gapyi指数函数的图象与性质
高一数学必修1《指数函数的图象和性质》PPT课件
深入探究
你还能发 现指数函数图 象和底数的关 系吗？
y
在第一象限 沿箭头方向 底增大
y 3x y 2x
1 y 2
x
1 y 3
x
底互为倒数的 两个函数图像 关于y轴对称
1 0
1 y 3
x
1 y 2
x
x
例题讲解
例1：已知指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的 图象经过点（2，16），求f(0),f(1),f(-3)的值。 解：∵ f(x)的图象过点（2，16）， ∴ f(2)=16即a2=16, 又a>0且a≠1 ∴ a=4 ,f(x)=4x.
y
1 y 2
x
1 y 3
x
y 3x
y 2x
1
0
1
x
y
y
y
1 y 2
x
y ax
(a 1)
1 y 3
x
y 3x
y 2x
y ax
(0 a 1)
1 1
1 1
0
x
0
0 x
x
F:\指数函数性质图象.rar
指数函数
的图像及性质
a>1
0<a<1
y=ax
(a>1)
图 象
y=1
y
y=ax
(0<a<1)
y
(0,1)
y=1 x
(0,1)
当 x > 0 时，y > 1. 当 x < 0 时，. 0< y < 1
0
x
0 当 x < 0 时，y > 1；
指数函数的图像与性质
指数函数的图像与性质指数函数是高中数学中常见的一种函数，它具有独特的图像与性质。
本文将从图像、定义、性质等方面进行讨论，以帮助读者更好地理解指数函数。
一、指数函数的定义与图像指数函数可以表示为f(x) = a^x，其中a为正实数且不等于1。
在定义域为实数集上，指数函数的图像呈现出特殊的增长趋势。
1. 当a>1时，指数函数呈现上升的趋势。
随着x的增大，f(x)的取值也呈现出逐渐增大的特点。
这是因为指数函数随着底数a的增大，幂次的增长速度加快。
2. 当0<a<1时，指数函数呈现下降的趋势。
随着x的增大，f(x)的取值逐渐减小。
这是因为指数函数随着底数a的减小，幂次的增长速度减慢。
以上两种情况都可以通过绘制函数图像来进行直观的展示。
在图像中，我们可以发现指数函数在x轴的正半轴方向具有渐近线，并且在x=0处经过点(0, 1)。
二、指数函数的性质除了图像外，指数函数还具有以下几个重要的性质。
1. 单调性：当a>1时，指数函数是递增的；当0<a<1时，指数函数是递减的。
这是由指数函数的定义所决定的。
2. 定义域与值域：由于指数函数的定义域为实数集，且底数a不等于1，因此指数函数的值域也是正实数集(0, +∞)。
3. 奇偶性：当指数函数的底数a为负时，指数函数为奇函数，即f(x) = -a^x；当底数a为正时，则指数函数为偶函数，即f(x) = a^x。
4. 渐近线：指数函数在x轴的正半轴方向具有一条水平渐近线y=0，并且在x=0处有一个横坐标为1的纵坐标，即点(0, 1)。
5. 过点(1, a)：指数函数在x=1处经过点(1, a)。
这是由指数函数的定义得出的。
通过对指数函数的图像与性质的讨论，我们可以更加全面地了解这一函数类型。
指数函数在实际问题中具有广泛的应用，例如在金融领域中的复利计算、人口增长的模型等。
因此，熟练掌握指数函数的图像与性质对于解决实际问题具有重要的意义。
指数函数的图象和性质 PPT课件(高一数学人教A版 必修一册)
y
(
1)x 2
的图
象．
高中数学
问题1 你是如何画出函数 y (1)x的图象．
2
底数互为倒数的两个指数函数的 图象关于 y 轴对称．根据这种对称性， 就可以利用一个函数的图象，画出另 一个函数的图象．
高中数学
将指数函数 y=ax 的图象按底数 a 的取值，分作 a>1 和 0<a<1两 种类型进行研究．
研究函数性质的三步曲
先做出具体函数的图象，然后通过观察、比较不同函数的图象， 最后归纳它们共同的特征．
高中数学
指数函数的图象和性质
研究指数函数 y=2x ．
高中数学
指数函数的图象和性质
研究指数函数 y=2x ． 定义域是R；
高中数学
指数函数的图象和性质
研究指数函数 y=2x ． 定义域是R； 值域是（0，+∞）？
问题3 这几个函数的图象是否能代表一般的指数函数的图象？我们 得到的性质是否推广到一般的指数函数的性质？
高中数学
问题3 这几个函数的图象是否能代表一般的指数函数的图象？我们 得到的性质是否推广到一般的指数函数的性质？
