锐角三角函数基础巩固练习
锐角三角函数基础题
A BCD （第7题）锐角三角函数练习一、正弦练习1．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是﹙ ﹚A ．43 B ．34 C ．53 D ．542． 在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，sinA=23，则边AC 的长是( )A ．13B ．3C ．43D ． 53．如图，已知点P 的坐标是（a ，b ），则sinα等于（ ）A ．a bB ．ba CD 4．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D 。
已知AC= 5 ，BC=2，那么sin ∠ACD ＝（ ）AB ．23CD5．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且AB ＝5，BC ＝3．则sin ∠BAC= ；sin ∠ADC= ．第1题 第3题 第4题 第5题 6．在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，B A ∠∠,所对的边分别为b a ,，若23sin sin =B A ，则bba +的值（ ） .A135 B132 C213D25 7．如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，以E 为圆心、EC 为 半径的半圆与以A 为圆心，AB 为半径的圆弧外切，则sin EAB ∠的 值为（ ）A ．43B ．34 C ．45D ．358．已知：在⊿ABC 中，∠C=90°，sinA=31，AC=,24求 AB 和sinB 二、余弦、正切 1．在中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C的对边，则有（ ）A ．．．．2．在中，∠C ＝90°，如果cos A=45 那么的值为（ ） A ．35B ．54C ．34D ．433．在正方形网格中，ABC △的位置如图2所示，则cos B ∠的值为（ ）B αA ．12B．2C．2D．34．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC △如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan CBE ∠的值是（ ） A ．247BC ．724D ．135．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=6，AD=2， 求CD 的长及sinA 、tgB 的值.6．已知：如图，在ABC ∆中，AC AB =，AC BD ⊥于D ，AD DC BC 2,4==求A cos 和AB .三、特殊角的函数值1．下列各式中不正确的是（ ） A ．sin 260°+cos 260°=1 B ．sin30°+cos30°=1 C ．sin35°=cos55° D ．tan45°>sin45°2．已知∠A 为锐角，且cosA≤12，那么（ ）A ．0°<∠A≤60°B ．60°≤∠A<90°C ．0°<∠A≤30°D ．30°≤∠A<90°3．在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA=12 ，cosB= 32，则△ABC 的形状是（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定 4．如图Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，BC=3，AC=4， 设∠BCD=a ，则tana •的值为（ ）．A ．34 B ．43 C ．35 D ．455．当锐角a>60°时，cosa 的值（ ）A ．小于12B ．大于12C ．大于 32D ．大于16．在△ABC 中，三边之比为a：b ：c=12，则sinA+tanA 等于（ ）A ．1.2B C D7．已知梯形ABCD 中，腰BC 长为2，梯形对角线BD 垂直平分AC ，则∠CAB 等于（ ） A ．30° B ．60° C ．45°D ．以上都不对8．若（ 3 tanA-3）2+│2cosB - 3 │=0，则△ABC （ ）68CEABD（第4题）DCBAA ．是直角三角形B ．是等边三角形C ．是含有60°的任意三角形D ．是顶角为钝角的等腰三角形 9．因为1sin 302=，1sin 2102=-，所以sin 210sin(18030)sin30=+=-；因为2sin 45=，sin 2252=-，所以sin 225sin(18045)sin 45=+=-，由此猜想，推理知：一般地当α为锐角时有sin(180)sin αα+=-，由此可知：sin 240=（ ）A ．12-B ．2-C ．2-D ．10．sin30°+cos60°+tan45° = 11．2 sin30°·cos30°= 12．(sin45°+ cos45°)2 =13.45cos 130cos 22- = 14． (1+ sin45°)(1-cos45°) = 15．60sin 3345cos 22-= 16．在△ABC 中，∠C=90°，a + b = 2，∠A = 60°，求a ，b ，c ． 四、用计算器求函数相关值1. 用计算器求下列锐角三角函数值.=10sin =33cos ='2442tan="23'157sin ， ="28'4560tan .2. 已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角.（1）=A sin 0.7083， =∠A . =B sin 0.9371， =∠B . （2）=A cos 0.2996， =∠A . =B cos 0.829， =∠B . （3）=A tan 2.22， =∠A . =B tan 31.80 ， =∠B . 3．如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度为12m ，五、灵活运用用三个函数值解决问题1．在⊿ABC 中，若∠B+∠C=2∠A,则tanA 的值为（ ）A.21 B.23 C.33 D.3 2．在Rt ⊿ABC 中,∠C=90°,CD 是斜边AB 上的高,若BC=5, DC=3,则A sin 的值是（ ）跨度柱26 C （第3题）A ．43B ．34C ．53D ．54 3. 在△ABC 中，若∠C= 90°，AC =1，BC=2，则下列结论中正确的是( )A. sin B =B. 2cos 5B =C. tan 2B =D. 21tan =A4. 如图1，矩形ABCD 中，若AD = 1，AB = 3，则该矩形的两条对角线所夹的锐角是( )A. 30°B.45°C.60°D. 75°5．如图2，CD 是 Rt △ABC 斜边AB 上的高，将△BCD 沿CD 折叠，B 点恰好落在AB 的中点E 处， 则∠A 等于( ) A. 25° B. 30° C. 45° D. 60° 6．在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，AC =4，求BD 的长. 7．已知：在⊿ABC 中, ∠A=120°, AB=5, AC=3, 求tanC 的值. 8．已知如图在Rt ⊿ABC 中, ∠C=90°, ∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，,38,12cm BD cm BC == 求⊿ABD 的面积9．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为a ，求其底边上的高. 10．如图，已知在⊿ABC 中，∠B=60°，∠C=30°，BC=),33(10+求AB 、AC 的长.第8题第10题六、解直角三角形（一）1．Rt ⊿ABC 中，∠C=90°，若AC=22, AB=4, 则∠A= ，BC= . 2．Rt ⊿ABC 中，∠C=90°，若∠A= 45°, AB=5, 则BC= , AC= . 3． Rt ⊿ABC 中，∠C=90°,若∠A=60°, AC =2, 则AB= , BC= . 4．已知Rt ⊿ABC 中，∠C=90°，S ⊿ABC =5, AB=29.求B A tan tan +的值. 5．在四边形ABCD 中，∠B=∠D=90°，AB=BC ，AD=7，tanA=2，求CD 的长； 6．在菱形ABCD 中，AE BC ⊥于E ，1EC =，5sin 13B =，求四边形AECD 的周长.七、解直角三角形（二） 1．已知如图,从山顶A 点测得一建筑物B 的俯角为30°，若山的高度AC 为1500米，山坡的倾斜角∠ADC=60°， 求建筑物到山脚D 的距离BD.2．如图，河旁有一座小山，从山顶A 处测得河对岸点C 的俯角为30，测得岸边点D 的俯角为45，又知 河宽CD 为50米。
专题28.17 锐角三角函数(中考常考考点专题)(基础篇)(专项练习)-2022-2023学年九年级
专题28.17 锐角三角函数（中考常考考点专题）（基础篇）（专项练习）一、单选题【类型一】锐角三角函数【考点一】（正弦✮✮余弦✮✮正切）概念➽➸辨析1．（2022·吉林长春·中考真题）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A ，变幅索的底端记为点B ，AD 垂直地面，垂足为点D ，BC AD ⊥，垂足为点C ．设ABC α∠=，下列关系式正确的是（ ）A ．sin AB BC α= B ．sin BC AB α= C ．sin AB AC α=D ．sin AC AB α= 2．（2022·湖北湖北·模拟预测）如图，在Rt ABC △中，BD 是斜边AC 上的高，AB BC ≠，则下列比值中等于sin A 的是（ ）．A ．AD AB B ．BD ADC ．BD BC D ．DC BC【考点二】角➽➸（正弦✮✮余弦✮✮正切）函数值3．（2022·浙江宁波·三模）如图，将ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C 均在格点上，则tan A 的值是（ ）A B C ．2 D ．124．（2022·福建省厦门第二中学模拟预测）如图，在Rt ABC 中，90,2C BC AC ∠=︒=，则sin B =（ ）A ．12 B ．2 C D 【考点三】（正弦✮✮余弦✮✮正切）函数值➽➸求边长5．（2020·四川雅安·中考真题）如图，在Rt ACB 中，900.5C sinB ∠=︒=，，若6AC =，则BC 的长为（ ）A ．8B ．12C ．D ．6．（2022·吉林·长春市赫行实验学校一模）如图要测量小河两岸相对的两点P 、A 的距离，可以在小河边取PA 的垂线PB 上的一点C ，测得50PC =米，44PCA ∠=︒，则小河宽PA 为（ ）米A ．50sin44︒B ．50cos44︒C ．50tan 44︒D ．50tan46︒【类型二】特殊锐角三角函数【考点一】特殊锐角➽➸函数值7．（2016·江苏无锡·中考真题）sin30°的值为（ ）A ．12 B C ．2 D 8．（2021·广东深圳·中考真题）计算|1tan 60|-︒的值为（ ）A ．1B ．0C 1D ．1【考点二】函数值➽➸特殊锐角9．（2022·河南焦作·()101α+︒=，则锐角α的度数为（ ）A ．40°B ．30°C ．20°D ．10°10．（2021·江苏无锡·一模）已知cos A A =∠是锐角，则A ∠的度数为（ ） A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．90︒【考点三】混合运算➽➸特殊锐角✮✮二次根式11．（2021·山东泰安·模拟预测）计算：202122sin 60|1(1)2-︒----的结果是（ ）A ．74B ．4C ．14D ．1412．（2021·山东省日照市实验中学二模）计算（tan30°）﹣1﹣2|）0的结果是（ ）A ．6B ．12C ．2D ．2＋【考点四】特殊锐角值➽➸判断三角形形状13．（2021·贵州黔西·模拟预测）在ABC 中，若A ∠，B ∠都是锐角，且1sin 2A =，1cos 2B =，则ABC 的形状是（ ） A ．钝角三角形 B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．直角三角形14．（2020·山东德州·二模）如果△ABC 中，sin A =cos B 2，则下列最确切的结论是（ ） A ．△ABC 是直角三角形B ．△ABC 是等腰三角形 C ．△ABC 是等腰直角三角形D ．△ABC 是锐角三角形【类型三】解直角三角形【考点一】解直角三角形➽➸直接解直角三角形15．（2022·陕西·中考真题）如图，AD 是ABC 的高，若26BD CD ==，tan 2C ∠=，则边AB 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．16．（2022·四川广元·中考真题）如图，在△ABC 中，BC ＝6，AC ＝8，△C ＝90°，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，与AB 交于点D ，再分别以A 、D 为圆心，大于12AD 的长为半径画弧，两弧交于点M 、N ，作直线MN ，分别交AC 、AB 于点E 、F ，则AE 的长度为（ ）A ．52B ．3C ．D ．103【考点二】解非直角三角形➽➸转化为直角三角形并解之17．（2019·河北石家庄·二模）在东西方向的海岸线上有A ，B 两个港口，甲货船从A 港沿东北方向以5海里/时的速度出发，同时乙货船从B 港口沿北偏西60︒方向出发，2h 后相遇在点P 处，如图所示．问A 港与B 港相距（ ）海里．A．B ． C ．10+D ．2018．（2019·重庆·一模）缙云山是国家级自然风景名胜区，上周周末，小明和妈妈到缙云山游玩，登上了香炉峰观景塔，从观景塔底中心D 处水平向前走14米到A 点处，再沿着坡度为0.75的斜坡AB 走一段距离到达B 点，此时回望观景塔，更显气势宏伟，在B 点观察到观景塔顶端的仰角为45︒再往前沿水平方向走27米到C 处，观察到观景塔顶端的仰角是22︒，则观景塔的高度DE 为（ ）（tan22°≈0.4）A ．21米B ．24米C ．36米D ．45米【考点三】解不规则图形➽➸构造直角三角形并解之19．（2019·重庆九龙坡·模拟预测）如图是重庆轻轨10号线龙头寺公园站入口扶梯建设示意图．起初工程师计划修建一段坡度为3:2的扶梯AB ，扶梯总长为度大陡，扶梯太长容易引发安全事故．工程师修改方案：修建AC 、DE 两段扶梯，并减缓各扶梯的坡度，其中扶梯AC 和平台CD 形成的ACD ∠为135°，从E 点看D 点的仰角为36.5°，AC 段扶梯长则DE 段扶梯长度约为（ ）米（参考数据：3sin 36.55︒≈，4cos36.55︒≈，3tan 36.54︒≈）A ．43B ．45C ．47D ．4920．（2018·河北·模拟预测）如图（1）是一个六角星的纸板，其中六个锐角都为60°，六个钝角都为120°，每条边都相等，现将该纸板按图（2）切割，并无缝隙无重叠地拼成矩形ABCD ．若六角星纸板的面积为2，则矩形ABCD 的周长为（ ）A ．18cmB ．C ．（）cmD ．（）cm【类型四】解直角三角形的应用【考点一】解直角三角形➽➸仰角✮✮俯角21．（2022·广西贵港·中考真题）如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD 的高度，在点A 处测得树顶C 的仰角为45︒，在点B 处测得树顶C 的仰角为60︒，且A ，B ，D 三点在同一直线上，若16m AB =，则这棵树CD 的高度是（ ）A ．8(3B ．8(3+C ．6(3D ．6(3+22．（2021·山东济南·中考真题）无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135m 的A 处测得试验田右侧出界N 处俯角为43︒，无人机垂直下降40m 至B 处，又测得试验田左侧边界M 处俯角为35︒，则M ，N 之间的距离为（参考数据：tan 430.9︒≈，sin 430.7︒≈，cos350.8︒≈，tan350.7︒≈，结果保留整数）（ ）A ．188mB ．269mC ．286mD ．312m【考点二】解直角三角形➽➸方位角23．（2022·河北·模拟预测）从观测点A 测得海岛B 在其北偏东60°方向上，测得海岛C 在其北偏东80°方向上，若一艘小船从海岛B 出发沿南偏西40°方向以每小时40海里的速度，行驶2小时到C 海岛，则C 海岛到观测点A 的距离是（ ）A．20海里B．40海里C．60海里D．80海里24．（2022·山东·济南市市中区泉秀学校一模）如图，一艘测量船在A处测得灯塔S在它的南偏东60°方向，测量船继续向正东航行30海里后到达B处，这时测得灯塔S在它的南偏西75°方向，则灯塔S离观测点A的距离是（）B．（15）海里A．C．（）海里D．【考点三】解直角三角形➽➸坡度坡比25．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，某地修建一座高5mBC=的天桥，已知天桥斜面AB的坡度为AB的长度为（）A．10m B．C．5m D．26．（2021·湖南衡阳·中考真题）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB 的倾斜角为37︒，大厅两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为︒≈︒≈︒≈）（）．（sin370.6,cos370.8,tan370.75A ．7.5米B ．8米C ．9米D ．10米【考点四】解直角三角形➽➸其他问题27．（2022·广西·中考真题）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB 的长为12米，AB 与AC 的夹角为α，则高BC 是（ ）A ．12sin α米B ．12cos α米C ．12sin α米D ．12cos α米 28．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB ，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC 长为m ，则大树AB 的高为（ ）A ．()cos sin m αα-B ．()sin cos m αα-C ．()cos tan m αα-D ．sin cos m m αα- 二、填空题 【类型一】锐角三角函数【考点一】（正弦✮✮余弦✮✮正切）概念➽➸辨析29．（2022·上海市青浦区教育局二模）小明要测量公园里一棵古树的高，被一条小溪挡住去路，采用计算方法，在A 点测得古树顶的仰角为α，向前走了100米到B 点，测得古树顶的仰角为β，则古树的高度为________米．30．（2021·福建厦门·一模）在Rt△ABC中，△C＝90°，AC＝AB＝10，则△B＝_____．【考点二】角➽➸（正弦✮✮余弦✮✮正切）函数值31．（2021·四川乐山·三模）如图，在3×3的正方形网格中，A、B均为格点，以点A为圆心，AB长为半径画弧，图中的点C是该弧与网格线的交点．则sin△BAC的值等于_____．32．（2022·湖南益阳·中考真题）如图，在Rt△ABC中，△C＝90°，若sin A＝45，则cos B＝_____．【考点三】（正弦✮✮余弦✮✮正切）函数值➽➸求边长33．（2022·广东深圳·二模）如图，直角ABC中，90C∠=︒，根据作图痕迹，若3cmCA=，3tan4B=，则DE=________cm．34．（2021·湖南邵阳·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，DE AC ⊥，垂足为点E ．若4sin 5ADE ∠=，4=AD ，则AB 的长为______．【类型二】特殊锐角三角函数【考点一】特殊锐角➽➸函数值35．（2021·西藏·中考真题）计算：（π﹣3）0＋（﹣12）﹣2﹣4sin30°＝___． 36．（2020·湖南湘潭·中考真题）计算：sin 45︒=________． 【考点二】函数值➽➸特殊锐角37．（2022·陕西·西安辅轮中学三模）若sin(α+15°)=1，则△α等于_____________度． 38．（2020·湖北·武汉二中广雅中学三模）若sin A ＝12，则tan A ＝_____． 【考点三】混合运算➽➸特殊锐角✮✮二次根式39．（2022·重庆·模拟预测）计算：sin45°+212-⎛⎫- ⎪⎝⎭＝_____．40．（2022·湖北荆门·一模）计算：)02112sin 45()2-+-︒--=________． 【考点四】特殊锐角值➽➸判断三角形形状41．（2020·江苏淮安·三模）在ABC ∆中,若21 02sinA tanB -+⎛ ⎝⎭= ，则ABC ∆是_____三角形．42．（2019·四川自贡·一模）在△ABC 中，（cos A ﹣12）2+|tan B ﹣1|＝0，则△C ＝_____． 【类型三】解直角三角形【考点一】解直角三角形➽➸直接解直角三角形43．（2019·辽宁大连·中考真题）如图，ABC ∆是等边三角形，延长BC 到点D ，使CD AC =，连接AD．若2AB=，则AD的长为_____．44．（2015·广西玉林·中考真题）如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，△ACB=90°，点△BOC绕C点顺时针方向旋转到△AQC的位置，则O分斜边AB为BO：OA=1△AQC=___________．【考点二】解非直角三角形➽➸转化为直角三角形并解之45．（2021·湖北武汉·模拟预测）如图是某商场自动扶梯的示意图，自动扶梯AB的倾斜角是30°，在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角是60°，则自动扶梯的垂直高度BD=___________m． 1.732，结果精确到0.1米）46．（2020·安徽阜阳·二模）如图，在一条东西方向笔直的沿湖道路l上有A、B两个游船码头，观光岛屿C在码头A的北偏东60°方向、在码头B的北偏西45°方向，AC＝4千米．那么码头A、B之间的距离等于_____千米．（结果保留根号）【考点三】解不规则图形➽➸构造直角三角形并解之47．（2021·湖北湖北·中考真题）如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为3m/s，从A处沿水平方向飞行至B处需10s，同时在地面C处分别测得A处的仰角为75︒，B处的仰角为30︒．则这架无人机的飞行高度大约是_______m 1.732≈，结果保留整数）48．（2019·辽宁辽阳·中考真题）某数学小组三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在一段笔直的公路旁且距公路100米的点A处，如图所示，直线l表示公路，一辆小汽车由公路上的B处向C处匀速行驶，用时5秒，经测量，点B在点A北偏东45°方向上，点C在点A北偏东60°方向上，这段公路最高限速60千米/小时，此车_____（填“超速”或“没有超速”） 1.732）【类型四】解直角三角形的应用【考点一】解直角三角形➽➸仰角✮✮俯角49．（2021·山东烟台·中考真题）数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为40米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为30°，则旗杆的高度约为______________米．（结果精确到1米， 1.41≈ 1.73）50．（2021·四川乐山·中考真题）如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点C 处测得石碑顶A 点的仰角为30︒，她朝石碑前行5米到达点D 处，又测得石顶A 点的仰角为60︒，那么石碑的高度AB 的长=________米．（结果保留根号）【考点二】解直角三角形➽➸方位角51．（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）一艘轮船位于灯塔P 的南偏东60︒方向，距离灯塔30海里的A 处，它沿北偏东30︒方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的北偏东67︒方向上的B 处，此时与灯塔P 的距离约为________海里．（参考数据：3sin 375︒≈，4cos375≈︒，3tan 374︒≈）52．