第15课311直线的倾斜角和斜率
直线的倾斜角与斜率PPT课件
已知直线的倾斜角，求对应的斜率 k ：
（1）＝0；
（2）＝30；
（3）＝135；
（4）＝120．
如果给定直线的倾斜角，我们当然可以根据斜率
的定义 k ＝tanα求出直线的斜率；
如果给定直线上两点坐标，直线是确定的，倾斜 角也是确定的，斜率就是确定的，那么又怎么求出直 线的斜率呢？
探究： 已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)（其中x1≠x2），
(1) 与两点的顺序无关; (2) 公式表明,直线的斜率可以通过直线上任意两
点的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角 (3) 当x1=x2时,公式不适用,此时α=900
Y
.p
00 900 Y K>0
. 900 1800
p
K<0
O
X
O
X
（1）
（2）
Y
. K不存在 Y
p 90o
.p
K=0
直线
圆
圆
直线
3.1.1 直线的倾斜角与斜率
y
A
1．由一点能否确定一条直线吗？
2．观察并回答问题：
1
B
CO
1x
在图中，直线 AB，AC 都经过哪一点？
它们相对于 x 轴的倾斜程度相同吗？
直线的倾斜角定义 一般地，平面直角坐标系内，直线向上
的方向与 x 轴正方向所成的最小正角 叫做
这条直线的倾斜角．
tan
y1
P1(x1, y1)
Q(x2, y1)
o x2 x1 x
在RtP2QP1中
tan P2Q y2 y1 P1Q x1 x2
k tan y2 y1 y2 y1
x1 x2 x2 x1
直线的倾斜角与斜率知识点
直线的倾斜角与斜率知识点直线是数学中最基本的图形之一，在几何学和代数学中都有广泛的应用。
直线的倾斜角和斜率是描述直线特征的重要概念，在解决直线问题时起到了至关重要的作用。
本文将介绍直线的倾斜角和斜率的概念、计算方法和应用场景。
一、直线的倾斜角直线的倾斜角是指直线与正 x 轴之间的夹角。
它通常用角度或弧度来度量。
倾斜角可以表达直线的上升或下降趋势，以及直线的陡峭程度。
倾斜角的取值范围为 [-90°, 90°] 或 [-π/2, π/2]，其中正值表示线段向右上方倾斜，负值表示线段向右下方倾斜。
要计算直线的倾斜角，需要从直线上选择两个确定点。
假设直线的两个点分别是 P1(x1, y1) 和 P2(x2, y2)，则倾斜角可以通过求解以下公式得出：倾斜角 = arctan((y2 - y1) / (x2 - x1))其中，arctan 表示反正切函数，计算结果可以用角度或弧度来表示。
二、直线的斜率直线的斜率是用来表示直线上点之间的变化率的数值。
斜率可以告诉我们直线的陡峭程度和方向。
通常情况下，斜率被定义为直线上任意两点之间纵坐标的差值与横坐标的差值之比。
对于直线上的两个点 P1(x1, y1) 和 P2(x2, y2)，斜率可以通过以下公式来计算：斜率 = (y2 - y1) / (x2 - x1)斜率可以用分数形式来表示，分母表示直线上两个点之间的水平距离，分子表示两个点之间的垂直距离。
斜率也可以是整数、小数或无穷大。
当斜率为正时，直线向上倾斜；当斜率为负时，直线向下倾斜；当斜率为0时，表示直线为水平线。
三、直线倾斜角与斜率的转换关系直线的倾斜角和斜率有一个重要的转换关系。
斜率可以通过直线的倾斜角计算得到，也可以通过斜率计算得到直线的倾斜角。
通过倾斜角计算斜率的公式如下：斜率 = tan(倾斜角)其中，tan 表示正切函数。
通过斜率计算倾斜角的公式如下：倾斜角 = arctan(斜率)这两个公式可以帮助我们在直线的描述中灵活地使用斜率和倾斜角。
数学直线的倾斜角与斜率公式
