多元微积分 基本概念
多元微积分学
多元微积分学摘要：1.多元微积分学的基本概念2.多元函数的极限与连续3.偏导数4.全微分5.多元函数的泰勒公式6.隐函数定理与微分中值定理7.多元函数的极值与最值问题8.多元函数的曲线拟合与参数估计9.多元微积分学的应用正文：一、多元微积分学的基本概念多元微积分学是微积分学的一个重要分支，主要研究多元函数的极限、连续、微分、积分等性质。
在多元微积分学中，我们通常考虑两个或两个以上的变量，例如x, y, z 等。
多元微积分学的基本概念包括多元函数、多元函数的极限与连续、偏导数、全微分等。
二、多元函数的极限与连续在多元函数中，我们需要研究函数在某一点的极限与连续性。
多元函数的极限定义为函数在某一点的邻域内的函数值趋于某一值的趋势。
而连续性则表示函数在某一点的左右极限存在且相等。
三、偏导数偏导数是多元函数微分学的基础概念，用于研究多元函数在某一点的变化率。
偏导数可分为一阶偏导数和二阶偏导数。
一阶偏导数表示函数在某一点的沿某一方向的变化率，而二阶偏导数表示函数在某一点的沿某一方向的曲率。
四、全微分全微分是多元函数微分学的另一个重要概念，用于研究多元函数在某一点的整体变化率。
全微分可以用于求解多元函数的泰勒公式，以及多元函数在某一点的隐函数定理与微分中值定理。
五、多元函数的泰勒公式多元函数的泰勒公式是多元微积分学中的一种重要公式，用于表示多元函数在某一点的近似值。
泰勒公式可以将多元函数展开为一个无穷级数，从而便于研究函数的性质。
六、隐函数定理与微分中值定理隐函数定理是多元微积分学中的一个重要定理，用于研究多元函数的隐函数。
微分中值定理则表示多元函数在某一点的平均变化率等于函数在该区间内某一点处的瞬时变化率。
七、多元函数的极值与最值问题多元函数的极值与最值问题是多元微积分学中的一个重要问题，研究如何求解多元函数在某一区域内的最大值与最小值。
这个问题可以通过求解多元函数的偏导数方程组来解决。
八、多元函数的曲线拟合与参数估计多元函数的曲线拟合与参数估计是多元微积分学中的一个重要应用，用于研究如何用多元函数来表示一组数据。
多元函数微积分知识点
多元函数微积分知识点多元函数微积分是微积分学中的一个重要分支，主要研究有多个自变量的函数的导数、偏导数、微分、积分等问题。
它是单变量函数微积分的拓展与推广，涉及涉及多元函数的极限、连续性、可微性、可导性、偏导数与全微分、多元复合函数的求导、隐函数的求导、多重积分等内容。
本文将从多元函数的定义与性质、偏导数与全微分、多元复合函数的求导、隐函数的求导、多重积分等几个方面介绍多元函数微积分的知识点。
1.多元函数的定义与性质多元函数是指有多个自变量的函数，一般形式为f(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn是自变量，f是因变量。
多元函数的定义域是自变量可能取值的集合。
在多元函数中，可以分别将每个自变量视为其他自变量的常数，对应单变量函数的概念。
多元函数的性质包括定义域、值域、可视化、极值等。
2.偏导数与全微分偏导数是多元函数在其中一变量上的导数，其他变量视为常数。
偏导数的计算与单变量函数的导数计算类似，可以通过极限或者求偏导数的定义计算。
全微分是多元函数在特定点的一个线性逼近，可以用于计算函数值的近似值。
全微分的表示为df = (∂f/∂x1)dx1 + (∂f/∂x2)dx2 + ... + (∂f/∂xn)dxn，其中∂f/∂xi表示对变量xi的偏导数。
3.多元复合函数的求导多元复合函数是指多个函数通过复合而成的函数，其中一个函数的导数是另一个函数的自变量。
类似于链式法则，多元复合函数的求导需要使用偏导数和全导数的概念。
对于函数z = f(g(x, y)),链式法则可以表示为dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy = (∂f/∂g)(dg/dx)dx +(∂f/∂g)(dg/dy)dy。
4.隐函数的求导5.多重积分多重积分是多元函数的积分形式，与单变量函数的定积分类似。
多重积分有二重积分、三重积分等，分别对应二元函数、三元函数等的积分。
多重积分可以用于计算函数在区域内的面积、体积等。
高等数学多元函数微积分
高等数学多元函数微积分多元函数微积分是高等数学中的一个重要分支。
它研究在多变量空间中的单变元函数的微分和积分问题。
这对学习曲面、平面的渐变、凹凸和分界、曲面的体积、局部极值等问题具有重要意义。
一、基本概念1. 超曲面：一般讲，超曲面就是在n维空间中的一类曲面，它们由至少n+1个函数组成。
它是由n维变量组成的，因而可以容纳n维量空间中所有的事物，从而形成一个多维结构。
