3.1 唯一性定理
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（第三类边值问题）
5
3.1
二、唯一性定理
1.唯一性定理
唯一性定理
内容：满足泊松方程或拉普拉斯方程及所给的全部
Baidu Nhomakorabea
边界条件的解是唯一的。
唯一性定理的意义： 1）指出了静态场边值问题具有唯一解的条件； 满足方程2 或2 0，这是必要条件; 在整个边界上满足所给定的边界条件（三类）。
20:14:58 10
3.1
2. 叠加定理
唯一性定理
若 1和 2分别满足拉普拉斯方程，则 1和 2 的线性 组合 a1 b2 必然满足拉普拉斯方程。 证明： 已知 1和 2 满足拉普拉斯方程
21 22 0
2 2 (a1 b2 ) 2 (a 1) 2 (b2)
20:14:58
2
3.1
一、边值问题
唯一性定理
边值问题：在给定的边界条件下，求解位函数的泊松方程 或拉普拉斯方程。 V 根据给定边界条件对边值问题分类：
第一类边值问题（或狄里赫利问题） 已知场域边界面上的位函数值，即 |S f1 ( S ) 第二类边值问题（或纽曼问题） 已知场域边界面上的位函数的法向导数值，即
S
第三类边值问题（或混合边值问题）
上则已知位函数的法向导数值，即 |S1 f1 ( S1 )、 |S2 f 2 ( S2 ) 20:14:58 n
|S f 2 ( S ) n
已知场域一部分边界面上的位函数值，而另一部分边界面
S S1 S2
3
3.1
周期边界条件
唯一性定理
自然边界条件 （无界空间）
( 2 )
lim r 有限值
r
2
衔接条件 不同媒质分界面上的边界条件，如
r
S
1 2 1 2 , 1 2 n n 20:14:58
1 2
1
2
4
3.1
例：
b
唯一性定理
2 2 2 0 2 x y (0, y) 0, (a, y) 0
第三章 静态场边值问题的解法
◇ 静电场边值问题可归结为在给定边界条件下求解 拉普拉斯方程或泊松方程。 解析法 ◇ 常用的方法 数值法 本章主要内容： 静电场的唯一性定理 直接求解法
20:14:58
直接法 间接法
分离变量法(三种坐标系下) 镜像法
1
间接求解法
处理静电问题总是根据一定条件去解泊松方 程。静电学中许多问题都涉及到有限空间区域， 在区域内可以有电荷，也可以没有电荷，但都具 有确定的边界条件。 现在有这样一个问题：要使区域内存在唯一 的、合理的解，问适合泊松方程的边界条件是什 么？ 唯一性定理回答了这个问题。
2）为静态场边值问题求解方法提供了理论依据，为 结果正确性提供了判据。
唯一性定理是间接法求解拉普拉斯方程（泊松方程）的 20:14:58 6 理论依据。
3.1
界条件的解是唯一的。
唯一性定理
唯一性定理:满足泊松方程或拉普拉斯方程及所给的全部边
利用反证法来证明。假设在一个由表面边界S包围的体积V内， 泊松方程有两个解 1 2 ，则有
S
0
0 7
* S1
1
S1
2
0,
S2
利用格林公式
令上式中
2 2 [ ( ) ] dV V S n dS 因为 2 0，所以 2 ( ) dV V S n dS (1)
1 2 常数
V
( ) 2 dV 0
0
3.1
2
唯一性定理
V ( ) dV S n dS 对于第二类边界条件：
1 2 * S S n n n
S
(1)
0
V
( ) 2 dV 0
0
V ( )dV S n dS
2
V
3.1
唯一性定理
S
对于第一类边界条件： * S 1 S 2 S 0
1和2 我们在引入电位函数时就曾指出，电位 的绝对值无意义， 代表的是同一电场，所以 2和2 C 实际上是一个解，亦即解 20:14:58 8 是唯一的。
2
a
Q
因而腔内场唯一确定。 已知点电荷产生的电位为
1
Q 4 0 r Q 4 0 a
但它在边界上 1 |S
20:14:58
不满足 |S 0
12
3.1
Q 4 0 r
唯一性定理
Q 4 0 a
要使边界上任何一点电位为0，可设
2 它满足 0 |S 0
根据唯一性定理，它是腔内的唯一 解。
E Q 4 0 r r (r a) 3
可见腔内场与腔外电荷无关，只与腔内电荷Q有关。
20:14:58
y