高中数学
指数函数 y=ax （ a＞0，且 a ≠ 1）的图象和性质 ．
0<a<1
x -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
y
0.35
0.71
1.41
2.83
高中数学
请同学们完成 x，y 的对应值表，并用描点法画出指数函数 y=2x 的图象．观察图象，探究函数的性质．
x -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 y 0.25 0.35 0.5 0.71 1 1.41 2 2.83 4
高一数学人必修件指数函数的图象和性质
在生物学领域，指数函数用于描述生物种群的繁殖速度。某 些生物种群的增长符合指数函数的规律，如细菌繁殖、昆虫 数量增长等。
其他领域应用案例
放射性衰变
在物理学中，指数函数用于描述放射性物质的衰变过程。放射性元 素的原子数量随时间呈指数减少。
化学反应速率
化学领域中，指数函数可用于描述某些化学反应的速率。反应速率 与反应物浓度的关系可以用指数函数表示。
同底数幂相乘
幂的乘方
底数不变，指数相加。即$a^m times a^n = a^{m+n}$。
底数不变，指数相乘。即$(a^m)^n = a^{m times n}$。
同底数幂相除
底数不变，指数相减。即$a^m div a^n = a^{m-n}$。
幂的乘方法则
1 2
正整数指数幂的乘法
$(a^m)^n = a^{m times n}$，其中$m, n$为 正整数。
指数函数图像与坐标轴交点
指数函数的图像与x轴没有交点，与y轴的交点是(0,1)。
指数函数性质总结
指数函数的单调性
当a>1时，指数函数在定义域 内单调递增；当0<a<1时，指 数函数在定义域内单调递减。
指数函数的奇偶性
指数函数既不是奇函数也不是 偶函数。
指数函数的值域
指数函数的值域是(0, +∞)。
形如y=a^x（a>0且a≠1）的函 数叫做指数函数。
指数函数表达式
y=a^x，其中a是自变量，x是指 数，y是因变量。
指数函数图像特征
指数函数图像形状
指数函数的图像是一条从坐标原点出发，向右上方或右下方无限 延伸的曲线。
指数函数图像位置
当a>1时，图像位于第一象限和第二象限；当0<a<1时，图像位于 第一象限和第四象限。
高一数学 必修1 第15讲-指数函数的图像及性质
第15讲 指数函数图像及其性质姓名： 学校： 年级：【知识要点】一、指数函数的概念、图象和性质 定义函数x y a =(0a >，且1)a ≠叫做指数函数．指数函数图象分类1a > 01a <<指数函数图象特征向x 轴、y 轴正半轴方向无限延伸图象关于原点和y 轴都不对称函数图象都在x 轴上方 函数图象都过定点（0，1）自左向右看，图象逐渐上升 自左向右看，图象逐渐下降 在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1 图象上升趋势是越来越陡图象下降趋势是越来越缓指数函数性质函数的定义域为R 非奇非偶函数 函数的值域为()0,+∞在定义域上是增函数在定义域上是减函数1a ,0x x >> 1a ,0x x <> 1a ,0x x <<1a ,0x x ><函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；【典型例题】例1．下列以x 为自变量的函数中，是指数函数的是 （ ）A ．(4)xy =- B x y π=C ．4x y =- D.2,(01)x y a a a +=>≠且例2．若指数函数xa y )2(-=是单调递减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．()1,0∈aB ．()∞+∈,1aC ．()3,2∈aD ．()∞+∈,3a例3．若2)41(<m，则m 的取值范围是例4．指数函数()x f x a =图像过点)161,2(，令x a x g =)(，求的)(x g 定义域和值域例5、若)10(,)(≠<=a a x f x，写出下列函数的图像所经过的定点的坐标。
⑴11)(+=x ax f __________；⑵1)(12+=-x ax f __________；⑶13)(+-=x a x f __________。
指数函数的图像和性质
指数函数的图像和性质指数函数是数学中常见的一种函数类型，它的图像和性质在数学学习中具有重要的意义。
