【四清导航】2015春八年级数学下册 1.1 等腰三角形(第3课时)课件 (新版)北师大版
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北师大版数学八年级下册等腰三角形课件
第一章 的八大公理是什么？ 2.公理中关于三角形的有哪些？ 3.文字叙述证明题的一般步骤有哪些？
1.两点确定一条直线. 2.两点之间线段最短. 3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这
∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）
∴∠C=∠F（等量代换）
∵BC=EF（已知） ∴△ABC≌△DEF（ASA）
全等三角形的对应边相等、对应角相等.
(1)还记得我们知道的等腰三角形的性质吗? (2)你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?
自己折纸并视察，试写出等腰三角形的性质.
A BD
A
→
C
B C
D
A
课堂小结
1.等腰三角形的两个底角相等.(等边对等角)
2.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、 底边上的高线互相重合.
当堂检测
新知探究
你能利用基本事实和已学的定理证明下面的结论吗？
两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.（AAS）
已知：如图,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.
A
D
求证：△ABC≌△DEF.
证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，
B
CE
F
∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°）
∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E)
在上面的图形中,线段AD还具有怎样的性质?为什么? 由此你能得到什么结论?
A
推论: 等腰三角形顶角的平分线、
底边上的中线、底边上的高互相
重合.
BD C
1.如图，在△ABD中,C是BD上的一点，且 AC⊥BD，AC=BC=CD， （1）求证： △ABD是等腰三角形; （2）求∠BAD的度数.
1.两点确定一条直线. 2.两点之间线段最短. 3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这
∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）
∴∠C=∠F（等量代换）
∵BC=EF（已知） ∴△ABC≌△DEF（ASA）
全等三角形的对应边相等、对应角相等.
(1)还记得我们知道的等腰三角形的性质吗? (2)你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?
自己折纸并视察，试写出等腰三角形的性质.
A BD
A
→
C
B C
D
A
课堂小结
1.等腰三角形的两个底角相等.(等边对等角)
2.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、 底边上的高线互相重合.
当堂检测
新知探究
你能利用基本事实和已学的定理证明下面的结论吗？
两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.（AAS）
已知：如图,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.
A
D
求证：△ABC≌△DEF.
证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，
B
CE
F
∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°）
∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E)
在上面的图形中,线段AD还具有怎样的性质?为什么? 由此你能得到什么结论?
A
推论: 等腰三角形顶角的平分线、
底边上的中线、底边上的高互相
重合.
BD C
1.如图，在△ABD中,C是BD上的一点，且 AC⊥BD，AC=BC=CD， （1）求证： △ABD是等腰三角形; （2）求∠BAD的度数.
北师大版八年级下册数学1.1等腰三角形课件(共17张PPT)
D
60°
A120°BCDE
拓展提升
如图，在风筝ABCD中，AB=AD,BC=DC。
（1）分别在AB,AD中点E,F处拉两根彩线
A
EC,FC,证明：这两根彩线长度相等。
E
F
（2）如果AE= AB,AF= AD ,那 么这两
根彩线长度相等吗？
B
D
如果AE= AB,AF= AD.那么这两根彩线长 度相等吗？
1．等腰三角形的顶角为40°，则两个 底角为 70°70°．
2.已知等腰三角形腰长为5，底边长为6，
则底边上的中线长等于 4
．
定理: 等腰三角形的两个底角相等.
推论: 等腰三角形顶角的平分线、底 边上的中线、底边上的高互相重合.
等腰三角形是轴对称图形，顶角的平分 线（底边上的中线、底边上的高）所在 的直线是它的对称轴。
例1 证明: 等腰三角形两底角的平分线相等.
已知：如图，在△ABC中， AB=AC，
E
BD、CE是△ABC的角平分线．
求证：BD=CE．
1
B
证明： ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)
∵∠1= 1∠ABC，∠2= ∠1ACB，
2
2
∴∠1=∠2
在△BDC和△CEB中，
∵∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2
求证：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.
3 3 如图，在风筝ABCD中，AB=AD,BC=DC。 1 等边三角形两条中线相交所成锐角的度数 AD= AC，AE= 1 AB呢?由此你得到什么结论? （2）如果AE= AB,AF= AD ,那 么这两
4 4 在△ABC中，AB=AC,点D,E分别在AC,AB上
60°
A120°BCDE
拓展提升
如图，在风筝ABCD中，AB=AD,BC=DC。
（1）分别在AB,AD中点E,F处拉两根彩线
A
EC,FC,证明：这两根彩线长度相等。
E
F
（2）如果AE= AB,AF= AD ,那 么这两
根彩线长度相等吗？
B
D
如果AE= AB,AF= AD.那么这两根彩线长 度相等吗？
1．等腰三角形的顶角为40°，则两个 底角为 70°70°．
2.已知等腰三角形腰长为5，底边长为6，
则底边上的中线长等于 4
．
定理: 等腰三角形的两个底角相等.