U0
( x,0) 0, ( x, b) U 0
o
a
y
b
U0
x
（第一类边值问题）
例：
0 x
0 x
o
20:14:58
a
x
2 2 2 0 2 x y x 0 0, xa 0 x x ( x,0) 0, ( x, b) U 0
1 2 常数 解也是唯一的。
2
S1
对于第三类边界条件：
* S1
1
S1
* 0, n
1 S2 n
2 S2 n
S2
0
V
( ) 2 dV 0
0
1 2 常数
解也是唯一的。 唯一性定理得证，说明满足泊松方程或拉普拉斯 20:14:58 9 方程及所给的全部边界条件的解是唯一的。
1 * 令 1 2
2
2
2
V
S
则在场域V内，有
2 * 21 22 0
S
且在边界面S 上有
* S 1 S 2
或
20:14:58
0
S1
或
1 2 * S S n n n
* n 1 S2 n 2 S2 n
3.1
唯一性定理的实质
唯一性定理
1. 唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求电 场强度指明了方向。 2. 更重要的是它具有十分重要的实用价值。无论 采用什么方法得到解，只要该解满足泊松方程 和给定边界条件，则该解就是唯一的正确解。 因此对于许多具有对称性的问题，可以不必用 繁杂的数学去求解泊松方程，而是通过提出尝 试解，然后验证是否满足方程和边界条件。满 足即为唯一解，若不满足，可以加以修改。
a21 b22
所以：
2 0
利用叠加定理，可以把比较复杂的场问题分解为 较简单问题的组合，便于求解。 20:14:58 11
3.1
唯一性定理
例1：半径为a的导体球壳接地，壳内中心放置一个点电 荷Q，求壳内的场强。 解：点电荷Q放在球心处，球壳接地，有
|S 0
0 （r 0)
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二、唯一性定理
1.唯一性定理
唯一性定理
内容：满足泊松方程或拉普拉斯方程及所给的全部
Baidu Nhomakorabea
边界条件的解是唯一的。
唯一性定理的意义： 1）指出了静态场边值问题具有唯一解的条件； 满足方程2 或2 0，这是必要条件; 在整个边界上满足所给定的边界条件（三类）。
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2. 叠加定理
唯一性定理
若 1和 2分别满足拉普拉斯方程，则 1和 2 的线性 组合 a1 b2 必然满足拉普拉斯方程。 证明： 已知 1和 2 满足拉普拉斯方程
21 22 0
2 2 (a1 b2 ) 2 (a 1) 2 (b2)
20:14:58
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一、边值问题
唯一性定理
边值问题：在给定的边界条件下，求解位函数的泊松方程 或拉普拉斯方程。 V 根据给定边界条件对边值问题分类：
第一类边值问题（或狄里赫利问题） 已知场域边界面上的位函数值，即 |S f1 ( S ) 第二类边值问题（或纽曼问题） 已知场域边界面上的位函数的法向导数值，即
S
第三类边值问题（或混合边值问题）
上则已知位函数的法向导数值，即 |S1 f1 ( S1 )、 |S2 f 2 ( S2 ) 20:14:58 n
|S f 2 ( S ) n
已知场域一部分边界面上的位函数值，而另一部分边界面
S S1 S2
3
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周期边界条件
唯一性定理
自然边界条件 （无界空间）
( 2 )
lim r 有限值
r
2
衔接条件 不同媒质分界面上的边界条件，如
r
S
1 2 1 2 , 1 2 n n 20:14:58
1 2
1
2
4
3.1
例：
b
唯一性定理
2 2 2 0 2 x y (0, y) 0, (a, y) 0
第三章 静态场边值问题的解法
◇ 静电场边值问题可归结为在给定边界条件下求解 拉普拉斯方程或泊松方程。 解析法 ◇ 常用的方法 数值法 本章主要内容： 静电场的唯一性定理 直接求解法
20:14:58
