浙江省杭州市西湖高级中学2018-2019学年高一5月月考数学试题

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浙江省杭州市西湖高级中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题

浙江省杭州市西湖高级中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题一、单选题1．已知()(){120}A x x x =-+<，2{log 1}B x x =<，则A B ⋂=（） A ．()2,1-B ．()0,2C ．()3,2-D ．()0,12．复平面内表示复数1iiz -=的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在ABC V 中，30,2B b ==o，c =A 的大小为（） A ．45oB ．135o 或45oC ．15oD ．105o 或15o4．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若l α⊥，//l m ，则m α⊥ C ．若//l α，m α⊂，则//l mD ．若//l α，//m α，则//l m5．已知平面向量(,4)a m =-r，(1,3)b m =-+r ，若存在实数0λ>，使得a b λ=r r ，则实数m 的值为（） A ．1-B ．4-C ．1D ．46．达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷，现将画中女子的嘴唇近似的看作一个圆弧，设嘴角A 、B 间的圆弧长为l ，嘴角间的距离为d ，圆弧所对的圆心角为θ（θ为弧度角），则l 、d 和θ所满足的恒等关系为（）A ．sin2=d lθθB ．2sin2=d lθθC ．cos2=d lθθD ．2cos2=d lθθ7．如图，已知正四棱锥P ABCD -的所有棱长均为2,E 为棱PA 的中点，则异面直线BE 与PC 所成角的余弦值为（）A B ．C D ．8．已知点O 为ABC ∆外接圆的圆心，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3a =，若2BO AC ⋅=u u u v u u u v，则当角C 取到最大值时ABC ∆的面积为（）A B ．C D ．二、多选题9．已知向量()(),1,2,1a m b =-=-r r，则下列说法正确的是（）A ．若1m =，则a b -=r rB ．若a r ⊥b r，则2m =C ．“12m >-”是“a r 与b r的夹角为钝角”的充要条件D ．若1m =-，则b r 在a r上的投影向量的坐标为11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭10．如图是函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0ω>，π2<ϕ）的部分图像，则（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．5π6x =是的函数()y f x =的一条对称轴 C ．将函数()y f x =的图像向右平移π3个单位后，得到的函数为奇函数D ．若函数()y f tx =（0t >）在[]0,π上有且仅有两个零点，则54,63t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭11．如图，正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，P 是1A D 上的一个动点，下列结论中正确的是（）A ．BPB ．当P 在1A D 上运动时，都有11C P BD ⊥C ．当P 在直线1AD 上运动时，三棱锥1A B PC -的体积不变D ．PA PC +三、填空题12．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()21x f x x =+-，则21log 4⎛⎫ ⎪⎝⎭f 的值为.13．在一个如图所示的直角梯形ABCD 内挖去一个扇形，E 恰好是梯形的下底边的中点，将所得平面图形绕直线DE 旋转一圈，则所得几何体的体积为．14．平面向量,m n r r 满足||||1m n ==r r ，对任意的实数t ，不等式1||||2m n m tn -≤+r r r r恒成立，则||n tm -r r的最小值为．四、解答题15．已知复数()2i2i 1iz m =++-（其中i 是虚数单位，R m ∈）． (1)若复数z 是纯虚数，求m 的值； (2)求1z +的取值范围．16．已知向量()sin ,cos a αα=r，(b =r ，()cos ,sin c ββ=-r ，()0,πα∈，(1)若a b rr P ，求α的值；(2)若a b ⊥r r ，35a c ⋅=r r ，ππ,62β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin β的值．17．在①b a =，②2sin tan b A a B =，③cos cosc a b A a B -=-这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题.ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知（只需填序号）. (1)求角B ；(2)若ABC V 是锐角三角形，边长2c =，求ABC V 面积的取值范围. 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，AD DC ⊥，112BC CD AD ===，E 为棱AD 的中点，PA ⊥平面ABCD .(1)求证：//AB 平面PCE ； (2)求证：平面PAB ⊥平面PBD ；(3)若二面角P CD A --的大小为45︒，求直线PA 与平面PBD 所成角的正弦值.19．已知函数()()()2111f x m x m x m =+--+-．(1)若不等式()1f x <的解集为R ，求m 的取值范围； (2)解关于x 的不等式()()1f x m x ≥+；(3)若不等式()0f x ≥对一切11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，求m 的取值范围．。