推论: 等腰三角形顶角的平分线、底 边上的中线、底边上的高互相重合.
等腰三角形是轴对称图形，顶角的平分 线（底边上的中线、底边上的高）所在 的直线是它的对称轴。
例1 证明: 等腰三角形两底角的平分线相等.
已知：如图，在△ABC中， AB=AC，
E
BD、CE是△ABC的角平分线．
求证：BD=CE．
1
B
证明： ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)
∵∠1= 1∠ABC，∠2= ∠1ACB，
2
2
∴∠1=∠2
在△BDC和△CEB中，
∵∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2
求证：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.
3 3 如图，在风筝ABCD中，AB=AD,BC=DC。 1 等边三角形两条中线相交所成锐角的度数 AD= AC，AE= 1 AB呢?由此你得到什么结论? （2）如果AE= AB,AF= AD ,那 么这两
4 4 在△ABC中，AB=AC,点D,E分别在AC,AB上
北师大版八年级数学下册1.1.3《等腰三角形》课件(共16张PPT)
新北师版初中数学八年级下册
导入新课
1、回忆等腰三角形的性质: （1）、等腰三角形的两腰相等. （2）、等腰三角形的两个底角相等. (在同一个三角形中,等边对等角) （3）、等腰三角形三线合一 （顶角的平分线、底边上的中线、和底边上的高）
2、填空： （1）如图,在△ABC中,AB=AC,外角∠ACD=100º,
A 则∠ B=_8_0__度，∠A=_2_0__度
（2）如图，房屋的顶角∠BAC=100º， B
过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋椽AB=AC,
则∠B=__4_0_度、∠C=__4_0_度、
A
∠BAD=__5_0_度、∠CAD=__5_0_度.
BD=__D_C_、AD平分∠_B_A_C__. B
D
CD
C
知识新授
像这种先假设命题的结论不成立， 然后推导出与定义、基本事实、已有定 理或已知条件相矛盾的结果，从而证明 命题的结论一定成立. 这种证明方法称 为反证法 用反证法证明： 一个三角形中不能有两个角是直角.
例2、已知：△ABC. 求证：∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角. 证明：假设 ∠A,∠B,∠C中有两个角是直角，
∠B=∠C ( 已知 )Байду номын сангаас
∠BDA= ∠CDA=90° AD=AD ( 公共边 )
B DC
∴ △ BAD≌ △ CAD(AAS)
∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)
知识归纳
等腰三角形的判定：
有两个角相等的三角形是等腰三角形. （简述为
“等角对等边”）
注意：是在同一个三角形中.
A
应用格式:
在△ABC中，
2、已知：如图，∠CAE是△ABC的外角， E
∠1=∠2，AD∥BC. 求证：AB=AC.
导入新课
1、回忆等腰三角形的性质: （1）、等腰三角形的两腰相等. （2）、等腰三角形的两个底角相等. (在同一个三角形中,等边对等角) （3）、等腰三角形三线合一 （顶角的平分线、底边上的中线、和底边上的高）
2、填空： （1）如图,在△ABC中,AB=AC,外角∠ACD=100º,
A 则∠ B=_8_0__度，∠A=_2_0__度
（2）如图，房屋的顶角∠BAC=100º， B
过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋椽AB=AC,
则∠B=__4_0_度、∠C=__4_0_度、
A
∠BAD=__5_0_度、∠CAD=__5_0_度.
BD=__D_C_、AD平分∠_B_A_C__. B
D
CD
C
知识新授
像这种先假设命题的结论不成立， 然后推导出与定义、基本事实、已有定 理或已知条件相矛盾的结果，从而证明 命题的结论一定成立. 这种证明方法称 为反证法 用反证法证明： 一个三角形中不能有两个角是直角.
例2、已知：△ABC. 求证：∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角. 证明：假设 ∠A,∠B,∠C中有两个角是直角，
∠B=∠C ( 已知 )Байду номын сангаас
∠BDA= ∠CDA=90° AD=AD ( 公共边 )
B DC
∴ △ BAD≌ △ CAD(AAS)
∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)
知识归纳
等腰三角形的判定：
有两个角相等的三角形是等腰三角形. （简述为
“等角对等边”）
注意：是在同一个三角形中.
A
应用格式:
在△ABC中，
2、已知：如图，∠CAE是△ABC的外角， E
∠1=∠2，AD∥BC. 求证：AB=AC.
北师大版数学八年级下册1.1 第3课时 等腰三角形的判定与反证法
A
B
C
新课讲解
小明是这样想的:
A
如图,在△ABC中,已知∠B≠∠C,
此时, AB与AC要么相等,要么不相等.
C
B
假设AB=AC, 那么根据“等角对等边”定理可 得∠B=∠C, 但已知条件是 ∠B≠∠C. “∠B=∠C”与“∠B≠∠C”相矛盾， 因此AB≠AC.
你能理解他的推理过程吗?
