平行线分线段成比例定理基础练习
平 行 线 分 线 段 成 比 例 定 理 课 堂 练 习
平行线分线段成比例定理课堂练习1. 平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
∵l1∥l2∥l3∴1 对应线段是指一条直线被两条平行直线截得的线段与另一条直线被这两条平行直线截得的线段对应。
2 为了强调对应和记忆，可以使用一些简单形象化语言记忆上面所列三组比例式：，可以说成“上比下等于上比下”，可以说成“上比全等于上比全”，可以说成“下比全等于下比全”等//l2//l3,例1、如图，已知l1ABCDEF（1）ABCDEF（2）（1）.在图（1）中AB = 5, BC = 7 ，EF=4，求DE的长。
（2）.在图（2）中DE = 6, EF = 7 ，AB=5，求AC的长。
例2、如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC,（1）.如果AD = 3.2cm, DB = 1.2cm ，AE=2.4cm,那么EC的长是多少？（2）.如果AB = 5cm, AD=3cm，AC = 4cm ，那么EC的长是多少？ABCDE课后作业:（1）如图，在△ABC中，DE∥BC交AB于D，交AC于E，下列不能成立的比例式一定（ ） A． B． C． D．（2）如图，E是□ABCD的边CD上一点，，AD＝12，那么CF的长为（ ） A．4 B．6 C．3 D．12（3）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB、AC相交于点D,E，若AD=4，DB=2，则AE︰EC的值为（）（A）0.5 （B）2 （C）（D）（4）如图，，AM＝2，MB＝3，CD＝4.5，则ND＝________，CN＝________；（5）如图，△ABC中，DE∥BC，若AE∶EC＝2∶3，DB-AD＝3，则AD＝________，DB＝________；（7）．如图，AD//BE//CE，且AB=2，BC=4，EF=6，则DE=_______.第1题 第2题 第3题（8） ．如图，AB//CD，且AO=2，AC=6，BO=3，则BD=___________.（9） ．如图，BC//DE，若AD=2，AE=4，AB=6，则CE=_________.提高题4、如图：P是四边形OACB对角线的任意一点，且PM∥CB，PN∥CA，求证：OA：AN=OB：MB。
平行线分线段成比例定理基础练习
平行线分线段成比例定理根底练习第二课时：《平行线分线段成比例》练习1．判断题〔1〕三条平行线截两条直线，所得的线段成比例〔〕〔2〕一条直线交△ABC的边AB于点D，交AC边于点E，如果 AB＝9，BD＝5，AC＝3.5，AE＝2，那么DE∥BC．〔〕〔3〕如图1，l//lAC图1 1//l23，那么BD CEDF AEBF〔〕〔4〕如图2，在△ABC中，DE∥BC，那么ADDB AEEC DEBC〔〕 2．选择题〔1〕如图3，在△ABC中，DE∥BC交AB于D，交AC于E，以下图2不能成立的比例式一定是〔〕 A．ADDB AEEC B．ABAD ACACAE C．AB ECDB D．ADDB DEBC〔2〕如图4，E是□ABCD的边CD上一点，CE 13CD，AD＝12，那么CF的长为〔〕A．4 B．6 C．3 D．12〔3〕如图5，□ABCD，E在CD延长线上，AB＝10，DE＝5，EF＝6，那么BF的长为〔〕A．3 B．6 C．12 D．16〔4〕如图6，在ABC中，AB=3AD, DE//BC, EF//AB, 假设AB=9, DE=2, 那么线段FC的长度是〔〕 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3图3 图4 图5 B C F 图6 〔5〕如图3，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB、AC相交于点D、E，假设AD=4，DB=2，那么AE︰EC的值为〔〕〔A〕0.5 〔B〕2 〔C〕23E3 〔D〕23．填空题C〔1〕如图8，图7l // 那么 AD＝________， AB ＝ ________； 1l2〔2〕如图9，lDEAC 1//l2//l3，AM＝2，MB＝3，CD＝4.5，那么ND＝________，CN＝________；〔3〕如图10，D、E分别为AB 的三等分点，DF∥EG∥BC，假设BC＝12，那么DF＝___ ___，EG＝________；〔4〕如图11，△ABC中，DE∥BC，假设AE∶EC＝2∶3，DB-AD＝3，那么AD ＝________，DB＝________；图 8图9 图10 图11 4．如图，△ABC中AB=AC，AD⊥BC，M是AD的中点，CM交AB于P， DN∥CP交AB于N，假设AB=6cm，求AP的值.5、如图：P是四边形OACB对角线的任意一点，且PM∥CB，PN∥CA，求证：OA：AN=OB：MB6、如图，△ABC中，AF∶FD＝1∶5，BD＝DC，求：AE∶EC．1。
平行线分线段成比例经典例题与变式练习(精选题目)
平行线分线段成比例 【2 】平行线分线段成比例定理及其推论1. 平行线分线段成比例定理如下图,假如1l ∥2l ∥3l ,则BC EF AC DF =,AB DE AC DF =,AB ACDE DF=. l 3l 2l 1FE D CB A2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图,在三角形中,假如DE BC ∥,则AD AE DEAB AC BC==ABCDEEDC B A3. 平行的剖断定理：如上图,假如有BCDEAC AE AB AD ==,那么DE ∥BC .专题一.平行线分线段成比例定理及其推论根本运用【例1】 如图,DE BC ∥,且DB AE =,若510AB AC ==，,求AE 的长.EDCBA【例2】 如图,已知////AB EF CD ,若AB a =,CD b =,EF c =,求证：111c a b=+.FE DCBA【巩固】如图,AB BD ⊥,CD BD ⊥,垂足分离为B .D ,AC 和BD 订交于点E ,EF BD ⊥,垂足为F .证实：111AB CD EF+=. FEDCBA【巩固】如图,找出ABD S ∆.BED S ∆.BCD S ∆之间的关系,并证实你的结论.FE DCBA【例3】 如图,在梯形ABCD 中,AB CD ∥, 129AB CD ==，,过对角线交点O 作EF CD ∥交AD BC ，于E F ，,求EF 的长.OFED CBA【巩固】（上海市数学比赛题）如图,在梯形ABCD 中,AD BC ∥,AD a BC b E F ==，，，分离是AD BC ，的中点,AF 交BE 于P ,CE 交DF 于Q ,求PQ 的长.QPFED CBA专题二.定理及推论与中点有关的问题 【例4】 （2012年北师大附中期末试题）（1）如图（1）,在ABC ∆中,M 是AC 的中点,E 是AB 上一点,且14AE AB =, 衔接EM 并延伸,交BC 的延伸线于D ,则BCCD=_______. （2）如图（2）,已知ABC ∆中,:1:3AE EB =,:2:1BD DC =,AD 与CE 订交于F ,则EF AFFC FD+ 的值为（ ）A.52B.1C.32D.2(1)MEDC BA(2)F ED CBA【例5】 （2011年河北省中测验题）如图,在ABC ∆中,D 为BC 边的中点,E 为AC 边上的随意率性一点,BE 交AD 于点O .（1）当1A 2AE C =时,求AOAD的值; （2）当11A 34AE C =、时,求AOAD 的值; E D CBAO（3）试猜想1A 1AE C n =+时AOAD 的值,并证实你的猜想.【例6】 （2013年湖北恩施中考题）如图,AD 是ABC ∆的中线,点E 在AD 上,F 是BE 延伸线与AC 的交点. （1）假如E 是AD 的中点,求证：12AF FC =; （2）由（1）知,当E 是AD 中点时,12AF AEFC ED=⋅成立,若E 是AD 上随意率性一点（E 与A .D 不重合）,上述结论是否仍然成立,若成立请写出证实,若不成立,请解释来由.F E DCA【巩固】（天津市比赛题）如图,已知ABC ∆中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上的一点,且BE AC =,延伸BE 交AC 于F .求证：AF EF =.FEDCBA【例7】 （宁德市中考题）如图,ABC ∆中,D 为BC 边的中点,延伸AD 至E , 延伸AB 交CE 的延伸线于P .若2AD DE =,求证:3AP AB =.PEDCBA【巩固】（济南市中考题;安徽省中考题）如图,ABC ∆中,BC a =,若11D E ，分 别是AB AC ，的中点,则1112D E a =;若22D E 、分离是11D B E C 、的中点,则2213224a D E a a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭; 若33D E 、分离是22D B E C 、的中点,则33137248D E a a a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭;…………若n n D E 、分离是-1-1n n D B E C 、的中点,则n n D E =_________.E n D n E 3D 3E 2D 2E 1D 1CBA专题三.运用平行线转化比例【例8】 如图,在四边形ABCD 中,AC 与BD 订交于点O ,直线l 平行于BD ,且 与AB .DC .BC .AD 及AC 的延伸线分离订交于点M .N .R .S 和P . 求证：PM PN PR PS ⋅=⋅lSR PNMODC BA【巩固】已知,如图,四边形ABCD ,两组对边延伸后交于E .F ,对角线BD EF ∥,AC 的延伸线交EF 于G ．求证：EG GF =．G FECDBA【例9】 已知：P 为ABC ∆的中位线MN 上随意率性一点,BP .CP 的延伸线分离交对 边AC .AB 于D .E ,求证：1AD AEDC EB+= PNME D CBA【例10】 在ABC ∆中,底边BC 上的两点E .F 把BC 三等分,BM 是AC 上的中线,AE .AF 分离交BM 于G .H 两点,求证：::5:3:2BG GH HM =MH G FECBA【例11】 如图,M .N 为ABC ∆边BC 上的两点,且知足BM MN NC ==,一条平行于AC 的直线分离交AB .AM 和AN 的延伸线于点D .E 和F . 