2018-2019学年浙江省杭州市西湖区杭州学军中学高一下学期期中考试数学试题

2018-2019学年浙江省杭州市西湖区杭州学军中学高一下学期期中考试数学试题★祝考试顺利★ 注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在平面直角坐标系中，角α以x 轴非负半轴为始边，终边在射线2(0)y x x =≥上，则tan α的值是（） A. 2 B. -2C.12D. 12-【答案】A 【解析】【分析】由角α以x 轴非负半轴为始边，终边在射线2(0)y x x =≥上，设终边上的点(1,2)P ，根据三角函数的定义，即可求解，得到答案．【详解】由题意，在平面直角坐标系中，角α以x 轴非负半轴为始边，终边在射线2(0)y x x =≥上，设终边上的点(1,2)P ，根据三角函数的定义可得2tan 21α==，故选A ．【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，其中解答中熟记三角函数的定义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2.已知等比数列{}n a 的各项均为正，35a ，2a ，43a 成等差数列，则数列{}n a 的公比是（） A.12B. 2C.13D. -2【答案】C 【解析】【分析】由35a ，2a ，43a 成等差数列，可得342253a a a =+，整理得23520q q +-=，即可求解．【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ()0q >，因为35a ，2a ，43a 成等差数列，则342253a a a =+，即31121253q a q a a q =+，可得23520q q +-=，解答13q =，故选C ．【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及等差中项公式的应用，其中解答中熟练应用等差中项公式，以及利用等比数列的通项公式准确计算，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3.函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若将函数()f x 的图像向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，则()g x 的解析式为（）A. ()sin 46g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B. ()sin 43g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C. ()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. ()sin 2g x x =【答案】D 【解析】【分析】根据三角函数的周期求出ω＝2，结合三角函数的平移关系进行求解即可．【详解】∵函数()3f x sin x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（ω＞0）的图象中，最小正周期为π， ∴即周期T 2ππω==，则ω＝2，则f （x ）＝sin （2x 3π+），将函数f （x ）的图象向右平移6π个单位，得到函数g （x ），则g （x ）＝sin[2（x 6π-）3π+]＝sin （2x 33ππ-+）＝sin2x ，故选：D ．【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解，根据周期公式求出ω的值，以及利用三角函数的平移法则是解决本题的关键．4.已知数列{}n a 满足11a =，()*12n n a a n N +-≥∈，则（） A. 12n n a -≥B. 21n a n ≥+C. 12n n S -≥ D. 2n S n ≥【答案】D 【解析】分析：根据累加法求得数列通项n a 的表达式，然后逐一验证可得结果．详解：∵()12*n n a a n N +-≥∈， ∴()122n n a a n --≥≥，∴122n n a a ---≥，232n n a a ---≥，……，322a a -≥，212a a -≥，将以上1n -个式子两边分别相加可得12(1)n a a n -≥-， ∴()212n a n n ≥-≥．又11a =满足上式， ∴21(*)n a n n N ≥-∈．故选项A ，B 不正确．又212135(21)n n S a a a n n =+++≥++++-=，故选项C 不正确，选项D 正确．故选D ．点睛：解答本题的关键是求出数列的通项，已知数列的递推关系求通项公式时，若递推关系是形如1()n n a a f n -=+的形式时，常用累加法求解，解题时要注意求得n a 后需要验证1n =时1a 是否满足通项公式．5.已知1cos cos 2αβ+=，1sin sin 3αβ+=，则cos()αβ-=（） A. 5972-B. 5972C. 1336D. 1336-【答案】A 【解析】2221(cos cos )cos 2cos cos cos 4αβααββ+=++=, 2221(sin sin )sin 2sin sin sin 9αβααββ+=++=, 两式相加得：1322cos()36αβ+-= ，则59cos()72αβ-=- ，选A.6.已知ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若满足2b =，60B =的三角形有两解，则边长a 的取值范围是（）A. 2a <<B. 2a <<2a << D.122a << 【答案】B 【解析】【分析】由ABC ∆有两解时，可得sin a B b a <<，代入数据，即可求解，得到答案．【详解】由题意得，当ABC ∆有两解时，则满足sin a B b a <<，即sin 602a a <<，解得23a <<，故选B ．【点睛】本题主要考查了解三角形一题多解的问题，其中解答中熟记三角形两解的条件是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7.已知1sin 33πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（） A. 79-B.79C. 79±D. 29-【答案】A 【解析】由题意可得1cos()cos(())cos()32663ππππααα-=-+=+=， sin(2)sin[(2)]cos(2)6233ππππααα-=-+=+27cos 2()2cos ()1669ππαα=+=+-=-，选A.8.已知数列{}n a 满足712,83,8n n a n n a a n -⎧⎛⎫-+>⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≤⎩，若对于任意*n N ∈都有1n n a a +>，则实数a 的取值范围是（）A. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1(,1)2D. 11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】由题意，得到数列{}n a 为单调递减数列，可知1013a a <<≠且，分113a <<和103a <<两种情况讨论，即可求解．【详解】由题意，对于任意的*n N ∈都有1n n a a +>，所以数列{}n a 为单调递减数列，由8n ≤时，()7n f n a -=，根据指数函数的性质，可知1013a a <<≠且， ①当113a <<时，8n >时，1()23n a a n =-+单调递减，而8n ≤时，7n n a a -=单调递减，所以871()923a a --⨯+≤，解得12a ≥，所以112a <<；②当103a <<时，8n >时，1()23n a a n =-+单调递增，不符合题意（舍去）．综上可知，实数a 的取值范围是112a <<，故选C ．【点睛】本题主要考查了数列的单调性，以及分段函数的的单调性的应用，其中解答中根据数列的单调性，利用分段函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．9.在ABC △内有任意三点不共线的2016个点，加上,,A B C 三个顶点，共2019个点，把这2019个点连线形成互不重叠的小三角形，则一共可以形成小三角形的个数为（） A. 4033 B. 4031 C. 4029 D. 4027【答案】A 【解析】【分析】先得到所有三角形的内角和，再根据三角形的内角和为180，可得三角形的个数，得到答案．【详解】由题意，三角形的内角和为180，又以内部每个点为顶点的角的和为一个周角是360，则2016个点的角的总和2016360S =⨯，加上三角形原来的内角和180，所以所有三角形的内角和1802016360180(120162)S '=+⨯=+⨯，所以三角形的个数为1201624033+⨯=，故选A ．【点睛】本题主要考查了合情推理的应用，其中解答根据各三角形内角总和得到三角形的个数是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．10.已知O 为锐角ABC △的外接圆的圆心，tan 2A =，若cos cos 2sin sin B CAB AC mAO C B+=，则m 的值为（）【答案】B 【解析】【分析】取AB 的中点,D AC 的中点E ，连接,OD OE ，利用向量的数量积的计算公式，可得22,22AB AC AB AO AC AO ⋅=⋅=，再由正弦定理，得到2sin ,2sin AB R C AC R B ==，且AO R =，代入得sin cos cos sin sin()sin C B C B B C A m +=+==，最后利用三角函数的基本关系式，即可求解．【详解】如图所示，取AB 的中点,D AC 的中点E ，连接,OD OE ，则,OD AB OE AC ⊥⊥；所以22cos ,22AB AC AB AO AB AO BAO AC AO ⋅=∠=⋅=，所以由cos cos 2sin sin B CAB AC mAO C B+=，设ABC ∆的外接圆半径为R ，则AO R =，由正弦定理得2sin sin AB AC R CB==，所以2sin ,2sin AB R C AC R B ==，且AO R =，代入可得2222cos sin 2cos sin 2B C R C B R mR ⋅+⋅=，所以sin cos cos sin sin()sin C B C B B C A m +=+==，又因为tan 2A =，可得sin A =，即m =B ．【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆圆心的概念，向量的数量积的计算公式，以及三角函数恒等变换和正弦函数的性质的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11.已知ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若4a =，2c =，60B =，则b =___，C =_____．【答案】 (1). 30 【解析】【分析】在ABC ∆中，由余弦定理，可求得b =1sin 2C =，根据c b <，即C B <，即可求解．【详解】在ABC ∆中，因为4a =，2c =，60B =，由余弦定理可得222222cos 42242cos6012b a c ac B =+-=+-⨯⨯=，所以b =又由正弦定理可得sin sin b cB C =，即sin 1sin 2c B C b ===，又由c b <，所以C B <，所以30C =．【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．12.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，公差为d ，若4524a a +=，648S =.则d =____，n S =_____．【答案】 (1). 4 (2). ()22n n - 【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和前n 项和公式，列出方程组，求得12,4a d =-=，再利用前n 项和公式，即可求解．【详解】由题意，因为4524a a +=，所以12724a d +=，又由648S =，所以1656482a d ⨯+=，即12516a d +=，联立方程组，解得12,4a d =-=，所以1(1)(1)(2)42(2)22n n n n n na d n n S n --=+=⨯-+⨯=-．【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及前n 项和公式的应用，其中解答中熟练应用等差数列的通项公式和前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．13.已知π0π2αβ<<<<，4tan 3α=，cos()10βα-=，则sin α=_____，cos β=________．【答案】 (1). 45 (2). 2- 【解析】【分析】根据三角函数的基本关系式，可求得43sin ,cos 55αα==，再根据两角和的余弦函数，即可求解cos β的值，得到答案．【详解】因为02πα<<，且4tan 3α=，所以43sin ,cos 55αα==，由π0π2αβ<<<<，则0βαπ<-<，又因为cos()10βα-=，则sin()10βα-=，所以cos cos[()]cos()cos sin()sin ββααβααβαα=-+=---341051052=-=-．【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值，其中解答中熟记两角和的余弦公式，以及合理应用三角函数的基本关系式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．14.已知数列{}n a ，{}n b 满足11a =，且n a ，1n a +是函数2()2nn f x x b x =-+的两个零点，则5a =___，10b =____．【答案】 (1). 4 (2). 64 【解析】【分析】根据方程的根与系数的关系，得到12nn n a a +=⋅，进而得1122n n n a a +++=⋅，两式相除，得到22n na a +=，得出135,,,a a a 成等比数列，246,,,a a a 成等比数列，利用等比数列的通项公式，即可求解，得到答案．【详解】由题意可知n a ，1n a +是函数2()2nn f x x b x =-+的两个零点，则12nn n a a +=⋅，所以1122n n n a a +++=⋅，两式相除可得22n na a +=，所以135,,,a a a 成等比数列，246,,,a a a 成等比数列，又由11a =，则22a =，所以2251124a a q ==⨯=，441022232a a q ==⨯=，551111232a a q ==⨯=，所以101011323264b a a =+=+=．【点睛】本题主要考查了方程的根与系数的关系，以及等比数列的判定，以及等比数列的通项公式的应用，其中解答中利用根与系数的关系，递推得到数列间隔项构成等比数列是解答的关键，着重考查了转化、构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．15.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若()223578log 5a a a a a =，则19a a =_____．【答案】4 【解析】【分析】根据等比数列的性质化简题目所给已知条件，化简后可求得所求的结果. 【详解】根据等比数列的性质得()()52235782525log log 5log5a a a a a a a ===，52a =，故2219524a a a ===.【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查对数的运算，属于基础题. 如果数列是等差数列，则数列的性质为：若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+，若2m n q +=，则2m n q a a a +=.如果数列是等比数列，则数列的性质为：若m n p q +=+，则m n p qa a a a ⋅=⋅，若2m n q +=，则2m n q a a a ⋅=.16.若一个三角形的三边为连续自然数，且最大角是最小角的两倍，则此三角形的面积为_．【答案】4【解析】【分析】设三角形三边是连续的三个自然数1,,1n n n -+，三个角分别为,3,2απαα-，由正弦定理，求得1cos 2(1)n n α+=-，再由余弦定理，化简可得250n n -=，解得5n =，得到三角形的三边边长分别为4,5,6，进而可求解三角形的面积．【详解】设三角形三边是连续的三个自然数1,,1n n n -+，三个角分别为,3,2απαα-，由正弦定理可得111sin sin 22sin cos n n n αααα-++==，所以1cos 2(1)n n α+=-，再由余弦定理可得222221(1)(1)2(1)cos (1)2(1)2(1)n n n n n n n n n n n α+-=++-+=++-+⋅⋅-，化简可得250n n -=，解得5n =或0n =（舍去），所以5n =，故三角形的三边边长分别为4,5,6，又由余弦定理可得的2225643cos 2564α+-==⨯⨯，所以sin 4α=，所以三角形的面积为1156sin 562244S α=⨯⨯=⨯⨯⨯=．【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理，以及二倍角公式的应用，其中解答中根据正弦、余弦定理建立三角形的边角关系，求得三角形的边长是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．17.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，设ABC △的面积为S ，若22232a b c =+，则222Sb c +的最大值为_____．【答案】24【解析】由题得2222222222333223()6cos a b b c cb c b c a bc A =-+-∴+=+-=221sin 12tan 26cos 12bc AS A b c bc A ∴==+由题得2222222222222223,cos 322663b c b c b c b c a b c a A bc bc bc bc ++-++-+=∴===≥=所以tan 2A =≤=,当且仅当b =时取等号. 所以222S b c +的最大值为24,故填24点睛:本题的难在解题思路,第一个难点就是把222S b c +中的分母化简成6cos Sbc A,第二个难点是得到221sin 12tan 26cos 12bc AS A b c bc A ==+后，如何求tanA 的最大值. 转化成利用基本不等式求cosA 的最大值.三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18.已知函数()22sin cos 3f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在[]0,π上单调递增区间. 【答案】(1)T π=；（2）递增区间为0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）由三角恒等变换的公式，化简()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用周期的公式，即可求解；（2）令222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，求得51212k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，又由由[0,]x π∈，即可求解函数的单调递增区间．【详解】（1）由题意，函数3()2sin 2sin 22f x x x x =+-=1sin 22sin 2223x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ 所以()f x 的最小正周期为22T ππ==．（2）令222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，得51212k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，由[0,]x π∈，得()f x 在[0,]π上单调递增区间为0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及三角恒等变换的应用，其中解答中利用三角恒等变换的公式化简函数的解析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．19.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知a =223b c bc +=+.（1）求角A 的大小；（2）求sin b C ⋅的最大值. 【答案】(1) 3A π=.(2)32. 【解析】【分析】（1）由余弦定理可得：cosA=2222b c a bc+-=332bc bc +-=12，即可得出．（2）由正弦定理可得：可得b=asinB sinA ，可得bsinC=2sinBsin 23B π⎛⎫-⎪⎝⎭=26sin B π⎛⎫- ⎪⎝⎭+12，根据B∈203π⎛⎫⎪⎝⎭，即可得出．【详解】(1)由已知223a b c bc =+=+，得222231222b c a bc a bc bc +-+-==.详解答案即1cos 23A A π=⇒=. (2)由正弦定理，得sin 2sin sin ab B B A==， sin 2sin sin 2sin sin 3b C C B C C π⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭.1sin 2sin sin 2b C C C C ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2111sin cos cos2sin 22262C C C C C C π⎛⎫==-+=-+ ⎪⎝⎭， ∴当3C π=时，sin b C 取得最大值32. 【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.已知n S 为等差数列{}n a 前n 项和，42a =，21252S =-.（1）求n a ；（2）设12n n T a a a =+++，求n T .【答案】（1）102n a n =-；（2）229,15940,6n n n n T n n n ⎧-≤≤=⎨-+≥⎩【解析】【分析】（1）由等差数列的通项公式和前n 项和公式，根据题设条件，联立方程组，求得1,a d 的值，即可得到数列的通项公式；（2）由（1）102n a n =-，可得当15n ≤≤时，0n a ≥，当6n ≥时，0n a <，分类讨论，即可求解．【详解】（1）由4132a a d =+=，及21121210252S a d =+=-，联立解得18a =，2d =-，所以1(1)102n a n d a n ==--+．（2）由（1）102n a n =-，可得当15n ≤≤时，0n a ≥，当6n ≥时，0n a <，所以当15n ≤≤时，1229n n n a a a T S n n =++=+=-，当6n ≥时，12567252940()()n n n a a a a S a n a T S n =+++-++=-+=-++，所以229,15940,6n n n n T n n n ⎧-≤≤=⎨-+≥⎩．【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的基本量的运算，以及等差数列中绝对值的和的求解，其中解答中熟记等差数列的通项，以及合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题．21.如图，在ABC △中，3B π=，2BC =，点D 在边AB 上，AD DC =，DE AC ⊥，E为垂足.（1）若BCD的面积为3，求CD 的长；（2）若2DE =，求角A 的大小.【答案】（1（2）π4【解析】分析：第一问利用三角形的面积公式，求出BD ，再用余弦定理求CD ；第二问先求CD ，在BCD ∆中，由正弦定理可得sin sin BC CDBDC B=∠，结合2BDC A ∠=∠，即可得结论.详解：(1)由已知得S △BCD ＝12BC ·BD ·sin BBC ＝2，sin BBD ＝23，cos B ＝12．在△BCD 中，由余弦定理，得 CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos B ＝22＋23⎛⎫ ⎪⎝⎭2－2×2×23×12＝289． ∴CD． (2)∵CD ＝AD＝sin DE A =，在△BCD 中，由正弦定理，得sin sin BC CDBDC B =∠，又∠BDC ＝2A，得2sin22sin sin A A B =，解得cos A＝2，所以A ＝4π．点睛：该题考查的是正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式，在解题的过程中，只要对正余弦定理的内容以及三角形的面积公式能够熟记，就能求得结果.22.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，14a =且4n n a S λ=+.其中λ为常数. （1）求λ的值及数列{}n a 的通项公式；（2）记22111log log n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式112(1)(25)02n n n n n T k n --⋅---⋅≤+对任意*n N ∈恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）2λ=，()1*2n n a n N +=∈；（2）14k ≥ 【解析】【分析】（1）由题意知4n n a S λ=+中，令1n =，求得2λ=，即24n n a S =+，所以1124n n a S ++=+两式相减整理得12n na a +=，利用等比数列的通项公式，即可求解．（2）由（1）可得1221111log log 12nn n a a b n n +=⋅=-++，利用“裂项”法求得2(2)n n T n =+，根据题设化简得1(1)(25)2n n n k ---≥对任意*n N ∈恒成立，记1(1)(25)()2n nn f n ---=，分n 为奇数和n 为偶数讨论，求得()f n 的最大值，即可求解．【详解】（1）由题意知4n n a S λ=+中，令1n =，得114a a λ=+，又14a =，解得2λ=，即24n n a S =+，所以1124n n a S ++=+，两式相减得1122n n n a a a ++-=，整理得12n na a +=，数列{}n a 是以14a =，公比为2的等比数列，所以()1*2n n a n N +=∈．（2）由（1）可得12211111log log (1)(2)12nn n a a b n n n n +=⋅==-++++，所以111111233412n T n n =-+-++-++11222(2)n n n =-=++，由112(1)(25)02n n n n n T k n --⋅---⋅≤+对任意*n N ∈恒成立，得1(1)(25)2n nn k ---≥对任意*n N ∈恒成立，记1(1)(25)()2n nn f n ---=，*n N ∈，（1）当n 为偶数时，52()2nnf n -=，若4n ≥，则()0f n <，又1(2)4f =，所以max 1()(2)4f n f ==.（2）当n 为奇数时，25()2n n f n -=，则2196(2)()2n nf n f n +-+-=，若5n ≥，n 为奇数，则(2)()f n f n +≤，即(5)(7)(9)f f f ≥≥≥，若3n ≤，n 为奇数，则(2)()f n f n +≥，即(5)(3)(1)f f f≥≥，所以max 5()(5)32f n f ==，综合（1）（2）知max 1()(2)4f n f ==，所以实数k 的取值范围是14k ≥. 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式、及“裂项法”求和、数列的单调性的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“裂项”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.．。