（2022·辽宁沈阳·二模）如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A 附近沿正东方向航行，船在B 点时测得钓鱼岛A 在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C 点，此时钓鱼岛A 在船的北偏东30°方向．请问船继续航行______海里与钓鱼岛A 的距离最近．【考点三】解直角三角形➽➸坡度坡比53．（2022·广西柳州·中考真题）如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α，sin α＝35，堤坝高BC ＝30m ，则迎水坡面AB 的长度为 ____m ．54．（2021·江苏无锡·中考真题）一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，则前进100米所上升的高度为________米．【考点四】解直角三角形➽➸其他问题55．（2022·山东泰安·中考真题）如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角30DPC ∠=︒，已知窗户的高度2m AF =，窗台的高度1m CF =，窗外水平遮阳篷的宽0.8m AD =，则CP 的长度为______（结果精确到0.1m ）．56．（2021·广西梧州·中考真题）某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图（如图），点A 到桥的距离是40米，测得△A ＝83°，则大桥BC 的长度是 ___米．（结果精确到1米）（参考数据：sin83°≈0.99，cos83°≈0.12，tan83°≈8.14）参考答案1．D【分析】根据正弦三角函数的定义判断即可．解：△BC△AC，△△ABC 是直角三角形， △△ABC =α， △sin ACABα=， 故选：D ．【点拨】本题考查了正弦三角函数的定义．在直角三角形中任意锐角△A 的对边与斜边之比叫做△A 的正弦，记作sin△A ．掌握正弦三角函数的定义是解答本题的关键．2．D【分析】由同角的余角相等求得△A =△DBC ，根据正弦三角函数的定义判断即可； 解：△△ABD +△A =90°，△ABD +△DBC =90°， △△A =△DBC ， A ．ADAB=cos A ，不符合题意； B ．BDAD=tan A ，不符合题意； C ．BDBC=cos△DBC =cos A ，不符合题意； D ．DCBC=sin△DBC =sin A ，符合题意； 故选： D ．【点拨】本题考查了三角函数的概念，掌握直角三角形中锐角的正弦为对边比斜边是解题关键．3．D【分析】首先构造以△A 为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解． 解：连接BD ，如图所示：根据网格特点可知，BD AC ⊥， △90ADB ∠=︒，△BD AD =△在Rt△ABD 中，tan A ＝BD AD 12=，故D 正确． 故选：D ．【点拨】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键．4．C【分析】根据勾股定理，可得AB 与BC 的关系，根据正弦函数的定义，可得答案． 解：△△C =90°，2BC AC =，△AB ，sinAC B AB ==C 正确． 故选：C ．【点拨】本题考查了锐角三角函数的定义，先利用勾股定理得出AB 与AC 的关系，再利用正弦函数的定义．5．C【分析】利用正弦的定义得出AB 的长，再用勾股定理求出BC. 解：△sinB=ACAB=0.5， △AB=2AC ， △AC=6， △AB=12，故选C.【点拨】本题考查了正弦的定义，以及勾股定理，解题的关键是先求出AB 的长. 6．C【分析】在直角三角形APC 中根据△PCA 的正切函数可求小河宽P A 的长度． 解：△P A △PB ， △△APC =90°，△PC =50米，△PCA =44°，△tan44°=PA PC，△小河宽P A=PCtan△PCA=50•tan44°米．故选：C．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：△将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．△根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．7．A【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可．解：sin30°=12故答案为：A．【点拨】本题考查了锐角三角函数的问题，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．8．C【分析】直接利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．解：|1tan60||11-︒==故选C．【点拨】此题主要考查了特殊角的三角函数值，绝对值的性质等知识，正确化简各数是解题关键．9．C【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可．解：（α+10°）=1，△tan（α+10°）△α为锐角，△α+10°=30°，α=20°．故选C．【点拨】熟记特殊角的三角函数值是解答此题的关键．10．A【分析】根据特殊角的三角函数值以及三角函数的定义，即可得到答案．解：△cos A A =∠是锐角， △A ∠=30°， 故选A ．【点拨】本题主要考查锐角三角函数，掌握特殊角三角函数值是解题的关键． 11．A【分析】原式利用特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，乘方的意义，以及负整数指数幂法则计算即可得到结果．解：原式121)(1)4=--- 1114=+-74=． 故选：A ．【点拨】本题考查实数的运算，掌握运算顺序是解决为题的关键，先乘方、再乘除、最后加减，注意牢记特殊角的三角函数值．12．D【分析】原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及立方根定义计算即可求出值．解：原式＝1-⎝⎭﹣（2+3+1＝． 故选：D ．【点拨】本题考查实数的运算，掌握正确的运算顺序是解决问题的关键. 13．D【分析】根据特殊角的三角函数值可判断30A ∠=︒，=60B ∠︒，从而可求出90C ∠=︒，即证明ABC 的形状是直角三角形．解：△A ∠，B ∠都是锐角，且1sin 2A =，1cos 2B =， △30A ∠=︒，=60B ∠︒，△180180306090C A B ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，△ABC 的形状是直角三角形． 故选D ．【点拨】本题考查由特殊角的三角函数值判断三角形形状，三角形内角和定理．熟记特殊角的三角函数值是解题关键．14．C解：△sin A =cos B ， △△A =△B =45°，△△ABC 是等腰直角三角形． 故选：C ． 15．D【分析】先解直角ABC 求出AD ，再在直角ABD △中应用勾股定理即可求出AB ． 解：△26BD CD ==， △3CD =，△直角ADC 中，tan 2C ∠=， △tan 326AD CD C =⋅∠=⨯=，△直角ABD △中，由勾股定理可得，AB = 故选D ．【点拨】本题考查利用锐角函数解直角三角形和勾股定理，难度较小，熟练掌握三角函数的意义是解题的关键．16．A【分析】由题意易得MN 垂直平分AD ，AB =10，则有AD =4，AF =2，然后可得4cos 5AC A AB ∠==， 进而问题可求解．解：由题意得：MN 垂直平分AD ，6BD BC ==， △1,902AF AD AFE =∠=︒， △BC ＝6，AC ＝8，△C ＝90°，△10AB =，△AD =4，AF =2，4cos 5AC AF A AB AE ∠===， △5cos 2AF AE A ==∠； 故选A ．【点拨】本题主要考查勾股定理、垂直平分线的性质及三角函数，熟练掌握勾股定理、垂直平分线的性质及三角函数是解题的关键．17．B【分析】先作PC AB ⊥于点C ，根据甲货船从A 港沿东北的方向以5海里/小时的速度出发，求出PAC ∠和AP ，从而得出PC 的值，得出BC 的值，即可求出答案．解：作PC AB ⊥于点C ，甲货船从A 港沿东北的方向以5海里/小时的速度出发，45PAC ∴∠=︒，5210AP =⨯=，PC AC ∴==乙货船从B 港沿西北方向出发，60PBC ∴∠=︒，BC ∴=AB AC BC ∴=+=，答：A 港与B 港相距海里，故选：B ．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并利用解直角三角形的知识求解．本题要注意关键词：在东西方向的海岸线上有A ，B 两个港口.18．A【分析】作BN DA ⊥交DA 的延长线于N ，延长CB 交DE 于M ，则四边形DMBN 是矩形,根据AB 的坡度，设3,4,BN k AN k ==表示出144,3,MB DN k DM BN k ==+==414,CM k =+在Rt EBM 中，144,EM BM k ==+ 在Rt ECM 中， 根据tan 0.4,EM C CM == 列出式子，求出k 的值，即可求解.解：如图，作BN DA ⊥交DA 的延长线于N ，延长CB 交DE 于M ，则四边形DMBN 是矩形,:3:4,BN AN =可以假设3,4,BN k AN k ==则，144,3,MB DN k DM BN k ==+== 414,CM k =+在Rt EBM 中， 90,45,EMB EBM ∠=∠=144,EM BM k ∴==+在Rt ECM 中， tan 0.4,EM C CM== 1440.4,414k k +∴=+ 解得：1,k =3,18,DM EM ∴==21.DE DM EM =+=答：观景塔的高度DE 为21米.故选A.【点拨】考查解直角三角形，坡度问题，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键.19．B【分析】首先构建直角三角形，然后利用三角函数值得出DG ，即可得解.解：作AH△EB 于H ，延长DC 交AH 于N ，作DG△EB 于G ，如图所示：△△ACD=135°△△ACN=45°在Rt△ACN 中，AC=△ACN=45°△AN=CN=18在Rt△ABH 中，AB=AH ：BH=3:2，设3,2AH k BH k ==△()()(22232k k +=解得15k =或15k =-（不符合题意，舍去）△AH=45△HN=AH -AN=45-18=27△四边形DGHN 是矩形△DG=HN=27在Rt△DEG 中，sin sin 36.5DG DEB DE ︒==∠ △274535DE ≈≈故选：B.【点拨】此题主要考查锐角三角函数的实际应用，熟练掌握，即可解题.20．D【分析】过点E 作EF△AB 于点F ，设AE=x cm ，则AD=3x ,则=AB ,然后利用AB•AD=x 的值，即可得到AD,AB 的长度，则周长可求．解：如图，过点E 作EF△AB 于点F ，△六个锐角都为60°，六个钝角都为120°，△设AE=x cm ，则AD=3x ，△△AEB=120°，△△EAB=30°，△AB=2AF=2cos30x︒，△六角星纸板的面积为2，△AB•AD=3393x x=解得x△AD=AB=3，△矩形ABCD的周长=3)26)⨯=cm．故选:D．【点拨】本题主要考查解直角三角形和一元二次方程的应用，掌握特殊角的三角函数值，利用方程的思想是解题的关键．21．A【分析】设CD=x，在Rt△ADC中，△A=45°，可得CD=AD=x，BD=16-x，在Rt△BCD 中，用△B的正切函数值即可求解．解：设CD=x，在Rt△ADC中，△A=45°，△CD=AD=x，△BD=16-x，在Rt△BCD中，△B=60°，△tanCDBBD =，即：16xx= -解得8(3x=，故选A．【点拨】本题考查三角函数，根据直角三角形的边的关系，建立三角函数模型是解题的关键．22．C【分析】根据题意易得OA△MN，△N=43°，△M=35°，OA=135m，AB=40m，然后根据三角函数可进行求解．解：由题意得：OA△MN，△N=43°，△M=35°，OA=135m，AB=40m，△95mOB OA AB=-=，△135==150mtan0.9OAONN=∠，95=136mtan0.7OBOMM=≈∠，△286mMN OM ON=+=；故选C．【点拨】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键．23．D【分析】利用平行线性质得出：△ABD=△EAB=60°，进而得出△ABC=△BAC=20°，得出BC=AC，进而得出答案．解：由题意可得出：△EAC=80°，△EAB=60°，△DBC=40°，BC=40×2=80（海里），△△BAC=80°-60°=20°，△BCA=60°，△AE△BD，△△ABD=△EAB=60°，△△DBC=40°，△△ABC=60°-40°=20°，△△ABC=△BAC=20°，△BC=AC=80（海里）．△C海岛到观测点A的距离是80海里．故选D.【点拨】本题主要考查了解直角三角形的应用，利用方向角得出BC=AC是解题的关键．24．B【分析】题中利用特殊角度，做辅助线过S作SC△AB于C，在AB上截取CD＝AC，设CS＝x+2x＝AB，可得：x，可知AS＝（15）海里．解：过S作SC△AB于C，在AB上截取CD＝AC，△AS ＝DS ，△△CDS ＝△CAS ＝30°，△△ABS ＝15°，△△DSB ＝15°，△SD ＝BD ，设CS ＝x 海里，在Rt △ASC 中，△CAS ＝30°，△AC（海里），AS ＝DS ＝BD ＝2x （海里），△AB ＝30海里，+2x ＝30，解得：x △AS ＝（15）海里．故选：B ．【点拨】本题主要考查方位角问题，熟练运用特殊角三角函数是解题的关键．25．A【分析】直接利用坡度的定义得出AC 的长，再利用勾股定理得出AB 的长．解：△i =5BC m =， △5BC AC AC ==解得：AC =，则10AB m =．故选：A ．【点拨】本题考查解直角三角形和勾股定理的实际应用．由坡度的定义得出AC 的长是解答本题的关键． 26．D【分析】结合题意，根据三角函数的性质计算，即可得到答案．解：根据题意，得：sin 370.6BC AB ︒=≈ △6BC =米 △6100.60.6BC AB ===米 故选：D ．【点拨】本题考查了三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数的性质，从而完成求解．27．A【分析】在Rt △ACB 中，利用正弦定义，sin α=BC AB ，代入AB 值即可求解． 解：在Rt △ACB 中，△ACB =90°，△sin α=BC AB， △BC = sin α⋅AB =12 sin α（米），故选：A ．【点拨】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键．28．A【分析】应充分利用所给的α和45°在树的位置构造直角三角形，进而利用三角函数求解．解：如图，过点C 作水平线与AB 的延长线交于点D ，则AD △CD ，△△BCD =α，△ACD =45°．在Rt △CDB 中，CD =m cos α，BD =m sin α，在Rt △CDA 中，AD =CD ×tan45°=m ×cos α×tan45°=m cos α，△AB =AD -BD=（m cos α-m sin α）=m （cosα-sin α）．故选：A ．【点拨】本题考查锐角三角函数的应用．需注意构造直角三角形是常用的辅助线方法，另外，利用三角函数时要注意各边相对．29．100tan tan tan tan αββα- 【分析】由正切的定义分别确定tan ,tan αβ的表达式，进而联立成方程组，求解方程组即可得到答案．解：如图，CD 为树高，点C 为树顶，则,CAD CBD αβ∠=∠=，BD =AD -100△依题意，有tan tan 100CD AD CD AD αβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪-⎩①② 由△得tan CDAD α=③将△代入△，解得100tan tan =tan tan CD αββα- 故答案为：100tan tan tan tan αββα-． 【点拨】本题考查正切的定义，二元一次方程组得应用，能依题意根据正切的定义列出方程组是解题的关键．30．60°【分析】利用正弦定义计算即可．解：如图，△sinB ＝AC AB == △△B ＝60°，故答案为：60°．【点拨】此题主要考查了解直角三角形，关键是掌握正弦定义．31．23【分析】利用CD ∥AB ，得到△BAC =△DCA ，根据同圆的半径相等，AC =AB =3，可得sin△ACD =AD AC =23，从而可得答案． 解：如图：△CD ∥AB ，△△BAC ＝△DCA ．△同圆的半径相等，△AC ＝AB ＝3．在Rt ACD △中，sin△ACD ＝23AD AC ． △sin△BAC ＝sin△ACD ＝23．故答案为：23．【点拨】此题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是利用图形的性质进行角的等量代换．32．45【分析】根据三角函数的定义即可得到cos B ＝sin A ＝45． 解：在Rt△ABC 中，△C ＝90°，△sin A ＝BC AB ＝45， △cos B ＝BC AB ＝45． 故答案为：45． 【点拨】本题考查了三角函数的定义，由定义可推出互余两角的三角函数的关系：若△A +△B ＝90°，则sin A ＝cos B ，cos A ＝sin B ．熟知相关定义是解题关键．33．158【分析】先解直角三角形ABC 求出BC 的长，从而求出AB 的长，再由作图方法可知DE 是线段AB 的垂直平分线，即可得到BE 的长，再解直角△BED 即可得到答案．解：△△C =90°，AC =3cm ，3tan =4B ， △3tan ==4AC B BC ， △BC =4cm ，△AB ，由作图方法可知DE 是线段AB 的垂直平分线，△DE △AB ，522AB AE BE cm ===， △3tan =4DE B BE =， △31548DE BE cm ==， 故答案为：158． 【点拨】本题主要考查了锐角三角函数，勾股定理，线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，正确理解DE 是线段AB 的垂直平分线是解题的关键．34．3【分析】在Rt ADE △中，由正弦定义解得165AE =，再由勾股定理解得DE 的长，根据同角的余角相等，得到sin sin ADE ECD ∠=∠，最后根据正弦定义解得CD 的长即可解题．解：在Rt ADE △中，4sin 5AE ADE AD ∠==165AE ∴=125DE ∴=== DE AC ⊥90ADE EDC EDC ECD ∴∠+∠=∠+∠=︒ADE ECD ∴∠=∠4sin sin 5DE ADE ECD CD ∴∠=∠== 534CD DE ∴=⋅= 在矩形ABCD 中，3AB CD ==故答案为：3．【点拨】本题考查矩形的性质、正弦、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．35．3【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．解：原式＝1＋4﹣4×12＝1＋4﹣2＝3．故答案为：3．【点拨】此题主要考查了负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．36【分析】根据特殊角的三角函数值直接书写即可．解：sin 45︒=． 【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，牢固记忆是解题的关键．【分析】直接利用特殊角的三角函数值即可求解．解：△sin （α+15°）=1，△α+15°=90°，△α=75°，故答案为：75．【点拨】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．38 【分析】先根据特殊角的三角函数值求出△A 的度数，然后求出tanA 的值．解：△sinA ＝12，△△A ＝30°，则tanA【点拨】本题考查了对特殊角的三角函数值的应用，解题的关键是检查学生能否熟练地运用进行计算．394##42+ 【分析】根据特殊角的三角函数值和负整数指数幂的运算法则进行计算即可．解：sin45°+2142-⎛⎫-= ⎪⎝⎭，+4．【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值和负整数指数幂，相关公式有：sin 452=°，()10p pa a a -=≠． 403【分析】根据绝对值的性质、零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、负指数幂的性质即可求解．解：原式124=-14=3=．3．【点拨】本题主要考查了绝对值的性质、零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、负指数幂的性质．41．等腰【分析】根据绝对值和平方的非负性求出sinA和tanB的值，再根据锐角三角函数的特殊值求出△A和△B的角度，即可得出答案.解：△210 2sinA tanB-+⎛⎝⎭=△12sinA=，tanB=△△A=30°，△B=30°△△ABC是等腰三角形故答案为等腰.【点拨】本题考查的是特殊三角函数值，比较简单，需要牢记特殊三角函数值. 42．75°．【分析】先根据非负数的性质确定cosA=12，tanB=1，再根据特殊角的三角函数解答．解：△（cos A﹣12）2+|tan B﹣1|＝0，△cos A﹣12＝0，tan B﹣1＝0，则cos A＝12，tan B＝1，△△A＝60°，△B＝45°，△△C＝180°﹣60°﹣45°＝75°．故答案为75°．【点拨】熟记特殊角的三角函数值是解题的关键，同时还考查了三角形内角和定理43．【分析】AB=AC=BC=CD，即可求出△BAD=90°，△D=30°，解直角三角形即可求得．解：△ABC∆是等边三角形，△60B BAC ACB︒∠=∠=∠=，△CD AC=，。
锐角三角变换经典练习题附带答案
锐角三角变换经典练习题附带答案锐角三角变换是三角学中的重要概念，是一种将锐角三角函数互相转换的方法。
掌握锐角三角变换可以简化计算过程，提高计算准确性。
下面是一些经典的锐角三角变换练题，附带答案供参考。
1. 计算 $\sin(90° - x)$ 的值。
- 解答：根据余角公式，$\sin(90° - x) = \cos x$。
2. 计算 $\cos(90° - x)$ 的值。
- 解答：根据余角公式，$\cos(90° - x) = \sin x$。
3. 计算 $\tan(90° - x)$ 的值。
- 解答：根据余角公式，$\tan(90° - x) = \cot x$。
4. 计算 $\cot(90° - x)$ 的值。
- 解答：根据余角公式，$\cot(90° - x) = \tan x$。
5. 计算 $\sec(90° - x)$ 的值。
- 解答：根据余角公式，$\sec(90° - x) = \csc x$。
6. 计算 $\csc(90° - x)$ 的值。
- 解答：根据余角公式，$\csc(90° - x) = \sec x$。
以上是锐角三角变换的经典练题及答案。
通过这些练，可以更好地理解锐角三角变换的概念，并熟练运用余角公式进行计算。
锐角三角变换在解决三角函数计算问题中起到了重要的作用，值得深入研究和掌握。
注意：以上答案中的角度单位均为度。
锐角三角变换经典练题附带答案锐角三角变换是三角学中的重要概念，是一种将锐角三角函数互相转换的方法。
掌握锐角三角变换可以简化计算过程，提高计算准确性。
下面是一些经典的锐角三角变换练题，附带答案供参考。
1. 计算 $\sin(90° - x)$ 的值。
- 解答：根据余角公式，$\sin(90° - x) = \cos x$。
锐角三角函数专项练习题
锐角三角函数专项练习题一. 选择题1. 在锐角三角形ABC中，已知∠A=30°，∠B=60°，则∠C 等于：a) 30°b) 60°c) 90°d) 120°2. 在锐角三角形ABC中，已知a=3，b=4，则∠C等于：a) 30°b) 45°c) 60°d) 90°3. 已知在锐角三角形ABC中，a=5，c=13，则∠C等于：a) 30°b) 45°c) 60°d) 90°4. 在锐角三角形ABC中，已知a=8，b=15，则sinC等于：a) 8/17b) 15/17c) 17/8d) 17/155. 在锐角三角形ABC中，已知a=7，b=24，则cosC等于：a) 7/24b) 24/7c) 7/25d) 24/25二. 填空题1. 在锐角三角形ABC中，已知a=4，b=5，则c=____。
