矩形的性质与判定三
矩形的判定和性质
矩形的性质和判定一、基础知识（一）矩形的定义有一个内角为直角的平行四边形叫做矩形。
（二）矩形的性质：1.矩形具有平行四边形的一切性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是900； 4.矩形是轴对称图形；边 角 对角线 对称性 矩形对边平行且相等四个角都是直角互相平分且相等轴对称，中心对称（三）矩形的判定：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形；2.对角线相等的平行四边形是矩形；3.有三个角是直角的四边形是矩形；4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
（四）直角三角形的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（如图：OB=OC=OA=21AC ）二、例题讲解考点一：矩形的基本性质例1：如图，在矩形ABCD 中，AE•⊥BD ，•垂足为E ，•∠DAE=•2•∠BAE ，•那么，•∠BAE=________， ∠EAO=________，若EO=1，则OD=______，AB=________，AD=________．AEDCBO练习 1：矩形ABCD中, ,对角线AC与BD相交于点O,BC的长为6,△OBC的周长是15,求矩形的对角线的长度.练习2：如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD，E为垂足，∠DCE∶∠ECB＝3∶1，求∠ACD.例2：如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少?练习1：矩形ABCD中, ,对角线AC与BD相交于点O,已知矩形ABCD的面积是12cm2，AB=4cm，求矩形的对角线长。
例3：如图，在矩形ABCD 中，相邻两边AB 、BC 分别长15cm 和25cm ，内角∠BAD 的角平分线与边BC 交于点E ．试求BE 与CE 的长度．练习1：如图，在矩形ABCD 中，E 是边AD 上的一点．试说明△BCE 的面积与矩形ABCD 的面积之间的关系．例4：（2009年广西钦州）已知：如图1，在矩形ABCD 中，AF ＝BE ．求证：DE ＝CF ；ADCB 图1F E练习1：如图，矩形ABCD 中，E 为AD 中点，∠BEC 为直角，矩形ABCD 的周长是20，求AD 、AB 的长。
矩形的性质和判定
矩形的性质和判定【知识梳理】一、定义：有一个是直角的平行四边形是矩形。
二、性质：①矩形的四个角都是直角②矩形的对角线相互平分且相等③矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对称轴④矩形的面积S=长×宽三、判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形；④对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
四、矩形与平行四边形的区别与联系：①相同点1、两组对边分别平行2、两组对边分别相等3、两组对角分别相等4、对角线相互平分②区别1、有一个角是直角的平行四边形矩形2、对角线相互平分且相等【例题精讲】考点1 矩形的性质【例1】已知：如图，在矩形ABCD中，BE=CF，求证：AF=DE。
【例2】如图，在矩形ABCD 中，,E F 分别是,BC AD 上的点，且BE DF =。
求证：ABE ∆≌CDF ∆。
【例3】如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，60AOB ∠=︒，2AB =，则矩形的对角线AC 的长是（ ） A ．2 B ．4 C ．23 D ．43【变式1】下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（ ） A 、对边相等 B 、对角相等 C 、对角线相等 D 、对边平行【变式2】矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ，如果ABC ∆的周长比AOB ∆的周长大10cm ，则边AD 的长是 。
【变式3】如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果60BAF ∠=︒，则DAE ∠= 。
FED CBA考点2 矩形的判定【例4】如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 中点，四边形ABDE 是平行四边形。
求证：四边形ADCE 是矩形。
【例5】如图，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的中点，△ABE 是等边三角形，求证：四边形ABCD 是矩形。
ODC BAD EFCAB【变式6】如图11，已知E 是ABCD 中BC 边的中点，连接AE 并延长AE 交DC 的延长线于点F 。
矩形的性质和判定
矩形的性质和判定基础知识点1、矩形的性质和判定：定 义矩 形有一个内角是直角的平行四边形。
性质边对边平行，对边相等。
角 四个角相等，都是直角。
对角线互相平分，相等。
判定有一个角是直角的平行四边形是矩形。
有三个角是直角的四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形。
2、在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半。
3、矩形是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线所在的直线。