浙江省杭州市西湖高级中学高一月月考数学试题美术班含答案

杭西高2019年12月考高一数学试卷(美术班）一、选择题(每小题4分，共40分）：1. 已知集合{}{}20,1,9,7,0A B ==，，则A B =I （） A. {}0B. {}1C. {}0,1D. {}01,2,7,9，2. 函数()()4log 9f x x =-的定义域是（） A. ()0,9B. ()9,+∞C. (),9-∞D. (),4-∞3.下列哪组中的两个函数是同一函数（） A. 2()y x =与y x =B. 2ln y x =与2ln y x =C. 211x y x -=-与1y x =+D. 21x y x+=与1y x x =+4.下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞上单调递增的是（）A. 3y x =B. 3y x =+C. 22y x =-+D. 2xy =5.已知40.50.540.5,log ,4a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（）A. b a c <<B. a c b <<C. a b c <<D. b c a << 6.已知函数21 (0,1)x y aa a +=+>≠且的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( )．A. (-2, 2)B. (-2, 1)C. (-3, 1)D. (-3, 2)7. 已知函数y ＝f （x ）的定义域是R ，值域为[-2，3]，则值域也为[ -2，3]的函数是（） A.()+1y f x = B.()1y f x =+ C.()y f x =- D.()y f x =8.定义运算()()a ab a b b a b ≤⎧=⎨>⎩e ，则函数1()12x f x =e （）的图象是（）A. B. C. D.9.设定义在区间),(b b -上的函数xax x f 211lg)(-+=是奇函数（2,,-≠∈a R b a ），则b a 的取值范围是（）A ．(]2,1B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,22 C ．)2,1( D ．)2,0(10.定义在0+∞（，）上的函数()x f 满足：对于定义域上的任意21,x x ，当21x x ≠时，恒有()()2112120x f x x f x x x ->-，则称函数()x f 为“理想函数”。

杭州市西湖高级中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案

杭州市西湖高级中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．拋物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点与双曲线C ：x 2－y 2＝2的焦点重合，C 的渐近线与拋物线E 交于非原点的P 点，则点P 到E 的准线的距离为（） A ．4 B ．6 C ．8D ．102．设复数1i z =-（i 是虚数单位），则复数22z z+=（） A.1i - B.1i + C. 2i + D. 2i -【命题意图】本题考查复数的有关概念，复数的四则运算等基础知识，意在考查学生的基本运算能力． 3． cos80cos130sin100sin130︒︒-︒︒等于（）A B ．12 C ．12- D ． 4．由两个1，两个2，两个3组成的6位数的个数为（） A ．45B ．90C ．120D ．3605．设()f x 是偶函数，且在(0,)+∞上是增函数，又(5)0f =，则使()0f x >的的取值范围是（） A ．50x -<<或5x > B ．5x <-或5x > C ．55x -<< D ．5x <-或05x << 6．设集合{}1234U =，，，，{}2540A x x x =∈-+<N ，则U C A 等于（） A ．{}12， B ．{}14， C ．{}24， D ．{}134，， 7．如图所示，已知四边形ABCD 的直观图是一个边长为的正方形，则原图形的周长为（）A ．B ． C. D ． 8．已知函数()f x 的定义域为[],a b ，函数()y f x =的图象如图甲所示，则函数(||)f x 的图象是图乙中的（）9．复数满足2＋2z1－i ＝i z ，则z 等于（）A ．1＋iB ．－1＋iC ．1－iD ．－1－i10．“1ab >”是“10b a>>”（） A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 11．若函数()()()()()1cos sin cos sin 3sin cos 412f x x x x x a x x a x =-++-+-在02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增，则实数的取值范围为（） A ．117⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．117⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，C.1(][1)7-∞-+∞，，D ．[1)+∞，12．设函数()()21,141,1x x f x x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩，则使得()1f x ≥的自变量的取值范围为（）A ．(][],20,10-∞-B ．(][],20,1-∞-C ．(][],21,10-∞-D ．[][]2,01,10-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．已知M N 、为抛物线24y x =上两个不同的点，F 为抛物线的焦点．若线段MN 的中点的纵坐标为2，||||10MF NF +=，则直线MN 的方程为_________.14．下列四个命题：①两个相交平面有不在同一直线上的三个公交点②经过空间任意三点有且只有一个平面 ③过两平行直线有且只有一个平面 ④在空间两两相交的三条直线必共面其中正确命题的序号是．15．已知tan()3αβ+=，tan()24πα+=，那么tan β= .16．过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A ，B ，若|AF|=3|BF|，则l 的斜率是．三、解答题（本大共6小题，共70分。

浙江省杭州市西湖高级中学2021届高三下学期5月月考数学(文)试

浙江省杭州市西湖高级中学2021届高三下学期5月月考数学（文）试浙江省杭州市西湖高级中学2021届高三下学期5月月考数学术（文学）试题本试卷分第ⅰ卷(选择题)和第ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分。

考试用时120分钟。

第一卷（选择题，共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合主题要求）1整套u=R，a={x | x2？4}，B={x | log3x？1}，然后a？b=（）a．{x|x??2}b．{x|2?x?3}c．{x|x?3}d．{x|x??2或2?x?3}2i？1.3i2。

复杂的12的虚部是()答。

b．?1二c．1i二d．?1i3.在哪里？在ABC中，“ab？BC？0”是（）的充要条件B充要条件C充要条件D？ABC是钝角三角形４．已知向量a?(1,1),b?(2,n)，若a?b?a?b，则n?（）a、－３b、－１c。

１d。

３５．设?是空间中的一个平面，l,m,n是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（）然后a、如果M？？NL毫升，？n、 l；b.如果M？？Nl、 n？，L然后/M/；则直线y?m?x过定点（－２，０）的概率为1d。

10852７．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是()公元前1112a年。

2362a．1b。

1c．二第1页共8页8.函数f（x）？关于直线X？c、点（？3）（？0）的最小正周期为？，然后是函数的图像4对称b．关于直线x??3对称4,0）对称性D.关于点（？3,0）的对称性９．设函数f(x)?x3?ax2?9x?1，当曲线y?f(x)斜率最小的切线与直线12x?y?6平行时，则实数a?（）a、 ?。

？3b。

３c。

２d、 ?。

？210.设F1和F2分别为双曲线xa22?yb22若在双曲线右支上存在?1(a?0,b?0)的左右焦点，一点p，见见PF2？F1F2，且从F2到直线Pf1的距离等于双曲线的实际轴长，则双曲线的偏心率e为（）a．45b。

2018-2019学年浙江省杭州市西湖区学军中学高一(上)期末数学试卷

2018-2019学年浙江省杭州市西湖区学军中学高一（上）期末数学试卷1.（单选题，3分）设全集为R，集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x≥1}，则A∩B=（）A.{x|1≤x＜2}B.{x|0＜x＜2}C.{x|0＜x≤1}D.{x|0＜x＜1}2.（单选题，3分）已知函数f（x）的定义域为（-1，1），则函数g(x)=f(x2)+f(x−2)的定义域为（）A.（0，2）B.（1，2）C.（2，3）D.（-1，1）3.（单选题，3分）若角α的终边与单位圆交于点P（- 35，45），则sin（π2+α）=（）A. 35B.- 35C.- 45D. 454.（单选题，3分）函数f（x）= e x−e−xx2的图象大致为（）A.B.C. D.5.（单选题，3分）已知a=log 2e ，b=ln2，c= log 12 13 ，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a ＞b ＞cB.b ＞a ＞cC.c ＞b ＞aD.c ＞a ＞b6.（单选题，3分）已知sinα+cosα= 12 ，α∈（0，π），则1+tanα1−tanα =（）A. √77B.- √77C. √33D.- √337.（单选题，3分）在矩形ABCD 中，AB=2，AD=4，AB⊥AD ，点P 满足 AP⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且x+2y=1，点M 在矩形ABCD 内（包含边）运动，且 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAP⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ的最大值等于（）A.1B.2C.3D.48.（单选题，3分）平面向量 a ， b ⃗ 满足， (a )2−a •b ⃗ −3=0 ， |b ⃗ |=2 ，则 |a −b⃗ | 最大值是（）A.1B.2C.3D.49.（单选题，3分）将函数y=sin （2x+ π5 ）的图象向右平移 π10 个单位长度，所得图象对应的函数（）A.在区间[ 3π4 ， 5π4 ]上单调递增B.在区间[ 3π4 ，π]上单调递减C.在区间[ 5π4 ， 3π2 ]上单调递增D.在区间[ 3π2 ，2π]上单调递减10.（单选题，3分）函数y=x+ √x 2−2x +3 的值域为（）A.[1+ √2 ，+∞）B.（ √2 ，+∞）C.[ √3 ，+∞）D.（1，+∞）11.（填空题，4分）已知向量 a =(1，2) ， b ⃗ =(x ，−3) ，若满足 a ∥b⃗ ，则x=___ ，若满足 a ⊥b⃗ ，则x=___ ． 12.（填空题，4分）函数f （x ）= √log 2x −1 的定义域为___ ．13.（填空题，4分）若 sin (π6−α)=513 ，则 cos (π3+α) =___14.（填空题，4分）已知△ABC 的外接圆圆心为O ，AB=3，AC=5，∠BAC=120°，则 AO ⃗⃗⃗⃗⃗ •BC⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．15.（填空题，4分）已知f （x ）=sin (ωx +π6) （ω＞0），f （ π6 ）=f （ π3 ），且f （x ）在区间 (π6，π3) 上有最小值，无最大值，则ω=___ ．16.（填空题，4分）定义在区间 (0，π2) 上的函数 y =√5cosx 的图象与y=4tanx 的图象的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴交于点P 1，直线PP 1与y=sinx 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为___ ．17.（填空题，4分）设函数f （x ）=2ax 2+2bx ，若存在实数x 0∈（0，t ），使得对任意不为零的实数a ，b 均有f （x 0）=a+b 成立，则t 的取值范围是___ ．18.（问答题，8分）计算下列各式的值：（1）27 23 +16−12 -（ 12 ）-2-（ 827 ） −23（2）2（lg √2 ）2+lg √2 •lg5+ √(lg √2)2−lg2+119.（问答题，8分）（1）已知tanθ=2，求sin 2θ-2sinθcosθ-3cos 2θ+4的值．（2）已知 f (x )=sin (π−θ)cos (π+θ)tan (3π−θ)cos(3π2−θ) ，求 f (−7π3) 的值．20.（问答题，8分）在等腰梯形ABCD 中，AB || DC ，AB=2，BC=1，∠ABC=60°．动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且 BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =19λDC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．（1）当λ= 12 ，求| AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |；（2）求 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ •AF⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值．21.（问答题，8分）已知函数 f (x )=2sin (2x +π3) ：（Ⅰ）若 x ∈[0，π4] ，求y=f （x ）的最大值和最小值，并写出相应的x 值；（Ⅱ）将函数y=f （x ）的图象向右平移 π12 个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g （x ）的图象，区间[a ，b]（a ，b∈R 且a ＜b ）满足：y=g （x ）在[a ，b]上至少含有20个零点，在所有满足上述条件的[a ，b]中，求b-a 的最小值．22.（问答题，10分）已知函数：f （x ）=x 2-mx-n （m ，n∈R ）．（Ⅰ）若m+n=0，解关于x 的不等式f （x ）≥x （结果用含m 式子表示）；（Ⅱ）若存在实数m ，使得当x∈[1，2]时，不等式x≤f （x ）≤4x 恒成立，求实数n 的取值范围．。