本文将从图像和性质两个方面，对指数函数进行详细的分析和说明。
一、指数函数的图像指数函数的一般形式为y=a^x，其中a为底数，x为指数。
在探究指数函数的图像时，我们可以固定底数a的值，观察指数x的变化对应的函数值y的变化。
1. 当底数a>1时，指数函数呈现增长趋势。
例如，当a=2时，指数函数y=2^x的图像是逐渐上升的曲线。
随着指数x的增大，函数值y呈现出迅速增长的特点。
这说明指数函数在底数大于1的情况下，随着指数的增加，函数值呈现指数级增长。
2. 当底数0<a<1时，指数函数呈现衰减趋势。
例如，当a=0.5时，指数函数y=0.5^x的图像是逐渐下降的曲线。
随着指数x的增大，函数值y呈现出逐渐趋近于0的特点。
这说明指数函数在底数小于1的情况下，随着指数的增加，函数值呈现指数级衰减。
3. 当底数a=1时，指数函数呈现恒定趋势。
无论指数x取任何值，函数值y始终等于1。
这说明指数函数在底数为1时，函数值不随指数的变化而变化。
通过观察指数函数的图像，我们可以发现指数函数具有明显的特点：底数大于1时，函数呈现增长趋势；底数小于1时，函数呈现衰减趋势；底数为1时，函数呈现恒定趋势。
二、指数函数的性质除了图像特点外，指数函数还具有一些重要的性质，这些性质在数学学习中有着广泛的应用。
1. 指数函数的定义域为实数集R，值域为正实数集R+。
这意味着指数函数在实数范围内都有定义，并且函数值始终为正数。
2. 指数函数的性质与底数a的大小有关。
当底数a>1时，函数呈现增长趋势；当底数0<a<1时，函数呈现衰减趋势；当底数a=1时，函数值始终为1。
3. 指数函数具有幂运算的性质。
即指数函数的乘法可以转化为指数的加法，指数函数的除法可以转化为指数的减法。
例如，对于指数函数y=a^x和y=b^x，它们的乘积可以表示为y=(ab)^x，它们的商可以表示为y=(a/b)^x。
指数函数的图像和性质
指数函数的图像和性质指数函数是一类重要的数学函数，在数学和其他学科的研究中具有广泛的应用。
本文将介绍指数函数的图像和性质，帮助读者更好地理解和应用这一函数。
1. 定义指数函数是以指数为自变量，底数大于0且不等于1的函数。
一般形式为f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数。
指数可以是实数，函数值则可以是正数、负数或零。
2. 指数函数的图像由于底数大于0且不等于1，指数函数的图像不会通过原点(0,0)。
当指数x为0时，函数值为1，因此图像会经过点(0,1)。
当指数x为正值时，函数值逐渐增大；当指数x为负值时，函数值逐渐减小。
图像可以根据底数的不同呈现不同的特点。
3. 底数大于1的指数函数当底数a大于1时，指数函数的图像呈现上升趋势，即从左至右逐渐增大。
随着指数x的增大，函数值也会变得越来越大。
当a越接近1时，曲线的增长速度会变得越来越缓慢。
例如，y = 2^x的图像在x轴的右侧逐渐升高，但增长速度逐渐减慢。
4. 底数介于0和1之间的指数函数当底数a介于0和1之间时，指数函数的图像呈现下降趋势，即从左至右逐渐减小。
随着指数x的增大，函数值会越来越接近于0。
当a越接近0时，曲线的下降速度会越来越慢。
例如，y = (1/2)^x的图像在x轴的右侧逐渐下降，但下降速度逐渐变缓。
5. 指数函数的水平位移指数函数的图像可以通过水平位移产生变化。
将指数函数右移h个单位，可以得到f(x-h)。
这样做会使整个图像向右平移h个单位。
同样，向左移动h个单位可以得到f(x+h)，将整个图像向左平移h个单位。
6. 指数函数的垂直位移指数函数的图像也可以通过垂直位移产生变化。
将指数函数上移k个单位，可以得到f(x)+k。
这样做会使整个图像上移k个单位。
同样，向下移动k个单位可以得到f(x)-k)，整个图像下移k个单位。
7. 指数函数的对称性对于底数a大于1的指数函数，以y轴为对称轴，具有对称性。
即f(x) = a^x的图像关于y轴对称。
指数函数图像及性质总结
指数函数图像及性质总结指数函数是一种十分重要的数学函数，它在许多理论分析和应用中发挥着十分重要的作用。
指数函数的图像及性质都是数学研究者比较关注的热点，本文主要围绕指数函数图像和性质的变化规律进行总结，说明指数函数的特性及其存在的意义。
指数函数的定义是：若存在一个正数a（a > 0，且a 1），则指数函数的定义是：定义域为R（R>0）的函数，作为变量x的函数，其值为：y = a^x。
