(完整版)太原理工大学研究生期末考试组合数学答案
太原理工大学数值计算方法题库讲解
数值计算方法试题一一、 填空题1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（10）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（)0,22(-22,0(）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =(3)，b =（3），c =（1）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l)((1)，∑==nk k jk x lx 0)((j x )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k nk k (324++x x )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 6和=∆07f 25.236494526!77==⨯。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为9，5个节点的求积公式最高代数精度为9。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ0。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足1<a ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是2阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111a aa a A ，当∈a （22,22-）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（0>ii l ）条件时，这种分解是唯一的。
最新太原理工大学研究生期末考试组合数学答案
最新太原理⼯⼤学研究⽣期末考试组合数学答案1. 填空(本题共20分，共10空，每空2分)1) 三只⽩⾊棋⼦和两只红⾊棋⼦摆放在5*5的棋盘上，要求每⾏每列只放置⼀个棋⼦，则共有 1200 种不同的摆放⽅法。
答案：1200!525=?C 2) 在(5a 1-2a 2+3a 3)6的展开式中，a 12?a 2?a 33的系数是 -81000 。
答案：810003)2(5!3!1!2!632-=?-3) 有n 个不同的整数，从中取出两组来，要求第⼀组数⾥的最⼩数⼤于第⼆组的最⼤数，共有121+?-n n 种⽅案。
4) 六个引擎分列两排，要求引擎的点⽕的次序两排交错开来，试求从⼀特定引擎开始点⽕有 12 种⽅案。
答案：12121213=??C C C5) 从1到600整数中既不能被3整除也不能被5整除的整数有 320 个。
6) 要举办⼀场晚会，共10个节⽬，其中6个演唱节⽬，4个舞蹈节⽬。
现要编排节⽬单，要求任意两个舞蹈节⽬之间⾄少要安排⼀个演唱节⽬，则共可以写出 604800 种不同的节⽬单。
答案：604800!4!637=??C 7) 把n 男n ⼥排成⼀只男⼥相间的队伍，共有2)!(2n ? 种排列⽅法；若围成⼀圆桌坐下，⼜有)2/()!(22n n ? 种⽅法。
8) n 个变量的布尔函数共有nn2 个互不相同的。
9) 把r 个相异物体放⼊n 个不同的盒⼦⾥，每个盒⼦允许放任意个物体，⽽且要考虑放⼊同⼀盒中的物体的次序，这种分配⽅案数⽬为),1(r r n P -+ 。
答案：),1()!1()!1()1()2)(1(r r n P n r n r n n n n -+=--+=-+++2. (本题10分)核反应堆中有α和β两种粒⼦，每秒钟内⼀个α粒⼦分裂成三个β粒⼦，⽽⼀个β粒⼦分裂成⼀个α粒⼦和两个β粒⼦。
若在时刻t=0时，反应堆中只有⼀个α粒⼦，问t=100秒时反应堆中将有多少个α粒⼦？多少个β粒⼦？解: 设t 秒钟的α粒⼦数位a t ，β粒⼦数为b t , 则==+==---0,12300111b a b a b b a t t t t t)(3,03210211*==+==---b b b b b b a t t t t t（*）式的特征⽅程为0322=--x x ，解得3,121=-=r r ，即tt t A A b 3)1(21?+-?=代⼊初始值3,010==b b ，解得43,4321=-=A A tt t b 343)1(43?+-?-=∴ 111343)1(43---?+-?-==t t t t b a)13(43),13(4310010099100-=+=∴b a3. (本题共10分，共2⼩题，每⼩题5分)①设1212n a a a n n P P P =，12,,n P P P 是互不相同的素数，设求能除尽n 的正整数数⽬为多少？解：每个能整除尽数n 的正整数都可以选取每个素数P i 从0到a i ，即每个素数有a i +1种选择，所以能整除n 的正整数数⽬为)1()1)(1(21+++n a a a 个。
线性代数期末考试 及答案
线性代数期末考试一. 判断题（正确打√，错误打×）1．若112⨯⨯⨯=n n n n x x A ，则2是n n A ⨯的一个特征值. (×) 解答：因为没有说明01≠⨯n x ，所以错误.2．实对称矩阵A 的非零特征值的个数等于它的秩. (√) 解答：因为实对称矩阵与对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21相似（n λλλ,,,21 是A 的特征值），而⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21的秩等于n λλλ,,,21 中非零数的个数, 又因为相似矩阵秩相同, 所以结论正确.3．二次型Ax x T 的标准形的系数是A 的特征值(×)解答：正确结论是： 用正交变换化二次型Ax x T 为标准形的系数是A 的特征值. 4. 若k ααα,,, 21线性无关且都是A 的特征向量，则将它们先正交化，再单位化后仍为A 的特征向量. (×)解答：虽然k ααα,,, 21都是A 的特征向量，但他们不一定属于A 的同一个特征值，所以他们正交化后不一定是特征向量.5．已知A 为n 阶矩阵，x 为n 维列向量，如果A 不对称，则 Ax x T不是二次型. (×)解答：对于任意的n 阶矩阵A ，Ax x T都是二次型，只是若不要求A对称，二次型Ax x T中的A 不唯一. 例如取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4421A ，那么21222164x x x x Ax x T ++=，但取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4331A ，仍得到此二次型. 二．单项选择题1. 若n 阶非奇异矩阵A 的各行元素之和均为常数a ，则矩阵12)21(-A 有一个特征值为(C ).(A) 22a ； (B)22a - ； (C)22-a ； (D)22--a . 解答：因为n 阶非奇异矩阵A 的各行元素之和均为常数a ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111111 a A ，从而⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11111111a A ，所以a 1是1-A 的一个特征值，所以22-a 是12)21(-A 的一个特征值.2. 若λ为四阶矩阵A 的特征多项式的三重根，则A 对应于λ的 特征向量最多有(A )个线性无关.(A) 3个； (B) 1个； (C) 2个； (D) 4个. 解答：A 对应于特征值λ的线性无关特征向量的个数≤λ的重数. 3. 设A 为n 阶非零矩阵，并且O A =3，那么(C ) .(A) A E -不可逆，A E +不可逆； (B) A E -不可逆，A E +可逆；(C) A E -可逆，A E +可逆； (D) A E -可逆，A E +不可逆. 