计算机图形学_ 三维图形变换_
《计算机图形学教学资料》第10讲-5-2三维变换
第三节 三维几何及建模变换
三维图形的几何变换及其矩阵表示
平移变换 旋转变换 缩放变换 反射变换 错切变换
物体在不同坐标系之间的建模变换
2020/11/3
ppt课件
1
Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学
x' 1 0 0
y'
0
1
0
z' 0 0 1
1
0
00
记为： P' TP
tx x
t
y
y
tz 1
z
1
其中 参 数 tx ,ty ,tz是 平 移 距 离
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6
Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学
平移变换（3）
ppt课件
3
Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学
三维几何变换的矩阵表达式
引入齐次坐标后可表示为：
x' a11 a12 a13 a14 x
y'
a21
a22
a23
a2
4
y
z' 1
aa3411
a32 a42
a33 a43
aa3444
z 1
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sz 0
(1
sz )z f 1
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ppt课件
11
Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学
旋转变换（1）
计算机图形学第4章图形变换
反射变换
总结词
反射变换是将图形关于某一平面进行镜像反射的变换。
详细描述
反射变换可以通过指定一个法向量和反射平面来实现。法向量垂直于反射平面，指向反射方向。在二 维空间中，反射变换可以将图形关于x轴或y轴进行镜像反射；在三维空间中，反射变换可以将图形关 于某一平面进行镜像反射。
03
复合图形变换
组合变换
01
02
03
04
组合变换是指将多个基本图形 变换组合在一起，形成一个复
杂的变换过程。
组合变换可以通过将多个变换 矩阵相乘来实现，最终得到一
个复合变换矩阵。
组合变换可以应用于各种图形 变换场景，如旋转、缩放、平
移、倾斜等。
组合变换需要注意变换的顺序 和矩阵的乘法顺序，不同的顺 序可能导致不同的变换结果。
矩阵变换
矩阵变换是指通过矩阵运算对图形进 行变换的方法。
常见的矩阵变换包括平移矩阵、旋转 矩阵、缩放矩阵和倾斜矩阵等。
矩阵变换可以通过将变换矩阵与图形 顶点坐标相乘来实现，得到变换后的 新坐标。
矩阵变换具有数学表达式的简洁性和 可操作性，是计算机图形学中常用的 图形变换方法之一。
仿射变换
仿射变换是指保持图形中点与 点之间的线性关系不变的变换。
05
应用实例
游戏中的图形变换
角色动画
通过图形变换技术，游戏中的角 色可以完成各种复杂的动作，如
跑、跳、攻击等。
场景变换
游戏中的场景可以通过图形变换 技术实现动态的缩放、旋转和平 移，为玩家提供更加丰富的视觉
体验。
特效制作
图形变换技术还可以用于制作游 戏中的特效，如爆炸、火焰、水
流等，提升游戏的视觉效果。
THANKS
计算机图形学-三维图形变换与投影
5.关于yoz面的反射
坐标表示为：
x' x y' y z' z
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
1 0 变换矩阵为： T 0 0
6.关于zox面的反射
坐标表示为：
x' x y' y z' z
J
z
x y
34
三维复合变换
步骤：
1。J轴绕Z轴转φ 角至yoz平面，成为J1。 2。J1轴绕X轴转γ 角后与z轴平行，成为J2。 3。立体绕J2轴转θ 角 4。从J2返回J1。 5。从J1返回J。
J2 J
J2
z
J1
z
J1
z
J1
x
y
x
y
x
y
35
投影变换
36
投影变换
显示器只能用二维图形表示三维物体，因此三维 物体就要靠投影来降低维数得到二维平面图形 把三维物体转变为二维图形的过程称为投影变换
1 b d 1 T g h 0 0 c f 1 0 0 0 0 1
错切变换
1 b d 1 T g h 0 0
c f 1 0
0 0 0 1
三维错切变换中，一个坐标的变化受另外两个坐
标变化的影响。
如果变换矩阵第一列中元素d和g不为0，产生沿x
同理可得，绕y轴旋转变换：
x ' z sin x cos y' y z ' z cos x sin
z 绕y轴旋转 x
cos 0 T sin 0
0 sin 1 0 0 cos 0 0
计算机图形学(三维几何变换)
有些图形系统，对设备坐标系进行了规范化，将坐标 范围限定在区间{x, y, z | 0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1}内，称为 标准化设备坐标系
Y
P’(x’,y’,z’) P(x,y,z)
sin cos 0 0 x 0 y (3) 1 z
X
x cos y sin z 0
Z
旋转的图示
2009-2010-2:CG:SCUEC
以图形中心为中心进行缩放的步骤
2009-2010-2:CG:SCUEC
18
以图形中心为中心的缩放变换
以图形中心为中心的缩放 然后再对每一点按照式(*)作变换. 最后再沿x, y和z方向平移xp, yp和zp,把经过缩放 的图形移回原处.
