第二章 统计指数理论(统计指数理论及其应用-上海财经大学 徐国祥 )

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（二）拉氏指数的经济解释
• 拉氏价格指数的分子分母之差（ p1q 0 p0 q 0 ( p1 p0 )q 0 ）说 明消费者若要维持基期消费水平，由于变动将会增减多少实际开 支。 • 拉氏物量指数的分子分母之差（ p0 q1 p0 q 0 (q1 q 0 )p0 ）说 明在价格不边的前提下，纯粹由于物量变动而带来的价值变动。 • 价值额的变动中只考虑了价格或物量自身的变动所引起的价值变 动，没有考虑物量变动和价格变动交互影响引起的价值变动。 • 拉氏价格指数由于在相对较长的时间里保持权数不变（如每5年 或每10年才更新一次权数），所以能较好的反映纯价格比较原则， 但代表性较差，尤其是在产品更新换代快的时期。
Pp
p q
p0 q1 Δ p1 0W 01 p0 q1 p1q 0 Δ q1 0W10 p1q 0
其中：W01

p0q1 p0q1 p1q0 p1q0
Pq
p q p q
1 1 0

q1 0
其中：W10

• 派氏指数在寻找代表品物价、物量的平均变动时，都同时考虑了 物量、物价变动对它的影响
令 q,p 1 为价格弹性系数，则 2
B 1
0 2 0
k 1
W ( 1) W ( 1) W ( 1)
0
q ,p
q,p 2

W ( 1)
0
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2

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q,p
W (
0
p1/ 0 Lp Lp
) q,p
2
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因此，通过费暄检验的指数并不一定就是好的指数，用费暄检验 作为评价指数优劣的标准缺乏科学依据。
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二、时间互换检验
个体指数均符合这一检验。 对于统计指数的各种基本公式，仅简单综合法、简单几何平均法、 简单中位数法、简单众数法、固定加权综合法、以及加权几何平 均指数法符合，其余均不符合。
n
n
p3 0
p q p q p q ( p q p q ( p q
3 2 3 0 3 0
n
q2 1 ) q3 2 )
1 1
3 2
n
n
q3 0 )
Kp3 0 Kq1 0 Kq2 1 Kq3 2 q1 0 (
n
p q p q
0 n
1 1 0
Lp
p q p q
1 0
0 0
p1 0
p0 q 0 Δ p1 0W 0 p0 q 0
其中：

p0q0 W0 p0q0
• 拉氏价格指数是EX的渐进无偏估计 代表品价值指数为：
V1 0
v v
1 0

p
10
q 1 0W 0
p1 0W p p1 0W 0 p1 0
Pq
p1q 0
p1q1
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93.44%