2. 在锐角三角形ABC中，已知a=7，c=10，则b=____。
3. 在锐角三角形ABC中，已知b=9，c=15，则a=____。
4. 已知sinA=3/5，∠A为锐角，则cosA=____。
5. 已知cosA=4/5，∠A为锐角，则sinA=____。
三. 计算题1. 在锐角三角形ABC中，已知a=6，b=8，求c。
解：利用勾股定理，c=sqrt(a^2+b^2)c=sqrt(6^2+8^2)=sqrt(36+64)=sqrt(100)=102. 在锐角三角形ABC中，已知a=5，c=13，求∠A。
解：利用余弦定理，cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)cosA=(5^2+13^2-5^2)/(2*5*13)= (25+169-25)/(130)=169/130然后，∠A=arccos(169/130)=22.62°3. 在锐角三角形ABC中，已知b=7，c=10，求∠B。
锐角三角函数练习题
锐角三角函数练习题(总11页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--1．已知cos α＜，锐角α的取值范围是（）A ．60°＜a ＜90B ．0°＜a ＜60°C ．30°＜a ＜90°D0°＜a ＜30°2．2sin60°－cos30°·tan45°的结果为（ ）A 、 3 33.B C D ．0 3．等腰直角三角形一个锐角的余弦为（ ） A 、12 32B C D ．l4．在Rt △ABC 中，a 、b ，c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，∠C=90°，则a 3 cosA+b 3 cosB 等于（ ） A ．abc B ．（a+b ）c 3 C ．c 3 D ().abc a b c+ 5．点M(tan60°，－cos60°）关于x 轴的对称点M ′的坐标是（ ）1111.(3,); 3,); .(3,) .(3,)2222A B C D ----6．在△ABC 中，∠C ＝90 °，a 、b ，c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，且c2－4ac+4a 2= 0，则sinA+cosA 的值为（ ） 131223. 2 B C D +++7．在△ABC 中，∠A 为锐角，已知 cos(90°－A ）3sin(90°－B ）3，则△ABC 一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形8．sin35°·cos55°十cos35°·sin55°＝_______ 9. 已知0°＜a ＜4512sin cos =__αα-10.在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，斜边上的高是 3 ，则a=____, b=______，c ＝______． 11 .在平面直角坐标系中，已知A(3，0)点B(0，－4),则cos ∠OAB 等于__________12.计算|2|4sin 6012--+1||245(20041)2O O -+- ×(－12 )-3+(4)tan 60πO O -+1301()16(2)(2004)36033π-O +÷-+- )()013222sin 60-︒+-（结果保留根号．．．．．．）2(tan301)____-=1360|2|2-+-+ sin 30(1tan 60)tan 45sin 60---13 已知：如图 l －1－2，在△ABC 中，BC ＝8，∠B ＝60°，∠C ＝45°， 求BC 边上的高AD.14如图1－l －3，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，点D 在AC 上，∠BDC=60°，AD=l ，求BD 、DC 的长．15 如图1－1－4所示，四边形ABCD 中，BC=CD=BD ，∠ADB=90°，cos ∠ABD=45 ，求S ΔABD ：S ΔBCD16 如图1－l －6，在四边形ABCD 中．∠B ＝∠D ＝90°，∠A=60°，AB=4，AD=5，求 BCCD 的值。
锐角三角函数练习题及答案
锐角三角函数（一）1．把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得Rt△A′B′C′，那么锐角A，A′的余弦值的关系为（）A．cosA=cosA′ B．cosA=3cosA′ C．3cosA=cosA′ D．不能确定2．如图1，已知P是射线OB上的任意一点，PM⊥OA于M，且PM：OM=3：4，则cosα的值等于（）A．34 B．43 C．45 D ．35图 1 图 2 图3 图4图53．在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则下列各项中正确的是（）A．a=c·sinB B．a=c·cosB C．a=c·tanB D．以上均不正确4．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=23，则tanB等于（）A．35 B．53 C．255 D．525．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13，则sinA=______，cosA=______，•tanA=_______．6．如图2，在△ABC中，∠C=90°，BC：AC=1：2，则sinA=_______，cosA=______，tanB=______．7．如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，b=20，c=202，则∠B的度数为_______．8．如图4，在△CDE中，∠E=90°，DE=6，CD=10，求∠D的三个三角函数值．9．已知：α是锐角，tanα=724，则sinα=_____，cosα=_______．10．在Rt△ABC中，两边的长分别为3和4，求最小角的正弦值为10．如图5，角α的顶点在直角坐标系的原点，一边在x轴上，•另一边经过点P（2，23），求角α的三个三角函数值．12．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D，∠CBD=α，AB=3，•BC=4，•求sinα，cosα，tanα的值．解直角三角形一、填空题1． 已知cosA=23，且∠B=900-∠A ，则sinB=__________．2． 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，cot(900-A)=1.524，则tan(900-B)=_________．3． ∠A 为锐角，已知sinA=135，那么cos (900-A)=___________．4． 已知sinA=21(∠A 为锐角)，则∠A=_________，cosA_______，tanA=__________．5． 用不等号连结右面的式子：cos400_______cos200，sin370_______sin420．6． 若cot α=0.3027，cot β=0.3206，则锐角α、β的大小关系是______________． 7． 计算： 2sin450-3tan600=____________． 8． 计算： (sin300+tan450)·cos600=______________．9． 计算： tan450·sin450-4sin300·cos450+6cot600=__________．10． 计算： tan 2300+2sin600-tan450·sin900-tan600+cos 2300=____________． 二、选择题：1． 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，AC=4，BC=3，则sinA=（ ）A ． 43；B ． 34；C ．53；D ． 54．2． 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，sinA=22，则cosB 的值是( )A ．21；B ．23；C ．1；D ．223． 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，∠A=300，则sinA+sinB=( )A ．1；B ．231+；C ．221+；D ．414． 当锐角A>450时，sinA 的值( )A ．小于22； B ．大于22； C ．小于23； D ．大于235． 若∠A 是锐角，且sinA=43，则( )A ．00<∠A<300； B ．300<∠A<450；C ．450<∠A<600；D ． 600<∠A<9006． 当∠A 为锐角，且tanA 的值大于33时， ∠A( )A ．小于300； B ．大于300； C ．小于600； D ．大于6007． 如图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，CD ⊥AB 于D ，已知AC=3，AB=5，则tan ∠BCD 等于( )A ．43；B ．34；C ．53；D ．548． Rt △ABC 中，∠C 为直角，AC=5，BC=12，那么下列∠A 的四个三角函数中正确的是( )A ． sinA=135； B ．cosA=1312； C ． tanA=1213；D ． cotA=1259． 已知α为锐角，且21<cos α<22，则α的取值范围是（ ）A ．00<α<300；B ．600<α<900；C ．450<α<600；D ．300<α<450．三、解答题1、 在△ABC 中，∠C 为直角，已知AB=23，BC=3，求∠B 和AC ．2、在△ABC 中，∠C 为直角，直角边a=3cm ，b=4cm ，求sinA+sinB+sinC 的值．3、在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知b=3， c=14． 求∠A 的四个三角函数．4、在△ABC 中，∠C 为直角，不查表解下列问题： （1）已知a=5，∠B=600．求b ； （2）已知a=52，b=56，求∠A ．5、在△ABC 中，∠C 为直角， ∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知a=25，b=215，求c 、∠A 、∠B ．6、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，由下列条件解直角三角形： （1） 已知a ＝156， b ＝56，求c; （2） 已知a ＝20， c ＝220，求∠B ； （3） 已知c ＝30， ∠A ＝60°，求a ；（4） 已知b ＝15， ∠A ＝30°，求a ．7、已知：如图，在ΔABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，若∠B ＝30°，CD ＝6，求AB 的长．8、已知：如图，在山脚的C 处测得山顶A 的仰角为︒45，沿着坡度为︒30︒=∠30DCB ，400=CD 米），测得A 的仰角为︒60，求山的高度DCAB9、会堂里竖直挂一条幅AB，如图5，小刚从与B成水平的C点观察，视角∠C＝30°，当他沿CB方向前进2米到达到D时，视角∠ADB＝45°，求条幅AB的长度。
锐角三角函数(复习巩固)
奇偶性
正弦函数是奇函数（sin(-A) = sinA），余弦函数是偶函数 （cos(-A) = cosA）。
图像特征
正弦和余弦函数的图像是连续的 波浪形曲线，正切函数的图像是 间断的折线。在直角坐标系中， 可以通过五点作图法绘制出这些
函数的图像。
02
三角函数关系式及诱导公 式
同角三角函数关系式
平方关系
锐角三角函数(复习 巩固)
目录
• 锐角三角函数基本概念 • 三角函数关系式及诱导公式 • 三角恒等变换与证明 • 解三角形相关知识点回顾
目录
• 锐角三角函数在几何中应用 • 复习策略与备考建议
01
锐角三角函数基本概念
正弦、余弦、正切定义
正弦（sine）
正切（tangent）
在直角三角形中，锐角的正弦等于对 边长度除以斜边长度，即sinA = a/c。
重点难点突破
在知识体系梳理的基础上，要针对重点难点进行突破。例如，对于正弦、余弦、正切等基本概念的理 解和应用，可以通过多做练习题来加深理解；对于与三角形相关的定理和公式，可以通过分析典型例 题来掌握解题方法。
常见题型分类及解题技巧总结
常见题型分类
锐角三角函数的常见题型包括求值题、证明题、应用题等。在复习时，要对各种题型进行分类，并总结相应的解 题技巧。
05
锐角三角函数在几何中应 用
相似三角形判定定理
相似三角形定义
两个三角形如果它们的对应角相等，则称这两个三角形相似。
相似三角形判定定理
如果两个三角形的两组对应角分别相等，则这两个三角形相似。
相似比
相似三角形对应边之间的比值称为相似比。
勾股定理及其逆定理
勾股定理
在直角三角形中，直角边的平方 和等于斜边的平方。
初中数学中考复习：25锐角三角函数综合复习(含答案)
中考总复习：锐角三角函数综合复习—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. 在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝,则tan A等于( )A．B．C．D．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA=．则下列关系式中不成立的是（ ）A．tanA•cotA=1 B．sinA=tanA•cosA C．cosA=cotA•sinA D．tan2A+cot2A=1第2题第3题3．如图，在四边形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于（ ）A．B．C．D．4．如图所示，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是( )A．B．C．D．5．如图所示，已知∠α的终边OP⊥AB，直线AB的方程为y＝－x＋，则cosα等于( )A．B．C．D．第5题第6题6．如图所示，在数轴上点A所表示的数x的范围是（ ）A. B.C. D.;二、填空题7．设θ为锐角，且x2＋3x＋2sinθ＝0的两根之差为．则θ＝．8．如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为.9．已知△ABC的外接圆O的半径为3，AC=4，则sinB= .第8题第9题第11题10．当0°＜α＜90°时，求的值为．11．如图，点E（0，4），O（0，0），C（5，0）在⊙A上，BE是⊙A上的一条弦．则tan∠OBE=．12．已知：正方形ABCD的边长为2，点P是直线CD上一点，若DP=1，则tan∠BPC的值是 ．三、解答题13．如图所示，某拦河坝截面的原设计方案为AH∥BC，坡角∠ABC＝74°，坝顶到坝脚的距离AB＝6m 为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为55°，由此，点A需向右平移至点D，请你计算AD的长．(精确到0.1m)14. 为缓解“停车难”的问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图，如图所示．按规定，地下停车库坡道1:3上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图计算CE(精确到0.1 m)（sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，tan18°≈0.3249）15．如图所示，某中学九年级一班数学课外活动小组利用周末开展课外实践活动，他们要在某公园人工湖旁的小山AB上，测量湖中两个小岛C、D间的距离．从山顶A处测得湖中小岛C的俯角为60°，测得湖中小岛D的俯角为45°．已知小山AB的高为180米，求小岛C、D间的距离．(计算过程和结果均不取近似值)16. 在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA，交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图①所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．(1)在图①中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；(2)当三角尺沿AC方向平移到图②所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系；然后证明你的猜想；(3)当三角尺在②的基础上沿AC方向继续平移到图③所示的位置(点F在线段AC上，且点F与点C不重合)时，(2)中的猜想是否仍然成立?(不用说明理由)【答案与解析】一、选择题1.【答案】D；【解析】在Rt△ABC中，设AC＝3k，AB＝5k，则BC＝4k，由定义可知tan A＝．故选D.2.【答案】D；【解析】根据锐角三角函数的定义，得A、tanA•cotA==1，关系式成立；B、sinA=，tanA•cosA=，关系式成立；C、cosA=，cotA•sinA=，关系式成立；D、tan2A+cot2A=（）2+（）2≠1，关系式不成立．故选D．3.【答案】B；【解析】连接BD．∵E、F分別是AB、AD的中点．∴BD=2EF=4∵BC=5，CD=3∴△BCD是直角三角形．∴tanC=故选B．4.【答案】C；【解析】设CE＝x，则AE＝8-x．由折叠性质知AE＝BE＝8-x．在Rt△CBE中，由勾股定理得BE2＝CE2+BC2，即(8-x)2＝x2+62，解得，∴tan∠CBE．5.【答案】A；【解析】∵y＝－x＋，∴当x＝0时，y＝，当y＝0时，x＝1，∴A(1，0)，B，∴OB＝，OA＝1，∴AB＝＝，∴cos∠OBA＝.∴OP⊥AB，∴∠α＋∠OAB＝90°，又∵∠OBA＋∠OAB＝90°，∴∠α＝∠OBA．∴cosα＝cos∠OBA＝．故选A.6.【答案】D；【解析】由数轴上A点的位置可知，＜A＜2．A、由sin30°＜x＜sin60°可知，×＜x＜，即＜x＜，故本选项错误；B、由cos30°＜x＜cos45°可知，＜x＜×，即＜x＜，故本选项错误；C、由tan30°＜x＜tan45°可知，×＜x＜1，即＜x＜1，故本选项错误；D、由cot45°＜x＜cot30°可知，×1＜x＜，即＜x＜，故本选项正确．故选D．二、填空题7．【答案】30°；【解析】x1·x2＝2sinθ，x1＋x2＝－3，则(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝9－8sinθ＝()2，∴sinθ＝，∴θ＝30°．8．【答案】；【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=4，AD=BC=5，由题意得：∠EFC=∠B=90°，CF=BC=5，∴∠AFE+∠DFC=90°，∠DFC+∠FCD=90°，∴∠DCF=∠AFE，∵在Rt△DCF中，CF=5，CD=4，∴DF=3，∴tan∠AFE=tan∠DCF==．9．【答案】；【解析】连接AO并延长交圆于E，连CE．∴∠ACE=90°（直径所对的圆周角是直角）；在直角三角形ACE中，AC=4，AE=6，∴sin∠E=；又∵∠B=∠E（同弧所对的的圆周角相等），∴sinB=．10．【答案】1；【解析】由sin2α＋cos2α＝1，可得1－sin2α＝cos2α∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1－sin2α．∴.∵0°＜α＜90°，∴cosα＞0．∴原式＝＝1．11．【答案】；【解析】连接EC．根据圆周角定理∠ECO=∠OBE．在Rt△EOC中，OE=4，OC=5，则tan∠ECO=．故tan∠OBE=．12．【答案】2或；【解析】此题有两种可能：（1）当点P在线段CD上时，∵BC=2，DP=1，CP=1，∠C=90°，∴tan∠BPC==2；（2）当点P在CD延长线上时，∵DP=1，DC=2，∴PC=3，又∵BC=2，∠C=90°，∴tan∠BPC=．故答案为：2或．三、解答题13.【答案与解析】解：如图所示，过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F．在Rt△ABE中，，∴AE＝ABsin∠ABE＝6sin 74°≈5.77(cm)；，∴BE＝ABcos∠ABE＝6cos 74°≈1.65(m)．∵AH∥BC，∴DF＝AE≈5.77m．在Rt△BDF中，，∴(m)．∴AD＝EF＝BF-BE＝4.04-1.65≈2.4(m)．14.【答案与解析】解：在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，∠BAD＝18°，∴，BD＝tan∠BAD·AB＝tan 18°×9，∴CD＝tan 18°×9-0.5．在Rt△DCE中，∠DEC＝90°，∠CDE＝72°，∴，＝sin 72°×(tan 18°×9-0.5)≈2.3(m)．即该图中CE的长约为2.3m．15.【答案与解析】解：如图所示，由已知可得∠ACB＝60°，∠ADB＝45°．∴在Rt△ABD中，BD＝AB．又在Rt△ABC中，∵，∴，即．∵BD＝BC+CD，∴．∴CD＝AB-AB＝180-180×＝（180-60)米．答：小岛C、D间的距离为(180-)米．16.【答案与解析】解：(1)BF＝CG．证明：在△ABF和△ACG中，∵∠F＝∠G＝90°，∠FAB＝∠GAC，AB＝AC，∴△ABF≌△ACG(AAS)，∴BF＝CG．(2)DE+DF＝CG．证明：过点D作DH⊥CG于点H(如图所示)．∵DE⊥BA于点E，∠G＝90°，DH⊥CG，∴四边形EDHG为矩形，∴DE＝HG．DH∥BG．∴∠GBC＝∠HDC∴AB＝AC．∴∠FCD＝∠GBC＝∠HDC．又∵∠F＝∠DHC＝90°，CD＝DC，∴△FDC≌△HCD(AAS)，∴DF＝CH．∴GH+CH＝DE+DF＝CG，即DE+DF＝CG．(3)仍然成立．(注：本题还可以利用面积来进行证明，比如(2)中连结AD)。
专题21锐角三角函数及解直角三角形(基础巩固练习)解析版