(xp,yp,zp)
以图形中心为中心进行缩放的步骤
2009-2010-2:CG:SCUEC
A
放缩
17
2009-2010-2:CG:SCUEC
以图形中心为中心的缩放变换
为了使缩放变换后的图形仍在原位臵附近，可另 以图形中心为中心的缩放 外定义一个相似中心点(xp,yp,zp). 先把整个图形沿x, y和z方向平移–xp, –yp和–zp, 相似中心就移到了坐标原点.
(xp,yp,zp)
视口
2009-2010-2:CG:SCUEC
8
Yv
世界坐标系
Y
y2 o x y z x2
观察坐标系
y1
X
三维图形变换
三维图形变换是在二维方法基础上增加了对z坐标的考虑得到的。
与二维变换类似，引入齐次坐标表示，即：三维空间中某点的变换可以表示成点的齐次坐标与四阶的三维变换矩阵相乘。
一、平移变换二．比例变换例如：对长方体进行比例变换，三、旋转变换跟二维的相同四、对称变换有关于坐标平面、坐标轴的对称变换（1）关于坐标平面的对称绕哪个面变换，那个面不变变换矩阵为：其它均类似（2）关于坐标轴变换6.2 投影变换投影变换就是把三维物体投射到投影面上得到二维平面图形两种投影法的本质区别在于：透视投影的投影中心到投影面之间的距离是有限的；而另一个的距离是无限的。
一、中心（透视）投影特点：投影线均通过投影中心，物体的投影视图由计算投影线与观察平面交点而得在投影中心相对投影面确定的情况下，空间的一个点在投影面上只存在唯一一个投影。
透视投影生成真实感视图，但不保证相关比例。
二、平行投影1、把透视投影的中心移至无穷远处，则各投影线称为相互平行的直线，这种投影2、分为正投影和斜投影3、特点：保持物体的有关比例不变三、平面集合投影的分类6.3 三视图一、1、根据投影面与坐标轴的夹角可分为两类：三视图和正轴侧图。
当投影面与某一坐标轴垂直时，得到的投影为三视图，这是投影方向与这个坐标轴的方向一致；否则，得到的投影为正轴侧图2、三视图包括主、侧、俯视图三种，投影面分别于x/y/z轴垂直3、优点：反映形体的实际尺寸，工程制图中常用三视图来测量形体间的距离、角度以及相互位置关系。
4、缺点：三视图上只有物体一个面的投影，只有将三个图放在一起，才能综合物体的空间形状二、三视图的计算1>确定三维物体上个点的位置坐标2>引入齐次坐标，求出所做变换相应的变换矩阵3>将所做变换用矩阵表示，通过运算求得三维物体上各点经变换后的点坐标值4>由变换后得到的二维点绘出三维物体投影后的三视图三、1>主视图：将三维物体xoz面（又称v面）做垂直投影，得到主视图2>俯视图：将三维物体xoy面（又称h面）做垂直投影，得到俯视图为了让其与主视图在一个平面内，让俯视图绕x轴旋转90°。
计算机图形学第六章三维变换与投影.ppt
1 0
0 0 1 0
Tx Ty Tz 1
Tx，Ty，Tz是平移参数。
P’
（6-3）
6.2.2 比例变换
比例变换的坐标表示为：
x'
y'
xSx yS y
z' zS z
因此，三维比例变换矩阵为：
Sx 0 0 0
T
0
Sy
0
0
0
0
0 0
Sz 0
0 1
Sx，Sy，Sz是比例系数
A’ A
（6-4）
6.2.3 旋转变换
三维基本几何变换是指将 P(x, y点, z) 从一个坐标 位置变换到另一个坐标位置 P'(的x, y过, z'程) 。三维基 本几何变换和二维基本几何变换一样是相对于坐 标原点和坐标轴进行的几何变换，包括平移、比 例、旋转、反射和错切5种变换。因为三维变换 矩阵的推导过程和二维变换矩阵的推导过程类似， 这里只给出结论。
关于y轴反射变换的坐标表示为：
xy''
x y
z' z
因此，关于y轴的三维反射变换矩阵为：
1 0 0 0
T
0
1
0
0
0 0 1 0
0
0
0
1
（6-9）
3、关于z轴的反射
关于z轴反射变换的坐标表示为：
x' y'
x y
z' z
因此，关于z轴的三维反射变换矩阵为：
1 0 0 0
T
0
1 0 0
0 0 1 0