求证：3EF DE =.F NMED CBA【例12】 已知：如图,在梯形ABCD 中,//AB CD ,M 是AB 的中点,分离连接AC .BD .MD .MC ,且AC 与MD 交于点E ,DB 与MC 交于F . （1）求证：//EF CD（2）若AB a =,CD b =,求EF 的长.FEMDCBA【巩固】（山东省初中数学比赛题）如图,在梯形ABCD 中,AD BC ∥,396AD BC AB ===，，,4CD =,若EF BC ∥,且梯形AEFD 与梯形EBCF 的周长相等,求EF 的长.F E DCBA【例13】（山东省比赛题）如图,ABCD 的对角线订交于点O ,在AB 的延长线上任取一点E ,衔接OE 交BC 于点F ,若AB a AD c BE b ===，，,求BF 的值.OFE DCBA【例14】已知等腰直角ABC ∆中,E .D 分离为直角边BC .AC 上的点,且CE CD =,过E .D 分离作AE 的垂线,交斜边AB 于L ,K ．求证：BL LK =．L KEDC BA【习题1】 如已知DE AB ∥,2OA OC OE =⋅,求证：AD BC ∥.DOECB【习题2】 在ABC ∆中,BD CE =,DE 的延伸线交BC 的延伸线于P ,求证：AD BP AE CP ⋅=⋅.PE D CBA【习题3】 如图,在ABC ∆的边AB 上取一点D ,在AC 取一点E ,使AD AE =, 直线DE 和BC 的延伸线订交于P ,求证：BP BDCP CE=PEDCBA专题讲授1．选择题（1）如图5-27,△ABC 中,D 在AB 上,E 在AC 上,下列前提中,能剖断DE ∥BC 的是（ ）图5-27A ．AB AE AC AD ⋅⋅= B ．DB EC AE AD ⋅⋅= C ．AC AE AB AD ⋅⋅= D ．AB AE AC BD ⋅⋅=（2）如图5-28,321////l l l ,4l 与5l 交于点P ,P A ＝a ,AB ＝b ,BC ＝c ,PD ＝d ,DE ＝e ,EF ＝f ,则bf ＝（ ）图5-28A ．abB ．bdC ．aeD ．ce （3）如图5-29,△ABC 中,21==AC AE AB AD ,则OE ∶OB ＝（ ）图5-29A ．21 B ．31 C ．41 D ．51 （4）如图5-30,已知BN ∥AM ,ND ∥MC ,那么有（ ）图5-30A ．NM PN DA PD = B ．PD PCPB PA = C ．MCNDPB PA = D ．以上答案都不对 （5）如图5-31,H 为□ABCD 中AD 边上一点,且AH ＝21DH ,AC 和BH 交于点K ,则AK ∶KC 等于（ ）图5-31A ．1∶2B ．1∶1C ．1∶3D ．2∶3 2．填空题（1）如图5-32,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,延伸两腰交于点E ,若AD ＝2,BC ＝6,AB ＝4,则ECED＝________,DCDE＝________;图5-32（2）如图5-33,梯形ABCD 中,DC ∥AB ,DC ＝4,AB ＝7,且MN ∥PQ ∥AB ,DM ＝MP ＝P A ,则MN ＝________,PQ ＝________;图5-33（3）如图5-34,梯形ABCD 中,AB ∥CD ,M 为AB 中点,分离贯穿连接AC .BD .MD .MC ,且AC 与MD 交于E ,BD 与MC 交于F ,则EF 与AB 的地位关系是________;3．如图5-35,△ABC 中,M 为AC 的中点,E 为AB 上一点,且AB AE 41=,贯穿连接EM 并延伸,交BC 的延伸线于D ,求证：BC ＝2CD ．4．如图5-36,在△ABC 中,EF ∥CD ,DE ∥BC ,求证：DBADFD AF =．5．如图5-37,△ABC 中,AF ∶FD ＝1∶5,BD ＝DC ,求：AE ∶EC ．6．如图5-38,M 为□ABCD 的边BC 的中点,F 为DC 边上的点,BF 交AM 于N ,交AC 于E ,且AN ＝3MN ,求FC∶AB的值．7．如图5-39,已知D是△ABC中AB边上一点,DE∥BC交AC于E,贯穿连接CD,过E作EF∥CD交AB于F,求证：AD是AF和AB的比例中项．8．如图5-40,已知△ABC中,AB＞AC,AD⊥BC于D,F为BC中点,过F作BC垂线交AB于E,BD＝6cm,DC＝4cm,AB＝8cm,求AE.BE的长．9．如图5-41,已知△ABC 中,∠ACB ＝90°,BFC S ∆∶AFC S ∆＝1∶3,BC ＝12cm,FE ⊥BC 于E ,求EB 的长．10．如图5-42,已知：□ABCD 对角线交于O ,OE ⊥BC 于E ,交AB 的延伸线于F ,若AB ＝a ,BC ＝b ,BF ＝c ,求BE 的长．参考答案1．（1）A （2）D （3）A （4）B （5）C 2．（1）31,21（2）5,6 （3）平行 3．提醒：过点C 作CN ∥DE 交AB 于N ．4．略 5．1∶10 6．32 7．略 8．cm 34,cm 320 9．3cm 10．ca bc2。
平行线分线段成比例例题
《平行线分线段成比例定理》例1、 如图，F 是□ABCD 的边CD 上一点，连结BF ，并延长BF 交AD 的延长线于点E 。
求证：DCDFAE DE = 证明： 例2、如图，在△ABC 中，E 为中线AD 上的一点，21=AE DE 。
连结BE ，延长BE 交AC 于点F 。
求证AF=CF 。
证明：三、训练题：1、如图所示，△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，下列各式中不正确的是（ ）A 、DE BCAE AC AD AB == B 、BF FCEC AE BD AD == C 、AEACDA BA FC BC ==D 、AEDEFC BF DA BD ==2、如图，梯形ABCD ，AD ∥BC ，AC 、BD 交于点O ，过点O 作EF ∥AD 交AB 、CD 于点E 、F ，则（ ）A 、OE=OFB 、OE ≠OFC 、OE>OFD 、OE<OF3、如图，在□ABCD 中，E 在AD 上，且4AE=5DE ，CE 交BD 于F ，则BF ：DF=（ ）A 、4：5B 、9：4C 、10：4D 、5：9 5、如图，已知D 为△ABC 的边AC 的中点，EF 过D 交AB 及BC 延长线于E 、F 。
求证：CF BE BF AE ⋅=⋅ABCDEFA B CD E FH A BCDEFA BC D EFOAB C DEFA BC DEF6、如图，已知在△ABC 中，D 为AC 上一点，E 为CB 延长线上一点，BE=AD ，ED 和AB 相交于F 。
求证：BCACFD EF =。
7、如图，在△ABC 的边AB 、AC 上分别取D 、E 两点，使BD=CE ，DE 延长线交BC 的延长线于F 。
求证：ABACEF DF =。
8、如图，D 为AB 中点，E 为AC 上一点，DE 的延长线交BC 的延长线于F 。
求证：ECAECF BF =9、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于O ，CE ∥AB 交BD 延长线于E ，若OB=6，OD=3，求DE 。
初三数学平行线分线段成比例专题练习试题
平行线分线段成比率专题练习题1．如图，若 DE//BC，则以下式子不建立的是（）A.AD AEB.AD ECC.AD AE DED.BD ECBD EC AB AC AB AC BC AB AC2．如图，在△ ABC中，DE∥BC，DE分别与 AB、AC订交于点 D、E，若 AD=4，DB=2，则AE︰EC的值为A. 0.5B. 2C.2D.3323．如图， l 1∥l 2∥l 3，依据“平行线分线段成比率定理” ，以下比率式中正确的是（）A.AD CEB.AD BCC.AB CDD.AD DFBC DF BE AF CD EF BC CEAD EBC4．以以下图，△ABC中若 DE∥ BC， EF∥ AB，则以下比率式正确的选项是（）A．B．C．D．5．如图，已知AB // CD // EF，AD : AF 3 : 5 ， BE 12 ，那么CE的长等于（）．A．36B． 24C．15D．9 55226．如图，直线 l 1//l 2// l 3，直线 AC分别交 l 1， l 2， l 3于点 A， B， C；直线 DF分别交 l 1， l 2， l 3于点D， E， F ．AC与 DF相较于点 H，且 AH=2， HB=1， BC=5，则的值为（）（ A）1（B）2（C）2（D）257．如图， AD∥ BE∥ CF，直线 l 1、l 2这与三条平行线分别交于点A、B、C 和点 D、E、F．已知 AB=l ，BC=3，DE =2，则 EF' 的长为（）A． 4B．5C．6D．88．如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点AB3DE A、B、C 和 D、E、F．已知2，则BC DF的值为（）A．3B ．2C ．2D ．3 23559．以以下图，△ ABC中， DE∥ BC，若AD1，则以下结论中正确的选项是（）DB2A．AE1B． DE1 EC2BC2△ ADE的周长1△ ADE 的面积1C．= D ．=△ ABC的周长3△ ABC的面积310．如图，直线 l 1∥ l 2∥ l 3，直线 AC分别交 l 1，l 2，l 3于点 A，B，C；直线 DF分别交 l 1，l 2，l 3于点 D，E，F． AC与 DF订交于点H，且 AH=2， HB=1， BC=5，则DE的值为EF11．如图，已知：△ABC中， DE∥ BC， AD=3， DB=6， AE=2，则 EC=_______.12．如图，在△ ABC中， DE∥ BC，分别交 AB，AC于点 D、E．若 AD=3，DB=2，BC=6，则 DE的长为．13．如图，在△ABC中， DE∥BC，分别交A B， AC于点 D，E．若 AD =3， DB =2， BC =6，则 DE的长为．14．在平行四边形ABCD中， E 为 BC边上的一点．连结AE．A DBE C（1）若 AB=AE，求证：∠ DAE=∠ D；（2）若点 E 为 BC的中点，连结 BD，交 AE于 F，求 EF︰ FA的值．15．（本小题满分10 分）如图，已知B、C、E 三点在同一条直线上，△ABC与△ DCE都是等边三角形 . 此中线段 BD交 AC于点 G，线段 AE交 CD于点 F.DAG FB C E求证：（ 1）△ ACE≌△ BCD；（2）AG AF. GC FE16．如图，在△ABC中，已知DE∥ BC， AD=4， DB=8， DE=3．（ 1）求的值；（ 2）求 BC的长．17．如图， a∥ b∥ c，（1）若 AC=6cm， EC=4cm， BD=8cm，则线段 DF 的长度是多少厘米？（2）若 AE： EC=5：2， DB=5cm，则线段 DF的长度是多少厘米？18．请阅读下边资料，并回答所提出的问题．三角形内角均分线定理：三角形的内角均分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比率．已知：如图，△ABC中， AD 是角均分线．求证：AB BD．AC DC证明：过 C 作 CE ∥ DA ，交 BA 的延伸线于 E ．∴ D1 = DE,D2 = D3． ①AD 是角均分线，∴D1= D 2．3E ．AC AE ．②又AD // CE ，ABBD ③AE ．DCAB BD ． ACDC（ 1）上述证明过程中，步骤①②③处的原因是什么？（写出两条即可）（ 2）用三角形内角均分线定理解答：已知，△ABC 中， AD 是角均分线， AB=7cm ，AC=4cm ，BC=6cm ，求 BD的长；ACDB（ 3）我们知道假如两个三角形的高相等，那么它们面积的比就等于底的比．请你经过研究△ ABD 和△ ACD面积的比来证明三角形内角均分线定理．19．如图，梯形ABCD中， DC//EF//AB ， AC交 EF于 G．若 AE=2ED，CF=2cm，那么 CB的长是多少？20．如图，在△ ABC中， D， E，F 分别是边A B，AC，BC上的点，且DE∥ BC，EF∥ AB，AD：DB=3：2，BC=20㎝，求 FC的长．。
