锐角三角函数基础巩固练习

锐角三角函数基础巩固练习

要点一：锐角三角函数的基本概念 一、选择题

1.三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan α的值是（ ）

A ．

35

B ．

43 C ．34 D ．45 【解析】选C. tan α4

3

==

角的邻边角的对边αα. 2.在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝

1

3

，则sin B ＝（ ）

A B ．23

C ．

3

4

D ．

【解析】选D. 3

1

tan ==

AB BC A ,设BC=k,则AC=3k,由勾股定理得

,10)3(2222k k k BC AC AB =+=+=sin 10

AC B AB =

= 3.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为

3

2

，2AC =，则sin B 的值是（ ）

A ．

23 B ．32 C ．34 D ．43

【解析】选A.连接CD,由O ⊙的半径为

32.得AD=3. sin B =.3

2

sin ==AD AC D

4.如图，在Rt ABC △中，ACB ∠=Rt ∠，1BC =，2AB =，则下列结论正确的是（ ）

A

．sin A =

B ．1

tan 2

A = C

．cos B = D

．tan B =

【解析】选D 在直角三角形ABC 中，1BC =，2AB =，

所以AC

；所以1

sin 2

A ＝

，cos 2A

，tan 3A =

；sin 2B ＝，1cos 2

B ＝

，tan B =； 5.如图，在Rt ABC △中，CD 是斜边AB 上的中线，已知2CD =，3AC =，则sin B 的值是（ ） A ．

23

B ．

32

C ．

34

D ．

43

【解析】选C.由CD 是Rt ABC △斜边AB 上的中线，得AB=2CD=4.∴sin B 4

3

==

AB AC 6.如图，在ABC △中，90ACB ∠=，CD AB ⊥于D

，若AC =

AB =tan BCD ∠的值为（ ）

（A

（B

（C

（D

答案：B 二、填空题

A

C

B

D

7.在△ABC 中，∠C ＝90°， BC ＝6 cm ，5

3

sin =

A ，则A

B 的长是 cm ． 【解析】,5

3

6sin ===AB AB BC A 解得AB=10cm 答案：10

8.如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则

sin α= ．

【解析】因为P （3，4），所以OP ＝5，所以4

sin 5

α=； 答案：

45

； 9.如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，3sin 5

A =

，则这个菱形的面积= cm 2．

【解析】.5

310sin ===DE AD DE A 解得DE=6cm.∴10660=⨯=⨯=LING S AB DE cm 2

. 答案：60 三、解答题

10.如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD = 24 m ，OE ⊥CD 于点E ．已测得sin ∠DOE =

12

13

．

（1）求半径OD ；

（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降， 则经过多长时间才能将水排干？

O

【解析】（1）∵OE ⊥CD 于点E ，CD =24（m ），

∴ED =1

2CD =12（m ）．

在Rt △DOE 中，∵sin ∠DOE =ED OD =12

13

， ∴OD =13（m ）．

（2）OE

5（m ） ∴将水排干需：5÷0.5=10（小时）．

11.如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE ．

（1）求证：ABE △DFA ≌△；

（2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值．

【解析】（1）在矩形ABCD 中，

90BC AD AD BC B =∠=，∥，°

DAF AEB ∴∠=∠ DF AE AE BC ⊥=， 90AFD B ∴∠=∠°=

AE AD =

ABE DFA ∴△≌△．

（2）由（1）知ABE DFA △≌△

6AB DF ∴==

在直角ADF △中，

8AF === 2EF AE AF AD AF ∴=-=-=

在直角DFE △中，

D

A

B

C

E

F

DE ==

sin

EF EDF DE ∴∠=

==

12.如图，在△ABC 中，∠C =90°，sin A =

5

4

，AB =15，求△ABC 的周长和tan A 的值．

【解析】在Rt △ABC 中, ∠C =90°, AB =15

A sin =

AB BC =5

4

, ∴ 12=BC 912152222=-=-=BC AB AC

∴周长为36,BC 124

tan A .AC 93

=

== 13.在Rt △ABC 中，∠C = 90°，a =3 ，c =5，求sin A 和tan A 的值.

【解析】在Rt △ABC 中，c =5，a =3． ∴ 22a c b -=

2235-=4=

∴ 53

s i n ==

c a A 4

3

t a n ==b a A ．

14.如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan cos B DAC =∠，

(1) 求证：AC=BD ； (2)若12

sin 13

C =

，BC =12，求AD 的长． 【解析】(1)∵AD 是BC 上的高，∴AD ⊥BC ． ∴∠ADB =90°，∠ADC =90°．