2021年中考数学 专题21 锐角三角函数及解直角三角形（基础巩固练习，共40个小题）一、选择题（共15小题）：1.（2020•陕西）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，若BD 是△ABC 的高，则BD 的长为（ ）A ．1013√13B ．913√13C ．813√13D ．713√13【答案】D【解析】解：由勾股定理得：AC =√22+32=√13，∵S △ABC ＝3×3−12×1×2−12×1×3−12×2×3=3.5，∴12AC ⋅BD =72，∴√13⋅BD =7，∴BD =7√1313，故选：D ．2.（2019秋•龙岩期末）如图，AB ＝AC ，AE ＝EC ＝CD ，∠A ＝60°，若EF ＝2，则DF ＝（）A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D【解析】解：如图，过点E作EG⊥BC，交BC于点G∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∠ACB＝30°，∴∠CED＝∠CDE=12∴∠AEF＝30°，∴∠AFE＝90°，即EF⊥AB，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴EG＝EF＝2，在Rt△DEG中，DE＝2EG＝4，∴DF＝EF+DE＝2+4＝6；方法二、∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE=12∠ACB＝30°，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝30°＝∠CDE，∴BE＝DE，∠BFD＝90°，∴BE＝2EF＝4＝DE，∴DF＝DE+EF＝6；故选：D．3.（2020•柳州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，则cosB=BCAB=（）A．35B．45C．√74D．34【答案】C【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，∴BC=√42−32=√7，∴cosB=BCAB =√74．故选：C．4.（2020•杭州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（）A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB【答案】B【解析】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，∴sinB=bc，即b＝csinB，故A选项不成立，B选项成立；tanB=ba，即b＝atanB，故C选项不成立，D选项不成立．故选：B．5．（2019•无锡）已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA=23，BC＝4，则AB长为（）A．6 B．4√55C．83D．2√13【答案】A【解析】解：如图所示：∵sinA=23，BC＝4，∴sinA=BCAB =23=4AB，解得：AB＝6．故选：A．6.（2020•玉林）sin45°的值是（）A．12B．√22C．√32D．1【答案】B【解析】解：sin45°=√22．故选：B．7.（2020•鸡西）如图，在△ABC 中，sinB =13，tanC ＝2，AB ＝3，则AC 的长为（ ）A ．√2B ．√52C ．√5D ．2 【答案】B【解析】解：过A 作AD ⊥BC 于D ，则∠ADC ＝∠ADB ＝90°，∵tanC ＝2=AD DC ，sinB =13=AD AB ， ∴AD ＝2DC ，AB ＝3AD ，∵AB ＝3，∴AD ＝1，DC =12，在Rt △ADC 中，由勾股定理得：AC =√AD 2+DC 2=√12+(12)2=√52，故选：B ． 8.（2019•营口）如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，AD ∥BC ，BC =12AD ，AC 与BD交于点E ，AC ⊥BD ，则tan ∠BAC 的值是（ ）A ．14B ．√24C ．√22D ．13 【答案】C【解析】解：∵AD ∥BC ，∠DAB ＝90°，∴∠ABC ＝180°﹣∠DAB ＝90°，∠BAC+∠EAD ＝90°，∵AC⊥BD，∴∠AED＝90°，∴∠ADB+∠EAD＝90°，∴∠BAC＝∠ADB，∴△ABC∽△DAB，∴ABDA =BCAB，∵BC=12AD，∴AD＝2BC，∴AB2＝BC×AD＝BC×2BC＝2BC2，∴AB=√2BC，在Rt△ABC中，tan∠BAC=BCAB =√2BC=√22；故选：C．9.（2019•湘西州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC=57，则BC的长是（）A．10 B．8 C．4√3D．2√6【答案】D【解析】解：∵∠C＝90°，cos∠BDC=57，设CD＝5x，BD＝7x，∴BC＝2√6x，∵AB的垂直平分线EF交AC于点D，∴AD＝BD＝7x，∴AC＝12x，∵AC＝12，∴x＝1，∴BC＝2√6；故选：D．10.（2019•长沙）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BEBD的最小值是（）上的一个动点，则CD+√55A．2√5B．4√5C．5√3D．10【答案】B【解析】解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，=2，设AE＝a，BE＝2a，∵tanA=BEAE则有：100＝a2+4a2，∴a2＝20，∴a＝2√5或﹣2√5（舍弃），∴BE ＝2a ＝4√5，∵AB ＝AC ，BE ⊥AC ，CM ⊥AB ，∴CM ＝BE ＝4√5（等腰三角形两腰上的高相等），∵∠DBH ＝∠ABE ，∠BHD ＝∠BEA ，∴sin ∠DBH =DH BD =AE AB =√55， ∴DH =√55BD ， ∴CD +√55BD ＝CD+DH ， ∴CD+DH ≥CM ，∴CD +√55BD ≥4√5， ∴CD +√55BD 的最小值为4√5．方法二：作CM ⊥AB 于M ，交BE 于点D ，则点D 满足题意．通过三角形相似或三角函数证得√55BD ＝DM ，从而得到CD +√55BD ＝CM ＝4√5． 故选：B ．11.（2020•广西）如图，要测量一条河两岸相对的两点A ，B 之间的距离，我们可以在岸边取点C 和D ，使点B ，C ，D 共线且直线BD 与AB 垂直，测得∠ACB ＝56.3°，∠ADB ＝45°，CD ＝10m ，则AB 的长约为（ ）（参考数据sin56.3°≈0.8，cos56.3°≈0.6，tan56.3°≈1.5，sin45°≈0.7，cos45°≈0.7，tan45°＝1）A．15m B．30m C．35m D．40m 【答案】B【解析】解：设AB＝xm，在Rt△ABD中，∵∠ADB＝45°，∴AB＝BD＝xm，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝56.3°，且tan∠ACB=ABBC，∴BC=ABtan∠ACB =xtan56.3°≈23x，由BC+CD＝BD得23x+10＝x，解得x＝30，∴AB的长约为30m，故选：B．12.（2020•济南）如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的夹角∠PBE＝43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AF∥BE，AC⊥BE，FD⊥BE．若A点到B点的距离AB＝1.6m，则盲区中DE的长度是（）（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）A．2.6m B．2.8m C．3.4m D．4.5m【答案】B【解析】解：∵FD⊥EB，AC⊥EB，∴DF∥AC，∵AF∥EB，∴四边形ACDF是平行四边形，∵∠ACD＝90°，∴四边形ACDF是矩形，∴DF＝AC，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，∴AC＝AB•sin43°≈1.6×0.7＝1.12（m），∴DF＝AC＝1.12（m），在Rt△DEF中，∵∠FDE＝90°，，∴tan∠E=DFDE=2.8（m），故选：B．∴DE≈1.120.413.（2020•长春）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔顶中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值，进而可求∠A的大小．下列关系式正确的是（）A．sinA=BDAB B．cosA=ABADC．tanA=ADBDD．sinA=ADAB【答案】A【解析】解：在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，则sinA=BDAB ，cosA=ADAB，tanA=BDAD，因此选项A正确，选项B、C、D不正确；故选：A．14.（2020•南充）如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC＝（）A．√26B．√2626C．√2613D．√1313【答案】B【解析】解：如图，过点B作BD⊥AC于D，由勾股定理得，AB =√32+22=√13，AC =√32+32=3√2，∵S △ABC =12AC •BD =12×3√2•BD =12×1×3，∴BD =√22， ∴sin ∠BAC =BD AB =√22√13=√2626．故选：B ． 15.（2020•重庆）如图，在距某居民楼AB 楼底B 点左侧水平距离60m 的C 点处有一个山坡，山坡CD 的坡度（或坡比）i ＝1：0.75，山坡坡底C 点到坡顶D 点的距离CD ＝45m ，在坡顶D 点处测得居民楼楼顶A 点的仰角为28°，居民楼AB 与山坡CD 的剖面在同一平面内，则居民楼AB 的高度约为（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）（ ）A ．76.9mB ．82.1mC ．94.8mD ．112.6m【答案】B【解析】解：如图，过点D 作DF ⊥AB ，垂足为F ，作DE ⊥BC 交BC 的延长线于点E ， 由题意得，∠ADF ＝28°，CD ＝45m ，BC ＝60m ，在Rt △DEC 中，∵山坡CD 的坡度i ＝1：0.75，∴DE EC =10.75=43，设DE ＝4x ，则EC ＝3x ，由勾股定理可得CD ＝5x ，又CD＝45，即5x＝45，∴x＝9，∴EC＝3x＝27（m），DE＝4x＝36（m）＝FB，∴BE＝BC+EC＝60+27＝87（m）＝DF，在Rt△ADF中，AF＝tan28°×DF≈0.53×87≈46.11（m），∴AB＝AF+FB＝46.11+36≈82.1（m），故选：B．二、填空题（共10小题）：16.（2020•宿迁）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB的中点，若BC＝12，AD＝8，则DE的长为．【答案】5【解析】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD＝CD＝6，∴∠ADB＝90°，∴AB=√AD2+BD2=√82+62=10，∵AE＝EB，∴DE=1AB＝5，2故答案为5．17.（2020•绥化）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB﹣AC＝2，BC＝8，则AB的长是．【答案】17【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB﹣AC＝2，BC＝8，∴AC2+BC2＝AB2，即（AB﹣2）2+82＝AB2，解得AB＝17．故答案为：17．18.（2020•桂林）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则cosA的值是．【答案】513【解析】解：在Rt△ABC中，cosA=ACAB =513，故答案为：513．19.（2020•鄂尔多斯）计算：√27+（13）﹣2﹣3tan60°+（π−√2）0＝．【答案】10【解析】解：原式＝3√3+9﹣3√3+1＝10．故答案为：10．20.（2020•宜昌）如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）．测得的相关数据为：∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，BC＝48米，则AC＝米．【答案】48【解析】解：∵∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，∴∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵BC＝48米，∴AC＝48米．故答案为：48．21.（2020•黔南州）如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8．连接AC，AC⊥CD，若sin∠ACB=13，则AD长度是．【答案】10【解析】解：在Rt△ABC中，∵AB＝2，sin∠ACB=ABAC =13，∴AC＝2÷13=6．在Rt△ADC中，AD=√AC2+CD2=√62+82＝10．故答案为：10．22.（2020•广西）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sinA=45，点C关于直线AB的对称点为D ，点E 为边AC 上不与点A ，C 重合的动点，过点D 作BE 的垂线交BC 于点F ，则DF BE 的值为 ．【答案】2425 【解析】解：如图，设DF 交AB 于M ，CD 交AB 于N ，BE 交DF 于J ．∵∠ACB ＝90°，∴sinA =BC AB =45，∴可以假设BC ＝4k ，AB ＝5k ，则AC ＝3k ，∵C ，D 关于AB 对称，∴CD ⊥AB ，CN ＝DN ，∵S △ABC =12×BC ×AC =12×AB ×CN ，∴CN ＝DN =125k ， ∴CD =245k ，∵∠FCD+∠DCA ＝90°，∠DCA+∠A ＝90°，∴∠DCF ＝∠A ，∵DF ⊥BE ，CD ⊥AB ，∴∠BJM ＝∠DNM ＝90°，∵∠BMJ ＝∠DMN ，∴∠D ＝∠ABE ，∴△DCF ∽△BAE ，∴DF BE =DC BA =245k 5k =2425． 23.（2020•深圳）如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，∠ABC ＝∠DAC ＝90°，tan ∠ACB =12，BO OD =43，则S△ABD S △CBD = ．【答案】332【解析】解：如图，过点D 作DM ∥BC ，交CA 的延长线于点M ，延长BA 交DM 于点N ， ∵DM ∥BC ，∴△ABC ∽△ANM ，△OBC ∽△ODM ，∴AB BC =AN NM =tan ∠ACB =12，BC DM =OB OD =43，又∵∠ABC ＝∠DAC ＝90°，∴∠BAC+∠NAD ＝90°，∵∠BAC+∠BCA ＝90°，∴∠NAD ＝∠BCA ，∴△ABC ∽△DAN ，∴AB BC =DN NA =12，设BC ＝4a ，由BC DM =OB OD =43得，DM ＝3a ，∴AB ＝2a ，DN =35a ，AN =65a ，∴NB ＝AB+AN ＝2a +65a =165a ， ∴S △ABDS △BCD =12AB⋅DN 12BC⋅NB =35a 2325a 2=332． 故答案为：332．24.（2020•赤峰）如图，航拍无人机从A 处测得一幢建筑物顶部C 的仰角是30°，测得底部B 的俯角是60°，此时无人机与该建筑物的水平距离AD 是9米，那么该建筑物的高度BC 为 米（结果保留根号）．【答案】12√3【解析】解：根据题意可知：在Rt △ADC 中，∠CAD ＝30°，AD ＝9，∴CD ＝AD •tan30°＝9×√33=3√3，在Rt △ADB 中，∠BAD ＝60°，AD ＝9，∴BD ＝AD •tan60°＝9√3，∴BC＝CD+BD＝3√3+9√3=12√3（米）．答；该建筑物的高度BC为12√3米．故答案为：12√3．25．（2020•乐山）如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯AB的倾斜角为30°，在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角为60°，A、C之间的距离为4m．则自动扶梯的垂直高度BD＝m．（结果保留根号）【答案】2√3【解析】解：∵∠BCD＝∠BAC+∠ABC，∠BAC＝30°，∠BCD＝60°，∴∠ABC＝∠BCD﹣∠BAC＝30°，∴∠BAC＝∠ABC，∴BC＝AC＝4，在Rt△BDC中，sin∠BCD=BDBC，∴sin60°=BD4=√32，∴BD＝2√3（m），故答案为：2√3．三、解答题（共15小题）：26.（2020•青海）计算：（13）﹣1+|1−√3tan45°|+（π﹣3.14）0−√273． 【答案】√3【解析】解：原式＝3+|1−√3|+1﹣3＝3+√3−1+1−3=√3．27.（2020•呼伦贝尔）计算：（−12）﹣1+√83+2cos60°﹣（π﹣1）0．【答案】0【解析】解：原式=−2+2+2×12−1＝0，故答案为：0．28.（2020秋•龙口市期末）计算：√(sin30°−tan45°)2cos 245°−tan60°•cos30°． 【答案】−12【解析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．解：原式=√(12−1)2(√22)−√3×√32 =1212−32＝1−32=−12．29.（2020秋•莱州市期末）计算：2sin45°−√(cos60°−sin60°)2+tan60°2．【答案】=2√2+12【解析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．解：原式=2×√22−|12−√32|+√32=√2−√32+12+√32=2√2+12．30.（2020秋•崇明区期末）计算：tan60°+2cos30°+cot45°2sin30°−sin245°．【答案】2√3+12【解析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入得出答案．解：原式=√3+2×√32+12×12−（√22）2=√3+√3+1−12＝2√3+12．31.（2020秋•普陀区期末）计算：cos30°﹣2sin245°+22sin60°+tan45°．【答案】=3√32−2【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质化简得出答案．解：原式=√32−2×（√22）22×√32+1=√32−2×12√3+1=√32−1+√3−1 =3√32−2．32.（2020秋•肇州县期末）计算：（1）2sin30°一3tan45°•sin45°+4cos60°； （2）sin45°cos30°−tan60°+cos45°•sin60°．【答案】(1)3−3√22；(2)=−√612.【解析】（1）把特殊角的三角函数值代入原式，根据二次根式的加减混合运算法则计算；（2）把特殊角的三角函数值代入原式，根据二次根式的混合运算法则计算． 解：（1）2sin30°一3tan45°•sin45°+4cos60° ＝2×12−3×1×√22+4×12＝1−3√22+2＝3−3√22； （2）sin45°cos30°−tan60°+cos45°•sin60°=√22√32−√3+√22×√32=√2−√3+√64 =−√63+√64=−√612．33.（2020•盐城）如图，在△ABC中，∠C＝90°，tanA=√3，∠ABC的平分线BD交AC3于点D，CD=√3，求AB的长？【答案】AB的长为6，【解析】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA=√33∴∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠ABD＝30°，又∵CD=√3，=3，∴BC=CDtan30°在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，=6．∴AB=BCsin30°答：AB的长为6．34.（2020•西宁）如图1，通海桥是西宁市海湖新区地标建筑，也是我省首座大规模斜拉式大桥，通海桥主塔两侧斜拉链条在夜间亮灯后犹如天鹅之翼，优雅非凡．某数学“综合与实践”小组的同学利用课余时间按照如图2所示的测量示意图对该桥进行了实地测量，测得如下数据：∠A＝30°，∠B＝45°，斜拉主跨度AB＝260米．（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，求CD的长（√3取1.7）；（2）若主塔斜拉链条上的LED 节能灯带每米造价800元，求斜拉链条AC 上灯带的总造价是多少元？【答案】(1)CD ＝91（米）；(2)斜拉链条AC 上的LED 节能灯带造价是145600元. 【解析】解：（1）∵CD ⊥AB 于点D ， ∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°， 设CD ＝x ，在Rt △ADC 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝30°， ∴tan30°=CDAD ，即xAD =√33， ∴AD =√3x ，在Rt △BDC 中，∠B ＝45°， ∴CD ＝BD ＝x ， ∵AB ＝AD+BD ． ∴√3x +x =260， ∴x =√3+1，∴x =130(√3−1)=130×0.7=91， ∴CD ＝91（米）．（2）在Rt△ADC中∠ADC＝90°，∠A＝30°，∴AC＝2CD（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半），∴AC＝182，∵LED节能灯带每米造价为800元，∴800×182＝145600（元），答：斜拉链条AC上的LED节能灯带造价是145600元．35.（2020•眉山）某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为20米的发射塔AB，如图所示．在山脚平地上的D处测得塔底B的仰角为30°，向小山前进80米到达点E处，测得塔顶A的仰角为60°，求小山BC的高度．【答案】小山BC的高度为（10+40√3）米【解析】解：设BC为x米，则AC＝（20+x）米，由条件知：∠DBC＝∠AEC＝60°，DE＝80米．在直角△DBC中，tan60°=DCBC =DCx，则DC=√3x米．∴CE＝（√3x﹣80）米．在直角△ACE中，tan60°=ACCE =√3x−80=√3．解得x＝10+40√3．答：小山BC的高度为（10+40√3）米．36.（2020•吉林）如图，某班数学小组测量塔的高度，在与塔底部B相距35m的C处，用高1.5m的测角仪CD测得该塔顶端A的仰角∠EDA为36°．求塔AB的高度（结果精确到1m）．（参考数据：sin36°＝0.59，cos36°＝0.81，tan36°＝0.73）【答案】塔AB的高度约27m【解析】解：设AB与DE交于点F，如图所示：由题意得：DF⊥AB，BF＝CD＝1.5m，DF＝BC＝35m，在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，tan∠EDA=AF，DF∴AF＝DF×tan36°≈35×0.73＝25.55（m），∴AB＝AF+BF＝25.55+1.5≈27（m）；答：塔AB的高度约27m．37.（2020•通辽）从A处看一栋楼顶部的仰角为α，看这栋楼底部的俯角为β，A处与楼的水平距离AD为90m．若tanα＝0.27，tanβ＝2.73，求这栋楼高．【答案】这栋楼高BC为270米【解析】解：在Rt△ABD中，BD＝tanα•AD＝0.27×90＝24.3（米），在Rt△ACD中，CD＝AD•tanβ＝90×2.73＝245.7（米），∴BC＝BD+CD＝24.3+245.7＝270（米），答：这栋楼高BC为270米．38.（2020•凉山州）如图，⊙O的半径为R，其内接锐角三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c．（1）求证：asin∠A =bsin∠B=csin∠C=2R；（2）若∠A＝60°，∠C＝45°，BC＝4√3，利用（1）的结论求AB的长和sin∠B的值．【答案】(1)见解析；(2)sin∠B=AC2R =2(√2+√6)8=√2+√64.【解析】（1）证明：作直径BE，连接CE，如图所示：则∠BCE＝90°，∠E＝∠A，∴sinA＝sinE=BCBE =a2R，∴asinA=2R，同理：bsin∠B =2R，csin∠C=2R，∴asin∠A =bsin∠B=csin∠C=2R；（2）解：由（1）得：ABsinC =BCsinA，即ABsin45°=4√3sin60°=2R，∴AB=4√3×√22√32=4√2，2R=√3√32=8，过B作BH⊥AC于H，∵∠AHB＝∠BHC＝90°，∴AH＝AB•cos60°＝4√2×12=2√2，CH=√22BC＝2√6，∴AC＝AH+CH＝2（√2+√6），∴sin∠B=AC2R =2(√2+√6)8=√2+√64．39.（2020•宜宾）如图，AB和CD两幢楼地面距离BC为30√3米，楼AB高30米，从楼AB的顶部点A测得楼CD的顶部点D的仰角为45°．（1）求∠CAD的大小；（2）求楼CD的高度（结果保留根号）．【答案】(1)∠CAD＝75°；(2)CD＝（30+30√3）米. 【解析】解：（1）过A作AE⊥CD于点E，则AB＝EC＝30米，AE＝BC＝30√3米，在Rt△AEC中，tan∠CAE=CEAE =√33，则∠CAE＝30°，则∠CAD＝30°+45°＝75°；（2）在Rt△AED中，DE＝AE＝30√3米，CD＝CE+ED＝（30+30√3）米．40.（2020•随州）如图，某楼房AB顶部有一根天线BE，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点C，D，A，在点C处测得天线顶端E的仰角为60°，从点C 走到点D，测得CD＝5米，从点D测得天线底端B的仰角为45°，已知A，B，E在同一条垂直于地面的直线上，AB＝25米．（1）求A与C之间的距离；（2）求天线BE的高度．（参考数据：√3≈1.73，结果保留整数）【答案】(1)A与C之间的距离是30米；(2)天线BE的高度为27米. 【解析】解：（1）由题意得，在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，∴AD＝AB＝25米，∵CD＝5米，∴AC＝AD+CD＝25+5＝30（米），即A与C之间的距离是30米；（2）在Rt△ACE中．∠ACE＝60°，AC＝30米，∴AE＝30•tan60°＝30√3（米），∵AB＝25米，∴BE＝AE﹣AB＝（30√3−25）米，∵√3≈1.73，∴BE≈1.73×30﹣25＝27米．即天线BE的高度为27米．。