归纳总结
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后 由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相 矛盾，从而证明命题的结论一定成立．这种证明 方法称为反证法．
随堂即练
1.已知:如图,∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°,
①∠1=72°, ∠2= 36°；
A
②图中有 3 个等腰三角形；
③如果AD=4cm，则 BC= 4
④如果过点D作DE∥BC,
交AB于点E,则图中有 5 个等腰三角形.
cm； E
36° D
2 B
1 72°
C
随堂即练
2. 已知：等腰三角形ABC的底角∠ABC和 ∠ACB
问题2：等腰三角形的“等边对等角”的题设和结论 分别是什么？
题设：一个三角形是等腰三角形 结论：相等的两边所对应的角相等
复习引入
思考：如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB 与AC之间有什么关系吗？
我测量后发现AB与AC相等.
3cm
3cm
1 等腰三角形的判定
新课讲解
如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险
所以_假__设__不__成__立__,即求证的命题正确.
课后小结
等角对等边 有两个角相等的三角形是 等腰三角形
等腰三 角形的 判定
反证法
B
C
新课讲解
小明是这样想的:
A
如图,在△ABC中,已知∠B≠∠C,
此时, AB与AC要么相等,要么不相等.
C
B
假设AB=AC, 那么根据“等角对等边”定理可 得∠B=∠C, 但已知条件是 ∠B≠∠C. “∠B=∠C”与“∠B≠∠C”相矛盾， 因此AB≠AC.
你能理解他的推理过程吗?
归纳总结
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后 由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相 矛盾，从而证明命题的结论一定成立．这种证明 方法称为反证法．
随堂即练
1.已知:如图,∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°,
①∠1=72°, ∠2= 36°；
A
②图中有 3 个等腰三角形；
③如果AD=4cm，则 BC= 4
④如果过点D作DE∥BC,
交AB于点E,则图中有 5 个等腰三角形.
cm； E
36° D
2 B
1 72°
C
随堂即练
2. 已知：等腰三角形ABC的底角∠ABC和 ∠ACB
问题2：等腰三角形的“等边对等角”的题设和结论 分别是什么？
题设：一个三角形是等腰三角形 结论：相等的两边所对应的角相等
复习引入
思考：如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB 与AC之间有什么关系吗？
我测量后发现AB与AC相等.
3cm
3cm
1 等腰三角形的判定
新课讲解
如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险
所以_假__设__不__成__立__,即求证的命题正确.
课后小结
等角对等边 有两个角相等的三角形是 等腰三角形
等腰三 角形的 判定
反证法
北师大版八年级下册数学《等腰三角形》三角形的证明说课教学课件复习拔高
（方法二）
证明：∵AB＝AC，∠B＝60° ∴∠C＝∠B＝60° ∴∠A＝180°－60°×2＝60° ∴∠A＝∠B＝∠C ∴△ABC是等边三角形
实践探究，交流新知
知识点一 等边三角形的判定定理
定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． 课件 课件 课件 课件 课件 课件 课件 课件 课件 课件 课件 课件 课件 课件
开放训练，体现应用
例 2 (教材第11页例4)求证：如果等腰三角形的底角等于15°，那么腰上的高是
腰长的一半．
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝15°，CD是腰AB上的高．
求证：CD＝1AB.
2
证明：在△ABC中， ∵AB＝AC，∠B＝15° ∴∠B＝∠ACB＝15°(等边对等角) ∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝30° ∵CD是腰AB上的高 ∴∠ADC＝90° ∴CD＝AC ∴CD＝1AB
开放训练，体现应用
例2 (教材第9页例3)用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角．
已知：△ABC. 求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角．
证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A和∠B是直 角，即∠A＝90°，∠B＝90° 于是∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180° 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠A和∠B是直角”的假设不成 立．所以，一个三角形中不能有两个角是直角．
开放训练，体现应用
变式训练1 如图，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC 的平分线BD交边AC于点D.求证：△BCD为等腰三角形．
证明：∵∠BAC＝75°，∠ACB＝35° ∴∠ABC＝180°－∠BAC－∠ACB＝70° ∵BD平分∠ABC ∴∠DBC＝∠ABC＝35° ∴∠DBC＝∠ACB＝35° ∴DB＝DC ∴△BCD为等腰三角形
北师大版数学八年级下册《等腰三角形》课件
∴∠PBC=∠MPB=∠PCB=∠NPC（等量代换）
∠ = ∠
在△MBP与△NCP中
=
∠ = ∠
∴△MBP≌△NCP(SAS). ∴MP=NP(全等三角形的对应边相等).
②△AMN的周长是 − .
A
M
B
P
N
C
教学过程——随堂练习
做一做
课本第9页“随堂练习”.
所以假设不成立，即△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
B
C
教学过程——新知探究
第一章 三角形的证明
知识点2 反证法
用反证法证明命题
从上面的证明过程可知，反证法与我们平时的上面方法不同.