九年级数学下册《第二十七章-平行线分线段成比例》练习题附答案解析-人教版
九年级数学下册《第二十七章 平行线分线段成比例》练习题附答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：____________一、单选题1．如图，在ABCD 中AB=10，AD=6，E 是AD 的中点，在CD 上取一点F ，使CBF ∽ABE △，则DF 的长是（ ）A ．8.2 B．6.4 C ．5 D ．1.82．如图，在ABC 中DE ∥BC ，57AD AB 记ADE 的面积为s 1，四边形DBCE 的面积为s 2，则12s s 的值是（ ）A ．57B ．2549C ．2425D ．25243．如图，△ABC 与△DEF 位似，点O 是它们的位似中心，其中OD =2OA ，△ABC 的周长为10，则△DEF 的周长是（ ）A ．20B ．30C ．40D ．904．如图，在ABC 中D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且∥DE BC ，连接CD ，过点E 作EF CD ∥，交AB 于点F ，则下列比例式不成立的是（ ）A ．AF AD AD AB = B ．EF DE CD BC = C ．AF AD FD BD = D ．AF EF FD BC= 5．如图，直线123l l l ∥∥，直线a ，b 与1l ，2l 和3l 分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ．若:2:3AB BC =和10DF = 则DE 的长是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．66．如图，AD 是△ABC 的边BC 上的中线，点E 是AD 的中点，连接BE 并延长交AC 于点F ，则AF ：FC ＝（ ）A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．2：57．如图，两条直线被第三条平行所截，则DE 的长为（ ）A ．4.2B ．3.2C ．4D ．3.68．如图，四边形ABCD 中P 为对角线BD 上一点，过点P 作//PE AB ，交AD 于点E ，过点P 作//PF CD 交BC 于点F ，则下列所给的结论中不一定正确的是（ ）．A ．PE PF AB CD = B ．AE BF DE CF =C ．1CF AE BC AD += D ．1PE PF AB CD+= 9．如图，在菱形ABCD 中点E ，F 分别在AB ，CD 上，且BE ＝2AE ，DF ＝2CF ，点G ，H 分别是AC 的三等分点，则S 四边形EHFG ÷S 菱形ABCD 的值为（ ）A ．19B ．16C ．13D ．29二、填空题10．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，AD ：AF =3：5，BC =6，则CE 的长为______．11．已知ABC ∽A B C '''，分别为ABC 与A B C '''的中线，下列结论中：①:4:3AD A D ''=；②ABD △∽A B D '''△；③ABD △∽A B C '''；④ABC 与A B C ''''对应边上的高之比为4:3．其中结论正确的序号是______．12．如图，△ABC中DE∥BC，G为BC上一点，连结AG交DE于点F，若AF＝2，AG＝6，EC＝5，则AC＝________．13．如图，AB∥CD∥EF，若AC＝2，CE＝5，BD＝3则DF＝___．三、解答题14．如图在△ABC中D为AB边上一点，且△CBD∽△ACD．(1)求∠ADC度数；(2)如果AC＝4，BD＝6，求CD的长．15．如图，在△ABC中点D，F，E分别在AB，BC，AC边上，DF∥AC，EF∥AB．(1)求证：△BDF ∽△FEC ．(2)设12AE EC =． ①若BC ＝15，求线段BF 的长；②若△FEC 的面积是16，求△ABC 的面积．16．(1)[基础巩固]如图①，在三角形纸片ABC 中90ACB ∠=︒，将ABC 折叠，使点B 与点C 重合，折痕为MN ，则AM 与BM 的数量关系为______；(2)[思维提高]如图②，在三角形纸片ABC 中将ABC 折叠，使点B 与点C 重合，折痕为MN ，求AM BM 的值； (3)[拓展延伸]如图③，在三角形纸片ABC 中将ABC 沿过顶点C 的直线折叠，使点B 落在边AC 上的点B '处，折痕为CM ．求线段AC 的长； 参考答案与解析1．A【分析】E 是AD 的中点可求得AE ，根据三角形相似的性质可得CF BC AE BA=，可得CF 的长即可求解． 【详解】解：∵E 是AD 的中点，6AD =∴132AE AD == 又∵CBF ∽ABE △CF BC AE BA ∴=，即6310CF =解得 1.8CF =10 1.88.2DF DC CF ∴=-=-=故选：A ．【点睛】本题考查了三角形相似的性质，掌握三角形相似的性质对应边的比相等是解题的关键．2．D【分析】根据ADE ABC ∆∆∽，通过相似三角形的面积等于相似比的平方，求出ABC ∆与ADE ∆的面积比，再根据21ABC S S S =-得到12s s 的值． 【详解】解：∵DE ∥BC∴ADE ABC ∆∆∽ ∴22549ADE ABC AD A S S B ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭ ∴14925ABC S S ∆= ∵21ABC S S S =- ∴212425S S = ∴122524S S =故选：D ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟知相似三角形的面积等于相似比的平方．3．A【分析】利用位似的性质得△ABC ∽△DEF ，OD =2OA ，然后根据相似三角形的性质解决问题【详解】解：∵△ABC 与△DEF 位似，点O 为位似中心．∴△ABC ∽△DEF ，OD =2OA∴△ABC 与△DEF 的周长比是：1：2．∴△ABC 的周长为10，则△DEF 的周长是20故选：A ．【点睛】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．4．D【分析】根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质可求解．∴成立的是ABC ，不成立的是D故选：D.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的性质是本题的关键．5．C【分析】根据平行线分线段定理得到::AB BC DE EF =，设2DE x =，根据10DF =，列方程求解即可．【详解】解：∵123l l l ∥∥∴::2:3AB BC DE EF ==设2DE x =，则3EF x =∵10DF =∴2310x x +=，解得2x =∴4DE =故选：C ．【点睛】本题主要考查了平行线分线段定理，熟练掌握平行线分线段定理是解答本题的关键．6．A【分析】作DH ∥AC 交BF 于H ，如图，先证明△EDH ≌△EAF 得到DH ＝AF ，然后判断DH 为△BCF 的中位线，从而得到CF ＝2DH ．【详解】解：作DH ∥AC 交BF 于H ，如图∵DH ∥AF∴∠EDH ＝∠EAF ，∠EHD ＝∠EFA∵DE ＝AE∴△EDH ≌△EAF （AAS ）∴DH ＝AF∵点D 为BC 的中点，DH ∥CF∴DH 为△BCF 的中位线∴CF ＝2DH ＝2AF∴AF ：FC ＝1：2故选：A ．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，三角形的中位线定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．7．D 【分析】根据平行线分线段成比例得到AB DE AC DF =，将数据代入即可求出答案． 【详解】解：////AD BE CF ∴AB DE AC DF= 4AB =，6BC =和9DF =∴4610AC AB BC =+=+= ∴4109DE = ∴ 3.6DE =．故选：D ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．8．A【分析】根据//PE AB ，可证△EPD ∽△ABD ，△BFP ∽△BCD ，即可判断A ；由//PE AB ，//PF CD 可得AE BP ED PD = BF BP FC PD =可判断B ；由//PE AB ，//PF CD 可得AE BP AD BD =，FC PD BC BD= 可判断C ，由 //PE AB ，可证△EPD ∽△ABD ，△BFP ∽△BCD ，可判定D ．【详解】解：A ．∵//PE AB∴∠DEP =∠A ，∠DPE =∠DBA∴△EPD ∽△ABD∴ EP DPAB DB =∵//PF CD∴∠BPF =∠BDC ，∠BFP =∠C∴△BFP ∽△BCD∴ PF BPCD DB = ∵DPBPDB DB ≠ ∴PEPFAB CD ≠故选项A 不正确；B ．∵//PE AB //PF CD ∴AEBP ED PD = BFBPFC PD = ∴AE BFDE CF =故选项B 正确；C ．∵//PE AB //PF CD ∴AE BP AD BD = FCPDBC BD = ∴1AEFCBPPDAD BC BD BD +=+=故选项C 正确1CFAEBC AD +=D ．