记录下函数的图像时，可以看到指数函数是一条曲线，其关于原点对称，且在原点处对称轴斜率为无穷大，函数和x轴有交点，其斜率始终保持不变。
此外，指数函数的曲线的特性可以归纳为以下几点：1.指数函数的图像是以原点为中心的凸性曲线，它可以分成两部分，一部分是以原点为起始点的向上凸函数，另一部分是以原点为起始点的向下凹函数；2.指数函数是一类复杂的函数，其增减性强烈，函数值变化迅速，即使改变x轴上一点距离，函数值也会发生很大变化；3.指数函数可以看作是指数形函数的一种特殊形式，其函数值都只有“增”而没有“减”；4.指数函数的图像的斜率是正的，且在原点附近是很大的；5.指数函数的图像的切线恒等于指数函数的参数a（a>0，a≠1）；6.指数函数的图像的反函数是对数函数，是比较重要的一类函数；7.指数函数的图像的对称中心是原点，即指数函数的图像是关于原点对称的。
指数函数的存在也有着重要的实际意义，它主要有下列几点： 1.指数函数可以用来描述经济、生物、物理等现实中具有指数增长规律的客观事物；2.指数函数可以用来描述现实中非常复杂的客观事物，如测量湿度、计算昆虫繁殖率、测量光谱能级间距等；3.指数函数可以用来描述复杂的计算过程，如计算未来某一金融投资的价值变化，计算税务收入的趋势等；4.指数函数可以用来描述连续变化的事物，如温度变化，植物生长变化等；5.指数函数可以用来描述现实中衰减的现象，如放射性元素衰减，材料性能衰减等。
指数函数的图像和性质
指数函数的图像和性质指数函数是高中数学中的重要概念，是实数范围内的一类特殊函数。
指数函数的图像和性质对于深入理解数学和应用到实际问题中都有很大帮助。
在本文中，我们将讨论指数函数的图像和性质，以便读者能够更好地理解这一概念。
一、指数函数的定义指数函数是形如y=a^x的函数，其中a为常数且a>0，x为自变量，y为因变量。
其中，a被称为底数，x被称为指数，a和x可以是正数、负数或零。
在指数函数中，底数为正数时，函数值随着指数的增大而变得非常大，函数图像呈指数增长趋势。
底数为1时，函数值始终为1。
底数为小于1的正数时，函数值随着指数的增大而逐渐变小，函数图像呈指数衰减趋势。
底数为负数时，函数图像具有各种特殊性质，需要进行特殊的讨论。
因此，在指数函数的图像和性质中，底数的符号和大小都是重要的因素。
二、指数函数的图像为了更好地理解指数函数的图像，我们可以分别讨论不同底数的指数函数。
1.底数a>1的指数函数当底数a>1时，指数函数呈现指数增长趋势。
例如，y=2^x的函数图像如下所示：（插入一张y=2^x的函数图像）当x等于0时，函数值为1。
随着x的增大，函数的值也增大，但增长速度越来越快。
当x趋近于正无穷小和负无穷时，函数值逐渐趋近于0。
2.底数a=1的指数函数当底数为1时，函数值始终为1，函数图像是一条直线。
例如，y=1^x的函数图像如下所示：（插入一张y=1^x的函数图像）3.底数0<a<1的指数函数当底数0<a<1时，指数函数呈现指数衰减趋势。
例如，y=(1/2)^x的函数图像如下所示：（插入一张y=(1/2)^x的函数图像）当x等于0时，函数值为1。
随着x的增大，函数的值也减小，但衰减速度越来越慢。
当x趋近于正无穷时，函数值逐渐趋近于0。
4.底数a<0的指数函数当底数为负数时，函数图像具有各种特殊性质，需要进行特殊的讨论。
例如，y=(-2)^x的函数图像如下所示：（插入一张y=(-2)^x的函数图像）可以看出，当x为奇数时，函数值为负数，当x为偶数时，函数值为正数。
指数函数的图象和性质(新人教A版必修一)gai
1.7 1.7
0.3
2.5
3
(2 ) (4 )
0.8
3 4
− 0.1
0.8
3 4
− 0.2
1.7 0.9
3.1
1.9 1.2
例题讲解
例2：解不等式
(1) 2 >0.5 −3 −4 ( 3) a >a
3x−1
( 2) ( 4)
0.6
x
x2 + x−2 x
<1
4 − 3⋅ 2 − 4 > 0
例题讲解
指数函数
的图像及性质
a>1
y y=ax
(a>1) (0,1)
0<a<1
y=ax
(0<a<1)
y
(0,1)
图像
y=1 0 x 0
y=1 x
定义域 值 域 性 质
R
( 0,+ ∞ ) 恒 过 点：( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 .