注意：利用反
证法证明，假
反证法的定义：
设原命题的结
先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已
论不成立时，
D. 直角三角形中有一个锐角不大于45°
2.如图，CE是△ABC的外角平分线，且AB//CE，则△ABC
一定是（ D ）
A. 任意三角形
B. 直角三角形
C. 等边三角形
D. 等腰三角形
B
E
A
C
D
教学过程——典例精析
第一章 三角形的证明
听一听
A
C
例1 如图，已知直线AB//CD，直
线AB⊥ , 用反证法证明：CD⊥ .
M
B
N
D
教学过程——典例精析
第一章 三角形的证明
听一听
证明：假设直线CD与 直线 不垂直，
则∠CNM≠90°.
A
C
∵AB⊥ ，
∴∠AMN=90°.
∴∠AMN+∠CNM≠180°.
∠ = ∠
在△MBP与△NCP中
=
∠ = ∠
∴△MBP≌△NCP(SAS). ∴MP=NP(全等三角形的对应边相等).
②△AMN的周长是 − .
A
M
B
P
N
C
教学过程——随堂练习
做一做
课本第9页“随堂练习”.
所以假设不成立，即△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
B
C
教学过程——新知探究
第一章 三角形的证明
知识点2 反证法
用反证法证明命题
从上面的证明过程可知，反证法与我们平时的上面方法不同.
注意：利用反
证法证明，假
反证法的定义：
设原命题的结
先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已
论不成立时，
D. 直角三角形中有一个锐角不大于45°
2.如图，CE是△ABC的外角平分线，且AB//CE，则△ABC
一定是（ D ）
A. 任意三角形
B. 直角三角形
C. 等边三角形
D. 等腰三角形
B
E
A
C
D
教学过程——典例精析
第一章 三角形的证明
听一听
A
C
例1 如图，已知直线AB//CD，直
线AB⊥ , 用反证法证明：CD⊥ .
M
B
N
D
教学过程——典例精析
第一章 三角形的证明
听一听
证明：假设直线CD与 直线 不垂直，
则∠CNM≠90°.
A
C
∵AB⊥ ，
∴∠AMN=90°.
∴∠AMN+∠CNM≠180°.
北师大版数学八年级下册1.1等腰三角形课件(共23张)
导引：先根据命题分析出题设和结论，画出图形，写 出已知和求证，然后利用等腰三角形的性质和 三角形全等的知识证明．
解：如图，在△ABC中，AB＝AC，CE和BD分别是AB 和AC上的中线， 求证：CE＝BD.
证明：∵AB＝AC，CE和BD分别是AB 和AC上的中线，
∴∠ABC＝∠ACB，BE＝CD. 又∵BC＝CB，∴△BEC≌△CDB. ∴CE＝BD.
解：因为△ABC是等边三角形， 所以∠A＝∠B＝∠C＝60°. 因为DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB， 所以∠AED＝∠EFC＝∠FDB＝90°. 所以∠ADE＝90°－∠A＝90°－60°＝30°. 所以∠EDF＝180°－30°－90°＝60°. 同理可得∠DEF＝∠EFD＝60°. 即△DEF各个内角的度数都是60°.
在等腰三角形中画出一些线段(如角平分线、中 线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗？能证 明你的结论吗？
例1 证明：等腰三角形两底角的平分线相等. 已 知 ： 如 图 ,在 △ ABC中 ， AB=AC, BD和 CE是 △ABC的角平分线. 求证：BD = CE.
证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB (等边对等角）.
∵BD,CE分别平分∠ABC 和∠ACB ，
∴ 1= 1 ABC , 2= 1 ACB.
2
2
∴ ∠1＝∠2.
在△BDC和△CEB中，
∠ ACB＝∠ ABC, BC=CB, ∠1＝∠2,
∴△BDC≌△CEB (ASA).
∴BD＝CE(全等三角形的对应边相等）.
例2 求证：等腰三角形两腰上的中线相等．
总结
利用等边三角形的性质求角的度数时，通过利 用等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都 等于60°的性质，找出要求角与已知角间的关系来 进行相关计算；有时还要结合全等图形等知识来解 决．
解：如图，在△ABC中，AB＝AC，CE和BD分别是AB 和AC上的中线， 求证：CE＝BD.
证明：∵AB＝AC，CE和BD分别是AB 和AC上的中线，
∴∠ABC＝∠ACB，BE＝CD. 又∵BC＝CB，∴△BEC≌△CDB. ∴CE＝BD.
解：因为△ABC是等边三角形， 所以∠A＝∠B＝∠C＝60°. 因为DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB， 所以∠AED＝∠EFC＝∠FDB＝90°. 所以∠ADE＝90°－∠A＝90°－60°＝30°. 所以∠EDF＝180°－30°－90°＝60°. 同理可得∠DEF＝∠EFD＝60°. 即△DEF各个内角的度数都是60°.
在等腰三角形中画出一些线段(如角平分线、中 线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗？能证 明你的结论吗？
例1 证明：等腰三角形两底角的平分线相等. 已 知 ： 如 图 ,在 △ ABC中 ， AB=AC, BD和 CE是 △ABC的角平分线. 求证：BD = CE.