例题剖析例1、 已知矩形ABCD 中，AB=2BC ，点E 在边DC 上，且AE=AB ，求∠EBC 的度数．【变式练习】矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F ，•求证：BE=CF ．【变式练习】在矩形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，过顶点C 作BD•的平行线与AB 的延长线相交于点E ，求证：△ACE 是等腰三角形．例2、折叠矩形ABCD 纸片，先折出折痕BD ，再折叠使A 落在对角线BD 上A ′位置上，折痕为DG ，AB=2，BC=1。
求AG 的长。
GA`DCBA【变式练习】如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在F 的位置，BF 交AD 于E ，AD=8,AB=4，求△BED 的面积。
EDC BAF例3、在△ABC中，∠ABC=90°，BD是△ABC的中线，延长BD到E，•使DE=BD，连结AE，CE，求证：四边形ABCE是矩形．【变式练习】在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形。
求证：四边形ADCE是矩形。
例4、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．求证：四边形ADCE为矩形．【变式练习】（2011•青岛）在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．（1）求证：△BEC≌△DFA；（2）连接AC ，当CA=CB 时，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？并证明你的结论【变式练习】E 为□ABCD 外一点，AE ⊥CE,BE ⊥DE ，求证：□ABCD 为矩形例5、□ABCD 中，AE 、BF 、CG 、DH 分别是各内角的平分线，E 、F 、G 、H 为它们的交点， 求证：四边形EFGH 的矩形。
矩形的判定和性质
矩形的性质和判定一、基础知识（一）矩形的定义有一个内角为直角的平行四边形叫做矩形。
（二）矩形的性质：1.矩形具有平行四边形的一切性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是900；4.矩形是轴对称图形；边 角 对角线 对称性 矩形对边平行且相等四个角都是直角互相平分且相等轴对称，中心对称（三）矩形的判定：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形；2.对角线相等的平行四边形是矩形；3.有三个角是直角的四边形是矩形；4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
（四）直角三角形的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（如图：OB=OC=OA=21AC ）二、例题讲解考点一：矩形的基本性质例1：如图，在矩形ABCD 中，AE•⊥BD ，•垂足为E ，•∠DAE=•2•∠BAE ，•那么，•∠BAE=________， ∠EAO=________，若EO=1，则OD=______，AB=________，AD=________．AEDCBO练习1：矩形ABCD中, ,对角线AC与BD相交于点O,BC的长为6,△OBC的周长是15,求矩形的对角线的长度.练习2：如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD，E为垂足，∠DCE∶∠ECB＝3∶1，求∠ACD.例2：如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少?练习1：矩形ABCD中, ,对角线AC与BD相交于点O,已知矩形ABCD的面积是12cm2，AB=4cm，求矩形的对角线长。
例3：如图，在矩形ABCD中，相邻两边AB、BC分别长15cm和25cm，内角∠BAD的角平分线与边BC 交于点E．试求BE与CE的长度．练习1：如图，在矩形ABCD中，E是边AD上的一点．试说明△BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系．例4：（2009年广西钦州）已知：如图1，在矩形ABCD中，AF＝BE．求证：DE＝CF；AD CB图1F E练习1：如图，矩形ABCD中，E为AD中点，∠BEC为直角，矩形ABCD的周长是20，求AD、AB的长。
1.2 矩形的性质与判定(三)
课堂小结
1、说说你的收获。 2、说说你的困惑。 3、说说你的方法。
独立 作业
▪课本: P 18-19页
▪预习： P20-21
1 、 2、 3
如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、 H分别是AD，BD， BC，AC的中点。 （1）求证：四边形EFGH是平行四边形； （2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形 EFGH是矩形？并证明你的结论。
复习导入
2. 如图2，四边形ABCD是平行四边形，添加一 有一个角是直角 个条件 ，可使它成为矩形。
例3 如图1-14，在矩形ABCD中，AD=6，对角线 AC与BD交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE. 求AE的长. 解∵ 四边形ABCD是矩形， 1 ∴AO=BO=DO= 2 BD （矩形的对角线相等且互相平分）. ∠BAD=90°（矩形的四个都是直角）. ∵ED=3BE，∴BE=OE. 又∵ AE⊥BD，∴AB=AO. ∴AB=AO=BO.
1 2
例4 如图1-15，在△ABC中，AB=AC，AD为∠BAC 的平分线，AN为△ABC外角∠CAM的平分线， CE⊥AN，垂足为E.求证：四边形ADCE是矩形. 证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM， 1 ∴∠CAD= 1 ∠BAC，∠CAN= ∠CAM. 2 2 ∴∠DAE=∠CAD +∠CAN 1 = 2 （∠BAC+∠CAM） 1 = 2 ×180° =90°.
