圆周运动_PPT课件

3．解决圆周运动问题的主要步骤 (1)审清题意，确定研究对象； (2)分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周 期、轨道平面、圆心、半径等． (3)分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力 的来源； (4)据牛顿运动定律及向心力公式列方程； (5)求解、讨论．
关键一点：(1)无论匀速圆周运动还是非匀速圆周运动， 沿半径指向圆心的合力均为向心力．
临界条件 gr
得 v 临＝0
轻绳模型
轻杆模型
(1)过最高点时， (1)当 v＝0 时，FN＝mg，FN 为支
v≥ gr，FN＋mg 持力，沿半径背离圆心．
＝mvr2，绳、轨道 讨论 对球产生弹力 FN.
(2)当 0<v< gr时，－FN＋mg＝ mvr2，FN 背离圆心，随 v 的增大
分析 (2)当 v< gr时，不 而减小．
外轨的间距设计值为 L＝1435 mm，结合表中数据，算出我国 火车的转弯速率 v(以 km/h 为单位，结果取整数．当 θ 很小 时，tanθ≈sinθ)．
(3)为了提高运输能力，国家对铁路不断进行提速，这 就要求火车转弯速率也需要提高．请根据上述计算原理和上 述表格分析提速时应采取怎样的有效措施．
度的快快慢慢 值，ω＝ΔΔΔΔθtθt
物理量 物理意义 定义和公式
方向和单位
周期 T：物体沿圆
描述物体 周运动一周所用的 周期单位：s
周期
做圆周运 时间．
转速单位：r/s
和转速
动的快慢 转速 n：物体单位 或 r/min
时间内转过的圈数
物理量 物理意义 定义和公式
向心 加速度
描述线速 度方向变 化的快快慢慢
④
由图象可得：截距 6mg＝6 N，即 m＝0.1 kg
⑤
(2)因为图线斜率 k＝2mRg＝1，所以 R＝2 m
⑥
在 A 点不脱离的条件是 vA≥ Rg
⑦
由 B 到 A 应用机械能守恒
12mv2B＝mg(2R＋x)＋12mvA2
⑧
x＝15 m
⑨
[答案] (1)0.1 kg (2)15 m
[练习 3] 如图所示，质量为 M 的电动 机，飞轮上固定着一个质量为 m 的重物， 重物到轴的距离为 R，电动机飞轮匀速转 动．当角速度为 ω 时，电动机恰好不从地 面上跳起，则 ω＝__________，电动机对地 面的最大压力 F＝__________(重力加速度为 g)．
(3)受力特点： 当 F＝mrωω22时，物体做匀速圆周 运动； 当 F＝0 时，物体沿切线方向向飞出； 当 F<mrω22时，物体逐渐远离圆心，F 为实际提供的向 心力，如上图所示． 2．向心运动 当提供向心力的合外力大于做圆周运动所需向心力时， 即 F>mrω2，物体渐渐向圆圆心心靠靠近近，如上图所示．
(2)解答竖直面内的圆周运动问题时，首先要搞清是绳模 型还是杆模型，在最高点绳模型和杆模型的临界速度是不同 的．
例 3 如图甲所示，在同一竖直平面内的两条正对着的 相同半圆形的光滑轨道，相隔一定的距离，虚线沿竖直方向， 一小球能在其间运动，今在最高点与最低点各放一个压力传 感器，测试小球对轨道的压力，并通过计算机显示出来，当 轨道距离变化时，测得两点压力差与距离 x 的图象如图乙所 示，g 取 10 m/s2，不计空气阻力．求：
能过最高点，在到 (3)当 v＝ gr时，FN＝0.
达最高点前小球已 (4)当 v> gr时，FN＋mg＝mvr2，
经脱离了圆轨道 FN指向圆心并随 v 的增大而增大
关键一点：(1)“轻绳”模型和“轻杆”模型不同的原因 在于“轻绳”只能对小球产生拉力，而“轻轩”既可对小球 产生拉力也可对小球产生支持力．
物体做离心运动不是物体受到所谓离心力作用， 而是物体惯性的表现，物体做离心运动时，并非沿半径方 向飞出，而是运动半径越来越大或沿切线方向飞出.
