gapyi指数函数的图象与性质

备选例题
已知函数 f(x)＝3x，且 f(a＋2)＝18，g(x)＝3ax－4x 的 定义域为[－1,1]． (1)求 g(x)的解析式； (2)判断 g(x)的单调性； (3)若方程 g(x)＝m 有解，求 m 的取值范围．
【解析】(1)因为 f(x)＝3 ，且 f(a＋2)＝3 所以 3a＝2. 因为 g(x)＝3ax－4x＝(3a)x－4x， 所以 g(x)＝2x－4x，x∈[－1,1]．
2x 例4 求下列函数的值域: (1)y= 2x+1 ; (0, 1)
四、利用函数的单调性
主要适用于 (1) y=ax+b+ cx+d (ac>0)形式的函数; (2)利用 k 基本不等式不能求得 y=x+ x (k>0)的最值(等号不成立)时. 例7 求下列函数的值域: (1)y= 1-2x - x ; [- 1 , +∞) 2 (3)y= x+3 - x . (0, 3 ]
四
指数函数的综合应用
a － 【例 4】已知函数 f(x)＝ 2 (ax－a x)(a>0 且 a≠1)． a －1 (1)判断函数 f(x)的奇偶性； (2)讨论 f(x)的单调性； (3)当 x∈[－1,1]时，f(x)≥b 恒成立，求 b 的取值范围．
【分析】 (1)函数的奇偶性可由定义来判断； (2)函数的单调 性可由定义，导数法或由基本函数的单调性观察确定，对 含参问题注意参数对单调性的影响；(3)f(x)≥b 恒成立，只 需[f(x)]min≥b.
x
研究几个指数函数尽量化为同底．
3． 指 数 函 数 的 性 质 主 要 是 单 调 性 ， 比 较 大 小 是 单 调 性 的 一 个 重 要 应 用 ， 比 较 时 注 意 底 数 与1的 大 小 分 类 讨 论 ．
1 若 底 数 相 同 ， 指 数 不 同 ， 则 利 用 指 数 函 数 的
【解析】因为
1 x－1 x≥1 3 f(x)＝ 3x－1 x<1
.
(1)图象如右． (2)由图可知，f(x)在(－∞，1]上是增函数，在[1，＋∞) 上是减函数．
(3)函数 f(x)的值域是(0,1]． 当 x＝1 时，f(x)有最大值，且[f(x)]max＝f(1)＝1，f(x) 无最小值． 1 (4)由图可知，f(x)＝m 有负根，则 0<m<3， 1 故 m 的取值范围是(0，3)．
单调性来比较；
2若 底 数 、 指 数 均 不 相 同 ， 则 可 引 入 中 间 量 或
画图象来比较． 4． 利 用 指 数 函 数 的 概 念 、 图 象 、 性 质 讨 论 一 些 复合函数的相应问题是常考题型，应注意数形 结合、分类讨论、化归等数学思想的灵活运用．
x
则方程 g(x)＝m 有解⇔2x－4x＝m 在[－1,1]内解 12 1 1 ⇔m＝t－t ＝－(t－2) ＋4，t∈[2，2]．
2
1 所以 m 的取值范围是[－2，4]．
1． 分 数 指 数 幂 的 定 义 揭 示 了 分 数 指 数 幂 与 根 式 的关系，因此，根式的运算可以转化为分数指 数幂的运算．在运算过程中，要贯彻先化简后 计算的原则，并且注意运算的顺序． 2． 指 数 函 数 y＝ a 的 底 数 须 满 足 条 件 a 0 且 a 1，
五、数形结合法
当函数的解析式明显具备某种几何意义, 像两点间的距离 公式、直线斜率等时可考虑用数形结合法. 例8 求下列函数的值域: (1)y=|x-1|+|x+4| ; [5, +∞)
指数函数的图象与性质
1 |x－1| 【例 3】已知函数 f(x)＝(3) . (1)作出函数图象； (2)指出其单调区间； (3)写出函数值域，并指出当 x 取何值时，f(x)有最值； (4)若关于 x 的方程 f(x)＝m 有负数根， m 的取值范围． 求
【解析】 (1)函数 f(x)的定义域为 R，关于原点对称． a － 又 f(－x)＝ 2 (a x－ax)＝－f(x)， a －1 所以函数 f(x)为奇函数．
(2)当 a>1 时，a －1>0，又 y＝a 为增函数，y＝a 为减函 数，从而 y＝ax－a x 为增函数，所以 f(x)为增函数． 当 0<a<1 时，a2－1<0，又 y＝ax 为减函数，y＝a x 为增函 数，从而 y＝ax－a x 为减函数，所以 f(x)为增函数． a － 故当 a>0， a≠1 时， 且 函数 f(x)＝ 2 (ax－a x)在 R 上是 a －1 增函数．
－2
1 －|x| |x| 所以 f(x)＝(2) ＝2 ，所以 f(－2)>f(－1)，故选 A.