渐近线： 渐近线： x轴 奇偶性： 奇偶性： 非奇非偶函数 在 R 上是单调 增函数 在 R 上是单调 减函数
深入探究
y
1 y= 2
x
1 y= 3
x
在第一象限 底数越大， 图像越高
y = 3x y = 2x
底数互为倒数 的两个指数函 数图像关于y 轴对称
1 0
1 y= 3
x
1 y= 2
x
x
例题讲解
例1： 比 较 大 小
(1) (3 )
例Hale Waihona Puke ：(1) y=2x−3 + 3恒过_______ ( 2) y=a x +b-1图象过二、三、四象限，a、b范围_____ 3) f ( x ) =a x g ( x ) =b x a>1 b>1当 f ( x1 ) = g ( x2 ) = 2时 (
2.指数函数图象及其性质人教版高中数学必修一PPT课件
2.指数函数图象及其性质人教版高中 数学必 修一PPT 课件
6
2.指数函数图象及其性质人教版高中 数学必 修一PPT 课件
探究一 指数函数的概念
• 【例】下列函数中，哪些是指数函数？
•
(1)y＝10x；(2)y＝10x＋1；(3)y＝－4x；(4)y＝xx；(5)y＝xα(α是常数)．
2.指数函数图象及其性质人教版高中 数学必 修一PPT 课件
换元后，t＝(
1 2
)
x的取值范围应
函数的值域是(0，＋∞)．一般地，
为(0，＋∞)．错解中把t的取值范 对于y＝af(x)型函数，先求出f(x)
围当成了R.
的值域A，再画出y＝ax(x∈A)的
草图或利用函数的单调性，就能
很容易求出原函数的值域.
40
•
(2)令2x＋b＝0，得2×1＋b＝0，∴b＝－2.
•
(3)y＝a|x|是偶函数，图象关于y轴对称．
• 【答案】(1)(1,2) (2)－2 (3)B
27
探究三 函数的定义域、值域问题
• 【例】求下列函数的定义域和值域：
1
•
(1)y＝2x−4 ；
(2)y＝(23)－|x|.
28
解析：
• •
【解析故】原(1)函令数t＝的x定－1 义4，域∵为x∈(－R∞且，x4≠)4∪.∴(4t，≠0＋.∴∞y)＝，2值t∈域(0为,1()0∪,1()1∪，(＋1，∞＋)，∞)．
助图象的直观性来求值域．
30
探究三 函数的定义域、值域问题
• 【练】函数y＝8－23－x(x≥0)的值域是________．
31
解析：
• 【解析】∵x≥0，∴－x≤0，
指数函数性质及图像
指数函数性质及图像指数函数定义为y=a^x(a>0,a1)，其中，x 为“指数”，a 为“底数”，y 为“值”。
指数函数可以用于描述一定规律的大小之间的变化关系。
从数学上讲，指数函数属于多项式函数中的特例，其特点是当变量 x加 1，函数值 y 会翻倍或减半，而不像多项式函数那样只会减少很小的数量，比如，当 x 从 0加到 1，y 会从 a^0加到 a^1。
指数函数的性质有如下几点：（1）变量 x指数函数中的未知数，而 a是指数函数中的常量；（2）当 a > 1，指数函数单调递增；当 a < 1，指数函数单调递减；当 a = 1，指数函数是线性函数；（3）任意两个底数不一样的指数函数互不相等，但两个有着相同底数的指数函数则相等；（4）指数函数可以增加或减少的极限是无穷大或无穷小；（5）指数函数是可导函数，其导数可以由变量 x决定，只有当x 为正数或0时其导数才有意义，如当 x 为正数时，其导数为 a^x * ln(a)；（6）对于指数函数而言，当其变量 x大时，其函数值 y 会越大，也就是说随着 x增大，y按照指数函数变化，而不像线性函数那样按照简单的等比数列变化。
