方程求根
方程的求根公式
方程的求根公式一元二次方程的回顾和启示学过初中数学都知道对于任何一个实系数一元二次方程ax^2+bx+c=0,~a \neq 0 ，通过配方可以得到\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2} ，根据判别式 \Delta=b^2-4ac 的符号，可以判断方程实根的个数，并且可以得到求根公式。
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\\要么是 2 个不同的实根 \Delta>0 ，要么是 1 个二重实根\Delta=0 ，要么是 1 对共轭虚根 \Delta<0 ；计算重数的情况下都是 2 个根。
记两根为x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} ,~ x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\可以直接验证韦达定理：两根之和 x_1+x_2=-\dfrac{b}{a} 以及两根之积x_1x_2=\dfrac{c}{a}，判别式 \Delta=a^2(x_1-x_2)^2 .求根公式看上去复杂，但如果把上述两式代入求根公式，就可以得到x=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{\left(-\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}}=\frac{x_1+x_2}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{x_1-x_2}{2}\right)^2}=\frac{x_1+x_2}{2}\pm\frac{x_1-x_2}{2}\\。
注：如果 x_1,~x_2 是共轭虚根，x_1-x_2 就是纯虚数，对负数\left(\dfrac{x_1-x_2}{2}\right)^2 开方不能得到 \dfrac{|x_1-x_2|}{2} .几何意义：记 s=\dfrac{x_1+x_2}{2}=-\dfrac{b}{2a} 是两根的平均值，乘积为 p=x_1x_2=\dfrac{c}{a} . 如果 x_1,~x_2 都是实根，则d=\dfrac{|x_1-x_2|}{2}=\sqrt{s^2-p} 是根到平均值的距离。
方程求根的数值方法
1）逐步搜索法
适当取一个小正数 h ，逐步计算 f(a) 、 f(a+h) 、 f(a+2h) 、 f(a+3h)、 …… 的值，直到相邻两个值 异号，则取这两点的中点为近似根。
2）图形放大法
y=f(x)图象与x轴交点（的横坐标）即为f(x)=0根。 借助计算机，逐步画图，就可得近似根。
3）数值迭代逼近法
f ( xn ) xn1 xn f ( xn ) n 0,1,......
当初值x0和方程的根 x*接近时， f(x) 近似等于 以此产生的序列 {Xn}得到 f(x)=0 的近似解，称为 f(x0)+f’(x0)(x-x0)， Newton法，又叫切线法。 则
f(x)=0
与
f(x0)+f’(x0)(x-x0)＝0
变端点弦截法又称两点割线法
弦截法的几何解释
求解方程f(x)=0的快速弦截法
(1) (2) 输入 : x0 , x1 , , N ; L 0, f 0 f ( x0 ), f1 f ( x1 ); | f1 | 时做 x1 x0 f1 ; f 2 f ( x2 ); L L 1; f1 f 0
1.5 4 1.5 3 x1 1.5 1.2543 3 4 1.5 1 4 得到方程的一个 x1 x1 3 x2 x1 1.1723 3 近似根 1.1640 ， 4 x1 1
4 x2 x2 3 x3 x2 1.1641 3 4 x2 1 4 x3 x3 3 x4 x3 1.1640 3 4 x3 1 4 x4 x4 3 x5 x4 1.1640 4 x4 1
f (1.125) 0 f (1.1875 ) 0,
5次 方程 求根
5次方程求根在代数学中，一个方程是一组数学式子，其中包含一个未知量（通常用x表示），并且要求找到该未知量的值使得方程等式成立。
在这篇文章中，我们将探讨五种不同的方程求根方法。
1. 因式分解法对于简单的方程，可以使用因式分解法来求根。
这种方法通过将方程进行因式分解，然后解出未知量的值。
例如，考虑以下方程：2x^2 + 4x = 0。
将方程因式分解得到：2x(x + 2) = 0。