锐角三角函数基础题1-30
锐角三角函数基础题1-30一、选择题（共12小题）1．（2014•兰州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，那么cosA的值等于（）．C D．2．（2014•随州）如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=100米，则B点到河岸AD的距离为（）D米米．C D．4．（2014•广州）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA=（）．C D．5．（2014•湖州）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长是（）7．（2014•巴中）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（）．C D．2D．9．（2014•义乌市）如图，点A（t，3）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值是（）10．（2014•凉山州）拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1：，坝高BC=10m，则坡面AB的长度是（）m m．C D．C D．二、填空题（共12小题）（除非特别说明，请填准确值）13．（2014•新疆）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=37°，BC=32，则AC=_________．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）14．（2014•常州）若∠α=30°，则∠α的余角等于_________度，sinα的值为_________．15．（2014•温州）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则tanA的值是_________．16．（2014•攀枝花）在△ABC中，如果∠A、∠B满足|tanA﹣1|+（cosB﹣）2=0，那么∠C=_________．17．（2014•来宾）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6，则AB的长为_________．18．（2014•天水）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC 的顶点都在方格的格点上，则cosA=_________．19．（2014•本溪）在△ABC中，∠B=45°，cosA=，则∠C的度数是_________．20．（2014•怀化）如图，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所走的直线距离AB=4米，此时，他离地面高度为h=2米，则这个土坡的坡角为_________．21．（2014•白银）△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA=，cosB=，则∠C=_________．22．（2014•齐齐哈尔）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，CD=4，AC=6，则sinB的值是_________．23．（2014•南昌）在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6．若点P在直线AC上（不与点A，C重合），且∠ABP=30°，则CP的长为_________．24．（2014•铜仁）cos60°=_________．三、解答题（共6小题）（选答题，不自动判卷）25．（2014•河北）如图1，A，B，C是三个垃圾存放点，点B，C分别位于点A的正北和正东方向，AC=100米．四人分别测得∠C的度数如下表：2，图3：（1）求表中∠C度数的平均数：（2）求A处的垃圾量，并将图2补充完整；（3）用（1）中的作为∠C的度数，要将A处的垃圾沿道路AB都运到B处，已知运送1千克垃圾每米的费用为0.005元，求运垃圾所需的费用．（注：sin37°=0.6，cos37°=0.8，tan37°=0.75）26．（2014•抚州）如图1所示的晾衣架，支架主视图的基本图形是菱形，其示意图如图2，晾衣架伸缩时，点G在射线DP上滑动，∠CED的大小也随之发生变化，已知每个菱形边长均等于20cm，且AH=DE=EG=20cm．（1）当∠CED=60°时，求C、D两点间的距离；（2）当∠CED由60°变为120°时，点A向左移动了多少cm？（结果精确到0.1cm）（3）设DG=xcm，当∠CED的变化范围为60°～120°（包括端点值）时，求x的取值范围．（结果精确到0.1cm）（参考数据≈1.732，可使用科学计算器）27．（2014•重庆）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=，求sinC的值．28．（2014•眉山）如图，甲建筑物的高AB为40m，AB⊥BC，DC⊥BC，某数学学习小组开展测量乙建筑物高度的实践活动，从B点测得D点的仰角为60°，从A点测得D点的仰角为45°．求乙建筑物的高DC．29．（2014•乌鲁木齐）如图，在电线杆上的E处引拉线EC和EB固定电线杆，在离电线杆6米的A处安置测角仪（点A，C，F在一直线上），在D处测得电线杆上E处的仰角为37°，已知测角仪的高AD为1.5米，AC为3米，求拉线EC的长．（精确到0.1米）30．（2014•南昌）图1中的中国结挂件是由四个相同的菱形在顶点处依次串联而成，每相邻两个菱形均成30°的夹角，示意图如图2．在图2中，每个菱形的边长为10cm，锐角为60°．（1）连接CD，EB，猜想它们的位置关系并加以证明；（2）求A，B两点之间的距离（结果取整数，可以使用计算器）（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）锐角三角函数基础题1-30参考答案与试题解析一、选择题（共12小题）1．（2014•兰州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，那么cosA的值等于（）．C D．AB=cosA=2．（2014•随州）如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=100米，则B点到河岸AD的距离为（）D米米CM=BC=50BM=CM=50．C D．AB==13=．4．（2014•广州）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA=（）．C D．tanA==．5．（2014•湖州）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长是（）tanA=，代入求出即可．tanA=，sinA=，cosA=．，7．（2014•巴中）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（）．C D．sinA=，=12x=．2D．×9．（2014•义乌市）如图，点A（t，3）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值是（）=10．（2014•凉山州）拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1：，坝高BC=10m，则坡面AB的长度是（）m m：tanA=10AB=．C D=．C D．．二、填空题（共12小题）（除非特别说明，请填准确值）13．（2014•新疆）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=37°，BC=32，则AC=24．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75），然后把，即=14．（2014•常州）若∠α=30°，则∠α的余角等于60度，sinα的值为．，．15．（2014•温州）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则tanA的值是．tanA=）求出即可．tanA=，故答案为：sinA=，cosA=．16．（2014•攀枝花）在△ABC中，如果∠A、∠B满足|tanA﹣1|+（cosB﹣）2=0，那么∠C=75°．cosB=，求出∠）cosB=17．（2014•来宾）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6，则AB的长为4．cosB=cosB=，AB==．18．（2014•天水）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的顶点都在方格的格点上，则cosA=．解：如图，，故答案为：19．（2014•本溪）在△ABC中，∠B=45°，cosA=，则∠C的度数是75°．cosA=，20．（2014•怀化）如图，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所走的直线距离AB=4米，此时，他离地面高度为h=2米，则这个土坡的坡角为30°．sinA==，21．（2014•白银）△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA=，cosB=，则∠C=60°．，cosB=22．（2014•齐齐哈尔）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，CD=4，AC=6，则sinB的值是．==故答案为：23．（2014•南昌）在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6．若点P在直线AC上（不与点A，C重合），且∠ABP=30°，则CP的长为6或2或4．==2=42．24．（2014•铜仁）cos60°=．．故答案为：三、解答题（共6小题）（选答题，不自动判卷）25．（2014•河北）如图1，A，B，C是三个垃圾存放点，点B，C分别位于点A的正北和正东方向，AC=100米．四2，图3：（1）求表中∠C度数的平均数：（2）求A处的垃圾量，并将图2补充完整；（3）用（1）中的作为∠C的度数，要将A处的垃圾沿道路AB都运到B处，已知运送1千克垃圾每米的费用为0.005元，求运垃圾所需的费用．（注：sin37°=0.6，cos37°=0.8，tan37°=0.75））=37，26．（2014•抚州）如图1所示的晾衣架，支架主视图的基本图形是菱形，其示意图如图2，晾衣架伸缩时，点G在射线DP上滑动，∠CED的大小也随之发生变化，已知每个菱形边长均等于20cm，且AH=DE=EG=20cm．（1）当∠CED=60°时，求C、D两点间的距离；（2）当∠CED由60°变为120°时，点A向左移动了多少cm？（结果精确到0.1cm）（3）设DG=xcm，当∠CED的变化范围为60°～120°（包括端点值）时，求x的取值范围．（结果精确到0.1cm）（参考数据≈1.732，可使用科学计算器）CEH=×=10（CD=20cm20≈DEI=，×=10 DG=2DI=2027．（2014•重庆）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=，求sinC的值．BAD=BAD==×=9AC==13sinC==28．（2014•眉山）如图，甲建筑物的高AB为40m，AB⊥BC，DC⊥BC，某数学学习小组开展测量乙建筑物高度的实践活动，从B点测得D点的仰角为60°，从A点测得D点的仰角为45°．求乙建筑物的高DC．40+x=x+40=60+2060+2029．（2014•乌鲁木齐）如图，在电线杆上的E处引拉线EC和EB固定电线杆，在离电线杆6米的A处安置测角仪（点A，C，F在一直线上），在D处测得电线杆上E处的仰角为37°，已知测角仪的高AD为1.5米，AC为3米，求拉线EC的长．（精确到0.1米）CE=≈30．（2014•南昌）图1中的中国结挂件是由四个相同的菱形在顶点处依次串联而成，每相邻两个菱形均成30°的夹角，示意图如图2．在图2中，每个菱形的边长为10cm，锐角为60°．（1）连接CD，EB，猜想它们的位置关系并加以证明；（2）求A，B两点之间的距离（结果取整数，可以使用计算器）（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）cmcmcmcmAB=BD+AD=20。
锐角三角函数值与锐角关系(专项练习)-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)
专题28.7锐角三角函数值与锐角关系（专项练习）一、单选题1．在Rt ABC ∆中，∠C=90°，3sin 5A =，则tanB 的值为（）A ．45B ．35C ．34D ．432．已知：22sin 32cos α1+= ，则锐角α等于（）A ．32B ．58C ．68D ．以上结论都不对3．在Rt ABC ，90C ∠=，3sin 5B =，则sin A 的值是（）A ．35B ．45C ．53D ．544．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则tanA·tanB 等于()A ．0B ．1C ．－1D ．不确定5．如图，△ABC 中，AB=25，BC=7，CA=24．则sinA 的值为（）A ．725B ．2425C ．724D ．2476．⊿ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，下列比值中不等于tan A 的是（）A ．BC ACB ．CD ADC ．BD CDD ．AC AB7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝35，则sin B 的值为()A ．54B ．45C ．53D ．358．在ABC 中，90C ∠=，3sin 5A =，那么cosB 的值等于（）A ．35B ．45C ．34D ．439．如图，在平面直角坐标系系中，直线y=k 1x+2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，与反比例函数y=2k x在第一象限内的图象交于点B ，连接BO ．若S △OBC =1，tan ∠BOC=13，则k 2的值是（）A ．﹣3B ．1C ．2D ．310．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 在BC 的延长线上，连接DE ，点F 是DE 的中点，连接OF 交CD 于点G ，连接CF ，若4CE =，6OF =．则下列结论：①2GF =；②OD =；③1tan 2CDE ∠=；④90ODF OCF ∠=∠=︒；⑤点D到CF 的距离为5．其中正确的结论是（）A ．①②③④B ．①③④⑤C ．①②③⑤D ．①②④⑤二、填空题11．已知α∠为锐角，且5sin 13α=，则cos α=______．12．已知：∠A +∠B ＝90°，若sin A =35，则cos B ＝__________.13．如图，ABC 的顶点B C 、的坐标分别是(1,0)、，且90,30ABC A ∠=︒∠=︒，则顶点A 的坐标是_____．14．已知：tanx=2，则sin 2cos 2sin cos x xx x+-＝____.15．如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AD ⊥BC ，垂足为D ．给出下列四个结论：①sinα=sinB ；②sinβ=sinC ；③sinB=cosC ；④sinα=cosβ.其中正确的结论有_____.16．如图，在菱形ABCD 中，10AB AC ==，对角线AC 、BD 相交于点O ，点M 在线段AC 上，且3AM =，点P 为线段BD 上的一个动点，则12MP PB +的最小值是______．17．如图，在Rt ABC △中．90,2,4ABC AB BC ∠=︒==，点D 是边AC 上一动点．连接BD ，将ABD △沿BD 折叠，点A 落在A '处，当点A '在ABC 内部（不含边界）时，AD 长度的取值范围是___________．18．如图，在平面直角坐标系中，Rt OAB V 斜边上的高为1，30AOB ∠=︒，将Rt OAB V 绕原点顺时针旋转90︒得到Rt OCD △，点A 的对应点C 恰好在函数(0)ky k x=≠的图象上，若在ky x=的图象上另有一点M 使得30MOC ∠=︒，则点M 的坐标为_________．三、解答题19．求值：(1)260453456 cos sin tan tan+-⋅；()2已知2tanA=，求245sinA cosAsinA cosA-+的值．20．（1）已知3tanα﹣2cos30°=0，求锐角α；（2）已知2sinα﹣3tan30°=0，求锐角α．21．如图，在△ABC中，BA=BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F在BD的延长线上，且DE=DF，连接AE，CE，AF，CF．(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)若BA⊥AF，AD=4，BC=BD和AE的长．22．如图，已知BE、CF分别是△ABC的边AC、AB上的高，联结EF．（1）求证：△AEF∽△ABC；（2）如果sin AAEF ABCS S ∆∆的值．23．如图，点P 为函数112y x =+与函数(0)m y x x =>图象的交点，点P 的纵坐标为4，PB x ⊥轴，垂足为点B．（1）求m 的值；（2）点M 是函数(0)my x x=>图象上一动点，过点M 作MD BP ⊥于点D ，若1tan 2PMD ∠=，求点M 的坐标．24．如图所示，已知正方形OEFG 的顶点O 为正方形ABCD 对角线AC BD 、的交点，连接CE DG 、．（1）求证：DOG COE ∆∆≌；（2）若DG BD ⊥，正方形ABCD 的边长为2，线段AD 与线段OG 相交于点M ，12AM =，求正方形OEFG 的边长．参考答案1．D【分析】根据锐角三角函数的定义和勾股定理求解即可．解：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∵sinA=BC AB =35，设BC=3x ，则AB=5x ，∵BC 2+AC 2=AB 2∴AC=4x ．∴tanB=AC BC ＝4x 3x＝43．故选D ．【点拨】本题考查了求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．2．A解：∵sin 2α+cos 2α=1，α是锐角，∴α=32°．故选A ．3．B【分析】根据互余两角三角函数的关系：sin 2A+sin 2B=1解答．解：∵在Rt △ABC 中,∠C =90︒，∴∠A +∠B =90︒，∴sin 2A+sin 2B=1，sin A >0，∵sin B =35，∴sin A =45.故选B.【点拨】本题考查互余两角三角函数的关系.4．B【分析】根据正切函数的定义，利用△ABC 的边表示出两个三角函数，即可求解．解：•.1a b tanA tanB b a==故选B ．【点拨】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．5．A【分析】根据勾股定理逆定理推出∠C=90°，再根据sin =BCA AB进行计算即可；解：∵AB=25，BC=7，CA=24，又∵22225=247+，∴222=AB BC AC +，∴△ABC 是直角三角形，∠C=90°，∴sin =BC A AB =725；故选A.【点拨】本题主要考查了锐角三角函数的定义，勾股定理逆定理，掌握锐角三角函数的定义，勾股定理逆定理是解题的关键.6．D【分析】根据题意，画出图形，根据正切的定义和同角的正切值相同即可得出结论．解：如下图所示在Rt ABC 中，tan A =BC AC，故A 不符合题意；在Rt ACD △中，tan A =CDAD，故B 不符合题意；∵∠A ＋∠ACD=90°，∠BCD ＋∠ACD=90°∴∠A=∠BCD ∴tan A =tan ∠BCD=BDCD，故C 不符合题意；tan A ≠ACAB，故D 符合题意．故选D ．【点拨】此题考查的是正切，掌握正切的定义和同角的正切值相同是解决此题的关键．7．D【分析】根据互为余角的两个角的三角形函数之间的关系求解．解：因为∠A ＋∠B ＝90°，所以sinB ＝cosA ，所以sinB ＝35．故选D【点拨】本题考查了互为余角的三角函数间的关系，如果∠A ＋∠B ＝90°，则sinA ＝cosB ，sinB ＝cosA8．A【分析】根据∠A +∠B =90°得出cos B =sin A ，代入即可．解：∵∠C =90°，sin A =35．又∵∠A +∠B =90°，∴cos B =sin A =35．故选A ．【点拨】本题考查了互余两角三角函数的关系，注意：已知∠A +∠B =90°，能推出sin A =cos B ，cos A =sin B ，tan A =cotB ，cotA =tan B ．9．D解：试题分析：先求得直线y=k 1x+2与y 轴交点C 的坐标为（0，2），然后根据△BOC 的面积求得BD 的长为1，然后利用∠BOC 的正切求得OD 的长为3,，从而求得点B 的坐标为（1，3），代入y=2k x求得k 2=3．故答案选D.考点：反比例函数与一次函数的交点问题．10．C【分析】由题意易得,,45,90BC CD BO OD OA OC BDC BCD DCE ====∠=︒∠=∠=︒，①由三角形中位线可进行判断；②由△DOC 是等腰直角三角形可进行判断；③根据三角函数可进行求解；④根据题意可直接进行求解；⑤过点D 作DH ⊥CF ，交CF 的延长线于点H ，然后根据三角函数可进行求解．解：∵四边形ABCD 是正方形，∴,,45,90BC CD BO OD OA OC BDC BCD DCE ====∠=︒∠=∠=︒，AC BD ⊥，∵点F 是DE 的中点，∴1,//2OF BE OF BE =，∵6OF =，4CE =，∴12BE =，则8CD BC ==，∵OF ∥BE ，∴△DGF ∽△DCE ，∴12DG GF CD CE ==，∴2GF =，故①正确；∴点G 是CD 的中点，∴OG ⊥CD ，∵∠ODC =45°，∴△DOC 是等腰直角三角形，∴OD =，故②正确；∵CE =4，CD =8，∠DCE =90°，∴1tan 2CE CDE CD ∠==，故③正确；∵1tan 12CDE ∠=≠，∴45CDE ∠≠︒，∴90ODF ∠≠︒，故④错误；过点D 作DH ⊥CF ，交CF 的延长线于点H ，如图所示：∵点F 是CD 的中点，∴CF =DF ，∴∠CDE =∠DCF ，∴1tan tan 2CDE DCF ∠=∠=，设DH x =，则2CH x =，在Rt △DHC 中，22464x x +=，解得：5x =±，∴DH =∴正确的结论是①②③⑤；故选C ．【点拨】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握正方形的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．11．1213【分析】根据5sin 13α=，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出cos α的值．解：∵22sin cos 1αα+=，5sin 13α=，∴12cos 13α=±，又∵α∠为锐角，∴12cos 13α=.故答案为：1213.【点拨】此题考查了同角三角函数的知识，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．12．35【分析】根据∠A +∠B ＝90°，判定三角形ABC 为直角三角形，则根据互余两角的三角函数的关系求解即可.解：由∠A +∠B ＝90°，sin A ＝35，得：cos B ＝sin A ＝35，故答案为35．【点拨】本题考查了互余两角的三角函数的关系的应用，注意：在△ACB 中，∠A +∠B ＝90°，则∠C=90°，则sinA=cosB ，cosA=sinB ，tanA=cotB ，cotA=tanB ．13．