证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB (等边对等角）.
∵BD,CE分别平分∠ABC 和∠ACB ，
∴ 1= 1 ABC , 2= 1 ACB.
2
2
∴ ∠1＝∠2.
在△BDC和△CEB中，
∠ ACB＝∠ ABC, BC=CB, ∠1＝∠2,
∴△BDC≌△CEB (ASA).
∴BD＝CE(全等三角形的对应边相等）.
例2 求证：等腰三角形两腰上的中线相等．
总结
利用等边三角形的性质求角的度数时，通过利 用等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都 等于60°的性质，找出要求角与已知角间的关系来 进行相关计算；有时还要结合全等图形等知识来解 决．
北师版八年级数学下册1.1.1 等腰三角形的性质 课件(共28张ppt)
导引：给出的条件中，若底角、顶角已确定，可直接运用三 角形的内角和定理与等腰三角形的两底角相等的性质 求解；若给出的条件中底角、顶角不确定，则要分两 种情况求解．
解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴50°＋2∠B＝180°，解得∠B＝65°.
例题精析
(2)由题意可知，70°的角可以为顶角或底角，当底角 为70°时，顶角为180°－70°×2＝40°.因此顶角 为40°或70°.
形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线 互相重合. 2．思想方法：转化思想的应用，等腰三角形的性质是 证明角相等、边相等的重要方法.
课堂精练
7. 【中考·台州】如图，在等腰三角形ABC中，AB ＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰 AC于点E，则下列结论一定正确的是( C ) A．AE＝EC B．AE＝BE C．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE
课堂精练
8. 【中考·苏州】如图，在△ABC中，AB＝AC，D 为 BC的 中 点 ， ∠ BAD ＝ 35° ， 则 ∠ C 的 度 数 为 () A．35° B．45° C．55° D．60°
易错点拨
已知等腰三角形的一个外角等于110°，这个等腰三
角形的一个底角的度数为( D )
A．40°
B．55°
C．70°
D．55°或70°
易错点：求等腰三角形的角时易出现漏解的错误
易错点拨
本题应用分类讨论思想，分顶角为70°和 底角为70°两种情况，解题时易丢掉一种情况 而漏解．
课堂小结
1．知识方面： （1）等腰三角形的性质：等边对等角. （2）等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角
EF⊥AB，垂足为F.
解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴50°＋2∠B＝180°，解得∠B＝65°.
例题精析
(2)由题意可知，70°的角可以为顶角或底角，当底角 为70°时，顶角为180°－70°×2＝40°.因此顶角 为40°或70°.
形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线 互相重合. 2．思想方法：转化思想的应用，等腰三角形的性质是 证明角相等、边相等的重要方法.
课堂精练
7. 【中考·台州】如图，在等腰三角形ABC中，AB ＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰 AC于点E，则下列结论一定正确的是( C ) A．AE＝EC B．AE＝BE C．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE
课堂精练
8. 【中考·苏州】如图，在△ABC中，AB＝AC，D 为 BC的 中 点 ， ∠ BAD ＝ 35° ， 则 ∠ C 的 度 数 为 () A．35° B．45° C．55° D．60°
易错点拨
已知等腰三角形的一个外角等于110°，这个等腰三
角形的一个底角的度数为( D )
A．40°
B．55°
C．70°
D．55°或70°
易错点：求等腰三角形的角时易出现漏解的错误
易错点拨
本题应用分类讨论思想，分顶角为70°和 底角为70°两种情况，解题时易丢掉一种情况 而漏解．
课堂小结
1．知识方面： （1）等腰三角形的性质：等边对等角. （2）等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角
EF⊥AB，垂足为F.
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驶向胜利 的彼岸
例题欣赏 1
学无止境
例2.已知:如图,等腰三角形的底角为150,腰长为2a.
求:腰上的高.
分析:如图,在△ABC中
AB=AC=2a,∠B=∠ACB=150,
A
CD⊥AB于D.
求:CD=?
B
150
150
D C
解:∵∠B=∠ACB=150(已知), ∴∠DAC=∠B+∠ACB= 150+150=300(三角形的一个外角, 等于和不相邻的两内角的和). ∴CD=AC/2=1/2×2a=a(在直角三角形中, 如果有一个 锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半).
CD
∴∠B=600(直角三角形两锐角互余).
又∵ ∠ACB=900, (已知),
∴∠ACD=900(平角意义).
在△ABC与△ADC中
∵BC=DC（作图）,
∠ACB=∠ACD（已证）,
AC=AC（公共边）, ∴△ABC≌△ADC（SAS）.
驶向胜利 的彼岸
∴△ABD是等边三角形(有一个角600是的等腰三角形是等边三角形)
THE END 17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2021/1/112021/1/112021/1/112021/1/11
谢谢观看
驶向胜利 的彼岸
能证明你的结论吗？
我能行 4
命题的证明
w定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等 A 于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
已知:如图,在△ABC中,∠ACB=900,∠A=300. 300
求证:BC=AB/2.