因为一个数乘以0等于0，所以方程的解为x = 0或x = -2。
2. 牛顿-拉夫逊法牛顿-拉夫逊法是一种迭代法，用于求解任意函数的根。
该方法通过使用函数的导数来逐步逼近根的值。
例如，考虑以下方程： x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0。
使用牛顿-拉夫逊法得到根的近似值为x ≈ 1.0、x ≈ 2.0和x ≈ 3.0。
3. 二分法二分法是一种简单的求根方法，适用于单调递增或递减的函数。
该方法通过在函数的定义域中二分搜索来逐步逼近根的值。
例如，考虑以下方程：x^2 - 2 = 0。
使用二分法得到根的近似值为x ≈ 1.41。
4. 配方法配方法是一种用于解决二次方程的方法，该方法通过将方程转化为一个完全平方式程来求解。
例如，考虑以下方程：x^2 + 6x + 9 = 0。
将方程转化为(x + 3)^2 = 0，得到方程的解为x = -3。
5. 因子法因子法是一种基于因式分解的方法，用于解决多项式方程。
该方法通过将多项式进行因式分解来求解方程。
例如，考虑以下方程：x^3 + 3x^2 + 2x = 0。
将方程进行因式分解得到：x(x + 1)(x + 2) = 0。
因为一个数乘以0等于0，所以方程的解为x = 0、x = -1或x = -2。
总之，以上是五种不同的方程求根方法。
选择哪种方法取决于方程的类型和难度。
方程求根(计算方法)
高斯像(2)
高斯像(3)
高斯像(4)
第二章 方程求根
§2.2 二分法
§2.2 二分法
❖ 定义：如果函数f(x)在区间[a,b]上连 续，且f(a)f(b)<0，则方程在区间[a,b]上 一定有实根，[a,b]叫方程的有根区间。
【注记】f(a)f(b)<0只保证有实根, 但并不保证根是 唯一, 即不保证是单根, 也不排斥f(a)f(b)>0时在[a,b] 上有根的情形。即，f(a)f(b)<0对于在[a,b]上有实根 是充分的, 但不必要；f(a)f(b)<0对于在[a,b]上有唯 一单实根不充分也不必要。如图所示：
§2.1 问题的提出
• 有多种数值算法可以求解非线性方程， 我们在本章将学习其中得几种，它们是：
✓ 二分法(bisection method) ✓迭代法(iteration method) ✓牛顿法(Newton method) ✓牛顿下山法(Newton downhill method)。
牛顿(1)
§2.1 问题的提出
➢ 扫描流程
§2.1 问题的提出
【历史注记】人们很早就探索了高次方程的数值解 的求法。巴比伦泥板中有平方表和立方表，利用它 们可以解某些特殊的二次和三次方程。中国古人相 当系统地解决了求高次方程数值解的问题，《九章 算术》以算法形式给出了二次方程及正系数三次方 程正根的具体计算程序；7世纪王孝通也给出了求 三次方程正根的数值解法；11世纪贾宪在《黄帝九 章算法细草》中创“开方作法本源图”,用“立成 释锁法”解三次和三次以上高次方程, 同时他又提 出一种更为简便的“增乘开方法”；13世纪秦九韶 在《数书九章》中的“正负开方术”最后完成，提 供了一个用算筹布列解任何次数字方程的可行算法。
二次方程求根公式
二次方程求根公式
一次方程求根公式：
1. 一次方程求根公式是：ax+b=0，其中a和b是实数，x是未知数。
2. 求解一次方程求根问题时，需要先将该方程换成x的单项式形式，此次是：x=-b/a。
3. 由-b/a，可求得未知数x的值x=-b/a，即为一次方程的解。
二次方程求根公式：
1. 二次方程求根公式是：ax2+bx+c=0，其中a、b、c是实数，x是未知数。
2. 在求解二次方程求根的问题时，要先将二次方程换成0=ax2+bx+c的标准型式，
3. 将二次方程转换为一个二次函数y=ax2+bx+c，然后根据该二次函数解对应的韦达定理求解。
4. 韦达定理求解二次方程时，要先求得二次方程的判别式：Δ=b2-4ac。
5. 如果Δ>0，则二次方程有两个不相等的根，分别为：x1=(-b+√Δ)/2a，x2=(-b-√Δ)/2a。
6. 如果Δ=0，则该二次方程有一个重根，为：x=(-b+√Δ)/2a。
7. 如果Δ<0，则二次方程无实数根，即无解。
求根的相关公式
求根的相关公式摘要：一、引言二、求根公式简介1.二次方程求根公式2.分式方程求根公式3.三次方程求根公式4.反比例方程求根公式三、求根公式的应用1.二次方程的应用2.分式方程的应用3.三次方程的应用4.反比例方程的应用四、求根公式的局限性五、结论正文：一、引言在数学中，求根是一个常见的问题。