数学直线的倾斜角与斜率公式数学直线是数学中一个重要的概念，在数学的各个领域都有着广泛的应用。
其中直线的斜率与倾斜角也是数学中最基础的概念之一。
下面我们将介绍直线的斜率与倾斜角的基本概念及公式。
一、直线的斜率公式直线的斜率是指直线在平面直角坐标系中的倾斜程度，用于表示其在平面直角坐标系中的方向。
直线的斜率公式如下：斜率 k = （y2 - y1）/ （x2 - x1）其中 (x1, y1) 和 (x2, y2) 分别为直线上的两个点。
在计算斜率时，需要注意的是需要判断两点横坐标是否相等，因为此时斜率是不存在的。
二、直线的倾斜角公式直线的倾斜角是指直线与平面直角坐标系的 x 轴正方向所成的角度。
直线的倾斜角公式如下：倾斜角θ = atan k其中 atan 表示反正切函数，k 为直线的斜率。
需要注意的是，计算倾斜角时需要注意角度的参考系，一般以平面直角坐标系的 x 轴正方向为参考系。
三、斜率与倾斜角的关系斜率与倾斜角是相互关联的。
当我们知道一条直线的斜率时，可以通过求取反正切函数得到该直线的倾斜角。
相反地，当已知一条直线的倾斜角时，可以通过求取正切函数得到对应的斜率。
斜率k = tan θ倾斜角θ = atan k四、直线的性质在数学中，直线有许多重要的性质，这些性质不仅在理论研究中得到应用，也在实践中得到广泛应用。
其中一些性质如下：1. 相互垂直的两条直线的斜率乘积为 -1。
2. 直线的截距是指该直线与 y 轴的交点坐标，可以用斜率和另一个已知点来求解。
3. 两条直线互相平行的斜率相等。
4. 两条直线的夹角公式可以用两条直线的斜率求解。
5. 直线的点斜式表示法可以用已知点和斜率求解。
综上所述，数学直线的斜率与倾斜角是数学中重要的概念，通过斜率和倾斜角可以描述直线的方向和倾斜程度，同时也可以用于求解直线的其他性质。
通过了解这些概念和公式，可以更好地理解和应用数学的基础知识。
直线的倾斜角和斜率 课件
(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式 k＝tan α(α≠90°)解决． (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式 k＝xy22－－yx11(x1≠x2)求解． (3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解．
3．已知直线 l 经过点 A(1,2)，且不经过第四象限，则直线 l 的斜率 k 的
(1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项 ①运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与 x 轴垂直，因为当直 线与 x 轴垂直时，斜率是不存在的； ②斜率公式与两点 P1，P2 的先后顺序无关，也就是说公式中的 x1与 x2， y1 与 y2 可以同时交换位置．
(2)在 0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记．
取值范围是( )
A．(－1,0]
B．[0,1]
C．[1,2]
D．[0,2]
解析：由图，可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意， 所以直线 l 的斜率满足 0≤k≤2.故选 D.
答案：D
数形结合思想在求直线的斜率和倾斜角中的应用 [典例] 已知 A(－3,4)，B(3,2)，P(1,0)，过点 P 的直线 l 与线段 AB 有公 共点． (1)求直线 l 的斜率 k 的取值范围； (2)求直线 l 的倾斜角 α 的取值范围．
y2－y1 k＝ x2－x1 .