证明:如图, 延长BC至D,使CD=BC,连接AD.
八年级下册数学课件(北师版)等腰三角形 第三课时
已知：在△ABC中，∠A=∠B=∠C. 以上讲解我们可以得到什么结论？
推论1：三个角都相等的三角 形是等边三角形.
这是由判定定理推导出的一个 定理，即判定一个三角形是等 边三角形的一种方法.
已知：在等腰△ABC中，AB=AC， ∠A=60°(或者∠B=60°）.
例2 如图，CD是等腰直角三角形ABC斜边上 的高，找出图中有哪些等腰直角三角形.
C
A
D
B
答：图中的等腰直角三角形有： 等腰Rt△ABC、等腰Rt△ADC和 等腰Rt△ CDB.
【定义】 有两边相等的三角形叫作等腰三角形; A
【性质定理】 等腰三角形的两个底角相等. 简称: 等边对等角.
腰 顶角 腰
讲授新课
等腰三角形的判定定理：
如果一个三角形有两个角相等，那么这
两个角所对的边也相等.
A
请一位同学说出已知、求证.
已知:在△ABC中,∠B= ∠C.
求证：AB=AC.
B
C
A
B
D
证法一：作∠BAC的平分线AD.
在 △BAD和△CAD中，
∠BAD= ∠ CAD，
∠B=∠C,
C AD=AD(公共边）， ∵△BAD≌△CAD（AAS）,
P
●
●●
B ● C ●● B
CB
C
等边三角形（特殊的等腰三角形）
【定义】 有三边相等的三角形叫作等边三角形;
【性质定理】 等边三角形的三个内角都相等， 并且每个角都等于60°.
用反证法证题的一般步骤
（1）假设命题的结论不成立; （2）从这个假设出发,应用正确的推理方法, 得出与 定义、基本事实、已有定理或已知条件 相矛盾的结 果; （3）由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题 的结论正确.
北师大版八年级数学下册1.1等腰三角形课件
课堂小结 本节课学习了什么知识？
1. 通过折纸活动获得三个定理，均进行了证明，为今 后解决有关等腰三角形的问题提供了丰富的理论根据.
2. 体会了证明一个命题的严格的要求，体会了证明 的必要性.
北师大版八年级《数学》下册 1.1.1等腰三角形
作业设计
习题1.1第1、6题
北师大版八年级《数学》下册 1.1.1等腰三角形
基本事实:
1.两直线被第三条直线所截,如果_同__位__角___相等,那么这两条直线平行; 2.两条平行线被第三条直线所截,__同__位__角__相等; 3. _两__边__及_其__夹__角__对应相等的两个三角形全等; （SAS） 4. _两__角__及_其__夹__边__对应相等的两个三角形全等; （ASA） 5. _三__边__对应相等的两个三角形全等; （SSS）
北师大版八年级《数学》下册 1.1.1等腰三角形
4.如图，在△ABC中，∠BAC=108°，AB = AC，AD ⟂BC，垂足为D，求∠BAD的度数.
A
证明：在△ABC中，∠BAC=108°，AB = AC
∴ ∠B=∠C=（180°-108°）÷2= 36°
∵AD ⟂BC（已知）
B
D
C
∴∠BAD=180°-36°-90°=54°（三角形内角和定理）
3.已知:如图，点B，E，C，F在同一条直线上， AB= DE,AC=DF，BE=CF. 求证:∠A=∠D.
证明：（1）在△ABD中， ∵ AC⊥BD且AC=BC=CD ∴C为BD的中点，AC为BD边上的高 ∴AC为∠BAD的角平分线（三线合一） ∴∠B=∠BAC，∠D=∠DAC ∴ ∠B=∠D （等量代换） ∴AB=AD，即△ABD是等腰三角形
如图，先自己折纸视察探索并写出等腰三角形的性质， 然后再小组交流，互相补偿不足.
1. 通过折纸活动获得三个定理，均进行了证明，为今 后解决有关等腰三角形的问题提供了丰富的理论根据.
2. 体会了证明一个命题的严格的要求，体会了证明 的必要性.
北师大版八年级《数学》下册 1.1.1等腰三角形
作业设计
习题1.1第1、6题
北师大版八年级《数学》下册 1.1.1等腰三角形
基本事实:
1.两直线被第三条直线所截,如果_同__位__角___相等,那么这两条直线平行; 2.两条平行线被第三条直线所截,__同__位__角__相等; 3. _两__边__及_其__夹__角__对应相等的两个三角形全等; （SAS） 4. _两__角__及_其__夹__边__对应相等的两个三角形全等; （ASA） 5. _三__边__对应相等的两个三角形全等; （SSS）
北师大版八年级《数学》下册 1.1.1等腰三角形
4.如图，在△ABC中，∠BAC=108°，AB = AC，AD ⟂BC，垂足为D，求∠BAD的度数.