3x－1 (2)因为 f(x)＝ 1－3x
x≥0 ， x<0
又 c<b<a，且 f(c)>f(a)>f(b)， 故 c<0，a>0，则 1－3c>3a－1，所以 3c＋3a<2，故选 D.
x
a＋2
＝18，
12 1 (2)g(x)＝－(2 －2) ＋4，
x
1 当 x∈[－1,1]时，2 ∈[2，2]．
x
12 1 1 令 t＝2 ，由二次函数单调性知 y＝－(t－2) ＋4在[2，
x
2]上是减函数，所以函数 g(x)在[－1,1]上是减函数．
1 (3)由(2)知，t＝2 ∈[2，2]，
一、配方法
形如 y=af 2(x)+bf(x)+c(a≠0) 的函数常用配方法求函数的值 域, 要注意 f(x) 的取值范围. 例1 (1)求函数 y=x2+2x+3 在下面给定闭区间上的值域: ①[-4, -3]; ②[-4, 1]; ③[-2, 1]; ④[0, 1]. [6, 11]; [2, 6]; [3, 6]. [2, 11];
【点评】指数函数是构成复杂函数的一个基本单 元，其性质、定义域、值域直接影响整个函数．
素材4
已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x∈(0,1)时，f(x) 2x ＝ x . 4 ＋1 (1)求 f(x)在(－1,1)上的解析式； (2)证明：f(x)在(0,1)上是减函数．
百度文库
【解析】(1)因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 所以当 x＝0 时，f(x)＝0. 设 x∈(－1,0)，则－x∈(0,1)， 2x 所以 f(x)＝－f(－x)＝－ －x ＝－ x ， 4 ＋1 4 ＋1 2
【点评】(1)对带有绝对值的函数作图，一般有两 种方法，一种是去掉绝对值，化简函数式后作图；一 种是不去掉绝对值，利用图象变换作图． (2)复合函数的值域可采用换元法， 结合中间变量 范围求函数值域；复合函数的单调性，根据内外函数 的单调性，由“同增异减”的规律来确定．
素材3
(1)设函数 f(x)＝a A．f(－2)>f(－1) C．f(1)>f(2)
－ － －
2
x
－x
(3)由(2)可知，函数 f(x)为 R 上的增函数， 当 x∈[－1,1]时，f(－1)≤f(x)≤f(1)， a － 所以[f(x)]min＝f(－1)＝ 2 (a 1－a)＝－1. a －1 要使 f(x)≥b 在[－1,1]上恒成立，则只需 b≤－1. 所以 b 的取值范围是(－∞，－1]．
－|x|
(a>0，且 a≠1)，f(2)＝4，则( B．f(－1)>f(－2) D．f(－2)>f(2)
)
(2)设 f(x)＝|3x－1|，c<b<a，且 f(c)>f(a)>f(b)，则下列关系 式中一定成立的是( A．3c>3b C．3c＋3a>2 ) B．3b>3a D．3c＋3a<2
1 【解析】 (1)因为 f(2)＝4，即 a ＝4，所以 a＝2，
二、换元法
通过代数换元法或者三角函数换元法, 把无理函数、指数 函数、对数函数等超越函数转化为代数函数来求函数值域的方 法(关注新元范围). 例2 求下列函数的值域: 3 (1) y=x- x-1 ; [ 4 , +∞)
三、分离常数法
主要适用于具有分式形式的函数解析式, 通过变形, 将函 数化成 y=a+ b 的形式. g(x)
2x 0<x<1 4x＋1 所以 f(x)＝0 x＝0 2x － －1<x<0 4x＋1
－x
.
(2)证明：设 0<x1<x2<1，则 2x1 2x2 f(x1)－f(x2)＝ － 4x1＋1 4x2＋1 2x1＋2x2＋2x1－22x1＋x2－2x2 ＝ 4x1＋14x2＋1 2x1－2x21－2x1＋x2 ＝ . 4x1＋14x2＋1 因为 0<x1<x2<1，所以 2x1<2x2，2x1＋x2>1， 所以 f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)． 故 f(x)在(0,1)上是减函数．