系：；（2）利用圆的参数方程，将转化为关于的三角函数关系求最值，一般将三角函数转化为的形式.试题解析：由圆上一点与极径，极角间的关系：，可得,并可得圆的标准方程：,所以得圆的参数方程为：，为参数.由（1）可知：故.【考点】(1)圆的普通方程与圆的参数方程和极坐标之间的关系；（2）利用参数方程求最值. 4.已知曲线M与曲线N：ρ＝5cosθ－5sinθ关于极轴对称，则曲线M的方程为() A．ρ＝－10cos B．ρ＝10cosC．ρ＝－10cos D．ρ＝10cos【答案】B【解析】设点是曲线M上的任意一点,点关于极轴的对称点必在曲线N上,所以故选B.【考点】极坐标方程.5.在极坐标系中，圆的圆心的极坐标为（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心的直角坐标，再把它化为极坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．6.极坐标方程表示的曲线为（）A．一条射线和一个圆B．两条直线C．一条直线和一个圆D．一个圆【答案】C【解析】化简为,得到或,化成直角坐标方程为：或,故选C.【考点】极坐标方程与普通方程的互化7.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知点的极坐标为,直线的极坐标方程为,且点在直线上.(1)求的值及直线的直角坐标方程;(2)圆c的参数方程为,(为参数),试判断直线与圆的位置关系.【答案】（1），（2）相交【解析】解:(Ⅰ)由点在直线上,可得所以直线的方程可化为从而直线的直角坐标方程为 5分(Ⅱ)由已知得圆的直角坐标方程为所以圆心为,半径以为圆心到直线的距离,所以直线与圆相交 10分【考点】直线与圆点评：主要是考查了直线与圆的位置关系的运用，属于基础题。

高三数学专题复习--极坐标与参数方程

五、考点练习：
1
在极坐标系中，已知
A2，π6
，B2，－π6
，求

A，B
两点
间的距离．
2.将参数方程xy＝＝1－＋24＋co4ssitn，t(t 为参数，0≤t≤π )化为普通方程，并
说明方程表示的曲线．
3
将方程x＝
t＋1， (t 为参数)化为普通方程．
y＝1－2 t
2、高考出现的题型：
（1）、求曲线的极坐标方程、参数方程；（2）、极坐标方程、参数方程与普通方程间的相互转化；（3）、解决与极坐标方程、参数方程研究有关的距离、最值、交点等问题。
三、（1）
x y
= =
x0 y0
+ t cos + t sin
a a
， (t
为参数
)
类似地过原点倾斜角为a的直线l的参数方程为：
解：（1）曲线C化为直角坐标方程为
x1 2 +(y
2
3) =1
，
它表示圆心为C（1， 3 ），半径r=1的圆。
∵ d = co 1（+
3） 2 = 2 ＞1，
∴点O在圆的外部，
当动点与O、C三点在同一直线上时，动点到原点O的距离最小。
d ∴
= d r =2-1=1,
m in
即圆心C上动点到原点O的距离最小值为1。
链接高考2014
以直角坐标系的原点为极点，轴非负半轴为极轴，在两种坐标系
中取相同单位的长度. 已知直线L的方程为
，
曲线C的参数方程为
，点M是曲线C上的一动点.
（Ⅰ)求线段OM的中点P的轨迹方程；
(Ⅱ) 求曲线C上的点到直线L的距离的最小值.

高二数学极坐标系试题答案及解析

高二数学极坐标系试题答案及解析1.已知直线的极坐标方程为，圆M的参数方程为。

求：（1）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求圆M上的点到直线的距离的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）将用两角和的正弦公式展开，再利用直角坐标与极坐标互化公式即可将极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设圆上任意一点M的坐标为（，），利用点到直线的距离公式将点M到已知直线的距离表示为的函数，再利用三角函数求最值的方法，求出点M到直线距离的最小值,本题也可先求出圆心到直线的距离，此距离减去半径就是圆上一点到直线的距离的最小值.试题解析：（1）方程可化为=1，令，，即得到该直线的直角坐标方程；（2）设圆上任意一点M的坐标为（，），则点M到该直线的距离===，当时，=，故圆M上的点到直线的距离的最小值.【考点】极坐标方程与直角坐标方程的互化;参数方程与普通方程的互化;点线距离公式2.已知在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为为参数），以为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为则直线被圆C所截得的弦长为．【答案】【解析】圆C的普通方程为，直线的普通方程为，圆心C到直线的距离，则直线被圆C所截得的弦长为。

【考点】（1）圆的参数方程与普通方程的互化，直线的极坐标方程与普通方程的互化；（2）点线距离公式的应用。

3.把极坐标系中的方程化为直角坐标形式下的方程为【答案】【解析】根据题意，由于极坐标系中的方程，结合ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，可知结论为，故答案为。

【考点】极坐标和直角坐标的互化点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．4.若点的极坐标为，则点的直角坐标是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，则点的直角坐标是。

故选A。

【考点】极坐标与直角坐标的转换点评：极坐标转换为直角坐标的公式是，而直角坐标转换为极坐标的公式是。

高考数学中的复数解析式与极坐标形式转化方法

高考数学中的复数解析式与极坐标形式转化方法高考数学是所有参加高考的学生所必修的科目之一，而在高考数学中，复数是一个必考点。

其中，复数解析式和极坐标形式的转化方法也是重要的考点之一。

在这篇文章中，我们将详细介绍这两种形式，并探讨它们在高考数学中的应用。

一、复数解析式的定义与举例复数解析式是指以 a+bi 的形式表示的复数。

其中，a 和 b 均为实数，i 表示虚数单位，即 i² = -1。

复数解析式中的实部为 a，虚部为 b，常用符号表示如下：z = a+bi在高考数学中，我们经常需要对复数解析式进行计算、分解和合并等操作。

以下是几个例子：例 1：计算 (1+2i)(3+4i)解：(1+2i)(3+4i) = 3+4i+6i+8i² = 3+10i-8 = -5+10i例 2：合并 (2+3i)+(4-6i)解：(2+3i)+(4-6i) = 2+4+3i-6i = 6-3i例 3：分解 4i/(1+i)解：4i/(1+i) = 4i(1-i)/(1-i²) = 4i-4 = -4+4i以上是几个常见的例子，关于复数解析式的应用，我们将在后面的内容中进一步探讨。