二、指数函数的图像指数函数的图像只有在二维坐标系内才能看到，在二维坐标系内，指数函数的图像具有以下几个特点：（1）指数函数图像与底数 a正比，因此，当 a > 1，图像的斜率增大，而 a < 1，斜率减小；（2）指数函数的图像是一条弯曲的曲线；（3）指数函数的变量 x 与底数 a取值有关，当 a = 1，x值大小范围为所有实数；当 a > 1，x取值范围是所有正数；当 a < 1，x取值范围是所有负数；（4）指数函数的图像不会交叉，即，它的定义域和值域是相同的；（5）指数函数的图像没有不连续的部分，它表示的是一个连续的函数。
三、指数函数的应用指数函数的性质和图像有着广泛的应用，下面介绍几个比较常见的指数函数的应用：（1）指数函数在金融中有着重要的应用，例如，可以通过指数函数来计算投资利息、通货膨胀率等；（2）指数函数可以用来描述物理数据，例如压强温度曲线、热变形速度温度曲线等；（3）指数函数在社会学、政治科学和投票学中也有着广泛的用途，它可以帮助我们进行统计分析和预测社会变化；（4）指数函数也可以用来模拟电路中的电流电压曲线、正弦波等。
指数函数的图像和性质
指数函数的图像和性质指数函数是一种常见的数学函数，其图像具有独特的特征和性质。
本文将介绍指数函数的图像和性质，帮助读者更好地了解和应用该函数。
一、指数函数的定义和基本形式指数函数是以底数为常数的指数幂的形式表达的函数，一般表示为f(x) = a^x。
其中，a为底数，x为指数，f(x)为函数值。
二、指数函数的图像在探究指数函数的图像之前，我们先来了解指数函数的基本性质：1. 当底数a > 1时，指数函数呈现增长趋势。
随着x的增大，函数值不断增加，曲线向上弯曲。
2. 当0 < a < 1时，指数函数呈现衰减趋势。
随着x的增大，函数值不断减小，曲线向下弯曲。
3. 当a = 1时，指数函数恒等于1，即f(x) = 1。
基于以上性质，我们可以绘制指数函数的图像。
以底数a = 2为例，我们来观察指数函数y = 2^x的图像：在x轴上选取一些不同的x值，计算对应的y值，得到的一组坐标点(x, y)即为函数的图像上的点。
通过连接这些点，我们可以得到指数函数y = 2^x的图像。
三、指数函数的性质指数函数具有以下特性和性质：1. 存在性质：指数函数在定义域内始终存在定义，即对于任意实数x，指数函数f(x) = a^x始终有意义。
2. 定义域和值域：指数函数的定义域为所有实数，即(-∞, +∞)；值域是(0, +∞)。
3. 奇偶性：根据指数函数的定义可知，对于任意实数x，f(x) = a^x > 0。
因此，指数函数没有奇偶性。
四、指数函数的几何性质指数函数在几何上具有以下性质：1. 对称性：指数函数的图像关于y轴是对称的。
即对于任意x，有f(-x) = a^(-x) = 1/(a^x) = 1/f(x)。
2. 渐近线：当x趋近于负无穷时，指数函数的图像趋近于x轴；当x趋近于正无穷时，指数函数的图像趋近于y轴。
这两条直线分别被称为指数函数的水平渐近线和垂直渐近线。
3. 最值和极值点：当a > 1时，指数函数的最值出现在x轴的左侧端点x = -∞处，最小值为0；当0 < a < 1时，指数函数的最值出现在x轴的右侧端点x = -∞处，最大值为正无穷。
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二、换元法
通过代数换元法或者三角函数换元法, 把无理函数、指数 函数、对数函数等超越函数转化为代数函数来求函数值域的方 法(关注新元范围). 例2 求下列函数的值域: 3 (1) y=x- x-1 ; [ 4 , +∞)
三、分离常数法
主要适用于具有分式形式的函数解析式, 通过变形, 将函 数化成 y=a+ b 的形式. g(x)
2x 例4 求下列函数的值域: (1)y= 2x+1 ; (0, 1)
四、利用函数的单调性