探究一 直线的倾斜角
[典例 1] 设直线 l 过原点，其倾斜角为 α，将直线 l 绕坐标原点沿逆时
针方向旋转 45°，得到直线 l1，则直线 l1 的倾斜角为( )
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．α＋45°或 α－135°
[ 解 析 ] 由 倾 斜 角 的 取 值 范 围 知 ， 只 有 当 0°≤α ＋
《直线的倾斜角与斜率》课件
3
例题演练
练习应用直线知识解决实际问题的实例，掌握方法和技巧。
总结
定义和计算方法
总结直线的倾斜角与斜率的定义及计算方法，巩 固理论知识。
关系和应用
总结倾斜角和斜率的关系及应用，包括直线方程 的求解和实际问题的应用。
结语
感谢大家的倾听，希望本次课件能对大家的学习和实践有所帮助。如果还有 问题和意见，欢迎随时与我交流。
2
的几何和物理特性中的应用。
介绍倾斜角的计算公式，解题技巧和
实例练习。
3
例题演练
练习解倾斜角的实例，掌握方法和技 巧。
斜率
意义
理解斜率的基本概念和物理意义，学习斜率在直 线运动和趋势分析中的应用。
计算方法
介绍斜率的计算公式，解题技巧和实例练习。
例题演练
练习解斜率的实例，掌握方法和技巧。
倾斜角和斜率的关系
关系式
介绍倾斜角和斜率之间的数学关系和物理意义。
方程求解
通过倾斜角和斜率求解直线方程的具体方法和实例演练。
例题演练
练习解倾斜角和斜率的联立方程，并求解对应的介绍直线在物理和几何问题中的应用场景和单位转换技巧。
2
方程求解
详细介绍如何通过已知条件求解直线方程，包括边界条件和约束条件的处理方法。
直线的倾斜角与斜率
欢迎来到本次《直线的倾斜角与斜率》PPT课件。本课介绍直线的基本概念， 计算方法和应用场景，希望能够帮助大家更好地理解和应用直线知识。
概述
1 倾斜角与斜率
介绍直线的基本概念、含义和定义。
2 直线方程
介绍求解直线方程的方法和步骤。
倾斜角
1
意义
了解什么是倾斜角以及倾斜角在直线
计算方法
直线的斜率与倾斜角ppt
斜率的计算公式
对于直线上的两点$(x_1, y_1)$和 $(x_2, y_2)$，斜率$m$可由下式计算： $m = frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$。
当$x_2$与$x_1$相等时，斜率不存在 ，表示直线垂直于x轴。
斜率与倾斜角的关系
斜率与倾斜角$alpha$之间存在一一 对应关系，即斜率等于倾斜角正切值， 即$m = tanalpha$。
倾斜角定义
直线倾斜角是指直线与x 轴正方向之间的夹角，通 常用α表示，取值范围为 [0,π)。
计算方法
斜率m=tan(α)，其中α为 直线的倾斜角。
直线的斜率与倾斜角的关系及应用
关系
直线的斜率与倾斜角α是线性关系，即 m=tan(α)。当α在[0,π/2)范围内时，斜 率为正，表示直线从左下到右上上升； 当α在(π/2,π)范围内时，斜率为负，表 示直线从左上到右下下降。
直线的斜率与倾斜角
目录
• 直线的斜率 • 直线的倾斜角 • 直线的斜率与倾斜角的应用 • 特殊情况的讨论 • 总结与回顾
01 直线的斜率
斜率的定义
01
斜率是直线在平面上的倾斜程度 ，表示为直线上的任意两点间纵 坐标差与横坐标差之商。
02
斜率是直线的重要属性，用于描 述直线的方向和倾斜程度，是解 析几何中重要的概念之一。
中研究直线的基础。
计算距离和角度
利用直线的斜率和倾斜角，可以计 算直线上的点到直线的垂直距离， 以及两条直线之间的夹角。
解决几何问题
在解决几何问题时，如求两条直线 的交点、判断直线与圆的位置关系 等，需要使用直线的斜率和倾斜角。
在物理学中的应用
描述运动轨迹
在物理学中，直线的斜率和倾斜 角可以用来描述物体的运动轨迹， 如自由落体运动、抛物线运动等。