直接法 间接法
分离变量法(三种坐标系下) 镜像法
1
间接求解法
处理静电问题总是根据一定条件去解泊松方 程。静电学中许多问题都涉及到有限空间区域， 在区域内可以有电荷，也可以没有电荷，但都具 有确定的边界条件。 现在有这样一个问题：要使区域内存在唯一 的、合理的解，问适合泊松方程的边界条件是什 么？ 唯一性定理回答了这个问题。
2）为静态场边值问题求解方法提供了理论依据，为 结果正确性提供了判据。
唯一性定理是间接法求解拉普拉斯方程（泊松方程）的 20:14:58 6 理论依据。
3.1
界条件的解是唯一的。
唯一性定理
唯一性定理:满足泊松方程或拉普拉斯方程及所给的全部边
利用反证法来证明。假设在一个由表面边界S包围的体积V内， 泊松方程有两个解 1 2 ，则有
S
0
0 7
* S1
1
S1
2
0,
S2
利用格林公式
令上式中
2 2 [ ( ) ] dV V S n dS 因为 2 0，所以 2 ( ) dV V S n dS (1)
1 2 常数
V
( ) 2 dV 0
0
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2
唯一性定理
V ( ) dV S n dS 对于第二类边界条件：
1 2 * S S n n n
S
(1)
0
V
( ) 2 dV 0
0
V ( )dV S n dS
2
V
3.1
唯一性定理
S
对于第一类边界条件： * S 1 S 2 S 0
1和2 我们在引入电位函数时就曾指出，电位 的绝对值无意义， 代表的是同一电场，所以 2和2 C 实际上是一个解，亦即解 20:14:58 8 是唯一的。
2
a
Q
因而腔内场唯一确定。 已知点电荷产生的电位为
1
Q 4 0 r Q 4 0 a
但它在边界上 1 |S
20:14:58
不满足 |S 0
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Q 4 0 r
唯一性定理
Q 4 0 a
要使边界上任何一点电位为0，可设
2 它满足 0 |S 0
根据唯一性定理，它是腔内的唯一 解。
E Q 4 0 r r (r a) 3
可见腔内场与腔外电荷无关，只与腔内电荷Q有关。
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y
U0
( x,0) 0, ( x, b) U 0
o
a
y
b
U0
x
（第一类边值问题）
例：
0 x
0 x
o
20:14:58
a
x
2 2 2 0 2 x y x 0 0, xa 0 x x ( x,0) 0, ( x, b) U 0
1 2 常数 解也是唯一的。
2
S1
对于第三类边界条件：
* S1
1
S1
* 0, n
1 S2 n
2 S2 n
S2
0
V
( ) 2 dV 0
0
1 2 常数
解也是唯一的。 唯一性定理得证，说明满足泊松方程或拉普拉斯 20:14:58 9 方程及所给的全部边界条件的解是唯一的。
1 * 令 1 2
2
2
2
V
S
则在场域V内，有
2 * 21 22 0
S
且在边界面S 上有
* S 1 S 2
或
20:14:58
0
S1
或
1 2 * S S n n n
* n 1 S2 n 2 S2 n
3.1
唯一性定理的实质
唯一性定理
1. 唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求电 场强度指明了方向。 2. 更重要的是它具有十分重要的实用价值。无论 采用什么方法得到解，只要该解满足泊松方程 和给定边界条件，则该解就是唯一的正确解。 因此对于许多具有对称性的问题，可以不必用 繁杂的数学去求解泊松方程，而是通过提出尝 试解，然后验证是否满足方程和边界条件。满 足即为唯一解，若不满足，可以加以修改。
a21 b22
所以：
2 0
利用叠加定理，可以把比较复杂的场问题分解为 较简单问题的组合，便于求解。 20:14:58 11
3.1
唯一性定理
例1：半径为a的导体球壳接地，壳内中心放置一个点电 荷Q，求壳内的场强。 解：点电荷Q放在球心处，球壳接地，有
|S 0
0 （r 0)