二、极坐标形式的定义与举例极坐标形式也叫极坐标表示法，是指以r(cosθ+isinθ) 的形式表示的复数。

其中，r 和θ 均为实数，r 为复数的模长（即长度），θ 为复数的辐角（即与 x 轴的夹角）。

以下是符号表示：z = r(cosθ+isinθ)在高考数学中，我们同样需要对极坐标形式的复数进行计算、分解和合并等操作。

以下是几个例子：例 1：计算3(cosπ/3+isinπ/3)解：3(cosπ/3+isinπ/3)=3(1/2+i√3/2)=3/2+3i√3/2例 2：合并2(cosπ/4+isinπ/4)+3(cos3π/4+isin3π/4)解：2(cosπ/4+isinπ/4)+3(cos3π/4+isin3π/4)=2√2/2+i2√2/2+3(-√2/2-i√2/2)=√2/2-5i√2/2例 3：分解(2+i)√3解：(2+i)√3 = 4(cosπ/6+isinπ/6)√3 = 4*√3/2+i4*1/2=(2√3+2i)以上是几个常见的例子，后面将进一步探讨极坐标形式的应用。

高考数学十年真题专题解析—极坐标系与参数方程

极坐标系与参数方程考点116平面直角坐标系中的伸缩变换考点117极坐标和直角坐标的互化1．(2020全国Ⅱ文理21)已知曲线12,C C 的参数方程分别为2124cos ,:4sin x C y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)，21,:1x t tC y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)．(1)将12,C C 的参数方程化为普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设12,C C 的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程．【解析】(1)由22cos sin 1θθ+=得1C 的普通方程为：4x y +=，由11x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得：2222221212x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式作差可得2C 的普通方程为：224x y -=．(2)由2244x y x y +=⎧⎨-=⎩得：5232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即53,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．设所求圆圆心的直角坐标为(),0a ，其中0a >，则22253022a a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：1710a =，∴所求圆的半径1710r =，∴所求圆的直角坐标方程为：22217171010x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22175x y x +=，∴所求圆的极坐标方程为17cos 5ρθ=．2．(2020全国Ⅲ文理22)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为222,23x t t y t t⎧=--⎪⎨=-+⎪⎩(t 为参数且1t ≠)，C 与坐标轴交于,A B 两点．(1)求AB ；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．【解析】(1)令0x =，则220t t +-=，解得2t =-或1t =(舍)，则26412y =++=，即(0,12)A ．令0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =(舍)，则2244x =--=-，即(4,0)B -．AB ∴==．(2)由(1)可知12030(4)AB k -==--，则直线AB 的方程为3(4)y x =+，即3120x y -+=．由cos ,sin x y ρθρθ==可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=．3．(2020江苏22)在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,6B ρ在圆:4sinC ρθ=上(其中0ρ≥，02θπ≤<)．(1)求1ρ，2ρ的值(2)求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．【解析】(1)1122cos24;4sin 236ππρρρρ=∴==∴=Q Q ．(2)5cos 2,4sin 4sin cos 2,sin 21[0,2),44ππρθρθθθθθπθ==∴=∴=∈∴=Q Q ，当4πθ=时ρ=；当54πθ=时0ρ=-<(舍)；即所求交点坐标为当)4π．4．(2019全国II 文理22)在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ．(1)当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程；(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．【解析】(1)因为()00,M ρθ在C 上，当03θπ=时，04sin 3ρπ==由已知得||||cos23OP OA π==．设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点．在Rt OPQ △中cos ||23OP ρθπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，经检验，点(2,)3P π在曲线cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上．所以，l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．(2)设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，||||cos 4cos ,OP OA θθ==即 4cos ρθ=．．因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．5．(2019全国III 文理22)如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，4C 3π，(2,)D π，弧 AB ， BC ， CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧 AB ，曲线2M 是弧 BC ，曲线3M 是弧 CD．(1)分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；(2)曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标．【解析】(1)由题设可得，弧 ,,AB BCCD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-，所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(2)设(,)P ρθ，由题设及(1)知若π04θ，则2cos θ=，解得π6θ=；若π3π44θ ，则2sin θ=π3θ=或2π3θ=；若3ππ4θ ，则2cos θ-=，解得5π6θ=．综上，P 的极坐标为π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭．考点118参数方程与普通方程的互化6．(2020上海14)已知直线方程3410x y ++=的一个参数方程可以是()A ．1314x ty t=+⎧⎨=-+⎩B ．1413x t y t=-⎧⎨=--⎩C ．1314x t y t=-⎧⎨=-+⎩D ．1413x t y t=+⎧⎨=--⎩【答案】D【解析】A ．参数方程可化简为4370x y --=，故A 不正确；B ．参数方程可化简为3470x y --=，故B 不正确；C ．参数方程可化简为4310x y +-=，故C 不正确；D ．参数方程可化简为3410x y ++=，故D 正确．故选D ．7．(2018全国Ⅲ)[选修4—4：坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数)，过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．【解析】(1)O 的直角坐标方程为221x y +=．当2απ=时，l 与O 交于两点．当2απ≠时，记tan k α=，则l 的方程为y kx =-．l 与O 交于两点当且仅当1<，解得1k <-或1k >，即(,)42αππ∈或(,)24απ3π∈．综上，α的取值范围是(,44π3π．(2)l的参数方程为cos ,(sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=+⎪⎩为参数，44απ3π<<)．设A ，B ，P 对应的参数分别为A t ，B t ，P t ，则2A BP t t t +=，且A t ，B t满足2sin 10t α-+=．于是A B t t α+=，P t α=．又点P 的坐标(,)x y满足cos ,sin .P P x t y t αα=⎧⎪⎨=+⎪⎩所以点P的轨迹的参数方程是22,2cos 222x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(α为参数，44απ3π<<)．考点119极坐标方程与参数方程的综合应用8．(2018北京文理)在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切，则a =___．【答案】1【解析】利用cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得直线的方程为0x y a +-=，圆的方程为22(1)1x y -+=，所以圆心(1,0)，半径1r =，由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即1=，∴1a =或1，又0a >，∴1a =+．9．(2017北京文理)在极坐标系中，点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上，点P 的坐标为(1,0))，则||AP 的最小值为___________．【答案】1【解析】圆的普通方程为222440x y x y +--+=，即22(1)(2)1x y -+-=．设圆心为(1,2)C ，所以min ||||211AP PC r =-=-=．10．(2017天津文理)在极坐标系中，直线4cos(106ρθπ-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为_____．【答案】2【解析】直线的普通方程为210y ++=，圆的普通方程为22(1)1x y +-=，因为圆心到直线的距离314d =<，所以有两个交点．11．(2016北京文理)在极坐标系中，直线cos sin 10ρθθ-=与圆2cos ρθ=交于,A B 两点，则||AB =．【答案】2【解析】将cos sin 10ρθθ-=化为直角坐标方程为10x --=，将ρ=2cos θ化为直角坐标方程为22(1)1x y -+=，圆心坐标为(1，0)，半径r=1，又(1，0)在直线10x -=上，所以|AB|=2r=2．12．(2015广东文理)已知直线l 的极坐标方程为2sin()24πρθ-=，点Α的极坐标为722,)4πA (，则点Α到直线l 的距离为．【答案】522【解析】由2sin()24πρθ-=得22(sin cos )22ρθθ´-=，所以1y x -=，故直线l 的直角坐标方程为10x y -+=，而点7(22,)4A π对应的直角坐标为(2,2)A -，所以点(2,2)A -到直线l ：10x y -+=的距离为|221|5222++=．13．(2015安徽文理)在极坐标系中，圆8sin ρθ=上的点到直线()3R πθρ=∈距离的最大值是．【答案】6【解析】圆8sin ρθ=即28sin ρρθ=，化为直角坐标方程为22(4)16x y +-=，直线3πθ=，则tan 3θ=，化为直角坐标方程为30x y -=，圆心(0,4)到直线的距离为|4|24-=，所以圆上的点到直线距离的最大值为6．