函数与导数压轴题中零点问题

导数压轴题零点问题练习题

一、解答题

1．（2020·省高三考试）设函数()()2

1f x x bx b R =-+∈，()()()

,0,0f x x F x f x x ⎧>⎪

=⎨

->⎪⎩.

（1）如果()10f =，求()F x 的解析式；

（2）若()f x 为偶函数，且()()g x f x kx =-有零点，数k 的取值围.

【答案】（1）()2221,0

21,0

x x x F x x x x ⎧-+>=⎨-+-<⎩（2）(]

[),22,k ∈-∞-+∞

【解析】（1）因为()10f =，所以110b -+=，即2b =.

所以()22

21,0

21,0x x x F x x x x ⎧-+>=⎨-+-<⎩

. （2）因为()2

1f x x bx =-+为偶函数，所以0b =，即()2

1f x x =+.

因为()()g x f x kx =-有零点，所以方程210x kx +-=有实数根. 所以240k ∆=-≥， 所以(]

[),22,k ∈-∞-+∞.

2．（2020·全国高三专题练习）已知函数3

()sin f x x x =-，()f x '为()f x 的导函数.

（1）求()f x 在0x =处的切线方程；

（2）求证：()f x '在,22ππ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

上有且仅有两个零点.

【答案】（1）y x =；（2）证明见解析. 【解析】（1）()2

cos 3,f x x x '=-()01f '=，

又()00f =，所以切点为()0,0.

故()f x 在0x =处的切线方程为y x =；

（2）2()cos 3,f x x x '=-因为()f x '

为偶函数，且()01f '=，

则只需证明()f x '在0,

2π⎛⎫

⎪⎝

⎭

上有且仅有一个零点即可.

()sin 6f x x x ''=--，

当0,

2x π⎛⎫

∈ ⎪⎝

⎭时()0f x ''<， 故()f x '

在0,

2π⎛⎫

⎪⎝

⎭

上单调递减， 因为()010f '=>，2

3022f ππ⎛⎫⎛⎫'=-⨯< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

， 由零点存在定理，可知存在00,

2x π⎛

⎫

∈ ⎪⎝

⎭

使得()00f x '=， 所以()f x '在0,

2π⎛⎫

⎪⎝

⎭

上有且仅有一个零点， 因此()f x '在,22ππ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

上有且仅有两个零点.

3．（2020·省高三期末）已知函数1

()(2)x

f x e a x x

=++

+在区间(1,0)-存在零点． （1）求a 的围； （2）设22

e

a >

，1

221,()x x x x <是()f x 的两个零点，求证：122x x -<． 【答案】（1）0a >（2）证明见解析

【解析】（1）由题意，方程1

e (2)0x a x x

++

+=在区间(1,0)-有解， 即方程2e (1)0x x a x ++=在区间(1,0)-有解，

设函数2()e (1)x g x x a x =++，即g()x 在区间(1,0)-存在零点． 因为()(1()e )2x g x x a '=++，

①若0a >，则e 20x a +>，10x +>，()0g x '>成立，

g()x 在区间(1,0)-单调递增，

(0)0g a =>，1

(1)0e g -=-<，(0)(1)0g g ⋅-<，

所以g()x 在区间(1,0)-存在零点；

②若0a =，则()e 0x g x x '=<，g()x 在(1,0)-单调递减，

且()(0)0g x g a >==，所以g()x 在区间(1,0)-无零点； ③若0a <，则e 0x x <，2(1)0a x +<， 当(1,0)x ∈-时，()0g x '<，()(1)0g x g <-< 故g()x 在区间(1,0)-无零点； 综上所述，0a >． （2）由（1）可知，

2

2

e a >

时，g()x 在区间(,1)-∞-单调递减，在区间(1,)-+∞单调递增， 且g()x 在区间(1,0)-存在一个零点； 又22

(2)0e

g a -=-

+>，(2)(1)0g g -⋅-<， 所以g()x 在区间(2,1)--也存在一个零点， 从而2120x x -<<<， 所以122x x -<，不等式得证． 4．（2020·省高三月考）已知函数()()()3211

1323

a f x x a x x a R =-++-∈. （1）若1a >，求函数()f x 的极值；

（2）当01a << 时，判断函数()f x 在区间[]0,2上零点的个数. 【答案】(1)详见解析;(2)详见解析. 【解析】（1）∵()()3211

1323

a f x x a x x =

-++-， ∴()()()2

1111f x ax a x a x x a ⎛⎫'=-++=-- ⎪⎝

⎭，

因为1a >，所以1

01a

<

<， 当x 变化时，()(),f x f x '的变化情况如下表：