2. 多元函数微分：多元函数微分就是对在多元空间内变量中的一个函数进行微分的一类函数，它可以应用于求解曲面的斜率，曲面的凹凸和分界，比如计算椭圆曲线、抛物曲线等的曲率和斜率等问题。
3. 多元函数积分：多元函数积分是指在多元空间中的一个函数的积分运算，它可以用于计算曲面的体积，曲面的拉伸与缩小等问题，它也可以用于计算曲面的累积，例如计算三维抛物面、回旋曲线等曲率积分的体积等。
二、求解方法1. 黎曼微积分法：黎曼微积分法是指在进行多元函数微积分时，识别出包含所求函数的一组导函数，然后根据黎曼公式将这些导函数求和，不断缩小未知函数的范围，最终确定出未知函数的表达式的一类方法。
2. 光滑函数的变换法：光滑函数的变换法指的是在进行多变量函数积分时，先将所给函数进行光滑变换，然后根据变换法则和对称性，极限性和旋转对称性等等属性，运用变换法，不断将多变量函数转化为单变量函数，最后将单变量函数进行积分。
三、应用1. 力学中的应用：多元函数微积分在力学中有着重要的作用，通过多元函数微积分，可以研究分析物体的运动轨迹，甚至可以预测未来的物体的状态。
2. 热物理学的应用：多元函数微积分可以用来研究热物理学中各种复杂多变量的函数，如热力学量在温度和压力变化时的变化情况，揭示物质性质在热状态时的性质变化，以及热流、热量变化的关系等。
3. 数学建模的应用：多元函数微积分也可以用来进行数学建模，如多元微积分可以用来描述一个普通一般问题的结构特性，如一个多边形的周长、三角形的体积、四棱锥的表面积等。
高三数学知识点：多元函数和多元微积分
高三数学知识点：多元函数和多元微积分1. 多元函数1.1 定义多元函数是指含有两个或两个上面所述变量的函数。
通常表示为f(x1,x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn是变量，称为自变量。
1.2 多元函数的图形多元函数的图形是多元函数的图像。
在平面上，我们可以画出二元函数的图像。
对于二元函数f(x, y)，我们可以固定一个变量的值，然后画出另一个变量的值随该变量变化的曲线。
这些曲线称为等值线。
1.3 多元函数的偏导数多元函数的偏导数是指对一个变量的导数，而将其他变量视为常数。
对于函数f(x1, x2, ..., xn)，其偏导数可以表示为：•∂f/∂x1：表示对x1的偏导数。
•∂f/∂x2：表示对x2的偏导数。
•∂f/∂xn：表示对xn的偏导数。
1.4 多元函数的极值多元函数的极值是指在某个区域内，函数取得最大值或最小值的情况。
通过求偏导数并解方程组，可以找到多元函数的极值。
2. 多元微积分2.1 多元积分多元积分是指对多元函数进行积分。
根据积分变量的不同，可以分为二重积分、三重积分和四重积分等。
2.1.1 二重积分二重积分是指对二元函数在某个区域上进行积分。
其一般形式为：∫∫_D f(x, y) dA其中，D表示积分区域，f(x, y)是被积函数，dA是面积元素。
2.1.2 三重积分三重积分是指对三元函数在某个区域上进行积分。
其一般形式为：∫∫∫_D f(x, y, z) dV其中，D表示积分区域，f(x, y, z)是被积函数，dV是体积元素。
2.1.3 四重积分四重积分是指对四元函数在某个区域上进行积分。
其一般形式为：∫∫∫∫_D f(x, y, z, w) dV其中，D表示积分区域，f(x, y, z, w)是被积函数，dV是体积元素。
2.2 向量微积分向量微积分包括向量的导数和向量的积分。
2.2.1 向量的导数向量的导数是指对向量场的导数。
对于向量场F(x, y, z)，其导数可以表示为：∂F/∂x, ∂F/∂y, ∂F/∂z2.2.2 向量的积分向量的积分是指对向量场进行积分。
多元函数微积分第二节
即 z = f ( x x , y y ) f ( x , y )
2、偏增量
如果 y 0，即只给自变量
引起的函数增量
以增量
x
x z f ( x x, y ) f ( x, y )
由此 x
叫做函数
在点 对应的自变量 的增
z f ( x, y )
+ )
（依偏导数的连续性）
= (, ) + 1
且当 x 0, y 0 时， 1 0 .
同理
1 + 2
∵
≤ 1 + 2
当 y 0 时， 2 0 ,
→ 00,
z
f y ( x , y )y 2 y
(0 < 1 < 1)
P ( x x , y y ) P 的某个邻域
z A x B y o( )
总成立,
当 y 0 时，上式仍成立，此时 | x |,
= + + ()
A x o(| x |),
f ( x x , y ) f ( x , y )
2×1+3×2=8,
| = 1=2 =
3×1+2×2=7.