【分析】根据B C 、的坐标求得BC 的长度,60CBO ∠=︒，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半，求得AC 的长度，即点A 的横坐标，易得//AC x 轴，则C 的纵坐标即A 的纵坐标．解：B C 、的坐标分别是(1,0)、2BC ∴=tan OC CBOOB∴∠==60CBO ∴∠=︒90,30ABC A ∠=︒∠=︒60,24ACB AC BC ∴∠=︒==//AC x ∴轴A ∴．故答案为：．【点拨】本题考查了含30°角的直角三角形，用到的知识点有特殊角的三角函数，在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，熟记特殊角的三角函数是解题的关键．14．43解：分子分母同时除以cosx ，原分式可化为：221tanx tanx +-，当tanx=2时，原式=2242213+=⨯-．故答案为43．15．①②③④【分析】根据∠A=90°，AD ⊥BC ，可得∠α=∠B ，∠β=∠C ，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断．解：∵∠A=90°，AD ⊥BC ，∴∠α+∠β=90°，∠B+∠β=90°，∠B+∠C=90°，∴∠α=∠B ，∠β=∠C ，∴sinα=sinB ，故①正确；sinβ=sinC ，故②正确；∵在Rt △ABC 中sinB=AC BC ，cosC=AC BC，∴sinB=cosC ，故③正确；∵sinα=sinB ，cos ∠β=cosC ，∴sinα=cos ∠β，故④正确；故答案为①②③④．【点拨】本题主要考查锐角的三角函数，解题的关键是熟练掌握互余两角的三角函数间的关系．16【分析】过M 点作MH 垂直BC 于H 点，与OB 的交点为P 点，此时12MP PB +的长度最小为MH ，再算出MC 的长度，在直角三角形MPC 中利用三角函数即可解得MH解：过M 点作MH 垂直BC 于H 点，与OB 的交点为P 点，此时12MP PB +的长度最小∵菱形ABCD 中，10AB AC ==∴AB =BC =AC =10，△ABC 为等边三角形∴∠PBC =30°，∠ACB =60°∴在直角△PBH 中，∠PBH =30°∴PH =12PB ∴此时12MP PB +得到最小值，1=2MP PB MP PH MH ++=∵AC =10，AM =3,∴MC =7又∠MPC =60°∴MH =MC【点拨】本题主要考查了菱形的性质与三角函数，能够找到最小值时的P 点是解题关键.17．53AD <<【分析】分别求出当A '落在AC 和BC 上时AD 的长度即可.解：∵∠ABC =90°，AB =2，BC =4，∴AC ===当点A '落在AC 上时，如图，∵将△ABD 沿BD 折叠，点A 落在A '处，∴∠ADB =A DB '∠=90°，∵AD AB cosA AB AC==，∴2AB AD AC ==当点A '落在BC 上时，如图，过点D 作DH ⊥AB 于H ，∵将△ABD 沿BD 折叠，点A 落在A '处，∴∠ABD =∠DBC =45°，∵DH ⊥AB ，∴∠HDB =∠HBD =45°，∴BH =DH ，∵2HD BC tanA AH AB===，∴HD =2AH =BH ，∵AB =AH +BH =2AH +AH =2，∴23AH =，43BH DH ==，∴3AD ===，∴当点A '在△ABC 内部（不含边界）时，ADAD <<．【点拨】本题考查折叠问题，解题的关键是考虑两种极端情况．还可以利用相似来解题．18．【分析】利用30°的正切可以求出C 点坐标，再利用C 、M 在(0)k y k x =≠上，设M 的坐标，最后通过30MOF ∠=︒可以求出M 点的坐标．解：如图，过点C 作CE y ⊥轴，过点M 作MF x ⊥轴，由题意可知30EOC MOF ∠=∠=︒，1CE =则tan 30CE OE ==︒C在0)y k ≠上，k ∴=设()M m m(0)m >30MOF ∠=︒tan 3MOF ∴∠==解得1,1m m ==-（不符合题意，舍去）所以M故答案为：．【点拨】本题考查了直角三角形的性质，特殊角的锐角三角函数，反比例函数性质，正确理解题意，求出C 点的坐标是解决问题的关键．19．（1）0；（2）313.【分析】（1）根据特殊角的三角函数值及互余两角三角函数值相互间的关系计算．（2）根据同角三角函数值相互间的关系计算．解：（1）原式12=+（2）2﹣11122=+-1=0；（2）∵tan A =2，∴sin cos A A =2，∴sin A =2cos A ，∴原式=22cos 42cos 5A cosA A cosA ⨯-⨯+=3cos 13cos A A =313．【点拨】本题考查了特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．20．（1）α=30°；（2）α=60°．【分析】（1）先求出tanα的值，然后求出角的度数；（2）先求出sinα解：（1）解得：则α=30°；（2）解得：sinα=2，则α=60°．【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．21．(1)见分析(2)8,BD AE ==【分析】（1）由等腰三角形的性质得到,AD CD BD AC =⊥，再由菱形的判定定理即可得到结论；（2）先求出AB =，由勾股定理得出BD 的长度，解直角三角形求出AF 的长度，再由菱形的性质即可求解．解：（1） BA =BC ，BD 平分∠ABC,AD CD BD AC∴=⊥ DE =DF∴四边形AECF 是菱形；（2）BD AC ⊥ ，BA ⊥AF90ADB BAF ∴∠=∠=︒BC = ，BA =BCAB ∴= AD =4∴在Rt ABD ∆中，BD 8==tan AD AF ABD BD AB∠== 48∴=AF ∴=四边形AECF 是菱形AE AF ∴==【点拨】菱形的判定和性质、勾股定理及利用同角的三角函数关系求值，熟练掌握知识点是解题的关键．22．（1）见分析；（2）14【分析】（1）先求证AEB AFC △∽△，得到AE AB AF AC =，再根据A A ∠=∠，即可求证；（2）根据三角函数的定义以及关系，求得AE AB的值，即可求解．解：（1）∵BE 、CF 分别是△ABC 的边AC 、AB 上的高∴90AFC AEB ∠=∠=︒又∵A A∠=∠∴AEB AFC△∽△∴AE AB AF AC =，即AE AF AB AC=又∵A A ∠=∠∴AEF ABC∽（2）在Rt ABE △，sin 2BE A AB ==，cos AE A AB =由锐角三角函数关系可得：1cos 2A ==，即12AE AB =由（1）得，AEF ABC∽∴21(4AEF ABC S AE S AB ∆∆==【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角函数的定义和关系，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及三角函数的定义和关系是解题的关键．23．（1）24；（2）M 点的坐标为(8,3)【分析】(1)根据交点坐标的意义，求得点P 的横坐标，利用k =xy 计算m 即可；（2）利用分类思想，根据正切的定义，建立等式求解即可.解：（1）∵点P 纵坐标为4，∴1412x =+，解得6x =，(6,4)P ∴∴4=6m ，∴24m =．（2）∵1tan 2PMD ∠=，∴12PD PM =，设(0)PD t t =>，则2DM t =，当M 点在P点右侧，∴M 点的坐标为(62,4)t t +-，∴（6+2t ）（4-t ）=24，解得：11t =，20t =（舍去），当11t =时，(8,3)M ，∴M 点的坐标为(8,3)，当M 点在P 点的左侧，∴M 点的坐标为(62,4)t t -+，∴（6-2t ）（4+t ）=24，解得：10t =，21t =-，均舍去．综上，M 点的坐标为(8,3)．【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数解析式的确定，三角函数，一元二次方程的解法，熟练掌握函数图像交点的意义，灵活运用三角函数的定义，构造一元二次方程并准确解答是解题的关键．24．(1)见分析;(2)【分析】（1）由正方形ABCD 与正方形OEFG ，对角线AC BD 、，可得90DOA DOC ∠=∠=︒，90GOE ∠=︒，即可证得GOD COE ∠=∠，因,DO OC GO EO ==，则可利用“边角边”即可证两三角形全等（2）方法一：过点M 作MH DO ⊥交DO 于点H ，由于45MDB ∠=︒，由可得,DH MH 长，从而求得HO ，即可求得MO ，再通过MH DG ∥，易证得D OHM O G △∽△，则有OH MO OD GO =，求得GO 即为正方形OEFG 的边长方法二：因为DG ⊥BD ，利用同旁内角互补证DG ∥OA ，进而得△DMG ∽△AMO 。
初中锐角三角函数习题及详细答案
锐角三角函数一、选择题1． sin30°的值为〔 〕 A ．32B ．22C ．12D ．332．如图，在Rt ABC △中，ACB ∠=Rt ∠，1BC =，2AB =，则下列结论正确的是〔 〕 A ． 3sin 2A =B ．1tan 2A = C ．3cos 2B = D ．tan 3B =3．三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan α的值是〔 〕 A ．34B ．43 C ．35 D ．454．如图，在平地上种植树木时，要求株距〔相邻两树间的水平距离〕为4m ．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离为〔 〕 A ．5m B ．6m C ．7m D ．8m5．菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，452AOC OC ∠==°，，则点B 的坐标为〔 〕A ．(21)，B ．(12)，C ．(211)+，D ．(121)+，6．如图，直线AB 与⊙O 相切于点A ，⊙O 的半径为2，若∠OBA = 30°，则OB 的长为〔 〕 A ．43．4C ．23．27．图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB ．CD 分别表示一楼．二楼地面的水平线，∠ABC =150°，BC 的长是8 m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是〔 〕A 833m B ．4 mC ．43 mD ．8 m8)如图，小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离，在A 点测得30BAD ∠=°，在C 点测得60BCD ∠=°，又测得50AC =米，则小岛B 到公路l 的距离为〔 〕米．A ．25B ．253C ．10033D ．253+9．如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是〔〕A ．23 B ．32C ．34D ．4310．将宽为2cm 的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ 的长是〔〕A ．233cmB ．433cmC ．5cmD ．2cm 11．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，∠EDC ∶∠EDA=1∶3，且AC=10，则DE 的长度是〔〕 A ．3B ．5C ．25D ．225 12．如图，已知△ABC 中，∠ABC =90°,AB =BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2 , l 2，l 3之间的距离为3 ,则AC 的长是〔 〕A ．172B ．52C ．24D ．713．如图4，在Rt ABC △中， 90=∠ACB ，86AC BC ==，，将ABC △绕AC 所在的直线k 旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的侧面积为〔 〕 A ．30π B ．40πC ．50π D ．60π14．在一次夏令营活动中，小亮从位于A 点的营地出发，沿北偏东60°方向走了5km 到达B 地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C 地，测得A 地在C 地南偏西30°方向，则A ．C 两地的距离为〔 〕 〔A 〕km 3310 〔B 〕km 335〔C 〕km 25 〔D 〕km 35 15.如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AC ⊥AB ，AD ＝CD ，cos ∠DCA=54，BC ＝10，则AB 的值是〔 〕 A ．3B ．6C ．8D ．916．如图，AB 是O ⊙的直径，弦CD AB ⊥于点E ，连结OC ，若5OC =，8CD =，则tan COE ∠=〔 〕A ．35 B ．45 C ．34 D ．4317．为测量如图所示上山坡道的倾斜度，小明测得图中所示的数据(单位：米)，则该坡道倾斜角α的正切值是〔 〕 A ．14B ．4C ．117D ．41718．如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB 为〔 〕 A. αcos 5 B.αcos 5 C. αsin 5 D. αsin 519． 如图，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，54A cos =，则下列结论中正确的个数为〔 〕 ①DE=3cm ； ②EB=1cm ； ③2ABCD 15S cm =菱形．A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个20．已知圆锥的底面半径为5cm ，侧面积为65πcm 2，设圆锥的母线与高的夹角为θ〔如图所示〕，则sinθ的值为〔 〕 〔A 〕125 〔B 〕135 〔C 〕1310 〔D 〕131221．如图，已知RtΔABC 中，∠ACB =90°，AC = 4，BC=3，以AB 边所在的直线为轴，将ΔABC 旋转一周，则所得几何体的表面积是〔 〕． A ．π5168 B ．π24C ．π584D ．π12 22．如图，在ABC △中，C ∠9060B D =∠=°，°，是AC 上一点，DE AB ⊥于E ，且21CD DE ==，，则BC 的长为〔 〕A ．2B ．433C ．23D ．4323．某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角〔梯子与地面的夹角〕不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为〔 〕 A ．8米B．CD．3米 24．〕已知在Rt ABC △中，390sin 5C A ∠==°，，则tan B 的值为〔 〕 A ．43B ．45C ．54D ．3425． 2sin 30°的值等于〔 〕A ．1 BCD ．2 26．已知在Rt ABC △中，390sin 5C A ∠==°，，则tan B 的值为〔 〕 A ．43B ．45C ．54D ．3427．某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角〔梯子与地面的夹角〕不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为〔 〕 A ．8米B．CD米 28．一根电线杆的接线柱部分AB 在阳光下的投影CD 的长为1米，太阳光线与地面的夹角60ACD ∠=°，则AB 的长为〔 〕 A ．12米B米C．2米 D．3米 二、计算题〔每小题3分，共12分〕 1.计算：()1200911sin 602-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭°2.10120094sin 3022⎛⎫--+-- ⎪⎝⎭－（3.计算：0200912sin 603tan 30(1)3⎛⎫-++- ⎪⎝⎭°°．4．先化简．再求值．22 ()2111a a a a a ++÷+-- 其中a ＝tan60°－2sin30°．三、解答题1．〕如图，AC 是O ⊙的直径，PA ，PB 是O ⊙的切线，A ，B 为切点，AB =6，PA =5．求〔1〕O ⊙的半径；〔2〕sin BAC ∠的值．2．〔4分〕〔20XXXX 〕如图，一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行，在A 处测得灯塔C 在北偏西30°方向，轮船航行2小时后到达B 处，在B 处测得灯塔C 在北偏西60°方向．当轮船到达灯塔C 的正东方向的D 处时，求此时轮船与灯塔C 的距离．〔结果保留根号〕CDBA北60°30°CCAB60° 45°北北3.〕为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务．某天我护航舰正在某小岛A 北偏西45︒并距该岛20海里的B 处待命．位于该岛正西方向C 处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东60︒的方向有我军护航舰〔如图9所示〕，便发出紧急求救信号．我护航舰接警后，立即沿BC 航线以每小时60海里的速度前去救援．问我护航舰需多少分钟可以到达该据：2 1.43 1.7≈，≈〕商船所在的位置C 处？〔结果精确到个位．参考数4．如图，某飞机于空中A 处探测到地平面目标B ，此时从飞机上看目标B 的俯角为α，若测得飞机到目标B 的距离AB 约为2400米，已知sin 0.52α=，求飞机飞行的高度AC 约为多少米？5.如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为︒60，看这栋高楼底部的俯角为︒30，热气球与高楼的水平距离为66 m ，这栋高楼有多高？〔结果精确到0.1 m ，参考数据：73.13≈〕BC AαC AB1．C 2. D 3。
中考数学专项复习《锐角三角函数》练习题(附答案)
中考数学专项复习《锐角三角函数》练习题(附答案)一、单选题1．如图，在△ABC中CA＝CB＝4，cosC＝14，则sinB的值为（）A．√102B．√153C．√64D．√1042．在Rt△ABC中,△C=90°,cosA=35,那么tanB=()A．35B．45C．43D．34 3．如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，BC=1，AB=2则下列结论正确的是（）A．sinA=√32B．tanA=12C．cosB=√32 D．tanB=√34．如图，已知△ABC内接于△O，△BAC=120°，AB=AC，BD为△O的直径，AD=6，则BC的长为（）A．2√3B．6C．2√6D．3√3 5．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是（）A．2海里B．2sin55°海里C．2cos55°海里D．2tan55°海里6．在矩形ABCD中AD=2,AB=1,G为AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点G重合，将三角板绕点G旋转，三角板的两直角边分别交AB、BC(或它们的延长线)于点E、F设∠AGE=α(0°<α<90°)，下列四个结论：①AE= CF；②∠AEG=∠BFG；③AE+CF=1；④S△GEF=1cos2α，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4 7．小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得△PB′C=α（B′C为水平线），测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（）A．11−sinαB．11+sinαC．11−cosαD．11+cosα8．如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，下列结论：①△ABC的形状是等腰三角形；②△ABC的周长是2√10+√2；③点C到AB边的距离是38√10；④tan∠ACB的值为2，正确的个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．在Rt△ABC 中△ACB=90°，BC=1，AB=2，则下列结论正确的是（ ）A ．sinA=√32B ．cosA=√32C ．tanA=12D ．cotA=√3310．已知：如图，正方形网格中∠AOB 如图放置，则cos∠AOB 的值为（ ）A ．2√55B ．2C ．12D ．√5511．如图，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE△AB ，垂足为E ，cosA=45，则下列结论中正确的个数为（ ）①DE=3cm ；②EB=1cm ；③S 菱形ABCD =15cm 2A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个12．如图，在Rt △ABC 中 ∠ABC =90°，以其三边为边向外作正方形，连接EH ，交AC 于点P ，过点P 作PR ⊥FG 于点R.若tan∠AHE =12，EH =8√5，则PR 的值为（ ）A．10B．11C．4√5D．5√5二、填空题13．如图，在RtΔABC中∠B=90°，AB=3 ，BC=4 ，点M、N分别在AC、AB两边上，将ΔAMN沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当ΔDCM是直角三角形时，则tan∠AMN的值为.14．如图，在△ABC中∠ABC=60°，AB=6，BC=10将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A1BC1（点A的对应点是点A1，点C的对应点是点C1，A1落在边BC上，连接AC1，则AC1的长为．15．如图，在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B点的仰角为60°，点C 的仰角为45°，点P到建筑物的距离为PD=20米，则BC=米.16．如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的六条对角线又围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，则正六边形A4B4C4D4E4F4的面积是．17．如图，某高为60米的大楼AB旁边的山坡上有一个“5G”基站DE，从大楼顶端A 测得基站顶端E的俯角为45°，山坡坡长CD＝10米，坡度i＝1：√3，大楼底端B 到山坡底端C的距离BC＝30米，则该基站的高度DE＝米．18．在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1，2号楼进行测高实践，测得1号楼顶部E的俯角为67°，测得2号楼顶部F的俯角为40°，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且EC和FD分别垂直地面于点C和D，点B为CD的中点，则2号楼的高度为（结果精确到0.1）（参考数据sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）三、综合题19．（1）已知Rt△ABC中△C=90°，△A=30°，BC= √3，解直角三角形.（2）已知△ABC中△A=45°，AB=4，BC=3，求AC的长.20．如图1，已知∠PAQ=60°．请阅读下列作图过程，并解答所提出的问题．△如图2，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别与AP，AQ交于B，C两点；△如图3，分别以B，C两点为圆心，以大于12BC的长为半径画弧，两弧交于点D；△如图4，作射线AD，连接BC，与AD交于点E．问题：（1）∠ABC的度数为．（2）若AB=4，求AE的长．21．如图，在△ABC中△C=60°，△O是△ABC的外接圆，点P在直径BD的延长线上，且AB=AP．（1）求证：PA是△O的切线；（2）若AB=2 √3，求图中阴影部分的面积．（结果保留π和根号）22．如图，物理教师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中在OA的位置时俯角△EOA=30°，在OB的位置时俯角△FOB=60°，若OC△EF，点A比点B高7cm．求：（1）单摆的长度（√3≈1.7）；（2）从点A摆动到点B经过的路径长（π≈3.1）．23．