（6-7）
6.2.4 反射变换
三维反射可以分为：关于坐标轴的反射和 关于坐标平面的反射两类。
计算机图形学--第八讲 图形的三维几何变换
3
变换通式
空间点[x y z] 的四维齐次坐标 [X Y Z H]表示
三维空间点的变换为 [x y z 1] T = [x’ y’ z’ 1]
变换前点的坐标 三维图形的变换矩阵
变换后点的坐标
三维图形变换矩阵通式为4 x 4 方阵
a b c p
T = d
e
5.关于Y轴对称
特点： y 值不变，zx坐标符号改变
[x y z 1] T = [-x y -z 1]
6.关于Z轴对称
特点： z值不变，xy坐标符号改变
[x y z 1] T = [-x -y z 1]
5.3 图形的三维几何变换—三维基本变换(13)
对称变换示意图
17
5.3 图形的三维几何变换—三维基本变换(14)
(x’, y’, z’)
x = xcos −ysin
y = xsin +ycos
z = z
矩阵运算的表达式为
z
cos sin 0 0
x
y
z 1 = x
y
z
1
−
sin
0
cos
0
0
0
1 0
0
0 0 1
y
(x, y, z)
x
10
5.4 图形的三维几何变换-三维基本变换(7)
绕X轴旋转
与二维图形的组合变换一样, 三维立体图形也可通过 三维基本变换矩阵, 按一定顺序依次相乘而得到一个 组合矩阵(称级联), 完成组合变换。
三维组合平移、组合旋转和组合比例变换与二维组合 平移、组合旋转和组合比例变换具有类似的规律。
19
5.3 图形的三维几何变换—三维复合变换(2)
计算机形学三维几何变换
计算机形学三维几何变换计算机形学是计算机科学中的一个重要分支，主要研究计算机图形学中的各类图形的数学描述方法和计算机图形学技术的应用。
其中，三维几何变换是计算机形学中的一项重要内容。
本文将介绍三维几何变换的概念、常见的三维几何变换操作以及其在计算机图形学中的应用。
一、概述三维几何变换是指对三维空间中的图形进行平移、旋转、缩放等操作，从而改变图形的位置和形状的过程。
三维几何变换是计算机图形学中非常常用的操作，可以实现物体的移动、旋转、缩放等效果。
二、三维几何变换的操作1. 平移（Translation）平移是指将图形沿指定的轴方向移动一定距离。
平移操作可以简单地理解为将图形的每一个顶点坐标向指定方向移动相同距离。
平移操作的数学表达式为：\[T(x,y,z) = (x + dx, y + dy, z + dz)\]其中，(x,y,z)表示原始顶点坐标，(dx,dy,dz)表示沿(x,y,z)轴平移的距离。
2. 旋转（Rotation）旋转是指将图形绕指定轴进行旋转。
旋转操作可以用欧拉角、四元数、矩阵等多种方式进行计算。
旋转操作的数学表达式为：\[R(x,y,z) = M(x,y,z)\]其中，(x,y,z)表示旋转前的坐标，M表示旋转变换矩阵。
旋转变换矩阵的计算方式有很多，最常见的是使用旋转角度和旋转轴来计算旋转矩阵。
3. 缩放（Scaling）缩放是指将图形沿各个轴向相应的方向按比例进行扩大或缩小。
缩放操作可以用不同的比例因子对每个顶点坐标进行缩放计算。
缩放操作的数学表达式为：\[S(x,y,z) = (sx, sy, sz)(x,y,z)\]其中，(x,y,z)表示原始顶点坐标，(sx,sy,sz)表示在x轴、y轴和z轴方向的缩放比例。
4. 其他变换操作除了平移、旋转和缩放之外，三维几何变换还可以包括倾斜、翻转、剪切等其他操作。
这些操作都是通过对图形的顶点坐标进行适当的数学计算而实现。
三、三维几何变换的应用三维几何变换在计算机图形学中有广泛的应用。
[课件]第5章 三维图形变换PPT
![[课件]第5章 三维图形变换PPT](https://img.taocdn.com/s3/m/80c52cfa7f1922791788e807.png)
5.1 三维图形齐次坐标变换矩阵
