第三章微分中值定理导数的应用

第三章微分中值定理导数的应用

教学目的与要求

1掌握并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。

2理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。

3． 用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，

会描绘函数的图形。

4． 握用洛必达法则求未定式极限的方法。

5． 道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。 6． 了解方程近似解的二分法及切线法。

一、中值定理，泰勒公式（放入泰勒级数中讲） 1．罗尔定理

如()x f

满足：

（1）在[]b ,a 连续.

（2）在()b ,a 可导.

（3）()()b f a f

= 则至少存在一点()b ,a ∈ξ

使()0f

/

=ξ

例 设()()()()1x 31x 21x x x g -++=，则 在区间（-1，0）内，方程()0x g /=

有2个实根；在（-1，1）内()0x g //=有2个根 例 设()x f

在[0，1]可导，且()()01f 0f ==，

证明存在()1,0∈η，使()()0f f /=ηη+η。

证： 设()()x xf x F

=在[a,b]可导，()()1F 0F =

∴ 存在()1,0∈η使()0F /=η 即()()0f f /=ηη+η

例 设()x f

在[0，1]可导，且()()01f 0f ==,

证明存在η ()()0F F /

=η+η 。

解: 设()()x f e x F

x =，且()()1F 0F = 由罗尔定理

存在η 使()0F /

=η 即()()0f e f e /=η+ηηη，

亦即()()0f f

/=η+η

例 习题6

设()()()x g e x f x F =（复合函数求导） 2、 拉格朗日中值定理

如()x f

满足：①在[a,b]连续；②在（a,b ）连续，

则存在()b ,a ∈

ξ

使()()()()a b f a f b f /-ξ=-。 推论：⑴ 如果在区间I 上()0x f /≡，则()c x f =

⑵ 如果在区间I 上())0(0

x f /

<>，

()x f 在Ｉ单增（减）

例 对任意满足

1x <的x ，

都有4

x arcsin 2

1x

1x 1arctg π=++-

设 ()x arcsin 2

1

x 1x 1arctg x f ++-= ∵ ()()0x 1121x 12x

1x 121x 1x 111x f 22/

=-++-⋅+-⋅+-+=

0x 121x 12x 1x 12x 1212

22=-++⋅-+⋅+⋅-= ∴ ()c x f

=

∵ ()40f π= ∴ ()4

x f π=

例 设

()0x >，证明

()x x 1ln x

1x

<+<+ 求导证明

作业：见各章节课后习题。

二、洛必达法则 未定形：

如下的函数极限都是未定形。

1、

型： 如：x x x x x --→tan sin lim 0型：

2、

∞

∞

型： 如：0ln lim >+∞→a x x a

x

3、∞*0型： 如：0ln lim >⋅+∞

→a x

x a x

4、∞-∞型：如：)1

sin 1(

lim 0

x

x x -→ 5、0

0 型： 如：x x x arctan 0

lim

+→

6、0

∞ 型： 如：x

x ctgx ln 10

)

(lim +→

7、∞

1 型： 如：2

1

0)sin (

lim x x x

x → 它们的计算不能用函数极限的四则运算法则，

且它们只表示类型，没有具体意义。 1、

00 （∞

∞

）型的洛必达法则a x →(同理∞→x ) 定理：对函数和，如果： （1）

0)(lim )

(=∞→→x f x a

x , 0)(lim )

(=∞→→x g x a x

（2）在某个邻域),(δa N 内（X x >后）有导数

'f 和'g ，且0)('≠x g ；

（3）)

(')

('lim

)

(x g x f x a x ∞→→存在（或无穷），则成立： )()

(lim )

(x g x f x a x ∞→→=)(')('lim )(x g x f x a x ∞→→

例：1) bx

ax x sin sin lim

0→

2)

30sin lim x x x x -→ 3) 1

23lim 2331+--+-→x x x x x x

例： 1)

x

x x

12

arctan lim

-+∞

→π

2) n

x x x

ln lim

+∞→

3) x

n

x e

x λ+∞→lim (λ>0)

3、其它类型

1) 0

11,

0∞

→

∞⋅∞

2) 0

0000101⨯-→-→

∞-∞ 3)

)0(0

ln 0ln 00型∞⋅⨯=→=y y

4)

0,1∞==∞

y y 解法同3）

例 ： 1) )0(ln lim 0

n x x n x +

→

2) )tan (sec lim 2

x x x -→

π

3) x

x x +

→0

lim 4) x

x x

x x sin tan lim

20-→