考技案例导析
一、圆周运动的运动学分析 1．对公式 v＝rω 和 a＝vr2＝rω2 的理解 (1)由 v＝rω 知，r 一定时，v 与 ω 成正比；ω 一定时， v 与 r 成正比；v 一定时，ω 与 r 成反比． (2)由 a＝vr2＝rω2 知，在 v 一定时，a 与 r 成反比；在 ω 一定时，a 与 r 成正比．
[思路分析] (1)由表格数据可以获得什么信息？ (2)构建匀速圆周运动模型，以倾角为参数，利用动力学 知识和几何条件建立 v 与 h、r、L 的关系是解题的关键．
[解析] (1)分析表中的数据可知，每组的 h 与 r 之乘积 均等于常数，设为 C，则 C＝660 m×50×10－3 m＝33 m2， 即 hr＝33 m2，当 r＝440 m 时，有 h＝43430 m＝0.075 m＝75 mm.
பைடு நூலகம்
[解析] 根据角速度的定义式得 ω＝θt ＝2Nt π；要求自行 车的骑行速度，还要知道牙盘的半径 r1、飞轮的半径 r2、自 行车后轮的半径 R；由 v1＝ωr1＝v2＝ω2r2，又 ω2＝ω 后，而 v＝ω 后 R，以上各式联立解得 v＝rr21Rω＝2πRNtrr21.
[练习 1] [2012·莱芜模拟]如图所示 装置中，三个轮的半径分别为 r、2r、4r，b 点到圆心的距离为 r，求图中 a、b、c、d 各点的线速度之比、角速度之比、加速度之比．
[练习 2] 用一根细线一端系一小球(可 视为质点)，另一端固定在一光滑锥顶上，如 图所示，设小球在水平面内做匀速圆周运动 的角速度为 ω，细线的张力为 FT，则 FT 随 ω2 变化的图象是图中的( )
解析：小球角速度 ω 较小，未离开锥面时，如图所示．设 细线的张力为 FT，线的长度为 L，锥面对小球的支持力为 FN， 则有 FTcosθ＋FNsinθ＝mg，FTsinθ－FNcosθ＝mω2Lsinθ，可 得出：FT＝mgcosθ＋mω2Lsin2θ，可见随 ω 由 0 开始增加， FT 由 mgcosθ 开始随 ω2 的增大线性增大，当角速度增大到小 球飘离锥面时，FT·sinα＝mω2Lsinα，得 FT＝mω2L，可见 FT 随 ω2 的增大仍线性增大，但图线斜率增大了，综上所述，只 有 C 正确．
an＝vvrr22
v、ω、T、v＝ωr＝2Tπr
an 间 的关系
an＝vr2＝ω2r＝4Tπ22r
方向和单位 方向：总是沿 半径指向圆 心，与线速度 方向垂直． 单位：m/s2
向心力
1．作用效果：产生向心加速度，只改变速度的方向，不 改变速度的大大小 ．
2．大小：Fn＝man＝mvr2＝mω2r＝m4Tπ222r. 3．方向：总是沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向
归纳拓展：解决此类问题，一是对皮带传动和轮轴的特 点要明确，二是线速度、角速度、向心加速度与半径的关系 要清楚．从而能熟练地运用在线速度或角速度相等时，角速 度、线速度、加速度与半径的比值关系．
二、圆周运动中的动力学问题分析 1．向心力的来源：向心力是按力的作用效果命名的， 可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合 力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加向 心力． 2. 向心力的确定 (1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置． (2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向 圆心的合力，该力就是向心力．
心力是一个变力．
4．来源：向心力可以由一个力提供，也可以由几个个力力的的 合合力 提供，甚至可以由一一个个力的分力提供，因此向心力的来 源要根据物体受力的实际情况判定．
向心力是一种效果力，受力分析时，切不可 在物体的相互作用力以外再添加一个向心力.