本文将介绍几种常见的求根公式，以及它们的适用范围和局限性。
二、求根公式简介1.二次方程求根公式二次方程的标准形式为ax+bx+c=0，它的求根公式为x,x=(-b±√(b-4ac))/(2a)。
2.分式方程求根公式分式方程的一般形式为ax+b=cx+d，它的求根公式为x=(c-b)/(a-c)。
3.三次方程求根公式三次方程的一般形式为ax+bx+cx+d=0，它的求根公式为x=((-b+√(b-3ac))/(3a)，x=((-b-√(b-3ac))/(3a)，x=c/a。
4.反比例方程求根公式反比例方程的一般形式为ax=b，它的求根公式为x=b/a。
三、求根公式的应用1.二次方程的应用二次方程在几何中常常用来求解抛物线的顶点，也可以用来求解一些实际问题，如物体在重力作用下的运动轨迹等。
2.分式方程的应用分式方程在解决一些实际问题中非常有用，如流水线的工作效率问题，交通流量问题等。
3.三次方程的应用三次方程在数学理论研究中较为常见，如解决一些复杂的几何问题，曲线拟合等。
4.反比例方程的应用反比例方程在物理中常常用来描述一些反比例关系，如电阻和电流的关系，力矩和转速的关系等。
四、求根公式的局限性尽管求根公式可以解决很多问题，但它们也有一些局限性。
首先，对于非线性方程，求根公式可能无法求解；其次，对于一些复杂的问题，可能需要借助其他数学工具，如数值计算方法等。
五、结论总的来说，求根公式是数学中一个基本且重要的工具，它可以解决很多实际问题。
计算方程根的公式
计算方程根的公式一、一元二次方程根的公式。
对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。
1. 推导过程。
- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，我们首先将方程进行配方。
- 方程两边同时除以a，得到x^2+(b)/(a)x+(c)/(a)=0。
- 配方：在等式两边加上一次项系数一半的平方，即((b)/(2a))^2。
- 得到x^2+(b)/(a)x + ((b)/(2a))^2=((b)/(2a))^2-(c)/(a)。
- 左边可以写成完全平方式(x + (b)/(2a))^2=frac{b^2}{4a^2}-(c)/(a)。
- 通分右边得到(x+(b)/(2a))^2=frac{b^2-4ac}{4a^2}。
- 然后开平方，得到x+(b)/(2a)=±frac{√(b^2)-4ac}{2a}。
- 移项就得到求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。
2. 判别式Δ=b^2-4ac的意义。
- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。
- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根，此时x =-(b)/(2a)（两个根相同）。
- 当Δ<0时，方程没有实数根，在复数范围内有两个共轭复数根。
二、一元三次方程根的公式（卡尔丹公式）对于一元三次方程ax^3+bx^2+cx + d=0(a≠0)，我们可以通过变换将其化为不含二次项的形式。
令x = y-(b)/(3a)，代入原方程得到y^3+py+q = 0，其中p=frac{3ac - b^2}{3a^2}，q=frac{2b^3-9abc + 27a^2d}{27a^3}。
其求根公式为：y=sqrt[3]{-(q)/(2)+√((frac{q){2})^2+((p)/(3))^3}}+sqrt[3]{-(q)/(2)-√((frac{q){2})^2+((p)/(3))^3}}1. 判别式Δ = ((q)/(2))^2+((p)/(3))^3的意义。
方程求根
迭代法—算例分析2
例如：求方程 f ( x) x3 x 1 0 在x0 1.5 附近的根 x*
22
§2.2
迭代法—算例分析2
例如：求方程 f ( x) x3 x 1 0 在x0 1.5 附近的根 x*
3 解：将方程改写为 xk 1 x ， k 1
由此建立迭代公式： xk 1 3 xk 1 (k 0,1, 2, ) 计算结果如下表
f (1)<0, f (2)>0 记 I0=[1,2] , x0 =(1+2)/2=1.5
因为 f (x0) f (1)>0 得 I1=[1.5, 2] , x1 =(1.5+2)/2=1.75
f (x1) f (1.5)<0 得 …….