• 齐次变换矩阵提供一个三维空间中包括平移、旋转、透 视、投影、反射、错切和比例等变换在内的统一表达式， 使得物体的变换可在统一的矩阵形式下进行。 旋转、错切等 透视变换
平移变换
比例变换
5.2 图形的三维几何变换
三维图形变换可以在二维图形变换方法基础上增 加对 z 坐标的考虑而得到，其变换也为平移、缩放、 旋转、对称、错切等五种变换。在二维图形变换的讨 论中我们已经使用了齐次坐标表示法，其变换矩阵是 3×3阶矩阵。对于三维空间，则变换矩阵需要是4×4 阶矩阵。在三维图形变换的讨论中，仍采用假定坐标 系不动，图形变换的方式。并且假定变换是在右手坐 标系下进行。
式中sx、sy和sz分别表示点P(x, y, z）沿 X、 Y及 Z轴方 向相对坐标原点的比例变换系数。系数可赋予任何正数值, 当值小于1时缩小图形，值大于1则放大图形。当sx、sy和sz 被赋予相同值时，使图形产生三个坐标轴方向相对比例一 致的变换， sx、sy和sz值不等时则产生不一致的变换。
相对于给定点Pc(xc,yc,zc）的比例变换的矩阵表示为：
5.2.2 缩放变换 x' x s x 相对于原点的 缩放变换的表示式为： y ' y s y
z' z s z
s x 0 矩阵表示是： x ' y ' z ' 1 x y z 1 0 0
0 0 0 s 0 0 y 0 s z 0 0 0 1
（3） 绕Y轴旋转变换
绕Y轴旋转时，图形上各点y坐标不变，x 、z坐标的变化 相当于在XZ二维平面内绕原点旋转。旋转变换公式为：
y z sin y x' xcos y' y z xsin zcon y y
三维变换及三维观察
Y
俯视图
广东工业大学机电学院图学与数字媒体工程系
x
计算机图形学基础——三维变换及三维观察
三维投影变换——平行正投影三视图 侧视图投影矩阵：
立体向YOZ面投影
0 0 0 0
Tyoz
0 0
1 0
0 1
0 0
0 0 0 1
广东工业大学机电学院图学与数字媒体工程系
计算机图形学基础——三维变换及三维观察
0
0
0
1
旋转前后坐标变 换的关系为：
x' x cos z sin
y' y
z' xsin z cos
广东工业大学机电学院图学与数字媒体工程系
计算机图形学基础——三维变换及三维观察
三维几何变换
绕z轴旋转
cos sin 0 0
Tz
sin
0
cos
三维投影变换——平行正投影三视图 俯视图投影矩阵：
立体向XOY面投影
1 0 0 0
Txoy
0 0
1 0
0 0
0 0
0 0 0 1
广东工业大学机电学院图学与数字媒体工程系
计算机图形学基础——三维变换及三维观察
三维投影变换——平行正投影三视图 俯视图投影矩阵：
XOY面绕OX轴向下 旋转90度
T
Txoy TRx
Ttz
0 0
0 0
1 0
0 0
0 0 z0 1
广东工业大学机电学院图学与数字媒体工程系
计算机图形学基础——三维变换及三维观察
三维投影变换——平行正投影三视图
侧视图：获得侧视图是将三维形体往yoz面（侧面W） 作垂直投影。
计算机图形学2010_06三维图形变换
第六章 三维图形变换第一节 三维图形变换基础一、三维坐标系xyzxyz右手坐标系左手坐标系三维图形学中习惯上通常是采用右手坐标系。
xy 平面对应于视平面，z 轴垂直于视平面，指向视平面之外。
二、三维齐次坐标及变换矩阵三维图形变换也是基于矩阵运算进行。
矩阵运算的维数被扩展为四维。