主要适用于 (1) y=ax+b+ cx+d (ac>0)形式的函数; (2)利用 k 基本不等式不能求得 y=x+ x (k>0)的最值(等号不成立)时. 例7 求下列函数的值域: (1)y= 1-2x - x ; [- 1 , +∞) 2 (3)y= x+3 - x . (0, 3 ]
备选例题
已知函数 f(x)＝3x，且 f(a＋2)＝18，g(x)＝3ax－4x 的 定义域为[－1,1]． (1)求 g(x)的解析式； (2)判断 g(x)的单调性； (3)若方程 g(x)＝m 有解，求 m 的取值范围．
【解析】(1)因为 f(x)＝3 ，且 f(a＋2)＝3 所以 3a＝2. 因为 g(x)＝3ax－4x＝(3a)x－4x， 所以 g(x)＝2x－4x，x∈[－1,1]．
x
a＋2
＝18，
12 1 (2)g(x)＝－(2 －2) ＋4，
x
1 当 x∈[－1,1]时，2 ∈[2，2]．
x
12 1 1 令 t＝2 ，由二次函数单调性知 y＝－(t－2) ＋4在[2，
x
2]上是减函数，所以函数 g(x)在[－1,1]上是减函数．
1 (3)由(2)知，t＝2 ∈[2，2]，
【点评】指数函数是构成复杂函数的一个基本单 元，其性质、定义域、值域直接影响整个函数．
素材4
已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x∈(0,1)时，f(x) 2x ＝ x . 4 ＋1 (1)求 f(x)在(－1,1)上的解析式； (2)证明：f(x)在(0,1)上是减函数．
【解析】(1)因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 所以当 x＝0 时，f(x)＝0. 设 x∈(－1,0)，则－x∈(0,1)， 2x 所以 f(x)＝－f(－x)＝－ －x ＝－ x ， 4 ＋1 4 ＋1 2
2x 0<x<1 4x＋1 所以 f(x)＝0 x＝0 2x － －1<x<0 4x＋1
－x
.
(2)证明：设 0<x1<x2<1，则 2x1 2x2 f(x1)－f(x2)＝ － 4x1＋1 4x2＋1 2x1＋2x2＋2x1－22x1＋x2－2x2 ＝ 4x1＋14x2＋1 2x1－2x21－2x1＋x2 ＝ . 4x1＋14x2＋1 因为 0<x1<x2<1，所以 2x1<2x2，2x1＋x2>1， 所以 f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)． 故 f(x)在(0,1)上是减函数．
－2
1 －|x| |x| 所以 f(x)＝(2) ＝2 ，所以 f(－2)>f(－1)，故选 A.
3x－1 (2)因为 f(x)＝ 1－3x
x≥0 ， x<0
又 c<b<a，且 f(c)>f(a)>f(b)， 故 c<0，a>0，则 1－3c>3a－1，所以 3c＋3a<2，故选 D.
【点评】(1)对带有绝对值的函数作图，一般有两 种方法，一种是去掉绝对值，化简函数式后作图；一 种是不去掉绝对值，利用图象变换作图． (2)复合函数的值域可采用换元法， 结合中间变量 范围求函数值域；复合函数的单调性，根据内外函数 的单调性，由“同增异减”的规律来确定．
素材3
(1)设函数 f(x)＝a A．f(－2)>f(－1法
当函数的解析式明显具备某种几何意义, 像两点间的距离 公式、直线斜率等时可考虑用数形结合法. 例8 求下列函数的值域: (1)y=|x-1|+|x+4| ; [5, +∞)
指数函数的图象与性质
1 |x－1| 【例 3】已知函数 f(x)＝(3) . (1)作出函数图象； (2)指出其单调区间； (3)写出函数值域，并指出当 x 取何值时，f(x)有最值； (4)若关于 x 的方程 f(x)＝m 有负数根， m 的取值范围． 求
【解析】因为
1 x－1 x≥1 3 f(x)＝ 3x－1 x<1
.