I2=[1.5, 1.75] , x2 =(1.5+1.75)/2=1.625
if B A 0 where else x1 2 x2 2 x3 2 where
( B 2 A3 | B |)1 / 3 ;
A cos( a , 3 3 2 a A cos( ) , 3 3 4 a A cos( ) , 3 3 arccos( B / A3 / 2 ) ; )
二分法
求 f (x) = 0 的根
原理：若 f C[a, b]，且 f (a) ·f (b) < 0，则 f 在 (a, b) 上必有一根。
y
f (x)
a
x*
b
x
称[a, b]为方程的有根区间。
7
§2.1
二分法—算法构造
a x a1
b2 x* x
b
给定有根区间 [a, b] ( f(a) ·f(b) < 0) 和 精度 或 1. 令 x = (a+b)/2 2. 如果 b – a < 或 f (x) < , 停机，输出 x 3. 如果 f (a) f (x) < 0 , 则令 b = x，否则令 a = x, 返回第1步 用二分法求根，通常先给出 f (x) 草图以确定根的大概位置。
方程求根的数值方法
定理（压缩映像原理）
设迭代函数 x＝φ (x) 在闭区间[a,b]上满足：
（1） 对任意x∈[a,b]，φ(x) ∈[a,b]；
（2） 满足Lipschitz条件 x1, x2 [a,b]
(x1) (x2 ) L x1 x2 0 L 1
则 x＝φ (x) 在闭区间[a,b]上 存在唯一解x*，使 得对任意x∈[a,b]，由xk+1= φ(xk) 产生的序列 {xk}收敛于x*。
再用逐步搜索法或二分法找到误差较小的 近似根；
最后用牛顿法或弦截法给出高精度的近似 根。
作业：求下面方程的数值解。
x3 x 9 0
xsin(x) 0.5
x tan(x), x (0, 18)
精品课件！
精品课件！
谢 谢！
f (x1)
再由x0 , x2计算x3......
xn1 xn
xn x0 f (xn ) f (x0 )
f (xn )
称之为定端点弦截法.
(n 1,2,...)
定端点弦截法又称单点割线法。
若由x1, x2计算x3 ,以此类推
xn1
xn
xn xn1 f (xn ) f (xn1 )
则过P0 (x0 , f (x0 ))及P1(x1, f (x1))得弦的方程
y
f (x1)
f
(
x1 ) x1
f (x0 x0
)
(
x
x1
)
令y=0，解得弦与x轴的交点是坐标x2。
f (x1)
f
(
x1 ) x1
f( x0
x0
)
第13章计算机数学基础下方程求根
第13章 方程求根对于常见的方程可用已知的方法求解，例： x 2-7x-8=0可用求根公式求解；x 3-2x-4=0可用提取公因式求解；但对于如下的方程则无法求解：X 3-2x+4=0 sinx-x+1=0 e x +2x-9=0一、方程求根的几何意义：求方程x 2-4=0的根，即求函数f(x)=x 2-4与x 轴(y=0)交点的横坐标值。
判断有根区间：设方程f(x)=0在区间[a,b]内有唯一的根，则区间[a,b]称为f(x)=0的有根区间。
设函数f(x)在区间[a,b]内连续，严格单调，且满足f(a)f(b)<0，根据连续函数的性质，f(x)必定与x 轴在区间[a,b]内有交点，故方程f(x)=0在区间[a,b]内一定有实根（至少有一个根）。
方程f(x)=0的根记作x *。
二、二分法1．二分法的定义：设函数f(x)在[a,b]上连续，且f(a)<0、f(b)>0，根椐连续函数的性质，方程f(x)=0在区间（a,b ）内一定有实根。
用二分有根区间的方法（用区间[a,b]的中点1/2（a+b ）平分区间），得到有根区间序列[a n ,b n ]即[a ，b] ⊃ [a 1，b 1] ⊃ [a 2，b 2] ⊃…⊃ [a n ，b n ] ⊃…，重复以上步骤可进一步缩小区间，每一次都使区间缩小了一半，最终趋近于真实根。
x *≈x n =)(21n n b a +有误差估计式：∣x *－x n ∣≤1+2-n ab ，（n =0,1,2,…）对于给定误差限ε，∣x *－x n ∣≤1+2-n ab ≤ε，有：二分有根区间次数公式：2--≥1+ln ln )ln(εa b n ≤ε12ln ln )ln(---≥εa b n用这种二分有根区间求方程近似根的方法，称为二分法或称对分法。
例1：证明方程1－x －sinx ＝0在区间[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不超过0.5×10－4的根要迭代多少次？证明：令f(x)＝1－x －sinx ，f(0)=1>0，f(1)=－sin1<0f(x)=1－x －sinx=0在[0，1]有根.又f，(x)=1－cosx>0(x ∈[0.1]),故f(x)＝0在区间[0，1]内有唯一实根。