14．(2020全国Ⅰ文理21)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t⎧=⎨=⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=．(1)当1k =时，1C 是什么曲线？(2)当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标．【解析】(1)当1k =时，曲线1C 的参数方程为cos ,sin x t y t=⎧⎨=⎩(t 为参数)，两式平方相加得221x y +=，∴曲线1C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆．(2)当4k =时，曲线1C 的参数方程为44cos ,sin x t y t⎧=⎨=⎩(t 为参数)，∴0,0x y ≥≥，曲线1C 的参数方程化为22cos (sin x tt y t==为参数)，两式相加得曲线1C 方程为1x y +=，得1y x =-，平方得1,01,01y x x y=-+≤≤≤≤，曲线2C的极坐标方程为4cos16sin30ρθρθ-+=，曲线2C直角坐标方程为41630x y-+=，联立12,C C方程1,41630y xx y⎧=-+⎪⎨-+=⎪⎩，整理得12130x-=12=136=(舍去)，11,44x y∴==，12,C C∴公共点的直角坐标为11(,)44．15．(2019全国1文理22)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2221141txttyt⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos sin110ρθθ+=．(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值．【解析】(1)因为221111tt--<≤+，且()22222222141211y t txt t⎛⎫-⎛⎫+=+=⎪⎪+⎝⎭⎝⎭+，所以C的直角坐标方程为221(1)4yx x+=≠-．l的直角坐标方程为2110x++=．(2)由(1)可设C的参数方程为cos,2sinxyαα=⎧⎨=⎩(α为参数，ππα-<<)．C上的点到lπ4cos113α⎛⎫-+⎪=．当2π3α=-时，π4cos113α⎛⎫-+⎪⎝⎭取得最小值7，故C上的点到l．16．(2018全国Ⅰ文理)在直角坐标系xOy中，曲线1C的方程为||2y k x=+．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为22cos30ρρθ+-=．(1)求2C的直角坐标方程；(2)若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程．【解析】(1)由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=．(2)由(1)知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为22=，故43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为22=，故0k =或43k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点．综上，所求1C 的方程为4||23y x =-+．17．(2018全国Ⅱ文理)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,4sin ,=⎧⎨=⎩x θy θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为1cos 2sin =+⎧⎨=+⎩x t αy t α(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．【解析】(1)曲线C 的直角坐标方程为221416+=x y ．当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan αα=⋅+-y x ；当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1=x ．(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos sin )80ααα+++-=t t ．①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120+=t t ．又由①得1224(2cos sin )13cos ααα++=-+t t ，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2α==-k ．18．(2018江苏)在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．【解析】因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ，所以曲线C 的圆心为(2,0)，直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，则直线l 过(4,0)A ，倾斜角为π6，所以A 为直线l 与圆C 的一个交点．设另一个交点为B ，则∠OAB=π6，连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA=π2，所以π4cos 6AB ==．因此，直线l 被曲线C截得的弦长为．19．(2017全国Ⅰ文理)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数)，直线l 的参数方程为41x a ty t=+⎧⎨=-⎩(t 为参数)．(1)若1a =-，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l，求a ．【解析】(1)曲线C 的普通方程为2219x y +=．当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=．由2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,2525-．(2)直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l的距离为d =．当4a -≥时，d=，所以8a =；当4a <-时，d=16a =-．综上，8a =或16a =-．20．(2017全国Ⅱ文理)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．(1)M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为(2,3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．【解析】(1)设P 的极坐标为(,)ρθ(0)ρ>，M 的极坐标为1(,)ρθ1(0)ρ>．由椭圆知||OP ρ=，14||cos OM ρθ==．由||||16OM OP ⋅=得2C 的极坐标方程4cos ρθ=(0)ρ>，因此2C 的直角坐标方程为22(2)4(0)x y x -+=≠．(2)设点B 的极坐标为(,)B ρα(0)B ρ>．由题设知||2OA =，4cos B ρα=，于是OAB ∆面积1||sin 2B S OA AOB ρ=⋅⋅∠4cos |sin()|3παα=-32|sin(2|32πα=--2+≤当12πα=-时，S取得最大值2+OAB ∆面积的最大值为2+．21．(2017全国Ⅲ文理)在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2x ty kt =+⎧⎨=⎩(t 为参数)，直线2l 的参数方程为2x mm y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(m 为参数)．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设3l ：(cos sin )ρθθ+-0=，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．【解析】(1)消去参数t 得1l 的普通方程():l y k x =-12，消去参数m 得2l 的普通方程():l y x k=+212．设(,)P x y ，由题设得()()y k x y x k ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩212，消去k 得()x y y -=≠2240，所以C 的普通方程为()x y y -=≠2240．(2)C 的极坐标方程为()cos sin ρθθ-=2224(),θπθπ≠0＜＜2，联立()()cos sin cos sin ρθθρθθ⎧-=⎪⎨⎪⎩2224+得()cos sin cos sin θθθθ-=2+，故tan θ=-13，从而cos sin θθ2291=，=1010，代入()cos sin ρθθ222-=4得ρ2=5，所以交点M22．(2017江苏)在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为82x tty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，曲线C 的参数方程为22x s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．【解析】直线l 的普通方程为280x y -+=．因为点P 在曲线C上，设2(2,)P s ，从而点P 到直线l的的距离22d ==s =min 455d =．因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上点P 到直线l的距离取到最小值5．23．(2016全国I 文理)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a ty a t =⎧⎨=+⎩(t 为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：4cos ρθ=．(I)说明1C 是哪种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；(II)直线3C 的极坐标方程为0=a θ，其中0a 满足0tan =2a ，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．【解析】(1)cos 1sin x a t y a t=⎧⎨=+⎩(t 均为参数)，∴()2221x y a +-=①∴1C 为以()01，为圆心，a 为半径的圆．方程为222210x y y a +-+-=．∵222sin x y y ρρθ+==，，∴222sin 10a ρρθ-+-=，即为1C 的极坐标方程．(2)24cos C ρθ=：，两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+= ，，224x y x ∴+=，即()2224x y -+=②3C ：化为普通方程为2y x =，由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C ，①—②得：24210x y a -+-=，即为3C ，∴210a -=，∴1a =．24．(2016全国II 文理)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()22625x y ++=．(I)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(II)直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩(t 为参数)，l 与C 交于A 、B 两点，10AB =，求l 的斜率．【解析】(Ⅰ)整理圆的方程得2212110x y +++=，由222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩可知圆C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=．