(1)图象如右． (2)由图可知，f(x)在(－∞，1]上是增函数，在[1，＋∞) 上是减函数．
(3)函数 f(x)的值域是(0,1]． 当 x＝1 时，f(x)有最大值，且[f(x)]max＝f(1)＝1，f(x) 无最小值． 1 (4)由图可知，f(x)＝m 有负根，则 0<m<3， 1 故 m 的取值范围是(0，3)．
单调性来比较；
2若 底 数 、 指 数 均 不 相 同 ， 则 可 引 入 中 间 量 或
画图象来比较． 4． 利 用 指 数 函 数 的 概 念 、 图 象 、 性 质 讨 论 一 些 复合函数的相应问题是常考题型，应注意数形 结合、分类讨论、化归等数学思想的灵活运用．
x
研究几个指数函数尽量化为同底．
3． 指 数 函 数 的 性 质 主 要 是 单 调 性 ， 比 较 大 小 是 单 调 性 的 一 个 重 要 应 用 ， 比 较 时 注 意 底 数 与1的 大 小 分 类 讨 论 ．
1 若 底 数 相 同 ， 指 数 不 同 ， 则 利 用 指 数 函 数 的
x
则方程 g(x)＝m 有解⇔2x－4x＝m 在[－1,1]内解 12 1 1 ⇔m＝t－t ＝－(t－2) ＋4，t∈[2，2]．
2
1 所以 m 的取值范围是[－2，4]．
1． 分 数 指 数 幂 的 定 义 揭 示 了 分 数 指 数 幂 与 根 式 的关系，因此，根式的运算可以转化为分数指 数幂的运算．在运算过程中，要贯彻先化简后 计算的原则，并且注意运算的顺序． 2． 指 数 函 数 y＝ a 的 底 数 须 满 足 条 件 a 0 且 a 1，
－|x|
(a>0，且 a≠1)，f(2)＝4，则( B．f(－1)>f(－2) D．f(－2)>f(2)
)
(2)设 f(x)＝|3x－1|，c<b<a，且 f(c)>f(a)>f(b)，则下列关系 式中一定成立的是( A．3c>3b C．3c＋3a>2 ) B．3b>3a D．3c＋3a<2
1 【解析】 (1)因为 f(2)＝4，即 a ＝4，所以 a＝2，
四
指数函数的综合应用
a － 【例 4】已知函数 f(x)＝ 2 (ax－a x)(a>0 且 a≠1)． a －1 (1)判断函数 f(x)的奇偶性； (2)讨论 f(x)的单调性； (3)当 x∈[－1,1]时，f(x)≥b 恒成立，求 b 的取值范围．
【分析】 (1)函数的奇偶性可由定义来判断； (2)函数的单调 性可由定义，导数法或由基本函数的单调性观察确定，对 含参问题注意参数对单调性的影响；(3)f(x)≥b 恒成立，只 需[f(x)]min≥b.
－ － －
2
x
－x
(3)由(2)可知，函数 f(x)为 R 上的增函数， 当 x∈[－1,1]时，f(－1)≤f(x)≤f(1)， a － 所以[f(x)]min＝f(－1)＝ 2 (a 1－a)＝－1. a －1 要使 f(x)≥b 在[－1,1]上恒成立，则只需 b≤－1. 所以 b 的取值范围是(－∞，－1]．
【解析】 (1)函数 f(x)的定义域为 R，关于原点对称． a － 又 f(－x)＝ 2 (a x－ax)＝－f(x)， a －1 所以函数 f(x)为奇函数．
(2)当 a>1 时，a －1>0，又 y＝a 为增函数，y＝a 为减函 数，从而 y＝ax－a x 为增函数，所以 f(x)为增函数． 当 0<a<1 时，a2－1<0，又 y＝ax 为减函数，y＝a x 为增函 数，从而 y＝ax－a x 为减函数，所以 f(x)为增函数． a － 故当 a>0， a≠1 时， 且 函数 f(x)＝ 2 (ax－a x)在 R 上是 a －1 增函数．
一、配方法
形如 y=af 2(x)+bf(x)+c(a≠0) 的函数常用配方法求函数的值 域, 要注意 f(x) 的取值范围. 例1 (1)求函数 y=x2+2x+3 在下面给定闭区间上的值域: ①[-4, -3]; ②[-4, 1]; ③[-2, 1]; ④[0, 1]. [6, 11]; [2, 6]; [3, 6]. [2, 11];