解答：设λ为A 的任意一个特征值，那么3λ是3A 的特征值，但O A =3， 所以0=λ，所以1±=λ不是A 的特征值，所以A E -、A E +都可逆. 5. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1221A ，则在实数域上与A 合同的矩阵为(D ). (A) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2112；(B) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2112； (C) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2112；(D) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1221.解答：方法1 合同矩阵的行列式符号相同(BC C A T =,那么B C A 2=)，所以选(D) . 方法2 2122214x x x x Ax x T ++=, 令⎩⎨⎧=-=2211y x y x , 那么2122214y y y y Ax x T -+=,而2122214y y y y Ax x T-+=的矩阵就是⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1221, 所以选(D) . 方法3 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1221A 的特征值是3,1-, 而⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1221的特征值也是3,1-, 所以两个二次型可化为同一个标准型, 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1221A 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1221合同, 所以选(D) . 三. 填空题1. 若A 为正定矩阵，且E A A T =，则=A E .解答：因为A 为正定矩阵, 所以A A T =, 并且E A +可逆，从而E A =2,即O E A E A =-+))((, 所以E A =.2.设A 为2阶矩阵，21,αα为线性无关的2维列向量，01=αA ，2122ααα+=A ，则A 的非零特征值为=λ 1 .解答：方法1 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+==1020),()2,0(),(),(21212121ααααααααA A A , 而 21,αα线性无关，所以矩阵),(21αα可逆，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020),(),(21121ααααA ， 即A 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛1020相似，所以A 的非零特征值为1. 方法2 因为01=αA ，01≠α，所以0是A 的一个特征值. 因为02212≠+=αααA ，而22122)(ααααA A A A A =+=，所以1是A 的一个特征值, 而A 为2阶矩阵, 所以A 的非零特征值为1.3. 设3阶方阵A 的特征值互不相同，0=A ，则A 的秩= 2 . 解答：因为A 的特征值互不相同，所以A 与对角矩阵相似，所以)(A R 等于A 的非零特征值的个数, 因为A 为3阶方阵, 0=A , 所以A 的特征值 是01=λ，2λ、03≠λ，所以2)(=A R .4. （2011年考研题）若二次曲面的方程4=2+2+2++3+222yz xz axy z y x 经正交变换化为4=4+2121z y ，则=a 1 .解答：由题知二次型的系数矩阵的特征值为4=1=0=321λλλ,, ，于是有0==1111311=321λλλaa A ||，解得1=a . 5. （2011年考研题）设二次型Ax x x x x f T=321),,(的秩为1，A 的各行元素之和为3，则f 在正交变换Qy x =下的标准型为213y解答：因为二次型Ax x x x x f T=321),,(的秩为1，所以非零特征值只有一个，由A 的各行元素之和为3，知3是A 的特征值，故f 在正交变换Qy x =下的标准型为213y . 6. （2011年考研题）二次型3231212322213212+2+2++3+=x x x x x x x x x x x x f ),,(，则f 的正惯性指数为 2 .解答：方法1 配方得2223213212+++=x x x x x x x f )(),,(，故正惯性指数为2.方法2 求⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111131111=A 的特征值也可得正惯性指数为2. 7. 设3阶矩阵A 的特征值为2,2,1，则=--E A 14 3 .解答：因为A 的特征值为2,2,1, 所以-1A 的特征值为2121,1，, 所以E A --14的特征值为11,3，, 所以341=--E A四. 计算题 1.求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=735946524A 的特征值与特征向量. 解答：λλλλλλλλλ--------------=-731941521132735946524||列列加到、E A)1(210420521)1(731941521)1(2λλλλλλλλ-=------=------=,所以特征值为11=λ，=2λ03=λ.对于11=λ,求得特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111k x ,对于=2λ03=λ,求得特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2312k x , 其中21,k k 是不为零的任意常数.2．求()n n A ⨯=1的特征值与特征向量. 解答：因为1))(---=-n n EA λλλ（行和相等, 所以0121====-n λλλ ,n n =λ.对应于0121====-n λλλ : 方程组0=Ax 即为021=+++n x x x ,所以特征向量为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=--1111n n k k k k x , 其中121,,,-n k k k 不全为零. 对应于n n =λ:因为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-n n n nn n n n nE A00111111111111行 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---−→−101011000101011111行行n, 所以方程组nx Ax =即为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-111312x x x x x x n , 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a a a x , 其中0≠a .3.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0011100y xA 与对角阵相似，求x 和y 应满足的条件. 