(Ⅱ)记直线的斜率为k ，则直线的方程为0kx y -=，由垂径定理及点到直线距离公式知：226102521kk ⎛⎫-=- ⎪ ⎪+⎝⎭，即22369014k k =+，整理得253k =，则153k =±．25．(2016全国III 文理)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()224ρθπ+=．(Ⅰ)写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；(Ⅱ)设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标．【解析】(Ⅰ)1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=．(Ⅱ)由题意，可设点P 的直角坐标为3,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值，即为P 到2C的距离()d α的最小值，|3cos sin 4|()2|sin()2|32d ααπαα+-==+-．当且仅当2()6k k Z παπ=+∈时，()d α2，此时P 的直角坐标为31(,)22．26．(2016江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为()11,23,2x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，椭圆C 的参数方程为()cos ,2sin ,x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数，设直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，求线段AB 的长．【解析】椭圆C 的普通方程为2214y x +=，将直线l 的参数方程11232x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入2214y x +=，得223()12(1)124t ++=，即27160t t +=，解得10t =，2167t =-，所以1216||7AB t t =-=．27．(2015全国Ⅰ文理)在直角坐标系xOy 中，直线1C ：2x =-，圆2C ：22(1)(2)1x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求1C ，2C 的极坐标方程；(Ⅱ)若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN ∆的面积．【解析】(Ⅰ)因为cos ,sin x y ρθρθ==，∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=．(Ⅱ)将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得23240ρρ-+=，解得1ρ=222ρ2，|MN|=1ρ－2ρ2，因为2C 的半径为1，则2C MN 的面积o121sin 452⨯=12．28．(2015全国Ⅱ文理)在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：cos ,sin ,x t y t αα=⎧⎨=⎩(t 为参数，t ≠0)其中0απ<≤，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：2sin ρθ=，3C ：23ρθ=．(Ⅰ)求2C 与3C 交点的直角坐标；(Ⅱ)若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求||AB 的最大值．【解析】(Ⅰ)曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C的直角坐标方程为220x y +-=．联立222220,0,x y y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩解得0,0,x y =⎧⎨=⎩或3,23,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2C 与1C 交点的直角坐标为(0,0)和33,22．(Ⅱ)曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<．因此A 得到极坐标为(2sin ,)αα，B的极坐标为,)αα．所以2sin AB αα=-4in(3s πα=-，当56πα=时，AB 取得最大值，最大值为4．29．(2015江苏)已知圆C的极坐标方程为2sin(404πρθ+--=，求圆C 的半径．【解析】以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xoy ．圆C的极坐标方程为2sin cos 4022ρθθ⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭，化简，得22sin 2cos 40ρρθρθ+--=．则圆C 的直角坐标方程为222240x y x y +-+-=，即()()22116x y -++=，所以圆C．30．(2015陕西文理)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为13232x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρθ=．(Ⅰ)写出⊙C 的直角坐标方程；(Ⅱ)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．【解析】(Ⅰ)由2,sin ρθρθ==得，从而有(2222+,+3x y x y =-=所以．(Ⅱ)设13(3t,t),22P +又，则|PC |==，故当t =0时，|PC |取最小值，此时P 点的直角坐标为(3,0)．31．(2014全国Ⅰ文理)已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t=+⎧⎨=-⎩(t 为参数)．(Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(Ⅱ)过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值．【解析】2cos .().3sin .x y θθθ=⎧⎨=⎩（I）曲线C的参数方程为为参数60.l x y +-=直线的普通方程为2……5分(Ⅱ)cos sin l θθ曲线C上任意一点P(2.3)到的距离为3sin 6.d θθ=+-4)6,tan .sin 303d PA θααα==+-=︒则其中为锐角，且sin 5PA θα当(+)=-1时，取得最大值，最大值为25sin()1.5PA θα+=当时，取得最小值，最小值为32．(2014全国Ⅱ文理)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．(Ⅰ)求C 的参数方程；(Ⅱ)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据(Ⅰ)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．【解析】(I)C 的普通方程为22(1)1(01)x y y -+=≤≤，可得C 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t =+⎧⎨=⎩(t 为参数，0t x ≤≤)．(Ⅱ)设D (1cos ,sin )t t +．由(I)知C 是以G(1，0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与t 垂直，所以直线GD 与t 的斜率相同，tan 3t t π==．故D 的直角坐标为(1cos,sin 33ππ+，即33(,22．33．(2013全国Ⅰ文理)已知曲线1C 的参数方程为45cos 55sin x ty t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=．(Ⅰ)把1C 的参数方程化为极坐标方程；(Ⅱ)求1C 与2C 交点的极坐标(0ρ≥，02θπ≤≤)．【解析】将45cos 55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程22(4)(5)25x y -+-=，即1C ：22810160x y x y +--+=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入22810160x y x y +--+=得，28cos 10sin 160ρρθρθ--+=，∴1C 的极坐标方程为28cos 10sin 160ρρθρθ--+=．(Ⅱ)2C 的普通方程为2220x y y +-=，由222281016020x y x y x y y ⎧+--+=⎪⎨+-=⎪⎩解得11x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩，∴1C 与2C 的交点的极坐标分别为4π)，(2,2π．34．(2013全国Ⅱ文理)已知动点P ，Q 都在曲线C ：()2cos 2sin x y βββ=⎧⎨=⎩为参数上，对应参数分别为βα=与2βα=(02απ<<)M 为PQ 的中点．(Ⅰ)求M 的轨迹的参数方程(Ⅱ)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．【解析】(Ⅰ)由题意有()()2cos ,2sin ,2cos 2,2sin 2,P Q αααα因此()cos cos 2,sin sin 2M αααα++，M 的轨迹的参数方程为cos cos 2,sin sin 2,x y αααα=+⎧⎨=+⎩(02απ<<)．(Ⅱ)M 点到坐标原点的距离d ==(02απ<<)，当απ=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点．35．(2012全国文理)已知曲线1C 的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 2y x (ϕ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ．正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A 、B 、C 、D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为)3,2(π．(Ⅰ)求点A 、B 、C 、D 的直角坐标；(Ⅱ)设P 为1C 上任意一点，求2222||||||||PD PC PB P A +++的取值范围．【解析】(1)点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636ππππ，点,,,A B C D 的直角坐标为(1,3),(3,1),(1,3),(3,1)----．(2)设00(,)P x y ；则002cos ()3sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，222222004416t PA PB PC PD x y =+++=++23220sin [32,52]ϕ=+∈．36．(2011全国文理)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)，M 是1C 上的动点，P 点满足2OP OM =uuu v uuuv，P 点的轨迹为曲线2C (Ⅰ)求2C 的方程(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求AB ．【解析】(I)设(,)P x y ，则由条件知M(,22x y)．由于M 点在1C 上，所以2cos 222sin 2xy αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩，从而2C 的参数方程为4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)，(Ⅱ)曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=．射线3πθ=与1C 的交点A 的极径为14sin 3πρ=，射线3πθ=与2C 的交点B 的极径为28sin 3πρ=．所以21||||23AB ρρ-==。