西湖区高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学(1)

西湖区高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．圆222(2)x y r -+=（0r >）与双曲线2213y x -=的渐近线相切，则r 的值为（）A B ．2 C D ．【命题意图】本题考查圆的一般方程、直线和圆的位置关系、双曲线的标准方程和简单几何性质等基础知识，意在考查基本运算能力． 2．已知数列｛n a ｝满足nn n a 2728-+=（*∈N n ）.若数列｛n a ｝的最大项和最小项分别为M 和m ，则=+m M （） A ．211 B ．227 C ． 32259 D ．32435 3．直线l 将圆x 2+y 2﹣2x+4y=0平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程是（）A ．x ﹣y+1=0，2x ﹣y=0B ．x ﹣y ﹣1=0，x ﹣2y=0C ．x+y+1=0，2x+y=0D ．x ﹣y+1=0，x+2y=04．已知点M （﹣6，5）在双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）上，双曲线C 的焦距为12，则它的渐近线方程为（）A ．y=±x B ．y=±x C ．y=±xD ．y=±x 5．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈L 2h ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V ≈L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A ．B ．C ．D ．6．对于任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“※”如下：当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m ※n=m+n ；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ※n=mn ．则在此定义下，集合M={（a ，b ）|a ※b=12，a ∈N *，b ∈N *}中的元素个数是（） A ．10个 B ．15个 C ．16个 D ．18个7．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 为底面ABCD 上的动点．若三棱锥B ﹣D 1EC 的表面积最大，则E 点位于（）A ．点A 处B ．线段AD 的中点处C ．线段AB 的中点处D ．点D 处8．设f （x ）＝（e －x －e x ）（12x ＋1－12），则不等式f （x ）＜f （1＋x ）的解集为（）A ．（0，＋∞）B ．（－∞，－12）C ．（－12，＋∞）D ．（－12，0）9．已知函数(5)2()e 22()2xf x x f x x f x x +>⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<-⎩，则(2016)f -=（）A ．2e B ．e C ．1 D ．1e【命题意图】本题考查分段函数的求值，意在考查分类讨论思想与计算能力． 10．在中，角、、所对应的边分别为、、，若角、、依次成等差数列，且，,则等于（）A ．B ．C ．D ．211f x [14]f （x ）的导函数y=f ′（x ）的图象如图所示．）A ．2B ．3C ．4D ．512．已知△ABC 中，a=1，b=，B=45°，则角A 等于（）A ．150°B ．90°C ．60°D ．30°二、填空题13．抛物线24x y =的焦点为F ，经过其准线与y 轴的交点Q 的直线与抛物线切于点P ，则FPQ ∆ 外接圆的标准方程为_________.14．若复数12,z z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且12i z =-，则复数1212||z z z +在复平面内对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【命题意图】本题考查复数的几何意义、模与代数运算等基础知识，意在考查转化思想与计算能力． 15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，2a n+1=a n ，若对于任意n ∈N *，当t ∈[﹣1，1]时，不等式x 2+tx+1＞S n 恒成立，则实数x 的取值范围为．16．某校开设9门课程供学生选修，其中A ，B ，C3门课由于上课时间相同，至多选1门，若学校规定每位学生选修4门，则不同选修方案共有种．17．曲线y=x+e x 在点A （0，1）处的切线方程是．18．若实数,,,a b c d 满足24ln 220b a a c d +-+-+=，则()()22a cb d -+-的最小值为 ▲ ．三、解答题19．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为方程为r （],0[πθ∈），直线l 的参数方程为2t cos 2sin x y t aa ì=+ïí=+ïî（t 为参数）．（I ）点D 在曲线C 上，且曲线C 在点D 处的切线与直线+2=0x y +垂直，求点D 的直角坐标和曲线C的参数方程；（II ）设直线l 与曲线C 有两个不同的交点，求直线l 的斜率的取值范围．20．已知二次函数f （x ）=x 2+bx+c ，其中常数b ，c ∈R ．（Ⅰ）若任意的x ∈[﹣1，1]，f （x ）≥0，f （2+x ）≤0，试求实数c 的取值范围；（Ⅱ）若对任意的x 1，x 2∈[﹣1，1]，有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤4，试求实数b 的取值范围．21．设函数f（x）=x3﹣6x+5，x∈R（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=a有3个不同实根，求实数a的取值范围．22．为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行抽样检查，测得身高情况的统计图如下：（Ⅰ）估计该校男生的人数；（Ⅱ）估计该校学生身高在170～185cm之间的概率；（Ⅲ）从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190cm之间的概率．23．已知不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，（1）求a，b；（2）解不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0．24．已知函数f（x）=4sinxcosx﹣5sin2x﹣cos2x+3．（Ⅰ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=，=2+2cos（A+C），求f（B）的值．西湖区高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1．【答案】C2．【答案】D 【解析】试题分析：数列n n n a 2728-+=，112528++-+=∴n n n a ，11252722n nn nn n a a ++--∴-=- ()11252272922n n n n n ++----+==，当41≤≤n 时，n n a a >+1,即12345a a a a a >>>>；当5≥n 时,n n a a <+1,即...765>>>a a a .因此数列{}n a 先增后减,32259,55==∴a n 为最大项，8,→∞→n a n ，2111=a ,∴最小项为211，M m +∴的值为3243532259211=+．故选D.考点：数列的函数特性. 3．【答案】C【解析】解：圆x 2+y 2﹣2x+4y=0化为：圆（x ﹣1）2+（y+2）2=5，圆的圆心坐标（1，﹣2），半径为，直线l 将圆 x 2+y 2﹣2x+4y=0平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 经过圆心与坐标原点．或者直线经过圆心，直线的斜率为﹣1，∴直线l 的方程是：y+2=﹣（x ﹣1），2x+y=0，即x+y+1=0，2x+y=0．故选：C ．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线的截距式方程的求法，考查计算能力，是基础题．4．【答案】A【解析】解：∵点M （﹣6，5）在双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）上，∴，①又∵双曲线C 的焦距为12，∴12=2，即a 2+b 2=36，②联立①、②，可得a2=16，b2=20，∴渐近线方程为：y=±x=±x，故选：A．【点评】本题考查求双曲线的渐近线，注意解题方法的积累，属于基础题．5．【答案】B【解析】解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L=2πr，∴=（2πr）2h，∴π=．故选：B．6．【答案】B【解析】解：a※b=12，a、b∈N*，若a和b一奇一偶，则ab=12，满足此条件的有1×12=3×4，故点（a，b）有4个；若a和b同奇偶，则a+b=12，满足此条件的有1+11=2+10=3+9=4+8=5+7=6+6共6组，故点（a，b）有2×6﹣1=11个，所以满足条件的个数为4+11=15个．故选B7．【答案】A【解析】解：如图，E为底面ABCD上的动点，连接BE，CE，D1E，对三棱锥B﹣D1EC，无论E在底面ABCD上的何位置，面BCD1的面积为定值，要使三棱锥B﹣D1EC的表面积最大，则侧面BCE、CAD1、BAD1的面积和最大，而当E与A重合时，三侧面的面积均最大，∴E点位于点A处时，三棱锥B﹣D1EC的表面积最大．故选：A．【点评】本题考查了空间几何体的表面积，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．8．【答案】【解析】选C.f （x ）的定义域为x ∈R ，由f （x ）＝（e －x －e x ）（12x ＋1－12）得f （－x ）＝（e x －e －x ）（12－x ＋1－12）＝（ex－e －x ）（－12x ＋1＋12）＝（e －x －e x ）（12x ＋1－12）＝f （x ），∴f （x ）在R 上为偶函数，∴不等式f （x ）＜f （1＋x ）等价于|x |＜|1＋x |，即x 2＜1＋2x ＋x 2，∴x ＞－12，即不等式f （x ）＜f （1＋x ）的解集为{x |x ＞－12}，故选C.9．【答案】B【解析】(2016)(2016)(54031)(1)f f f f e -==⨯+==，故选B ． 10．【答案】C【解析】因为角、、依次成等差数列，所以由余弦定理知，即，解得所以，故选C答案：C11．【答案】C【解析】解：根据导函数图象，可得2为函数的极小值点，函数y=f （x ）的图象如图所示：因为f （0）=f （3）=2，1＜a ＜2，所以函数y=f （x ）﹣a 的零点的个数为4个．故选：C ．【点评】本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系．二者之间的关系是：导函数为正，原函数递增；导函数为负，原函数递减．12．【答案】D【解析】解：∵，B=45°根据正弦定理可知∴sinA==∴A=30° 故选D ．【点评】本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．二、填空题13．【答案】()2212x y -+=或()2212x y ++=【解析】试题分析：由题意知()0,1F ，设2001,4P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，由1'2y x =，则切线方程为()20001142y x x x x -=-，代入()0,1-得02x =±，则()()2,1,2,1P -，可得PF FQ ⊥，则FPQ ∆外接圆以PQ 为直径，则()2212x y -+=或()2212x y ++=.故本题答案填()2212x y -+=或()2212x y ++=．1考点：1.圆的标准方程；2.抛物线的标准方程与几何性质． 14．【答案】D 【解析】15．【答案】（﹣∞，]∪[，+∞）．【解析】解：数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，2a n+1=a n ，∴数列{a n }是以1为首项，以为公比的等比数列，S n ==2﹣（）n ﹣1，对于任意n ∈N *，当t ∈[﹣1，1]时，不等式x 2+tx+1＞S n 恒成立， ∴x 2+tx+1≥2，x 2+tx ﹣1≥0，令f （t ）=tx+x 2﹣1，∴，解得：x ≥或x ≤，∴实数x 的取值范围（﹣∞，]∪[，+∞）．16．【答案】 75【解析】计数原理的应用．【专题】应用题；排列组合．【分析】由题意分两类，可以从A 、B 、C 三门选一门，再从其它6门选3门，也可以从其他六门中选4门，根据分类计数加法得到结果．【解答】解：由题意知本题需要分类来解，第一类，若从A、B、C三门选一门，再从其它6门选3门，有C31C63=60，第二类，若从其他六门中选4门有C64=15，∴根据分类计数加法得到共有60+15=75种不同的方法．故答案为：75．【点评】本题考查分类计数问题，考查排列组合的实际应用，利用分类加法原理时，要注意按照同一范畴分类，分类做到不重不漏．17．【答案】2x﹣y+1=0．【解析】解：由题意得，y′=（x+e x）′=1+e x，∴点A（0，1）处的切线斜率k=1+e0=2，则点A（0，1）处的切线方程是y﹣1=2x，即2x﹣y+1=0，故答案为：2x﹣y+1=0．【点评】本题考查导数的几何意义，以及利用点斜式方程求切线方程，注意最后要用一般式方程来表示，属于基础题．18．【答案】5【解析】考点：利用导数求最值【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用f′（x）＞0或f′（x）＜0求单调区间；第二步：解f′（x）＝0得两个根x1、x2；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．三、解答题19．【答案】【解析】【命题意图】本题考查圆的参数方程和极坐标方程、直线参数方程、直线和圆位置关系等基础知识，意在考查数形结合思想、转化思想和基本运算能力．（Ⅱ）设直线l ：2)2(+-=x k y 与半圆)0(222≥=+y y x 相切时21|22|2=+-kk0142=+-∴k k ，32-=∴k ，32+=k （舍去）设点)0,2(-B ，2ABk ==-故直线l 的斜率的取值范围为]22,32(--. 20．【答案】【解析】解：（Ⅰ）因为x ∈[﹣1，1]，则2+x ∈[1，3]，由已知，有对任意的x ∈[﹣1，1]，f （x ）≥0恒成立，任意的x ∈[1，3]，f （x ）≤0恒成立，故f （1）=0，即1为函数函数f （x ）的一个零点．由韦达定理，可得函数f （x ）的另一个零点，又由任意的x ∈[1，3]，f （x ）≤0恒成立，∴[1，3]⊆[1，c]，即c ≥3（Ⅱ）函数f （x ）=x 2+bx+c 对任意的x 1，x 2∈[﹣1，1]，有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤4恒成立，即f （x ）max ﹣f （x ）min ≤4，记f （x ）max ﹣f （x ）min =M ，则M ≤4．当||＞1，即|b|＞2时，M=|f （1）﹣f （﹣1）|=|2b|＞4，与M ≤4矛盾；当||≤1，即|b|≤2时，M=max{f （1），f （﹣1）}﹣f （）=﹣f （）=（1+）2≤4，解得：|b|≤2，即﹣2≤b ≤2，综上，b的取值范围为﹣2≤b≤2．【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．21．【答案】【解析】解：（Ⅰ）∴当，∴f（x）的单调递增区间是，单调递减区间是当；当（Ⅱ）由（Ⅰ）的分析可知y=f（x）图象的大致形状及走向，∴当的图象有3个不同交点，即方程f（x）=α有三解．22．【答案】【解析】解：（Ⅰ）样本中男生人数为2+5+13+14+2+4=40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为=400；（Ⅱ）∵样本中身高在170～185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人，样本容量为70，∴样本中学生身高在170～185cm之间的频率，故可估计该校学生身高在170～180cm之间的概率p=0.5；（Ⅲ）样本中身高在180～185cm之间的男生有4人，设其编号为①，②，③，④，样本中身高在185～190cm之间的男生有2人，设其编号为⑤，⑥，从上述6人中任取2人的树状图为：∴从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人得所有可能结果数为15，求至少有1人身高在185～190cm之间的可能结果数为9，∴所求概率p2=．【点评】抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同，这是解决一部分抽样问题的依据，样本容量、总体个数、每个个体被抽到的概率，这三者可以知二求一．这是一个统计综合题，可以作为一个解答题出在文科的试卷中．23．【答案】【解析】解：（1）因为不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，所以x1=1与x2=b是方程ax2﹣3x+2=0的两个实数根，且b＞1．由根与系的关系得，解得，所以得．（2）由于a=1且b=2，所以不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0，即x2﹣（2+c）x+2c＜0，即（x﹣2）（x﹣c）＜0．①当c＞2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|2＜x＜c}；②当c＜2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|c＜x＜2}；③当c=2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为∅．综上所述：当c＞2时，不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0的解集为{x|2＜x＜c}；当c＜2时，不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0的解集为{x|c＜x＜2}；当c=2时，不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0的解集为∅．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，一元二次不等式与一元二次方程的关系，属于基础题．24．【答案】【解析】解：（Ⅰ）f（x）=4sinxcosx﹣5sin2x﹣cos2x+3=2sin2x﹣+3=2sin2x+2cos2x=4sin（2x+）．∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴f（x）∈[﹣2，4]．（Ⅱ）由条件得sin（2A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），∴sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），化简得sinC=2sinA，由正弦定理得：c=2a，又b=，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=3a2+4a2﹣4a2cosA，解得：cosA=，故解得：A=，B=，C=，∴f（B）=f（）=4sin=2．【点评】本题考查了平方关系、倍角公式、两角和差的正弦公式及其单调性、正弦定理、余弦定理，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．。