已知：如图，AB是△O的直径，C是△O上一点，OD△BC于点D，过点C作△O 的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．（1）求证：BE与△O相切；（2）连接AD并延长交BE于点F，若OB=9，sin△ABC= 23，求BF的长．24．如图，AB是△O的直径，OE垂直于弦BC，垂足为F，OE交△O于点D，且△CBE=2△C.（1）求证：BE与△O相切；（2）若DF=9，tanC= 34，求直径AB的长.参考答案1．【答案】D2．【答案】D3．【答案】D4．【答案】B5．【答案】C6．【答案】A7．【答案】A8．【答案】C9．【答案】B10．【答案】D11．【答案】A12．【答案】B13．【答案】1或214．【答案】1415．【答案】(20√3−20)16．【答案】√31817．【答案】（25﹣5 √3）18．【答案】45.8米19．【答案】（1）解：在Rt△ABC中△C=90°，△A=30°∴△B=90°-△A=60°，AB=2BC=2 √3∴AC= √AB2−BC2=√(2√3)2−(√3)2=3；（2）解：如图，过点B作BD△AC于D∵△A=45°∴△ABD=△A=45°∴AD=BD∵AB=4，AD2+BD2=AB2∴AD=BD= 2√2在Rt△BCD中BC=3∴CD=√BC2−BD2=1∴AC=AD+CD= 2√2+1.20．【答案】（1）60°（2）由作图可知AB=AC，AD平分∠PAQ∴AE⊥BC．∵∠PAQ=60°∴∠BAE=30°．在Rt△ABC中AE=AB⋅cos30°=4×√32=2√3．答：AE的长为2√3．21．【答案】（1）解：如图，连接OA；∵△C=60°∴△AOB=120°；而OA=OB∴△OAB=△OBA=30°；而AB=AP∴△P=△ABO=30°；∵△AOB=△OAP+△P∴△OAP=120°﹣30°=90°∴PA是△O的切线．（2）解：如图，过点O作OM△AB，则AM=BM= √3∵tan30°= OMAM sin30°=OMAO∴OM=1，OA=2；∴S△AOB=12·AB·OM= 12× 2√3×1= √3S扇形OAB =120π⋅22360= 4π3∴图中阴影部分的面积= 4π3−√3．22．【答案】（1）解：如图，过点A作AP△OC于点P，过点B作BQ△OC于点Q∵△EOA=30°、△FOB=60°，且OC△EF∴△AOP=60°、△BOQ=30°设OA=OB=x则在Rt△AOP中OP=OAcos△AOP= 1 2x在Rt△BOQ中OQ=OBcos△BOQ= √32x由PQ=OQ﹣OP可得√32x﹣12x=7解得：x=7+7 √3≈18.9（cm）答：单摆的长度约为18.9cm（2）解：由（1）知，△AOP=60°、△BOQ=30°，且OA=OB=7+7 √3∴△AOB=90°则从点A摆动到点B经过的路径长为90⋅π⋅(7+7√3)180≈29.295答：从点A摆动到点B经过的路径长为29.295cm 23．【答案】（1）证明：连接OC∵OD△BC∴△COE=△BOE在△OCE和△OBE中∵{OC=OB∠COE=∠BOEOE=OE∴△OCE△△OBE∴△OBE=△OCE=90°，即OB△BE∵OB 是△O 半径∴BE 与△O 相切．（2）解：过点D 作DH△AB ，连接AD 并延长交BE 于点F∵△DOH=△BOD ，△DHO=△BDO=90°∴△ODH△△OBD∴OD OB =OH OD =DH BD又∵sin△ABC= 23，OB=9 ∴OD=6易得△ABC=△ODH∴sin△ODH= 23 ，即 OH OD = 23∴OH=4∴DH= √OD 2−OH 2 =2 √5又∵△ADH△△AFB∴AH AB = DH FB 1318 = 2√5FB∴FB= 36√51324．【答案】（1）证明：∵OE 垂直于弦BC∴△BOE+△OBF=90°∵△CBE=2△C ， △BOE=2△C∴△CBE=△BOE∴△CBE+△OBF=90°∴△OBE=90°∴BE 与△O 相切；（2）解：∵OE 垂直于弦BC∴△CFD=△BFO=90°，CF=BF.∵DF=9，tanC= 34∴CF=BF=12.设半径长是x，则OF=x-9在Rt△BOF中∵x2=(x-9)2+122∴x= 25 2∴直径AB=25.。
九年级数学锐角三角函数的专项培优练习题含答案
九年级数学锐角三角函数的专项培优练习题含答案一、锐角三角函数1．（6分）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．【答案】．【解析】试题分析：作AD⊥BC于D，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据正切的定义求出CD的长，得到答案．试题解析：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°，∴∠C=60°，在Rt△ACD中，∠C=60°，AD=，则tanC=，∴CD==，∴BC=．故该船与B港口之间的距离CB的长为海里．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．2．已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD=DC，延长CB交⊙O 于点E．（1）图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；（2）如图2，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．①若CF=CD时，求sin∠CAB的值；②若CF=aCD（a＞0）时，试猜想sin∠CAB的值．（用含a的代数式表示，直接写出结果）【答案】（1）AE=CE；（2）①；②．【解析】试题分析：（1）连接AE、DE，如图1，根据圆周角定理可得∠ADE=∠ABE=90°，由于AD=DC，根据垂直平分线的性质可得AE=CE；（2）连接AE、ED，如图2，由∠ABE=90°可得AE是⊙O的直径，根据切线的性质可得∠AEF=90°，从而可证到△ADE∽△AEF，然后运用相似三角形的性质可得=AD•AF．①当CF=CD时，可得，从而有EC=AE=CD，在Rt△DEC中运用三角函数可得sin∠CED=，根据圆周角定理可得∠CAB=∠DEC，即可求出sin∠CAB的值；②当CF=aCD（a＞0）时，同①即可解决问题．试题解析：（1）AE=CE．理由：连接AE、DE，如图1，∵∠ABC=90°，∴∠ABE=90，∴∠ADE=∠ABE=90°，∵AD=DC，∴AE=CE；（2）连接AE、ED，如图2，∵∠ABE=90°，∴AE是⊙O的直径，∵EF是⊙OO的切线，∴∠AEF=90°，∴∠ADE=∠AEF=90°，又∵∠DAE=∠EAF，∴△ADE∽△AEF，∴，∴=AD•AF．①当CF=CD时，AD=DC=CF，AF=3DC，∴=DC•3DC=，∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，∴sin∠CAB=sin∠CED===；②当CF=aCD（a＞0）时，sin∠CAB=．∵CF=aCD，AD=DC，∴AF=AD+DC+CF=（a+2）CD，∴=DC•（a+2）DC=（a+2），∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，∴sin∠CAB=sin∠CED==．考点：1．圆的综合题；2．探究型；3．存在型．3．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，MD∥BC，且MD=CM，DE⊥AB于点E，连结AD、CD．（1）求证：△MED∽△BCA；（2）求证：△AMD≌△CMD；（3）设△MDE的面积为S1，四边形BCMD的面积为S2，当S2=175S1时，求cos∠ABC的值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）cos∠ABC=5 7 .【解析】【分析】（1）易证∠DME=∠CBA，∠ACB=∠MED=90°，从而可证明△MED∽△BCA；（2）由∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，可知MB=MC=AM，从而可证明∠AMD=∠CMD，从而可利用全等三角形的判定证明△AMD≌△CMD；（3）易证MD=2AB ，由（1）可知：△MED ∽△BCA ，所以2114ACB S MD S AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭V ，所以S △MCB =12S △ACB =2S 1，从而可求出S △EBD =S 2﹣S △MCB ﹣S 1=25S 1，由于1EBDS ME S EB =V ，从而可知52ME EB =，设ME=5x ，EB=2x ，从而可求出AB=14x ，BC=72，最后根据锐角三角函数的定义即可求出答案． 【详解】（1）∵MD ∥BC ， ∴∠DME=∠CBA ， ∵∠ACB=∠MED=90°， ∴△MED ∽△BCA ；（2）∵∠ACB=90°，点M 是斜边AB 的中点， ∴MB=MC=AM ， ∴∠MCB=∠MBC ， ∵∠DMB=∠MBC ，∴∠MCB=∠DMB=∠MBC ， ∵∠AMD=180°﹣∠DMB ，∠CMD=180°﹣∠MCB ﹣∠MBC+∠DMB=180°﹣∠MBC ， ∴∠AMD=∠CMD ， 在△AMD 与△CMD 中，MD MD AMD CMD AM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AMD ≌△CMD （SAS ）； （3）∵MD=CM ， ∴AM=MC=MD=MB ， ∴MD=2AB ，由（1）可知：△MED ∽△BCA ， ∴2114ACB S MD S AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭V ，∴S △ACB =4S 1， ∵CM 是△ACB 的中线， ∴S △MCB =12S △ACB =2S 1， ∴S △EBD =S 2﹣S △MCB ﹣S 1=25S 1，∵1EBDS MES EB=V ，∴1125S MEEB S =，∴52ME EB =， 设ME=5x ，EB=2x ， ∴MB=7x ， ∴AB=2MB=14x ，∵12MD ME AB BC ==， ∴BC=10x ，∴cos ∠ABC=105147BC x AB x ==. 【点睛】本题考查相似三角形的综合问题，涉及直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，三角形面积的面积比，锐角三角函数的定义等知识，综合程度较高，熟练掌握和灵活运用相关的性质及定理进行解题是关键.4．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）已知：如图，AB 是半圆O 的直径，弦//CD AB ，动点P 、Q 分别在线段OC 、CD 上，且DQ OP =，AP 的延长线与射线OQ 相交于点E 、与弦CD 相交于点F （点F 与点C 、D 不重合），20AB =，4cos 5AOC ∠=．设OP x =，CPF ∆的面积为y ．（1）求证：AP OQ =；（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域； （3）当OPE ∆是直角三角形时，求线段OP 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）236030050(10)13x x y x x -+=<<；（3）8OP =【解析】【分析】（1）证明线段相等的方法之一是证明三角形全等，通过分析已知条件，OP DQ =，联结OD 后还有OA DO =，再结合要证明的结论AP OQ =，则可肯定需证明三角形全等，寻找已知对应边的夹角，即POA QDO ∠=∠即可；（2）根据PFC ∆∽PAO ∆，将面积转化为相似三角形对应边之比的平方来求；（3）分成三种情况讨论，充分利用已知条件4cos 5AOC ∠=、以及（1）（2）中已证的结论，注意要对不符合（2）中定义域的答案舍去． 【详解】（1）联结OD ，∵OC OD =， ∴OCD ODC ∠=∠， ∵//CD AB ， ∴OCD COA ∠=∠， ∴POA QDO ∠=∠． 在AOP ∆和ODQ ∆中，{OP DQPOA QDO OA DO=∠=∠=， ∴AOP ∆≌ODQ ∆， ∴AP OQ =；（2）作PH OA ⊥，交OA 于H ， ∵4cos 5AOC ∠=， ∴4455OH OP x ==，35PH x =， ∴132AOP S AO PH x ∆=⋅=． ∵//CD AB ， ∴PFC ∆∽PAO ∆， ∴2210()()AOPy CP x S OP x∆-==， ∴2360300x x y x-+=，当F 与点D 重合时，∵42cos 210165CD OC OCD =⋅∠=⨯⨯=， ∴101016x x =-，解得5013x =，∴2360300x x y x-+=50(10)13x <<； （3）①当90OPE ∠=o 时，90OPA ∠=o ， ∴4cos 1085OP OA AOC =⋅∠=⨯=； ②当90POE ∠=o 时，1010254cos cos 25OC CQ QCO AOC ====∠∠，∴252OP DQ CD CQ CD ==-=-2571622=-=， ∵501013OP <<， ∴72OP =（舍去）； ③当90PEO ∠=o 时，∵//CD AB ， ∴AOQ DQO ∠=∠， ∵AOP ∆≌ODQ ∆， ∴DQO APO ∠=∠， ∴AOQ APO ∠=∠，∴90AEO AOP ∠=∠=o ，此时弦CD 不存在，故这种情况不符合题意，舍去； 综上，线段OP 的长为8．5．如图以△ABC 的一边AB 为直径作⊙O ，⊙O 与BC 边的交点D 恰好为BC 的中点，过点D 作⊙O 的切线交AC 边于点F.（1）求证：DF ⊥AC ；（2）若∠ABC=30°，求tan ∠BCO 的值. 【答案】(1)证明见解析; (2) tan ∠3 【解析】试题分析：（1）连接OD ，根据三角形的中位线定理可求出OD ∥AC ，根据切线的性质可证明DE ⊥OD ，进而得证．（2）过O 作OF ⊥BD ，根据等腰三角形的性质及三角函数的定义用OB 表示出OF 、CF 的长，根据三角函数的定义求解． 试题解析：证明:连接OD∵DE为⊙O的切线, ∴OD⊥DE ∵O为AB中点, D为BC的中点∴OD‖AC∴DE⊥AC(2)过O作OF⊥BD,则BF=FD在Rt△BFO中，∠ABC=30°∴OF=12OB, BF=3OB∵BD=DC, BF=FD，∴FC=3BF=33OB在Rt△OFC中，tan∠BCO=13233OBOFFCOB==.点睛：此题主要考查了三角形中位线定理及切线的性质与判定、三角函数的定义等知识点，有一定的综合性，根据已知得出OF=12OB，BF=3OB，FC=3BF=33OB是解题关键．6．如图，MN为一电视塔，AB是坡角为30°的小山坡(电视塔的底部N与山坡的坡脚A在同一水平线上，被一个人工湖隔开)，某数学兴趣小组准备测量这座电视塔的高度．在坡脚A处测得塔顶M的仰角为45°；沿着山坡向上行走40m到达C处，此时测得塔顶M的仰角为30°，请求出电视塔MN的高度．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，结果保留整数)【答案】95m【解析】【分析】过点C作CE⊥AN于点E， CF⊥MN于点F．在△ACE中，求AE＝3m，在RT△MFC中，设MN＝x m，则AN＝xm．FC3xm，可得x＋33 ( x－20)，解方程可得答案..【详解】解：过点C作CE⊥AN于点E， CF⊥MN于点F．在△ACE中，AC＝40m，∠CAE＝30°∴CE＝FN＝20m，AE＝3设MN＝x m，则AN＝xm．FC＝3xm，在RT△MFC中MF＝MN－FN＝MN－CE＝x－20FC＝NE＝NA＋AE＝x＋203∵∠MCF＝30°∴FC＝3MF，即x＋203＝3 ( x－20)解得：x＝403 31＝60＋203≈95m答：电视塔MN的高度约为95m．【点睛】本题考核知识点：解直角三角形.解题关键点：熟记解直角三角形相关知识，包括含特殊角的直角三角形性质.7．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，连接BD，将△ABD绕B点作顺时针方向旋转得到△A′B′D′（B′与B重合），且点D′刚好落在BC的延长上，A′D′与CD相交于点E．（1）求矩形ABCD与△A′B′D′重叠部分（如图1中阴影部分A′B′CE）的面积；（2）将△A′B′D′以每秒2cm的速度沿直线BC向右平移，如图2，当B′移动到C点时停止移动．设矩形ABCD与△A′B′D′重叠部分的面积为y，移动的时间为x，请你直接写出y关于x 的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；（3）在（2）的平移过程中，是否存在这样的时间x，使得△AA′B′成为等腰三角形？若存在，请你直接写出对应的x的值，若不存在，请你说明理由．【答案】（1）452；（2）详见解析；（3）使得△AA′B′成为等腰三角形的x的值有：0秒、32 秒、95- ． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可知B ′D ′＝BD ＝10，CD ′＝B ′D ′﹣BC ＝2，由tan ∠B ′D ′A ′＝'''''=A B CEA D CD 可求出CE ，即可计算△CED ′的面积，S ABCE ＝S ABD ′﹣S CED ′； （2）分类讨论，当0≤x ≤115时和当115＜x ≤4时，分别列出函数表达式； （3）分类讨论，当AB ′＝A ′B ′时；当AA ′＝A ′B ′时；当AB ′＝AA ′时，根据勾股定理列方程即可． 【详解】解：（1）∵AB ＝6cm ，AD ＝8cm ， ∴BD ＝10cm ，根据旋转的性质可知B ′D ′＝BD ＝10cm ，CD ′＝B ′D ′﹣BC ＝2cm ， ∵tan ∠B ′D ′A ′＝'''''=A B CE A D CD ∴682=CE ∴CE ＝32cm ，∴S ABCE ＝S ABD ′﹣S CED ′＝8634522222⨯-⨯÷=（cm 2）； （2）①当0≤x ＜115时，CD ′＝2x +2，CE ＝32（x +1）， ∴S △CD ′E ＝32x 2+3x +32， ∴y ＝12×6×8﹣32x 2﹣3x ﹣32＝﹣32x 2﹣3x +452； ②当115≤x ≤4时，B ′C ＝8﹣2x ，CE ＝43（8﹣2x ） ∴()214y 8223x =⨯-＝83x 2﹣643x +1283． （3）①如图1，当AB ′＝A ′B ′时，x ＝0秒；②如图2，当AA ′＝A ′B ′时，A ′N ＝BM ＝BB ′+B ′M ＝2x +185，A ′M ＝NB ＝245， ∵AN 2+A ′N 2＝36， ∴（6﹣245）2+（2x +185）2＝36，解得：x＝6695-，x＝6695--（舍去）；③如图2，当AB′＝AA′时，A′N＝BM＝BB′+B′M＝2x+185，A′M＝NB＝245，∵AB2+BB′2＝AN2+A′N2∴36+4x2＝（6﹣245）2+（2x+185）2解得：x＝32．综上所述，使得△AA′B′成为等腰三角形的x的值有：0秒、32秒、6695-．【点睛】本题主要考查了图形的平移变换和旋转变换，能够数形结合，运用分类讨论的思想方法全面的分析问题，思考问题是解决问题的关键．8．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点，点F在边BC的延长线上，且CF AE=，连接DE，DF，EF. FH平分EFB∠交BD于点H.（1）求证：DE DF⊥；（2）求证：DH DF=：（3）过点H作HM EF⊥于点M，用等式表示线段AB，HM与EF之间的数量关系，并证明.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）22EF AB HM =-，证明详见解析.【解析】【分析】（1）根据正方形性质， CF AE =得到DE DF ⊥.（2）由AED CFD △△≌，得DE DF =.由90ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠， 得45DBF ∠=︒.因为FH 平分EFB ∠，所以EFH BFH ∠=∠.由于45DHF DBF BFH BFH ∠=∠+∠=︒+∠,45DFH DFE EFH EFH ∠=∠+∠=︒+∠, 所以DH DF =.（3）过点H 作HN BC ⊥于点N ，由正方形ABCD 性质，得222BD AB AD AB =+=.由FH 平分,EFB HM EF HN BC ∠⊥⊥，，得HM HN =.因为4590HBN HNB ∠=︒∠=︒，，所以22sin 45HN BH HN HM ===︒. 由22cos 45DF EF DF DH ===︒，得22EF AB HM =-. 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD CD =，90EAD BCD ADC ∠=∠=∠=︒.∴90EAD FCD ∠=∠=︒.∵CF AE =。
必刷基础练【28.1 锐角三角函数】(解析版)