∵//PE AB∴∠DEP =∠A ，∠DPE =∠DBA∴△EPD ∽△ABD∴ EP DPAB DB =∵//PF CD∴∠BPF =∠BDC ，∠BFP =∠C∴△BFP ∽△BCD∴ PF BPCD DB =∴ 1EP PF DP PB DP PB AB CD DB BD BD ++=+==故选项D 正确．故选择A ．【点睛】本题考查平行线截线段比例，和三角形相似判定与性质，掌握平行线截线段长比例，和三角形相似判定与性质是解题关键．9．A【分析】由题意可证EG ∥BC ，EG ＝2，HF ∥AD ，HF ＝2，可得四边形EHFG 为平行四边形，即可求解．【详解】解：∵BE ＝2AE ，DF ＝2FC ∴12AE BC = 12CF DF = ∵G 、H 分别是AC 的三等分点 ∴12AG GC =12CH AH = ∴AE AG BE GC = ∴EG ∥BC ∴13EG AE BC AB == 同理可得HF ∥AD ，13HF AD = ∴111339EHFGABCD S S =⨯=四边形菱形故选：A ．【点睛】本题考查了菱形的性质，由题意可证EG ∥BC ，HF ∥AD 是本题的关键．10．4【分析】由AB CD EF ∥∥，推出AD BC AF BE =，推出365BE=，可得结论． 【详解】∵AB CD EF ∥∥ ∴AD BC AF BE = ∴365BE = ∴BE =10∴CE =BE -BD =10-6=4故答案为：4．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．11．①②④【分析】根据相似三角形的性质，对每个选项进行判断，即可得到答案.【详解】解：∵ABC ∽A B C '''，AD 、A D ''分别为ABC 与A B C '''的中线 ∴4''''3AB AD A B A D ==，故①正确； ∵'B B ∠=∠ 121''''''''2BC BD BC AB B D B C A B B C === ∴ABD △∽A B D '''△，故②正确；∴ABC 与A B C '''对应边上的高之比为4:3，故④正确；而ABD △与A B C '''不相似，故③错误；∴正确的结论有：①②④；故答案为：①②④.【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形对应中线，对应边上的高的比等于相似比.12．7.5【分析】由DE ∥BC ，得AF AE AG AC=，代入已知量即可求得答案． 【详解】解：∵DE ∥BC ∴AF AE AG AC = ∵AE ＝AC －EC ＝AC －5，AF ＝2，AG ＝6 ∴256AC AC -= 解得AC ＝7.5故答案为：7.5【点睛】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，利用平行线分线段成比例列出比例式是解题的关键． 13．7.5【分析】直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论．【详解】解：∵直线AB ∥CD ∥EF ，AC ＝2，CE ＝5，BD ＝3∴AC BDCE DF=，即235DF=，解得DF＝7.5．故答案为：7.5．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键．14．(1)∠ADC＝90°(2)CD＝【分析】（1））由相似三角形的性质及邻补角可进行求解；（2）先证明△ACD∽△ABC，然后根据相似三角形的性质可得ACAB＝ADAC，然后代入数值问题可求解．（1）解：∵△CBD∽△ACD ∴∠CDB＝∠ADC∵∠CDB+∠ADC＝180°∴∠ADC＝90°；（2）如图∵△CBD∽△ACD∴∠ACD＝∠B∵∠A＝∠A∴△ACD∽△ABC∴ACAB＝ADAC，即ACAD BD+＝ADAC∴46AD+＝4AD∴AD＝2（负根已经舍弃）∴CD【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．15．(1)证明见详解(2)①BF＝5；②S△ABC＝16×94＝36【分析】（1）由平行线的性质得出∠BFD＝∠C，∠B＝∠EFC，即可得出结论；（2）①由平行线的性质得出12BF AEFC EC==，即可得出结果；②先求出2,3ECAC=易证△EFC∽△ABC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．（1）证明：∵DF∥AC∴∠BFD＝∠C∵EF∥AB∴∠B＝∠EFC∵∠BFD＝∠C，∠B＝∠EFC ∴△BDF∽△FEC；（2）解：①∵EF∥AB∴12 BF AEFC EC==∴12 BFBC BF=-∵BC＝15∴1 152 BFBF=-∴BF＝5；②∵12 AE EC=∴2EC AE=∴2223 EC EC AEAC AE EC AE AE===++∵EF∥AB∴∠CEF＝∠B∵∠C＝∠C．∠CEF＝∠B∴△EFC∽△ABC∴249 EFCABCS ECS AC∆∆⎛⎫==⎪⎝⎭∵S△EFC＝16∴S△ABC＝94×16＝36．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．16．(1)AM＝BM(2)16 9(3)152 AC=【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可；（2）利用相似三角形的性质求出BM，AM即可；（3）证明△BCM∽△BAC，推出BC BM CMAB BC AC==，由此即可解决问题．（1）解：如图①中∵△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN ∴MN垂直平分线段BC∴CN＝BN∵∠MNB＝∠ACB＝90°∴MN∥AC∵CN＝BN∴AM＝BM．故答案为AM＝BM．（2）如图②中∵CA＝CB＝6∴∠A＝∠B由题意MN垂直平分线段BC ∴BM＝CM∴∠B＝∠MCB∴∠BCM＝∠A∵∠B＝∠B∴△BCM∽△BAC∴BC BM BA BC=∴6106BM=∴185 BM=∴18321055 AM AB BM=-=-=∴321651895AMBM==．（3）如图③中由折叠的性质可知，CB＝CB′＝6，∠BCM＝∠ACM ∵∠ACB＝2∠A∴∠BCM＝∠A∵∠B＝∠B∴△BCM∽△BAC∴BC BM CM AB BC AC ==∴696BM =∴BM＝4∴AM＝CM＝5∴65 9AC =∴152 AC=．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．。
平行线分线段成比例经典例题与变式练习(精选题目)
平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理及其推论1. 平行线分线段成比例定理如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=. l 3l 2l 1FE D CB A2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==ABCDEEDC B A3. 平行的判定定理：如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。
专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。
EDCBA【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111c a b=+.FE DCBA【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：111AB CD EF+=. FEDCBA【巩固】如图，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论.FE DCBA【例3】 如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。
OFED CBA【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。
QPFED CBA专题二、定理及推论与中点有关的问题 【例4】 （2012年北师大附中期末试题）（1）如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =， 连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD=_______. （2）如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EF AFFC FD+ 的值为（ ）A.52B.1C.32D.2(1)MEDC BA(2)F ED CBA【例5】 （2011年河北省中考试题）如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O .（1）当1A 2AE C =时，求AOAD的值；（2）当11A 34AE C =、时，求AOAD的值； （3）试猜想1A 1AE C n =+时AOAD的值，并证明你的猜想.【例6】 （2013年湖北恩施中考题）如图，AD 是ABC ∆的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交点.（1）如果E 是AD 的中点，求证：12AF FC =； （2）由（1）知，当E 是AD 中点时，12AF AEFC ED=⋅成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D E D CBAO不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.F E DCA【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F 。
平行线分线段成比例专题练习
平行线分线段成比例专题练习内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）《平行线分线段成比例》专题练习1． 如图，平行四边形ABCD 中，E 是AB 中点，F 在AD 上，且AF ＝12FD ，EF 交AC 于G ，则AG ︰AC ＝________。
