(完整版)太原理工大学研究生期末考试组合数学答案

1. 填空(本题共20分，共10空，每空2分)

1) 三只白色棋子和两只红色棋子摆放在5*5的棋盘上，要求每行每列只放

置一个棋子，则共有 1200 种不同的摆放方法。

答案：

1200!52

5=⨯C 2) 在(5a 1-2a 2+3a 3)6的展开式中，a 12•a 2•a 33的系数是 -81000 。

答案：81000

3)2(5!3!1!2!

632-=⋅-⋅⋅⋅⋅

3) 有n 个不同的整数，从中取出两组来，要求第一组数里的最小数大于第

二组的最大数，共有12

1

+⋅-n n 种方案。

4) 六个引擎分列两排，要求引擎的点火的次序两排交错开来，试求从一特

定引擎开始点火有 12 种方案。

答案：121

2

1213=⋅⋅C C C

5) 从1到600整数中既不能被3整除也不能被5整除的整数有 320 个。 6) 要举办一场晚会，共10个节目，其中6个演唱节目，4个舞蹈节目。现

要编排节目单，要求任意两个舞蹈节目之间至少要安排一个演唱节目，则共可以写出 604800 种不同的节目单。

答案：

604800!4!63

7=⨯⨯C 7) 把n 男n 女排成一只男女相间的队伍，共有

2)!(2n ⋅ 种排列方法；

若围成一圆桌坐下，又有

)2/()!(22n n ⋅ 种方法。

8) n 个变量的布尔函数共有

n

n

2 个互不相同的。

9) 把r 个相异物体放入n 个不同的盒子里，每个盒子允许放任意个物体，

而且要考虑放入同一盒中的物体的次序，这种分配方案数目为

),1(r r n P -+ 。

答案：)

,1()!1()!1()1()2)(1(r r n P n r n r n n n n -+=--+=-+⋅⋅⋅++

2. (本题10分)

核反应堆中有α和β两种粒子，每秒钟内一个α粒子分裂成三个β粒子，而一个β粒子分裂成一个α粒子和两个β粒子。若在时刻t=0时，反应堆中只有一个α粒子，问t=100秒时反应堆中将有多少个α粒子？多少个β粒子？ 解: 设t 秒钟的α粒子数位a t ，β粒子数为b t , 则

⎪⎩⎪

⎨⎧==+==---0

,1230

0111b a b a b b a t t t t t

⇔

)(3

,03210211

*⎪⎩⎪

⎨⎧==+==---b b b b b b a t t t t t

（*）式的特征方程为0322

=--x x ，

解得3,121=-=r r ，即t

t t A A b 3)1(21⋅+-⋅=

代入初始值3,010

==b b ，解得43

,4321

=-=A A t

t t b 343

)1(43⋅+-⋅-=∴ 1

11343

)1(43---⋅+-⋅-==t t t t b a

)

13(43),13(43100

10099100-=+=∴b a

3. (本题共10分，共2小题，每小题5分)

①设1212n a a a n n P P P =⋅⋅⋅，12,,n P P P ⋅⋅⋅是互不相同的素数，

设求能除尽n 的正整数数目为多少？

解：每个能整除尽数n 的正整数都可以选取每个素数P i 从0到a i ，即每个素数

有a i +1种选择，所以能整除n 的正整数数目为)1()1)(1(21+⋅⋅⋅++n a a a 个。

②试证明一整数是另一整数的平方的必要条件是除尽它的数目为奇数。 证明：根据题①中结论，

n

a n

a

a P P P n ⋅⋅⋅=2

121，能被)1()1)(1(21+⋅⋅⋅++n a a a 个

数整除，而

n

a n

a a

P P P n 2222122

1⋅⋅⋅=能被

)12()12)(12(21+⋅⋅⋅++n a a a 个数整除，2a i +1为奇数)10(≤≤i ，所以乘积为奇数，证毕。

4. (本题10分) 证明等式

2222

2012n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

求(1+x 4+x 8)100中x 20项的系数。

次方系数即可证。比较证明：

n ,11,010221202)1()1()1(2

22∴⋅⋅⋅⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥

⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴+⋅+=+n n n n n n x n n x n n x n n x n n x x x n n

n n n ΘΘ

[]

。

三个系数相加即为所求时，系数时，系数时，系数项

时有，的结构可知仅当分析）

（解：,

5,4,35,43k )(1)()(1105510034410023310020841000

10084100100

8

4

100

84C C k C C k C C k x x x x x C x x

x x k k k

k k ⋅==⋅==⋅===+⋅+=++=++∑=-Θ