高三数学极坐标试题

高三数学极坐标试题1.在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：(a＞0)，过点P(－2，－4)的直线l的参数方程为(t为参数)，l与C分别交于M，N.(1)写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值.【答案】(1)x－y－2＝0；(2)1.【解析】(1)利用极坐标与普通方程的关系式，可得C为抛物线方程，消去参数t，可得直线l的方程；(2)由|PM|＝|t1|，|MN|＝|t1－t2|，|PN|＝|t2|成等比数列，可转化为关于a的等量关系求解.试题解析：(Ⅰ)曲线C的直角坐标方程为y2＝2ax(a＞0)；直线l的普通方程为x－y－2＝0． 4分(Ⅱ)将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立，得t2－2(4＋a) t＋8(4＋a)＝0 (*)△＝8a(4＋a)＞0．设点M，N分别对应参数t1，t2，恰为上述方程的根．则|PM|＝|t1|，|PN|＝|t2|，|MN|＝|t1－t2|．由题设得(t1－t2)2＝|t1t2|，即(t1＋t2)2－4t1t2＝|t1t2|．由(*)得t1＋t2＝2(4＋a)，t1t2＝8(4＋a)＞0，则有(4＋a)2－5(4＋a)＝0，得a＝1，或a＝－4．因为a＞0，所以a＝1． 10分考点:参数方程与极坐标2.已知曲线的直角坐标方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.是曲线上一点，，将点绕点逆时针旋转角后得到点, ,点的轨迹是曲线.（Ⅰ）求曲线的极坐标方程.（Ⅱ）求的取值范围.【答案】（Ⅰ）＝＋，（Ⅱ）[2，4]【解析】（Ⅰ）先将曲线的直角坐标方程化为极坐标方程，设M(ρ，θ)，根据知，Q （，θ)，由是曲线上一点，，将点绕点逆时针旋转角后得到点知，P（，），代入曲线的极坐标方程即得到曲线的极坐标方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲线的极坐标方程为）＝＋，所以=＝ (1＋3sin2)，先求的取值范围，利用不等式的性质，即可求出|OM|的取值范围.试题解析：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为＋ρ2sin2θ＝1，即＋sin2θ＝．在极坐标系中，设M(ρ，θ)，P(ρ1，α)，则题设可知，ρ1＝，α＝. ①因为点P在曲线C1上，所以＋sin2α＝②由①②得曲线C的极坐标方程为＝＋. 6分2（Ⅱ）由（Ⅰ）得＝ (1＋3sin2)．因为的取值范围是[，]，所以|OM|的取值范围是[2，4]. 10分【考点】直角坐标方程与极坐标方程互化，相关点法求曲线方程，函数的值域3.在平面直角坐标系中，为原点，，,，动点满足,则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为坐标为且,所以动点的轨迹为以为圆心的单位圆,则满足参数方程(为参数且),所以设的坐标为为,则,因为的取值范围为且,,所以的取值范围为,故选D.【考点】参数方程圆三角函数4.（5分）（2011•广东）已知两曲线参数方程分别为（0≤θ＜π）和（t∈R），它们的交点坐标为．【答案】（1，）【解析】利用同角三角函数的基本关系及代入的方法，把参数方程化为普通方程，再利用消去参数t化曲线的参数方程为普通方程，最后解方程组求得两曲线的交点坐标即可．解：曲线参数方程（0≤θ＜π）的直角坐标方程为：；曲线（t∈R）的普通方程为：；解方程组：得：∴它们的交点坐标为（1，）．故答案为：（1，）．点评：本题考查同角三角函数的基本关系，参把数方程化为普通方程的方法，以及求两曲线的交点坐标的方法，考查运算求解能力．属于基础题．5.在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数），将曲线上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的、倍后得到曲线的直角坐标方程为 .【答案】.【解析】易得曲线的普通方程为，在曲线，在曲线上任取一点，经过坐标变换后对应的点坐标为，则有，由于点在曲线，则有，于是有，化简后得，即曲线的方程为.【考点】1.参数方程；2.坐标变换6.在极坐标系中，与的交点的极坐标为．【答案】【解析】由题意，故其交点极坐标为．【考点】曲线的交点坐标．7.在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2sin，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的方程为y＝2x＋1，判断直线l和圆C的位置关系．【答案】直线l和圆C相交【解析】ρ＝2sin即ρ＝2(sinθ＋cosθ)，两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsinθ＋ρcosθ)，得圆C 的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，圆心C到直线l的距离d＝，所以直线l和圆C相交．8.在极坐标系中，求曲线ρ＝cosθ＋1与ρcosθ＝1的公共点到极点的距离．【答案】【解析】联立方程组得ρ(ρ－1)＝1ρ＝.又ρ≥0，故所求为.9.在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程是（为参数）；以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程为．（1）写出直线的普通方程与圆的直角坐标方程；（2）由直线上的点向圆引切线，求切线长的最小值.【答案】(1),曲线C:（2）．【解析】先将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再把直线上的点的坐标（含参数）代入，化为求函数的最值问题，也可将直线的参数方程化为普通方程，根据勾股定理转化为求圆心到直线上最小值的问题.试题解析：（1）,曲线C: 4分（2）因为圆的极坐标方程为，所以，所以圆的直角坐标方程为，圆心为,半径为1, 6分因为直线的参数方程为（为参数），所以直线上的点向圆C引切线长是，所以直线上的点向圆C引的切线长的最小值是． 10分【考点】参数方程与极坐标，直线与圆的位置关系.10.（坐标系与参数方程选做题）已知直线（为参数且）与曲线（是参数且），则直线与曲线的交点坐标为.【答案】.【解析】将直线的方程化为斜截式得，由于，对于曲线的参数方程，则有，因此曲线的普通方程为，联立直线与曲线的方程得，解得或，由于故直线与曲线的交点坐标为.【考点】1.参数方程；2.直线与曲线交点的求解11.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以为极点，射线为极轴的极坐标系中，曲线的方程为，曲线与交于两点，则线段的长度为___________.【答案】【解析】由题意，的参数方程转化为直角坐标方程为，的极坐标方程转化为直角坐标方程为，即，圆心到直线的距离为，所以.【考点】1.参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化；2.圆中弦长的求解.12.已知直线的参数方程为为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．（1）求圆的直角坐标方程；（2）若是直线与圆面≤的公共点，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据公式将极坐标方程转化为直角坐标方程。