RT
p
RT
证 p
2;
V
V
V
RT
RT
RT
=
⇒
=− 2;
V
p
= ;
=
⇒
pV
多元微积分
多元微积分多元微积分是数学的一个分支，旨在研究多元空间内的微积分。
在多元微积分中，我们将会学习多元函数的概念及其性质、偏导数和导数矩阵的定义、多元微分学中的极值问题及拉格朗日乘数法、多元积分学及其应用等。
首先，我们来了解一下多元函数的概念。
在单变量微积分中，我们研究的是只有一个自变量的函数，而在多元微积分中，函数可能有多个自变量。
例如，$z=f(x,y)$ 就是一个双变量函数，$f(x,y,z)$ 就是一个三元函数。
在多元函数中，我们可以用等高线图来表示函数在平面上的变化情况。
等高线上的任意一点表示函数在该点的取值相同，等高线间的高度差就代表着函数值的变化。
接下来，我们可以学习偏导数和导数矩阵的概念。
在单变量函数中，导数表示函数在某个点上的瞬时变化率。
在多元函数中，每个自变量都可以影响函数的取值，所以我们需要从每个自变量方向上来研究函数的变化，而这就是偏导数的概念。
偏导数描述了函数在某个点沿某一方向的变化速率。
导数矩阵是由多个偏导数组成的矩阵，表示函数在所有方向上的变化情况。
导数矩阵在多元函数的极值问题中起着重要的作用。
接下来，我们将学习多元微分学中的极值问题以及拉格朗日乘数法。
在单变量函数中，我们用导数来判断函数的极值，而在多元函数中，我们将使用导数矩阵和二次型矩阵来判断函数的极值。
二次型矩阵描述了函数取得极值的形状。
如果二次型矩阵为正定或负定，那么函数的极值就是极小值或极大值；如果二次型矩阵是一个不定矩阵，那么我们无法得出该函数的极值。
当我们需要研究函数的极值时，常常需要引入拉格朗日乘数法。
拉格朗日乘数法通过引入一个限制条件来确定函数的极值，这个限制条件可以是在某个区域内的限制性条件，例如体积、表面积等。
最后，我们将学习多元积分学和它的应用。
多元积分学是研究多元空间内面积、体积、质心等问题的数学学科。
在多元积分学中，我们将学习三种类型的积分：二重积分、三重积分和曲线积分。
二重积分用于计算一个平面区域内的面积；三重积分用于计算三维空间内的体积；曲线积分则用于计算空间内曲线的长度、质心等。
多元函数微积分复习概要
第六章多元函数微积分复习要点一、基本概念及相关定理1.多元函数的极限定义：函数(,)z f x y =在区域D 有定义，当点P(x ,y )D ∈沿任意路径无限趋于点000(,)P x y (0P P ≠)时, (,)f x y 无限趋于一个确定的常数A,则称常数A 是函数(,)z f x y =当P(x ,y )趋于000(,)P x y 时的极限.记作0lim (,)x xy y f x y A →→=,或00(,)(,)lim(,)x y x y f x y A →=,或(,)f x y A →,00(,)(,)x y x y →,或lim (,)f x y A ρ→=,或(,)f x y A →,0ρ→.其中，ρ= 2.二元函数连续的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 有定义，如果对任意0(,)()P x y U P ∈，都有0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=（或0lim ()()P P f P f P →=），则称函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处连续.3.偏导数的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 有定义.（1）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对x 的偏导数定义为00000(,)(,)lim x f x x y f x y x∆→+∆-∆，记作00x x y y zx ==∂∂，或00x x y y f x==∂∂，或00(,)x z x y '，或00(,)x f x y '，即x x y y zx==∂∂=00000(,)(,)lim x f x x y f x y x∆→+∆-∆.（2）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对y 的偏导数定义为00000(,)(,)lim y f x y y f x y y∆→+∆-∆，记作00x x y y zy ==∂∂，或00x x y y f y==∂∂，或00(,)y z x y '，或00(,)y f x y '，即x x y y zy==∂∂=00000(,)(,)lim y f x y y f x y y∆→+∆-∆.而称z x∂∂，或f x ∂∂，或(,)x z x y '，或(,)x f x y '及[z y ∂∂，或f y∂∂，或(,)y z x y '，或(,)y f x y ']为（关于x 或关于y ）偏导函数.高阶偏导数：22(,)xx z zf x y x x x∂∂∂⎛⎫''== ⎪∂∂∂⎝⎭或(,)xx z x y ''， 2(,)xy z zf x y y x x y∂∂∂⎛⎫''== ⎪∂∂∂∂⎝⎭或(,)xy z x y ''， 2(,)yx z zf x y x y y x⎛⎫∂∂∂''== ⎪∂∂∂∂⎝⎭或(,)yx z x y ''， 22(,)yyz zf x y y y y⎛⎫∂∂∂''== ⎪∂∂∂⎝⎭或(,)yy z x y ''. 同理可得，三阶、四阶、…，以及n 阶偏导数.4.全微分定义：设函数(,)z f x y =在点(,)P x y 的某一邻域()U P 有定义，若函数在点(,)x y 的全增量(,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-可表示为()z A x B y ρ∆=∆+∆+，其中A 、B 不依赖于x ∆、y ∆，仅于x、y有关，ρ=，则称函数(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分，称A x B y ∆+∆为函数(,)z f x y =在点(,)x y 的全微分，记为dz ，即dz A x B y =∆+∆.