数项级数收敛性的判别概论

班级：数学091 姓名：韩海飞

数项级数收敛性的判别

摘要：文章对数项级数收敛性的判别方法进行了归纳总结，得到一般的解题思路.

关键词：判别方法归纳总结数项级数敛散性解题思路

引言：在讲解数项级数敛散性判别方法时，每讲一种判别方法，学生按照指定的判别方法进行解题，一般都能很容易求得结果，而当把多种判别方法讲完，再让学生作综合判别时，学生要么束手无策，要么选择判别方法时带有盲目性，拿作判别方法进行实验性解题，只要求得结果，不问方法的简单与繁琐，而不是先从简单方法入手，往往用一种简单的方法就可以轻松解题，却用较繁琐方法费了九牛二虎之力，结果还不一定正确，造成这种情况的主要原因主要是学生对所学的判别方法的使用条件及特点不太熟悉，解题思路比较乱.所以在讲解完常数项级数敛散性判别方法之后，非常有必要归纳总结一下.

一、定义

定义1：设有数列 表达式

（1） 称为数项级数，可记为 ，其中 称为数项级数（1）的第n 项或

一般项。

定义2： 称为级数（1）的第n 个部分和，数列

称为它的部分和数列。

定义3：设 是级数（1）的部分和数列，若 则说级数（1）的和是S ，这时也说级数（1）是收敛（于S ）的。记

为： 。若 是发散数列，则称级数（1）发散。

余项： 定义4：绝对收敛：若∑∞

=1

n n u 收敛，则称级数∑∞

=1

n n u 绝对收敛

条件收敛：若∑∞=1

n n u 发散，则称级数∑∞

=1

n n u 条件收敛

二、性质定理

定理12.2

若级数1

n n u ∞=∑与1

n n v ∞

=∑都收敛，则对任意常数,c d ，级数

1

1

1

()n

n n n n n n cu

dv c u d v ∞

∞∞

===+=+∑∑∑也收敛.

定理12.3 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性.

定理12.4 在收敛级数的项中任意加括号,既不改变级数的收

+++u u u n 21

,,,:}{21u u u u n n ∑∞

=1

n n u u n u u u S n n ++=21}{S n }{S n S S n n =∞

→lim S u n n =∑∞

=1}{S n S S r n n -=

敛性,也不改变它的和. 三、分类

1、等比级数（几何级数）:

2、--p 级数：)0(1

1>∑

∞

=p n

n p

3、正项级数: 若0≥n u ，则称∑n u 为正项级数

4、一般级数：任意 ，则称∑n u 为一般级数 三、等比级数收敛性的判别法

等比级数（几何级数） ，

1

四、--p 级数收敛性判别法：

--p 级数

)0(1

1>∑∞

=p n

n p

(1)当10≤

p 时，级数收敛 例：∑

21

n

为p-级数，p=2>1，显然此级数是收敛的. 五、正项级数收敛性的判别法

（1）比较原则：设∑n u 与∑n v 是两个正项级数，若

（1） 当+∞<<10时，两级数同时收敛或同时发散； （2） 当0=l 且级数∑n v 收敛时，级数∑n u 也收敛； （3） 当+∞=l 且级数∑n v 发散时，级数∑n u 也发散；

+++-q a aq a n 1

q

q a S n n --=1)1()

1(≠q ⎪⎩

⎪

⎨⎧-=∞

→发散q a S n n 1lim +++-q a aq a n 1 +++u u u n 21

例： 判别级数∑n 1sin 的敛散性

解：由于 111sin

lim =∞→n

n n ，根据比较原则，及调和级数∑n 1发散，所以级数∑n

1

sin 也发散.

（2）比式判别法（极限形式）若∑n u 为正项级数，且lim q u u n

n =+1

则 (1)当1

(2)当1>q 时，或+∞=q 时，级数∑n u 发散；

注：当1=q 时，）比式判别法不能对级数的敛散性作出判断，因为它可能是收敛的，也可能是发散的.例如，级数∑2

1n

与∑n 1，它们的比式极限都是1lim

1=+∞

→n n n u u 但∑21

n

是收敛的，而∑n 1是发散的. （3）根式判别法（极限形式）若∑n u 为正项级数，且1lim =∞

→n n

n u 则 (1)当1l 时，级数发散

注：当1=l 时，根式不能对级数的敛散性作出判断例如，级数∑

2

1n 与∑n 1，二者都有1lim =∞

n n

n u ，但∑2

1

n

是收敛的，而∑n 1是发散的.但∑2

1

n 是收敛的，而∑n 1是发散的. 例：判别级数()∑-+n

n

2

12的敛散性 解：由于232123lim lim 1221

22==-∞→-∞

→m m m m m m u u 612321lim lim 212212==+∞→+∞→m

m m m m m u u 故用比式判别法无法判定此级数的敛散性，现在用根式判别