第一章 特殊平行四边形
1.2 矩形的性质
矩形对边平行且相等；
B
C
角
矩形的四个角都是直角；
矩形的对角线相等且平分；
对角线
直角三角形的性质定理：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
1.2矩形的性质与判定第3课时(教案)
在上完这节关于矩形的性质与判定的课程后，我对自己教学过程中的优点和不足之处进行了一些思考。首先，我觉得在引入新课的部分，通过提问学生日常生活中的例子，成功引起了他们的兴趣，这有助于提高学生们在课堂上的参与度。然而，我也发现有些学生在理解矩形判定方法时遇到了困难，这让我意识到需要针对这部分内容进行更深入的解释和练习。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调矩形的性质和判定方法这两个重点。对于难点部分，如矩形的证明和判定方法的选择，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与矩形相关的实际问题，如矩形的桌面如何计算面积。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用直尺和量角器测量矩形物体的边长和角度，验证矩形的性质。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解矩形的基本概念。矩形是一种特殊的平行四边形，具有对边平行且相等，对角相等，四个角都是直角的特点。它是平面几何中非常重要的一种图形，广泛应用于日常生活和建筑等领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析矩形桌面，了解矩形的性质如何帮助我们计算桌面的面积和周长。
在理论介绍环节，我尝试用简洁明了的语言阐述矩形的概念和性质，并通过案例进行分析，使学生能够更好地理解矩形在实际中的应用。但在讲授过程中，我发现自己可能过于注重性质的记忆，而忽略了让学生通过实际操作来感受这些性质。在未来的教学中，我打算增加更多动手操作的环节，让学生在实践中学习和理解。
实践活动的设计原本是为了让学生们将理论知识应用到实际中，但在执行过程中，我发现学生们的讨论并不充分，可能是因为我对讨论主题的引导不够明确。在接下来的课程中，我会尝试提供更具指导性的问题，帮助学生更深入地进行讨论。
矩形的定义性质与判定
矩形的定义性质与判定
1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
2．矩形的性质
矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质：
①边的性质：对边平行且相等．
②角的性质：四个角都是直角．
③对角线性质：对角线互相平分且相等．
④对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
3．矩形的判定
判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
判定②：对角线相等的平行四边形是矩形．
判定③：有三个角是直角的四边形是矩形．。
矩形的性质与判定(第3课时)
二．课堂检测：
1.下列关于矩形的说法中正确的是：（）
A.矩形的对角线互相垂直平分
B.矩形的对角线相等且互相平分
C.对角线相等的四边形是矩形
D.对角线互相平分的四边形是矩形
2.矩形具有而菱形不具有的性质是（）
A.两组对边分别平行B.对角线相等
C.对角线互相平分D。两组对角分别相等
3.课本18页习题1.6的第一题
南大里初中初三学案（1课时）
执教者
学科
学习内容
时间
4.课本19页习题ห้องสมุดไป่ตู้.6的第3题。
柴江丽
数学
矩形的判定与性质（第3课时）
2015.09．11
【学习目标】：1.理解矩形的定义，掌握矩形的性质与判定。（重点）
2．能运用矩形的性质和判定进行简单的计算与证明．（难点）。
【学习过程】：：
一．复习旧知：矩形有哪些性质？（学生回答）
矩形的性质与判定3导学案
初三（）班姓名：____________ 学号：_____ 2018-2019学年度第一学期数学科初三级导学案1.2矩形的性质与判定（3）教学目标：1、通过探索与交流已经得出矩形的判定定理，并会运用定理解决相关问题。
2、能应用矩形的定义和判定定理，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力。
重点：能应用矩形的定义和判定定理，解决简单的证明题和计算题。
学案知识方法策略一、预习训练1、矩形的对边_________________，四个角____________，对角线_____________2、直角三角形斜边上的中线等于______________________3、矩形的判定方法：①有_____________________________的平行四边形叫做矩形②__________________相等的平行四边形是矩形③有_____________________________的四边形是矩形4.如图1，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已知∠AOD= 120°，AB=2.5cm，则∠DAO= ___ °,AC= cm，ABCDS=矩形_________cm²5. 如图2，四边形ABCD是平行四边形，添加一个条件，可使它成为矩形。