可微的必要条件：若函数(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分，则（1）函数(,)z f x y =在点(,)x y 的偏导数z x ∂∂、zy∂∂必存在；（2）全微分为z z dz x y z x y z dx dy x y∂∂+∂∂∂=∆+∆=∂∂∂. 推广：函数(,,)u f x y z =在点(,,)x y z 的全微分为u u udu dx dy dz x y z∂∂∂=++∂∂∂.可微的充分条件：若函数(,)z f x y =的偏导数z x∂∂、z y∂∂在点(,)x y 处连续⇒(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分.5.复合函数微分法（5种情况，由简单到复杂排列）： （1）含有多个中间变量的一元函数(,,)z f u v w =，()u u x =，()v v x =，()w w x =，则dz z du z dv z dwdx u dx v dx w dx∂∂∂=++∂∂∂， 称此导数dzdx为全导数；（2）只有一个中间变量的二元复合函数 情形1：()z f u =，(,)u u x y =，则z dz ux du x∂∂=∂∂ ，z dz u y du y∂∂=∂∂. 情形2：(,,)z f x y u =，(,)u u x y =，则z f z u x x u x∂∂∂∂=+∂∂∂∂ ，z f z u y y u y∂∂∂∂=+∂∂∂∂. zx wv u xx zuyxzy yuxx其中，f x∂∂与z x∂∂是不同的，z x∂∂是把复合函数[,,(,)]z f x y u x y =中的y 看作不变量而对x 的偏导数；f x∂∂是把函数(,,)f x y u 中的y 及u 看作不变量而对x 的偏导数。
多元函数微积分的基本概念与运算
多元函数微积分的基本概念与运算多元函数微积分，亦称为多元微积分，是微积分学的一个分支，它涉及到多个变量的函数的微积分。
多元函数微积分在物理、工程、金融等领域中具有重要应用价值。
本篇文章将介绍多元函数微积分的基本概念与运算。
一、多元函数的概念在多元函数微积分中，我们首先需要了解的是多元函数的概念。
在数学上，多元函数可以定义为具有多个自变量的函数。
例如，二元函数f(x,y)可以表示为：f(x,y) = x^2 + y^2其中x和y为自变量，f(x,y)是因变量。
在这个函数中，我们可以通过给定x和y的值来计算出f(x,y)的值。
二、偏导数在多元函数微积分中，我们可以通过偏微分来计算多元函数的变化情况。
偏导数可以理解为多元函数在某一自变量上的变化率。
例如，对于二元函数f(x,y) = x^2 + y^2 ，我们可以计算出它在x处的偏导数：∂f/∂x = 2x这个结果的意义是，在x这个自变量上，当y不变时，f(x,y)在x处的变化率是2x。
同样地，我们可以计算出f在y处的偏导数：∂f/∂y = 2y三、梯度梯度是多元函数微积分中的另一个重要概念，它是一个向量，由多个偏导数组成。
例如，对于二元函数f(x,y) = x^2 + y^2 ，我们可以计算出它的梯度：∇f = <2x, 2y>这个梯度的意义是，在（x,y）处，f(x,y)在x方向上的变化率是2x，在y方向上的变化率是2y。
梯度的模表示函数变化率的大小，方向表示函数变化率的方向。
四、方向导数方向导数是多元函数在某一方向上的变化率。
我们通常使用单位向量来描述方向。
例如，对于二元函数f(x,y) = x^2 + y^2 ，在点（1,1）处，我们可以计算出它在（1,1）处沿着向量<1,1>的方向导数：Df(1,1)<1,1> = ∇f(1,1)·<1,1> = 2(1)+2(1) = 4这个结果的意义是，在（1,1）处，f(x,y)沿着向量<1,1>的方向变化率是4。
多元微积分的基本概念
微积分是数学中的一个重要分支，用来研究函数的变化与变化率。
在常规的微积分中，我们主要研究的是一元函数，也就是只含有一个自变量的函数。
但是在实际生活中，我们经常会遇到含有多个变量的函数，比如二维平面上的曲线、平面上的曲面以及物理、经济等领域的实际问题。
为了更好地处理这些问题，多元微积分应运而生。
多元微积分主要研究的是多元函数，也就是含有多个自变量的函数。
在多元微积分中，我们不再关注函数在一条曲线上的变化情况，而是考虑函数在一个区域上的整体性质。
因此，多元微积分包含了很多新的概念和技巧。
首先，我们需要了解多元函数的定义。
一个二元函数定义为 f(x, y)，其中 x 和 y 是自变量，并且函数的取值是一个实数。
类似地，一个三元函数定义为f(x, y, z)，其中 x、y 和 z 是自变量。
需要注意的是，多元函数的自变量可以有多个，但输出只有一个。
接下来，我们来了解多元函数的极限。
多元函数的极限和一元函数的极限有些不同。
对于一个二元函数 f(x, y) ，当 (x, y) 的一对自变量趋于某个点 (a, b) 时，如果 f(x, y) 的取值趋于一个确定的值 L，那么我们说 f(x, y) 在点(a, b) 处存在极限 L。
同理，我们可以定义多元函数的一致收敛、偏微分等概念。
接下来是多元函数的导数。
对于一元函数 f(x)，导数可以用于刻画函数在某点上的斜率。
而对于多元函数 f(x, y)，导数则是刻画函数在某一点上在各个方向上的变化率。
具体地，对于二元函数 f(x, y)，我们可以定义 f(x, y) 对 x 的偏导数和 y 的偏导数。
这些偏导数可以帮助我们理解函数的斜率和曲率，从而解决一些实际应用问题。
另外，多元函数还有一个重要的概念是二重积分。
二重积分是用来求解平面上的某一区域上函数 f(x, y) 的面积。
通过将区域划分为无数个小矩形，然后计算每个小矩形的面积，并将其累加起来，即可得到整个区域上的面积。
微积分——多元函数及二重积分知识点
微积分——多元函数及二重积分知识点
一、多元函数
多元函数是指变量、个数多于一个的函数。
常见的函数可以分为二元、三元函数。
1、二元函数
二元函数是指变量、个数为两个的函数，常见的二元函数有：二次函数、双曲线函数等。
（1）二次函数
二次函数是指用一元二次方程记录的函数，一般格式为：y=ax²+bx+c，其中a≠0，则二次函数是一个关于x的二次多项式函数，当a>0时，它
的图像呈现出U形；当a<0时，它的图像呈现出锥形。