A. 14B. 15C. 16D.18（第1题图） （第2题图）（第3题图）2．如图，在△ABC 中，M 是AC 边中点，E 是AB 上一点，且AE ＝14AB ，连结EM 并延长，交BC 的延长线于D ，此时 BC ︰CD 为（ ）A ．2︰1B ．3︰2C ．3︰1D ．5︰23．如图，直线a∥b，AF ︰FB ＝3︰5，BC ︰CD ＝3︰1，则AE ︰EC 为（ ）A ．5︰12B ．9︰5C ．12︰5D ．3︰24．如图，在Rt△ABC 内有边长分别为a 、b 、c 的三个正方形，则a 、b 、c 满足的关系式是（ ）A. b=a+cB.b=acC. b2=a2+ c2 D ．b=2a=2c5．如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O ）20米的点A 处，沿OA 所在的直线行走14 米到点B 时，人影长度（ ）A ．变短3.5米B ．变长1.5米C ．变长3.5米D ．变短1.5米（第4题图） （第5题图） （第6题图）6．已知：如图，平行四边形ABCD，E为BC的中点，BF︰FA＝1︰2，EF与对角线BD相交于G，求BG︰BD。
7．已知：如图，F是四边形ABCD对角线AC上一点，EF∥BC，FG∥AD。
8．如图，在ΔABC中，EF//DC，DE//BC，求证：（1）AF︰FD＝AD︰DB；（2）AD2＝AF·AB。
9．如图，AB∥EF∥CD，（1）AB＝10，CD＝15，AE∶ED＝2∶3，求EF的长。
（2）AB＝a，CD＝b，AE∶ED＝k，求EF的长。
10. 一位同学想利用有关知识测旗杆的高度，他在某一时刻测得高为0.5m的小木棒的影长为0.3m，但当他马上测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他先测得留在墙上的影子CD＝1.0m，又测地面部分的影长BC＝3.0m，你能根据上述数据帮他测出旗杆的高度吗？11．小芳同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1m长的标杆测得其影长为1.2m，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6m和2m，你能帮助小芳同学算出学校旗杆的高度？12．如图所示，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是多少？13．如图，花丛中有一路灯杆AB在灯光下，小明在D点处的影长DE＝3米，沿BD 方向行走到达G点，DG＝5米，这时小明的影长GH＝5米。
平行线分线段成比例练习题
平行线分线段成比例一、选择题1．如果x：y=2：3，则下列各式不成立的是（）A、B、C、D、2．如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论中错误的是（）A、∠AEF=∠DECB、FA：CD=AE：BCC、FA：AB=FE：ECD、AB=DC3．已知线段a、b，求作线段x，使，正确的作法是（）A、B、C、D、4．如图，△ABC中，已知MN∥BC，DN∥MC．小红同学由此得出了以下四个结论：（1）；（2）；（3）；（4）．其中正确结论的个数为（）A、1B、2C、3D、45．如图，点F是平行四边形ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线与点E，则下列结论错误的是（）A、B、C、D、6．如图，设M、N分别是直角梯形ABCD两腰AD、CB的中点，DE上AB于点E，将△ADE沿DE翻折，M与N恰好重合，则AE：BE等于（）A、2：1B、1：2C、3：2D、2：37．如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（）A、B、C、D、8．如图，直线l1∥l2∥l3，另两条直线分别交l1、l2、l3于点A、B、C及点D、E、F，且AB=3，DE=4，EF=2，则（）A、BC：DE=1：2B、BC：DE=2：3C、BC•DE=8D、BC•DE=69．如图，若DC∥FE∥AB，则有（）A、B、C、D、10．如图所示，△ABC中若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是（）A、B、C、D、二．简答题1．已知，求的值。
2．已知，且b≠d，求的值。
3．同一时刻，高为2米的测量竿的影长为1.5米，4．已知线段AB=10cm，点C是线段AB的某古塔的影长为24米，求古塔的高。
黄金分割点（AC＞BC），求AC的值。
5．已知x：y=4：5，求（x+y）：（x﹣y）的值。
6．若===k，求k的值。
7．如果线段上一点P把线段分割为两条线段PA，PB，当PA2=PB•AB，即PA≈0.618AB时，则称点P是线段AB的黄金分割点，现已知线段AB=10，点P是线段AB的黄金分割点，如图所示，那么线段PB的长约为多少？8．如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC．若△ABC的边长为4，AE=2，求BD的长。
平行线分线段成比例定理(学生)
例01．已知：如图，321////l l l ，3=AB ，5=BC ，12=DF ，求DE 和EF 的长典型例题二例02．如图，已知：BC DE //，AC DF //，cm 3=AD ，cm 6=BD ，cm 4=DE 求：线段BF 的长例03．如图，已知，在MAP ∆中，点N 在PM 上，B 、C 在AP 上，且BN AM //，NC MB //典型例题四例04．如图，已知：BC DE //，AB AF AD ⋅=2求证：DC EF //例05．已知：如图，AD 是ABC ∆的内角平分线 求证：CDBDAC AB =典型例题六例06．如图，梯形ABCD 中，CD AB //，M 为AB 的中点，分别连结AC ，BD ，MD ，MC ，且AC 与MD 交于E ，DB 与MC 交于F ，求证：CD EF //例07．如图，BC EF AD ////，cm 12=AD ，cm 18=BC ，3:2:=EB AE ，则EF =_________典型例题八例08．如图，ABC ∆中，D 为BC 边的中点，延长AD 至E ，延长AB 交CE 于P . 若DE AD 2=，求证：AB AP 3=典型例题九例09．AD 是ABC ∆的高，E 是BC 的中点，BC EF ⊥交AC 于F ，若15=BD ，27=DC ，45=AC ，求AF例10．如图，ABCD 的对角线交于O 点，E 是AB 延长线上一点，OE 交BC 于F ，若a AB =，b BC =，c BE =，求BF 的长典型例题十一例11．如图，已知梯形ABCD 中，BC AD //，3==DC AB ，P 是BC 上一点，AB PE //交AC 于E ，CD PF //交BD 于F . 设PE ，PF 的长分别为m ，n ，n m x +=，那么当P 点在BC 上移动时，x 值是否变化？若变化，求出x 值的取值范围；若不变，求出x 值，并说明理由例12．已知，如左图，BD AB ⊥，BD CD ⊥，垂足分别为B ，D ，AD 和BD 相交于点E ，BD EF ⊥，垂足为F ，我们可以证明EFCD AB 111=+成立（不要求证明）若将图左中的垂直改为斜交，如右图，CD AB //，AD 、BC 相交于点E ，过E 作AB EF //，交BD 于点F ，则：（1）EFCD AB 111=+还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由 （2）请找出ABD S ∆，BED S ∆和BDC S ∆间的关系式，并给出证明选择题1．如图，已知CF BE AD ////，下列比例式成立的是（）A ．BE AD DE AB = B ．BC DE EF AB = C ．BC DF EF AC = D ．DFEFAC BC = 2．如图，H 为ABCD 中AD 边上一点，且DH AH 21=，AC 和BH 交于点K ，则=KC AK :（ ）A ．2:1B ．1:1C ．3:1D ．3:2 3．（曲靖市，2001）已知：如图，在ABC ∆中，DC ED AE ==，BC MD FE ////，FD 的延长线交BC 的延长线于N ，则BNEF的值是（ ）A ．21 B ．31 C ．41 D ．51 4．（宁夏，2002）在AB C ∆中，BC DE //，DE 交AB 于D ，交AC 于E . 如果3=AE ，6=EC ，4=DE ，那么BC 等于（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12 5．（上海市，2002）如图，CD AB //，AD 与BC 相交于O ，那么在下列比例式中，正确的是（ ）A ．AD OA CD AB = B ．BC OBOD OA = C ．OC OB CD AB = D ．ODOBAD BC = 6．（邵阳市，2002）下列命题错误的是（ ）A ．矩形是平行四边形B ．相似三角形一定是全等三角形C ．等腰梯形的对角线相等D ．两直线平行，同位角相等 7．（北京市西城区，2002）如图，ABC ∆中，BC DE //，如果1=AD ，2=DB ，那么BCDE的值为（ ）A ．32 B ．41 C ．31 D ．21填空题1．（天津市，2001）如图，BC DE //，且AE DB =，若10,5==AC AB ，则AE 的长为_______.2．如图，梯形ABCD ，BC AD //，延长两腰交于点E ，若4,6,2===AB BC AD ，则=ECED_______，=DC DE _________.3．如图，梯形ABCD 中，5.3,2,//==AB DC AB DE ，且AB PQ MN ////，PA MP DM ==，则=MN _______，=PQ ________.4．（重庆市，2002）雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面m 2远一块小积水处，他看到了旗杆顶端的倒影. 如果旗杆底端到积水处的距离为m 40，该生的眼部高度是m 5.1，那么旗杆的高度是_______m.5．（盐城市，2002）如图，测量队为了测量某地区山顶P 的海拔高度，选择M 点作为观测点，从M 点测得山顶P 的仰角为︒30. 在比例尺为50000:1的该地区等高线地形图上，量得这两点间的图上距离为cm 3，则山顶P 的海拔高度为_____cm . （取732.13=）6．（黑龙江省，2002）在相同时刻的物高与影长成比例，如果一古塔在地面上的影长为50米，同时高为5.1米的测竿的影长为5.2米，那么古塔的高为_____米.7．（南京市，2002）如图，测量小玻璃管口径的量具ABC 上，AB 的长为10毫米，AC 被分为60等份. 如果小管口DE 正好对着量具上30份处（AB DE //），那么小管口径DE 的长是_____毫米.8．（北京市东城区，2002）在坡度为2:1的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是______米.9．（上海市，2002）在A B C ∆中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，BC DE //. 