方程求根的迭代法
§4.1 引 言绪论中讲到方程求根得二分法，但二分法收敛速度慢，有必要掌握新的方法。
§4.1.1迭代法的思想迭代法是一种逐次逼近法，使用某个固定公式（迭代公式）反复校正，逐步精确，直到满足精度。
迭代法求根分两步：1） 猜测初值 2）迭代如求解初值问题00')(),,(y x y y x f y ==用梯形公式111[(,)(,)2n n n n n n h y y f x y f x y +++≈++ （1） 看作关于1+n y 的函数方程，按欧拉公式提供猜测值),()0(1n n n n y x hf y y +=+，代入（1）得)],(),([2)0(11)1(1+++++=n n n n n n y x f y x f h y y 若)1(1+n y 仍不满足要求，则将它代入（1）式，继续得到校正值)2(1+n y ，写成迭代公式 )],(),([2)(11)1(1k n n n n n k n y x f y x f h y y ++++++= （2） 一般地，为了求一元非线性方程0)(=x f 的根，可以先将其转换为如下的等价形式()x x ϕ= （3）式（3）中连续函数()x ϕ称为迭代函数，其右端含未知数，不能直接求解。
先用根的某个猜测值0x 代入（3），构造迭代公式：()k k x x ϕ=+1。
如果迭代值k x 有极限，则称迭代收敛，极限值k k x x ∞→=lim *就是方程（3）的根。
几何意义P127图4-1为使迭代法有效，必须保证它的收敛行，()x ϕ满足什么条件，才能保证收敛？以最简单的线性迭代()d kx x +=ϕ，可以看出收敛的充分必要条件()1'<=k x ϕ。
几何意义P127图4-2,3,4,5。
§4.1.3 压缩映像原理设*x 是方程()x x ϕ=的根，则由微分中值定理 ))(()()(*'*1*k k k x x x x x x -=-=-+εϕϕϕ，如果存在10<≤L ，使得],[b a x ∈有()k k x x L x x L x -≤-⇒≤+*1*'ϕ，则迭代误差0e L e k k ≤，由于10<≤L ，故0→k e ，即迭代收敛。
含根式的方程求根
含根式的方程求根含根式的方程，就是方程中包含有根式的形式，例如√x、∛x等等。
求解根的过程，就是要找到满足方程的解x的值。
在解含根式的方程之前，我们需要了解一些基本的根式性质和运算规则。
我们来看一下根式的定义。
对于一个非负实数a和一个正整数n，记作√n a，表示满足a的n次方等于n的根号下的值。
例如，√2表示满足x^2=2的解x，即x=±√2。
接下来，我们来看一下根式的运算规则。
对于任意非负实数a和b，以及任意正整数m和n，有以下运算规则：1. 根式的加减法：√n a ± √n b =√n (a ± b)。
例如，√3 2 + √3 5 = √3 (2 + 5) = √3 7。
2. 根式的乘法：√n a * √n b = √n (a * b)。
例如，√2 3 * √2 5 = √2 (3 * 5) = √2 15。
3. 根式的除法：√n a / √n b = √n (a / b)。
例如，√5 8 / √5 2 = √5 (8 / 2) = √5 4。
了解了根式的定义和运算规则之后，我们可以来解一些含根式的方程。
我们来解一个简单的一次方程，即含有一次根式的方程。
例如，√x + 2 = 5。
我们可以通过移项和平方的方式来解这个方程。
将方程中的2移到右边，得到√x = 5 - 2 = 3。
然后，两边同时平方，得到x = (3)^2 = 9。
所以，方程的解为x = 9。
接下来，我们来解一个二次方程，即含有二次根式的方程。
例如，√(x + 1) + 2 = 5。
同样地，我们可以通过移项和平方的方式来解这个方程。
将方程中的2移到右边，得到√(x + 1) = 5 - 2 = 3。
然后，两边同时平方，得到x + 1 = (3)^2 = 9。
再将1移到右边，得到x = 9 - 1 = 8。
所以，方程的解为x = 8。
除了一次和二次方程外，我们还可以解更高次的含根式方程，例如三次方程或更高次方程。
开根号函数式求根公式
开根号函数式求根公式开根号函数是一种特殊的函数形式，常见于数学中求根的相关问题。
求根是指找出方程的根，即使方程等式两边相等。
开根号函数的求根公式是指通过对方程进行变形，将未知数从根号内移至等式另一边，从而得到由已知量表示的方程形式。
常见的开根号函数式求根公式有平方根、立方根和n次方根的求根公式。