解答：容易求得A 的特征值为11-=λ，132==λλ，因为A 与对角阵相似当且仅当A 有3个线性无关的特征向量，所以对应于132==λλ，应该有两个线性无关的特征向量，所以2)(3=--E A R ，即1)(=-E A R ,而⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+−→−⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-00000101-1010101y x y xE A 行, 所以0=+y x .4.（2011年考研题）设A 为3阶实对称矩阵，A 的秩为2，且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛110011-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11-0011A . （1） 求A 的特征值与特征向量;（2） 求矩阵A .解答：（1）由于A 的秩为2，故0是A 的一个特征值.由题设可得 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛101=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1-01-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1-01A A ,, 所以，1-是A 的一个特征值，且属于1-的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1-011k ，1k 为任意非零常数； 1也是A 的一个特征值，且属于1的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1012k ，2k 为任意非零常数.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛321x x x 是A 的属于0的特征向量，由于A 为实对称矩阵，则 ()()0=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1010=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1-01321321x x x x x x ,， 即 ⎩⎨⎧0=+0=-3131,,x x x x于是属于0的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0103k ，3k 为任意非零常数.（2）令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛011-100011=P ，则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000010001-=1-AP P ， 于是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001000100=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0102102121-021⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000010001-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011-100011=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000010001-=1-P P A 5．已知二次型32312123222132166255),,(x x x x x x cx x x x x x f -+-++=的秩为2,（1）求参数c 及此二次型对应矩阵的特征值； （2）指出方程1),,(321=x x x f 表示何种曲面. 解答：二次型),,(321x x x f 的矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=91203512c 60091203511224033351315c c c A 行行, 因为 2)(=A R ，所以3=c （或者由0=A 得c ）. 于是)9)(4(363361001)4(33335111)4(333351044333351315||--=------=------=-------=-------=-λλλλλλλλλλλλλλλλλE A所以A 的特征值为9,4,0, 于是二次型),,(321x x x f 通过正交变换化为232221094y y y ++,所以1),,(321=x x x f 表示椭圆柱面. 五．证明题1. 若矩阵A 满足O E A A =+-232，证明A 的特征值只能是1或2.证明: 设λ为A 的任意一个特征值，那么232+-λλ是E A A 232+-的特征值, 所以0232=+-λλ, 所以21或=λ.2. 证明⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010100002A 与⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=260010001B 相似. 证明: 容易求得A 、B 的特征值都是2,1,1-, 所以A 、B 都与⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-200010001相似, 所以A 与B 相似.3. 已知A 、B 都是n 阶正交矩阵, 且0=+B A , 证明0=+B A .证明 因为TTTTTB A A B B B A A )()(+=+=+, 所以||||||||B A B B A A +=+， 而A B -=，12=A , 所以||||B A B A +=+-, 所以0=+B A . 4. 若矩阵A 正定，证明A 可逆并且1-A 也正定.证明 因为A 正定，所以A A T=且 ||A >0，于是A 可逆.由1-1-1-==A A A T T )()(知1-A 为对称矩阵，由于A 正定，所以A 的特征值n λλλ ,,21全为正，于是1-A 的特征值nλλλ11121,,,. 也全为正，故1-A 正定.5.设A 为n m ⨯实矩阵，E 为n 阶单位矩阵，已知矩阵A A E B T +=λ,试证：当0>λ时，矩阵B 为正定矩阵.证明 由于B A A E A A E B T T T T =+=+=λλ)(, 所以B 为n 阶实对称矩阵.于是，对于任意的非零列向量x ，有 Ax A x x x x A A E x Bx x T T T T T T +=+=λλ)( )()(Ax Ax x x T T +=λ， 而当0≠x 时，有0>x x T ， 0≥)()(Ax Ax T ， 从而，0>λ时，0>+=)()(Ax Ax x x Bx x TTTλ，即矩阵B 为正定矩阵.。
太原理工大学高等数学习题册下册答案
sin t dt t
sin z 2 sin z 2sin z 2 − sin z 2 z ⋅ − = z2 z z x2 Fy F ∂z − ze ∂z −2 zy 5 , 那么 = − x = = − = ∂x Fz 2sin z 2 − sin z ∂y Fz 2sin z 2 − sin z 而Fx = e x , Fy = 2 y 5 , Fz =
⎧3x − y − 2 z − 9 = 0 从而投影直线为 ⎨ ⎩x + y + z −1 = 0 9． 解 要证四点共面， 只需证过四点的三向量共面， 即证三向量混合积为 0，
而这里 AB = {1, −1, 0} , AC = {0, −2,1} , AD = {1,1, −1} ,
1 −1 0 1 −1 0 1 −1 0
a 的模 | a |= 132 + 7 2 + 152 = 443 ，方向余弦为：
cos α = 13 7 15 ， cos β = ， cos γ = 443 443 443 13 7 15 , , } 443 443 443
a 0 = ±{
| AC |= (1 − 0) 2 + (0 − 3) 2 + (2 − 1) 2 = 11