A
证明：在△ABC中，∠BAC=108°，AB = AC
∴ ∠B=∠C=（180°-108°）÷2= 36°
∵AD ⟂BC（已知）
B
D
C
∴∠BAD=180°-36°-90°=54°（三角形内角和定理）
3.已知:如图，点B，E，C，F在同一条直线上， AB= DE,AC=DF，BE=CF. 求证:∠A=∠D.
证明：（1）在△ABD中， ∵ AC⊥BD且AC=BC=CD ∴C为BD的中点，AC为BD边上的高 ∴AC为∠BAD的角平分线（三线合一） ∴∠B=∠BAC，∠D=∠DAC ∴ ∠B=∠D （等量代换） ∴AB=AD，即△ABD是等腰三角形
如图，先自己折纸视察探索并写出等腰三角形的性质， 然后再小组交流，互相补偿不足.
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• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
定的区别和联系． （4）举例谈谈用反证法说理的基本思路
• 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2021/1/112021/1/11Monday, January 11, 2021
• 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2021/1/112021/1/112021/1/111/11/2021 11:13:50 PM • 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2021/1/112021/1/112021/1/11Jan-2111-Jan-21 • 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2021/1/112021/1/112021/1/11Monday, January 11, 2021 • 13、志不立，天下无可成之事。2021/1/112021/1/112021/1/112021/1/111/11/2021
活动与探究
1.如图，BD平分∠CBA，CD平分∠ACB，且 MN∥BC，设AB=12，AC=18，求△AMN的周长.
.
八年级数学下册课件：第一章等腰三角形(3)
灿若寒星
试一试
用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角 已知：△ABC． 求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角．
证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角， 不妨设∠A=∠B=90°，则 ∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°． 这与三角形内角和定理矛盾， 所以∠A=∠B=90°的假设不成立． 所以一个三角形中不能有两个角是直角．
A
我们来看一位同学的想法：
如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此
时AB与AC要么相等，要么不相等．
B
C
假设AB=AC，那么根据“等边对等角” 定理可得∠C=∠B，这与已知条件 “∠B≠∠C”相矛盾，因此 AB≠AC
你能理解他的推理过程吗?
灿若寒星
反证法的一般步骤： 1.先假设命题的结论不成立 2.从假设出发，然后推导出与定义、 公理、定理或已知条件相矛盾的结果 3.从而判定假设不正确，肯定命题 的结论正确
B
C
2. 我们把性质定理的条件和结论反过来还成立吗？
如果一个三角形有两个角相等，
那么这个三角形是等腰三角形吗？
定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.
(简述为：等角对等边.)
灿若寒星
等腰三角形的判定定理：
定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.
(等角对等边.)
推导过程：zxxkw
A
在△ABC中
∵∠B＝∠C（已知），
初中数学课件
灿若寒星*****整理制作
灿若寒星
引入
1.等腰三角形性质定理：等腰三角形的_两__个__底__角__相等，
简述为__等__边__对__等__角_______
A
这个命题的条件是_一__个__三__角__形__是__等__腰__三__角__形_，
试一试
用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角 已知：△ABC． 求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角．
证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角， 不妨设∠A=∠B=90°，则 ∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°． 这与三角形内角和定理矛盾， 所以∠A=∠B=90°的假设不成立． 所以一个三角形中不能有两个角是直角．
A
我们来看一位同学的想法：
如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此
时AB与AC要么相等，要么不相等．
B
C
假设AB=AC，那么根据“等边对等角” 定理可得∠C=∠B，这与已知条件 “∠B≠∠C”相矛盾，因此 AB≠AC
你能理解他的推理过程吗?
灿若寒星
反证法的一般步骤： 1.先假设命题的结论不成立 2.从假设出发，然后推导出与定义、 公理、定理或已知条件相矛盾的结果 3.从而判定假设不正确，肯定命题 的结论正确
B
C
2. 我们把性质定理的条件和结论反过来还成立吗？
如果一个三角形有两个角相等，
那么这个三角形是等腰三角形吗？
定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.
(简述为：等角对等边.)
灿若寒星
等腰三角形的判定定理：
定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.
(等角对等边.)