浙江省杭州市西湖高级中学高三数学理科5月问考卷人教版

浙江省杭州市西湖高级中学高三数学理科5月问考卷人教版一、选择题1．已知函数()f x 的反函数为=y ()1f x -，且=y ()f x 的图像经过第三、四象限，那么函数=y ()1f x -的图像必经过的象限是（）A.第一、二象限B.第二、三象限C.第一、三象限D.第二、四象限2. 如果a,b,c 成等比数列，那么关于x 的方程ax 2+bx+c=0 （） A ．一定有两个不相同的实数根 B.一定有两个相同的实数根 C.一定没有实数根 D.以上三种情况均可出现 3.设复数z=ii +-11+(1+i)2,则(1+z)7展开式的第五项是（） A.-21 B.35 C.-21i D.-35i4. 已知α、β表示不同的平面，m 、n 表示不同的直线，则下列命题中不．正确．．的是( ) A ．若m ⊥α，n α⊂，则m n ⊥ B ．//m n ，m α⊥，则n α⊥C ．若//m α，n αβ=，则//m n D ．若m ⊥α，n ⊥α，则//m n5．以椭圆221169144x y +=的右焦点为圆心，且与双曲线221916x y -=的渐近线相切的圆的方程是（）A ．221090x y x +-+= B ．221090x y x +--= C ．221090x y x +++= D ．221090x y x ++-= 6. 命题:p 函数()sin(2)16f x x π=-+满足()()33f x f x ππ+=-,命题:q 函数()sin(2)1g x x θ=++可能是奇函数（θ为常数）；则复合命题“p 或q ”，“p 且q ”“非p ”为真命题的个数为（）A.0个B.1个C.2个D.3个 7. 如果数列}{n a 满足1111211,2++---=-==n n n n n n n n a a aa a a a a a a 且，则此数列的第10项为（）A.1021 B.921 C.101 D.518．设曲线21y x =+在其上任一点(,)x y 处的切线的斜率为()g x ，则函数()cos y g x x =的部分图象可以为 ( )A ．B ．C ．D ．9.三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6人排成一排合影，要求同校任何两名学生不能相邻，那么不同的排法有 ( )A.36种B.72种C.108种D.120种10. 若直线1y kx =+与圆2240x y kx my +++-=相交于P 、Q 两点,且点P 、Q 关于直线0x y +=对称，则不等式组10,0,0kx y kx my y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积是 ( )A.14 B.12 C. 15 D. 13二、填空题11．在三角形ABC 中，sin A : sin B : sin C =2:3:4，则cos C 的值为______▲_________. 12．已知函数)(,1sin 21sin 2R x x x y ∈+-=，若当y 取最大值时，a x =；当y 取最小值时，)sin(],2,2[,,βαππβαβ--∈=则且x = ▲_ . 13．右图为一个简单多面体的表面展开图（沿虚线适当折叠即可还原），则这个多面体的顶点个数为 ▲_ 。

浙江省杭州市西湖高级中学高一数学下学期5月月考试题

浙江省杭州市西湖高级中学高一数学下学期5月月考试题一、选择题（每小题5分，共8小题）1．若非零实数a , b 满足a >b ，则 ( )A ．a 3>b 3B.2211b a >C.a 2>b 2D.ba 11< 2．为得到函数)32sin(π-=x y 的图象，只需将函数)62sin(π+=x y 的图像（）A ．向左平移4π个单位长度 B ．向右平移4π个单位长度 C ．向左平移2π个单位长度D ．向右平移2π个单位长度3．不等式0322322<--+-x x x x 的解集是( ) A ．(-∞, -1)∪(1, 2)∪(3, +∞) B ．(-1, 1)∪(2, 3) C ．(-1, 1) ∪(1, 2)D ．(1, 2)∪(2, 3)4. 设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EB ( )A ．AD B.12AD C. 12BC D. BC 5.若βα,为锐角，且满足53)cos(,54cos =+=βαα，则βsin 的值是（）（A ）2517 （B ）53 （C ）257（D ）516．已知平面向量→OA 、→OB 、→OC 为三个单位向量，且→OA 0=⋅→OB ，满足→OC +=→OA x ),(R y x OB y ∈→，则y x +的最大值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 7.ABC ∆各角的对应边分别为c b a ,,,满足1≥+++ba cc a b ,则角A 的范围是（） A ．(0,]3πB ．(0,]6πC ．[,)3ππD ．[,)6ππ 8.在锐角三角形ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,若A ＝2B ,给出下列命题： ①64B ππ<<；②(2,3]a b∈；③22a b bc =+．其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 二、填空题9．已知31)4cos(-=-απ，则)43cos(απ+的值为____ ____ 10.ABC ∆满足AC AB =，2=BC ，G 为ABC ∆的重心，则=⋅BC BG11．设平面上有4个互异的点,,,A B C D 已知(2)()0DB DC DA AB AC +-⋅-=,则ABC ∆的形状是________________________12.已知:),3(),2,1(m OB OA =-=,若OB OA ⊥，则=m ;若OB OA //,则=m13. 已知函数f （x ）=（x ＞1），当且仅当x= 时，f （x ）取到最小值为．14．已知向量(1,2)a =-，(2,3)b =，若m a b λ=+与n a b =-的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是________15．已知ABC ∆的内角C B A ,,所对的边为c b a ,,，60,13,1A a b =︒==，则c = ，=++++CB A cb a sin sin sin ___三、解答题16. 已知向量()1,3cos m α=，()1,4tan n α=，()22ππα∈-,，且5m n ⋅=．（1）求m n +；（2）设向量m 与n 的夹角为β，求tan()αβ+的值．17．设函数()f x m n =⋅，其中向量(2cos ,1)m x =，(cos 32)n x x =，x R ∈．（1）求)(x f 的最小正周期与单调递减区间；（2）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知2)(=A f ，1=b ，△ABC 的面积为23，求a ．18. 在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，已知()b b a c a ⋅-=-22．（Ⅰ）若2cos2B-8cos B +5=0，判断ABC ∆的形状；（Ⅱ）若ABC ∆为锐角三角形，求2abc的取值范围．19. 某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量x 万件与年促销费用m 万元（0m ≥）满足31kx m =-+（k 为常数），如果不搞促销活动，该产品的年销售量只能是1万件。