6、如图，OC是平角∠AOB中的一条射线，OE、OD分别是∠AOC、∠COB的平分线，则∠DOE=_A_B_C_E_D_O二、探究新知新知1：例4如图1-15，在△ABC中，AB=AC，AD为∠BAC的平分线，AN 为△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.求证：四边形ADCE是矩形.对应练习：7、在例4中，连接DE交AC于F（1）试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论。
（2）线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论。
新知2：例3 如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD交于点O，AE⊥BD，垂足E，ED=3BE.求AE的长.对应练习：8、如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，∠ACB=30°，BD=4，则矩形ABCD的面积为____________（第8题图）（第9题图）9、如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，过点A作BD的垂线，垂足为E，∠EAD=3∠BAE，则∠EAO=______°课堂小结C．D．（第10题图）（第11题图）（第12题图）11、如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是（）A．AB=BC B．AC⊥BDC．∠ABC=90°D．∠1=∠212、如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=2：1，则∠BDE=13、如图，在三角形ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．（1）求证：点D是BD的中点；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．。
1.2 矩形的性质与判定(3)
执笔人：慕凌霄学校：红柳沟镇中学审核人：_______集体备课批注栏一、课题 1.2 矩形的性质与判定（3）二、学习目标1．理解并掌握矩形的性质与判定方法．2．使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题；三、学习重点和难点学习重点：矩形的判定．学习难点：矩形的判定及性质的综合应用．课堂导学过程设计预习案一、温故知新1、矩形具有哪些特殊的性质？2、矩形有哪些判定方法？探究案二、导学释疑探究一：自主学习以小组为单位探究课本P17例3、例4。
探究二：综合应用已知，如图．矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，求证：四边形EFGH是矩形．训练案三、巩固提升1、在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）．A．测量对角线是否相互平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量一组对角是否都为直角D．测量其中三角形是否都为直角2、能判断四边形是矩形的条件是（ ）A 、两条对角线互相平分B 、两条对角线相等C 、两条对角线互相平分且相等D 、两条对角线互相垂直。
3、已知□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 是等边三角形，AB =4 cm ，求这个平行四边形的面积．ODCB A4、已知：如图，□ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E 、F 、G 、H ． 求证：四边形EFGH 是矩形．HGFEDC B A四、课堂小结通过这节课的学习你有什么收获?五、走进中考(08南京市）如图，在ABCD 中，E ，F 为BC 上两点，且BE ＝CF ，AF ＝DE ． 求证：（1）△ABF ≌△DCE ；（2）四边形ABCD 是矩形．六、布置作业 课本P18-19习题1.6第 1、3题. 反思：A B DCE F。
矩形的性质与判定 练习题
证明（三）┄┄矩形的性质与判定【知识要点:】1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（矩形是特殊的平行四边形）。
2．矩形的性质：矩形具有平行四边形的所有性质。
（1）角：四个角都是直角。
（2）对角线：互相平分且相等。
3．矩形的判定:（1）有一个角是直角的平行四边形。
（2）对角线相等的平行四边形。
（3）有三个角是直角的四边形。
4.矩形的对称性：矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；矩形是轴对称图形，对称轴有2条，是经过对角线的交点且垂直于矩形一边的直线。
5.矩形的周长和面积：矩形的周长=)(2b a + 矩形的面积=长⨯宽=ab （b a ,为矩形的长与宽） ★注意:（1）矩形被两条对角线分成的四个小三角形都是等腰三角形且面积相等。
（2）矩形是轴对称图形，两组对边的中垂线是它的对称轴。
【经典例题:】例1、如图，矩形ABCD 中，E 为AD 上一点，EF ⊥CE 交AB 于F ，若DE=2，矩形ABCD 的周长为16，且CE=EF ，求AE 的长．例2、已知：如图，平行四边形ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H ，求证：四边形EFGH 是矩形。