三维坐标点采用4元齐次坐标表示：(x , y , z , 1)，三维坐标与三维齐次坐标的相互转换如下：三维坐标(x , y ,z )——齐次坐标(x , y ,z , 1) 齐次坐标(x , y ,z , h )——二维坐标(x /h , y /h ,z /h ) 变换矩阵则为4X4的矩阵：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡s nm kr j i h q f e d p c b a 其中：平移变换第二节 三维几何变换一、三维基本变换 1. 平移变换⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1010000100001nmk T )1,,,()1,,,(n z m y k x T z y x +++=⋅2. 比例变换)1,,,()1,,,(1000000000000jz ey ax T z y x j e a T =⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 3. 旋转变换三维的基本旋转变换分为三种，即绕三个坐标轴的旋转变换。
(1)绕z 轴旋转γ角旋转后z 值不变，x,y 值将发生改变，x,y 值的计算公式与平面旋转相同，即：zz y x y y x x ='+='-='γγγγcos sin sin cos 则变换矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=1000010000cos sin 00sin cos γγγγT 有：)1,1,cos sin ,sin cos ()1,,,(γγγγy x y x z y x +-=T(2)绕x 轴旋转α角则旋转后x 的坐标值不变，y 和z 的坐标值将改变，相当于在yz 平面上绕平面原点进行旋转变换。
平面转转变换的公式为：ααααcos sin sin cos y x y y x x +='-='对应而来，这里y 对应于x ，z 对应y ，有：ααααcos sin sin cos z y z z y y +='-='则变换矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10000cos sin 00sin cos 00001ααααT )1,cos sin ,sin cos ,()1,,,(ααααz y z y x z y x +-=T(3)绕y 轴旋转β角这时，z 对应于x ，x 对应于y 。
计算机图形学中的三维变换与投影算法
计算机图形学中的三维变换与投影算法计算机图形学是研究计算机中图形的表示、生成、处理和显示的学科。
在计算机图形学中，三维变换和投影算法是非常重要的技术，它们可以用来对三维物体进行位置、姿态和尺寸的调整，并将其投影到二维画面上。
三维变换是指通过对三维物体的顶点进行一系列变换操作，来改变物体的位置、形状和方向。
常用的三维变换操作包括平移、旋转和缩放。
平移操作改变物体的位置，旋转操作改变物体的方向，而缩放操作改变物体的尺寸。
通过组合不同的变换操作，可以实现复杂的三维物体的变换。
平移是通过将物体的每个顶点按照指定的距离移动来改变物体的位置。
旋转是通过将物体的每个顶点绕着旋转中心按照指定的角度旋转来改变物体的方向。
缩放是通过将物体的每个顶点按照指定的比例因子进行缩放来改变物体的尺寸。
这些变换操作可以通过矩阵运算来进行计算，从而实现对三维物体的变换。
投影是将三维物体投影到二维画面上的操作。
在计算机图形学中，常用的投影算法有平行投影和透视投影。
平行投影是将物体的每个顶点沿着平行于视线的方向进行投影，得到二维画面上的对应点。
透视投影则考虑到物体离视点的距离，并根据投影面和视点的位置关系而调整投影结果。
通过投影操作，可以将三维物体在计算机屏幕上展示出来，从而实现真实感的图形显示。
在实际应用中，三维变换和投影算法被广泛应用于计算机游戏、虚拟现实、计算机辅助设计等领域。
通过三维变换，可以实现物体的动画效果，使得游戏或虚拟现实场景更加逼真。
而通过投影算法，可以实现对物体的观察和测量，帮助设计师更好地进行产品设计和展示。
总结来说，计算机图形学中的三维变换和投影算法是实现三维物体在计算机中显示和操作的关键技术。
通过对物体进行平移、旋转和缩放等变换操作，可以改变物体的位置、方向和尺寸；而通过投影操作，可以将三维物体投影到二维画面上展示出来。