【信息技术试卷】浙江省杭州市西湖高级中学2018-2019学年高二5月月考试题

浙江省杭州市西湖高级中学2018-2019学年高二5月月考试题一．选择题（本题共15小题，每题5分，共75分）1．已知集合A＝{x|x2＜1}，B＝{x|lg（x+1）≥0}，则A∩B＝（）A．[0，1）B．（﹣1，+∞）C．（0，1）D．（﹣1，0]2．角α的终边与单位圆交于点，则cos2α＝（）A．B．C．D．3．直线的倾斜角是（）A．120°B．150°C．30°D．60°4．若＝（2x，1，3），＝（1，﹣2y，9），如果与为共线向量，则（）A．x＝1，y＝1 B．x＝，y＝﹣C．x＝，y＝﹣D．x＝﹣，y＝5．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）cm2A．5 B．C．D．76．已知a，b，c∈R，则“a＜b”是“ac2＜bc2”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件7．若实数x，y满足，则z＝y﹣2x的最大值为（）A．1 B．C．D．8．已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，那么下列命题正确的是（）A．若l⊥m，l⊥n，m⊂α且n⊂α，则l⊥αB．若α∥β，l⊥α，m∥l且n⊂β，则m⊥nC．若m∥β，n∥β，m⊂α且n⊂α，则α∥βD．若α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，则m⊥α9．函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的图象可能是（）A B C D10．l：ax+2by﹣4＝0被圆x2+y2+4x﹣2y+1＝0所截弦长为4，则a2+b2的最小值是（）A．3 B．C．2 D．11．已知可导函数f（x）（x∈R）满足f′（x）＞f（x），则当a＞0时，f（a）和e a f（0）大小关系为（）A．f（a）＜e a f（0）B．f（a）＞e a f（0）C．f（a）＝e a f（0）D．f（a）≤e a f（0）12．设点P是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2＝a2+b2在第一象限的交点，F1，F2是双曲线的两个焦点，且2|PF1|＝3|PF2|，则双曲线的离心率为（）A．13 B．C．D．13．高一学生王超想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，（）A．若任意选择三门课程，选法总数为种B．若物理和化学至少选一门，选法总数为种C．若物理和历史不能同时选，选法总数为﹣种D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为﹣种14．过抛物线x2＝2py（p＞0）焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在直线y＝﹣上，则（）A．使△ABC为直角三角形的点C只有一个B．使△ABC为等腰三角形的点C只有一个C．当△ABC等边时，|AB|＝p D．当△ABC等边时，|CF|＝p15．已知△ABC中，AB＝4，AC＝2，若的最小值为2，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．二．填空题（每题4分，共16分）16．已知复数z＝（3+i）2，其中i为虚数单位，若z•（a+i）是纯虚数（其中a∈R），则a＝．17．设数列{a n}是公差为d的等差数列，a1+a3+a5＝105，a2+a4+a6＝99．数列{a n}的前n项和S n取得最大值时，n＝．18．甲、乙、丙分别是宁波某高中语文、数学、英语老师，在本次期末考试中，三人均被安排在第一考场监考，该考场安排了语文、数学、英语、物理、化学、生物共6门科目考试．按照规定，甲、乙、丙3位老师每人监考2门科目，且不监考自己任教学科，则不同的监考方案共有种．19．已知函数f（x）＝ax+ln（x）（a＞0），若对任意的x1，，都有，则a的最大值为．三．解答题（共5小题）20．已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且△ABC 的面积为，求a，b的值．21．多面体ABC﹣A1B1C1，AA1∥BB1∥CC1，AA1＝4，BB1＝2，AB＝4，CC1＝3，AB⊥BB1，C1在平面ABB1A1上的射影E是线段A1B1的中点．（1）求证：平面ABC⊥平面ABB1A1；（2）若C1E＝2，求二面角C1﹣AB1﹣A1的余弦值．22．已知函数f（x）＝x2﹣a|x﹣1|﹣1（a∈R）．（1）若f（x）≥0在x∈R上恒成立，求a的取值范围；（2）求f（x）在[﹣2，2]上的最大值M（a）．23．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）过点M（1，），左焦点F（﹣，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点N（，0）作一条直线交椭圆C于A，B两点，又过点N作直线AB的垂线交直线x＝2于P点，求的最小值．24．已知函数f（x）＝．（Ⅰ）求证：对于任意x∈（0，+∞），不等式f（x）＞x+1恒成立；（Ⅱ）设函数g（x）＝（e x﹣1）ln（x+1）﹣x2，x∈[0，+∞），求函数g（x）的最小值．参考答案一．选择题（共15小题）1．已知集合A＝{x|x2＜1}，B＝{x|lg（x+1）≥0}，则A∩B＝（）A．[0，1）B．（﹣1，+∞）C．（0，1）D．（﹣1，0]【分析】先解出A＝{x|﹣1＜x＜1}，根据对数函数的单调性即可解出B＝{x|x≥0}，然后进行交集的运算即可．【解答】解：A＝{x|﹣1＜x＜1}；由lg（x+1）≥0得，lg（x+1）≥lg1；∴x+1≥1；∴x≥0；∴B＝{x|x≥0}；∴A∩B＝[0，1）．故选：A．【点评】考查描述法表示集合的概念，对数函数的单调性，以及交集的运算．2．角α的终边与单位圆交于点，则cos2α＝（）A．B．C．D．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2α的值．【解答】解：根据角α的终边与单位圆交于点，可得x＝﹣，y＝，r＝＝1，∴cosα＝＝﹣，则cos2α＝2cos2α﹣1＝﹣，故选：D．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．3．直线的倾斜角是（）A．120°B．150°C．30°D．60°【分析】根据直线和斜率和倾斜角的关系即可求出．【解答】解：直线的倾斜角为θ，则tanθ＝，∴θ＝60°，故选：D．【点评】本题考查了直线和斜率和倾斜角的关系，属于基础题4．若＝（2x，1，3），＝（1，﹣2y，9），如果与为共线向量，则（）A．x＝1，y＝1 B．x＝，y＝﹣C．x＝，y＝﹣D．x＝﹣，y＝【分析】利用共线向量的条件，推出比例关系求出x，y的值．【解答】解：∵＝（2x，1，3）与＝（1，﹣2y，9）共线，故有＝＝．∴x＝，y＝﹣．故选：C．【点评】本题考查共线向量的知识，考查学生计算能力，是基础题．5．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）cm2A．5 B．C．D．7【分析】由三视图可知该几何体为平放的三棱柱，其中以左视图为底，然后根据三棱柱的表面积公式进行求解即可．【解答】解：由三视图可知该几何体为平放的三棱柱，其中以左视图为底，三棱柱的高为2cm，直角三角形的两个直角边长度分别为1cm和1cm，∴三棱柱的侧面积为（1+1+）×，底面积为，∴三棱柱的表面积为1+4+2．故选：C．【点评】本题主要考查三视图的识别和应用，以及三棱柱的表面积公式，比较基础．6．已知a，b，c∈R，则“a＜b”是“ac2＜bc2”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【分析】当c＝0时，a＜b⇏ac2＜bc2；当ac2＞bc2时，说明c≠0，有c2＞0，得ac2＜bc2⇒a＜b．显然左边不一定推导出右边，但右边可以推出左边．【解答】解：必要不充分条件当c＝0时，a＜b⇏ac2＜bc2；当ac2＞bc2时，说明c≠0，有c2＞0，得ac2＜bc2⇒a＜b．显然左边不一定推导出右边，但右边可以推出左边，故选：B．【点评】本题考查了充分必要条件的判断，本题解题的关键是充分利用不等式的基本性质是推导不等关系，本题是一个基础题．7．若实数x，y满足，则z＝y﹣2x的最大值为（）A．1 B．C．D．【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y＝2x结合图象可得结论．【解答】解：作出条件实数x，y满足所对应的可行域（如图△ABCD），由，解得B（，），变形目标函数可得y＝2x+z，平移直线y＝2x可知：当直线经过点B（，）时，直线的截距最大，此时目标函数z取最大值z＝﹣2×＝，故选：B．【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．8．已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，那么下列命题正确的是（）A．若l⊥m，l⊥n，m⊂α且n⊂α，则l⊥αB．若α∥β，l⊥α，m∥l且n⊂β，则m⊥nC．若m∥β，n∥β，m⊂α且n⊂α，则α∥βD．若α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，则m⊥α【分析】在A中，l与α相交或l⊂α；在B中，由线面垂直的判定定理和性质定理得m ⊥n；在C中，α与β相交或平行；在D中，m与α相交、平行或l⊂α．【解答】解：由l，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，若l⊥m，l⊥n，m⊂α且n⊂α，则l与α相交或l⊂α，故A错误；在B中，若α∥β，l⊥α，m∥l且n⊂β，则由线面垂直的判定定理和性质定理得m⊥n，故B正确；在C中，若m∥β，n∥β，m⊂α且n⊂α，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，若α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，则m与α相交、平行或l⊂α，故D错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9．函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据导数与函数单调性的关系，当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0时，函数f（x）单调递增，根据函数图象，即可判断函数的单调性，然后根据函数极值的判断，即可判断函数极值的位置，即可求得函数y＝f（x）的图象可能【解答】解：由当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0时，函数f（x）单调递增，则由导函数y＝f′（x）的图象可知：f（x）先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A，C，且第二个拐点（即函数的极大值点）在x轴上的右侧，排除B，故选：D．【点评】本题考查导数的应用，考查导数与函数单调性的关系，考查函数极值的判断，考查数形结合思想，属于基础题．10．l：ax+2by﹣4＝0被圆x2+y2+4x﹣2y+1＝0所截弦长为4，则a2+b2的最小值是（）A．3 B．C．2 D．【分析】根据题意，由圆的方程分析圆心坐标以及半径，进而可得直线l经过圆心（﹣2，1），则有﹣2a+2b﹣4＝0，即b＝a+2，据此可得a2+b2＝a2+（a+2）2＝2（a+1）2+2，结合二次函数的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，圆x2+y2+4x﹣2y+1＝0即（x+2）2+（y﹣1）2＝4，圆心为（﹣2，1），半径r＝2；若l：ax+2by﹣4＝0被圆x2+y2+4x﹣2y+1＝0所截弦长为4，则直线l经过圆心（﹣2，1），则有﹣2a+2b﹣4＝0，即b＝a+2，则a2+b2＝a2+（a+2）2＝2（a+1）2+2≥2，即a2+b2的最小值是2；故选：C．【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，注意分析直线经过圆心，属于基础题．11．已知可导函数f（x）（x∈R）满足f′（x）＞f（x），则当a＞0时，f（a）和e a f（0）大小关系为（）A．f（a）＜e a f（0）B．f（a）＞e a f（0）C．f（a）＝e a f（0）D．f（a）≤e a f（0）【分析】设函数f（x）＝e2x，则导函数f′（x）＝2•e2x，显然满足f'（x）＞f（x），由f（a）＝e2a，e a f（0）＝e a，比较得出结论．【解答】解：由题意知，可设函数f（x）＝e2x，则导函数f′（x）＝2•e2x，显然满足f'（x）＞f（x），f（a）＝e2a，e a f（0）＝e a，当a＞0时，显然e2a＞e a，即f（a）＞e a f（0），故选：B．【点评】本题考查求复合函数的导数的方法，以及指数函数的单调性，利用构造法求解是我们选择题常用的方法．12．设点P是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2＝a2+b2在第一象限的交点，F1，F2是双曲线的两个焦点，且2|PF1|＝3|PF2|，则双曲线的离心率为（）A．13 B．C．D．【分析】先由双曲线定义和已知求出两个焦半径的长，再由已知圆的半径为半焦距，知焦点三角形为直角三角形，从而由勾股定理得关于a、c的等式，求得离心率．【解答】解：依据双曲线的定义：|PF1|﹣|PF2|＝2a，又∵2PF1|＝3|PF2|，∴|PF1|＝6a，|PF2|＝4a，∵圆x2+y2＝a2+b2的半径r＝＝c，∴F1F2是圆的直径，∴∠F1PF2＝90°在直角三角形F1PF2中由36a2+16a2＝（2c）2，得e＝＝故选：C．【点评】本题考查了双曲线的定义，双曲线的几何性质，离心率的求法．13．高一学生王超想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，（）A．若任意选择三门课程，选法总数为种B．若物理和化学至少选一门，选法总数为种C．若物理和历史不能同时选，选法总数为﹣种D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为﹣种【分析】A．若任意选择三门课程，由组合的概念可知选法总数为种，可判断A错误；B．若物理和化学至少选一门，由分步乘法计数原理知选法总数为+种，可判断B错误；C．若物理和历史不能同时选，利用间接法可知选法总数为﹣种，可判断C正确；D．若物理和化学至少选一门，有3种情况，分别讨论计算，可判断D错误．