四边形平行四边形矩形菱形梯形为一角90°邻一组边相等正方形平两组对边行只有一组对边平行一角为直角且一组邻边相等邻边相等一9角为0°等腰梯形两腰相等PH DCBA例3、已知：如图所示，矩形ABCD 中，E 是BC 上的一点，且AE=BC ，︒=∠15EDC ．求证：AD=2AB ．例4、已知：如图，四边形ABCD 是由两个全等的正三角形ABD 和BCD 组成的，M 、N•分别为BC 、AD 的中点．求证：四边形BMDN 是矩形．例5、如图，已知在四边形ABCD 中，AC DB ⊥交于O ，E 、F 、G 、H 分别是四边的中点， 求证：四边形EFGH 是矩形．例6、 如图, 在矩形ABCD 中, AP=DC, PH=PC, 求证: PB 平分∠CBH.【课堂练习题:】1．判断一个四边形是矩形，下列条件正确的是（ ）A ．对角线相等B ．对角线垂直C ．对角线互相平分且相等D ．对角线互相垂直且相等。
1.2 矩形的性质与判定_第3课时
练习
已知：如图，四边形ABCD是由两个全等的 等边三角形ABD和CBD组成，M、N分别是BC 和AD的中点. 求证：四边形BMDN是矩形
课堂小结
1、说说你的收获。 2、说说你的困惑。 3、说说你的方法。
作业
• （一）习题1.6 知识技能 1、2、3 联系拓广 4
• （二）如图，四边形ABCD中，对角线相交 于点O，E、F、G、H分别是AD，BD， BC， AC的中点。
求证：四边形ADCE是矩形. 在△ABC中， ∵AB=AC，AD为∠BAC的平分线， ∴AD⊥BC. ∴∠ADC=90°. 又∵CE⊥AN， ∴∠CEA=90° . ∴四边形ADCE为矩形（有三个角是直角的四边形 是矩形）.
你还有其他的解法吗？和同学交流
巩固提高
在例题4中，若连接DE，交AC于点F（如图1-16） （1）试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论. （2）线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论.
• （1）求证：四边形EFGH是平行四边形； • （2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，
四边形EFGH是矩形？并证明你的结论。
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。20 21/5/1 2021/5/ 1Satur day, May 01, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。202 1/5/12 021/5/1 2021/5 /15/1/2 021 9:09:26 AM •11、一个好的教师，是一个懂得心理 学和教 育学的 人。202 1/5/12 021/5/1 2021/5 /1May-211-Ma y-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师， 也是学 生的教 育者， 生活的 导师和 道德的 引路人 。2021/ 5/1202 1/5/120 21/5/1 Saturda y, May 01, 2021 13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/ 5/1202 1/5/12 021/5/1 2021/5 /15/1/2 021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教 育好， 他就不 能发展 培养和 教育别 人。202 1年5月 1日星 期六202 1/5/12 021/5/1 2021/5 /1 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计 ，莫如 树木； 终身之 计，莫 如树人 。2021 年5月20 21/5/1 2021/5/ 12021/ 5/15/1/ 2021 •16、提出一个问题往往比解决一个更 重要。 因为解 决问题 也许仅 是一个 数学上 或实验 上的技 能而已 ，而提 出新的 问题， 却需要 有创造 性的想 像力， 而且标 志着科 学的真 正进步 。2021/ 5/1202 1/5/1M ay •17、儿童是中心，教育的措施便围绕 他们而 组织起 来。202 1/5/12 021/5/1 2021/5 /12021 /5/1
矩形的性质与判定的综合应用(三)——矩形中的折叠问题
矩形的性质与判定的综合应用（三）矩形中的折叠问题【学习目标】1.明白折叠过程的实质是轴对称变换，能找出对应边和对应角的相等关系.2.尝试利用勾股定理、相似等知识解决矩形折叠中的常见问题.3.尝试在复杂的折叠过程中，理清基本的对应关系.【学习重点】1.能够在折叠变换中找出具有相等关系的对应边和对应角.2.运用勾股定理、相似性质等求出折叠问题中特定线段的长度.【学习难点】灵活运用方程、相似、对称等数学知识解决折叠有关的综合问题。
【候课朗读】本课学习准备的旧知回顾【学习过程】一、学习准备1．旧知回顾图形的折叠是指把某个图形或图形的一部分沿某条直线折叠，这条直线就成了对称轴。
几何图形的折叠问题，其实质是轴对称问题。
轴对称的基本性质：对应线段相等，对应角相等；对应点所连的线段被对称轴垂直平分。
工具准备：用矩形纸片按照例1所示折叠，指出折叠过程中的对应边和对应角。
2．本课思维导航二、典例分析3．利用对称性质求解例1．如图，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A与C重合，折痕交AD于E，交BC于F，连结EC。
求证：四边形AFCE为菱形。