直线的倾斜角和斜率
分析： 分析：
倾斜角的范围
规定： 规定： 对于一条和X轴平行或重合的直线 轴平行或重合的直线L， 对于一条和 轴平行或重合的直线 ，称其倾斜角为 0 ° 倾斜角范围： ° 倾斜角范围：0°≤ α<180 ° 为正三角形， 为正三角形 例1。 如图△ABC为正三角形， 。 如图△ 所在直线的倾斜角。 求AC所在直线的倾斜角。 所在直线的倾斜角
解： 直线斜率 的变化范围（ –1，1]=（ –1，0）∪ [0，1]， 直线斜率K的变化范围 的变化范围（ ， （ ， ） ， ，
3π ,π ) 所以直线的倾斜角范围为 α ∈ [ 0 , ] U ( 4 4
π 当K∈ [0，1] 时， α ∈ [ 0 , ] ∈ ， 4 3π ,π) 当K∈ （ –1，0）时, α ∈ ( ∈ ， ） 4
上式仍然成立。 当α=0时，y2=y1上式仍然成立。 时 此时tan α 不存在。 不存在。 当α=90°时x 2≠ x 1 经过P 的直线P 经过 1（x1，y1 )，P2 （x2，y2 )的直线 1P2 的 ， 的直线 斜率公式： 斜率公式：
y2 y1 k= x 2 x1
3。讨论斜率的变化： 斜率动画演示 。讨论斜率的变化： 斜率动画演示 结论：直线的斜率可取一切实数。 结论：直线的斜率可取一切实数。
(三)、总结： 三 、总结：
已知直线倾斜角求斜率： ⒈ 已知直线倾斜角求斜率： 为锐角时， ⑴。 α为锐角时，k>0； ； 为钝角时， ⑵。 α为钝角时，k<0； ； ⑶。α=0°时，k=0； ° ； 不存在。 ⑷。α=90°时，k不存在。 ° 不存在
（二）直线的斜率： 直线的斜率：
1。当直线L的倾斜角α不等于 °时， α 的正切值即 tan α， 。当直线 的倾斜角 不等于90 的倾斜角α 叫做直线L的斜率，用 k 表示，即 k= tanα。 叫做直线 的斜率， 表示， α 的斜率 2。当α=90°时， tanα不存在，所以 k不存在。 。 不存在。 α不存在， 不存在
《直线倾斜角和斜率》课件
本PPT课件将介绍直线的概念和基本特征、直线倾斜角的定义和计算方式、斜 率的概念和计算公式，以及直线与斜率的关系。我们还将探讨直线倾斜角和 斜率的图像表示及解读，并通过实例分析展示如何应用直线倾斜角和斜率解 决问题。最后，我们将总结所学内容，并展示进一步的应用拓展。
直线的概念和基本特征
总结和应用拓展
总结
通过本课程，我们了解了直线倾斜角和斜率的概念、计算方式以及与直线的关系，并且学会 了在实际问题中应用这些知识。
应用拓展
我们可以进一步应用直线倾斜角和斜率解决更复杂的问题，如曲线的倾斜角和斜率。
图像表示
直线倾斜角和斜率在坐标系中可以用图像进行表示。
解读
通过观察图像，我们可以推断直线的倾斜程度和斜 率的值。
实例分析：应用直线倾斜角和斜率进行 问题求解
1
问题分析
通过分析问题，确定如何应用直线倾斜角和斜率来解决。
2
计算倾斜角和斜率通过ຫໍສະໝຸດ 算，求得直线的倾斜角和斜率。3
应用求解
利用倾斜角和斜率，解决实际问题。
什么是直线？
直线是由一系列相互连接的点组成的无限延伸 的路径。
直线的特征
直线具有直性、无弯曲，并且两点确定唯一一 条直线。
直线倾斜角的定义和计算方式
直线倾斜角是什么？
直线倾斜角是指直线相对于水平方向的倾斜程度。
如何计算直线倾斜角？
直线倾斜角可以通过直线与水平方向的夹角来计算。
斜率的概念和计算公式
1 什么是斜率？
斜率是直线的倾斜程度的量化表示。
2 斜率的计算公式
斜率可以通过直线上两点的坐标来计算，公 式为 (Y2 - Y1) / (X2 - X1)。
直线与斜率的关系
直线的倾斜角和斜率 课件
(1)两点确定一条直线. 一点呢？
(2)一点一方向确定一条直线.