【解答】解：对于A．若任意选择三门课程，选法总数为种，故A错误；对于B．若物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余的5门中选2门，有种选法，若物理和化学选两门，有种选法，剩下一门从剩余的5门中选1门，有种选法由分步乘法计数原理知，总数为++种选法，故B错误；对于C．若物理和历史不能同时选，选法总数为﹣•＝﹣种；对于D．若物理和化学至少选一门，有3种情况，①只选物理有且物理和历史不同时选，有•种选法；②选化学，不选物理，有•种选法；③物理与化学都选，有•种选法，故总数为•+•+•＝6+10+4＝20种，故D错误．故选：C．【点评】本题考查排列、组合及其简单的计数问题，考查分析运算能力，属于中档题．14．过抛物线x2＝2py（p＞0）焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在直线y＝﹣上，则（）A．使△ABC为直角三角形的点C只有一个B．使△ABC为等腰三角形的点C只有一个C．当△ABC等边时，|AB|＝pD．当△ABC等边时，|CF|＝p【分析】由题意画出图形，分析A，B错误；当△ABC等边时，由图可知AB所在直线存在且不为0，设AB：y＝，联立直线方程与抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，利用弦长公式求|AB|，求出C的坐标，再由点到直线的距离公式求C到AB的距离，利用等边三角形边与高的关系求得k，进一步求得|AB|，|CF|，则答案可求．【解答】解：如图，当过F的直线与y轴垂直时，分别过A，B作直线y＝﹣的垂线，垂直为C，则△ABC 为直角三角形，故A错误；分别以A，B为圆心，以2p为半径作圆，与直线y＝﹣交于C，可得四个等腰三角形，故B错误；当△ABC等边时，由图可知AB所在直线存在且不为0，设AB：y＝，联立，可得x2﹣2kpx﹣p2＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝2kp，，∴AB的中点坐标为（kp，），∴AB的垂直平分线方程为y﹣＝，取y＝﹣，可得x＝2kp+k3p．∴C（2kp+k3p，），|AB|＝，C到直线AB的距离d＝．由题意可得：|AB|＝，即，即k2＝2．∴|AB|＝6P，|CF|＝．故选：D．【点评】本题考查直线与抛物线的综合，考查计算能力，是中档题．15．已知△ABC中，AB＝4，AC＝2，若的最小值为2，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．【分析】△ABC中，AB＝4，AC＝2，＝＝4＝f（λ）．当cos A＝0时，f（λ）＝4，舍去．当cos A≠0时，f（λ）＝4≥4＝2，解得A＝．由此能求出△ABC 的面积．【解答】解：∵△ABC中，AB＝4，AC＝2，∴＝＝4＝f（λ）．当cos A＝0时，f（λ）＝4，舍去．当cos A≠0时，f（λ）＝4≥4，∵的最小值为2，∴4＝2，∴cos A＝﹣，解得A＝．∴△ABC的面积S＝＝2．故选：C．【点评】本题考查了向量的三角形法则、向量的数量积运算性质、二次函数的单调性、分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二．填空题（共4小题）16．已知复数z＝（3+i）2，其中i为虚数单位，若z•（a+i）是纯虚数（其中a∈R），则a ＝．【分析】利用复数的运算法则、摸的计算公式、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：复数z＝（3+i）2＝8+6i，若z•（a+i）＝（8+6i）（a+i）＝8a﹣6+（6a+8）i是纯虚数（其中a∈R），则8a﹣6＝0，且6a+8≠0，解得a＝．故答案为：10，．【点评】本题考查了复数的运算法则、摸的计算公式、纯虚数的定义，考查了推理能力、计算能力，属于基础题．17．设数列{a n}是公差为d的等差数列，a1+a3+a5＝105，a2+a4+a6＝99．数列{a n}的前n项和S n取得最大值时，n＝20．【分析】a1+a3+a5＝105，a2+a4+a6＝99．可得3a1+6d＝105，3a1+9d＝99，解出可得a n．令a n≥0，解得n即可得出．【解答】解：∵a1+a3+a5＝105，a2+a4+a6＝99．∴3a1+6d＝105，3a1+9d＝99，解得a1＝39，d＝﹣2，则a n＝39﹣2（n﹣1）＝41﹣2n；令a n≥0，解得n＝20+．∴数列{a n}的前n项和S n取得最大值时，n＝20．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．甲、乙、丙分别是宁波某高中语文、数学、英语老师，在本次期末考试中，三人均被安排在第一考场监考，该考场安排了语文、数学、英语、物理、化学、生物共6门科目考试．按照规定，甲、乙、丙3位老师每人监考2门科目，且不监考自己任教学科，则不同的监考方案共有36种．【分析】由题意需要分四类，根据分类计数原理可得．【解答】解：若甲监考数学和英语，则乙、丙从剩下的4门中任选2门即可，故有C42A22＝12种，若甲监考数学和不监考英语，则甲再从物理、化学、生物选1门，丙从剩下的3门（包含语文不含英语）选2门，剩下的2门乙监考，故有C31C32＝9种；若甲不监考数学和监考英语，则甲再从物理、化学、生物选1门，乙从剩下的3门（包含语文不含数学）选2门，剩下的2门丙监考，故有C31C32＝9种；若甲不监考数学也不监考英语，则甲从物理、化学、生物选2门，乙一定需要监考英语，在剩下的2门（包含语文不含数学）选1门，剩下的2门丙监考，故有C32C21＝6种，根据分类计数原理，共有12+9+9+6＝36种，故答案为：36．【点评】本题考查了分类计数原理，关键是分类，考查了转化能力，属于中档题．19．已知函数f（x）＝ax+ln（x）（a＞0），若对任意的x1，，都有，则a的最大值为．【分析】不妨设x1＞x2，原不等式转化为f（x1）+≤f（x2）+恒成立，令g（x）＝f （x）+，g（x）在[，]上应时减函数，根据导数和函数单调性的关系即可求出．【解答】解：∵f（x）＝ax+lnx，a＞0∴函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，∵x1，，不妨设x1＞x2，∴f（x1）＞f（x2）．∵，对任意的x1，恒成立∴f（x1）﹣f（x2）≤2（﹣），即f（x1）+≤f（x2）+恒成立．令g（x）＝f（x）+，x∈[，]，则g（x）在[，]上应时减函数，∴g′（x）＝a+﹣≤0对x∈[，]恒成立．即a≤﹣对x∈[，]恒成立，由y＝﹣在[，]为减函数，∴y min＝，∴a≤，故a的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查了利用导数求闭区间上的单调性，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，训练了构造函数求变量的取值范围，属于难题．三．解答题（共5小题）20．已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且△ABC 的面积为，求a，b的值．【分析】（Ⅰ）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，则函数周期可求，再由复合函数的单调性求函数的单调增区间；（Ⅱ）由求得角C，结合已知三角形面积，由正弦定理及余弦定理列方程组求解a，b的值．【解答】解：（Ⅰ）∵＝，∴f（x）的最小正周期T＝π；由，得，k∈Z．∴函数f（x）的增区间为；（Ⅱ）由，得，∴，∵0＜C＜π，∴，则，即，由，得ab＝2，①由余弦定理c2＝a2+b2﹣2ab cos C，∴＝a2+b2﹣ab，②由①②解得或．【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查y＝A sin（ωx+φ）的图象和性质，考查三角形的解法，是中档题．21．多面体ABC﹣A1B1C1，AA1∥BB1∥CC1，AA1＝4，BB1＝2，AB＝4，CC1＝3，AB⊥BB1，C1在平面ABB1A1上的射影E是线段A1B1的中点．（1）求证：平面ABC⊥平面ABB1A1；（2）若C1E＝2，求二面角C1﹣AB1﹣A1的余弦值．【分析】（Ⅰ）过E作EO∥A1A交AB于O，连接CO，证明四边形OEC1C是平行四边形，推出C1E⊥面ABB1A1，得到CO⊥面ABB1A1，然后证明面ABC⊥面ABB1A1；（Ⅱ）以点O为坐标原点建立空间直角坐标系，求出面AB1C1的法向量，底面A1B1BA 的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：过E作EO∥A1A交AB于O，连接CO，由梯形的中位线知：，∴OE＝CC1，又OE∥CC1，故四边形OEC1C是平行四边形，∴C1E⊥面ABB1A1，则CO⊥面ABB1A1，又CO在面ABC内，∴面ABC⊥面ABB1A1；（Ⅱ）如图以点O为坐标原点建立空间直角坐标系，CO＝C1E＝2，A（﹣2，0，0），B1（2，2，0），C1（0，3，2），∴，，设面AB1C1的法向量为，依题知：，即，令a＝1，得b＝﹣2，c＝2，∴，底面A1B1BA的法向量为，∴．∴二面角C1﹣AB1﹣A1的余弦值为说明：若学生用常规法只要运算合理，请酌情给分．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法．考查空间想象能力以及逻辑推理能力．22．已知函数f（x）＝x2﹣a|x﹣1|﹣1（a∈R）．（1）若f（x）≥0在x∈R上恒成立，求a的取值范围；（2）求f（x）在[﹣2，2]上的最大值M（a）．【分析】（1）由题意可得（x2﹣1）≥a|x﹣1|（*）对x∈R恒成立，讨论x＝1，x＞1，x＜1去掉绝对值，由一次函数的单调性可得a的范围；（2）运用分段函数的形式可得f（x）的解析式，讨论当a≥3时，当0≤a＜3，当a＜0时，注意对称轴处的函数值与端点处的函数值的大小，求得f（x）的最大值．【解答】解：（1）由题意可得（x2﹣1）≥a|x﹣1|（*）对x∈R恒成立，①当x＝1时，（*）显然成立，此时a∈R；当x≠1时，（*）可变形为，令m（x）＝＝，②当x＞1时，m（x）＞2，a≤2；③当x＜1时，m（x）＞﹣2，所以m（x）＞﹣2，故此时a≤﹣2．综合①②③，得所求实数a的取值范围是a≤﹣2；（2）f（x）＝，得f（1）＝0，f（2）＝3﹣a，f（﹣2）＝3﹣3a，①当a≥3时，∵，，∴f（﹣2）＜f（2）≤f（1）＝0，M（a）＝0；②当0≤a＜3时，∴f（﹣2）≤f（2），f（1）≤f（2）＝3﹣a即M（a）＝3﹣a；③当a＜0时，∵，，∴f（1）＜f（2）＜f（﹣2）＝3﹣3a，即M（a）＝3﹣3a，所以M（a）＝．【点评】本题考查不等式恒成立问题解法，考查函数的最值求法，注意运用分类讨论思想方法，考查运算能力，属于中档题．23．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）过点M（1，），左焦点F（﹣，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点N（，0）作一条直线交椭圆C于A，B两点，又过点N作直线AB的垂线交直线x＝2于P点，求的最小值．【分析】（Ⅰ）由题意可得c＝，M的坐标代入椭圆方程，以及a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）①当AB与x轴重合时，P点不存在；②当AB与x轴垂直时，可得＝1；③当AB与x轴不重合也不垂直，设AB的方程为x＝my+（m≠0），联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|AB|，设出NP的方程，联立直线x＝2，求得P的坐标和|NP|，可得的式子，变形运用基本不等式即可得到所求最小值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：＝1（a＞b＞0）过点M（1，），左焦点F（﹣，0），可得c＝，+＝1，且a2﹣b2＝c2，解得a＝2，b＝1，则椭圆方程为+y2＝1；（Ⅱ）①当AB与x轴重合时，P点不存在；②当AB与x轴垂直时，|AB|＝，|PN|＝，＝1；③当AB与x轴不重合也不垂直，设AB的方程为x＝my+（m≠0），代入椭圆方程x2+4y2﹣4＝0，可得（4+m2）y2+2my﹣2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，|AB|＝•＝•＝|＝•，又NP的方程为x＝﹣y+，联立x＝2可得P（2，﹣m），则|NP|＝，可求＝•＝（+）＞•2＝1，（由于m≠0，即等号取不到），综合可求的最小值为1．【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用点满足椭圆方程，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及化简整理的运算能力，属于中档题．24．已知函数f（x）＝．（Ⅰ）求证：对于任意x∈（0，+∞），不等式f（x）＞x+1恒成立；（Ⅱ）设函数g（x）＝（e x﹣1）ln（x+1）﹣x2，x∈[0，+∞），求函数g（x）的最小值．【分析】（I）x∈（0，+∞），证明不等式f（x）＞x+1恒成立；只需证明：e x﹣1x2﹣x＞0．令u（x）＝e x﹣1x2﹣x，利用导数研究函数的单调性即可得出．（II）x∈（0，+∞），由（I）可得：＞x+1，要证明：x+1＞，只需证明：ln（x+1）＞x．令v（x）＝ln（x+1）﹣x．利用导数研究函数的单调性极值最值即可得出．【解答】（I）证明：∵x∈（0，+∞），证明不等式f（x）＞x+1恒成立；只需证明：e x﹣1x2﹣x＞0．令u（x）＝e x﹣1x2﹣x，u′（x）＝e x﹣x﹣1，令h（x）＝e x﹣x﹣1，则h′（x）＝e x﹣1＞0，∴函数h（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，∴h（x）＞h（0）＝0．∴函数u（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，∴u（x）＞u（0）＝1﹣1＝0．∴不等式f（x）＞x+1恒成立，x∈（0，+∞）．（II）解：x∈（0，+∞），由（I）可得：＞x+1，要证明：x+1＞，只需证明：ln（x+1）＞x．令v（x）＝ln（x+1）﹣x．v′（x）＝ln（x+1）+﹣1，令s（x）＝v′（x），则s′（x）＝+＝＞0，∴s（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，∴s（x）＞s（0）＝0．∴ln（x+1）＞x．∴x+1＞，即＞，（e x﹣1）ln（x+1）﹣x2＞0．又g（0）＝0．∴g（x）≥0．∴函数g（x）的最小值为0．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