成的旋转曲面的方程为 x 2 + y 2 = (1 − z ) 2 + z 2 ，截面 Dz 为一圆域，半 径为 R = (1 − z ) 2 + z 2 ， Dz 的面积 A( z ) = π R 2 = π [(1 − z ) 2 + z 2 ] ，那么 所求立体的体积为
V = π ∫ [(1 − z ) 2 + z 2 ]dz = π (−
[ AB, AC , AD] = 0 − 2 1 = 0 − 2 1 = 0 − 2 1 = 0 ,故四点共面， 1 1 −1 0 2 −1 0 0 0
太原理工大学研究生期2014年末考试组合数学答案
A 第 2 页 共 4 页证明：设该同学从第1天至第k 天共做了k a 道数学题，则6013721≤<<≤a a a ， 令13+=k k a b ，则 73143721≤<<≤b b b记},,,{3721a a a A =，},,,{3721b b b B =，则}73,,3,2,1{ =⊂S A ，S B ⊂，从而存在B A x ⋂∈，即13+==j j k a b a ，这表明该同学从第1+j 天到第k 天共做了13道数学题。
四．（10分）设abcd 是一个4位的十进制数，如果21=+++d c b a ，试求满足条件的数的数目。
解：因为21=+++d c b a ，且满足条件91≤≤a ，90≤≤b ，90≤≤c ，90≤≤d 的整数解向量的个数。
令11-=a a ，则201=+++d c b a ，801≤≤a ，满足条件的解有 )33()3(310103203109320310320393203320--+--+-+-+++++-C C C C C564)33()3(3334313314323=+++-=C C C C C五．（10分）设有1对夫妻邀请另外4对夫妻到家做客，围圈而坐，如果随意而坐,问有多少种入座方式？如果每对客人夫妻相邻而坐,有多少种入座方式？如果所有夫妻都不相邻，问有多少种可能的入座方案？解：如果随意而坐,属10个人的圆周排列，则入座方式有9！种。
如果每对客人夫妻相邻而坐，此时主人随意，属6个人的圆周排列与4对夫妻的对换，所以入座方式有5！24种。
进一步，至少有一对夫妻相邻而坐的入座方式有：2!815⋅⋅C 种； 至少有两对夫妻相邻而坐的入座方式有：2252!7⋅⋅C 种；至少有三对夫妻相邻而坐的入座方式有：3352!6⋅⋅C 种；至少有四对夫妻相邻而坐的入座方式有：4452!5⋅⋅C 种；五对夫妻相邻而坐的入座方式有：52!4⋅种；所以每对夫妻都不相邻而坐的入座方式有1125122!42!52!62!72!8!9555445335225115=⋅⋅-⋅⋅+⋅⋅-⋅⋅+⋅⋅-C C C C CA 第 3 页 共 4 页六．（10分）用红、白两种颜色给正四方体的6条棱着色，在空间转动能重合为同一着色方案。
太原理工大学材料科学基础习题及参考答案(全)
太原理工大学材料科学基础习题及参考答案(全)第一章原子结构与结合键习题1-1计算下列粒子的德布罗意波长：(1)质量为10-10kg，运动速度为0.01m?s-1的尘埃；(2)速度为103m/s的氢原子；(3)能量为300eV的自由电子。
1-2怎样理解波函数ψ的物理意义？1-3在原子结构中，ψ2和ψ2dτ代表什么？1-4写出决定原子轨道的量子数取值规定，并说明其物理意义。
1-5试绘出s、p、d轨道的二维角度分布平面图。
1-6多电子原子中，屏蔽效应和钻穿效应是怎样影响电子的能级的？1-7写出下列原子的基态电子组态（括号内为原子序号）：C(6)，P(15)，Cl(17)，Cr(24)。
1-8形成离子键有哪些条件？其本质是什么？1-9试述共价键的本质。
共价键理论包括哪些理论？各有什么缺点？1-10何谓金属键？金属的性能与金属键关系如何?1-11范德华键与氢键有何特点和区别？参考答案：1-1利用公式λ=h/p=h/mv、E=hν计算德布罗意波长λ。
1-8离子键是由电离能很小、易失去电子的金属原子与电子亲合能大的非金属原子相互作用时，产生电子得失而形成的离子固体的结合方式。
1-9共价键是由相邻原子共有其价电子来获得稳态电子结构的结合方式。
共价键理论包括价键理论、分子轨道理论和杂化轨道理论。
1-10当大量金属原子的价电子脱离所属原子而形成自由电子时，由金属的正离子与自由电子间的静电引力使金属原子结合起来的方式为金属建。
由于存在自由电子，金属具有高导电性和导热性；自由电子能吸收光波能量产生跃迁，表现出有金属光泽、不透明；金属正离子以球星密堆方式组成，晶体原子间可滑动，表现出有延展性。
第二章材料的结构习题2-1定义下述术语，并注意它们之间的联系和区别。
晶系，空间群，平移群，空间点阵。
2-2名词解释：晶胞与空间格子的平行六面体，并比较它们的不同点。
2-3(1)一晶面在x、y、z轴上的截距分别为2a、3b和6c，求出该晶面的米勒指数。
太原理工大学2021年攻读硕士研究生入学试题
太原理工大学2021年攻读硕士研究生入学试题太原理工大学____年攻读硕士研究生入学试题考试科目: 数字电子技术科目代码： 831 分值： 150 考生注意：请标明题号答案做在答题纸上，在试卷上不计分一、（30分）试回答如下问题：（1）试写出3位格雷码，并叙述其特点。
（2）ASCII码包含几位二进制数？（3）对于与非门来说，什么逻辑信号是禁止信号？（4）对于或门来说，什么逻辑信号是使能信号？（5）与CMOS系列数字电路比较，TTL系列的最大缺点是什么？（6）对于TTL 系列电路来说，悬空代表什么逻辑电平？（7）一个或非门输出一直保持为低电平，可能发生了什么故障？（8）试近似画出CMOS门电路输出低电平时输出电流与电压关系的曲线（横坐标为电压，纵坐标为电流）。
（9）三态门输出处于高阻状态时，对于输出端外接的电路来说，意味着什么？（10）一个电源电压为5V的两输入端CMOS与门，当输入电压A=1.2V、B=3.6V 时，其输出的逻辑电平是什么？（11）一个三态非门的控制端为低电平有效，若该控制端为低电平，其输出为什么逻辑电平？（12）试画出一个两输入端二极管与门电路。
（13）什么是数字电路的扇出系数？（14）TTL数字电路的噪声容限是多少？（15）若是用TTL系列电路驱动同电源电压的HC系列电路，可以吗？二、（10分）用卡诺图化简如下逻辑函数，要求化简成最简与或表达式。
（1）Y(A、B、C)=∑m（0，1，2，5，6，7）（2） Y（A、B、C）=∑m(0,1,2,4)+d(5,6) 三、（15分）用3-8线译码器74HC138和门电路设计1位二进制全减电路，输出为两数之差和向高位的借位信号。
（要求真值表、逻辑式和逻辑图），74HC138逻辑图如下图所示。
四、（15分）用4选1数据选择器产生如下逻辑函数，要求画出逻辑图。
Y=ABC+AC+BC五、（15分）试用JK触发器设计一个同步分频器。
要求分频比为16。
太原理工大学研究生组合数学2012年期末考试
B 第 1 页 共 6 页 考试方式： 闭卷 太原理工大学 《组合数学》试卷（B ） 适用班级 硕士研究生 考试日期 2012.07.02 时间 120 分钟 共 6 页 一．填空题(每个空3分，共30分) 1． 序列},1,1,1{ 的指母函数是 。
2 有2个相同的红球，3个相同的白球排成一圈不同的排列方式有 种。
3． n 个变量的布尔函数共有 个互不相同。
4． 将6个不同的球放入4个相同的盒子里，并且无空盒，则不同的方案数有 种。
5．在边长为1的正三角形内任意10点必有两点，其距离不超过 。
6． 从1到300整数中既不能被3整除也不能被5整除的整数有 个。
7． 把n 男n 女排成一行男女相间的队伍，共有 种排列方法。
8． 3只白色棋子和2只红色棋子摆放在5*5的棋盘上，要求每行每列只放置一个棋子，则共有 种不同的摆放方法。
9． 83)1(x x 的展开式中，x 的一次项的系数是 。
10．按照字典序，排列4517632的下一个排列是 。
B 第 2 页 共 6 页二．(10分) 求解非齐次递推关系⎩⎨⎧==≥=+---1,02,3961021a a n a a a n n n nB 第 3 页 共 6 页三．（10分）用母函数求下式之和：n n n n n C n C C C 113121210+++++ ．并给出组合意义。