y
B
直线的倾斜程度
y
A
倾斜角
A
O
x
O
x
当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基 准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角 叫做直线的倾斜角.
规定:当直线l与x轴平行或重合时,倾斜角为00
y
l4 l3 l2
思
考1
:
比
较
3
(2)若k [1,1],则k _[0_,_45_0_] __[1_3_50.,1800)
练二.知求k.
(1)若
(30,60],
则k
( 3 , 3]
____3______;
(2)若 [60,150],则k _(___, __3_3_] __[__3,___).
如图,直线l1, l2 , l3 , l4的斜率分别为k1, k2 , k3 , k4 , 比较k1, k2 , k3 , k4的大小.
⑤直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大( )
例3.求 过 点M (0,2), N (1,2m2 4m 5)的 直 线l 的 斜 率k的 取 值 范 围.
k 1
变 : 求l的倾斜角的取值范围.
k
tan 1
1
O
2
例1.已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2),求直线
AB、BC、CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角
o
钝角
x
问:若P1, P2位置互换k又如何?
经过两点P1( x1, y1 ), P2( x2 , y2 )的直线斜率公式
k y2 y1 x2 x1
y1 y2 x1 x2
311直线的倾斜角与斜率ppt解析
x2 x1
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典型例题
例1 如图 ，已知 A(3,2), B(4,1), C(0,1)，求
直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角 是锐角还是钝角．
解：直线AB的斜率
k AB
1 2 43
1; 7
直线BC的斜率
kBC
11 0 (4)
2 4
1; 2
当直线l与x轴平行或重合时，规 定它的倾斜角为 0.
yl
直线的倾斜角 的取值范围为： O
x
0
180 .
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直线的倾斜角
直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系？
平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角，
倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角， 倾斜程
度相同的直线其倾斜角相同．
已知直线上的一个点不能确 定一条直线的位置；同样已知 直线的倾斜角α．也不能确定一 条直线的位置．
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知识小结
倾斜角
斜率
两点间斜率公式
第21页/共22页
谢谢大家观赏！
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直线的斜率（slope）.
通常用小写字母k表示，即
k tan ( 90 )
倾斜角是90 的直线有斜率吗？ 倾斜角是90 的直线的斜率不存在．
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直线的斜率
如：倾斜角 45 时，直线的斜率 k tan 45 1.
当 为锐角时，tan(180 ) tan .
如：倾斜角为 135 时，由
问题引入
对于平面直角坐标系内的一条直线 l ，它的位 置由哪些条件确定？
y
l
O
x
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直线的倾斜角与斜率课件
例题分析
例1 如下图，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,
求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的
倾斜角是锐角还是钝角。
y
k AB
1 7
锐角
B
A
kBC
1 2
钝角
O
x kAC 1 锐角
C
例题分析
例2、在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率
分别为1，-1，2和-3的直线 l1, l2 , l3及l4 。
直线的倾斜角与斜率
一次函数的图象有何特点?
给定函数y=2x+1,如何作出它的图像?
一般地,一次函数y=kx+b的图象是一条 直线,它是以满足y=kx+b的每一对x、y的值 为坐标的点构成的.
问题：在直角坐标系中，过点P的一条直线 绕点P旋转，不管旋转多少周，他对 x轴的相对位置有几种情形，请画出 来？
2、直线的倾斜角与斜率
在平面直角坐标系中,当直线l与x轴相交时，取x 轴作为基准， x轴正向与直线l向上方向之间所成的 角α 叫做直线l的倾斜角.