这些技术在计算机游戏、虚拟现实和计算机辅助设计等领域发挥着重要的作用，推动了计算机图形学的发展。
计算机图形学三维图形变换
主视图变换矩阵
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
Tv
0 0
0 0
0 1
0
0
0 0
0
0
பைடு நூலகம்
0
0
1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0
0
0
1
0
0 0 1
0
0 0 1
俯视图变换矩阵
1 0 0 0 1
0
0 0 1 0 0 0
TH
0 0
1 0
0 0
0 0 0 0
cos(90) sin(90)
三维图形变换
基本几何变换
基本几何变换都是相对于原点和坐标
轴进行的几何变换，有平移、缩放和 旋转等。在以下的讲述中，均假设用
p(x, y, z) 表示三维空间上一个未被变 换的点，而该点经过某种变换后得到 的新点用 p'(x', y', z') 表示。
平移变换
平移是指将点沿直线路径从一个坐标位置移动 到另一个坐标位置的一个重定位过程。
0 1
0
0
0 0
0 0 0 1 0 0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0 0 1
0 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 1
1 0 0 0
0
Rx ( )
0
c
d b
b
d c
0
0
dd
0 0 0 1
Ry ( )
d 0 a 0
Ry
(
)
0
a
1 0
0 d
计算机图形学chap7 三维变换及三维观察
关于x轴进行对称变换的矩阵计算形式 为：
1 0 0 0 1 0 TFx 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1
22
三维基本几何变换——对称变换
关于Y轴进行对称变换的矩阵计算形式为：
1 0 TFy 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
23
三维基本几何变换——对称变换
关于Z轴进行对称变换的矩阵计算形式为：
1 0 0 1 TFz 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 1
24
三维基本几何变换——对称变换
关于原点对称
D E O B x A C y E* x E
*
F
F
*
F* C* O O A* y B* x B* x D
*
A* F*
C* y
* D
E* C*
* D
O
A*
B*
y
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)a绕x正向旋转90°(c) a绕y正向旋转90°(d) a绕x正向旋转90°
三维基本几何变换——对称变换
关于坐标平面对称
T-1Rz(θ)=TRz(-θ) T-1Rz(-θ)=TRz(θ)
0 0 cos 0 0 sin 1 0 0 0 1 0
sin cos 0 0
0 0 0 0 1 0 0 1
32
三维复合变换
三维复合变换是指图形作一次以上的变 换，变换结果是每次变换矩阵的乘积。
b 1 h 0
c f 1 0
0 0 0 1
26
沿z方向错切：Tshz= 1 0 0 0 沿x方向错切：Tshx= 1 d g 0 沿y方向错切：Tshy= 1 0 0 0
计算机图形学 第七章 三维变换及三维观察
33
平行投影
C A B A′
投影平面
投影面A′B′C ′在XOY面上 AA′ ⊥ 面A′B′C ′
⎡1 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 0 0 0⎤ 1 0 0⎥ ⎥ 0 0 0⎥ ⎥ 0 0 1⎦
34
C′ B′
Chapter 7三维变换及三维观察
平行投影
Z
A C A′
Chapter 7三维变换及三维观察