思路启迪：由折叠，能得到哪些边和角相等？反思：你用了折叠的什么性质？得到了什么结论？即时练习1：如图，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使∠CAB=45°，．cm2B cm2C cm2cm24．对称+勾股定理例2．按照下面的方式折叠矩形ABCD：（1）在图1中，若沿BD折叠，C落在C′处，AB=4，BC=8，求AF．（求△BFD的面积）（2）在图2中，若对折使C落在AD上，AB=6，BC=10，求AE，DF的长．思路启迪：请把条件尽量在图形上标示出来，你能想到什么？反思：你用到了什么重要定理和思想方法？即时练习2：如图，将矩形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在D′处，若AB=3，AD=4，求ED 的长。
5．对称+相似例3．如图，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A与C重合，若长方形的长BC为16，宽AB为8，则折叠后折痕EF的长是多少？思路启迪：连结AC，AC与EF有什么关系？反思：你还有其他解法吗？6．对称+动点例4．在矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=13．如图③所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ．当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P，Q分别在AB，AD边上移动，求点A′在BC边上可移动的最大距离．思路启迪：请用纸片按题意折叠，看一看A′和P、Q的移动位置。
数学北师大版九年级上册第1章1.2矩形的性质与判定(3)同步训练(含解析)
数学北师大版九年级上册第1章1.2矩形的性质与判定（3）同步训练（含解析）B.C. 3D.5.如图，E，F分别是矩形ABCD的边AD、AB上的点，若EF=EC，EF⊥EC，DC= ，则BE的长为（）A.B.C.4D.26.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB ＝120°，AD＝2，点E是BC的中点，连结OE，则OE 的长是（）A.B. 2C.2D.47.如图，△ABC中，∠ABC＝∠BAC，D是AB的中点，EC∥AB，DE∥BC，AC与DE交于点O．下列结论中，不一定成立的是（）A.AC＝DEB.AB＝ACC.AD＝ECD.OA＝OE8.如图，E是矩形ABCD内的一个动点，连接EA、EB、EC、ED，得到△EAB、△EBC、△ECD、△EDA，设它们的面积分别是m、n、p、q，给出如下结论：①m+n=q+p；②m+p=n+q；③若m=n，则E点一定是AC与BD的交点；④若m=n，则E点一定在BD上．其中正确结论的序号是（）A. ①③B. ②④C. ①②③D. ②③④9.如图，E，F分别是矩形ABCD边AD，BC上的点，且△ABG，△DCH的面积分别为15和20，则图中阴影部分的面积为（）A.15B.20C.35D.4010.如图，在中，是的中点，将沿翻折得到，连接，则线段的长等于( )A.2B.C.D.二、填空题11.在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，若点E为边CD 的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，则BF 长为________.12.如图,点E是矩形ABCD内任一点,若AB=3,BC=4.则图中阴影部分的面积为________．13.如图，矩形ABCD中，AB=2 ，AD=6，P为边AD上一点，且AP=2，在对角线BD上寻找一点M，使AM+PM最小，则AM+PM的最小值为________．14.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB＝6 cm，BC ＝8 cm，则△AEF的周长为________cm．15.在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为________．16.如图，在矩形ABCD 中，O 为AC 中点，EF 过点O 且EF⊥AC 分别交DC 于点F ，交AB 于点E ，点G 是AE 中点且∠AOG=30°，给出以下结论： ①∠AFC=120°；②△AEF 是等边三角形；③AC=3OG；④S △AOG = 61 S △ABC其中正确的是________．（把所有正确结论的序号都选上）三、解答题17.如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AC=6，BD=8，且DE∥AC，AE∥BD．求OE 的长．18.如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AD 上，EF⊥CE 且与AB 相交于点F ，若DE=2，AD+DC=8，且CE=EF ，求AE的长。
矩形的性质和判定
∠BAD=900
∴ BE=OE, ∴ AB=AO 即△ ABO 是等边三角形， ∴ ∠ ADB=30° , ∴ AE=3
在 Rt△ AED 中，∵ AD＝6 cm，∠ ADB=30° ，
例 2：如图：△ABC 中，AB=AC，AD 是△ABC 的条角平分线， AN 为△ABC 的外角∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为点 E.。 求证：四边形 ADCE 为矩形； 证明：∵AD 平分∠BAC,AN 平分∠CAM ∴∠CAD= 1 ∠BAC，∠CAN= 1 ∠CAM
2 2
∴∠DAE=∠CAD+∠CAN = 1 （∠BAC+ CAM）
2 2