极坐标与参数方程例题示范(分题型)

极坐标与参数方程例题示范(分题型)极坐标与参数方程是选修内容的必考题型，这里按照课本及高考考试说明，归纳总结为四类题型。

题型一。

极坐标与直角坐标的互化。

互化原理（三角函数定义）、数形结合。

1．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=+-=t y t x 13（t 为参数），以O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，曲线C 的极坐标方程为0cos 2=+θρ.（1）把曲线C 的极坐标方程化为普通方程；（2）求直线l 与曲线C 的交点的极坐标（πθρ20,0<≤≥）.试题解析：（1）由0cos 2=+θρ得θρcos 2-=，两边同乘以ρ，得x y x 222-=+；（2）由直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=+-=ty tx 13（t 为参数），得直线的普通方程为02=++y x ，联立曲线C 与直线l 的方程得，⎩⎨⎧-=-=11y x 或⎩⎨⎧=-=02y x ，化为极坐标为)45,2(π或),2(π.考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程与普通方程的互化. 考点：cos ,sin x y ρθρθ==，222x y ρ=+. 2．在极坐标系中，设圆C经过点6π⎛⎫P ⎪⎝⎭，圆心是直线sin 32πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．试题解析：法一：6π⎛⎫P ⎪⎝⎭直线sin 32πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭它与x 轴的交点也就是圆心为()1,0所以圆的方程为()2211x y -+=，得2220x y x +-=所以，圆的极坐标方程为：2cos ρθ=法二：因为圆心为直线2sin sin 33ππρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭与极轴的交点，所以令0θ=，得1ρ=，即圆心是()1,0 又圆C经过点6π⎫P ⎪⎭，∴圆的半径1r ==，∴圆过原点，∴圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=．考点：（1）转化为直角坐标，求出所求方程，再转化为极坐标；（2）先求圆心坐标，再运用余弦定理求半径，最后借助过原点写出圆的极坐标方程.题型二。

高三数学极坐标系试题答案及解析

高三数学极坐标系试题答案及解析1.曲线关于曲线（为参数）的准线对称，则.【答案】2【解析】曲线的直角坐标方程为，其圆心；消去得曲线的方程为，其准线方程为由题意知，在直线上，所以，解得故答案为2【考点】曲线的参数方程和极坐标方程.2.在极坐标系中，过点引圆的一条切线，则切线长为 .【答案】.【解析】点的直角坐标为，将圆的极坐标方程化为普通方程得，圆心到点的距离为，因此切线长为.【考点】1.极坐标与直角坐标的转化；2.勾股定理3.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的方程为，则与的两个交点间的距离为 .【答案】.【解析】曲线表示的是以点为圆心，以为半径的圆，将曲线的极坐标方程化为普通方程得，圆心到此直线的距离为，因此与的两个交点间的距离为.【考点】1.极坐标方程、参数方程与直角坐标方程之间的转化；2.直线与圆的位置关系4.极坐标方程为的圆与参数方程的直线的位置关系是 .【答案】相交【解析】试题分析:圆的直角坐标方程为，直线的普通方程为，故圆心在直线上，所以直线和圆相交．【考点】1、圆的极坐标方程；2、直线的参数方程.5.已知圆的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），点的极坐标为，设直线与圆交于点、.（1）写出圆的直角坐标方程；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）在极坐标方程的两边同时乘以，然后由，即可得到圆的直角坐标方程；（2）将直线的标准参数方程代入圆的直角坐标方程，消去、得到有关的参数方程，然后利用韦达定理求出的值.（1）由，得，，即，即圆的直角坐标方程为；（2）由点的极坐标得点直角坐标为，将代入消去、，整理得，设、为方程的两个根，则，所以.【考点】1.圆的极坐标方程与直角坐标方程之间的转化；2.韦达定理6.已知曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.（1）写出的极坐标方程和的直角坐标方程；（2）已知点、的极坐标分别是、，直线与曲线相交于、两点，射线与曲线相交于点，射线与曲线相交于点，求的值．【答案】（1）：，；（2）.【解析】（1）题中参数方程化为普通方程只要消去参数，极坐标系与直角坐标系的互化公式为：；（2）首先明确是什么？可把点坐标化为直角坐标，发现就是圆心，从而线段是圆的直径，因此题中有，即，我们在极坐标系中证明本题结论较方便，因为可设，代入的极坐标方程，可得，代入即可求得. 试题解析：（1）曲线的普通方程为 1分化为极坐标方程为： 3分曲线的普通方程为： 5分（2）在直角坐标系下，，线段是是圆的一条直径，∴，由，有 6分是椭圆上的两点，在极坐标系下，设分别代入，有， 8分解得：，.则 9分即. 10分【考点】(1)参数方程，极坐标方程与普通方程的互化；(2)极径的计算.7.在直角坐标系中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．（Ⅰ）写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；（Ⅱ）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．【答案】（Ⅰ）,；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）将展开得，则转化成直角坐标方程为，那么M，N的极坐标时，，所以，时，，所以；（Ⅱ）先将MN的极坐标转化成直角坐标点的直角坐标为（2，0），点的直角坐标为，从而点的直角坐标为，则点的极坐标为，所以直线的极坐标方程为.试题解析：（Ⅰ）由得．从而的直角坐标方程为，即．时，，所以．时，，所以．（Ⅱ）点的直角坐标为（2，0），点的直角坐标为．所以点的直角坐标为，则点的极坐标为．所以直线的极坐标方程为．【考点】1.极坐标方程和直角坐标方程之间的转化.8.已知曲线C的极坐标方程为，直线的参数方程为(t为参数，0≤＜). (Ⅰ)把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；(Ⅱ)若直线经过点(1,0)，求直线被曲线C截得的线段AB的长.【答案】（Ⅰ），曲线C是顶点为，焦点为的抛物线；(Ⅱ)8.【解析】（Ⅰ）根据极坐标和直角坐标的关系得直角坐标方程；(Ⅱ)方法1：由已知条件求直线的参数方程，代入曲线C的方程，得关于参数的二次方程，可利用求得长度；方法2：先把直线的方程化为普通方程，再与曲线C联立求交点坐标，既得所求.试题解析：（Ⅰ）方程两边同乘，得，把代入上式，得，这就是曲线C的直角坐标方程，曲线C是顶点为，焦点为的抛物线. 3分（Ⅱ）方法1：直线（为参数，）经过点，若直线又经过点，则，直线的参数方程为（为参数），代入曲线C的方程，得整理得. ①设直线与曲线C的交点A、B对应的参数分别为，则是方程①的两个实根，于是，直线被曲线C截得的线段AB的长为. 7分方法2：设直线的普通方程为，若直线经过点，则，即，的方程为，解方程组，得或，即A、B两点的坐标分别为，于是直线被曲线C截得的线段AB的长为. 7分【考点】1、极坐标与直角坐标的互化；2、参数方程；3、直线被曲线所截线段的求法.9.（坐标系与参数方程选做题）设点的极坐标为，直线过点且与极轴所成的角为，则直线的极坐标方程为．【答案】或或或【解析】略10.15．选做题（请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）A．（选修4—4坐标系与参数方程）已知点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是 .B.（选修4—5不等式选讲）不等式的解集是．C.（选修4—1几何证明选讲）如图所示,和分别是圆的切线，且，,延长到点，则的面积是 .【答案】A . B . C .【解析】略11. (坐标系与参数方程选讲选做题)在直角坐标系中曲线的极坐标方程为，写出曲线的直角坐标方程．【答案】（或【解析】略12.（坐标系与参数方程选做题）同时给出极坐标系与直角坐标系，且极轴为ox，则极坐标方程化为对应的直角坐标方程是。