⎛a⎞ α = tg ⎜ ⎟ ⎝b⎠
−1
⎛ c ⎞ β = cos ⎜ ⎟ a 2 + b2 + c2 ⎠ ⎝
−1
24
对称变换
关于面对称：
XOY平面 YOZ平面 ZOX平面
P ′ ( x′ P(x y z) y′ z′)
关于线对称：
X轴 Y轴 Z轴
关于点对称：
原点
根据数学意义进行求 解； 按几何意义进行求 解；
1 * A = A A
−1
26
Chapter 7三维变换及三维观察
逆变换
平移的逆变换 比例的逆变换 整体比例的逆变换 旋转的逆变换
⎡ 1 ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ −Tx ⎣
0 1 0 −Ty
0 0 1 −Tz
0⎤ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 1⎥ ⎦
0 0⎤ 0 0⎥ ⎥ 1 0⎥ ⎥ 0 1⎦
Y O X
Chapter 7三维变换及三维观察
11
Y
旋转变换：绕Z轴
P′
θ
Z
P
X
⎡ cos θ ⎢ − sin θ ⎢ ⎢ 0 ⎣
⎡ cos θ ⎢ − sin θ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0
sin θ cos θ 0
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y z 1Ts
a 0 0 0
x
y
z 1 0
e
0
0
0 0 i 0
0
0
0
1
ax ey iz 1
对下图所示的长方形体进行比例变换，其中： a=1/2，e=1/3，i=1/2，求变换后的长方形体各点坐标
z
2E 2F A
B x
3 G C
H Dy
将其写为矩阵计算形式如下：
20
0
0
11
2 0
0 2
0 3
0 0
1 1 2
3
0
0 1
0 2 1 0
0
2
1
0
0 1
3 0
0
0
0 1
2 0
0
0
0
1
2
3 2 1
0
3
2
1
0
0 0 1
1
0
0
1
1
1 0 1
0
1
0
1
0
0 1 1
1
0
1
1
1
1 1 1
0
1
1
1
1 1
1
（2）整体比例变换 整体比例变换，可用以下矩阵表示：
x' y' z' 1 x
z
z
z
x y
z
x
O
y
O
y
O
y
z
x
x
y x
(a)
(b)
(c)
(a) 绕z轴正向旋转；(b)绕x轴正旋转； (c)绕y轴正向旋转
（1）绕z轴旋转θ
三维空间立体绕z轴正向旋转时, 立体上各顶点的x, y坐标 改变, 而z坐标不变。而x, y坐标可由二维点绕原点旋转公 式得到, 因此可得：
x* xcos ysin y* xsin y cos
y z 1
关于zox平面进行对称变换的矩阵计算形式为：
1 0 0 0
0 TFzx
1
0
0
0 0 1 0
0 0 0 1
x' y' z' 1x y z 1 TFzx x y z 1
（2）关于坐标轴对称 关于x轴进行对称变换的矩阵计算形式为：
x' y' z' 1x y z 1
1
0
0 0
0 1 TFx
有关二维图形几何变换的讨论，基本上都适合于三维空间 。从应用角度看，三维空间几何变换直接与显示、造型有 关，因此更为重要
同二维变换一样，三维基本几何变换都是相对于坐标原点 和坐标轴进行的几何变换：有平移、比例、旋转、对称和 错切等
与二维变换类似，引入齐次坐标表示，即：三维空间中某 点的变换可以表示成点的齐次坐标与四阶的三维变换矩阵 相乘
y z 1T t
x y
x Tx
1
0
0
z 1
1
0
0
Tx
Ty
y Ty
z Tz
0 0
0
0
1 0
Tz 1
1
2、比例变换 比例变换分局部比例变换和整体比例变换
（1）局部比例变换
局部比例变换由T2D中主对角线元素决定，其它元素均为零。 当对x,y,z方向分别进行比例变换时，其变换的矩阵表示为：