1. 平方根的求根公式：对于一个二次方程ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数，可以通过配方的方式求解。
可以根据二次方程的一般表达式以及求根公式的推导得到平方根的求根公式为：x = (-b ± √(b^2-4ac))/(2a)这个公式在解二次方程时非常有用，可以通过插入具体的系数计算得出根的值。
2. 立方根的求根公式：对于一个三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0，其中a、b、c、d为常数，可以通过代数的方式求解。
可以进行变量代换的方式将三次方程化为二次方程，然后进一步利用二次方程的求根公式来解。
一个常见的立方根的求根公式为：x = (-b/2a) + ∛[(b^2-3ac)/2a^2 + (c/3a)√(b^2-4ac)]这个公式可以帮助我们解决一些三次方程问题，通过将具体的系数代入公式，可以得到方程的根的解。
3. n次方根的求根公式：对于一个n次方程a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ... + a_0 = 0，其中a_0, a_1, ..., a_n为常数，可以通过代数的方式求解。
和二次方程、三次方程不同，一般情况下高于三次的方程没有通解形式，只能通过近似的方式求解。
在实际应用中，通常使用牛顿迭代法或二分法等数值方法来求解高次方程的根。
这些方法可以通过迭代的方式逼近方程的根，精度随着迭代次数的增加逐渐提高，从而得到方程的根的近似值。
以上是开根号函数的求根公式的相关内容。
通过这些求根公式，我们可以解决数学中许多涉及根的问题，从而进一步推导出更多的应用和结论。
求根公式的应用
求根公式的应用在代数学中，求根公式是一种可以用来计算多项式函数的根的方法。
求根公式可以帮助我们解决各种实际问题，例如求解方程、计算函数的零点和验证解的正确性等。
以下是求根公式在实际应用中的几个方面的介绍。
一、方程的求解求根公式可以用于解决各种类型的方程，例如一次方程、二次方程、三次方程和高次方程等。
对于一次方程，例如ax + b = 0，求根公式可以直接利用线性关系求解，即x = -b/a。
对于二次方程，例如ax^2 + bx + c = 0，可以使用求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)来求解。
对于三次方程和高次方程，求根公式的形式更加复杂，但仍然可以使用这个公式来解决。
二、函数的零点计算求根公式也可以用于计算函数的零点。
对于一个函数f(x)，如果我们要找到f(x) = 0的解，可以将函数转化为一个方程，然后利用求根公式进行求解。
例如，对于一个二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以将其转化为方程ax^2 + bx + c = 0，然后使用求根公式求得函数的零点。
三、验证解的正确性在解方程或计算函数的零点时，我们可以利用求根公式来验证解的正确性。
通过将解代入原方程或函数中，如果等式成立，则说明所得解是正确的；如果等式不成立，则说明所得解是错误的或者是额外的解。
这种验证方法可以帮助我们排除解的错误或多余解，提高解题的准确性。
四、实际问题的应用求根公式还可以帮助我们解决各种实际问题。
例如，我们可以利用二次方程的求根公式来计算物体的抛射运动轨迹；利用三次方程的求根公式来解决涉及多个变量的问题等。
求根公式为我们提供了一个强大的工具，可以应用于各种实际情况，帮助我们解决问题。
总结起来，求根公式是一种广泛应用于代数学中的方法，可以用于解决方程、计算函数的零点和验证解的正确性等问题。
求根公式的应用不仅可以帮助我们解决数学题目，还可以应用于实际问题的解决中。
计算方法第2章 方程求根
方程求根§2.0 引言§2.1 二分法§2.2 简单迭代法§2.3 牛顿（Newton）法§2.4 其它求根方法（迭代过程的加速方法）§2.5 作业讲评2.0 引 言非线性科学是当今科学发展的一个重要研究方向，非线性方程的求根也成为其中一个重要内容。
一般而言，非线性方程的求根非常复杂。
在实际应用中有许多非线性方程的例子，例如（1）在光的衍射理论（the theory of diffraction of light)中,需要求x-tanx=0的根（2）在行星轨道（ planetary orbits ）的计算中,对任意的a 和b ，需要求x-asinx=b 的根（3）在数学中，需要求n 次多项式-1-110 ... 0n n n n a x a x a x a ++++=的根。