高中数学极坐标常见题型解法分析

高中数学极坐标常见题型解法分析ʏ谭潇极坐标系是建立在以前学习数轴㊁平面直角坐标系,以及空间直角坐标系的基础上进一步学习的内容㊂极坐标是高中数学的选修内容,整体难度不大,是学生可以拿满分的考点㊂本文首先介绍常见题型极坐标的基本公式,而后分别举例介绍其常见题型的解法㊂希望能对同学们梳理有关极坐标的知识和常见题型解法有所帮助㊂一㊁极坐标基本公式要想求解极坐标的相关题型,我们就要熟记其基本公式,主要有三种:极坐标与直角坐标系的互化公式㊁常见圆的极坐标方程㊁常见直线的极坐标方程㊂(一)极坐标与直角坐标系的互化公式设点P 的直角坐标为(x ,y ),极坐标为(ρ,θ),则有(ρ,θ)ң(x ,y )时,x =ρc o s θ,y =ρs i n θ;(x ,y )ң(ρ,θ)时,ρ2=x 2+y 2,t a n θ=y x(x ʂ0)㊂(二)常见圆的极坐标方程圆心在极点,半径为r 的圆,ρ=r ;圆心为M (a ,0),半径为ɑ的圆,ρ=2ɑc o s θ;圆心为M a ,π2(),半径为ɑ的圆,ρ=2ɑs i n θ㊂(三)常见直线的极坐标方程直线过极点,直线的倾斜角为α,θ=α(ρɪR );直线过点M (a ,0),且垂直于极轴,ρc o s θ=a ;直线过点M a ,π2(),且平行于极轴,ρs i n θ=a ㊂二㊁常见题型解法分析(一)极坐标系的求解1.在点与点的位置关系中,(ρ,θ)关于极点的对称点为(ρ,θ+π),关于直线ɑ=π2的对称点为(ρ,π-θ),关于极轴的对称点为(ρ,-θ)㊂例1 已知Q 2,1915π(),求满足下列条件的点的极坐标㊂(1)P 1是点Q 关于极点O 的对称点㊂(2)P 3是点Q 关于极轴的对称点㊂参考答案:(1)P 12,1915π()㊂(2)P 32,æèç-1415π)㊂(解题过程略)2.求解极坐标下两点A (ρ1,θ1),B (ρ2,θ2)的距离时可以利用公式:|A B |=ρ21+ρ22-2ρ1ρ2θ1-θ2()㊂例2 在极坐标系中,若A 3,π3(),B 4,76π(),求әA B O 的面积㊂解析:由题意可知,在әA O B 中,O A =3,O B =4,øA O B =76π-π3=56π,所以әA B O 的面积为S әA O B =12|O A |ˑ|O B |ˑs i n øA O B =12ˑ3ˑ4ˑs i n 56π=3㊂故әA O B 的面积为3㊂(二)曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化例3 在极坐标系中,圆ρ=8s i n θ上的点到直线θ=π3(ρɪR )距离的最大值是㊂解析:将圆ρ=8s i n θ化为直角坐标方程,为x 2+y 2-8y =0,即x 2+(y -4)2=16㊂将直线θ=π3(ρɪR )化为直角坐标方程,为y =3x ㊂结合图形可知圆上的点到直线的最大距离可转化为圆心到直线的距离再加上半径㊂圆心(0,4)到直线y =3x 的距离为4(3)2+12=2,又圆的半径r =4,所以圆上的点到直线的最大距离为6㊂作者单位:广西南宁市第三十四中学83 基础数学障碍分析自主招生 2020年7 8月。

极坐标方程及其应用

考点一极坐标方程及其应用例题(2015山西四校联考)在直角坐标系 xOy 中，圆C 的参数方程x = 1 + cos ©(©为参数)•以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. y = sin©①求圆C 的极坐标方程；n n② 直线I 的极坐标方程是2 p in E+ 3 = 3 3,射线OM : A3与圆C 的交点为O 、P ,与直线I 的交点为Q ,求线段PQ 的长.【审题立意】本题考查极坐标方程，属于中档题. 【技能突破】求解极坐标方程的题应注意两点：(1) 曲线的极坐标方程化为直角坐标方程时，如果不容易直接转化，要先变形. (2) 已知两曲线的极坐标方程求交点时，可首先化为直角坐标方程，求出直角坐标交点，再化为极坐标.【解题思路】把直角坐标方程化为极坐标，注意化简，联立求交点坐标. 【参考答案】①圆C 的普通方程为(x - 1)2 + y 2= 1，又x = p os O, y = p in 9, 所以圆C 的极坐标方程为2cos 9.尸 2cos 9②设P(p, 9),则由 n ，解A ；p sin 9+ 3cos 9 = 3 3设Q( p, 9)，则由 n缸3 所以 |PQ|= 2. 【变式训练】(2015课标全国卷I )在直角坐标系xOy 中，直线C 1： x =- 2,圆C 2： (x - 1)2 + (y - 2)2= 1,以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C 1, C 2的极坐标方程；冗(2)若直线C 3的极坐标方程为 =4( p€ R)，设C 2与C 3的交点为M , N ,求 △ C 2MN 的面积.解析：(1)因为x = p os 9, y = p in 0所以C 1的极坐标方程为 p os 0=- 2, C 2的极坐标方程为 p-2 p os 9-4 psin 9+ 4 = 0.⑵将 9=才弋入 p - 2 p os 9— 4 p in 9+ 4= 0, 得 p-3.2 p+ 4 = 0,n,解得 p = 3, 0=3.解得 p = 2 2, p= 2.故 p — p= .2,即 |MN|= 2.1由于C 2的半径为1，所以△ C 2MN 的面积为$ 考点二极坐标与参数方程例题1 (2015陕西高考)在直角坐标系xOy 中，直线I 的参数方程为(t 为参数).以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系C 的极坐标方程为尸 2 3sinB.(1) 写出。