x' y' z' 1 x
y z 1Ts
1 0 0 0
x
y
z 1 0
1
0
0
0 0 1 0
0
0
0
s
x
y z s x
s
yz
s s 1
3、旋转变换 三维立体的旋转变换是指给定的三维立体绕三维空间某个指 定的坐标轴旋转θ角度
旋转后, 立体的空间位置将发生变化, 但形状不变
θ角的正负按右手规则确定, 右手大姆指指向旋转轴的正向 , 其余四个手指指向旋转角的正向
p'x' y' z' 1 pT3D
a b c p
x
y
z
1
d
e
f q
g h i r
l
m
n
s
根据T3D在变换中所起的具体 作用，进一步可将T3D分成四 个矩阵。即：
a
d
T3D
g
l
b e h m
c f i n
p q
r
s
a T 1 d
g
b c
e
f 对点进行比例、对称、旋转、错切变换
0
0
0
0
sin
0
cos
0
0
1
x ycos zsin
ysin zcos
1
（3）绕y轴旋转 三维点p绕y轴正向旋转θ角的矩阵计算形式为：
x' y' z' 1x
y z 1TRy
cos
0 sin
0
x
y
z
1
0
sin
1
0
0 cos
0
0
0
0
0
1
xsin xcos
y zcos xsin
1
x' y' z' 1xΒιβλιοθήκη y z 1TRzcos
sin
x
y
z
1
sin
cos
0
0
0
0
xcos ysin xsin ycos
0 0
0
0
1 0
0
1
z 1
（2）绕x轴旋转 同理，三维点p绕x轴正向旋转θ角的矩阵计算形式为：
x' y' z' 1x
y z 1TRx
1
0
x
y
0
z 1
0
cos sin
计算机图形学
第三章：三维图形几何变换
主要解决以下几个问题： 如何对三维图形进行方向、尺寸和形状方面的变换？ 三维物体如何在二维输出设备上输出？
通过三维图形变换，可由简单图形得到复杂图形，三维图形 变换则分为三维几何变换和投影变换
一、三维物体基本几何变换
三维物体的几何变换是在二维方法基础上增加了对z坐标的 考虑而得到的
h i
T2 l m n 对点进行平移变换
p
T3 q r
作用是进行透视投影变换
T4 s
作用是产生整体比例变换
1、平移变换
y
P(x,y,z)
若三维物体沿x,y,z方向上移动
一个位置，而物体的大小与形状
P’(x’,y’,z’)
均不变，则称为平移变换
x
z
点P的平移变换矩阵表示如下：
x' y' z' 1 x
0
0
1
二、平行投影
平行投影可根据投影方向与投影面的夹角分成两类：正投影 和斜投影。
投影方向
投影平 面法向
投影平面
(a)正投影
投影方向
a
投影平面
(b)斜投影
投影平 面法向
1、正投影
正投影根据投影面与坐标轴的夹角又可分为两类：三视图和 正轴侧图
（3）绕任意轴旋转
y p2
p2
x z
求绕任意直线旋转矩阵的原则： ① 任意变换的问题——基本几何变换的问题
② 绕任意直线旋转的问题——绕坐标轴旋转的问题
4、对称变换 对称变换有关于坐标平面、坐标轴等的对称变换。 （1）关于坐标平面的对称
关于xoy平面进行对称变换
x' y' z' 1 x y z 1
0
0
0 0
0 0
1
0
0 1
关于y轴进行对称变换的矩阵计算形式为：
x' y' z' 1 x y z 1
1
0 TFy
0 0
0 0 0
1
0
0
0 1 0
0 0 1
关于z轴进行对称变换的矩阵计算形式为：
x' y' z' 1 x y z 1
1 0 TFz 0 0
0 0 0
1
0
0
0 1 0
1 0 0 0
0 TFxy
0
1 0
0 1
0 0
0
0
0
1
x' y' z' 1 x
x y z 1
1 0 0 0
y z 1 0 1
0
0
0 0 1 0
0
0
0
1
关于yoz平面进行对称变换的矩阵计算形式为：
1
0 TFyz
0 0
0 0 0
1
0
0
0 1 0
0
0
1
x' y' z' 1x y z 1 TFyz x