如果8=AD ，6=DB ，0=EC ，那么=AE _______.解答题1．如图，已知菱形BEDF 内接于ABC ∆，点E ，D ，F 分别在AB ，AC 和BC 上，若15=AB ，12=BC ，求菱形边长.2．如图，已知ABC ∆中，AE BD AC AD BC DE ===,6,8,//，求BD 的长.3．如图，ABC ∆中，AD 是角平分线，AC DE //交AB 于E ，已知12=AB ，8=AC ， 求DE .4．如图，D ，E 分别是ABC ∆两边AB ，AC 上的点，哪些线段成比例推出BC DE //.5．如图，G 是四边形ABCD 的对角线BD 上任一点，AD EG //，DC FG //. 求证：AC EF //.6．如图，FD EB FC EF //,//. 求证：CD AB //7．如图，ABC ∆中，BC DE //，AD 是AF ，AB 的比例中项， 求证：DC FE //.8．如图，P 是ABCD 的对角线AC 上的任一点，EF ，MN 是过点P 的两直线与ABCD的边分别交于E ，F ，M ，N .求证：FN ME //.9．如图，直线FD 和ABC ∆的边BC 交于D ，交AC 于E ，与BA 的延长线交于F ，且DC BD =，求证：FA EC FB AE ⋅=⋅.10．如图，D 在BC 上，且1:2:=DC BD ，E 是AD 的中点，BE 的延长线交AC 于F ， 求EF BF :.解答题1．（广西，2001）如图，DH CG BF AE //////，CD BC AB ==21，12=AE ，16=DH ，AH 交BF 于M .求BM 与CG .2．如图，M 是ABC ∆中BC 边的中点，P 是BC 边上任一点，过P 作AM PR //交BA 的延长线于Q ，交CA 于R .求证：BMBCAM PR AM PQ =+.3．如图，AD 是ABC ∆中BC 边上中线，从C 引射线交AD 于E ，AB 于F . 求证：DE AF FB AE ⋅=⋅2.4．过ABCD 的顶点A 作任一直线与BD ，BC 及DC 延长线于E ，F ，G ，求证：EG EF AE ⋅=2.5．如图，梯形ABCD 中，BC AD //，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，a AD =，b BC =（a b >） ，求GH 的值.6．如图，CD BC MB ==，FG EF ME ==. 求NFDN的值.7．如图，在ABCD 中，cm AB 5=，cm AE 3=，cm AD 8=，F 为AB 中点，EF 交AC 于G . 交CB 的延长线于K .求FK GF EG ::的值.8．（盐城市，2001）如图，已知：BC ED //，DF AB //.（1）求证：OF OE OB ⋅=2；（2）连结OD ，若ODC OBC ∠=∠，求证：四边形ABCD 为菱形. 9．（南京市，2001）以长为2的定线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连结PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PD PF =. 以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上. 如图所示.（1）求AM 、DM 的长. （2）求证：DM AD AM ⋅=2解答题1．如图，ABC ∆中，AF 平分BAC ∠，AF CE ⊥于E ，AF BD ⊥交其延长线于D ，BE 的延长线交DC 的延长线于G.求证：AG EC //.2．（温州市，2001）如图，在正方形ABCD 中，8=AD ，点E 是边CD 上（不包括端点）的动点，AE 的中垂线FG 分别交AD 、AE 、BC 于点F 、H 、K ，交AB 的延长线于点G .（1）设m DE =，m DE =，用含m 的代数式表示t ； （2）当31=t 时，求BG 的长. 3．（山西省，2001）（1）阅读下列材料，补全证明过程：已知：如图，矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，BC OE ⊥于E ，连结DE 交OC 于点F ，作BC FG ⊥于G .求证：点G 是线段BC 的一个三等分点. 证明：在矩形ABCD 中，BC DC BC OE ⊥⊥,，∴DC OE // ∵21=DC OE ， ∴21==DC OE ED EF ∴31=ED EF . （2）请你仿照上面的画法，在原图上画出BC 的一个四等分点. （要求：保留画图痕迹，不写画法及证明过程）.4．在ABC ∆中，D 为BC 上的一点，E 为AD 上的一点，BE 的延长线交AC 于F .（1）如4:1:,2:1:==AD AE BC BD ，求AC AF :的值；（2）如n AD AE m BC BD :1:,:1:==（n m ,为不小于2的自然数）. 求AC AF :的值；（3）对于满足1-≠n m 且均大于2的自然数n m ,，是否总存在自然数q p ,（其中m p ≠，n q ≠）使当p BC BD :1:=，q AD AE :1:=时，AC AF :的值与当m BC BD :1:=，n AD AE :1:=时，AC AF :的值相同？如果存在，写出这时q p ,与nm ,之间应满足的关系.5．如图一个矩形ABCD （BC AB <）中，618.0215≈-=BC AB ，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感，备受人们欢迎，在黄金矩形ABCD 内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE （如图）. 请问矩形ABFE 是否是黄金矩形？证明你的结论.6．（河北省，2001）在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上任意一点，BE 交AD 于点O ，某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：（1）当11121+==AC AE 时，有12232+==AD AO （如图）（2）当21131+==AC AE 时，有22242+==AD AO （如图）（3）当31141+==AC AE 时，有32252+==AD AO （如图）在下图中，当nAC AE +=11时，参照上述研究结论，请你猜想用n 表示AD AO 的一般结论，并给出证明（其中n 是正整数）.7．（黄冈市，1999）如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 上的一点，且k HDAHGC DG FC BF EB AE ====（0>k ）. 阅读下段材料，然后回答后面问题.如图，连接BD .∵HD AHEB AE =， ∴BD EH // ∵GC DGFC BF =，∴BD FG //， ∴EH FG //.（1）连结AC ，则EF 与GH 是否一定平行，答：_______. （2）当k 值为______时，四边形EFGH 为平行四边形.（3）在（2）的情形下，对角线AC 与BD 只须满足_______条件时，EFGH 为矩形. （4）在（2）的情形下，对角线AC 与BD 只须满足_______条件时，EFGH 为菱形. 8．如图，在四边形ABCD 中，DC AB =，E 、F 各为BC 、AD 的中点，延长BA 、EF 、CD 相交成α∠、β∠，求证：βα∠=∠.。
初中八年级下册数学基础习题练习：21平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理【知识要点】本节的主要内容是平行线分线段成比例定理与三角形一边的平行线的性质和判定.1.平行线分线段成比例定理及其推论定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边或（两边的延长线），所得的对应线段成比例。
注意：（1）平行线截得的线段注意三类对应关系：全下全下全上全上下上下上===,, （均为同一直线上两线段之比） （2）根据比例的性质：l 1∥l 2∥l 3DFACEF BC DE AB ==⇒， 此为两直线上对应线段之比，即左比右等左比右。
2．截三角形两边或其延长线的直线平行于第三边的判定如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角 形的第三边。
如图：∵DE ∥BC∴ECACBD AB EC AE DB AD AC AE AB AD ===,,A B CDE F l 1 l 2 l 3ACBDAE3．平行于三角形一边，并且和两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
4．平行线的判定：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对 应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
∵EC AE DB AD = ∵AC AE AB AD = ∵ECACBD AD =∴DE ∥BC ∴DE ∥BC ∴DE ∥BC典型例题例1、如图，在△ABC 中，AD 是中线，EF∥BC 分别交AB 、AD 于E 、F 、P ，求证：PE ＝PF.C例2.如图，四边形BDFE是菱形，DC＝BD，且DC＝4，求AE.例3.如图，□ABCD中，AE交BC延长线于E交CD于F，BC∶CE＝3∶2，求CF∶FD.例3 如图，已知AD为△ABC中∠BAC的平分线，求证：＝.例4 已知，如图，D 为BC 三等分点，且DC<BD ，EF=DF 时，求AFAB的值.平行线分线段成比例定理练习1．在△ABC 中，DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，DE ：BC=2：3，则AD ：BD=__________。
人教版高中数学选修4-1 1.2《平行线分线段成比例》练习及答案