= 1 ×1800 =900 在△ABC 中，∵AB=AC，AD 是∠BAC 的平分线， ∴AD⊥BC ∴∠ADC=900 又∵CE⊥AN， ∴∠CAE=900 ∴四边形 ADCE 是矩形 课堂练习： 如图，在△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC 垂足是 D，AN 是∠BAC 的外 角∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足是 E，连接 DE 交 AC 于 F． ①求证：四边形 ADCE 为矩形； ②求证：DF∥AB，DF= 1 AB；
2
③当△ABC 满足什么条件时，四边形 ADCE 为正方形，简述你的理由
三、课堂小结：略 四、作业：课后 P18---19 1、2
课 后 反 思
矩形的性质和判定 3
教 目 学 1．使学生掌握矩形的性质定理和判定定理． 标 2.探索并掌握矩形的判定方法，并会用它们进行有关的论证或计算。 。 矩形的性质定理和判定定理。 探索证明的思路与方法． 练习为主
教学重点 教学难点 教学方法 教学过程：
一、知识回顾 矩形比平行四边形多了哪些性质？（对角线相等、四个角都是直角。 ） 怎样判断一个四边形是平行四边形？ 二、新课讲解： 例 1： 如图， 在矩形 ABCD 中 AD=6 对角线 AC 与 BD 相交于点 O， AE⊥BD， 垂足为 E， ED=3BE， 求 AE 的长。 思路分析： 根据矩形的对角线相等且互相平分，ED=3BE，推出 BE=OE， 进行得到△ABO 是等边三边形，得到∠ABD=60°,再利用直角 三角形的两锐角互余得到∠ADB=30°，此题获解. 解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∵ ED=3BE, 又∵ AE⊥ BD， ∴ AB=AO=BO, ∴ ∠ ABD=60° ， ∴ BO=DO=AO = 1 BD.
矩形的性质与判定
矩形的性质与判定矩形的性质与判定3复习巩固：1. 已知，如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=5，OA=2，OB=1.求证：ABCD是菱形.2. 如图，在□ABCD中，对角线BD的垂直平分线交BC，AD，BD于点E，F，O.求证：四边形BEDF是菱形.3. 如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2，点E，F分别是AB，AD上的动点，且满足BE=AF，连接EF，EC，CF. 求证：△EFC是等边三角形.一、知识点：1. 边：对边平行且相等；2. 角：四个角都是直角；3. 对角线：对角线相等且互相平分.1. 有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义）2. 对角线相等的平行四边形是矩形（定理）3. 三个角是直角的四边形是矩形（定理）矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，有2条对称轴.（一）填空题：1. 已知矩形两条对角线的夹角为60°，较短边的长为4cm，则矩形的对角线的长为_____________.2. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=5，将矩形ABCD沿AF折叠，点D 落在BC上的E点处，则线段CF的长为____________________.4. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作BD的垂线，垂足为点E. 已知∠EAD=3∠BAE，则∠EAO的度数为_____________________.5. 如图，矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在处，交AD于点E，AD = 8，AB = 4，则DE的长为6. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=8cm，把矩形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E 处，AE交DC于点F，若AF=25cm，则AD的长为______________________. 47. 如图，点P是矩形ABCD的边AD的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，那么点P到矩形的两条对角线AC和8. 如图，把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕为EF．若BF=4，FC=2，则∠DEF的度数是_______________．（二）解答题:9. 已知：如图，在□AB CD中，点E，F在BC边上，且BE=CF，AF=DE. 求证：四边形ABCD是矩形.10. 如图，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H. 求证：四边形EFGH是矩形.11. 如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．1(1)求证：OC＝； (2)当点O位于AC边的什么位置时，四边形AECF是矩形？并给出证明．2N12. 如图，已知矩形ABCD中，AC，BD交于点O，AE∥BD，DE∥AC. 求证：OE⊥AD.13. 如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F，∠AFC=2∠D，连接AC，BE. 求证：四边形ABEC是矩形.14. 如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线，与CE的延长线相交于点F，且AF=BD，连接BF.