浙江省杭州市西湖高级中学高一数学5月月考试题新人教A版

西湖高级中学2012-2013学年高一5月月考数学试题第一部分：模块测试题一．选择题(每题4分,共32分)（1）已知数列{n a }的通项公式是n a ＝252+n n (n ∈*N )，则数列的第5项为（）（A ）110（B ）16 （C ）15 （D ）12（2）数列1，3，6，10，…的一个通项公式a n ＝（）（A ）n 2－n ＋1 （B ）1(1)2n n - （C ）1(1)2n n + （D ）123n +- （3）数列{n a }的通项公式是n a ＝122+n n (n ∈*N )，那么n a 与1+n a 的大小关系是（）（A ）n a ＞1+n a （B ）n a ＜1+n a （C ）n a ＝ 1+n a （D ）不能确定（4）某厂在1995年底制定生产计划，要使2005年底的总产量在1995年底的基础上翻两番，则年平均增长率为（）（A 1 （B ）1 （C 1 （D ）1 （5）在△ABC 中，若22()3b c a bc +-=，则角A ＝（）（A ）30° （B ）60° （C ）120° （D ）150° （6）在△ABC 中，A B B A 22sin tan sin tan ⋅=⋅，那么△ABC 一定是（）（A ）锐角三角形（B ）直角三角形（C ）等腰三角形（D ）等腰三角形或直角三角形（7）若,,a b c ∈R ，且b a >，则下列不等式一定成立的是（）（A ）c b c a -≥+（B ）bc ac >（C ）02>-ba c （D ）0)(2≥-cb a （8）不等式x x 452>-的解集为（）（A ）（－5，1）（B ）（－1，5）（C ）（－∞，－5）∪（1，＋∞）（D ）（－∞，－1）∪（5，＋∞）二．填空题(每题5分,共20分)（9）在等差数列{}n a 中，已知2054321=++++a a a a a ，那么3a 等于 . （10）已知在等比数列{}n a 中，各项均为正数，且,7,13211=++=a a a a 则数列{}n a 的通项公式是_________=n a ；前n 项和n S ＝ .（11）在△ABC 中，B ＝135°，C ＝15°，a ＝5，则此三角形的最大边长为 . （12）已知△ABC 的周长为9，且4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则cos C ＝ . 三．简答题(共48分) （13）（本小题满分16分）设等差数列{n a }的前n 项和为n S ，已知3a ＝24，011=S ． (Ⅰ) 求数列{n a }的通项公式；（Ⅱ）求数列{n a }的前n 项和n S ；（Ⅲ）当n 为何值时，n S 最大，并求n S 的最大值．（14）（本小题满分16分）如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ABC ＝60°，AC ＝6，AD ＝5，S △ADC ＝152，求AB 的长.（15）（本小题满分16分）某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级籽棉2吨、二级籽棉1吨；生产乙种棉纱1吨需耗一级籽棉1吨，二级籽棉2吨.每1吨甲种棉纱的利润为900元，每1吨乙种棉纱的利润为600元.工厂在生产这两种棉纱的计划中，要求消耗一级籽棉不超过250吨，二级籽棉不超过300吨.问甲、乙两种棉纱应各生产多少吨，能使利润总额最大？并求出利润总额的最大值.第二部分：加试题（1）若0＜a ＜1，0＜b ＜1，把a ＋b ，，2ab 中最大与最小者分别记为M 和m ，则（）（A ）M ＝a ＋b ， m ＝2ab （B ）M ＝2ab ， m ＝（C ）M ＝a ＋b ， m ＝（D ）M ＝， m ＝2ab （2）设x ＞0，y ＞0，x ＋y ＋xy ＝2，则x ＋y 的最小值是（）（A ）32（B ）1 + 3 （C ）2 3 －2 （D ）2－ 3（3）设z y x ,,是不相等的三个数，则使z y x ,,成等差数列, 且y z x ,,成等比数列的条件是（）(A) 2:1:4::=z y x (B) )2(:1:4::-=z y x (C) 2:1:)4(::-=z y x (D) 2:)1(:4::-=z y x （4）如果一个一元二次不等式的解集为（2，3），则这样的一元二次不等式可以是（写出一个符合条件的不等式即可）.（5）关于x 的不等式22(21)0x m x m m -+++<的解集为．（6）（本小题满分15分）已知集合A ＝{|(2)[(31)]0}x x x a --+<，B ＝（2a ，a 2＋1）. （Ⅰ）当a ＝2时，求AB ；（Ⅱ）求使B ⊆A 的实数a 的取值范围.(7). (本小题满分15分)已知函数f(x)= m·log 2x + t 的图象经过点A （4，1）、点B （16，3）及点C （S n ，n ），其中S n 为数列{a n }的前n 项和，n ∈N *. （Ⅰ）求S n 和a n ；（Ⅱ）设数列{b n }的前n 项和为T n , b n = f(a n ) – 1, 求不等式T n ≤ b n 的解集，n∈N *.参考答案（9）4 （10）n a ＝12-n ；n S ＝21n- （11）（12）41-（15）解：设生产甲、乙两种棉纱分别为x 、y 吨，利润总额为z ，则z ＝900x ＋600y且225023000,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩作出以上不等式组所表示的平面区域（如图），即可行域. 作直线l ：900x ＋600y ＝0，即3x ＋2y ＝0，把直线l 向右上方平移至过直线2x ＋y ＝250与直线x ＋2y ＝300的交点位置M （3200，3350），此时所求利润总额z ＝900x ＋600y 取最大值130000元.加试（4）2560x x -+< （5）（m ，m ＋1）3x ＋2y ＝0（2） 0,111===T b n 时当, 不等式成立.,2时当≥n b n = f(a n ) – 1= n – 2 ,.2232)1)(20(02+-=--++=n n n n T n02)3)(2(265)2(22322≤--=+-=--+-=-n n n n n n n b T n n ,解得: .32≤≤n =∴∈*n N n ,2,3所求不等式的解集为{1, 2，3 }.。

浙江杭州西湖高级中学18-19学度高一3月抽考-数学

浙江杭州西湖高级中学18-19学度高一3月抽考-数学第一部分：模块测试题一．选择题(每题5分,共40分)1．把 1125-化为)20,(2πααπ<≤∈+Z k k 旳形式是 ( ) A ．46ππ-- B ．476ππ+-C ．48ππ-- D ．478ππ+-2．函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2sin πx y 是 ( )A ．周期为π2旳偶函数B ．周期为π2旳奇函数C ．周期为π旳偶函数D ．周期为π旳奇函数 3．已知，A （2，3），B （－4，5），则与AB 共线旳单位向量是( )A ．)1010,10103(-= B ．)1010,10103()1010,10103(--=或C ．)2,6(-=e D ．)2,6()2,6(或-=e4.1e 和2e 是表示平面内所有向量旳一组基底，则下面旳四个向量中，不能作为一组基底旳是 ( ) A ．31e －22e 和42e －61e B ．1e + 2e 和1e －2eC ．1e + 22e 和2e +21e D ．2e 和 2e +1e5．在平行四边形ABCD-+: ( )A ．= B ．=或=C ．ABCD 是矩形 D ．ABCD 是正方形 6.已知k 3),2,3(),2,1(-+-==垂直时k 值为 ( )A ．17B ．18C ．19D ．207．设平面上有四个互异旳点A 、B 、C 、D ，已知（,0)()2=-⋅-+则△ABC旳形状是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 8. 下列命题中：①∥⇔存在唯一旳实数R ∈λ，使得λ=； ②为单位向量，且∥，则=±||·；③3||||=⋅⋅；④a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线；⑤若=≠⋅=⋅则且,其中正确命题旳序号是 ( ) A ．①⑤ B ．②③④ C ．②③ D ．①④⑤ 二．填空题(每题4分,共16分) 9.若)3,2(=与),4(y -=共线，则y ＝ -6 ；10.2，与旳夹角为3π11.函数22sin 1y x =- 旳最小正周期为 π ； 12.函数x x y sin 2sin 2-=旳值域是∈y []13-, ．三．简答题(共44分)第二部分：加试题1．在△ABC 中，若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ，则△ABC 旳形状是（） A 直角三角形 B 等边三角形 C 不能确定 D 等腰三角形2．在钝角三角形ABC 中，若sin A <sin B <sin C ，则 A ．cos A ·cos C >0 B ．cos B ·cos C >0 C ．cos A ·cos B >0 D ．cos A ·cos B ·cos C >0 3．钝角三角形旳三边为a 、a ＋1、a ＋2，其最大角不超过120°，则a 旳取值范围是 A ．0<a <3 B ． 32≤a <3 C ．2<a ≤3 D ．1≤a <52 4．在△ABC 中，角A 、B 、C 旳对边分别为a 、b 、c ，且2b·cosA ＝c·cosA ＋a·cosC. 则角A 为；A ＝60°5．在△ABC 中，a ＝b ＋2，b ＝c ＋2，又最大角旳正弦等于32，则三边长为__3\5\7 . 6. △ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应旳边为角a 、b 、c ，,3B π=4cos , 3.5A b == 1)求sin C 旳值； 2)求ABC ∆旳面积．7.如图，某市拟在长为8km 旳道路OP 旳一侧修建一条运动赛道，赛道旳前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y=Asin ωx(A>0, ω>0) x ∈[0,4]旳图象，且图象旳最高点为S(3，23)；赛道旳后一部分为折线段MNP ，为保证参赛运动员旳安全，限定∠MNP=120（I ）求A , ω旳值和M ，P 两点间旳距离；（II ）应如何设计，才能使折线段赛道MNP 最长？ 7.解法一（Ⅰ）依题意，有23A =，34T=，又2T πω=，6πω∴=·23sin6y xπ∴=当 4x =是，223sin 33y π∴== (4,3)M ∴ 又(8,3)p（Ⅱ）在△MNP 中∠MNP=120°，MP=5，设∠PMN=θ，则0°<θ<60° 由正弦定理得00sin sin120sin(60)MP NP MNθθ==- 103sin 3NP θ∴=,0103sin(60)3MN θ∴=-故010*********sin sin(60)(sin cos )33323NP MN θθθθ+=+-=+0°<θ<60°，∴当θ=30°时，折线段赛道MNP 最长亦即，将∠PMN 设计为30°时，折线段道MNP 最长。