1．2平行线分线段成比例定理1．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段________．用符号语言表述为：如图所示，若a∥b∥c，则________．2．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段____________．用符号语言表述为：如图所示，若a∥b∥c，则__________________．预习导学1．成比例ABBC＝DEEF2．成比例ADAB＝AEAC►一层练习1．如图，l1∥l2∥l3，已知AB＝6 cm，BC＝3 cm，A1B1＝4 cm，则B1C1的长为()A．6 cm B．4 cmC．3 cm D．2 cm1．D2．如图所示，AD是△ABC的中线，点E是CA边的三等分点，BE交AD于点F，则AF∶FD为()A．2∶1 B．3∶1 C．4∶1 D．5∶12.D3．如图所示，△ACE的中，点B、D分别在AC、AE上，下列推理不正确的是()A．BD∥CE⇒ABAC＝BDCEB．BD∥CE⇒ADAE＝BDCEC．BD∥CE⇒ABBC＝ADDED．BD∥CE⇒ABBC＝BDCE3.D4．如图所示，DE∥AB，DF∥BC，下列结论不正确的是()A.ADDC＝AF DEB.CE CB ＝BF ABC.CD AD ＝CE DFD.AF BF ＝DF BC 4.D5．如图，E 是▱ABCD 的边AB 延长线上的一点，且DC BE ＝32，则ADBF＝________．5.52 ►二层练习6．如图所示，在梯形ABCD 中，BC ∥AD ，E 是DC 延长线上一点，AE 交BD 于点G ，交BC 于点F ，下列结论：①EC CD ＝EF AF ；②FG AG ＝BG GD ；③AE AG ＝BD DG ；④AF CD ＝AEDE.其中正确的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 6.C7．如图所示，已知有▱ABCD ，点N 是AB 延长线上一点，DN 交BC 于点M ，则BC BM －ABBN 为( )A.12 B ．1 C.32 D.23 7.B8．(2015·汕头市高三质量监测，文)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ＝2，EC ＝1，BC ＝4，则BF ＝____．8.439．如下图(左)所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，且AB ＝2，AD ＝2，则AF ＝________．9.110．如上图(右)，E ，F 是梯形ABCD 的腰AD ，BC 上的点，其中CD ＝2AB ，EF ∥AB ，若EF AB ＝CD EF ，则AEED＝________． 10．解析：过A 作AH ∥BC ，交EF 、CD 于G 、H .设AB ＝a ，CD ＝2a ，则EF AB ＝CDEF .有EF ＝2a .由EF ∥AB ∥CD 得AE AD ＝EG DH ＝EF －ABCD －AB ＝2a －a 2a －a ＝2－1.又AD ＝AE ＋ED ， 故AE AE ＋ED＝2－1，得AE ED ＝22.答案：2211．如图所示，BD ∶DC ＝5∶3，E 为AD 的中点，求BE ∶EF 的值．11．解析：过D 作DG ∥CA 交BF 于G ，则BG GF ＝BD DC ＝53.∵E 为AD 的中点，DG ∥AF ， ∴△DGE ≌△AFE ，EG ＝EF . ∴BG EF ＝BG 12GF ＝2BG GF ＝2×53＝103.故BE EF ＝BG ＋EF EF ＝BG EF ＋1＝103＋1＝133. ►三层练习12．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2，E ，F 分别为AD ，BC 上的点，且EF ＝3，EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为________．12.7513．在△ABC 中，D 是边AC 的中点，点E 在线段BD 上，且满足BE ＝13BD ，延长AE交BC 于点F ，则BFFC的值为________．13．解析：如图，过D 作DG ∥AF ，交BC 于G . 在△BDG 中，DG ∥AF 且BE ＝13BD ，则BF ＝12FG ，同理，CG ＝12FC .即CG ＝FG .∴BF ＝14FC .即BF FC ＝14.答案：1414．已知：如图所示，四边形ABCD 是正方形，延长BC 到点E ，连接AE 交CD 于点F ，FG ∥AD 交DE 于点G .求证：FC ＝FG .14．证明：在正方形ABCD 中，∵AB ∥CD ，∴CF AB ＝EF AE .∵FG ∥AD ，∴FG AD ＝EF AE .∴CFAB ＝FGAD.∵AB ＝AD ，∴CF ＝FG . 15．如图所示，在▱ABCD 中，点E 是AB 延长线上一点，DE 交AC 于点G ，交BC 于点F .(1)求证：DG 2＝GE ·GF ； (2)求证：CF CB ＝AB AE.15．证明：(1)∵CD ∥AE ，∴DG GE ＝CG AG .又∵AD ∥CF ，∴GF DG ＝CG AG ，∴DG GE ＝GFDG，即DG 2＝GE ·GF .(2)∵BF ∥AD ，∴AB AE ＝DF DE .又∵CD ∥BE ，∴CF CB ＝DF DE ，∴CF CB ＝ABAE.点评：利用定理或其推论解决问题时，要注意寻找图形中的基本图形“A ”型或“X ”型． 16．如图所示，AC ∥BD ，AD 、BC 相交于点E ，EF ∥BD ，求证：1AC ＋1BD ＝1EF.16．证明：∵AC ∥EF ∥BD ，∴EF AC ＝BF AB ，EF BD ＝AF AB. 两式相加得：EF AC ＋EF BD ＝BF ＋AF AB ＝AB AB ＝1， 即1AC ＋1BD ＝1EF.1．定理应用注意事项．(1)定理的条件：与平行线等分线段定理相同，它需要a 、b 、c 互相平行，构成一组平行线，m 与n 可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行线a 、b 、c 相交，即被平行线a 、b 、c 所截，平行线的条数还可以更多．(2)定理比例的变式：对于3条平行线截两条直线的图形，需要注意以下变化：如果已知a ∥b ∥c ，那么根据定理就可以得到所有的对应线段都成比例，可以归纳为上下＝上下，上全＝上全，左右＝左右等，便于记忆． 2．解题思路．(1)利用平行线分线段成比例定理及其推论，要注意线段的对应关系，有时要用到比例的一些性质才能解决相关问题，过定点作某一线段的平行线是常用的作辅助线的方法．(2)“平行线”在解决比例问题时有很重要的作用，如题目中有平行线，要充分利用这一条件，若没有平行关系，需构造一组平行线，利用平行关系，找出对应的比例关系．【习题1.2】 1． 解析：如图所示，由题意知△OCD ∽△OAB ，∴△OCD 与△OAB 的三边对应成比例．∴AB CD ＝OB OD .∵CD ＝6，AB ＝8，BD ＝15，∴86＝OB 15－OB ，解得OB ＝607，∴OD ＝15－607＝457. 2． 证明：(1)如图所示，由题意知DE ∥BC ，∴DF BG ＝AF AG ，FE GC ＝AF AG，∴DF BG ＝FE GC ，∴BG GC ＝DF FE. (2)由题意知DE ∥BC ，∴FE BG ＝DF OG ，DF GC ＝OF OG ，∴FE BG ＝DF GC ，即BG GC ＝FE DF .又由(1)知BG GC ＝DF FE ，∴BG GC ＝GCBG，即BG 2＝GC 2，∴BG ＝GC . 3．解析：方案1：如图(1)所示，在AB 的一侧选择一点C ，连接AC ，BC (保证AC 的长度能够测量)，测量出AC 的长．在AC 上选一点D ，过点D 作DE ∥AB (即∠1＝∠2)交CB 于点E (保证DE 的长度能够测量)，再测量出CD ，DE 的长．此时，△CDE 与△CAB 的三边对应成比例，所以CD AC ＝DEAB，由此可以计算出AB 的长度．方案2：如图(2)所示，在AB 的一侧选择一点C ，使AC ⊥AB 于A (保证BC 的长度能够测量)，测出AC ，BC 的长度，由勾股定理即可算出AB 的长．说明：此题是一个开放性问题，测量AB 的长度的方案还有许多(如取∠ACB 为特殊角等)，因此，可以去积极探索不同方案．4．(1)证明：如图所示，连接AC ，与EF 交于G ，∵EF ∥AD ∥BC ，∴EG BC ＝AE AB， 即EG ＝AE AB ·BC ，GF AD ＝CFCD ，即GF ＝CFCD·AD . ∵AE EB ＝12，∴AE AB ＝13， 而AE AB ＝DF CD ，∴DF CD ＝13，∴CF CD ＝23， ∴EF ＝EG ＋GF ＝AE AB ·BC ＋CF CD ·AD ＝13BC ＋23AD ，∴3EF ＝BC ＋2AD .(2)证明：如果AE EB ＝23，那么AE AB ＝25.同理可推得CF CD ＝35.由(1)知EF ＝EG ＋GF ＝AE AB ·BC ＋CF CD ·AD ＝25BC ＋35AD ，∴5EF ＝2BC ＋3AD .(3)解析：如果AE BE ＝m n ，那么AE AB ＝mm ＋n.同理可推得CF CP ＝n m ＋n .由(1)知EF ＝EG ＋GF ＝m m ＋n BC ＋nm ＋n AD ，∴(m ＋n )EF ＝mBC ＋nAD .。
平行线分线段成比例练习题
平行线分线段成比例练习题
1．选择题：
(1)如图，AB∥CD∥EF，则在图中下列关系式一定成立的是( )
A．B．C．D．
(2)如图，△ABC中，G是BC中点，E是AG中点，CE的延长线交AB于D，则EC：DE的值
为( )
A．2 B．3C．D．
(3)如图，在△ABC中，DE∥BC，则下列比例式成立的是( )
A．B．C．D．
(4)在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且DE∥BC，，则等于( )
A．B．C．D．
(5)如图，△ABC中，DE∥AC交AB、BC于D、E，如果AB=7cm，AC=5cm，AD=3cm，则DE=( )
A．B．C．D．
(6)如图，在△ABC中，如果DE∥BC，DF∥AC，则下列比例式中不正确的是( )
A．B．C．D．
2．已知：如图，△ABC中，DE∥BC.
(1)若AD=3，DB=5，AE=2.25，求EC的长；
(2)若AB=5，AD=2，AC=4，求EC的长；
(3)若AE：EC=2：3，DB-AD=3，求AD与DB的长.
3．已知：如图，△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，AD：DB=2：3，AC=a，求DE 的长.
4．已知：如图，△ABC为等边三角形，边长为2，DE∥BC，△BCD的面积是△ABC的面积的，
求EC的长.
1．(1)D (2)B (3)D (4)C (5)D (6)C
2．(1)EC=3.75；(2) EC=2.4；(3)6，9
3. 0.6a
4. 0.5。
平行线分线段成比例定理练习题
AB
AC
BC
.
A
(图形语言)
AD DE 法2：为了证明 AB BC ，需
D
E C
G
用平行线分线段成比例定理. B 故作CG//AB,且与DE的延长 线交于点G.
证明:过点C作CG//AB,且与DE的延长线交于点G. ∵DE//BC, ∴AD:AB=AE:AC AD DE . ∵CG//AB, ∴DE:DG=AE:AC AB DG ∵四边形DEFB为平行四边形， ∴DG=BC.