非线性方程的一般形式 ()0f x = 这里()f x 是单变量x 的函数，它可以是代数多项式-1-110() ... nn n n f x a x a x a x a =++++ (0n a ≠)也可以是超越函数，即不能表示为上述形式的函数。
满足方程 ()0f x = 的x 值通常叫做方程的根或解，也叫函数()0f x =的零点。
2.1 二分法(Bisection Method)1 概念:二分法也称对分区间法、对分法等，是最简单的求根方法，属于区间法求根类型。
在用近似方法时，需要知道方程的根所在区间。
若区间[a,b]含有方程f(x)=0的根，则称[a,b]为f(x)=0的有根区间；若区间[a,b]仅含方程f(x)= 0的一个根，则称[a,b]为f(x)= 0的一个单根区间。
2．基本思想根的存在定理(零点定理)：f(x)为[a,b]上的连续函数，若f(a)·f(b)<0，则[a,b]中至少有一个实根。
如果f(x)在[a,b]上还是单调递增或递减的，则f(x)=0仅有一个实根。
求根计算公式的原理和方法
求根计算公式的原理和方法求根计算公式是数学中常见的一种计算方法，用于求解方程的根。
在数学中，方程是一种数学陈述，它表达了一个或多个未知数与已知数之间的关系。
求根计算公式的原理和方法是通过一系列数学推导和运算，找到方程的根或解。
本文将从求根计算公式的原理和方法两个方面进行介绍。
求根计算公式的原理。
求根计算公式的原理是基于代数学和数学分析的理论。
在代数学中，方程的根是指方程成立的解，即满足方程等式的数值。
对于一元一次方程ax+b=0，其根为x=-b/a。
对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，其根可以通过求解二次方程的根公式得到。
在数学分析中，求根计算公式的原理是基于函数的零点理论。
对于一个函数f(x)，其零点即为方程f(x)=0的解。
因此，通过函数的性质和图像，可以求得方程的根。
求根计算公式的方法。
求根计算公式的方法包括了多种求解方程的技巧和算法。
在代数学中，常见的求根方法有因式分解、配方法、代数运算等。
对于一元二次方程，可以通过求解一元二次方程的根公式得到方程的解。
在数学分析中，求根计算公式的方法是基于函数的性质和图像的分析。
通过函数的增减性、奇偶性、极值点等性质，可以求得函数的零点，进而求得方程的根。
除了代数学和数学分析的方法，还有一些特殊的方程求根方法。
比如，对于高次方程或者无理方程，可以通过换元、代换、递推等方法进行求解。
对于复杂的方程，还可以通过数值计算方法进行求解。
数值计算方法是一种逼近求解的方法，通过数值计算和近似计算，可以得到方程的根。
在实际应用中，求根计算公式的方法还可以通过计算机程序进行求解。
通过编程语言和算法，可以实现对各种类型方程的求解。
比如，利用牛顿迭代法、二分法、试位法等算法，可以实现对方程的高效求解。
总结。
求根计算公式是数学中常见的一种计算方法，用于求解方程的根。
其原理和方法是基于代数学和数学分析的理论，通过一系列数学推导和运算，找到方程的根或解。
求根计算公式的方法包括了多种求解方程的技巧和算法，可以通过代数方法、数学分析方法、数值计算方法等途径进行求解。
总结第2章方程求根
lnb a ln ε - 1 k
ln 2
第2章 方程求根
3. 优缺点
《 计 算 方 法 》
优点：计算过程简单,程序容易实现。可在大范 围内求根。
缺点：收敛慢，其收敛速度仅与一个以 1/2为 比值的等比级数相同。
不易求偶数重根和复根 一般用于求根的近似值而后在用其它的求根方法
《 计 算 方 法 》
x1和x2都有 g( x1 ) g( x2 ) q x1 x2 2)、若q＜1, 则 方程在(a,b)内有唯一的根;
, q为某个确定的正数。
且迭代公式 xk+1=g(xk) 对任意初始近似值x0均收敛于 方程的根x; 还有误差估计式
q qk x xk xk xk 1 x1 x0 1 q 1 q
(2―11)
第2章 方程求根
注：
要验证g(x)是否满足李氏条件一般比较困难,若g(x)
《 计 算 方 法 》
可微,可用充分条件 g( x) q 1 来代替。这里q＜1
是非常重要的条件,否则不能保证果将原方程化为等价方程：x 2 x3 1
《 计 算 方 法 》
第2章 方程求根
《 计 算 方 法 》
第2章
方程求根
第2章 方程求根
第2章 方程求根
《 计 算 方 法 》
§1 二分法 §2 迭代法
§3 切线法(牛顿法)
§4 弦截法
§5 加速迭代法
第2章 方程求根
§2.3 二分法 (Bisection Method )
《 计 算 方 法 》
一、理论基础
若 f(x)在区间[a, b]单调连续，且 f (a) · (b) < 0，则f(x) f