四．（10分）正四面体每个面均为正三角形，现用红、蓝、黄，绿四种颜色为四个面着色，在空间转动能重合为同一着色方案。
问不同着色方案数为多少？五．（10分）求1，3，5，7，9这五个数可以组成多少个不同的n位数，其中要求3和7出现次数为偶数。
B第4 页共6 页B 第 5 页 共 6 页六．（10分）求正整数n=18900的因子个数。
并证明一整数是另一整数的平方的必要条件是它的因子数目为奇数。
七．（10分）求满足条件204321=+++x x x x ，511≤≤x ，702≤≤x ，623≤≤x ，844≤≤x 的整数解向量的个数。
研究生数值分析期末考试试卷参考答案
研究生数值分析期末考试试卷参考答案太原科技大学硕士研究生2012/2013学年第1学期《数值分析》课程试卷参考答案一、填空题（每小题3分，共30分）1、x x ++11；2、2；3、20；4、6；5、kk k k k x x x x x cos 11sin 1----=+ （ ,1,0=k ）； 6、12121)(2++=x x x f ；7、311+=+k k x x （ ,1,0=k ）；8、12-n ；9、2； 10、+++++++--100052552452552052552525524；二、（本题满分10分）解：Gauss-Seidel 迭代方法的分量形式为+--=+--=++-=++++++3221522)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x -----5分取初始向量T x )0,0,0()0(=时，则第一次迭代可得===315)1(3)1(2)1(1x x x ，--------------7分答案有错误第二次迭代可得=-==7119)2(3)2(2)2(1x x x ，-----------9分所以T x )7,11,9()2(-=.---------------10分三、（本题满分10分）解：构造正交多项式：取)()()()(,)(,1)(01112010x x x x x x x ?β?α?α??--=-==，1)()(402040200=∑∑===i i i i i x x x ??α，1)()(402140211=∑∑===i i i i i x x x ??α，2)()(402040211=∑∑===i i i i x x ??β；所以点集{}1,0,1,2,3-上的正交多项式为12)(,1)(,1)(2210--=-==x x x x x x .-------------------------5分则矩阵???????? ?-----=221111*********A , ??=14000100005A A T ,????? ??=3915y A T ；法方程=????? ??????? ??391514000100005210c c c ----------------8分解得===1431093210c c c ；--------9分所以要求的二次多项式为35667033143)12(143)1(109322++=--+-+=x x x x x y .-----------10分四、（本题满分10分）解：取基函数210)(,1)(x x x ==??，则1),(1000=?=dx ??，31),(10201=?=dx x ??， 51),(10411=?=dx x ?? ππ?2sin ),(100=?=xdx f ， 3102141sin ),(πππ?-=?=xdx x f----------------------------------6分法方程-=???? ???????? ??34125131311πππb a -----------------8分解得-=+=33454151543ππππb a .---------------9分所以最佳平方逼近多项式233)45415(1543)(x x ππππ?-++=.---------10分五、（本题满分10分）解：在区间[]1,+n n x x 上对微分方程),(y x f dxdy =进行积分得 ??=++11),(n n n n x x x x dx y x f dx dxdy 即=-+n n y y 1?+1),(n n xx dx y x f -------2分对上式等号右边的积分采用梯形公式进行求解，即+1),(n n x x dx y x f []n n f f h +=+12-------5分所以原微分方程初值问题的数值求解公式为11()2n n n n h y y f f ++=++.-------6分上述数值求解公式的截断误差为 ))](,())(,([2)()(1111n n n n n n n x y x f x y x f h x y x y R +--=++++---8分而又由泰勒公式得)()()()(2'1h O x hy x y x y n n n ++=+；)())(,())(,(11h O x y x f x y x f n n n n +=++；所以))](,()())(,([2)()()()(2'1n n n n n n n n x y x f h O x y x f h x y h O x hy x y R ++--++=+ )()())(,()(22'h O h O x y x hf x hy n n n =+-= 故该方法是一阶的方法.-----------------10分六、（本题满分20分）解：（1）构造的差商表如下：x )(x f 一阶差商二阶差商三阶差商 1 22 4 23 5 1 21- 4 8 3 121 -----------------------------15分（2）取2、3、4作为插值点，----------------------------------------------------17分构造的二次牛顿插值多项式为84)3)(2()2(4)(22+-=--+-+=x x x x x x P -----19分所以25.6)5.3()5.3(2=≈P f .------------------------------20分七、（本题满分10分）解：由泰勒公式可得)2)(()2()('b a x f b a f x f +-++=ξ，),(b a ∈ξ. 把上式代入积分公式?b a dx x f )(可得dx b a x f b a f dx x f b a b a+-++=?)2)(()2()('ξ ?+-++-=b a dx b a x f b a f a b )2)(()2()('ξ 故求积公式的截断误差表达式为?+-b a dx b a x f )2)(('ξ，),(b a ∈ξ.-----------5分当1)(=x f 时，求积公式左边=右边=a b -.当x x f =)(时，求积公式左边=右边=222a b -. 当2)(x x f =时，求积公式左边=333a b -，右边=()()92a b a b +-，左边≠右边. -----8分所以求积公式具有一次代数精度.-------------------------- -----10分。
太原理工大学2010级矩阵论试题解答
A 第 1 页 共 8 页考试方式： 闭卷太原理工大学 矩阵分析 试卷(A)适用专业：2010级硕士研究生 考试日期： 2011. 1.18 时间： 120 分钟 共 8 页一．单项选择题(每小题3分，共15分)1．线性空间},|{A A R A A V T n n =∈=⨯)2(≥n 的维数是 （ C ）（A ）)1(+n n ； （B ）)1(-n n ； （C ）2)1(+n n ； （D ）2)1(-n n . 解答n n ij a A ⨯=）（，jiij a a =，=+++=n V 21dim 2)1(+n n 。
2．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1100010000100001A ，则A 的最小多项式为 （ B ） （A ）)1()1(3+-λλ； （B ）)1)(1(2--λλ；（C ）)1)(1(+-λλ； （D ）)1)(1(2+-λλ.解答)1(1)1)(1(||23--=-+=-λλλλλ）（A E ，A 的最小多项式)(λm 只可能是)1)(1(-+λλ，2)1)(1(-+λλ，3)1)(1(-+λλ。