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page11
一、费暄检验理论
• 恒等性检验：Pt/t=1，某时期的资料与其本身比较，结果必然为 100%。 • 公度性检验：指数值不随各种产品的计量单位变化而变化。 • 比例性检验（平均值检验）：若每个个体指数pt/b=C（b表示基 期），则总指数Pt/b=C。 • 确定性检验：当某商品的单位价格或数量为0时，Pt/t既不为0， 也不为无穷大，更不是不定。 • 进退检验（联合检验）：在原有n个产品资料中，增减一个产品， 结果仍与按n个产品计算的指数值Pt/b相等。
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三、派氏指数的数理解释和经济解释
（一）派氏指数的数理解释
1、派氏价格指数和派氏物量指数不是个体价格指数X和个体物量 指数Y联合分布的边际数学期望EX、EY的点估计量 • 派氏价格指数是随机变量p1/0在概率分布{W01}下的离散数学期望 • 派氏物量指数是随机变量q1/0在概率分布{W10}下的离散数学期望
2 Sp
L2 p
q,pVp2
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• 当 q,p 0 时，拉氏指数大于派氏指数，拉氏指数比派氏指数能 较好地反映社会经济现象的变动情况。 • 当 q,p 0 时，派氏指数大于拉氏指数，派氏指数比拉氏指数能 较好地反映社会经济现象的变动情况。 • 平均物价弹性系数和平均物量弹性系数的大小一般是不同的， 但是变化方向是完全一致的，均由相关系数决定。
以下列商品报告期和基期销售资料为例。
Kp
n
p1 0
p q ( p q
0
1 1 0
n
q1 0 )
1.0205
0.7763 0.7246
1.0205 1.0714 1.0456
甲商品的价格上涨1.6％，乙商品上涨2.5％，但用总指数Kp计算 结果却是两种商品的价格平均上涨4.56％！
1 1 0
p1 0 q1 0
p0 q 0 p0 q 0
lim 总体商品的价值： V N p j q j
j 1
总体商品的价值指数：
EZ lim
p
j 1
N
1j
q1 j q0 j
N N
p
j 1
0j
n
lim V1 0 lim
i 1 n n i 1
3、何种经济环境能使派氏指数或拉氏指数比较好地揭示经济现象 的变化情况
• ρ>０时（适于经济过热和复苏时期），选用派氏指数比较好， 这时价格指数和物量指数同向变动，亦即价格、物量的环比发 展速度和环比增长速度有同向变动的趋势。 • ρ<０时（适于经济正常和滑坡时期），选用拉氏指数比较好， 物价指数和物量指数异向变动，亦即物价和物量的环比发展速 度或环比增长速度具有反向变动的趋势。
大多数指数不能通过时间互换检验的原因：
1、时间互换检验成立的前提是时间维的可逆性，这显然是主观意 识的产物，违背事物发展的规律。 2、时间互换检验不能反映经济实体的内在特征。 3、时间互换检验从思维方式上僵化了总体内部属性。
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第二章 统计指数理论
2.1 统计指数的数理经济理论 2.2 统计指数的优良性检验理论
2.3 统计指数的评价标准
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page1
2
2.1 统计指数的数理经济理论
一、个体指数与总指数性质及其关系描述
1、个体指数是随机变量 随机变量要具备下列四个条件： ①变量所有可能的值都是已知的； ②在每次试验之前变量将出现什么值是未知的； ③每次试验后变量是一个确定的数； ④如果反复进行同样的试验，变量出现的值有一定的规律性。
较直 观， 一般 指数 容易 通过
• 时间互换检验：Pt/b×Pb/t=1
• 因子互换检验：Pt/b×Qt/b=Vt/b
• 循环检验（连锁检验）：P1/0× P2/1×…×Pt/t-1=
对于大样本 费暄 或增减非主 检验 要产品，指 核心 数值变化极 小，可忽略 Pt/0 不计
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2.2 统计指数的优良性检验理论
例：某商店3种商品报告期和基期销售资料如下表所示。
价格指数 拉氏
Lp
物量指数
Lq
p q p q
1 0
0 0
107 .02%
p q p q
0 0
1 0
107 .02 %
派氏
Pp
p0 q1
p1q1
93.44%
(i )
当代表品样本足够大时，拉氏价格指数收敛于边际数学期望EX。 2、拉氏物量指数是个体物量指数Y的边际数学期望EY的一致渐进 无偏估计量 同理： • 拉氏物量指数是随机变量q1/0在概率分布{W0}下的离散数学期望 • 拉氏物量指数是EY的渐进无偏估计
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• 拉氏物量指数是EY的一致估计
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以下列价格指数和物量指数为例，验证是否满足费暄最后三个检验。
Kp
n
p1 0
p q ( p q
0
1 1 0
n
q1 0 )
Kq
n
q1 0
p q ( p q
0
1 1 0
n
p1 0 )
1、时间互换检验
n
p1 0 (
p q p q
0
1 1 0
n
q1 0 )
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2、代表品价值指数是总体价值指数的一致无偏估计量 代表品个体价格指数：p1/0=p1/p0 代表品个体物量指数： q1/0=q1/q0
代表品个体价值指数： v1/0=v1/v0= p1/0 q1/0
代表品价值指数：V1 0
v v
1 0

N
p q p q
0
p0 q 0 p0 q 0
p q p q
1 0
0 0
L p
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由于代表品样本是分层样本，所以指数 p1 0W 是EX的无偏估计 p q 量。又因为 0 0 W ，所以拉氏价格指数渐近于无偏估计。

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p q
0
0
page4
• 拉氏价格指数是EX的一致估计
lim Lp lim
n
p0 1 (
p q p q
0
0
n
q0 1 ) 1
1 1
n
q1 0 (
p q p q