河南师范大学2014年《801高等代数》考研专业课真题试卷
河南师范大学801高等代数
第1页，共2页........................ 优质文档..........................2018年攻读硕士学位研究生入学考试试题科目代码与名称：801高等代数 适用专业或方向：数学、统计学 表考试时间：3小时 满分：150分试题编号：A 仓（必须在答题纸上答题，在试卷上答题无效，答题纸可向监考老师索要） 一、（15分）求整系数多项式X 5 + X 4-6X 3-14X 2-11X -3的有理根，并写出它 的标准分解式。
'1二、（15分）求矩阵』=~一1 "1三、（15分）设印.，O,S1,2,3,・・・,〃，计算下面行列式的值:四、 （15分）设力、"分别为sxn, nxm 矩阵,证明关于矩阵秩的不等式：五、 （15分）证明：方阵刀为正定矩阵的充分必要条件是存在〃个线性无关的向量名,％,…,％，使得A = a'i a i +a'2a 2 + ■•■ + a'n a n ,其中a ；为％的转置。
六、（15 分）在 R'中求向量a =（0,0,0,1）在基扃=（1,1,0,1）,勻=（2,1,3,1）,勻= （1,1,0,0）, /=（0，l ，T ，T ）下的坐标。
1+。
11 …1 12 2 +2 … 2 23 33 + Q3 ,,,3377 —1 77-1 ■•- （〃-1） + % n — \nn n ••- n〃 + % D n-1 -1 -r 1 -1 -1 -1 1 -1-1 -1 1 ,中所有元素的代数余子式之和t 鸟=七、(20分)设叫,吧是数域尸上〃维线性空间■的两个子空间，且dim%+dimW2=〃，求证：存在/的线性变换A,使得A '(0)= %, XV = W,O八、(20分)求下列矩阵的最小多项式及若当标准形。
(1)〃阶方阵刀，其所有元素均为1;(2)〃阶方阵力邱丁,其中a早为非零〃维实列向量，并且0玲=0。
2014年考研高数一真题及解析
1 ( f1 ( y) f 2 ( y)) ， 随 机 变 量 2
（B）
1 Y2 ( X1 X 2 ) ，则 2 （A） EY1 EY2 , DY1 DY2
（C） EY1 EY2 , DY1 DY2
（B） EY1 EY2 , DY1 DY2 （D） EY1 EY ) y " 2(3y x)( y ')2 4( y x) y ' 2 y 0 .
求得 f (1)
4 0 .所以 x 1 是函数 f ( x) 的极小值点，极小值为 f (1) 2 ． ……10 分 9
(17)（本题满分 10 分）
(16)（本题满分 10 分） 设函数 y f ( x ) 由方程 y3 xy2 x2 y 6 0 确定，求 f ( x) 的极值． 解：在 y3 xy2 x2 y 6 0 两端关于 x 求导，得
3y2 y ' y2 2xyy ' 2xy x2 y ' 0 .
0 2 0
1
2
1
1
a ,bR
a1 cos x b1 sin x
(A) 2sin x (B) 2 cos x (C) 2 sin x (D) 2 cos x
（A）
0 a
(5) 行列式
b 0 d 0
0 b 0 d
2014 年 • 第 1 页
a 0 0 c c 0
＝
（B）
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2014 年数学试题答案及评分参考
设数列 an , bn 满足 0 an
2014 年 • 第 4 页
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2014 年数学试题答案及评分参考
高等代数考研真题 第一章 多项式
第一章 多项式1、（清华２000—20分）试求7次多项式()f x ，使()1f x +能被4(1)X -整除,而()1f x -能被4(1)X +整除。
2、（南航2001—20分）（1）设x 2-2px+2∣x 4+3x 2+px+q ，求p,q 之值。
（2）设f(x)，g(x)，h(x)∈R[x]，而满足以下等式（x 2+1)h(x)+(x -1) f(x)+ (x -2) g(x)=0（x 2+1)h(x)+(x+1) f(x)+ (x+2) g(x)=0证明：x 2+1∣f(x)，x 2+1∣g(x)3、（北邮2002—12分）证明：x d -1∣x n-1的充分必要条件是d ∣n （这里里记号d ∣n 表示正整数d 整除正整数n ）。
4、、（北邮2003—15分）设在数域P 上的多项式g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)，f(x),已知g 1(x)∣f(x)，g 2(x)∣f(x)， g 3(x)∣f(x)，试问下列命题是否成立，并说明理由：（1）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)两两互素，则一定有g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)∣f(x) （2）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)互素，则一定有g 1(x)g 2(x)g 3(x)∣f(x) 5、（北师大2003—25分）一个大于1的整数若和其因子只有1和本身，则称之为素数。
证明P 是素数当且仅当任取正整数a ，b 若p ∣ab 则p ∣a 或p ∣b 。
6、（大连理工2003—12分）证明：次数>0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项式的方幂主充分必要条件是，对任意的多项式g(x)，h(x) ，由f(x)∣g(x) h(x)可以推出f(x)∣g(x)，或者对某一正整数m ，f(x)∣h m(x)。
7、（厦门2004—16分）设f(x)，g(x)是有理数域上的多项式，且f(x)在有理数域上不可约。
2014年考研硕士研究生入学考试试题高等代数考研真题
一、(20分)设A ∈M n (C )，f (x )∈C [x ]，且∂0f (x )＞0，g (x )是以A 为根的次数最低的多项式，求证：1、若(f (x )，g (x ))= d (x )，则d (A )的秩与f (A )的秩相等；2、f (A )可逆⇔(f (x )，g (x ))=1．二、(20分)计算 D n =nn nn n n n323232333322221111三、(15分)设A 为n 阶方阵，I 为n 阶单位阵，且满足A 3=3A (A －I )，试证A －I 为可逆阵，并求(A －I )-1．四、(20分)设A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3021101231k k （k ∈R ）分别求矩阵A 的秩；并求AX =0的基础解系。
五、 (15分)a 为何值时，下列线性方程组有惟一解？无解？无穷多解？并给出一般解。
⎪⎩⎪⎨⎧=++++=+-+=+++3)3()1(3)1(2)3(321321321x a ax x a ax x a ax a x x x a 六、(20分)σ是向量空间F 4上的线性变换，对于任意ξ∈F 4，有σ(ξ)=A ξ；其中一、(20分)设A ∈M n (C )，f (x )∈C [x ]，且∂0f (x )＞0，g (x )是以A 为根的次数最低的多项式，求证：1、若(f (x )，g (x ))= d (x )，则d (A )的秩与f (A )的秩相等；2、f (A )可逆⇔(f (x )，g (x ))=1．二、(20分)计算 D n =nn nn n n n323232333322221111三、(15分)设A 为n 阶方阵，I 为n 阶单位阵，且满足A 3=3A (A －I )，试证A －I 为可逆阵，并求(A －I )-1．A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----7931181332111511 求线性变换σ的像和核的基与维数．七、(20分)设A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--050111141，B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100110111，C =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--011514011．若A 为三维向量空间V 的线性变换σ关于基{α1，α2，α3}的矩阵，则B 与C 是σ关于V 的其他基的矩阵吗?试予以判断，并说明理由。