而)1)(1(-+λλ不是，并且O E A E A =-+2))((，所以选B 。
或者⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3211100010000100001J J J A ， 1J 的初等因子为)1(-λ；2J 的初等因子为)1(+λ；3J 的初等因子为2)1(-λ；所以A 的初等因子为)1(-λ；)1(+λ；2)1(-λ。
所以A 的第四个不变因子为24)1()(-=λλd )()1(λλm =+。
或者块对角矩阵的最小多项式等于所有块的最小多项式的最小公倍式或者 设A 的互不相同的特征值为s λλλ,,,21 ，j λ所对应的若当块的最大阶数为j n ，则s n s n n m )()()()(2121λλλλλλλ---=A 第 2 页 共 8 页3．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=110110321A ，则=+-2009201020112A A A （ A ）（A ）0； （B ）E ； （C ）A ； （D ）2A ．解答因为)1(||2-=-λλλA E ，所以O E A A =-)2（。
太原理工大学离散数学2013考题
A. A∪B=A∪CB=C B. A∩B=A∩CB=C C. {a，b}{a，b，c，{a，b，c}} D. {a，b}∈(a，b，c，{a，b，c})
3．下列等式中有一个不成立，请选择。
A．(A−B)×(C−D)＝(A×C)−(B×D) B．A(B∩C) = (AB)∩(AC) C．(A∪B)×(C∪D)＝(A×C)∪(B×D) D．(AB)C = A(BC)
极大元 B1 B2
极小元
最大元
最小元
上界
下界
上确界
下确界
2． （10 分） 试将下列公式化为主析取范式和主合取范式。
(pq)r 解：
学号
姓名
系 专业班级
学院
A 第7页共8页
3. （10 分） <（｛a,b｝），∪>是一个代数系统，其中 （｛a,b｝）是幂集，∪是集合并运算。 请解答以下问题。
（1）写出幺元；2 分 （2）写出零元；2 分 （3）考虑所元素的逆元情况，并给出答案。3 分 （4）写出并运算∪满足的运算律，至少写出三个。3 分 解：
题号
一
二
三
四
总分
得分
得分 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 请将答案填入下列表格中。
题号 1
2 3 4 5 6 78 9
10
1 答案
1．考虑下列语句语句，请确定哪个是命题。
A. 郑州是河北的省会。 B. 中国承办 2008 年奥运会。 C. 地球外的星球上也有人类。 D. 我在说谎。
9. 设 A＝{1，2，3，4，5，6}，R 是 A 上的二元关系，且 R＝{<2，5><5，2>}。
太原理工大学研究生期2013年末考试组合数学答案
B 第 1 页 共 4 页考试方式： 闭卷太原理工大学 《组合数学》试题及解答适用班级 硕士研究生 考试日期 2013.07.02 时间 120 分钟 共 6 页一．填空题(每个空3分，共30分)1． 10！正整数因子的个数有 270 。
2． 设凸n （4≥n ）边形的任意三条对角线不共点，则对角线在图形内的交点个数是 4n C 。
3． 将5个不同的球放入3个有标记的盒子中，要求第一个盒子中也放2个球，第二个盒子中放2个球，第三个盒子中放1个球，则共有 301225=！！！！ 种不同的放法。
4．6)z 3-y 2x (+的展开式中，z y x 23项的系数是 601236=！！！！ ，全部系数之和 0 。
5．按照字典序，排列4517632的下面第六个排列是 4521763 。
6．用红、黄、蓝、绿四色给一个n 1⨯的格盘中各格分别着色，要求红、绿色格子个数均为偶数，问有 种不同的方案。
7．现有1只老虎，2匹马，3条蛇排成一列，如果去掉虎头蛇尾后所剩余的不同排列方式共有 54224-1236=！！！！！！！ 种。
8．元素只取0,1的n m ⨯阶矩阵有 mn 2 个，而其中每行只有一个1的矩阵有 mn 个。
B 第 2 页 共 4 页二．(10分) 记1--=∆k k k a a a ，)(2k k a a ∆∆=∆，求解差分方程⎪⎩⎪⎨⎧==≥=∆+∆121,02,2102a a k k a a k k 解：由于1--=∆k k k a a a ，2122)(--+-=∆∆=∆k k k k k a a a a a ，所以有212432--+-=∆+∆=k k k k k a a a a a k特征方程 01432=+-r r ，解得 1=r ，31=r 。
由于 k b k =，可设特解 )(*B Ak k a k +=，代入关系式得 k B Ak =+24，解得 41=A ，0=B 。
得通解为 22141)31(k c c a k k ++= 由初始条件 00=a ，1211=a ，解得411-=c ，412=c 所求解为 241)31(4141k a k k ++-= ),2,1,0( =k 。
新版太原理工大学数学考研经验考研真题考研参考书
在决定考研的那一刻，我已预料到这一年将是怎样的一年，我做好了全身心地准备和精力来应对这一年枯燥、乏味、重复、单调的机械式生活。
可是虽然如此，我实在是一个有血有肉的人呐，面对诱惑和惰性，甚至几次妥协，妥协之后又陷入对自己深深的自责愧疚当中。
这种情绪反反复复，曾几度崩溃。
所以在此想要跟各位讲，心态方面要调整好，不要像我一样使自己陷入极端的情绪当中，这样无论是对自己正常生活还是考研复习都是非常不利的。
所以我想把这一年的经历写下来，用以告慰我在去年饱受折磨的心脏和躯体。
告诉它们今年我终于拿到了心仪学校的录取通知书，你们的付出和忍耐也终于可以扬眉了。
知道自己成功上岸的那一刻心情是极度开心的，所有心酸泪水，一扫而空，只剩下满心欢喜和对未来的向往。
首先非常想对大家讲的是，大家选择考研的这个决定实在是太正确了。
非常鼓励大家做这个决定，手握通知书，对未来充满着信念的现在的我尤其这样认为。
当然不是说除了考研就没有了别的出路。
只不过个人感觉考研这条路走的比较方便，流程也比较清晰。
没有太大的不稳定性，顶多是考上，考不上的问题。
而考得上考不上这个主观能动性太强了，就是说，自己决定自己的前途。
所以下面便是我这一年来积攒的所有干货，希望可以对大家有一点点小小的帮助。
由于想讲的实在比较多，所以篇幅较长，希望大家可以耐心看完。
文章结尾会附上我自己的学习资料，大家可以自取。
太原理工大学数学的初试科目为：(101)思想政治理论(201)英语一(704)数学分析和(804)高等代数参考书目为：1.《数学分析》华东师大数学系编，高等教育出版社（第三版）2.《高等代数》北大数学系编，高等教育出版社（第二或第三版）先说英语吧。
词汇量曾经是我的一块心病，跟我英语水平差不多的同学，词汇量往往比我高出一大截。
从初中学英语开始就不爱背单词。
在考研阶段，词汇量的重要性胜过四六级，尤其是一些熟词僻义，往往一个单词决定你一道阅读能否做对。
所以，一旦你准备学习考研英语，词汇一定是陪伴你从头至尾的一项工作。
山西大学2021年《高等数学上》期末考试试题及答案