求方程根的公式
求方程根的公式
方程的根取决于方程的类型。
这里，我将为你提供几种常见类型的方程的求根公式：
一、一元一次方程：
1.对于形如ax+b=0 的一元一次方程，其解为：x=−b/a
2.一元二次方程：对于形如ax2+bx+c=0 的一元二次方程，其解为：x=−b±√(b2−4ac)/2a这个公式被称为求根公式或韦达定理。
3.一元三次方程：
对于一元三次方程，没有通用的求根公式，但可以使用卡尔丹公式或塔塔利亚公式来求解。
4.一元四次方程：
对于一元四次方程，同样没有通用的求根公式，但可以通过费拉里方法或拉格朗日方法求解。
5.指数方程：
对于形如a x=b 的指数方程，其解为：x=log a b
6.对数方程：
对于形如log a x=b 的对数方程，其解为：x=a b
7.三角函数方程：
对于涉及三角函数的方程，如sinx=1/2，其解可以通过查找三角函数的值表或使用反三角函数来求解。
8.线性方程组：
对于形如{a1x+b1y=c1 a2x+b2y=c2}
的线性方程组，可以使用克莱姆法则或矩阵方法求解。
9.高次方程组：
对于高次方程组，通常需要使用数值方法（如牛顿法、高斯-约当消元法等）来近似求解。
10.微分方程：
对于微分方程，如dy/dx=f(x,y)，其解通常需要使用积分、分离变量、拉普拉斯变换等方法来求解。
请注意，不是所有类型的方程都有通用的求根公式，而且即使存在公式，也可能因为方程的复杂性而无法直接求解。
在实际应用中，通常需要使用数值方法或近似方法来求解方程。
方程求根
| xk 1 xk || ( xk 1 x ) ( xk x ) | | xk x | | xk 1 x | | xk x | | L | | xk x |
1 L | xk 1 xk | | xk xk 1 | | xk x | 1 L 1 L
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第二节 迭代法
一、迭代法的基本思想
迭代法是一种重要的逐次逼近法,其基本思想是： x ( x) , 将方程 f (x）= 0 化为等价方程
然后在隔根区间内取一点 x0 ，按下式计算
xk 1 ( xk )
( k 0,1, 2,)
计算结果生成数列
x0 , x1 , … , xk , …
L L | xk x | | xk xk 1 | | x1 x0 | 1 L 1 L
k
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(2) ( x ) 1 由微分中值定理
x ( x )
xk 1 ( xk )
| xk 1 x || ( k )( xk x ) | | xk x | | x0 x | 0
x * ( x * )。
(唯一性) 设方程 x=(x) 还有一根a 即 a (a )
则由微分中值定理有
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x * a ( x * ) (a ) ( )( x * a ) L x * a
此式仅当 x* a 0 才能成立，因此 a x * 。 （2） (收敛性) 再证迭代格式
解 对方程进行如下三种变形：
x 1 ( x ) (3 x 2 x 2 )1 4
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山西大学计算机与信息技术学院实验报告
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}
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五实验结果
六、结果分析
1二分法需要十次计算，迭代法需要三次计算，牛顿迭代法需要一次计算。
牛顿迭代法计算量最少。
2用牛顿法解方程式，应该尽量使初值接近零点，这样能够更节省时间，得到的根更准确。
3二分法和牛顿法都是解方程的两个比较好的方法，二分法在解一元方程应用中相比牛顿法要简单些，特别是写程序要简单些，但是二分法求根过程的步骤要比牛顿法多，牛顿法不仅可以解一元方程，还可以解多元可微分方程，而且求根速度很快，但是牛顿法有一个缺点就是要在根的附近才能求解，如果离根距离太大，有可能不能解出根来，所以在不知根在哪个小范围的情况下，最好先用二分法找到一个比较小的区间，再在这个区间上求方程的根，这样的求解是可行的。
另外，如果在某点处，矩阵的行列式为零，则在运算中会出现分母为零的情况，牛顿法不能继续求解，这也是牛顿法的个缺点，但是遇到这种情况的时候，如果稍稍改变初值，求解过程就会实现了。