AD//EF//BC AE DF a c , 即 EB CF b CF bc CF (米) a
b B
?
C
AD AE DE . AB AC BC
如图，有一块形状为直角梯形的草地，周围均 为水泥直道，两个拐角A、B处均为直角，草地 中间另有一条水泥直道EF垂直于AB，垂足为E. 已知AE长a米，EB长b米，DF长c米.求CF. A 解：由 题：由题意 D a c A B 90 0 ，EF AB E F
D B
∴AD2=ABAF,即AD是AB和AF的比例中项
作业
1、如图：∠A=∠C，AB/BC=3/2，BE=8。求 E BD=？
A B D C
2、已知：FG∥AE∥BC，GH∥CD，求： AF/BF=EH/HD E
A F B G C
H
D
已知:如图,DE//BC分别交AB、AC于点D、 E.求证：AD AE DE
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例 如图,△ABC中,DE//BC,EF//CD. 求证:AD是AB和AF的比例中项. 分析: 分别在△ABC及△ADC中利 用平行线分线段成比例定理的推论
平行线分线段成比例经典例题与变式练习(精选题目)
平行线分线段成比例知识梳理平行线分线段成比例定理及其推论1.平行线分线段成比例定理如下图，如果h // I2 // I3，则BCACABDEACDF2.平行线分线段成比例定理的推论:3.平行的判定定理:AB DEAC12DF，EFDF如图，在三角形中，如果ADDE // BC，贝U --ABAEACDEBC 如上图，如果有ADABAEACDEBC，那么DE // BC专题讲解专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】如图，DE // BC，且DB AE,若AB 5, AC 10，求AE的长。
【例2】如图，已知AB//EF//CD，若AB a , CD b , EF c ,求证：111. cab 【巩固】如图，AB BD，CD BD，垂足分别为B、D，AC和【巩固】如图，找出S ABD、S BED、S BCD之间的关系，并证明你的结论BD相交于点E，EF BD，垂足为F .证明:1 1AB CD1EFA连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ， 则CC （2）如图（2），已知 ABC 中，AE:EB 1:3，BD :DC 2:1，AD 与CE 相交于F ，则EF FCAF FD的值为（）A.|B.1C.【例5】（2001年河北省中考试题）如图，在 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O .【例3】如图，在梯形ABCD 中，AB // CD , AB 12 , CD 9，过对角线交点0作EF // CD 交 AD , BC 于 E , F ，求 EF 的长。
【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形 ABCD 中，AD // BC ，AD a ，BC b ，E ，F 分别 是AD ，BC 的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。
专题二、定理及推论与中点有关的问题 【例4】（2007年北师大附中期末试题）1（1）如图（1），在 ABC 中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且AE - AB ，43 2D.2A(1)当AE-时，求AO的值；AC2AD(2)当AE 1 1 口」、—求A0的值；AC 3 4AD(3)试猜想AE 1AC n 1时A0的值，并证明你的猜想AD【例6】（2003年湖北恩施中考题）如图，AD是ABC的中线，点E在AD上，F 是BE延长线与AC的交点.（1）如果E是AD的中点，求证：圧 -；FC 2（2）由（1）知，当E是AD中点时，圧-成立，若E是AD上任意一点（E与A、DFC 2 ED不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD 上的一点，且BE AC，延长BE交AC于F。
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第二课时：《平行线分线段成比例》练习
1．判断题
（1）三条平行线截两条直线，所得的线段成比例（ ）
（2）一条直线交△ABC 的边AB 于点D ，交AC 边于点E ，如果 AB ＝9，BD ＝5，AC ＝3.5，AE ＝2，那么DE ∥BC ．（ ）
（3）如图1，321////l l l ，则BF
AE DF CE BD AC =
=（ ） （4）如图2，在△ABC 中，DE ∥BC ，则BC DE
EC AE DB AD =
=（ ） 2．选择题
（1）如图3，在△ABC 中，DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，下列 不能成立的比例式一定是（ ） A ．
EC AE DB AD = B ．AE AC AD AB = C ．DB EC AB AC = D ．BC
DE
DB AD =
（2）如图4，E 是□ABCD 的边CD 上一点，CD CE 3
1
=，AD ＝12，那么CF 的长为（ ）
A ．4
B ．6
C ．3
D ．12
（3）如图5，□ABCD ，E 在CD 延长线上，AB ＝10，DE ＝5，EF ＝6，则BF 的长为（ ）
A ．3
B ．6
C ．12
D ．16
（4）如图6，在ABC 中，AB=3AD, DE//BC, EF//AB, 若AB=9, DE=2, 则线段FC 的长度是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
（5）如图3，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别与AB 、AC 相交于点D 、E ，
若AD=4，DB=2，则AE ︰EC 的值为（ ） （A ）0.5 （B ）2 （C ）
32 （D ）2
3 3．填空题
（1）如图8， 则 ＝________， ＝________； （2）如图9，321////l l l ，AM ＝2，MB ＝3，
CD ＝4.5，则ND ＝________，CN ＝________；
（3）如图10，D 、E 分别为AB 的三等分点，DF ∥EG ∥BC ，若BC ＝12，则DF ＝___ ___，
EG ＝________；
（4）如图11，△ABC 中，DE ∥BC ，若AE ∶EC ＝2∶3，DB -AD ＝3，则AD ＝________，
DB ＝________；
4．如图， 已知△ABC 中AB=AC ，AD ⊥BC ，M 是AD 的中点，CM 交AB 于P ， DN ∥CP 交AB 于N ，若AB=6cm ，求AP 的值.
5、如图：P 是四边形OACB 对角线的任意一点，且PM ∥CB ，PN ∥CA ， 求证：OA ：AN=OB ：MB
6、如图，△ABC 中，AF ∶FD ＝1∶5，BD ＝DC ，求：AE ∶EC ．
O
P
N M C B A
21//l l DE
AD AC
AB 图6 B A C F D E 图7
E D C
B
A 图1 图2
图3 图4 图5 图11 图10 图9 图8
6、如图，在△ABC 中，EF ∥CD ，DE ∥BC ，求证：A F ·BD ＝ AD ·F D
(如图2-2)已知直线截△ABC 三边所在的直线分别于E 、F 、D 三点 且AD=BE. 求证：EF ：FD=CA ：CB.
练习
1．两地实际距离是3500米，画在图上距离是5厘米，则比例尺为______． 若在地图上量得为6厘米，实际距离为______米． 2．已知：
,346x y z 那么3242x y
z x
＝______． 3．若a 、b 、c 表示三条线段，且a ＝2511, b ＝25+11, c 是a 、b 的比例中项，则c ＝______．
4．若(a －b ) : b ＝2 : 3. 则a : b ＝______．
5．如图，BE 平分∠ABC ，DE ∥BC 交AB 于D ，BC ＝6，AB ＝9，求DE ．
6．已知：如图，若AB ∥A ′B ′, BC ∥B ′C ′． 求证：AC ∥A ′C ′．
一．相似的图形
1、 相同， 不一定相同的图形叫相似图形。
2、下列各种图形相似的是（ ）
A 、（1）、（3）
B 、（3）、（4）
C 、（1）、（2）
D 、（1）、（4） 3、下列说法正确的是（ ）
A 、所有的等腰梯形都相似
B 、所有的平行四边形都相似
C 、有一个角是300的等腰三角形相似
D 、所有的等边三角形都相似 4、⑴用眼睛看月亮和用望远镜看月亮，看到的图象是相似的图形； ⑵用彩笔在黑板上写上三个大字1、2、3，它们是相似图形； ⑶用粉笔在黑板上写上“天”和用毛笔在纸上写上“天”，这两个字是相似图形；
以上说法你认为哪些是正确的，哪些是错误的？
9、把下列图中左边的图形，加以放大1倍后画出与它们相似的图形.
二．相似图形的性质
（1）成比例线段。
1．若ab=cd ，则有a ∶d= ；若m ∶x=n ∶y, 则x ∶y= . 2． 若a, x, b, y 是比例线段，则比例式为 ；若a=1，x=-2, b=-2.5, 则y= . 3．判断下列线段是否成比例，若成，请写出比例式. ①a=3m, b=5m, c=4.5cm, d=7.5cm ②a=7cm,b=4cm, c=d=27cm
③a=1.1cm, b=2.2cm, c=3.3cm, d=5.5cm 4.若x ∶（x+1）=7∶9，则x= ；若
b
b a +=38，则b a
= .；若5a=3b ，则b a = ，b
a b
a +-3= 。
5.已知A, B 两地实距5Km ，图距2cm ，则比例尺是 ；若在此地图册上量得 A,C 两地间距离是16cm ，则A,C 两地间实际距离是 .
6．已知
b a =43，
c b =5
3
，则a ∶b ∶c 等于（ ） A. 3∶4∶5 B.4∶3∶5 C.9∶12∶20 D. 9∶15∶20
7． 如图，两个五边形是相似形，则=a ，=c ，α= ，β= . 8. 已知a b a -=32，求b
a b
a +-34的值.
9. 已知a,b,c 为△ABC 的三边长，且△ABC 的周长是60cm,
3a =4b =5
c
, 求a,b,c 的长.
(1)(2)(3)
(4)╮23a c β1550 950 1150
125
7αb ╭╮
╯650 1150。