高中数学常见题型解法第07招 函数的奇偶性的判断和证明

【知识要点】

一、函数的奇偶性的定义

对于函数()f x ，其定义域D 关于原点对称，如果,x D ∀∈恒有()()f x f x -=-，那么函数()f x 为奇函数；如果,x D ∀∈恒有()()f x f x -=，那么函数()f x 为偶函数. 二、奇偶函数的性质

1、奇偶函数的定义域关于原点对称；

2、 偶函数的图像关于y 轴对称，奇函数的图像关于原点对称；

3、偶函数在对称区间的增减性相同，奇函数在对称区间的增减性相反；

4、 奇函数在原点有定义时，必有

(0)0f =.

三、判断函数的奇偶性的方法

判断函数的奇偶性的方法，一般有三种：定义法、和差判别法、作商判别法. 1、定义法

首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求()f x -；最后比较()f x -和()f x 的关系，如果有()f x -=()f x ，则函数是偶函数，如果有()f x -=-()f x ，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.

2、和差判别法

对于函数定义域内的任意一个x ，若()()0f x f x -+=，则()f x 是奇函数；若()()0f x f x --=，则()f x 是偶函数.

3、 作商判别法

对于函数定义域内任意一个x ，设()0f x -≠，若()1()f x f x =--，则()f x 是奇函数，()

1()

f x f x =-，则()f x 是偶函数. 【方法讲评】

方法一

定义法

使用情景

具体函数和抽象函数都适用.

解题步骤

首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求()f x -；最后比较()f x -和()f x 的关

系，如果有()f x -=()f x ，则函数是偶函数，如果有()f x -=-()f x ，则函数是奇函数，否

则是非奇非偶函数.

【例1】判断下列函数的奇偶性.

（1）x x x x f -+-=11)1()( （2）2lg(1)

()22

x f x x -=--

【点评】（1）判断函数的奇偶性首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数. (2)函数的定义域关于原点对称，是函数为奇偶函数的必要非充分条件.（3）函数的定义域求出来之后，还要注意在解题中应用，不是走一个过场和形式.第2小题就是利用求出的定义域对函数进行了化简.

【例2】 定义在实数集上的函数()f x ，对任意x y R ∈、，有()()f x y f x y ++-2()()f x f y =⋅ 且(0)0f ≠

①求证：(0)1f = ②求证：()y f x =是偶函数

【解析】证明：①令0x y ==，则2

(0)(0)2[(0)]f f f += ∵(0)0f ≠ ∴(0)1f = ②令0x =，则()()2(0)()f y f y f f y +-=⋅ ∴()()f y f y -= ∴()y f x =是偶函数

【点评】对于抽象函数的奇偶性的判断，和具体函数的判断方法一样，不同的是，由于它是抽象函数，所以在判断过程中，多要利用赋值法，常赋一些特殊值，如0-11、、等. 学科*网

【例3】判断函数⎩⎨⎧>+-<+=)

0()

0()(2

2x x x x x x x f 的奇偶性

【点评】（1）对于分段函数奇偶性的判断，也是要先看函数的定义域，再考虑定义，由于它是分段函数，所以要分类讨论. （2）注意，当0x <时，求()f x -要代入下面的解析式，因为0x ->,不是还代入上面一段的解析式.

【反馈检测1】已知1

212)(+-=x x x f

（1）判断)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的值域．

【反馈检测2】已知函数()f x 定义域为[1,1]-，若对于任意的,[1,1]x y ∈-，都有

()()()f x y f x f y +=+，且0x >时，有()0f x >.

（1）证明函数()f x 是奇函数；（2）讨论函数()f x 在区间[1,1]-上的单调性；

（3）设(1)1f =，若2

()21f x m am <-+，对所有[1,1]x ∈-，[1,1]a ∈-恒成立，求实数m 的取值范围.

方法二 和差判别法

使用情景

一般与对数函数指数函数有关.

解答步骤

对于函数定义域内的任意一个x ，若()()0f x f x -+=，则()f x 是奇函数；若

()()0f x f x --=，则()f x 是偶函数.

【例4】判断函数)1x x lg()x (f 2++=的奇偶性.

【点评】和差判别法实际上是奇偶函数定义的等价形式，但是利用定义判断，计算较为复杂，利用和差判别法可以化繁为简，简捷高效. 【反馈检测3】已知函数)10(2

2

log )(≠>+-=a a x x x f a

且. （1）求)(x f 的定义域； （2）判定)(x f 的奇偶性；

（3）是否存在实数a ，使得)(x f 的定义域为],[n m 时，值域为]1log ,1[log ++m n a a ？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由.

【例5】判断函数2

x

12x )x (g x +

-=

的奇偶性. 【解析】由题得0x ≠，因为12)12(x 2x 12x 2x 12x

)x (g )x (g x

x x x --=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--- 0x x x =-=-，所以()()g x g x -=，所以)x (g 是偶函数.

【点评】和差判别法实际上是奇偶函数定义的等价形式，但是利用定义判断，计算较为复杂，利用和差