一、选择题（每小题3分）1、函数)1lg(12+++=x x y 的定义域是（ ）. A 、()()+∞--,01,2 B 、 ()),0(0,1+∞-C 、),0()0,1(+∞-D 、),1(+∞-2、下列各式中，极限存在的是（ ）.A 、 x x cos lim 0→B 、x x arctan lim ∞→C 、x x sin lim ∞→D 、x x 2lim +∞→ 3、=+∞→x x xx )1(lim （ ）. A 、e B 、2e C 、1 D 、e1 4、曲线x x y ln =的平行于直线01=+-y x 的切线方程是（ ）.A 、 x y =B 、)1)(1(ln --=x x yC 、 1-=x yD 、)1(+-=x y5、已知x x y 3sin = ，则=dy （ ）.A 、dx x x )3sin 33cos (+-B 、dx x x x )3cos 33(sin +C 、dx x x )3sin 3(cos +D 、dx x x x )3cos 3(sin +6、下列等式成立的是（ ）.A 、⎰++=-C x dx x 111ααα B 、⎰+=C x a dx a x x ln C 、⎰+=C x xdx sin cos D 、⎰++=C x xdx 211tan 7、计算⎰xdx x e x cos sin sin 的结果中正确的是（ ）.A 、C e x +sinB 、C x e x +cos sinC 、C x e x +sin sinD 、C x e x +-)1(sin sin8、曲线2x y = ，1=x ，0=y 所围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体体积=V （ ）.A 、⎰104dx x πB 、⎰10ydy π C 、⎰-10)1(dy y π D 、⎰-104)1(dx x π 9、设 a ﹥0，则 =-⎰dx x a a 022（ ）. A 、2a B 、22a π C 、241a 0 D 、241a π 10、方程（ ）是一阶线性微分方程.A 、0ln 2=+'xy y x B 、0=+'y e y x C 、0sin )1(2=-'+y y y x D 、0)6(2=-+'dy x y dx y x二、填空题（每小题4分）1、设⎩⎨⎧+≤+=0,0,1)( x b ax x e x f x ，则有=-→)(lim 0x f x ，=+→)(lim 0x f x ；2、设 x xe y = ，则 =''y ；3、函数)1ln()(2x x f +=在区间[]2,1-的最大值是 ，最小值是 ；4、=⎰-113cos xdx x ； 5、微分方程 023=+'-''y y y 的通解是 .三、计算题（每小题5分）1、求极限 )2311(lim 21-+--→x x x x ；2、求 x x y arccos 12-= 的导数；3、求函数21x x y -=的微分；4、求不定积分⎰+dx x x ln 21 ；5、求定积分 ⎰ee dx x 1ln ；6、求方程y xy y x =+'2 满足初始条件4)21(=y 的特解.四、应用题（每小题10分）1、求由曲线 22x y -= 和直线 0=+y x 所围成的平面图形的面积.2、利用导数作出函数 49623-+-=x x x y 的图象.参考答案（B 卷）一、1、B ； 2、A ； 3、D ； 4、C ； 5、B ； 6、C ； 7、D ； 8、A ；9、D ； 10、B.二、1、 2 ，b ； 2、x e x )2(+ ； 3、 5ln ，0 ； 4、0 ； 5、x x e C e C 221+.三、1、31 ； 2、1arccos 12---x x x ； 3、dx xx 221)1(1-- ； 4、C x ++ln 22 ； 5、)12(2e - ； 6、x e x y 122-= ； 四、1、29 ； 2、图略。
山西大学历年高等数学期末试题答案
四、综合题（每题10分，共20分）
1．已知 是以 为周期的连续函数，且 ，且 ，
求2．设 可微， 为 的反函数，且满足
,求
五、附加题（共10分）
1．若 在 具有连续的二阶导数，且 ， ，
证明： 使得
2010-2011第一学期期末考试答案
一、填空题
1、 2、1 3、 或 4、发散
5、 6、
二、选择题
C 2、B 3、D 4、B 5、D
三、计算题
1、解：因为 是凹函数， ，则 ………………..2分
与 在 处相切，则 ，
所以 ，……………………………………………………...3分
……………………………………….2分
2、解：设 ，............................................……………2分
所以 ， ...................................7分
得： ............................8分
4、解：
…………………………………..3分
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
…………………………………8分
5、解1：
………………………..4分
故 得证；
附加题
1、 ；
由 函数的几何图形知当
由此可得
将上式相加可得：
；所以整数部分是3；
2、设 在 上二阶可导，且 ，且 使得 ，又
， ，证明： 有且仅有两个零点。
证明： ， ，
单增， 有且只有一个驻点 ，此驻点为最小值点 ，
且 ，
(完整word版)太原理工大学期末试卷1_物理化学
考试类型：太原理工大学 物理化学（一） 试卷A适用专业： 考试日期： 时间： 120 分钟 共 4 页一、填空题（每小题2分，共30分）1．临界温度是气体能够液化的 ，超过此温度无论加多大压力均不能使气体液化。
2．压缩因子Z 的定义为Z = ，Z 的大小反映出 ； 对理想气体，在任何温度压力下，Z = 。
3．使一过程的∆S = 0，应满足的条件是 。
4．25℃时，1 mol CH 3OH(l) 在等容条件下完全燃烧放热725.4 kJ ，则25℃时CH 3OH(l) 的标准 摩尔燃烧焓 ∆c H = 。
5．25℃时水的蒸气压力为3.17 kPa ，若有一个甘油水溶液中甘油的摩尔分数为0.002（甘油为 不挥发性溶质），则溶液的蒸气压力为 。
6．亨利定律的数学表达式之一为⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽；其适用条件为 。
7．理想液态混合物的微观模是 。
8．多组分均相系统中，组分B 的偏摩尔体积定义为V B ===def⎽⎽⎽⎽⎽ ⎽⎽⎽⎽⎽⎽。
9．已知等温等压下化学反应：aA+bB == yY+zZ ，则该反应的平衡条件若用化学势 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽。
10．理想气体混合物中任一组分B 的化学势表达式为： 。
11．1mol 水在101325Pa 、100℃下向真空蒸发为同温同压下的水蒸气，则该过程的ΔG 0，∆S 0，∆H 0。
(选填>，= 或< )12．反应 2NO(g) + O 2(g) == 2NO 2(g) 是放热的, 当反应在某温度、压力下达平衡时，若使平衡 向右移动。
则应采取的措施是： 或 。
13．方程2ln RT H dT p d m∆=可适用于 。
14．电解质溶液的电导率随浓度变化的规律为 。
15．设阳极和阴极的超电势均为0.7V ，电极的平衡电极电势均为1.20V ，则阳极电势为，阴极电势为 。
二、（10分）试证明物质的量恒定的单相纯物质，只有p，V，T变化时，（1）dS = (C V / T) (∂T / ∂p)V dp + (C p / T) (∂T / ∂V)V dV（2）对理想气体，dS = C V dlnp + C p dlnV三、（15分）l mol单原子理想气体由始态(298K，pθ)经由下列两个途径到达终态( T2，pθ/2)：（l）可逆绝热膨胀；（2）反抗pθ/2的恒定外压绝热膨胀。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1. 填空(本题共20分，共10空，每空2分)1) 三只白色棋子和两只红色棋子摆放在5*5的棋盘上，要求每行每列只放置一个棋子，则共有 1200 种不同的摆放方法。
答案：1200!525=⨯C 2) 在(5a 1-2a 2+3a 3)6的展开式中，a 12•a 2•a 33的系数是 -81000 。
答案：810003)2(5!3!1!2!632-=⋅-⋅⋅⋅⋅3) 有n 个不同的整数，从中取出两组来，要求第一组数里的最小数大于第二组的最大数，共有121+⋅-n n 种方案。
4) 六个引擎分列两排，要求引擎的点火的次序两排交错开来，试求从一特定引擎开始点火有 12 种方案。
答案：12121213=⋅⋅C C C5) 从1到600整数中既不能被3整除也不能被5整除的整数有 320 个。