2022-2023学年九年级数学下册考点必刷练精编讲义（人教版）基础第28章《锐角三角函数》28.1 锐角三角函数知识点01：锐角三角函数的定义1．（2022秋•钢城区期中）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝2，BC＝8，则AC等于（ ）A．6B．16C．12D．4解：∵∠C＝90°，∴tan A＝＝2，∴AC＝BC＝×8＝4．故选：D．2．（2022秋•晋州市期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则cos B的值等于（ ）A．B．C．D．解：∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝6，∴cos B＝＝＝．故选：A．3．（2022秋•浦东新区期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，AC＝6，下列等式中正确的（ ）A．tan A＝B．sin A＝C．cot A＝D．cos A＝解：∵AB2＝BC2+AC2，∴AB2＝62+92＝117，∴AB＝3；A、tan A＝＝＝，故A不符合题意；B、sin A＝＝＝，故B不符合题意；C、cot A＝＝＝，故C符合题意；D、cos A＝＝＝，故D不符合题意，故选：C．4．（2022秋•杨浦区期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝3，下列各式中，正确的是（ ）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．cot A＝解：∵∠C＝90°，BC＝1，AB＝3，∴AC＝＝＝2，∴sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝＝，cot A＝＝2．故选：A．5．（2022秋•黄浦区期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝4，那么下列各式中正确的是（ ）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．cot A＝解：∵∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝，∴sin A＝＝，cos A＝＝．tan A＝＝＝，cot A＝＝．故选：A．6．（2022•睢宁县模拟）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sin B的值是 ．解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∴sin B＝＝，故答案为：．7．（2021秋•牡丹江期末）在△ABC中，∠A，∠C都是锐角，cos A＝，sin C＝，则∠B＝ 60° ．解：∵∠A，∠C都是锐角，cos A＝，sin C＝，∴∠A＝60°，∠C＝60°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝60°，故答案为：60°．8．（2022春•衡阳月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则tan B＝ ．解：∵∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，∴BC＝＝5，∴tan B＝＝．故答案为：．9．（2022秋•惠山区校级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，（1）a＝5，c＝2a，求b、∠A．＝9，求△ABC的周长．（2）tan A＝2，S△ABC解：（1）∵a＝5，c＝2a＝10，∴b＝＝＝5，∵sin A＝＝＝，∴∠A＝30°；（2）∵tan A＝＝2，∴a＝2b，∵S＝9，△ABC∴＝9，∴＝9，解得：b＝3（负数舍去），即a＝6，由勾股定理得：c＝＝＝3，∴△ABC的周长为a+b+c＝6+3+3＝9+3．10．（2022•湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sin A的值．解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝＝4，sin A＝＝．答：AC的长为4，sin A的值为．知识点02：锐角三角函数的增减性11．（2022•五通桥区模拟）若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（ ）A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60°解：∵α是锐角，∴cosα＞0，∵cosα＜，∴0＜cosα＜，又∵cos90°＝0，cos45°＝，∴45°＜α＜90°；∵α是锐角，∴tanα＞0，∵tanα＜，∴0＜tanα＜，又∵tan0°＝0，tan60°＝，0＜α＜60°；故45°＜α＜60°．故选：B．12．（2022•路南区二模）梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（ ）A．sin A的值越大，梯子越陡B．cos A的值越大，梯子越陡C．tan A的值越小，梯子越陡D．陡缓程度与∠A的函数值无关解：根据锐角三角函数值的变化规律，知sin A的值越大，∠A越大，梯子越陡．故选：A．13．（2022秋•晋江市期中）比较大小：tan50° ＜ tan60°．解：∵50°＜60°，∴tan50°＜tan60°，故答案为：＜．14．（2021秋•淮阴区期末）比较大小：sin50° ＜ sin60°（填“＞”或“＜”）．解：由于50°＜60°，根据一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大可得，sin50°＜sin60°，故答案为：＜．15．用锐角α的三角函数的定义去说明（1）0＜sinα＜1（2）0＜cosα＜1（3）tanα＞sinα解：（1）sinα＝，0＜a＜c，0＜1，即0＜sinα＜1；（2）cosα＝，0＜b＜c，0＜＜1，即0＜cosα＜1；（3）tanα＝，sinα＝，由0＜b＜c，得＞，即tanα＞sinα．16．（2019春•西湖区校级月考）如图，半径为4的⊙O内一点A，OA＝．点P在⊙B上，当∠OPA最大时，求PA的长．解：如图，作OE⊥PA于E，∵sin∠OPA＝，∴OE的值取最大值时，sin∠OPA的值最大，此时∠OPA的值最大，∵OE≤OA，∴当OE与OA重合时，即PA⊥OA时，∠OPA的值最大．如图，∵在直角△OPA中，OA＝2，OP＝4，∴PA＝＝2．知识点03：同角三角函数的关系17．（2022春•巴东县期中）x为锐角，，则cos x的值为（ ）A．B．C．D．解：∵sin2x+cos2x＝1，，∴cos x＝＝＝．故选：B．18．（2021秋•舟山期末）在直角△ABC中，已知∠C＝90°，sin A＝，求cos A＝（ ）A．B．C．D．2解：∵sin2A+cos2A＝1，∴cos A＝＝.\故选：C．19．（2021•温江区校级开学）计算：（cos230°+sin230°）×tan60°＝ ．解：原式＝[（）2+（）2]×＝，故答案为：．20．（2021秋•金牛区校级期中）在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝2，则sin A+cos A＝ ．解：如图，∵tan A＝2，∴设AB＝x，则BC＝2x，AC＝＝x则有：sin A+cos A＝+＝+＝．故答案为：．21．（2020秋•万州区校级期中）计算：sin225°+cos225°﹣tan60°＝ 1﹣ ．解：∵sin225°+cos225°＝1，tan60°＝，∴sin225°+cos225°﹣tan60°＝1﹣，故答案为：1﹣．22．（2021秋•鄞州区校级月考）计算：（1）4sin260°﹣3tan30°；（2）+cos245°+sin245°．解：（1）4sin260°﹣3tan30°＝4×＝3﹣；（2）+cos245°+sin245°＝＝4+1＝5．23．（2021秋•绥宁县月考）计算：（1）sin230°+tan60°﹣sin245°+cos230°；（2）+（1+π）0﹣2cos45°﹣|1﹣|．解：（1）原式＝（）2+﹣（）2+（）2＝+﹣+＝+；（2）原式＝2+1﹣2×﹣+1＝2+1﹣﹣+1＝2．24．（2022秋•蓬莱区期中）计算：（1）﹣4cos30°+20220；（2）已知α为锐角，sin（α+15°）＝，计算﹣4cosα+tanα+（）﹣1的值．解：（1）原式＝|1﹣|﹣4×+1＝﹣1﹣2+1＝﹣；（2）∵sin60°＝，sin（α+15°）＝，∴α+15°＝60°，∴α＝45°，∴﹣4cosα+tanα+（）﹣1＝2﹣4×+1+3＝4．知识点04：互余两角三角函数的关系25．（2022秋•芝罘区期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列等式成立的是（ ）A．sin A＝sin B B．cos A＝cos B C．sin A＝cos B D．tan A＝tan B 解：∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴sin A＝cos B．故选：C．26．（2021秋•怀化期末）已知锐角α，且sinα＝cos38°，则α＝（ ）A．38°B．62°C．52°D．72°解：∵锐角α，且sinα＝cos38°，sin A＝cos（90°﹣∠A），∴sinα＝cos（90°﹣α）＝cos38°，∴90°﹣α＝38°，解得：α＝52°．故选：C．27．（2021秋•怀宁县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，则sin B＝ ．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴sin B＝cos A＝．故答案为：．28．（2020秋•肥东县期末）已知α为锐角，则sinα﹣cos（90°﹣α）＝ 0 ．解：∵α为锐角，∴sinα＝cos（90°﹣α），∴sinα﹣cos（90°﹣α）＝0．故答案为0．29．（2019秋•双流区期末）已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝，则tan B＝ ．解：如图．在Rt△ABC中，∵sin A＝＝，∴设BC＝x，AB＝3x，则AC＝＝2x，故tan B＝＝＝．故答案为：．30．（2017•吴兴区校级二模）已知cos45°＝，求cos21°+cos22°+…+cos289°的值．解：原式＝（cos21°+cos289°）+（cos22°+cos288°）+…+（cos244°+cos246°）+cos245＝（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin244°+cos244°）+cos245＝44+（）2＝44．31．化简下列各式：（1）4cos2（90°﹣θ）+4sin2（90°﹣θ）+4（2）．解：（1）原式＝4sin2θ+4cos2θ+4＝4（sin2θ+cos2θ）+4＝4+4＝8；（2）原式＝﹣1＝﹣1＝1+tan2θ﹣1＝tan2θ．知识点05：特殊角的三角函数值32．（2022秋•巨野县期中）∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝0，则∠β＝（ ）A．30°B．60°C．45°D．37.5°解：∵∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝0，∴cosβ＝，∴∠β＝60°．故选：B．33．（2021秋•梁平区期末）式子2cos30°﹣tan45°﹣的值是（ ）A．0B．2C．2D．﹣2解：原式＝2×﹣1﹣（﹣1）＝﹣1﹣+1＝0．故选：A．34．（2022秋•乳山市校级月考）在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝45°，sin C的值是（ ）A．B．C．1D．解：∵∠A＝105°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠C＝30°，∴sin C＝sin30°＝．故选：A．35．（2022秋•虎丘区校级期中）已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝ 60° ．解：∵∠α为锐角，sinα＝，∴∠α＝60°．故答案为：60°．36．（2022秋•东平县校级月考）若（3tan A﹣）2+|2sin B﹣|＝0，则以∠A、∠B为内角的△ABC的形状是 直角三角形 ．解：∵（3tan A﹣）2+|2sin B﹣|＝0，∴3tan A﹣＝0，2sin B﹣＝0，则tan A＝，sin B＝，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴以∠A、∠B为内角的△ABC的形状是直角三角形．故答案为：直角三角形．37．（2022秋•铁西区期中）在△ABC中，若sin A＝，∠A，∠B都是锐角，则∠C的度数是 75° ．解：∵，∠A，∠B都是锐角，∴∠A＝45°，∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣45°﹣60°＝75°，故答案为：75°．38．（2022秋•垦利区期中）在△ABC中，若|sin A﹣|+（﹣cos B）2＝0，则∠C的度数是 105° ．解：∵|sin A﹣|+（﹣cos B）2＝0，∴sin A﹣＝0，﹣cos B＝0，即sin A＝，cos B＝，∴∠A＝30°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．故答案为：105°．39．（2022秋•黄浦区期中）计算：．解：原式＝﹣＝cot30°﹣1﹣＝﹣1﹣＝﹣1﹣（+1）＝﹣1﹣﹣1＝﹣2．40．（2022秋•莱西市期中）计算：（1）；（2）cos60°﹣2sin245°+tan230°﹣sin30°．解：（1）原式＝＝＝﹣1﹣＝﹣；（2）原式＝﹣2×（）2+×（）2﹣＝﹣1+﹣＝﹣．。
锐角三角函数复习题
锐角三角函数复习题锐角三角函数是数学中非常重要的概念，主要用于解决与直角三角形相关的问题。
以下是一些锐角三角函数的复习题，帮助同学们巩固和加深理解。
# 锐角三角函数复习题问题1：定义理解锐角三角函数包括正弦（sine）、余弦（cosine）和正切（tangent）。
请解释这些函数的定义。
问题2：基本公式给出锐角\( \theta \)的正弦、余弦和正切的基本三角函数公式。
问题3：特殊角的三角函数值计算下列角度的正弦、余弦和正切值：- \( 30^\circ \)- \( 45^\circ \)- \( 60^\circ \)问题4：三角函数的增减性说明正弦和余弦函数在第一象限内的增减性。
问题5：同角三角函数关系给出正弦和余弦函数之间的关系式，并解释其几何意义。
问题6：和差公式列出正弦和余弦的和差公式，并给出一个例子说明如何使用这些公式解决实际问题。
问题7：二倍角公式给出正弦和余弦的二倍角公式，并解释它们如何帮助简化复杂角度的三角函数计算。
问题8：应用题在一个直角三角形中，已知一个锐角为\( \alpha \)，对边（opposite side）长度为3，邻边（adjacent side）长度为4。
求：- 斜边（hypotenuse）的长度- 另一个锐角的大小- 正切、余切、正割和余割的值问题9：三角函数的图像描述正弦和余弦函数的图像特征，包括它们的周期性、振幅和相位。
问题10：三角恒等变换给出几个三角恒等式的例子，并解释它们在解决几何问题中的应用。
结束语：通过这些复习题，同学们应该能够更好地理解锐角三角函数的概念、公式和应用。
锐角三角函数不仅在数学领域有着广泛的应用，也是解决物理、工程和建筑等领域问题的重要工具。
希望同学们能够通过练习这些题目，提高自己的数学能力。
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锐角三角函数基础巩固练习要点一：锐角三角函数的基本概念 一、选择题1.三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan α的值是（ ）A ．35B ．43 C ．34 D ．45 【解析】选C. tan α43==角的邻边角的对边αα. 2.在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝13，则sin B ＝（ ）A B ．23C ．34D ．【解析】选D. 31tan ==AB BC A ,设BC=k,则AC=3k,由勾股定理得,10)3(2222k k k BC AC AB =+=+=sin 10AC B AB == 3.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（ ）A ．23 B ．32 C ．34 D ．43【解析】选A.连接CD,由O ⊙的半径为32.得AD=3. sin B =.32sin ==AD AC D4.如图，在Rt ABC △中，ACB ∠=Rt ∠，1BC =，2AB =，则下列结论正确的是（ ）A．sin A =B ．1tan 2A = C．cos B = D．tan B =【解析】选D 在直角三角形ABC 中，1BC =，2AB =，所以AC；所以1sin 2A ＝，cos 2A，tan 3A =；sin 2B ＝，1cos 2B ＝，tan B =； 5.如图，在Rt ABC △中，CD 是斜边AB 上的中线，已知2CD =，3AC =，则sin B 的值是（ ） A ．23B ．32C ．34D ．43【解析】选C.由CD 是Rt ABC △斜边AB 上的中线，得AB=2CD=4.∴sin B 43==AB AC 6.如图，在ABC △中，90ACB ∠=，CD AB ⊥于D，若AC =AB =tan BCD ∠的值为（ ）（A（B（C（D答案：B 二、填空题ACBD7.在△ABC 中，∠C ＝90°， BC ＝6 cm ，53sin =A ，则AB 的长是 cm ． 【解析】,536sin ===AB AB BC A 解得AB=10cm 答案：108.如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则sin α= ．【解析】因为P （3，4），所以OP ＝5，所以4sin 5α=； 答案：45； 9.如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，3sin 5A =，则这个菱形的面积= cm 2．【解析】.5310sin ===DE AD DE A 解得DE=6cm.∴10660=⨯=⨯=LING S AB DE cm 2. 答案：60 三、解答题10.如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD = 24 m ，OE ⊥CD 于点E ．已测得sin ∠DOE =1213．（1）求半径OD ；（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降， 则经过多长时间才能将水排干？O【解析】（1）∵OE ⊥CD 于点E ，CD =24（m ），∴ED =12CD =12（m ）．在Rt △DOE 中，∵sin ∠DOE =ED OD =1213， ∴OD =13（m ）．（2）OE5（m ） ∴将水排干需：5÷0.5=10（小时）．11.如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE ．（1）求证：ABE △DFA ≌△；（2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值．【解析】（1）在矩形ABCD 中，90BC AD AD BC B =∠=，∥，°DAF AEB ∴∠=∠ DF AE AE BC ⊥=， 90AFD B ∴∠=∠°=AE AD =ABE DFA ∴△≌△．（2）由（1）知ABE DFA △≌△6AB DF ∴==在直角ADF △中，8AF === 2EF AE AF AD AF ∴=-=-=在直角DFE △中，DABCEFDE ==sinEF EDF DE ∴∠===12.如图，在△ABC 中，∠C =90°，sin A =54，AB =15，求△ABC 的周长和tan A 的值．【解析】在Rt △ABC 中, ∠C =90°, AB =15A sin =AB BC =54, ∴ 12=BC 912152222=-=-=BC AB AC∴周长为36,BC 124tan A .AC 93=== 13.在Rt △ABC 中，∠C = 90°，a =3 ，c =5，求sin A 和tan A 的值.【解析】在Rt △ABC 中，c =5，a =3． ∴ 22a c b -=2235-=4=∴ 53s i n ==c a A 43t a n ==b a A ．14.如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan cos B DAC =∠，(1) 求证：AC=BD ； (2)若12sin 13C =，BC =12，求AD 的长． 【解析】(1)∵AD 是BC 上的高，∴AD ⊥BC ． ∴∠ADB =90°，∠ADC =90°．在Rt △ABD 和Rt △ADC 中， ∵tan B =AD BD ，cos DAC ∠=ADAC又已知tan cos B DAC =∠∴AD BD =AD AC．∴AC=BD ． (2)在Rt △ADC 中， 12sin 13C =，故可设AD =12k ，AC =13k ．DC 5kAD AD BD 13ktan B cos DAC BC 13k 5k 122k ,AD 8.3∴=====∠∴=+=∴==要点二、特殊角的三角函数值 一、选择题1.（·钦州中考）sin30°的值为（ ）ABC ．12D答案：C2.（·长春中考）．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，45AOC OC ∠==°，B 的坐标为（ ）A． B． C．11)， D．(11)答案：C3.(·定西中考)某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ） A ．8米 B． C．3米 D．3米答案：C4.（·宿迁中考）已知α为锐角，且23)10sin(=︒-α，则α等于（ ） Ａ．︒50 Ｂ．︒60 Ｃ．︒70 Ｄ．︒80 答案：Ｃ5.（·毕节中考） A （cos60°，－tan30°）关于原点对称的点A 1的坐标是（ ）A ．123⎛- ⎝⎭， B．23⎛- ⎝⎭， C．123⎛-- ⎝⎭， D ．122⎛- ⎝⎭， 答案：A6.（·襄樊中考）计算：2cos 45tan 60cos30+等于（ ）（A ）1 （B（C ）2 （D答案：C 二、填空题7. （·荆门中考）104cos30sin 60(2)2008)-︒︒+--=______．【解析】104cos30sin 60(2)2008)-︒︒+--14()1213()1232=--=+--= 答案：238.（·百色中考）如图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B 与钢缆固定点C 的距离为4米，钢缆与地面的夹角为60º，则这条钢缆在电线杆上的固定点A 到地面的距离AB 是 米．（结果保留根号）．答案：9.（·江西中考）计算：（1）1sin 60cos302-= ． 【解析】1sin 60cos302-=.412143212323=-=-⨯ 答案：1410.（·济宁中考）计算sin 60tan 45cos30︒-︒︒的值是 。
答案：0 三、解答题11.（·黄石中考）计算：3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45° 【解析】3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45° 1111330=+--= 12.（·崇左中考）计算：0200912sin 603tan 30(1)3⎛⎫-++- ⎪⎝⎭°°．【解析】原式=231123⨯-⨯+-=0．13.（·义乌中考）计算：3602cos 458-+3602cos458-+=222-+ =2.5 要点三、解直角三角形在实际问题中的运用 一、选择题1.（·白银中考）某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ）A ．8米B ．CD 米【解析】选C. 梯子的长至少为33860sin 40=（米）. 2.（·衢州中考）为测量如图所示上山坡道的倾斜度，小明测得图中所示的数据(单位：米)，则该坡道倾斜角α的正切值是（ ）A ．14B ．4 C．D答案：A3.（·益阳中考）如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB 为（ ） A. αcos 5 B.αcos 5 C. αsin 5 D. αsin 5答案：B4.（·兰州中考）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m ．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离为（ ） A ．5m B ．6m C ．7m D ．8m【解析】选A 由坡度为0.75知，相邻两树间的水平距离为4m ，相邻两树间的垂直距A离为h ，则0.754h=，则h ＝3m ，所以坡面距离为5m ； 5.(·潍坊中考)如图，小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离，在A 点测得30BAD ∠=°，在C 点测得60BCD ∠=°，又测得50AC =米，则小岛B 到公路l 的距离为（ ）米．A ．25B ．CD ．25+【解析】选B 过点B 作BE ⊥AD 于点E ，在直角三角形BAE 中，0tan 30,BE AE=则0,tan 30BE AE =在直角三角形BCE 中，0tan 60,BE CE =则0tan 60BE CE =。
所以AE-CE=AC=50,即0050,tan 30tan 60BE BE-=解得BE ＝ 二、填空题6.（·沈阳中考）如图，市政府准备修建一座高AB ＝6m 的过街天桥，已知天桥的坡面AC 与地面BC 的夹角∠ACB 的正弦值为 35，则坡面AC 的长度为 m ．【解析】因为sin ∠ACB =536==AC AC AB ,所以AC=10 答案：10.7.（衡阳中考）某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为52米，则这个坡面的坡度为_________.答案：1:28. （南宁中考）如图，一艘海轮位于灯塔P 的东北方向，距离灯塔A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东30°方向上的B 处，则海轮行驶的路程AB 为 _____________海里（结果保留根号）．【解析】∵402224045sin 0=⨯===AP PC AC , 340334030tan 0===PC BC ∴40340+=+=AC BC AB答案：()409 (·安徽中考) 长为4m 的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了 m ．【解析】当梯子与地面夹角为045时，梯子顶端高为04sin 45)m =；当梯子与地面夹角为060时，梯子顶端高为04sin 60)m =，所以梯子顶端升高了;m答案：；10.(·庆阳中考)如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC =3米，3cos 4BAC ∠=，则梯子长AB = 米.答案：411.（·湖州中考）小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15°的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全。