1．离心运离动心运动和向心运动 (1)定义：做圆周运动 的物体，在所受合外力突然消失或 不足以提供圆周运动所需向心力 的情况下，就做逐渐远离圆 心的运动． (2)本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿 着圆圆周周切切线线方方向向飞出去的倾向．
2．传动装置特点 (1)同轴传动：固定在一起共轴转动的物体上各点角速度 相同； (2)皮带传动：不打滑的摩擦传动和皮带(或齿轮)传动的 两轮边缘上相接触各点线速度大小相等． 关键一点：(1)在讨论 v、ω、r 三者关系时，应采用控制 变量法，即保持其中一个量不变来讨论另外两个量的关系． (2)在处理传动装置中各量间的关系时，应首先明确传动 的方式及传动的特点．
答案：C
点评： 解答有关圆周运动问题时，首先必须做好关键 的几步：
(1)对研究对象受力分析，确定好向心力的来源． (2)确定圆周运动的轨迹和半径． (3)应用相关的力学规律列方程求解．
三、竖直面内圆周运动问题 轻绳模型
轻杆模型
常见 类型
均是没有支撑的小球 均是有支撑的小球
过最高点的 由 mg＝mvr2得 v 临＝ 由小球能运动即可
弯道半径 r/m 660 330 220 165 132 110 内外轨高度差 h/mm 50 100 150 200 250 300
(1)根据表中数据，试导出 h 和 r 关系的表达式，并求 出当 r＝440 m 时，h 的设计值．
(2)铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全， 要求内外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我国铁路内
(2)转弯过程中，当内、外轨对车轮没有侧向压力时，火 车的受力如下图所示，由牛顿第二定律得：
mgtanθ＝mvr2
①
因为 θ 很小，有
tanθ≈sinθ＝Lh
②
由①②可得：v＝
ghr L
③
代入数据 v＝15 m/s＝54 km/h
(3)由③式可知，可采取的有效措施有：a.适当增大内、
外轨的高度差 h；b.适当增大铁路弯道的轨道半径 r.
(1)小球的质量为多少？ (2)若小球在最低点 B 的速度为 20 m/s，为使小球能沿轨 道运动，x 的最大值为多少？
[解析] (1)设轨道半径为 R，由机械能守恒定律：
12mv2B＝mg(2R＋x)＋12mvA2
①
对 B 点：FN1－mg＝mvRB2
②
对 A 点：FN2＋mg＝mvRA2
③
两点压力差 ΔF＝FN1－FN2＝6mg＋2mRgx
④
对电动机，设它所受支持力为 FN，FN＝F′＋Mg ⑤ 由③④⑤解得 FN＝2(M＋m)g 由牛顿第三定律得，电动机对地面的最大压力为 2(M＋
例 1 小明同学在学习了圆周运动的知识后，设计了一 个课题，名称为：快速测量自行车的骑行速度．他的设想是： 通过计算踏脚板转动的角速度，推算自行车的骑行速度，经 过骑行，他得到如下的数据：在时间 t 内踏脚板转动的圈数 为 N，那么踏脚板转动的角速度 ω＝__________；要推算自 行车的骑行速度，还需要测量的物理量有__________；自行 车骑行速度的计算公式 v＝__________.
解析：重物在正上方时，电动机对地面的压力刚好为零，
则此时绳对电动机向上的作用力大小等于电动机的重力，
即：F＝Mg
①
根据牛顿第三定律，此时绳对重物的作用力向下，大小
为 F＝Mg
对重物：F＋mg＝mω2R
②
由①②得 ω＝
m＋Mg mR
③
当重物转到最低点时，电动机对地面的压力最大
对重物有：F′－mg＝mω2R
解析：由 va＝vc，而 vb∶vc∶vd＝1∶2∶4，所以 va∶ vb∶vc∶vd＝2∶1∶2∶4；ωa∶ωb＝2∶1，而 ωb＝ωc＝ωd，， 所以 ωa∶ωb∶ωc∶ωd＝2∶1∶1∶1；再利用 a＝vω，可得 aa∶ab∶ac∶ad＝4∶1∶2∶4.
答案：va∶vb∶vc∶vd＝2∶1∶2∶4 ωa∶ωb∶ωc∶ωd＝2∶1∶1∶1 aa∶ab∶ac∶ad＝4∶1∶2∶4
(2)当采用正交分解法分析向心力的来源时，做圆周运动 的物体在坐标原点，一定有一个坐标轴沿半径指向圆心．
例 2 铁路转弯处的弯道半径 r 是根据地形决定的．弯 道处要求外轨比内轨高，其内外轨高度差 h 的设计不仅与 r
有关，还取决于火车在弯道上的行驶速率．下列表格中是铁
路设计人员技术手册中弯道半径 r 及与之对应的轨道的高度 差 h.
圆周运动
描述圆周运动的物理量
物理量 物理意义 定义和公式 方向和单位
描述物体 物体沿圆周通过的 方向：沿圆弧
线速度 做圆周运 弧长与所用时间的 切线方向．
动的快快慢慢 比值，v＝ΔΔΔΔtllt
单位：m/s
描述物体 运动物体与圆心连 与圆心连 线扫过的角的弧度 角速度 线扫过角 数与所用时间的比 单位：rad/s