（1）求证：D是BC的中点；（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD15. 将如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB）折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连接AF和CE.（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长.16. 把一张矩形ABCD纸片按如图所示的方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F 重合（E，F两点均在BD上），折痕分别为BH，DG.（1）求证：△BHE≌△DGF；（2）若AB=6cm，BC=8cm，求线段FG的长.17. 在四边形ABCD中，已知AB=CD，BC=DA，对角线AC，BD交于点O，M是四边形ABCD外的一点，AM⊥MC，BM⊥MD. 四边形ABCD18. 把一张矩形ABCD纸片按如图所示的方式折叠，使点A与点M重合，点C与点N 重合（M，N两点均在BD上），折痕分别为BE，DF. （1）求证：四边形BFDE（2）若四边形BFDE是菱形，AB=2，求菱形BFDE的面积.。
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1.2矩形的性质与判定（3）
学习目标:
1.对矩形的性质与判定定理进行巩固应用。
2.提升学生应用能力和证明能力。
3.重点性质定理和判定定理的正确使用。
学习内容：
一、知识梳理
1.矩形的定义：
2. 矩形的性质： 边： 角： 对角线：
对称性：
3. 矩形的判定：
4.如图1，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，已知∠AOD=
120°，AB=2.5cm ，则∠DAO= ,AC= cm ，
ABCD S 矩形_______。
5. 如图2，四边形ABCD 是平行四边形，添加一个条
件 ，可使它成为矩形。
二、典例分析：
例1. 如图1-14，在矩形ABCD 中，AD=6，对角线AC
与BD 交于点O ，AE ⊥BD ，垂足为E ，ED=3BE.求AE 的长.
变式：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，
过A点做BD的垂线，垂足为E，∠EAD=3∠BAE.求∠EAO
的度数
例2 如图1-15，在△ABC中，AB=AC，AD为∠BAC的平分线，AN为△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.求证：四边形ADCE是矩形.
证明：
三、拓展延伸
在例题2中，若连接DE，交AC于点F（如图1-16）
（1）试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论. （2）线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论.
四、巩固练习：
1.已知：如图，四边形ABCD是由两个全等的等边三角
形ABD和CBD组成，M、N分别是BC和AD的中点.
求证：四边形BMDN是矩形.
2.在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠ACB=300,BD=4. 求矩形ABCD 的面积。
3.在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE
是平行四边形。
求证：四边形ADCE是矩形。
五、课堂小结:
说说你的收获、困惑。
六、当堂检测：
1.矩形的面积是60，一边长为5，则他的一条对角线长为。
2.若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12.则斜边上的中线等于
3.矩形的一条对角线长为8cm，两条对角线的一个夹角为1200，则矩形的面积为，矩形的周长为
4.矩形的周长为14cm，对角线长为5cm，则它的面积为
5.（提高题）在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不
与A和D 重合的一个懂点，过点P分别做AC和BD的垂
线，垂足为E、F。
求PE+PF的值。
七：布置作业：必做同步P12 1.2.3.4.
以下选做：P13 5.6
如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别
是AD，BD， BC，AC的中点。
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形？并证明你的结论。
课后反思：
1．灵活处理教材，在精不在多
对于本节课的知识，不能机械地照搬教材内容，应该视各班学生情况而定，对教材内容进行再加工，灵活运用，使教材内容得到升华。
也不应加大习题量，题目在精不在多，扎实的讲解和学习比大量练习要有效果的多。
把关注学生能力的培养提到首位，达到本节课所要完成的真正目标。
2．分层次教学
对于不同层次的学生，在课堂上的要求要有所不同。
在同一题目中，通过一题多问或者一题多解等形式，可以使优生有所突破，也可以让学困生受到关注，获得解题的成就感，这就对我们的备课和选题提出了更高的要求。
3．充分给学生以时间
本课时，是综合运用的一节课，应给予学生充分的时间和空间展示自己，不仅有利于提高学生的积极性，更有利于教师发现学生的独到见解和新思维、新想法，同时还能让教师发现学生存在的问题，这对于课堂教学是非常有利的。