（2）双曲线函数
双曲线的定义式有很多种，常见的有标准双曲线、变形双曲线等，它
们的共同特点是，双曲线的图像都是上下对称的，它们的定义式具有一定
的对称性。
2、三元函数
三元函数是指变量、个数为三的函数，一般格式为：z=f（x,y），它
们也有很多类型，比如极坐标函数、椭圆函数、正弦函数、余弦函数等。
（1）极坐标函数
指的是用极坐标表示的只有一个变量的函数，通常表示为r=f（θ），其中r代表半径，θ代表角度，则r随着θ的变化而变化，极坐标函数
的图像一般是一个圆或者椭圆。
（2）椭圆函数
椭圆函数是指以椭圆为图形的函数，一般表示为：
（x-x0）²/a²+(y-y0）²/b²=1，其中a是x轴的长半轴，b是y轴的
长半轴，x0、y0是椭圆圆心坐标。
多元函数的微积分
多元函数的微积分多元函数微积分指的是对多元函数进行求导和积分的过程。
多元函数是含有多个自变量的函数，通常表示为f(x1, x2, ..., xn)。
在多元函数的微积分中，我们可以将每个自变量分别进行求导，得到偏导数。
偏导数告诉我们函数在一些自变量上的变化率。
此外，我们还可以对多元函数进行积分来计算函数在一定范围内的总量。
一、多元函数的偏导数1.偏导数的定义偏导数是多元函数对一些自变量的求导结果。
记多元函数f(x1,x2, ..., xn)，则f对第i个自变量的偏导数定义为：∂f/∂xi = lim(h→0) (f(x1, x2, ..., xi + h, ..., xn) - f(x1,x2, ..., xi, ..., xn)) / h表示在其他自变量保持不变的条件下，f关于xi的变化率。
2.偏导数的计算对于多元函数的偏导数的计算，可以按照和一元函数求导的规则类似的方法进行。
对于每个自变量求导时，将其他自变量视为常数。
例如，对于二元函数f(x,y)=x^2+y^2，我们可以分别对x和y求偏导数。
对x求偏导数时，将y视为常数，得到∂f/∂x=2x。
对y求偏导数时，将x视为常数，得到∂f/∂y=2y。
3.偏导数的性质偏导数具有一些重要的性质。
例如，对于二阶连续可微函数，偏导数的次序可以交换，即：∂^2f/(∂x∂y)=∂^2f/(∂y∂x)这是因为二阶偏导数的定义中，先对x求导后对y求导与先对y求导后对x求导的结果是相等的。
二、多元函数的积分1.多元函数的积分概念2.定积分的计算对于多元函数的定积分，我们需要确定积分的区域或曲面，并进行适当的参数化和积分限的确定。
计算定积分时，可以按照类似于一元函数的积分法进行。
例如，对于二元函数f(x,y)，我们可以通过对x或y的积分将其化简为一元函数的积分。
例如，对于三元函数f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2，在三维空间中表示一个球体。
我们可以计算球体的体积，即球体上的函数f(x,y,z)在整个球体上的积分。
经济数学微积分多元函数的基本概念
y f x（ 在 D 上）的图形（或图像）
。
在 n等 于 2与 3时 ， 习 惯 上 将 点 x1,x2与 x1,x2,x3
分 别 写 成x,y与 x,y,z.这 时 若 用 字 母 表 示 R2
或 R3中 的 点 ， 则 通 常 写 成 Px,y或 Mx,y,z等 .
(x ,y) (0 ,0 )
故函数在(0,0)处连续.
例6 讨论函数
f(x,y)x2xyy2, x2y2 0
0,
x2y2 0
在(0,0)的连续性．
解 取 ykx
lim
x0
x
xy 2
y2
y0
lxim0 x2
kx2 k2x2
ykx
1
k k
2
其值随k的不同而变化， 极限不存在．
例2 求证lx i0m (x2y2)sin x2 1y20 y 0
证 (x2y2)sinx2 1y20 x2y2sinx2 1y2 x2 y2
0, ,
当 0 (x 0 )2 (y 0 )2时，
(x2y2)six n2 1y20 原结论成立．
为二元函数的图形.
（如下页图）
二元函数的图形通常是一张曲面.
例如, zsinxy 图形如右图.
例如, x2y2z2a2
z
如右图，为球面.
D {x (,y)x2y2a2}.
o
y
单值分支: z a2x2y2
x
za2x2y2.
与一元函数类似，当我们用某个算式表达多元 函数时，凡是使算式有意义的自变量所组成的 点集称为这个多元函数的自然定义域．
经济数学微积分多元函数的 基本概念
一、区域 (region)
多元函数
第六讲 多元函数微积分
当温度不变时（等温过程） ，压强 当温度不变时（等温过程） 压强 V 关于体积 P 的变化率就是 ，
RT 当压强不变时（等压过程） ，压强 dV 的变化率就是 当压强不变时（等压过程） 压强 V 关于体积 T 的变化率就是 ， = 2 P dP T =常数
dV R
(x , y ) 注：二元函数极限的计算不同与一元函数极限的计算，考试 二元函数极限的计算不同与一元函数极限的计算， 一般不单独出题 即使出现，也只有两种题型， 不单独出题， 一般不单独出题，即使出现，也只有两种题型，一种是 “直接带入”，一种是变量代换。 直接带入” 一种是变量代换。
第六讲 多元函数微积分
x + y r > 0
x2 + y 2 ≤ R2 即 2 x + y2 > r 2
所以定义域为
D = {( x, y ) | r 2 < x 2 + y 2 ≤ R 2 }
如图，这样的区域俗称环域 如图，这样的区域俗称环域
第六讲 多元函数微积分 3.二元函数的图像 二元函数的图像 由空间解析几何知识可知，对于二元函数 z = f ( x, y )的图 由空间解析几何知识可知， 一般地，它表示一曲面. 形，一般地，它表示一曲面
（R是常数） 1.二元函数的定义 二元函数的定义 设有三个变量 和 如果当变量 在它们的 中任意取定一对值时， 变化范围 中任意取定一对值时，变量 z 按照一定的 对应规律都有惟一确定的值与其对应，则称 对应规律都有惟一确定的值与其对应， 为变量 二元函数， 称为自变 ，其中 与 称为自变 的二元函数，记为 D 也叫因变量 因变量． 量，函数 也叫因变量．自变量 与 的变化范围 称为函数的定义域 定义域． 称为函数的定义域．
多元微积分学
多元微积分学摘要：1.多元微积分学的概念2.多元微积分学的基本原理3.多元微积分学的应用4.多元微积分学的发展历程正文：一、多元微积分学的概念多元微积分学，是数学中的一个分支，主要研究多元函数的微分和积分。