当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线
的倾斜角为00. 00,1800
倾斜角不是900的直线，它的倾斜角的正切叫做
这条直线的斜率，常用k来表示.
两条直线都有斜率，如果它们互相垂直， 那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果 它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂 直，
例2 已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线BA与PQ的位置关系, 并证明你 的结论.
解: 直线BA的斜率k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5, 直线PQ的斜率k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5, 因为 k1=k2=0.5, 所以 直线BA∥PQ.
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第15课 3.1.1直线的倾斜角和斜率
【课前自主学习】阅读课本82-86页，理解以下概念。
1．直线的倾斜角和斜率概念_______________________，掌握过两点的直线的斜率公式化
_______________________公式并牢记斜率公式的特点及适用范围__________________；
2.已知直线的倾斜角，求直线的斜率 _______________________
3.已知直线的斜率，求直线的倾斜角_____________ __________
【课堂主体参与】
问题1：对于平面直角坐标系内的一条直线 它的位置由哪些条件可以确定呢？一个点可以确定一条直线的位置吗?
问题2：直线倾斜角的范围是多少? _________________________________________
问题3：(斜率的概念)日常生活中我们可以用一个比值表示倾斜程度的量:
例如:坡度(比)= 升高量/前进量； 能否用一个比值刻画斜率呢？
我们把______________________________叫做这条直线的斜率(slop)。
记作:tan
k
问题4：（1）是不是所有的直线都有倾斜角?___________________ ___ ______
（2）是不是直线都有斜率?__________________________ __________
探究：由两点确定的直线的斜率
综上讨论,我们得到经过两点111222(,),(,)P x y P x y 的直线的斜率为 l l 1(2)已知直线经过点A(0,1)，B(
,2)，求的倾斜角的取值范围sin
.
2:l O 例已知直线过原点，且与线段MN 相交,又
M(-2,4),N(3,2)
(1),OM ON MN 求直线，的斜率. (2),,(4,),.M N P a a 设三点共线求的值.
(3).l 求直线的斜率的取值范围
11,.
l l l l l 11212例：(1)直线的倾斜角＝30直线与垂直，求与的斜率
【课堂检测反馈】
1．下列命题中，正确的命题是( )
（A ）直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα
（B ）直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α
（C ）任何一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都存在斜率
（D ）直线的斜率为0，则此直线的倾斜角为0或π
2．若直线l 经过原点和点(－3, －3)，则直线l 的倾斜角为( )
（A ）
4π （B ）54π （C ）4π或54
π （D ）－4π 3．已知直线l 的倾斜角为α，若cosα=－5
4，则直线l 的斜率为( ) （A ）43 （B ）34 （C ）－43 （D ）－34 4．若直线l 的倾斜角是连接P (3, －5), Q (0, －9)两点的直线的倾斜角的2倍，则直线l 的斜率为 .
5．已知直线l 1: y=xsinα和直线l 2: y=2x+c ，则直线l 1与l 2( )
（A ）通过平移可以重合 （B ）不可能垂直
（C ）可能与x 轴围成等腰直角三角形 （D ）通过绕l 1上某一点旋转可以重合
6．直线y=xcosα+1 (α∈R )的倾斜角的取值范围是( )
（A ）[0, 2π] （B ）[0, π) （C ）[－4π, 6π] （D ）[0, 4π]∪[4
3π,π)
【拓展深化】（实验班使用，平行班选用）
拓深：1.若直线k 的斜率满足－3< k<3
3，则该直线的倾斜角α的范围是 . 2．已知直线l 1和l 2关于直线y=x 对称，若直线l 1的斜率为3，则直线l 2的斜率为 ；倾斜角为 .
【课后巩固作业】
（1）课本作业（教师自主布置）；
（2）《随堂优化训练》的练习本 P24（教师自主筛选布置）。