推导过程：zxxkw
A
在△ABC中
∵∠B＝∠C（已知），
初中数学课件
灿若寒星*****整理制作
灿若寒星
引入
1.等腰三角形性质定理：等腰三角形的_两__个__底__角__相等，
简述为__等__边__对__等__角_______
A
这个命题的条件是_一__个__三__角__形__是__等__腰__三__角__形_，
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解：∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2， ∵DE∥AC，∴∠2＝∠ADE.∴∠1＝∠ADE. ∴AE＝DE，∵AD⊥DB，∴∠ADB＝90°， ∴∠1＋∠ABD＝90°， ∠ADE＋∠BDE＝∠ADB＝90°， ∴∠ABD＝∠BDE.∴DE＝BE＝AE＝2.5
【综合运用】
18．(12分)如图，我301海监船于上午11时30分在A处观测钓鱼 岛B在北偏东60°，该船以每小时10海里的速度向东航行到C处， 再观测钓鱼岛在北偏东30°，航行到D处，观测到钓鱼岛B在 北偏西30°，当海监船从A处到达C处时恰与钓鱼岛B相距20海 里，请你确定301海监船从A处分别到达C处和D处所用的时间．
解：已知：△ABC的三个内角其中∠A最大． 求证：∠A≥60°. 证明：假设最大的∠A<60°，则∠B<60°， ∠C<60°，∴∠A＋∠B＋∠C<180°，这与三 角形的内角和相矛盾，故假设不成立，所以，三 角形中的最大内角不可能小于60°
等边三角形的判定 5．(4分)(2014· 广州)将四根长度相等的细木条首尾相接，用 钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变， 当∠B＝90°时，如图1，测得AC＝2，当∠B＝60°时， 如图2，AC＝( A ) 2 2 A. 2 B．2 C. 6 D．
等角对等边
1．(4分)如图，PQ为Rt△MPN斜边上的高，∠M＝45°，则图中 等腰三角形的个数有(C ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．(4分)如图所示，BD是△ABC的角平分线，∠A＝36°， 三 个等腰三角形，它们分别 ∠C＝72°，则图中共有____ 是 △ABD，△BCD，△ABC． 3．(6分)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，DE∥AC. 求证：△BED与△AED都是等腰三角形．
7．(4分)如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A＝30°， 2 4 BD＝1 cm，则BC＝____cm ，AB＝____cm. 8．(4分)如图，等腰△ABC的底角∠B的度数是15°， 4 AB＝AC＝4 cm，则△A30 °． 9．(4分)Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝AB，则∠B＝ ____
∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°， ∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°， ∴∠F＝90°－∠EDC＝30° (2)∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°， ∴△EDC是等边三角形．∴ED＝DC＝2， ∵∠DEF＝90°，∠F＝30°， ∴DF＝2DE＝4
17．(12分)(2014· 菏泽)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC. BD⊥AD，垂足为D，过D作DE//AC，交AB于E，若AB ＝5， 求线段DE的长．
6．(4分)(2014· 随州)在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD， 将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED， 若BC＝5，BD＝4.则下列结论错误的是( B ) A. AE∥BC B．∠ADE＝∠BDC C．△BDE是等边三角形 D．△ADE的周长是9
第5题图
第6题图
含30°的直角三角形的性质
1.1
等腰三角形(第3课时)
1.1 等腰三角形(第3课时) 得分________ 卷后分________
评价________
两 个角相等的三角形是等腰三角形． 1．有____ 等角对等边 简述为 ____． 不成立 2．在证明时，先假设命题的结论 ____，然后 推导出与定义、基本事实、已有定理或已知 条件相矛盾 ____的结果，从而证明命题成立，这种证明 方法叫做反证法． 三 个角都相等的三角形是等边三角形； 3．____ 有一 ____个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 4．直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 一半 那么它所对的直角边等于斜边的 ____，反之也成立．
一、选择题(每小题4分，共12分) 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°， BD，CE为角平分线，则图中等腰三角形共有( D ) A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 第10题图 11．(2014· 哈尔滨)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∠B＝60°，BC＝2，△A′B′C可以由△ABC绕点C顺时针 旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点， 连接AB′，且A，B′，A′在同一条直线上，则AA′的长为 ( ) A A．6 B．4 C．3 D．3 12．如图，已知BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，过点O作 MN∥BC分别交AB，AC于点N，M，AB＝12， AC＝18，BC＝24，则△AMN的周长是( ) A A．30 B．33 C．36 D．39
第12题图 第11题图
二、填空题(每小题4分，共12分) 13．用反证法证明命题：“一个三角形至多只有一个角是直角” 的第一步是 假设一个三角形中有两个或三个直角 ． 14．已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至点E， 使CE＝CD＝1，连接DE，则DE＝____ 3． 15．如图，在直角坐标系中，O是原点，已知A(4，3)，P是坐 标轴上的一点，若以O，A，P三点组成的三角形为等腰三角 8 个，写出其中一个点P的坐 形，则满足条件的点P共有____ 标 (5，0) ．
第1题图
第2题图
第3题图
第3题图
解：证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD， ∠B＝∠C，又∵DE∥AC，∴∠EDB＝∠C，∠EDA＝∠DAC， ∴∠B＝∠EDB，∠EAD＝∠EDA，∴EB＝ED，ED＝EA， 即△BED和△AED都是等腰三角形
反证法
4．(6分)用反证法证明：三角形中的最大角不可能小于60°.
第14题图 第15题图
三、解答题(共36分) 16．(12分)(2014· 温州)如图，在等边三角形ABC中，点D，E 分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的 延长线于点F. (1)求∠F的度数； (2)若CD＝2，求DF的长． 解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，