在数学分析中，微积分被广泛应用于解决实际问题，多元微积分学则是微积分在多元函数上的拓展。
多元微积分学具有广泛的应用，例如在物理学、经济学、工程学等领域。
二、多元微积分学的基本原理多元微积分学的基本原理主要包括多元函数的微分和积分。
1.多元函数的微分多元函数的微分是指函数在某一点的切线斜率。
多元函数的微分是单变量微分的自然推广。
多元函数的微分原理主要包括求导法则、隐函数微分法、参数方程微分法和复合函数微分法等。
2.多元函数的积分多元函数的积分是指求解多元函数下的面积或体积。
多元函数的积分是单变量积分的推广。
多元函数的积分原理主要包括直角坐标系下的积分、极坐标系下的积分、柱坐标系下的积分和球坐标系下的积分等。
三、多元微积分学的应用多元微积分学在实际生活中的应用非常广泛，例如在物理学中的运动方程、经济学中的需求曲线、工程学中的空间结构设计等。
多元微积分学的应用不仅限于这些领域，它已经渗透到我们生活的方方面面。
四、多元微积分学的发展历程多元微积分学的发展历程可以追溯到17 世纪，当时牛顿和莱布尼茨分别独立发现了单变量微积分。
在随后的数学研究中，多元微积分学逐渐形成。
多元微积分学的发展离不开数学家们的努力，例如拉格朗日、高斯、欧拉等。
总结：多元微积分学作为数学的一个重要分支，具有广泛的应用和深远的影响。
多元微积分、微分方程小结
多元函数及多元微分学一 内容1．主要概念及其关系：●主要概念：多元函数，函数的极限，函数在一点连续，偏导数，可微，方向导数，梯度向量 设 2),(),,(R D y x y x f ⊂∈ 二重极限：A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00累次极限：),(lim lim 00y x f x x y y →→，),(lim lim 00y x f y y x x →→连续：),(),(l i m00),(),(00y x f y x f y x y x =→偏导数：xy x f y x x f xf x M ∆-∆+=∂∂→∆),(),(lim00000yy x f y y x f yf y M ∆-∆+=∂∂→∆),(),(l i m 000000可微： )(ρo y b x a f +∆+∆=∆，其中 22)()(y x ∆+∆=ρ全微分 bdy adx df +=，其中 x f a ∂∂=，yfb ∂∂= 方向导数：tM f tv M f vft M )()(lim000-+=∂∂→， T v v v ),(21=是单位向量设),,(z y x f 可微，单位向量 T v )cos ,cos ,(cos γβα=γβαcos cos cos zf y f x f v f ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 梯度向量： 设),(y x f 可微，0),(),(00M Tyf x f y x gradf ∂∂∂∂=●各概念之间的关系：逻辑关系，数量关系。
2．微分法：复合函数微分法，隐函数微分法 3．二元函数的泰勒公式4．曲面的切平面，法向量；曲线的切向量，法平面。
5．极值与条件极值二 典型问题1． 研究某个函数在某点的可微性，连续性等。
2． 求初等函数的导数，微分，方向导数，梯度，泰勒展开3． 抽象函数求导数：复合函数微分法，隐函数微分法的运用。
例如 求 22,dxu d dx du ，其中 0),,(,0),,(),,,(===z y x h z y x g z y x f u4．求曲面的切平面，法向量；曲线的切向量，法平面，以及相关问题。
大学数学易考知识点多元微积分和线性代数的基本概念和运算
大学数学易考知识点多元微积分和线性代数的基本概念和运算在大学数学中，多元微积分和线性代数是基础知识点，也是易考的内容。
了解这些基本概念和运算对于学习更高阶的数学课程以及解决实际问题至关重要。
本文将重点介绍多元微积分和线性代数的基本概念，并讨论一些相关的运算方法。
一、多元微积分的基本概念和运算1. 二元函数和多元函数二元函数是指具有两个自变量的函数，通常表示为f(x, y)。
多元函数则是具有多个自变量的函数，例如f(x1, x2, ..., xn)。
二元函数和多元函数的研究是多元微积分的基础。
2. 偏导数偏导数是多元函数在某一点上关于其中一个变量的导数。
对于二元函数f(x, y)，其关于x的偏导数记作∂f/∂x，表示在y固定的条件下，函数关于x的变化率。
同样地，关于y的偏导数记作∂f/∂y。
3. 偏导数的运算对于二元函数，可以通过偏导数的运算来确定其变化率及相关性质。
常见的偏导数运算包括求和、差、积、商等。
4. 梯度对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，梯度是一个向量，表示函数在某一点上的变化最快的方向。
梯度的方向是函数在该点上的最大变化方向，梯度的模长表示该点上的变化率。
5. 多元微分学定理多元微积分学定理是多元微积分中的重要理论基础。
常见的定理包括多元函数的极值、最优化问题、拉格朗日乘数法等。
二、线性代数的基本概念和运算1. 向量和矩阵向量是由一组有序数按照一定规则排列而成的对象。
矩阵则是由多个行和列组成的表格，可以进行加法、减法、数乘等运算。
2. 向量的内积和外积向量的内积是一种运算，表示两个向量之间的夹角的余弦值与两个向量模长的乘积。
外积则是另一种运算，表示两个向量所构成的平行四边形的面积。
3. 线性方程组线性方程组是线性代数中的重要概念。
其形式为Ax=b，其中A是一个矩阵，x和b是向量。
解线性方程组的方法包括高斯消元法、矩阵的逆、克拉默法则等。
4. 矩阵的运算矩阵的运算包括矩阵加法、矩阵减法和矩阵乘法。
多元函数微积分初步
多元函数微积分初步微积分是数学的一门重要学科，包括单变量微积分和多变量微积分。
而多元函数微积分是其中的重要分支，掌握这门学科将有助于我们理解许多自然现象和实际问题。
一、向量和函数我们先来回顾一下向量和函数的定义。
向量是具有大小和方向的量，通常表示为箭头，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
函数是一种映射关系，将一个变量的取值映射到另一个变量的取值。