6) 要举办一场晚会，共10个节目，其中6个演唱节目，4个舞蹈节目。
现要编排节目单，要求任意两个舞蹈节目之间至少要安排一个演唱节目，则共可以写出 604800 种不同的节目单。
答案：604800!4!637=⨯⨯C 7) 把n 男n 女排成一只男女相间的队伍，共有2)!(2n ⋅ 种排列方法；若围成一圆桌坐下，又有)2/()!(22n n ⋅ 种方法。
8) n 个变量的布尔函数共有nn2 个互不相同的。
9) 把r 个相异物体放入n 个不同的盒子里，每个盒子允许放任意个物体，而且要考虑放入同一盒中的物体的次序，这种分配方案数目为),1(r r n P -+ 。
答案：),1()!1()!1()1()2)(1(r r n P n r n r n n n n -+=--+=-+⋅⋅⋅++2. (本题10分)核反应堆中有α和β两种粒子，每秒钟内一个α粒子分裂成三个β粒子，而一个β粒子分裂成一个α粒子和两个β粒子。
若在时刻t=0时，反应堆中只有一个α粒子，问t=100秒时反应堆中将有多少个α粒子？多少个β粒子？ 解: 设t 秒钟的α粒子数位a t ，β粒子数为b t , 则⎪⎩⎪⎨⎧==+==---0,12300111b a b a b b a t t t t t⇔)(3,03210211*⎪⎩⎪⎨⎧==+==---b b b b b b a t t t t t（*）式的特征方程为0322=--x x ，解得3,121=-=r r ，即tt t A A b 3)1(21⋅+-⋅=代入初始值3,010==b b ，解得43,4321=-=A A tt t b 343)1(43⋅+-⋅-=∴ 111343)1(43---⋅+-⋅-==t t t t b a)13(43),13(4310010099100-=+=∴b a3. (本题共10分，共2小题，每小题5分)①设1212n a a a n n P P P =⋅⋅⋅，12,,n P P P ⋅⋅⋅是互不相同的素数，设求能除尽n 的正整数数目为多少？解：每个能整除尽数n 的正整数都可以选取每个素数P i 从0到a i ，即每个素数有a i +1种选择，所以能整除n 的正整数数目为)1()1)(1(21+⋅⋅⋅++n a a a 个。
②试证明一整数是另一整数的平方的必要条件是除尽它的数目为奇数。
证明：根据题①中结论，na naa P P P n ⋅⋅⋅=2121，能被)1()1)(1(21+⋅⋅⋅++n a a a 个数整除，而na na aP P P n 22221221⋅⋅⋅=能被)12()12)(12(21+⋅⋅⋅++n a a a 个数整除，2a i +1为奇数)10(≤≤i ，所以乘积为奇数，证毕。
4. (本题10分) 证明等式22222012n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭求(1+x 4+x 8)100中x 20项的系数。
次方系数即可证。
比较证明：n ,11,010221202)1()1()1(222∴⋅⋅⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴+⋅+=+n n n n n n x n n x n n x n n x n n x x x n nn n n ΘΘ[]。
三个系数相加即为所求时，系数时，系数时，系数项时有，的结构可知仅当分析）（解：,5,4,35,43k )(1)()(1105510034410023310020841000100841001008410084C C k C C k C C k x x x x x C x xx x k k kk k ⋅==⋅==⋅===+⋅+=++=++∑=-Θ5. (本题10分)求1，3，5，7，9这五个数可以组成多少个不同的n 位数，其中要求3和7出现次数为偶数。
位数。
）个不同的（所以可以组成解：n r x e e e e e e e e e x x x x x G n n rr r r x x x x xx x x x 532141!)5321(41)2(4142)2()!4!21()!2!11()(e 0532232324232+⋅++⋅+=++=++⋅=+⋅=⋅+⋅⋅+++⋅⋅+⋅⋅+++=∑∞=--6. (本题10分)6个人参加一会议，入场时将帽子随意挂在衣架上，走时匆匆忙忙顺手带一顶走了，试问没有一人拿对的概率是多少？7. (本题10分)求满足下列条件的整数解数目x1+x2++x3+x4=20，其中1≤x1≤5，0≤x2≤7，4≤x3≤8，2≤x4≤6。
.36788 . 0 1! n 368. 0 720 / 265 720 / ) 1 6 30 120 360 720 720 ( 720 / ) 1 6 2 15 6 20 24 15 120 6 720 ( 720/ ) 1 ! 1 ! 2 ! 3 ! 4 ! 5 720 ( ! 6 1! 5 1 ! 4 1 ! 3 1 ! 2 1 ! 1 1 1 ! 6 56 4 6 3 6 2 6 1 6 6 ≈ ≈ ≈ = + - + - + - = + - ⨯ + ⨯ - ⨯ + ⨯ - = + - + - + - = + - + - + - = =en D C C C C C D P n 比较大时， 可以证明，当 解：.84396961-4660,0,0,0-4-4-7-4.5603161316131-413,40,40,70,40,13,2,4,,143214321,44,33,22,114321432144332211=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++≥≥≥≥=====⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤≤≤≤≤≤≤≤=+++-=-==-=整数解数目为于是问题转为变换对于有上届的问题要作根据公式应为若不附加有上届条件的解：设εεεεεεεεεεεεy y y y y y y y y y y y x y x y x y x y8. (本题10分)长为5米的木棒用红，蓝两色染色，每米染一色，问有多少种不同的染色方案？(刚体运动使之吻合算一种方案).202/)22(211,1132415),5)(4)(3)(2)(1(35215211=+=∴==l P OO P P ，个个置换格式：），）（）（（翻转绕第二类置换：解：第一类置换：试问若要求其中有3米为红色，2米为蓝色的方案数是多少？.64323,5214,5313,4512.1025同方案数为为同一种方案，此时不为蓝色分别和和和和但木棒可翻转，使得为个对象染蓝色，方案数个对象任取解：若木棒不可动，则P9. (本题共10分，共2小题，每小题5分)①给出120110n m m m m m m n m n n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的组合意义。
等于右边。
所有的方案数相加应该个，个，另一个盒子放放项的意义是一个盒子中左边：第方案数。
两种方法，得到可能的个球中每个球都有个放入两个盒子，个球，从中取出解：右边：i -n i i n n m②证明222223(1)2123n n n n n n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
222212222211211121322)1(33221,133221)1()1()1(33221)1(233221,133221)1(3210)1(---------+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+n n n n n n n n n nnn n n n n n n n x xn n n x n x n n x x n n x n x xn n n x n x n n x n n n n n n n n x xn n n x n x n n x n x xn n x n x n x n n x 即得式：也令后并求导得：两端同乘以再给式子：即得式：令求导可得：的两端对在二项式证明：。