高三数学极坐标系试题答案及解析

高三数学极坐标系试题答案及解析1.在极坐标系中，点和圆的圆心的距离为( )A．B． 2C．D．【答案】A【解析】在极坐标系中，点，在直角坐标系下的坐标为；在极坐标系中的圆在直角坐标系下的方程为，圆心坐标为，点到圆心的距离为，故选A.【考点】1、极坐标的概念；极坐标与直角坐标的转换；2、圆的方程；3、平面直角坐标系两点间的距离公式.2.已知在平面直角坐标系中圆的参数方程为：，（为参数），以为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：，则圆截直线所得弦长为 .【答案】.【解析】圆（为参数）表示的曲线是以点为圆心，以为半径的圆，将直线的方程化为直角坐标方程为，圆心到直线的距离，故圆截直线所得弦长.【考点】1.极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的转化；2.点到直线的距离；3.勾股定理3.在直角坐标系中，圆的参数方程为参数）．以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆的极坐标方程；（Ⅱ）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为,与直线的交点为，求线段的长．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）线段的长为2．【解析】（Ⅰ）求圆的极坐标方程，首先得知道圆的普通方程，由圆的参数方程为参数），可得圆的普通方程是，由公式，，，可得圆的极坐标方程，值得注意的是，参数方程化极坐标方程，必须转化为普通方程；（Ⅱ）求线段的长，此问题处理方法有两种，一转化为普通方程，利用普通方程求出两点的坐标，有两点距离公式可求得线段的长，二利用极坐标方程求出两点的极坐标，由于，所以，所以线段的长为2．试题解析：(Ⅰ)圆的普通方程是，又;所以圆的极坐标方程是.(Ⅱ)设为点的极坐标，则有解得，设为点的极坐标，则有解得，由于，所以，所以线段的长为2.【考点】参数方程，普通方程，极坐标方程之间的转化，考查学生的转化与化归能力及运算能力．4.选修4－4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程是，圆C的极坐标方程为．（1）求圆心C的直角坐标；（2）由直线上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．【答案】（I），，…………（2分），…………（3分）即，．…………（5分）（II）方法1：直线上的点向圆C引切线长是，…………（8分）∴直线上的点向圆C引的切线长的最小值是…………（10分）方法2：，…………（8分）圆心C到距离是，∴直线上的点向圆C引的切线长的最小值是【解析】略5.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线的参数方程为.在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为. （Ⅰ）求圆C在直角坐标系中的方程；（Ⅱ）若圆C与直线相切，求实数a的值.【答案】（Ⅰ）由得，…………２分结合极坐标与直角坐标的互化公式得，即…………５分（Ⅱ）由直线的参数方程化为普通方程，得，. …………７分结合圆C与直线相切，得，解得.【解析】略6.在极坐标系中，若过点且与极轴垂直的直线交曲线于A、B两点，则____ _【答案】【解析】略7.极坐标方程和参数方程（为参数）所表示的图形分别是A．圆、直线B．直线、圆C．圆、圆D．直线、直线【答案】A【解析】略8.（坐标系与参数方程选做题）极点到直线的距离是 .【答案】【解析】略9.极坐标方程（p-1）（）=（p0）表示的图形是A．两个圆B．两条直线C．一个圆和一条射线D．一条直线和一条射线【答案】C【解析】略10.C．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系下，已知圆O：和直线，（1）求圆O和直线的直角坐标方程；（2）当时，求直线与圆O公共点的一个极坐标. D．选修4-5：不等式证明选讲对于任意实数和，不等式恒成立，试求实数的取值范围．【答案】【解析】∵，当且仅当时取等号∴的最小值等于2.…∴x的范围即为不等式|x－1|＋|x－2|≤2的解…解不等式得………11.（理）在极坐标系中，直线与圆的交点坐标是__________.【答案】（1，）（【解析】略12.在极坐标系中，由三条直线，，围成图形的面积是________【答案】【解析】三个极坐标方程化为直角坐标方程依次为，，，三条直线的交点坐标,,,三条直线围成的图形为，其面积为13.（10分）已知直线的极坐标方程为，圆的参数方程为（其中为参数）（1）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求圆上的点到直线的距离的最小值【答案】（1）（2）【解析】（1），即，故为。

极坐标

8-4极坐标1、已知点M的极坐标为，下列所给出的四个坐标中能表示点M的坐标是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：因为M的极坐标为，而选项D中的直角坐标和它也一样，所以说选 D，其余的不成立2、（极坐标）以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，点的极坐标是，则点直角坐标是A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：因为，点的极坐标是，所以，由计算得，点直角坐标是，选B。

考点：点的极坐标、直角坐标。

点评：简单题，利用极坐标、直角坐标转化公式。

3、极坐标方程表示的曲线是 ( )A．圆B．椭圆C．双曲线的一支圆D．抛物线【答案】D【解析】解：因为极坐标方程可见选D4、极坐标方程为所表示的曲线是（）A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线【答案】B【解析】∵，，由得．所以．∴极坐标方程为所表示的曲线是圆，故选B5、把极坐标方程ρ化成直角坐标方程是A．B．C．D．【答案】A【解析】应选A分析：把所给的极坐标方程两边同时乘以ρ 可得ρ2=-6ρcosθ，化为直角坐标方程是 x2+y2=-6x，化简得出结论．解：∵极坐标方程ρ=-6cosθ，两边同时乘以ρ 可得ρ2=-6ρcosθ，化为直角坐标方程是 x2+y2=-6x，即（x+3）2+y2=9，故选 A．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于基础题．6、把极坐标系下的点坐标化为直角坐标系下的点坐标为（）A．( 2 ,) B．(,2 )C．(, ) D．( 1,0 )【答案】C【解析】7、如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G。

给出下列三个结论：1AD+AE=AB+BC+CA；2AF·AG=AD·AE③△AFB ～△ADG其中正确结论的序号是A．①②B．②③C．①③D．①②③【答案】A.【解析】：①正确。

由条件可知，BD=BF，CF=CE，可得。