对于多元函数，一个变量可以对应多个取值。
对于$R^n$空间内的向量$\boldsymbol{a}=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$和向量$\boldsymbol{b}=(b_1,b_2,\cdots,b_n)$，定义向量的加法为$$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots,a_n+b _n)$$同时，定义向量的数乘为$$k\boldsymbol{a}=(ka_1,ka_2,\cdots,ka_n)$$其中$k$为一个实数。
这些定义也可以推广到更一般的向量空间中。
而对于多元函数$f:D \subseteq R^n \rightarrow R$，我们可以将其表示为$$z=f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$$其中$D$表示定义域，$R$表示实数集合。
有时候也将向量$\boldsymbol{x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$表示为$\boldsymbol{x} \in D$，$\boldsymbol{y}=f(\boldsymbol{x})$表示为函数在向量$\boldsymbol{x}$处的取值。
同理，我们也可以将定义域和值域扩展到复数域。
二、偏导数和方向导数在单变量函数的微积分中，我们知道了导数的概念，通过求解导数，我们可以得到函数在某一点的切线斜率，也就是函数变化的快慢。
同样，在多元函数的微积分中，我们也可以定义导数的概念。
但是，由于多元函数的变量数量增加，直接求导数并不容易，需要借助一些新的概念。
大学数学基础教程：多元函数微积分
大学数学基础教程：多元函数微积分
多元函数微积分是高等数学中的一个重要分支，它的研究主要集中在表示具有多个变量的函数的微分和积分的计算。
多元函数微积分的研究内容包括多元函数的微分、积分和极限的概念、多个变量函数的极限和极值、多元函数的微分和积分的计算方法以及相关应用。
多元函数微积分的基本概念是：多元函数是指有任意多个自变量的函数，它的微分和积分的概念是建立在单元函数微积分的基础上的，只是由于自变量的多个性，使得微分和积分的计算更加复杂，也更加有趣。
多元函数微积分的基本概念中涉及了多元函数的微分和积分的概念，其中微分概念是微积分的基础，它是指用来表示函数极限值变化率的量，微分是微积分中最重要的概念，它是指在某一特定方向上函数的变化率或变化速度，微分的计算方法有多种，例如：对多元函数的各个变量的偏导数，和变量的极限的计算等。
积分概念是指把一个多元函数的曲线上某一特定区域的面积积分，它是微积分的另一个重要的概念，积分的概念可以用来计算函数的变化量，也可以用来表示函数的极值，积分的计算方法也有很多，例如：曲面积分、曲线积分等，这些计算方法都可以用来计算某个多元函数的积分值。
多元函数微积分的研究不仅仅是为了计算多元函数的微分和积分，更重要的是要理解多元函数的极限和极值，以及多元函数的变化规律，它可以为研究多元函数的变化规律提供有效的方法，也可以帮助我们更好的理解多元函数的变化规律，从而帮助我们做出正确的判断和决策。
总之，多元函数微积分是高等数学中一个重要的分支，它是从单元函数微积分中发展而来的，它的研究集中在表示具有多个变量的函数的微分和积分的计算，它对研究多元函数的变化规律有重要的意义。
第六章-多元函数微分学基础
z
V
O
y
V
V
V
x
图6-3 八卦限示意图
下面将平面上两点间的距离公式推广到空间（证明从略）
设M
1
(
x1
,
y1
,
z1
)和M
2
(
x2
,
y2
,
z2
)为空间两点,
则点M
1与M
间的
2
距离为
M1M 2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2 (6-1)
例1 在x轴上求一点P,使它到点A(3,2, 2)的距离为3.
0和G(x, y, z) 0是两个曲面方程,它们交线上的每一点的坐标
都同时满足上述两个曲面方程;反过来,曲时满足上述两个曲面
方程的点都在这条交线上.因此,联立方程组
z
F(x, y, z) 0
L
F(x, y, z) 0 G(x, y, z) 0
G(x, y, z) 0
叫做空间曲线L的一般方程
由两点距离公式知
M1M (x a1)2 ( y b1)2 (z c1)2 M 2M (x a2 )2 ( y b2 )2 (z c2 )2 又因为 M1M M 2M ,故知
(x a1)2 ( y b1)2 (z c1)2 (x a2 )2 ( y b2 )2 (z c2 )2
称上式为平面的一般方程,式中,A, B,C, D分别为变量x, y, z的系数; D为常数 Nhomakorabea.z
p3 c
例2 求过点P1(a, 0, 0), P2 (0,b, 0),
P3 (0, 0, c)的平面方程(其中a,b, c 0)
(见图6 5)
p1 a
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2 xn
当 n 1, 2, 3 时, x 通常记作 x .
R n 中的变元 x 与定元 a 满足 x a 0 记作 x a.
R n 中点 a 的 邻域为
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二、多元函数的概念
引例:
圆柱体的体积
定量理想气体的压强
r
h
三角形面积的海伦公式
b
a c
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则称 P 为 E 的外点 ; 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E 的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 . 显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的 边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .
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(2) 聚点
若对任意给定的 , 点P 的去心 邻域
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若当点 P( x, y ) 以不同方式趋于 P0 ( x0 , y0 ) 时, 函数 趋于不同值或有的极限不存在， 则可以断定函数极限 不存在 .
xy 例3. 讨论函数 f ( x, y ) 2 2 在点 (0, 0) 的极限. x y 解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 则有
第八章 多元函数微分法 及其应用
一元函数微分学 推广 多元函数微分学
注意: 善于类比, 区别异同
第一节 多元函数的基本概念
一、区域
第八章
二、多元函数的概念
三、多元函数的极限
四、多元函数的连续性
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一、 区域
1. 邻域 点集
PP0 δ 称为点 P0 的邻域.
例如,在平面上,
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1 , xy 0 y sin x sin 1 y x 例2. 设 f ( x, y ) 0 , xy 0 lim f ( x, y ) 0 . 求证：
x 0 y 0
f ( x, y ) 0 证： x y
故
x 0 y 0
lim f ( x, y ) 0
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1 例1. 设 f ( x, y ) ( x y ) sin 2 x y2 lim f ( x, y ) 0 . 求证：x 0
2 2
( x y 0)
2
2
y 0
证:
ε
故
x 0 y 0
lim f ( x, y ) 0
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xy , 2 2 x y 0 2 2 f ( x, y ) x y 2 2 , x y 0 0 在点(0 , 0) 极限不存在, 故 ( 0, 0 )为其间断点.
又如, 函数
例如, 函数
在圆周 x 2 y 2 1 上间断.
结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续.
y
1o 1 x
对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点
A 的距离 AP K , 则称 D 为有界域 , 否则称为无 界域 .
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3. n 维空间
n 元有序数组 记作 R n , 即 的全体称为 n 维空间,
R n R R R
n 维空间中的每一个元素 一个点, 当所有坐标 O. 称为该点的第 k 个坐标 . 称为空间中的
称该元素为 R n 中的零元, 记作
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R n 中的点 x ( x1 , x2 ,, xn ) 与点 y ( y1 , y2 ,, yn )
的距离记作 规定为
R 中的点 x ( x1 , x2 ,, xn ) 与零元 O 的距离为
x
2 x1
n
2 x2
k x2 k lim f ( x, y ) lim 2 2 2 x 0 x 0 x k x 1 k 2
y kx
k 值不同极限不同 !
故 f ( x, y )在 (0,0) 点极限不存在 .
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二重极限 lim f ( x, y ) 与累次极限 lim lim f ( x, y )
x
y
图形为
空间中的超曲面.
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三、多元函数的极限
定义2. 设 n 元函数 f ( P ), P D R n , P0 是 D 的聚 点 , 若存在常数 A , 对任意正数 , 总存在正数 , 对一 切 P D U ( P0 ,δ ) , 都有
则称 A 为函数
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定义1. 设非空点集
在 D 上的 n 元函数 , 记作
映射
称为定义
点集 D 称为函数的定义域 ; 数集 u u f ( P ) , P D 称为函数的值域 . 特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数
当 n = 3 时, 有三元函数
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例如, 二元函数 z
1.
设
求
解法2 令
v2 f ( , u v) u v2 f ( , u v) u
即
y2 2 y x2
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ln(1 xy ) 2. lim x 是否存在？ x 0 x y
y 0
解： 利用 ln(1 x y ) ~ x y , 取 y x x
P P0
lim f ( P) f ( P0 )
2) 闭域上的多元连续函数的性质:
介值定理
3) 一切多元初等函数在定义区域内连续
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下页Leabharlann 返回结束备用题 1. 设
求
解法1 令
y2 u , v xy x 2 2 y y 2 y f ( , x y) x2 x
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1 x y
2
2
z
定义域为 圆域 ( x, y ) x 2 y 2 1
o
x
z
图形为中心在原点的上半球面.
1 y
又如, z sin( x y ) , ( x, y ) R 2
说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) D 的图形一般为空间曲面 . 三元函数 u arcsin( x 2 y 2 z 2 ) 定义域为 单位闭球
x x0 y y0
x x0 y y 0
不同. 如果它们都存在, 则三者相等.
仅知其中一个存在, 推不出其它二者存在.
例如,
x 0 y 0
显然
lim lim f ( x, y ) 0 ,
但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在 .
例3 目录 上页 下页 返回 结束
四、 多元函数的连续性
x2 y ln(1 xy ) lim lim x x 0 x y x 0 x y
y 0
x 0
所以极限不存在.
1 , 0, 2 3 lim ( x x ) x 0 ,
3
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3. 证明
在全平面连续. 证: 又 为初等函数 , 故连续.
0
xy x y
2 2
由夹逼准则得
f (0,0)
故函数在全平面连续 .
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E
内总有E 中的点 , 则
称 P 是 E 的聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 E 的边界点 ) 所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .
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(3) 开区域及闭区域
若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;
(一致连续性定理)
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内容小结
1. 区域 • 邻域 : U ( P0 ,δ ) , U ( P0 ,δ ) • 区域 • R n 空间 2. 多元函数概念 n 元函数 u f ( P) f ( x1 , x2 ,, xn ) 连通的开集
P D Rn
常用
二元函数 (图形一般为空间曲面)
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闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:
定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则
(有界性定理)
(2) f ( P) 在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;
(最值定理)
(3) 对任意
Q D，
(介值定理)
* (4) f (P) 必在D 上一致连续 . (证明略)
定义3 . 设 n 元函数 f ( P) 定义在 D 上, 聚点 P0 D ,
如果存在
P P0
lim f ( P ) f ( P0 )
则称 n 元函数 f ( P ) 在点 P0 连续, 否则称为不连续, 此时 称为间断点 . 如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上
连续.
记作
P P0
lim f ( P) A (也称为 n 重极限)
当 n =2 时, 记 PP0 ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 二元函数的极限可写作：